数学培优竞赛新方法(九年级)-第9讲 二次函数的应用

1.4 二次函数的应用第1课时 几何图形的面积问题数学（浙教版）九年级 上册第1章二次函数学习目标1．学会分析实际问题中的二次函数关系；2．学会用二次函数表示几何图形中的关系，并用来求实际问题中的最大值与最小值；导入新课问题1：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位：m ）与小球的运动时间 t （单位：s ）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2（0≤t ≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？t/sh/mO1234562040h= 30t - 5t2解决思路：通过图象可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.思考：如何求二次函数的顶点坐标呢？知识点一 二次函数的实际应用——几何图形面积问题由于抛物线 y = ax 2+ bx + c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y = ax 2+ bx + c有最小（大）值思考：如何求出二次函数 y = ax 2+ bx + c 的最小（大）值？二次函数的顶点式可以很直观地看出最大值或最小值当 时小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的最大高度是 45 m．t/sh/m O 1234562040h= 30t - 5t2我们来求一下问题1：例用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？1.矩形面积公式是什么？2.如何用l表示另一边？3.面积S的函数关系式是什么？l30-lS=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).S=l(30-l),即S=-l2+30l (0<l<30).因此，当时，S有最大值，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.归纳总结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.典例精析【例1】某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为28m，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是（ ）米．A．4B．5C．6D．8【详解】解：设中间隔开的墙长为x m，能建成的饲养室总占地的面积为Sm2，根据题意得，S=x×(28+2-3x)=-3(x-5)2+75，-3＜0，有最大值，∴当x=5时，S取得最大值，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．练一练1．如图，某跑道的周长为400m 且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道AB 段的长应为．【详解】解：设矩形直线跑道AB=xcm ，矩形面积为ycm 2，由题意得： y=400−2ᵆᵰ·ᵆ=−2ᵰ(ᵆ−100)2+20000ᵰ∵−2ᵰ＜0，∴当x=100时，y 最大，即直线跑道长应为100m ．故答案为：100m2．如图，一块矩形区域ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD 的面积最大时AB 的长．【详解】解：设AB=x 米，矩形的面积设为y （平方米），则AB+EF+CD=3x ，∴AD=BC=18−3ᵆ2．∴y=x·18−3ᵆ2=−32ᵆ2+9ᵆ．由于二次项系数小于0，所以y 有最大值，∴当AB=x=-ᵄ2ᵄ=3时，函数y 取得最大值．∴当AB=3米时，矩形ABCD 的面积最大．1．如图，要围一个矩形菜园ABCD，共中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB,BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD的面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【详解】设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2，则BC的长为(40-2x)m，由题意得y=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200，其中0＜40-2x≤26，即7≤x＜20，①AB的长不可以为6m，原说法错误；③菜园ABCD面积的最大值为200m2，原说法正确；②当y=-2(x-10)2+200=192时，解得x=8或x=12，∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，说法正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C．2．把一根长4a的铁丝分成两段，每一段弯曲成一个正方形，面积和最小是（ ）A．ᵄ2B．ᵄ2�C．ᵄ22D．ᵄ243．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m ，门宽为2m ．这个矩形花圃的最大面积是．【详解】解：设花圃的长为x,面积为y,则y 关于x 的函数表达式为：y=12(38+2−��ᵆ)ᵆ=−12ᵆ2+20ᵆ=−12(x-20)2+200又∵38+2-x＞0，x≥22≤x＜404．如图，小明想用长16米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是平方米．【详解】解：设AB=x米，矩形ABCD的面积为S，则BC=（16-2x)米，∴S=x(16-2x)=2x2+16x=-2(x-4)2+32即矩形ABCD的最大面积为32平方米故答案为：32．5．用一段长为24m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长10m ，则这个养鸡场最大面积为 m 2．【详解】设养鸡场长为x 米，则宽为12(24−��ᵆ)米，面积为S 平方米，根据题意得：S=x×12(24−ᵆ)=−12ᵆ2+12ᵆ，(0＜x≤10)，∵二次函数图象对称轴为：直线x=12，开口向下，∴ 当0＜x≤10时，S 随x 的增大而增大，∴当x=10时，S 取得最大值为70．故答案是：70．6．如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【详解】（1）∵AB边长为xm，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32m，∴BC边长为(32-2x)m，∴S=AB·BC=x(32-2x)=-2x2+32x；（2）函数化为顶点式，即得S=-2(x-8)2+128，可知x=8时，S有最大值128m2．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值，正确理解题意列得函数解析式是解题的关键．7．如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长15m的墙，想用长为40m的网绳围成一个矩形ABCD给奶奶养鸡，怎样使矩形ABCD的面积最大呢？同学淇淇帮她解决了这个问题．淇淇的思路是：设BC的边长为xcm，矩形ABCD的面积为Sm2，不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题：(1)求S与x的函数关系式，直接写出x的取值范围；(2)x为何值时，矩形ABCD的面积最大？【详解】（1）解：S=x(40−��ᵆ2)=-12ᵆ2+20ᵆ,ᵆ的取值范围为0＜ ᵆ�≤15；（2）解：∵S=-12ᵆ2+20ᵆ ，-12＜0，∴当x=-20−1=20时，S 有最大值，当x ＜20时，S 随x 的增大而增大，而0＜x≤15，∴x=15时，S 有最大值，即矩形ABCD 的面积最大．课堂小结二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.谢谢~。

