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2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章 有理数及其运算 章末专题复习练习题专题课1 绝对值的应用类型1 绝对值的非负性①|a |≥0.①若|a |＋|b |＝0，则a ＝b ＝0.1．若|x |＝x ，则x 的取值范围是( )A ．x ＞0B ．x ≤0C ．x ≥0D ．x ＜0 2．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是__________． 3．已知|x －3|＋|y －1|＝0，求2x ＋3y 的值．4．已知有理数|x －2|与|y －3|互为相反数，求x ＋y ＋xy 的值．类型2 绝对值的最值问题5．当a ＝2时，|2－a |＋2会有最小值，且最小值是________． 6．当b ＝12 时，5－|2b －1|会有最大值，最大值是________．7．已知x 为有理数，则|x －5|＋|x －3|的最小值是________．8．同学们都知道：|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可以理解成5和－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：(1)若|x －2|＝5，则x ＝________；(2)由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|有最小值，请写出当x 在什么范围时|x－3|＋|x －6|有最小值，并求出最小值；(3)当x 取何值时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值是多少？专题课2 有理数的大小比较类型1 利用数轴比较有理数的大小1．如图，数轴上的四个点分别表示有理数a ，b ，c ，d ，则下列说法正确的是( )A ．a >bB ．c <0C ．b <cD ．－1>d2．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则a ，－a ，－1，1的大小关系是( )A ．a ＜－1＜1＜－aB ．－a ＜－1＜a ＜1C ．a ＜－1＜－a ＜1D ．－a ＜－1＜1＜a 3．大于－2.5而小于3.5的整数共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个4．已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，试在数轴上找出表示－a ，－b 的点，并用“＜”连接a ，b ，－a ，－b .5．在数轴上表示下列各数，并把这些数用“＞”连接起来： 3．5，3.5的相反数，－12 ，绝对值等于3的数，最大的负整数．类型2 利用比较大小的法则比较有理数的大小 6．下列各数中：－1，0，12，0.5，最小的数是( )A ．0.5B ．0C ．12D ．－1 7．下列比较大小结果正确的是( )A ．－3＜－4B ．－(－3)＜|－3|C ．－12 ＞－13D ．|－16 |＞－178．比较大小：1100 ________－0.009；－2 0192 020 ________－2 0202 019 .9．已知数：0，－2，1，－3，5.用“＞”把各数连接起来．类型3 利用绝对值比较大小 10．比较下列各对数的大小： (1)－0.1与－0.2；(2)－45 与－56 ；(3)－821 与－|－17 |.类型4 利用特殊值比较有理数的大小11．如图，数轴上的点表示的有理数是a ，b ，则下列式子正确的是( )A ．－a ＜bB ．a ＜bC ．|a |＜|b |D ．－a ＜－b 12．如果a >0，b <0，a <|b |，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．－b >a >－a >b B ．a >b >－a >－b C ．－b >a >b >－a D ．b >a >－b >－a专题课3 一线串起有理数类型1 数轴与有理数1．数轴上，如果表示数a 的点在原点的左边，那么a 是( )A ．正数B ．负数C ．零D ．以上皆有可能2．点M 为数轴上表示－2的点，将点M 沿数轴向右平移5个单位到点N ，则点N 表示的数是( )A ．3B ．5C ．－7D ．3或－7【变式】 在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，若将点B 在数轴上平移3个单位长度后与点A 重合，则数a 为( )A ．5B ．－1C ．5或－1D ．5或－2 3．在数轴上，点A 表示数－4，距A 点3个单位长度的点表示的数是________．4．请在数轴上表示下列各数：－|－3|，4，－1.5，－5，212 并将它们用“＞”连接起来，并回答表示最大数与最小数两点之间相距多少个单位长度？5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C.(1)画出数轴，标出A，B，C三点在数轴上的位置，并写出A，B，C三点表示的数；(2)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？(3)若蚂蚁从点D出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D表示的数．类型2数轴与相反数6．已知数轴上A，B两点间的距离是6，它们分别表示的两个数a、b互为相反数(a＞b)，那么a＝________，b＝________．7．在数轴上，点A表示1，点B、点C所表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B所表示的数是________．8．小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？( )A．向右移6个单位长度B．向右移3个单位长度C．向左移6个单位长度D．向左移3个单位长度9．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？类型3数轴与绝对值10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是( )A．点A B．点B C．点C D．点D 11．如图，已知数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( )A．－4 B．0 C．－2 D．4 12．已知a，b是不为0的有理数，且|a|＝－a，|b|＝b，|a|>|b|，那么用数轴上的点来表示a，b时，正确的是( )13．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，则a＝________，b＝________．14．如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1 m)上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻找B，C，D处的其他福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B 记为：A→B(＋1，＋4)，从B到A记为：B→A(－1，－4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中(1)B→D(________)，C→________(－3，－4)；(2)若贝贝的行走路线为A→B→C→D，请计算贝贝走过的路程．