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广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。
解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。
.____________x )1,1,1(1y )xy arcsin()1y (x z .1轴的倾角是处的切线对上点曲线⎩⎨⎧=-+= 4:π解 .41a r c t a n ,1)]xy arcsin(0x [dx d )1,x (f x π==θ=⋅+=故 ,e z .2xy=设.__________dz)2,1(=则)dy dx 2(e :2+-解.e x1e y z,e 2)xy (e xz 2)2,1(xy )2,1(2)2,1(2xy)2,1(=⋅=∂∂-=-=∂∂._________,4z 31y x t z ,t y ,t x .332则切点的坐标是的切线平行于平面已知曲线=++===)1,1,1(:--解.1z ,1y ,1x 1t 0t t 21n T },31,1,1{n },t 3,t 2,1{T 22-==-=⇒-=⇒=++=⋅==.____________2z )y x (214z .422于所围成的立体的体积等与面曲面=+-=π4:解ππθπ402)8(2)212()21212(]2)(214[42202022222=-=-=--=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰r r rdr r d dxdyy x dxdy y x V xyxy D D则平面所围成的闭区域与是上半球面设,xoy )0z (1z y x .5222≥=++Ω.______zdxdydz =⎰⎰⎰Ω4:π解.44r 2s i n 2dr sin r cos r d d zdxdydz 1042022010220π=⋅ϕπ=ϕ⋅ϕϕθ=πππΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰则曲线积分的交线与平面是球面设,0z y x R z y x .62222=++=++Γ._________z y x ds222=++⎰Γ π2:解 .2R 2R 1R ds π=π⋅==∴⎰Γ原式._________)x (f ,xoy dy )x (f dx ye .7x =-+则分平面上是某函数的全微在设 )y (e :x ϕ+-解 .)y (e )x (f e )x (f )x (f x Q ,e y P x x x ϕ+-=⇒='⇒'-=∂∂=∂∂).B ()0,0()0,0()y ,x (,0)0,0()y ,x (,y x xy2z .822处在点函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=A ．A ．连续可导B ．不连续，可导C ．连续不可导D ．不连续不可导极限不存在解∴+=+→=→,k 1k2y x xy 2lim :2220kx y 0x .0)y ,0(z ,0)0,x (z y x ==).C ()1,1,2(B )1,1,2(A z xy 2u .92方向的方向导数为指向点在点处沿点函数---=35.A 37.B 310.C 2.D}2,2,1{B A ,2z 2z u,4x 2y u ,2y 2x u :A A A A A A -=-=-=∂∂==∂∂-==∂∂ 解,32c o s ,32c o s ,31c o s -===γβα.310)32()2(324312l u =-⋅-+⋅+⋅-=∂∂故).B (rdr )sin r ,cos r (f d .1012可以写成极坐标下的二次积分⎰⎰θθθπ⎰⎰-2yy 01dx)y ,x (f dy .A⎰⎰-2y101dx)y ,x (f dy .B ⎰⎰--2x1011dy)y ,x (f dx .C⎰⎰-2xx 01dy)y ,x (f dx .D.y 1x 01y 01r 020:2⎩⎨⎧-≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤π≤θ≤解 11．设以O(0,0),A(1,1),B(1,-1)为顶点的三角形薄板上任意一点处的密度等于这点到原点的距离的平方，则薄片的质量M=（ B ）。
大学高数期中考试试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 可积2. 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则：A. 必存在最大值B. 必存在最小值C. 必存在零点D. 以上都不对3. 微分方程\(\frac{dy}{dx} + y = e^x\)的解是：A. \(y = e^x - xe^x\)B. \(y = e^x + ce^{-x}\)C. \(y = e^x - ce^x\)D. \(y = e^x\)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 无法确定5. 函数\(\sin(x)\)的原函数是：A. \(x\)B. \(\cos(x)\)C. \(-\cos(x)\)D. \(\sin(x)\)6. 若f(x)在区间(a,b)内可导，则f(x)在该区间内：A. 必定单调递增B. 必定单调递减C. 必定连续D. 以上都不对7. 曲线y=\(\sqrt{x}\)与直线x=4所围成的面积是：A. \(\frac{16}{3}\)B. \(\frac{32}{3}\)C. \(\frac{64}{3}\)D. \(\frac{128}{3}\)8. 函数\(\ln(x)\)的泰勒展开式是：A. \(x - 1 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)B. \(x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots\)C. \(x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots\)D. \(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} -\cdots\)9. 若\(\int_{0}^{1} f(x)dx = 2\)，则\(\int_{0}^{1} x f(x)dx\)的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定10. 函数\(\frac{1}{1+x^2}\)的不定积分是：A. \(\ln(1+x^2)\)B. \(\arctan(x)\)C. \(\ln|x|\)D. \(\ln|x+1|\)二、填空题（每空1分，共10分）1. 若\(\frac{dy}{dx} = 3x^2\)，则\(dy\) = __________。