二次函数的应用【知识要点】二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少能运用二次函数的图像和性质解决一些贴近生活的实际问题．在解决实际问题时，首先要认真阅读题目，审清题意，建立数学模型，转化为数学问题进行求解，最后得到实际问题的解．在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。

步骤：第一步设自变量；第二步建立函数的解析式；第三步确定自变量的取值范围；第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（注意：在自变量的取值范围内）。

【经典例题】例1．（2006年旅顺口区）如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．例2．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）15 20 30 …y（件）25 20 10 …若日销售量y是销售价x（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？例3．一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时求的高度为h(m)。

已知物体竖直上抛运动中，h＝v0t－12gt2 (v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g＝10m/s2)。

问（1）球从弹起至回到地面需多少时间？（2）经多少时间球的高度达到3.75m?例4．B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船以每小时12km 的速度朝正北方向行驶，B船以每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？例5．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）。

在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面1023米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。

专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3 ），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使P A ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题）解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ；（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ）A .过点（3，0）B .顶点是（2，－2）C .在x 轴上截得的线段长度是2D .与y 轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）A .0=bB . 2c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________. （昆明市中考试题）第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab，ac，cba++，cba+-，ba+2，ba-2中，其值为正的式子个数为 ( )A.2个B.3个C.4个D.4个以上（全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线cbxaxy++=2（a≠0）的对称轴是2=x，且经过点P(3,0)则cba++的值为（）A.－1B.0C.1D.28.已知二次函数cbxaxy++=2（0>a）的对称轴是2=x，且当0,,2321===xxxπ时，二次函数y的值分别时321,,yyy，那么321,,yyy的大小关系是（）A.321yyy>>B.321yyy<<C.312yyy<<D.312yyy>>9.已知抛物线4)343(2++-=xmmxy与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题）10.如图，已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线241xy=上的一个动点. （1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1-=y的位置关系；（2）设直线PM与抛物线241xy=的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM.（全国初中数学竞赛试题）11.已知函数122--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A ，B 两点.（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A ，B 两点的坐标； （2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当P A ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得P A ＝AB 成立；（3）如图3，设直线l 交y 轴于点C ，若△AOB 的外心在边AB 上，且∠BPC ＝∠OCP ，求点P 的坐标. （武汉市中考试题）图1 图2 图3专题08 二次函数例1 C ．提示：③④⑤成立．对于④，当x ＝－l 时，y ＝a b c -+＜0，∴a c +＜b ．又∵2b a-＝1，则a ＝2b-代入上式，得2c＜3b ；对于⑤，当x ＝1时，max y ＝a b c ++，∴a b c ++＞2am bm c ++，则a b +＞()m am b +（m ≠1）． 例2 B ．提示：S ＝2b ，b ＞0，b ＝1a +，a ＜0． 例3 （1）O （0，0），B （2，—10），y ＝2251063x x -+． （2）x ＝3325-＝85时，y ＝163-，此时运动员距水面的高为10－163＝143＜5，故此次试跳会出现失误．例4 （1）y 24)x -；（2）P （0，；（3）由点点A （l ，0），C （4，，B （7，0）得∠BAC ＝∠ABC ＝30°，∠ACB ＝120°．①若以AB 为腰，∠BAQ 为顶角，使△ABQ ∽△CBA ，则Q （－2，；②若以BA 为腰，∠ABQ ′为顶角，由对称性得另一点Q ′（10，； ③若以AB 为底，AQ 、BQ 为腰．则Q 点在抛物线的对称轴上，舍去．