类型4利用数轴探究问题15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：(1)已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，－52 ，－3，观察数轴，与点A 的距离3的点表示的数是________，A ，B 两点之间的距离为________；(2)以点A 为分界点，把数轴折叠，与点B 重合的点表示的数是________；(3)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是0.5；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为11(M 在N 的左侧)，且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则点M 表示的数是________，点N 表示的数是________． 16．(1)借助数轴，回答下列问题．①从－1到1有3个整数，分别是________； ①从－2到2有5个整数，分别是________________； ①从－3到3有7个整数，分别是________________________； ①从－100到100有________个整数；(2)根据以上规律，直接写出，从－3.9到3.9有7个整数，从－10.1到10.1有________个整数；(3)在单位长度是1 cm 的数轴上任意画一条长为1 000 cm 的线段AB ，线段AB 盖住的整点最多有多少个？专题课4 有理数的加减运算技巧有理数的加减运算的简便方法归纳 方法1 相反数结合法【例1】 计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4).方法2 同号结合法——把正数和负数分别结合相加 【例2】 计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.方法3 同分母结合法 【例3】 计算：(1)－23 －35 ＋78 －13 －25 ＋18 ；(2)－479 －(－315 )－(＋229 )＋(－615 ).方法4 凑整结合——分数相加，把相加得整数的数先结合相加 【例4】 计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18 |＋78 .方法5 分解——将一个数拆分成两个数的和或差 【例5】 计算：－156 ＋(－523 )＋2434 ＋312 .方法6 裂项相消法【例6】 观察下列各式：12 ＝11×2 ＝1－12 ，16 ＝12×3 ＝12 －13 ，112 ＝13×4 ＝13 －14 ，…，根据规律完成下列各题． (1)19×10＝________； (2)计算12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋…＋19 900的值为________．易错点 分解带分数时易弄错符号【例7】 计算：634 ＋313 －514 －312 ＋123 .强化训练 计算：(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；(2)－9＋6－(＋11)－(－15)；(3)3.5－4.6＋3.5－2.4；(4)12 ＋(－23 )＋45 ＋(－12 )＋(－13 )；(5)－478 －(－512 )＋(－412 )－318 ；(6)0.25＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512 )；(7)|－12 |－(－2.5)－(－1)－|0－212 |；(8)0＋1－[(－1)－(－37 )－(＋5)－(－47 )]＋|－4|；(9)－205＋40034 ＋(－20423 )＋(－112 )；(10)－12 －16 －112 －120 －130 －142 －156 －172 ；(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.专题课5 有理数的混合运算技巧有理数混合运算的简便方法归纳 方法1 运用乘法的交换律和结合律【例1】 计算：531 ×(－29 )×(－2115 )×(－412 ).方法2 运用乘法对加法的分配律 【例2】 计算：(1)－16×(34 －78 ＋12 )＋(－1)2020.(2)391314 ×(－14)；方法3 逆用乘法对加法的分配律【例3】 计算：4×(－367 )－3×(－367 )－6×367 .方法4 除法变乘法，再利用乘法对加法的分配律 【例4】 计算：(113 －58 ＋712 )÷(－124 ).强化训练计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算) (1)－0.75×(－112 )÷(－214 )；(2)－(3－5)×32÷(－1)3；(3)(－1.5)×45 ÷(－25 )×34 ；(4)－14－(12 －23 ＋14 )×12；(5)(－5)÷(－127 )×(－214 )÷7；(6)1318 ÷(－7)；(7)(－5)－(－5)×110 ÷110 ×(－5)；(8)2×(－137 )－234 ×13＋(－137 )×5＋14 ×(－13)；(9)12.5×6.787 5×18 ＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×18 ；(10)－14－(－512 )×411 ＋(－2)3÷|－32＋1|；(11)1－(－112 )÷(12 －14 －16 )；(12)1－0.52 －|0.5－23 |÷13 ×|－2－(－3)2|；(13)[(－1)2 021－(32 －56 －19 )×18]÷|－22|.2021-2022学年北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算章末专题复习练习题专题课1绝对值的应用类型1绝对值的非负性①|a|≥0.①若|a|＋|b|＝0，则a＝b＝0.1．若|x|＝x，则x的取值范围是( C )A．x＞0 B．x≤0 C．x≥0 D．x＜02．若|x－2|＝2－x，则x的取值范围是x≤2．3．已知|x－3|＋|y－1|＝0，求2x＋3y的值．解：因为|x－3|和|y－1|均为非负数，即|x－3|≥0, |y－1|≥0，又因为|x－3|＋|y－1|＝0，所以|x－3|＝0，|y－1|＝0.所以x－3＝0，y－1＝0.所以x＝3，y＝1.所以2x＋3y＝2×3＋3×1＝9.4．已知有理数|x－2|与|y－3|互为相反数，求x＋y＋xy的值．解：因为|x－2|与|y－3|互为相反数，所以|x－2|＝－|y－3|.所以|x－2|＋|y－3|＝0.所以x－2＝0，y－3＝0.所以x＝2，y＝3.所以x＋y＋xy＝2＋3＋2×3＝11.类型2 绝对值的最值问题5．当a ＝2时，|2－a |＋2会有最小值，且最小值是2． 6．当b ＝12 时，5－|2b －1|会有最大值，最大值是5．7．已知x 为有理数，则|x －5|＋|x －3|的最小值是2．8．