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列词语中，没有错别字的一项是：A. 青涩岁月B. 风和日丽C. 腹背受敌D. 惊心动魄2. 下列句子中，没有语病的一项是：A. 这次比赛，他表现出了惊人的毅力，赢得了观众的一致好评。
B. 为了实现自己的梦想，他每天晚上都加班到很晚。
C. 他不仅学习成绩好，而且体育能力强。
D. 这个故事让我们明白了，只有团结一致，才能战胜困难。
3. 下列词语中，与“无私奉献”意思相近的一项是：A. 无私无欲B. 无私无畏C. 无私无求D. 无私无怨4. 下列句子中，使用了比喻修辞手法的一项是：A. 他像一颗永不生锈的螺丝钉，坚守在自己的岗位上。
B. 那片湖泊宛如一面镜子，映出了天空的美丽。
C. 她的声音像春风一样温暖人心。
D. 他走得很快，仿佛一阵风。
5. 下列词语中，属于“四字成语”的一项是：A. 一丝不苟B. 气喘吁吁C. 一帆风顺D. 欣欣向荣6. 下列句子中，使用了“排比”修辞手法的一项是：A. 这本书让我感受到了生活的美好、快乐和温馨。
B. 她不仅聪明，而且勤奋，还非常善良。
C. 天空飘着朵朵白云，小鸟在枝头欢快地歌唱。
D. 他热爱祖国，关心集体，乐于助人。
7. 下列词语中，与“坚持不懈”意思相近的一项是：A. 坚持不懈B. 坚定不移C. 坚守阵地D. 坚如磐石8. 下列句子中，使用了“拟人”修辞手法的一项是：A. 那棵老树仿佛在诉说着岁月的故事。
B. 小草在春风的吹拂下茁壮成长。
C. 太阳公公从东方升起。
D. 他瞪大了眼睛，紧紧地盯着屏幕。
9. 下列词语中，属于“形容词+名词”结构的一项是：A. 茂密的森林B. 美丽的风景C. 高兴的心情D. 快乐的时光10. 下列句子中，使用了“夸张”修辞手法的一项是：A. 他跑得像兔子一样快。
B. 那本书厚得像砖头。
C. 这个苹果大得能装下一个篮球。
D. 那座山高得能顶到天。
二、填空题（每空2分，共20分）1. 下列词语中，填入空白处使句子完整的是：（）A. 他（）地工作，终于完成了任务。
同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分） 1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（ ）⇒（ ）⇒⎩⎨⎧)()(.2.函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为 ，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为 ，平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 .4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=⎰⎰1sin 2),(xdy y x f dx ππ.(A)⎰⎰+ππydxy x f dy arcsin 1),(； (B)⎰⎰-ππydxy x f dy arcsin 10),(； (C) ⎰⎰+ydxy x f dy arcsin 1),(ππ；(D)⎰⎰-ydxy x f dy arcsin 1),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求y z x z ∂∂+∂∂的值.2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧-=+=bv au y bvau x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x x z=∂∂，),(),(a a y x y z =∂∂.3.已知曲面221y x z --=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：⎰⎰Dd y xσsin，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分⎰-++L dy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y --=沿x 从0增大到2的方向.五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为μ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3,2π处的切线方程.2.方程1ln =+-xze y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy.四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=--=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）⎰⎰Dy dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域.六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.。
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，可导函数是：A. y = |x|B. y = x^2C. y = x^(1/3)D. y = x^(-1)答案：B解析：可导函数的定义是，对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意一点x，都存在一个唯一的切线，那么这个函数就是可导的。
在选项中，只有B项y = x^2是可导的，因为它的导数存在。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(a) = f'(b)，则：A. f(x)在[a, b]上单调递增B. f(x)在[a, b]上单调递减C. f(x)在[a, b]上至少有一个极值点D. f(x)在[a, b]上没有极值点答案：C解析：根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且在区间端点处的导数相等，那么至少存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。
因此，f(x)在[a, b]上至少有一个极值点。
3. 下列极限中，正确的是：A. lim(x→0) (sinx/x) = 1B. lim(x→0) (1/x^2) = ∞C. lim(x→∞) (lnx/x) = 0D. lim(x→∞) (e^x/x) = ∞答案：D解析：选项A中的极限是洛必达法则的应用，但这里直接用洛必达法则是不恰当的，因为洛必达法则适用于“0/0”或“∞/∞”型的极限。
选项B和C中的极限都是无穷大或无穷小，不符合常规极限的定义。
选项D中的极限可以通过直接代入或洛必达法则求解，得到结果为∞。