例5 由NP BC CN -＝BF AF ，得34NP x --＝12，∴NP ＝152x -+，∴y ＝1(5)2x x -+＝21(5)12.52x --+（2≤x ≤4）．∵y 随x 的增大而增大，∴当x ＝4时，y 有最大值为21(45)12.52-⨯-+＝12．例6 （l ）y 2（2）①令2＝0，得1x ＝－1，2x ＝1，则抛物线1c 与x 轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）．∴A （1m --，0），B （1m -，0）．同理可得D （1m -+，0），E （1m +，0）．当AD ＝13AE 时，如图1，(1)(1)m m -+---＝[]1(1)(1)3m m +---，∴m ＝12．当AB ＝13AE时，如图2，(1)(1)m m ----＝[]1(1)(1)3m m +---，∴m ＝2．∴当m ＝12或2时，B 、D 是线段AE 的三等分点．②存在．连结AN 、NE 、EM 、MA ，依题意可得M （m -，N （m，，即M 、N 关于原点O 对称，∴OM ＝ON ．∵A （1m --，0），E （1m +，0）．∴A 、E 关于原点O 对称，∴OA ＝OE ．∴四边形ANEM 为平行四边形．要使平行四边形ANEM 为矩形，必须满足OM ＝OA ，即22m +＝[]2(1)m ---，∴m ＝1．∴当m ＝1时，以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形．A 级1．－2，4或－8． 2．－43．（l ）22x x -；（2〉3或－1；（3）x ＜0或x ＞2． 4．y ＝2x x +或y ＝21133x x -+．提示：另一交点为（－1，0）或（1，0）． 5．D ． 6．B ． 7．D ． 8．B ．图1图29．（1）y ＝212123x x -++ ()()()()()()()()222159127,,.10.126346906.,,,281311.14,2,23.,221113,2,=,=022220BDE ABCABD CDEABP C y x x x S S S B y x x AB x P AB d S AB d OB AO d P x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭<<=--==-==∴=∴-⇒=在抛物线上故导弹能击中目标略当x=3时BE=y 最短其值为此时S 由题意知轴设到距离为则的纵坐标只能是0或4令y 0得()()212, 3.0,0,3,0.,=4,x P y x =∴=符合条件的点为P 同理当的时候()()()()()()()()()()12342222233:0,0,3,0,,4,42212.13,232,3,,230339393233,,24241273332822ABMP P P y x y x x P t t M t t t t PM t t t t t t t PM SPM OA ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-----<<⎛⎫=----=-+=-+∴= ⎪⎝⎭-=⨯=综上符合条件的点有4个P 设则则当时有最大值此时点P 的坐标为()22212:,,1239. 4.28 5. 6.7.8.9.0644,4;340,0,3,,33B O y AB x y x x x x x B A B B x y mx m x m x x y m π=-+≤≤<->=⎛⎫=-++=≠== ⎪⎝⎭级 1.13或5 2.ｌ＝-2m +8m+12 3.636提示设半径为长为则或当时当时解得即抛物线与轴的交点()()40,4,23,0,0.3x A B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C 与轴的个交点为①,94－=m －3,=34,=得由若m BC AC 244;9y x ∴=-+②()222122*********,35,,,443636633488443,3,437721.AC AB m m x y x x y x x m AC BC m y x x m =-===-∴=-+=-++=-==-∴=--+若由得或若由得故所求抛物线的解析式有上述三个()()()()2200022001110.1,, 1.441111=1,,441.2,,1,,.1,,,,1,P x x PM x P y x x P PM y P Q y H R PH PM QM QR PH MN QR y ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭=---+∴=-=-===-∴设点的坐标为则又点到直线的距离为以点为圆心为半径的圆与直线相切如图分别过点作直线的垂线垂足分别为由知同理可得都垂直于直线()()()()()()()22,,,:4,0,4,0,44116,,0,4,0,4.4PH MNQM MP QR PHQR RN NH RN HNA B y ax bx c a x x a x APB P a =∴=∠∠∠∠-=++=+-=--=-于是因此Rt PHN Rt QRN,于是HNP=RNQ,从而PNM=QNM 11.提示是等腰直角三角形故点的坐标为分别求得()12221313120,412.1,,,22914x x y x b c y y y x ⎧⎧=-⎪==-+⎧⎪⎪==-∴⎨⎨⎨=⎩⎪⎪==⎩⎪⎩依题意得解得()()()()()()()()()()()()()1222222222239,,1,1.211,1,3,9.2:,24,,22,,.,2,222.,24220.=16822=81616818A B A A P B A a a A m m PA PB PAG BAH AG AH PG BH B m a m a B y x m am a a a a a a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭--=∴≅∴==∴-++=-+--=---++=++证明过点分别作过点且平行于x 轴的直线的垂线垂足分别为G,H. 设P 将点代入抛物线得0,,.a m P A >∴无论为何值时关于的方程总有两个不相等的实数解即对于任意给定的点抛物线上总能找到两个满足条件的点()()()()()222223:0,,,,.,.,,.,90, 1.=0,=010,13.,2m y kx b k m m B n n A B AG BH x G HAOB AB AOB y kx b AG OHAGOOHB mn x kx b OG BH y xm n x kx b mn b b D BPC OCP DP DC P a a =+≠∴∠==+⎧=∴=---⎨=⎩--∴=-∴=∠=∠∴==--设直线交y 轴于点D 设A 过点两点分别作垂直于轴于的外心在上由得联立得依题意得是方程的两根即设()()()222222122,,121214,22130.555P PQ y Q Rt PDQ PQ DQ PD a a a a P ⊥+=⎛⎫+---=∴==-∴- ⎪⎝⎭过点作轴于在中即舍去。