同学们都知道：|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可以理解成5和－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：(1)若|x －2|＝5，则x ＝7或－3；(2)由以上探索猜想对于任何有理数x ，|x －3|＋|x －6|有最小值，请写出当x 在什么范围时|x －3|＋|x －6|有最小值，并求出最小值；(3)当x 取何值时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值是多少？ 解：(2)当3≤x ≤6时，|x －3|＋|x －6|有最小值，最小值为3. (3) 当x ＝2时，|x －2|＋|x －(－3)|＋|x －4|有最小值，最小值为7.专题课2 有理数的大小比较类型1 利用数轴比较有理数的大小1．如图，数轴上的四个点分别表示有理数a ，b ，c ，d ，则下列说法正确的是( C )A ．a >bB ．c <0C ．b <cD ．－1>d2．已知有理数在数轴上对应的点如图所示，则a ，－a ，－1，1的大小关系是( A )A ．a ＜－1＜1＜－aB ．－a ＜－1＜a ＜1C ．a ＜－1＜－a ＜1D ．－a ＜－1＜1＜a 3．大于－2.5而小于3.5的整数共有( A )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个4．已知a ，b 两数在数轴上的位置如图所示，试在数轴上找出表示－a ，－b 的点，并用“＜”连接a ，b ，－a ，－b .解：－a ，－b 对应的点如图所示． 由数轴上点的位置可得－b ＜a ＜－a ＜b .5．在数轴上表示下列各数，并把这些数用“＞”连接起来： 3．5，3.5的相反数，－12 ，绝对值等于3的数，最大的负整数．解：各数分别为：3.5，－3.5，－12，±3，－1.在数轴上表示如图：这些数由大到小用“>”连接为：3.5＞3＞－12 ＞－1＞－3＞－3.5.类型2 利用比较大小的法则比较有理数的大小 6．下列各数中：－1，0，12，0.5，最小的数是( D )A ．0.5B ．0C ．12D ．－1 7．下列比较大小结果正确的是( D )A ．－3＜－4B ．－(－3)＜|－3|C ．－12 ＞－13D ．|－16 |＞－178．比较大小：1100 ＞－0.009；－2 0192 020 ＞－2 0202 019 .9．已知数：0，－2，1，－3，5.用“＞”把各数连接起来． 解：5＞1＞0＞－2＞－3.类型3 利用绝对值比较大小 10．比较下列各对数的大小： (1)－0.1与－0.2；解：因为|－0.1|＝0.1，|－0.2|＝0.2，且0.1＜0.2，所以－0.1＞－0.2.(2)－45 与－56；解：因为|－45 |＝45 ＝2430 ，|－56 |＝56 ＝2530 ，且2430 <2530 ， 所以－45 >－56 .(3)－821 与－|－17 |.解：－|－17 |＝－17.因为|－821 |＝821 ，|－17 |＝17 ＝321 ，且821 ＞321 ， 所以－821 ＜－|－17 |.类型4 利用特殊值比较有理数的大小11．如图，数轴上的点表示的有理数是a ，b ，则下列式子正确的是( B )A ．－a ＜bB ．a ＜bC ．|a |＜|b |D ．－a ＜－b 12．如果a >0，b <0，a <|b |，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( A ) A ．－b >a >－a >b B ．a >b >－a >－b C ．－b >a >b >－a D ．b >a >－b >－a专题课3 一线串起有理数类型1 数轴与有理数1．数轴上，如果表示数a 的点在原点的左边，那么a 是( B )A ．正数B ．负数C ．零D ．以上皆有可能2．点M 为数轴上表示－2的点，将点M 沿数轴向右平移5个单位到点N ，则点N 表示的数是( A )A ．3B ．5C ．－7D ．3或－7【变式】 在数轴上，点A ，B 分别表示数a ，2，若将点B 在数轴上平移3个单位长度后与点A 重合，则数a 为( C )A ．5B ．－1C ．5或－1D ．5或－2 3．在数轴上，点A 表示数－4，距A 点3个单位长度的点表示的数是－7或－1． 4．请在数轴上表示下列各数：－|－3|，4，－1.5，－5，212 并将它们用“＞”连接起来，并回答表示最大数与最小数两点之间相距多少个单位长度？ 解：如图所示．4＞212＞－1.5＞－|－3|＞－5.最大数与最小数两点之间相距9个单位长度．5．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A ，再向右爬了2个单位长度到达点B ，然后又向左爬了10个单位长度到达点C .(1)画出数轴，标出A ，B ，C 三点在数轴上的位置，并写出A ，B ，C 三点表示的数； (2)根据点C 在数轴上的位置，点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？(3)若蚂蚁从点D 出发，先向右爬了7个单位长度，再向左爬了4个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点D 表示的数． 解：(1)如图：A ，B ，C 三点表示的数分别为4，6，－4.(2)点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了4个单位长度得到的．(3)从原点向右爬4个单位长度，再向左爬7个单位长度，可以到D ，结合数轴可得，点D 表示的数为－3.类型2数轴与相反数6．已知数轴上A，B两点间的距离是6，它们分别表示的两个数a、b互为相反数(a＞b)，那么a＝3，b＝－3．7．在数轴上，点A表示1，点B、点C所表示的数互为相反数，且点C与点A间的距离为3，则点B所表示的数是2或－4．8．小明做题时，画了一个数轴，在数轴上原有一个点A，其表示的数是－3，由于粗心，把数轴的原点标错了位置，使点A正好落在了－3的相反数的位置，想想，要把数轴画正确，原点要向哪个方向移动几个单位长度？( A )A．向右移6个单位长度B．向右移3个单位长度C．向左移6个单位长度D．向左移3个单位长度9．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题：(1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？(2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？解：(1)点C表示的数是－1.(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是－4.5.类型3数轴与绝对值10．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中所对应的数的绝对值最大的点是( D )A．点A B．点B C．点C D．点D 11．如图，已知数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是( C )A ．－4B ．0C ．－2D ．412．已知a ，b 是不为0的有理数，且|a |＝－a ，|b |＝b ，|a |>|b |，那么用数轴上的点来表示a ，b 时，正确的是( C )13．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，则a ＝2或－2，b ＝3．14．如图，奥运福娃在5×5的方格(每小格边长为1 m)上沿着网格线运动．