4. 设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = _______。
答案：3x^2 - 3解析：根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = 3x^2 - 3。
5. 设f(x) = e^x - 2x，则f'(x) = _______。
答案：e^x - 2解析：同样根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = e^x - 2。
2010 年4月高数A （下）期中考试试题答案班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。
2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z zyx x y∂∂+=∂∂2xy 。
3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。
4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则zy∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。
6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。
7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u =P 点处沿方向n的方向导数 117 。
8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y f x y x -=⎰()()()21133201d ,d d ,d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰。
9．设L 为封闭曲线22143x y +=，其周长为a ，则()22234d L x y s ++=⎰ 14a 。
10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。
二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。
解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z xf y f f yf x y yf z x x y f f y f yf x y y y y x y x f f y y f yf y y y ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。
大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。
答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。
答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。
答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。
答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。
答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。
解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。
原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。
2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。
同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分）1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（ ）⇒（ ）⇒⎩⎨⎧)()(. 2.函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为 ，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为 ，平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 .4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=⎰⎰1sin 2),(x dy y x f dx ππ . (A)⎰⎰+ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (B) ⎰⎰-ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (C)⎰⎰+y dx y x f dy arcsin 10),(ππ； (D) ⎰⎰-y dx y x f dy arcsin 10),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求y z x z ∂∂+∂∂的值.2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧-=+=bv au y bv au x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x x z=∂∂，),(),(a a y x y z =∂∂.3.已知曲面221y x z --=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：⎰⎰D d y x σsin ，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分⎰-++Ldy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y --=沿x 从0增大到2的方向. 五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为μ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3,2π处的切线方程.2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy.四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=--=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）⎰⎰D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行.（1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.下面是古文鉴赏，不需要的朋友可以下载后编辑删除！！谢谢！！九歌·湘君屈原朗诵：路英君不行兮夷犹，蹇谁留兮中洲。