第9讲 二次函数的应用知识纵横设二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，自变量在没有限制条件时：当a bx a 2,0-=>时，a b ac y 442-=最小值，无最大值；当abx a 2,0-=<时，a b ac y 442-=最大值，无最小值；二次函数的最值应用主要体现在一下方面：（1） 解决实际问题中的最值问题； （2） 探讨几何图形中相关元素的最值。

例题求解【例1】 如图，已知边长为4的正方形截取一个角后成为五边形A B CDE ，其中1,2==BF AF 。

试在AB 上求一点P ，使矩形有最大面积。

思路点拨 设x PM DN ==，矩形的面积有y ，建立y 与x 的函数关系式，阶梯的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围。

（辽宁省中考题）【例2】 某宾馆有5个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）。

（1） 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2） 设宾馆一天的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式；（3） 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？（武汉市中考题）思路点拨 对于（3），（1）是基础，并注意“x 为10的整数倍”的制约。

【例3】 当21≤≤-x 时，函数224222+++-=a a ax x y 有最小值2，求a 所有可能取的值。

（太原市竞赛题）思路点拨22)(222++--=a a a x y ，图像的对称轴为a x =，函数在何处去的最小值？应分2121>-<≤≤-a a a 、、三种情况讨论【例4】红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m （件）与时间t （天）的关系如下表：未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间t （天）的函数关系式为25411+=t y （1≤t ≤20且t 为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为40212+-=t y （21≤t ≤40且t 为整数）． 下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a ＜4）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围．（扬州市中考题）分析 对于（3），引入参数a 后改变了已有函数关系和对称轴。