贝贝从A 处出发去寻找B ，C ，D 处的其他福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A 到B 记为：A →B (＋1，＋4)，从B 到A 记为：B →A (－1，－4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中(1)B →D (＋3，－2)，C →A (－3，－4)；(2)若贝贝的行走路线为A →B →C →D ，请计算贝贝走过的路程．解：|＋1|＋|＋4|＋|＋2|＋|0|＋|＋1|＋|－2|＝10(米).答：贝贝走过的路程为10米．类型4 利用数轴探究问题15．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：(1)已知点A ，B ，C 表示的数分别为1，－52，－3，观察数轴，与点A 的距离3的点表示的数是4或－2，A ，B 两点之间的距离为3.5；(2)以点A 为分界点，把数轴折叠，与点B 重合的点表示的数是4.5；(3)若将数轴折叠，使得A 点与C 点重合，则与B 点重合的点表示的数是0.5；若此数轴上M ，N 两点之间的距离为11(M 在N 的左侧)，且当A 点与C 点重合时，M 点与N 点也恰好重合，则点M 表示的数是－6.5，点N 表示的数是4.5．16．(1)借助数轴，回答下列问题．①从－1到1有3个整数，分别是－1，0，1；①从－2到2有5个整数，分别是－2，－1，0，1，2；①从－3到3有7个整数，分别是－3，－2，－1，0，1，2，3；①从－100到100有201个整数；(2)根据以上规律，直接写出，从－3.9到3.9有7个整数，从－10.1到10.1有21个整数；(3)在单位长度是1 cm的数轴上任意画一条长为1 000 cm的线段AB，线段AB盖住的整点最多有多少个？解：依题意，得①当线段AB起点在整点时覆盖1 001个数；①当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖1 000个数．综上所述，线段AB盖住的整点最多有1 001个．专题课4有理数的加减运算技巧有理数的加减运算的简便方法归纳方法1相反数结合法【例1】计算：(－2)＋3＋1＋(－3)＋2＋(－4).解：原式＝[(－2)＋2]＋[3＋(－3)]＋1＋(－4)＝0＋0＋1＋(－4)＝－3.方法2同号结合法——把正数和负数分别结合相加【例2】计算：(＋9)－(＋10)＋(－2)－(－8)＋3.解：原式＝9－10－2＋8＋3＝(9＋8＋3)－(10＋2)＝20－12＝8.方法3同分母结合法【例3】计算：(1)－23 －35 ＋78 －13 －25 ＋18； 解：原式＝(－23 －13 )＋(－35 －25 )＋(78 ＋18) ＝－1－1＋1＝－1.(2)－479 －(－315 )－(＋229 )＋(－615). 解：原式＝[－479 －(＋229 )]＋[－(－315 )＋(－615)] ＝－7－3＝－10.方法4 凑整结合——分数相加，把相加得整数的数先结合相加【例4】 计算：|－0.75|＋(－3)－(－0.25)＋|－18 |＋78. 解：原式＝0.75－3＋0.25＋18 ＋78＝(0.75＋0.25)＋(18 ＋78)－3 ＝1＋1－3＝－1.方法5 分解——将一个数拆分成两个数的和或差【例5】 计算：－156 ＋(－523 )＋2434 ＋312. 解：原式＝(－1－56 )＋(－5－23 )＋(24＋34 )＋(3＋12) ＝[(－1)＋(－5)＋24＋3]＋[(－56 )＋(－23 )＋34 ＋12] ＝21＋(－14) ＝2034.方法6 裂项相消法【例6】 观察下列各式：12 ＝11×2 ＝1－12 ，16 ＝12×3 ＝12 －13 ，112 ＝13×4 ＝13 －14，…，根据规律完成下列各题．(1)19×10 ＝19 －110 ； (2)计算12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋…＋19 900 的值为99100 ．易错点 分解带分数时易弄错符号【例7】 计算：634 ＋313 －514 －312 ＋123. 解：原式＝6＋34 ＋3＋13 －5－14 －3－12 ＋1＋23＝(6＋3－5－3＋1)＋(34 ＋13 －14 －12 ＋23) ＝2＋1＝3.强化训练计算：(1)(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)；解：原式＝－7－5－4＋10＝－6.(2)－9＋6－(＋11)－(－15)；解：原式＝－9＋6－11＋15＝(－9－11)＋(6＋15)＝－20＋21＝1.(3)3.5－4.6＋3.5－2.4；解：原式＝(3.5＋3.5)＋(－2.4－4.6)＝7－7＝0.(4)12 ＋(－23 )＋45 ＋(－12 )＋(－13)； 解：原式＝[12 ＋(－12 )]＋[(－23 )＋(－13 )]＋45＝0＋(－1)＋45＝－15.(5)－478 －(－512 )＋(－412 )－318； 解：原式＝－478 ＋512 －412 －318＝(－478 －318 )＋(512 －412) ＝－8＋1＝－7.(6)0.25＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512)； 解：原式＝14 ＋112 ＋(－23 )－14 ＋(－512) ＝(14 －14 )＋[112 ＋(－23 )＋(－512)] ＝－1.(7)|－12 |－(－2.5)－(－1)－|0－212|； 解：原式＝12 ＋2.5＋1－212＝12 ＋1＋(2.5－212) ＝112.(8)0＋1－[(－1)－(－37 )－(＋5)－(－47)]＋|－4|； 解：原式＝1－[(－1)＋37 －5＋47]＋4 ＝1－[(－1＋37 ＋47)－5]＋4 ＝10.(9)－205＋40034 ＋(－20423 )＋(－112)； 解：原式＝(－205)＋400＋34 ＋(－204)＋(－23 )＋(－1)＋(－12) ＝(400－205－204－1)＋(34 －23 －12) ＝－10＋(－512) ＝－10512.(10)－12 －16 －112 －120 －130 －142 －156 －172； 解：原式＝－(12 ＋16 ＋112 ＋120 ＋130 ＋142 ＋156 ＋172) ＝－(1－12 ＋12 －13 ＋13 －14 ＋14 －15 ＋15 －16 ＋16 －17 ＋17 －18 ＋18 －19 ) ＝－(1－19) ＝－89.(11)1－2－3＋4＋5－6－7＋8＋…＋97－98－99＋100.解：原式＝(1－2)＋(－3＋4)＋(5－6)＋(－7＋8)＋…＋(97－98)＋(－99＋100)＝－1＋1－1＋1－…－1＋1＝0.专题课5 有理数的混合运算技巧有理数混合运算的简便方法归纳方法1 运用乘法的交换律和结合律【例1】 计算：531 ×(－29 )×(－2115 )×(－412). 解：原式＝－531 ×29 ×3115 ×92＝－(531 ×3115 )×(29 ×92) ＝－13×1 ＝－13.方法2 运用乘法对加法的分配律【例2】 计算：(1)－16×(34 －78 ＋12)＋(－1)2020. 解：原式＝－16×34 ＋16×78 －16×12＋1 ＝－12＋14－8＋1＝－5.(2)391314×(－14)； 解：原式＝(40－114)×(－14) ＝40×(－14)－114×(－14) ＝－560＋1＝－559.方法3 逆用乘法对加法的分配律【例3】 计算：4×(－367 )－3×(－367 )－6×367. 解：原式＝－367×(4－3＋6) ＝－27.