高等数学（下册）期中考试汇编(2013-5-5)一、解答下列各题（70107=⨯'分）1. 设xyz yxxy u e +-=，求(1,2,0)d z 2. 设曲线为32()(,,)r r t t t t ==，求它在对应于1=t 的点处的切线方程和法平面方程.3. 设有球面14222=++z y x ，求它在)1,2,3(处的切平面方程和法线方程.4. 设由方程0932222=--+++z xy z y x 可确定),(y x z z =，求yx z∂∂∂2在)1,2,1(-P 处的值.5. 设积分区域Ω由抛物面22y x z +=及平面0>=h z 所围成。
求2d zv Ω⎰⎰⎰6. 计算二重积分⎰⎰+-=Dy x I σd )1(22，其中D 是由222a y x =+和ax y x =+22及0=x 所围在第一象限的区域. 7. 计算二重积分⎰⎰⎰⎰+=y yxy yxy x y x y I d e d d e d 121212141.8. 在圆锥面22y x h Rz +=与)0,0(>>=h R h z 所围的锥体内作一个底面平行于xoy 面的最大长方体，求此长方体的体积.9. 在一个侧面为旋转抛物面224y x z +=的容器内装有)(cm 83π的水，现注入)(cm 1283π的水，问水面比原来升高多少？10. 求向量值函数f 的导数，其中[].)sin(,e ,cos Tx xz y y x =f二、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+y x f z y x ,e ，其中具有二阶连续偏导数，求.2y x f∂∂∂三、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f 在)0,0(点是否连续，是否可微. 四、设Ω是由曲面222y x a z --=及)0(22>-+=a a y x z 围成的空间立体，求Ω对oz 轴的转动惯量.z I五、设)(t f 在),0[+∞上连续，且满足方程⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=Ωv y x f z t f d 211)(222，其中Ω是由不等式2224,0t y x h z ≤+≤≤所确定，求).(t f(2012-4-21)一．填空题（每小题5分，共20分）1．曲线2t x =，2,y t z t ==上相应于2=y 的点处的切线方程是2．xyz u arctan=在点)1,0,1(A 处沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数为 3．曲面01),,(322=+-++=z y xy x z y x F ，在点)6,1,2(-M 处的切平面方程为4．若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a二．计算下列各题（每小题9分，共54分）1）计算dx xxe dy I yx sin )1(11⎰⎰+=2）计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x 22sin，22224:ππ≤+≤y x D3）设),(22x y x f x z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求x z ∂∂和22x z∂∂4）求椭球面123222=++z y x 被平面0=++z y x 截得的椭圆长半轴与短半轴之长. 5．在曲面1=++z c y b x a )0,0,0(>>>c b a 上作切平面，使该切平面与三坐标面所围成的体积最大，求切点的坐标.6．设函数)](1[),(22y x yf x y x F ++=，其中)(u f 二阶可导，① 求yx F x F ∂∂∂∂∂2,，② 求二重积分⎰⎰=Ddxdy y x F I ),(，其中D 是由3,1,1y x y x ===-围成的平面区域. 三. (9分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))1）设有二元向量值函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=xy y x y x f 2),(22 ，试求f 在点)1,1(处的导数与微分.2)．设),(y x f z =，由0=+---zy x xey x 所确定，求dz 四．（11分）讨论函数32),(y x y x f =在点)0,0(处是否连续，偏导是否存在，是否可微？五．（6分）已知)(22y x u u +=有连续二阶偏导数，且满足222222y x yu x u +=∂∂+∂∂试求函数u 的表达式.(2011-4-23)一、填空题（每小题5分共20分） 1．函数)2sin(ln e ),(y x y x f x-=，在)0,4(π点处的全微分=z d .2．设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 .3．设有椭球面12222=++z y x ，则它在点)21,21,21(-处的切平面方程为4．设),(y x z z =由方程yzz x ln =所确定，则=∂∂22x z二．单选题（每小题5分，共20分）1．在曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-==32t z t y tx 的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线（ ）A ．只有1条B ．只有2条C ．只有3条D 不存在2．22201limcos()d d x y r De x y x y r π-→+=⎰⎰（ ）. 其中.:222r y x D ≤+ A ．π B ．1/π C ．1 D ．1-3．设),(y x f 连续,⎰⎰=ex y y x f x I 1ln 0d ),(d 交换积分次序后为（ ）A ．⎰⎰=ex x y x f y I 1ln 0d ),(d B ．⎰⎰=e e y x y xf y I 10d ),(dC ．⎰⎰=x ex y x f y I ln 01d ),(d D ．⎰⎰=1d ),(de ey x y x f y I4．函数22222222sin 2(),0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点)0,0(处（ ） A ．无定义 B ．连续 C ．有极限但不连续 D ．无极限三、（10分）设函数),(v u f 可微，),(y x z z =是由方程),(yz xz f xy z =+确定的可微函数，求,z zx y∂∂∂∂. 