【讲练课堂】2022-2023学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题22.14二次函数的应用：图形运动问题（重难点培优）【典例剖析】【例1】（2021·北京·人大附中九年级期中）如图，Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．（1）△当运动停止时，t的值为；△设P、C之间的距离为y，则y与t满足关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；（2）设△PCQ的面积为S．△求S的表达式（用含t的式子表示）；△求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？【变式1】．（2021·广东·连南瑶族自治县教师发展中心九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果点P、Q分别从点A、B同时出发．（1）设经过t秒后，PB＝（用含t的代数式表示）．（2）经过几秒，△PBQ的面积等于9cm2？（3）经过多少时间，五边形APQCD的面积最小，最小值是多少？【例2】．（2021·辽宁大连·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm，点D是AB的中点，点P从点A出发，沿边AC→CB以2cm/s的速度向终点B运动，连接DP，以DP，DB为邻边作▱DPEB．设点P的运动时间为t(s)，▱DPEB与△ABC重合部分面积为S(cm2)．（1）当点E在BC边上时，t的值是________；（2）请用含有t的式子表示面积S，并直接写出t的取值范围．【变式2】（2021·吉林辽源·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，线段AB上一动点D，以1cm/s的速度从点A出发向终点B运动．过点D作DE△AB，交折线AC－CB于点E，以DE为一边，在DE右侧作正方形DEFC．设运动时间为x（s）（0＜x＜4）．正方形DEFG与△ABC重叠部分面积为y（cm2）．(1)当x＝s时，点F在BC上；(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．【满分训练】一、单选题1．（2022·浙江·诸暨市大唐镇初级中学九年级开学考试）如图1，等边△ABC中，点P为BC 边上的任意一点（不与点B、C重合），且△APD＝60°，PD交AB于点D．设BP＝x，BD＝y，如图2是y关于x的函数图象，则等边△ABC的边长为（）A．2B．2√3C．4D．3√3 2．（2022·辽宁本溪·三模）如图，在△ABC中，△ABC＝90°，△ACB＝30°，AB＝2，BD是AC边上的中线，将△BCD沿射线CB方向以每秒√3个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△B1C1D1，设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y，平移运动时间为x，当点C1与点B重合时，△B1C1D1停止运动，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．3．（2022·河南南阳·三模）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B→C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．4．（2021·辽宁·盘锦市双台子区第一中学九年级期中）如图，正方形ABCD的边长为2cm，点P，点Q同时从点A出发，速度均为2cm/s，点P沿A－D－C向点C运动，点Q沿A－B －C向点C运动，则△APQ的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．5．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，连接BP,PQ，△BPQ的面积为S cm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．6．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等̂于点Q．设腰直角△AOD和扇形BOD组成，点P在线段AB上，PQ△AB，且PQ交AD或交DBAP＝x（0＜x＜2），图中阴影部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y，则函数y关于x的大致图象是（）A．B．C．D．7．（2022·辽宁盘锦·模拟预测）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝2，点P为射线BC上一点，连接DP，将DP绕点P顺时针旋转90°得到线段EP，过B作EP平行线交DC延长线于F．设BP长为x，四边形BFEP的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（）A．B．C．D．8．（2022·辽宁·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=2BC=4，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△A′PQ，设动点P的运动时间为t秒，△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，点P从点A 出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．P，Q同时出发，分别到B，C后停止移动，则△PQD的最小面积是______cm2．10．（2022·全国·九年级专题练习）如图1，正方形ABCD中，点E为AB的中点，连接CE，动点P从A点出发，沿AB﹣BC﹣CD运动，同时，动点Q从A点出发，沿AD向点D运动，P，Q两点同时到达点D，设点P的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象如图2，当△APQ与△CBE全等时，DP的长为__________________cm．11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在ΔABC中，∠B=90°，AB=8mm，BC=16mm，动点P从点A开始沿边AB向B以1mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC 向C以2mm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过_______________________秒，四边形APQC的面积最小．12．（2022·辽宁营口·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD,∠D=90°,∠A=45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以√2cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x(s)，△APQ的面(s)时，则积为y(cm2)，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当x=72y=____________cm2．13．（2022·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，△ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为_____．14．（2021·四川成都·九年级期末）如图1，点E是等边△ABC的边BC上一点（不与点B，C 重合），连接AE，以AE为边向右作等边△AEF，连接CF．若△ECF的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（P为图象顶点），则等边△ABC的边长AB＝_____．15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ACB中，△ACB＝90°，AC＝BC=√2，D是AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，连接DE，则△ADE 面积的最大值等于____________．16．（2020·江苏·苏州市平江中学校九年级期中）如图一段抛物线y=x2−3x(0≤x≤3)，为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P(2020,m)在某段抛物线上，则m的值为__________．三、解答题17．（2021·辽宁大连·九年级期中）在△ABC中，∠C=120°，CB=AC，AB=2√3，D，E 两点同时从点A出发，以相同的速度分别沿折线A→C→B、射线AB运动，连接DE．当点D到达点B时，D，E两点同时停止运动，设AE=x，△ADE与△ABC重叠部分面积为S．（1）填空：AC=______；（2）求S关于x的函数解析式，并直接写出x的取值范围．18．（2020·山东·日照港中学九年级期中）已知：如图所示，在△ABC中，△B=90°，AB=10cm，BC=14cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，其中一个点停止移动时另一个点也停止．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于10cm？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，四边形APQC的面积最小？最小面积是多少？19．（2021·北京·九年级期中）如图，RtΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．动点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，点Q沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P，Q到达终点C，B时，运动停止．设运动时间为t(s)．(1)△当运动停止时，t的值为．△设P，C之间的距离为y，则y与t满足（选填“正比例函数关系”，“一次函数关系”，“二次函数关系” )．(2)设ΔPCQ的面积为S，△求S的表达式（用含有t的代数式表示）；△求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？20．（2021·江苏常州·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝9cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是lcm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，Rt△CPQ的面积Scm2．（1）用含t的代数式表示S．（2）当运动多少秒时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？。