方法4 除法变乘法，再利用乘法对加法的分配律【例4】 计算：(113 －58 ＋712 )÷(－124). 解：原式＝(43 －58 ＋712)×(－24) ＝43 ×(－24)－58 ×(－24)＋712×(－24) ＝－32＋15－14＝－31.强化训练计算：(能用简便方法的尽量用简便方法计算)(1)－0.75×(－112 )÷(－214)； 解：原式＝－34 ×(－32 )×(－49) ＝－12.(2)－(3－5)×32÷(－1)3；解：原式＝－(－2)×9÷(－1)＝－2×9÷1＝－18.(3)(－1.5)×45 ÷(－25 )×34； 解：原式＝32 ×45 ×52 ×34＝94.(4)(2020·成都成华区期末)－14－(12 －23 ＋14)×12； 解：原式＝－1－12 ×12＋23 ×12－14×12 ＝－1－6＋8－3＝－2.(5)(－5)÷(－127 )×(－214)÷7； 解：原式＝－5×79 ×94 ×17＝－54.(6)1318÷(－7)； 解：原式＝1318 ×(－17) ＝(14－78 )×(－17) ＝－2＋18＝－178.(7)(－5)－(－5)×110 ÷110×(－5)； 解：原式＝(－5)－(－5)×110×10×(－5) ＝－5－25＝－30.(8)2×(－137 )－234 ×13＋(－137 )×5＋14×(－13)； 解：原式＝－137 ×(2＋5)－13×(234 ＋14) ＝－107×7－13×3 ＝－10－39＝－49.(9)12.5×6.787 5×18 ＋1.25×678.75×0.125＋0.125×533.75×18； 解：原式＝(12.5×6.787 5＋1.25×678.75＋0.125×533.75)×18＝[125×(0.678 75＋6.787 5＋0.533 75)]×18＝125×8×18＝125.(10)－14－(－512 )×411＋(－2)3÷|－32＋1|； 解：原式＝－1＋112 ×411－8÷8 ＝－1＋2－1＝0.(11)1－(－112 )÷(12 －14 －16)； 解：原式＝1＋112 ÷(612 －312 －212) ＝1＋112 ÷112＝1＋1＝2.(12)1－0.52－|0.5－23 |÷13 ×|－2－(－3)2|； 解：原式＝－4－16×3×11 ＝－4－112＝－192.(13)[(－1)2 021－(32 －56 －19 )×18]÷|－22|.解：原式＝[(－1)－32 ×18＋56 ×18＋19×18]÷4 ＝(－1－27＋15＋2)÷4 ＝(－11)÷4＝－114.。
一、选择题1.在运用有理数加法法则求两个有理数的和时，下列的一些思考步骤中最先进行的是()A．求两个有理数的绝对值，并比较大小B．确定和的符号C．观察两个有理数的符号，并作出一些判断D．用较大的绝对值减去较小的绝对值2.如图，点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别为a，b，有以下结论：甲：b−a<0．乙：a+b>0．丙：a<∣b∣．丁：ab>∣ab∣，其中结论正确的是( )A．甲、乙B．甲、丙C．丙、丁D．乙、丁3.2019年世界超高清视频产业发展大会在广州召开，到2022年我国超高清视频产业规模将超过4万亿元．4万亿用科学记数法表示为( )A．4×104B．4×108C．4×1012D．4×10134.有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A．m<−1B．n>3C．m<−n D．m>−n5.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是( )A．a+b>a−b B．ab>0C．∣b−1∣<1D．∣a−b∣>16.在数轴上有两个点，分别表示数x和y，已知∣x∣=1，且x>0，∣y+1∣=4，那么这两个点之间距离为( )A．2或6B．5或3C．2D．37.数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是( )A．a+b B．a−b C．ab D．∣a∣−b8.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10⋯这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16⋯ 这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．13=3+10B ．25=9+16C ．36=15+21D ．49=18+319. 已知 a ，b ，c 为有理数，且 a +b +c =0，b ≥−c >∣a ∣，且 a ，b ，c 与 0 的大小关系是 ( ) A ． a <0，b >0，c <0 B ． a >0，b >0，c <0 C ． a ≥0，b <0，c >0D ． a ≤0，b >0，c <010. 一串数字的排列规律是：第一个数是 2，从第二个数起每一个数与前一个数的倒数之和为 1，则第 2020 个数是 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． −1 D ． 12二、填空题11. 定义一种新运算：a ⋇b ={a −b,a ≥b3b,a <b ，则当 x =3 时，2⋇x −4⋇x 的结果为 ．12. 在数轴上将点 A 移动 3 个单位长度恰好到达 −2 的位置，则点 A 表示的数是 ．13. 代数式 ∣x −2018∣+5 的最小值是 ．14. 定义新运算：对任意有理数 a ，b ，c ，都有 a ∗b ∗c =∣a−b−c∣+a+b+c2．例如：(−1)∗2∗3=∣−1−2−3∣+(−1)+2+32=5．将 −716，−616，−516，−416，−316，−216，−116，816，916，1016，1116，1216，1316，1416，1516这 15 个数分成5 组，每组 3 个数，进行 a ∗b ∗c 运算，得到 5 个不同的结果，那么 5 个结果之和的最大值是 ．15. 数轴上点 M 表示有理数 −3，将点 M 向右平移 2 个单位长度到达点 N ，点 E 到点 N 的距离为 4，则点 E 表示的有理数为 ．16. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．17. 已知 a ，b ，c 为有理数，且满足 abc <0，a +b +c =0，则 ∣a∣b+c+∣b∣a+c+∣c∣b+a的值为 ．三、解答题18. 在数轴上把下列各数表示出来，并用“<”连接各数．23，−∣−1∣，112，0，−(−3.5)．19. 已知六（2）班有班费 300 元，收入记为正，支出记为负，生活委员的记录为：+50.5 元，−15.4 元，−5 元，则现在还有多少班费？20. 观察下列各式：−1×12=−1+12；−12×13=−12+13； −13×14=−13+14； ⋯．(1) 你发现的规律是 （用含 n 的式子表示）．(2) 用以上规律计算：(−1×12)+(−12×13)+(−13×14)+⋯+(−12017×12018)．21. 完成下列各题．(1) 19−9÷(−3)×(−13)．(2) −14+16÷(−2)3×∣−3−1∣．22. 已知 m 和 n 互为相反数，p 和 q 互为倒数，a 的绝对值是 2，求 m+n2000a −2004pq +14a 2 的值．23.如图：有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简下列各式：(1) ∣a∣=，∣b∣=，∣c∣=，∣a+b∣=，∣b−c∣=；(2) ∣a+b∣+∣b−c∣．