四、（10分）讨论函数(,)f x y =在)0,0(处连续性、可导性、可微性.五、（10分）在曲面222:y x z +=∑上求一点),,(000z y x p ，使它到平面062:=++-z y x π的距离最短.六、（10分）计算 24 212d d d d 22xxxI x y x y yyππ=+⎰⎰.七、（10分）计算二重积分.4:,d d sin222222ππ≤+≤+⎰⎰y x D y x y x D八、(4分)(学习工科数学分析者作(1),其余作(2))(1) 求向量值函数(,,)(cos ,,sin())x Tf x y z x y ye xz =的Jacobi 矩阵.(2) 求函数2(,2,3)z f x x y x y =+-的梯度(f 的偏导存在).九. （6分）求抛物面221z x y =++的一个切平面,使得它与抛物面及圆柱22(1)1x y -+=围成的体积最小，试写出切平面方程并求出最小体积.(2010-5-8)一、填空题（每小题4分，共20分） 1 设xyz yxxy u e +-=，则=)0,2,1(d z . 2 设⎪⎩⎪⎨⎧===t z t y t x 23，则它在1=t 所对应点处的切线方程为 .3 设222lnz y x u ++=，则=)1,1,1(grad f .4 设22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-处沿方向⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31l 的方向导数为 .5 计算2222()d x y R x y σ+≤+⎰⎰ .二、 计算题（每小题7分,共63分）1 求曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(的切平面方程和法线方程.2 计算⎰⎰-+-221111d sin d y yx xxyy . 3 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=x y x xf z 2,2，其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2.4 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(的偏导数及可微性.5 设有形状为旋转抛物面的一容器,其中心轴截面与容器的截线方程为2y x =,现将长为l 的细棒AB 置于容器之中,试求细棒中点的最低位置(设1l <).6 (学工科数学分析者作(1),其他作(2))(1)求向量值函数T2222221),ln(),sin(⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-=z y z x y x f 在点T )1,1,1(处的导数.(2)求由方程05242222=-+-+-z x z y x 所确定的隐函数z 的二阶偏导数22xz ∂∂.7 计算二重积分⎰⎰+Dy x σd 22，其中}0,0,42|),{(22≥≥≤+≤=y x y x x y x D .8 若二元函数),(y x z 在xoy 平面上的任意一个有界闭区域内存在一阶连续的偏导数，且⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂D D y x z x x z xz y x x z d d 2d d 222，求函数),(y x z . 9 设函数()f t 在[0,)+∞上连续，且满足方程22224π4()e d d t x y t f t f x y +≤=+⎰⎰,求()f t .三、讨论题（共17分）1.计算二元函数(,)z f x y =在点00(,)P x y 处对x 的偏导数00(,)x f x y 时,可以先将0y y =代入(,)f x y 中,再求一元函数0(,)f x y 在0x 处对x 的导数,即0000(,)(,)x x x df x y f x y dx ==,为什么?2.试通过讨论函数224(,)128f x y x xy y =-+的极值点,来说明当点(,)x y 在过000(,)M x y 的任一直线L 上变动时,二元函数(,)f x y 都在000(,)M x y 处取得极值,能否断定该函数在000(,)M x y 处取得极值?（2009-4-26）一、填空题（每小题3分，共15分）1． 若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a .2． )ln(e 2y x z x+=-，沿}0,1{=l 方向的方向导数=∂∂lz. 3． 曲线2tan ,sin ,cos tz t y t x ===在点)1,1,0(处的切线方程是 .4． 交换二次积分的积分次序（其中),(y x f 为连续函数）=+⎰⎰⎰⎰-xx y y x f x y y x f x 20211d ),(d d ),(d 2.5． 设)2,1,1(-M 是曲面),(y x f z =上的一点，若3)1,1(=-x f ，在任一点),(y x 处有),(),(),(y x f y x yf y x xf y x =+，则曲面在M 处的切平面方程是 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,4),(222222y x y x y x xy y x f 在原点)0,0(间断的原因是),(y x f （ ）A. 在原点无定义B. 在原点极限存在但在原点无定义C. 在原点极限不存在D. 在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值 2. 函数10232),(22+--=y x xy y x f 在点)0,0(O 处（ ）A. 取得极大值B. 取得极小值C. 无极值D. 不能判定是否取得极值3. 设yxu arctan=则=)1,1(grad u （ ） A. 21B. 21-C. 11(,)22-D. 11(,)22-4. 设)(u f 是连续函数，平面区域)1|(|10:2≤-≤≤x x y D ，则⎰⎰+Dv y x f d )(22（ ）A.⎰⎰-+210221d )(d x y y x f x B.⎰⎰-+2102210d )(d y x y x f yC. ⎰⎰12d )(d ρρρθπf D.⎰⎰120d )(d ρρθπf5.比较⎰⎰+=Dy x I σd )(21与⎰⎰+=Dy x I σd )(32的大小，其中{}22(,)|(2)(2)2D x y x y =-+-≤，则（ ）A. 21I I =B. 21I I >C. 21I I ≤D. 21I I ≥三、解答题（每小题8分，共64分）1. 设22ln arctan y x xy z +-=，求x z ∂∂和y x z ∂∂∂2.2. 求曲面2=++z y x 上任一点处的切平面与三个坐标轴的截距之和。