九年级数学二次函数教案(优秀9篇)二次函数教学教案参考篇一教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。

2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。

3.通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。

(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

2.具有初步的创新精神和实践能力。

教学重点1.体会方程与函数之间的联系。

2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标。

教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程。

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

教学方法讨论探索法。

教具准备投影片二张第一张：(记作§2.8.1A)第二张：(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系。

当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解。

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。

初三二次函数的应用二次函数是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

在初三学习二次函数的过程中，我们不仅要学会掌握二次函数的基本性质和图像特点，更要学会应用二次函数解决实际问题。

本文将从数学和实际问题两个方面介绍初三二次函数的应用。

数学应用1. 求解二次方程二次函数的性质之一是关于 x 的二次方程。

利用二次函数图像和性质，我们可以通过求解二次方程来解决一些问题。

例如，已知二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，我们可以通过求解方程 ax^2 + bx + c = 0 来确定函数与 x 轴的交点坐标。

2. 确定二次函数的开口方向和顶点坐标对于一般形式的二次函数 y = ax^2 + bx + c，通过观察二次函数的系数 a 的正负可以判断其开口方向，即向上或向下开口；同时可以利用一些关系式来确定二次函数的顶点坐标。

这些知识点的掌握对于正确绘制二次函数图像至关重要。

实际问题的应用初三阶段，我们学习数学的过程中，二次函数的实际应用也是重要的内容之一。

下面将介绍一些常见的二次函数实际问题应用。

1. 抛物线运动在物理学中，抛物线运动是一个常见的问题。

例如，当我们抛出一个物体时，它的轨迹可以用二次函数来描述。

二次函数的顶点就是物体的最高点，通过解析解或图像分析可以得到物体的最大高度、最大飞行距离等信息。

2. 路程问题在解决路程问题时，二次函数也有所应用。

例如，已知某辆汽车的加速度为 a，初始速度为 v0，我们可以通过二次函数模型来描述汽车在 t 秒内的行驶距离 S。

通过求解二次方程可以计算出汽车行驶到某个特定位置的时间 t。

3. 面积问题二次函数的图像与x 轴所围成的图形面积是一个常见的问题。

例如，已知一块矩形底部宽度为 l，上方通过二次函数 y = ax^2 + bx + c 描述，我们可以通过求解二次方程来计算矩形与二次函数曲线所围成的面积。

这种类型的问题在应用数学中经常出现。