24.如图，四边形AOBC是正方形，点C的坐标是(8√2,0)．(1) 正方形AOBC的边长为，点A的坐标是；(2) 将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45∘，点A，B，C旋转后的对应点为Aʹ，Bʹ，Cʹ，求点Aʹ的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；(3) 动点P从点O出发，沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q从点O出发，沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t秒，当它们相遇时同时停止运动，当△OPQ为等腰三角形时，求出t的值（直接写出结果即可）．25.已知：△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，a是最小的合数，b，c满足等式：∣b−5∣+(c−6)2=0，点P是△ABC的边上一动点，点P从点B开始沿着△ABC的边按BA→AC→CB顺序顺时针移动一周，回到点B后停止，移动的路程为S，如图1所示．(1) 试求出△ABC的周长；(2) 当点P移动到AC边上时，化简：∣S−4∣+∣3S−6∣+∣4S−45∣．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握加法法则是解题的关键．【解析】解：在运用有理数加法法则求两个有理数的和时，思考步骤中最先进行的是：观察两个有理数的符号，属于同号还是异号；其次是确定和的符号；然后求两个有理数的绝对值，并比较大小，最后是用较大的绝对值减去较小的绝对值，故选：C．【点评】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键．2. 【答案】B【解析】∵b<a，∴b−a<0，故甲正确；∵b<−2，0<a<2，∴a+b<0；故乙错误；∵b<−2，0<a<2，∴∣b∣>2，∴a<∣b∣，故丙正确；∵b<0，a>0，∴ab<0，∴ab<∣ab∣，故丁错误；∴正确的是：甲、丙．3. 【答案】C4. 【答案】D【解析】由数轴可得，−1<m<0<2<n<3，故选项A错误，选项B错误，∴m>−n，故选项C错误，选项D正确．5. 【答案】D【解析】由题可知0<a<1，正数，b<−1，负数；A．a+b<0，a−b>0，∴a+b<a−b，故A错误；B．a，b异号，ab<0，故B错误；C．b−1<−2，∣b−1∣>2>1，故C错误；D．a>0，−b>1，∣a−b∣>1，故D正确．故选D．6. 【答案】A【解析】∵∣x∣=1，且x>0，∴x=1，∵∣y+1∣=4，∴y=−5或3，∴这两个点之间距离为1−(−5)=6或3−1=2．7. 【答案】A【解析】∵a<a+b，∴b>0．∵a+b<b，∴a<0．∵AM>BM，∴∣a+b−a∣>∣a+b−b∣，∴∣b∣>∣a∣．∵a<0，b>0，∣b∣>∣a∣，A．∵a<0，b>0，∣b∣>∣a∣，a+b>0，故正确；B．∵a<0，b>0，a−b<0，故不正确；C．∵a<0，b>0，ab<0，故不正确；D．∵a<0，b>0，∣b∣>∣a∣，∣a∣−b<0，故不正确．8. 【答案】C【解析】显然选项A中13不是“正方形数”；选项B、D中等式右侧并不是两个相邻“三角形数”之和．9. 【答案】D【解析】∵∣a∣≥0，则b≥−c>∣a∣≥0，b>0，−c>0，即c<0，a+b+c=0，即a+b=−c≤b，即a≤0，∴a≤0，b>0，c<0．10. 【答案】A【解析】第一个数是2，倒数是1，2，倒数是2，第二个数是12第三个数是−1，倒数是−1．第四个数是2．由规律可知，这串数由 2，12，−1 循环出现 2020÷3=673⋯1， ∴ 第 2020 个数是 2．二、填空题 11. 【答案】 8【解析】当 x =3 时，原式=2⋇3−4⋇3=9−(4−3)=9−1=8.12. 【答案】 1 或 −5【解析】根据数轴上距离某点 3 个单位长度的数有两个来分情况讨论：若点 A 在 −2 的左边，移动 3 个单位长度恰好到达 −2 的位置，此时点 A 表示的数是 −5； 若点 A 在 −2 的右边，移动 3 个单位长度恰好到达 −2 的位置，此时点 A 表示的数是 1， ∴ 点 A 表示的数为 1 或 −5．13. 【答案】 5【解析】 ∵∣x −2018∣≥0， ∴∣x −2018∣+5≥5，∴ 代数式 ∣x −2018∣+5 的最小值是 5．14. 【答案】158【解析】令 b ，c 取最大的正数 1416，1516，a 取最小的负数 −716， ∴a ∗b ∗c =∣∣−716−1416−1516∣∣−716+1416+15162=158．15. 【答案】 −5 或 3【解析】 ∵ 点 M 表示有理数 −3，将点 M 向右平移 2 个单位长度到达点 N ， ∴ 点 N 表示 −3+2=−1，点 E 在点 N 的左边时，−1−4=−5， 点 E 在点 N 的右边时，−1+4=3， 综上所述，点 E 表示的有理数是 −5 或 3．16. 【答案】 1838【解析】 2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838．17. 【答案】−1【解析】不妨设ab>0，c<0，∵a+b+c=0，∴a+b>0，∴a>0，b>0，∴原式=a−a +b−b+−c−c=−1−1+1=−1.故答案为：−1．三、解答题18. 【答案】如图所示：观察数轴可知：−∣−1∣<0<23<112<−(−3.5)．19. 【答案】300+50.5−15.4−5=330.1（元），答：现在还有330.1元班费．20. 【答案】(1) −1n ×1n+1=−1n+1n+1(2) 原式=−1+12−12+13−13+14−⋯−12017+12018 =−1+12018=−20172018.【解析】(1) ∵第1个式子为−1×12=−1+12第2个式子为−12×13=−12+13第3个式子为-13×14=−13+14⋯∴第n个式子为−1n ×1n+1=−1n+1n+1．21. 【答案】(1)19−9÷(−3)×(−13)=19−9×(−13)×(−13)=19−9×19=19−1=18.(2)−14+16÷(−2)3×∣−3−1∣=−1+16÷(−8)×4=−1+16×(−18)×4=−1+(−2)×4=−1−8=−9.22. 【答案】∵m和n互为相反数，p和q互为倒数，a的绝对值是2，∴m+n=0，pq=1，a=±2，a2=4．∴ m+n2000a −2004pq+14a2=0−2004×1+14×4=−2003.23. 【答案】(1) −a；b；−c；−(a+b)；b−c(2) −a−c．24. 【答案】(1) 8；(4√2,4√2)(2) 如图．∵四边形AOBC是正方形，∴∠AOB=90∘，∠AOC=45∘．∵将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45∘，∴点Aʹ落在x轴上．又∵正方形的边长为8，∴OAʹ=OA=8．∴点Aʹ的坐标为(8,0)．∵OC=8√2，∴AʹC=OC−OAʹ=8√2−8．∵四边形OACB，OAʹCʹBʹ是正方形，∴∠OAʹCʹ=90∘，∠ACB=90∘，∴∠CAʹE=90∘，∠OCB=45∘．∴∠AʹEC=∠OCB=45∘．∴AʹE=AʹC=8√2−8．∴S OBEAʹ=S△OBC−S△AʹCE=12OB2−12AʹE2=12×82−12(8√2−8)2=64√2−64.∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为64√2−64．(3) t=8或t=163．25. 【答案】(1) 由题意得a=4，b=5，c=6，所以，C=15．(2) 由题意得6≤S≤11，原式=S−4+3S−6+45−4S=35．11。
一、选择题1. 对于任意非零实数 a ，b ，定义运算“⊕”，使下列式子成立；1⊕2=−32，2⊕1=32，(−2)⊕5=2110，5⊕(−2)=−2110，⋯，则 (−3)⊕(−4)= ( ) A ．712B ． −712C ．2512D ． −25122. 如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点 A ，B ，C ，D 对应的数分别是数 a ，b ，c ，d ，且 d −2a =11，那么数轴上原点的位置应在 ( )A ．点 AB ．点 BC ．点 CD ．点 D3. 若 √x −1+(y +2)2=0，则 (x +y )2020 等于 ( ) A ． −1 B ． 1C ． 32020D ． −320204. 下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为 ( ) 1429 26320 38435⋯⋯⋯a18b xA ． 135B ． 153C ． 170D ． 1895. 如图，数轴上 A ，B ，C 三点所表示的数分别为 a ，b ，c ，且 AB =BC ．如果有 a +b <0，b +c >0，a +c <0，那么该数轴原点 O 的位置应该在 ( )A ．点 A 的左边B ．点 A 与 B 之间C ．点 B 与 C 之间D ．点 C 的右边6. 定义一种新运算：a ⋇b ={a −b,a ≥b3b,a <b ，则 2⋇3−4⋇3 的值 ( )A ． 5B ． 8C ． 7D ． 67. 已知 4−∣5−b∣−∣a +2∣=∣4+a∣+∣b −3∣，则 ab 的最大值是 ( ) A ． −12 B ． 20 C ． −20 D ． −68. 如图所示，数轴上点 A ，B 对应的有理数分别为 a ，b ，下列说法正确的是 ( )A ． ab >0B ． a +b >0C ． ∣a∣−∣b∣<0D ． a −b <09. 王老师有一个实际容量为 1.8 GB (1 GB =220 KB ) 的 U 盘，内有三个文件夹．已知课件文件夹占用了 0.8 GB 的内存，照片文件夹内有 32 张大小都是 211 KB 的旅行照片，音乐文件夹内有若干首大小都是 215 KB 的音乐．若该 U 盘内存恰好用完，则此时文件夹内有音乐 ( ) 首． A ． 28 B ． 30 C ． 32 D ． 3410. 一串数字的排列规律是：第一个数是 2，从第二个数起每一个数与前一个数的倒数之和为 1，则第 2020 个数是 ( ) A ． 2B ． −2C ． −1D ． 12二、填空题11. 对于正整数 n ，定义 F (n )={n 2,n <10f (n ),n ≥10，其中 f (n ) 表示 n 的首位数字、末位数字的平方和．例如：F (6)=62=36，F (123)=12+32=10．规定 F 1(n )=F (n )，F k+1(n )=F(F (n ))（k 为正整数），例如，F 1(123)=F (123)=10，F 2(123)=F(F 1(123))=F (10)=1．按此定义，则由 F 1(4)= ，F 2019(4)= ．12. 有理数 a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：−∣c −a ∣−∣b −a ∣+∣c ∣= ．13. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的，绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到野果 个．14. 定义新运算：对任意有理数 a ，b ，c ，都有 a ∗b ∗c =∣a−b−c∣+a+b+c2．例如：(−1)∗2∗3=∣−1−2−3∣+(−1)+2+32=5．将 −716，−616，−516，−416，−316，−216，−116，816，916，1016，1116，1216，1316，1416，1516 这 15 个数分成 5 组，每组 3 个数，进行 a ∗b ∗c 运算，得到 5 个不同的结果，那么 5 个结果之和的最大值是．15.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个．×1×22，16.已知：13=1=14×22×32，13+23=9=14×32×42，13+23+33=36=14×42×52，13+23+33+43=100=14⋯根据上述规律计算：13+23+33+⋯+193+203=．17.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为个．三、解答题18.计算：÷(−3)2]；(1) −3−[−5+15×35(2) −12022+(−2)×(−3)2−(−2)3÷4．19.已知抛物线G:y=x2−2tx+3( t为常数）的顶点为P．(1) 求点P的坐标；(用含t的式子表示)(2) 在同一平面直角坐标系中，存在函数图象H，点A(m,n1)在图象H上，点B(m,n2)在抛物线G上，对于任意的实数m，都有点A，B关于点(m,m)对称．①当t=1时，求图象H对应函数的解析式；②当1≤m≤t+1时，都有n1>n2成立，结合图象，求t的取值范围．20.阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示有理数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系，在数轴上，若点A，B分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为AB=∣a−b∣，反之，可以理解式子∣x−3∣的几何意义是数轴上表示有理数x与有理数3的两点之间的距离．根据上述材料，利用数轴解决下列问题：(1) 若∣x−3∣=2，则x的值为；若∣x−5∣=∣x+1∣，则x的值为‘(2) 当x在什么范围时，∣x−2∣+∣x−5∣有最小值？并求出它的最小值．(3) 若a<2<b，在数轴上是否存在数x，使得∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣的值最小？若存在，请求出最小值及x的值；若不存在，请说明理由．21.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．(1) 直接写出：最小的“和平数”是；最大的“和平数”是．(2) 一个“和平数”，十位数字为方程5x−13=3的解，千位数字与个位数字的比为2:3，百位数字比千位数字小1，求这个“和平数”．(3) 将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”．请直接写出：和是3333的所有“相关和平数”．22.某校初2021届1到4班计划每班购买数量相同的图书布置班级读书角，但是由于种种原因，实际购书量与计划有出入，下表是实际购书情况：班级1班2班3班4班实际购数量(本)3321实际购数量与计划购数量的差值(本)+12−8−9(1) 完成表格；(2) 根据记录的数据可知4个班实际一共购书本？(3) 书店给出两种优惠方案，方案甲：一次购买不少于15本，其中2本书免费；乙方案：如果一次性购书不少于20本，总价9折优惠，假设每本书售价为30元，请你计算初2021届1班实际购书最少花费多少元？23.观察下列两个等式：2−13=2×13+1，5−23=5×23+1，给出定义如下：我们称使等式a−b=ab+1成立的一对有理数对“a，b”为“共生有理数对”，记为(a,b)．”是不是“共生有理数对”；(1) 通过计算判断数对“−4，2”，“7，34(2) 若(3,x)是“共生有理数对”，求x的值；(3) 若(m,n)是“共生有理数对”，则“−n，−m” 共生有理数对”（填“是”或“不是”），并说明理由．24.计算：已知∣m∣=1，∣n∣=4．(1) 当mn<0时，求m+n的值；(2) 求m−n的最大值．25.如图，圆的半径为2个单位长度．数轴上每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分π点处分别标上点A，B，C，D．先让圆周上的点A与数轴上表示−1的点重合．(1) 圆的周长为多少？(2) 若该圆在数轴上向右滚动2周后，则与点A重合的点表示的数为多少？(3) 若将数轴按照顺时针方向绕在该圆上（如数轴上表示−2的点与点B重合，数轴上表示−3的点与点C重合⋯），那么数轴上表示−2018的点与圆周上哪个点重合？答案一、选择题1. 【答案】B【解析】1⊕2=−32=12−221×2，2⊕1=32=22−121×2，(−2)⊕5=2110=(−2)2−52(−2)×5，5⊕(−2)=−2110=52−(−2)25×(−2)，⋯，a⊕b=a2−b2ab，∴(−3)⊕(−4)=(−3)2−(−4)2(−3)×(−4)=−712．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算2. 【答案】C【解析】若原点是A，则a=0，d=7，此时d−2a=7，和已知不符，排除；若原点是点B，则a=−3，d=4，此时d−2a=10，已知不符，排除，若原点是点C，则a=−4，d=3，此时d−2a=11，和已知相符，正确．故数轴的原点应是C点．【知识点】绝对值的几何意义3. 【答案】B【解析】∵√x−1+(y+2)2=0，∴x−1=0，y+2=0，∴x=1，y=−2，∴(x+y)2020=(1−2)2020=1．【知识点】有理数的乘方、算术平方根的性质4. 【答案】C【知识点】有理数的乘法5. 【答案】C【解析】因为AB=BC，a+b<0，b+c>0，a+c<0，所以a<0，b<0，c>0，所以数轴原点O的位置应该在点B与点C之间．故选：C．【知识点】有理数的加法法则及计算、数轴的概念6. 【答案】B【解析】2⋇3−4⋇3 =3×3−(4−3) =9−1=8.【知识点】有理数的乘法7. 【答案】D【解析】4−∣5−b∣−∣a+2∣=∣4+a∣+∣b−3∣即为4=∣5−b∣+∣a+2∣+∣4+a∣+∣b−3∣，由绝对值不等式的性质可得：∣a+2∣+∣a+4∣≥2，∣5−b∣+∣b−3∣≥2，∴−4≤a≤−2，3≤b≤5，∴ab的最大值为−6．【知识点】绝对值的几何意义8. 【答案】D【解析】根据图示，可得a<0<b，而且∣a∣>∣b∣，∵a<0<b，∴ab<0，∴选项A不正确；∵a<0<b，而且∣a∣>∣b∣，∴a+b<0，∴选项B不正确，选项D正确；∵∣a∣>∣b∣，∴∣a∣−∣b∣>0，∴选项C不正确．【知识点】绝对值的几何意义、利用数轴比较大小9. 【答案】B【知识点】有理数的乘方10. 【答案】A【解析】第一个数是2，倒数是12，第二个数是12，倒数是2，第三个数是−1，倒数是−1．第四个数是2．由规律可知，这串数由2，12，−1循环出现2020÷3=673⋯1，∴ 第 2020 个数是 2． 【知识点】倒数二、填空题11. 【答案】 16 ； 58【解析】 F 1(4)=16，F 2(4)=F (16)=12+62=37，F 3(4)=F (37)=32+72=58，F 4(4)=F (58)=52+82=89， F 5(4)=F (89)=82+92=145，F 6(4)=F (145)=12+52=26， F 7(4)=F (26)=22+62=40，F 8(4)=F (40)=42+0=16，⋯ 通过计算发现，F 1(4)=F 8(4)， ∵2019÷7=288⋯3， ∴F 2019(4)=F 3(4)=58． 【知识点】有理数的乘方12. 【答案】 −b【解析】由数轴可知 c <0<a <b ， ∴c −a <0，b −a >0， ∴−∣c −a ∣−∣b −a ∣+∣c ∣=c −a −(b −a )+(−c )=c −a −b +a −c =−b.【知识点】绝对值的几何意义13. 【答案】 1838【解析】由题意可知，题图中从右到左依次排列的绳子分别代表绳结数乘 1，6 的 1 次幂，6 的 2 次幂，6 的 3 次幂，6 的 4 次幂，则她一共采集到野果 2×1+3×62+2×63+1×64=1838（个）．【知识点】有理数的乘方14. 【答案】158【解析】令 b ，c 取最大的正数 1416，1516，a 取最小的负数 −716， ∴a ∗b ∗c =∣∣−716−1416−1516∣∣−716+1416+15162=158．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算15. 【答案】 1838【解析】 2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838． 【知识点】有理数的乘方16. 【答案】44100【解析】∵13=14×12×22，13+23=14×22×32，13+23+33=14×32×42，∴13+23+33+⋯+193+203=14×202×212=44100．【知识点】有理数的乘方17. 【答案】1838【解析】2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6=1838．【知识点】有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1)−3−[−5+15×35÷(−3)2]=−3−(−5+15×35÷9)=−3−(−5+9÷9)=−3−(−5+1)=−3−(−4)=−3+4= 1.(2)−12022+(−2)×(−3)2−(−2)3÷4 =−1+(−2)×9−(−8)÷4=−1+(−18)+2=−17.【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算19. 【答案】(1) y=x2−2tx+3=x2−2tx+t2−t2+3=(x−t)2−t2+3.∴顶点P的坐标为(t,−t2+3)．(2) ①当t=1时，得G的解析式为：y=x2−2x+3，点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2m+3，∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，则点A，B到点(m,m)的距离相等，此三点横坐标相同，有n2−m=m−n1．∴(m2−2m+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+4m−3，由于m为任意实数，令m为自变量x，n1为y.即可得H的解析式为：y=−x2+4x−3；②关于抛物线G的性质：点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2tm+3，由G:y=x2−2tx+3，知抛物线G开口向上，对称轴为x=t，顶点P(t,−t2+3)，且图象恒过点(0,3).∴当t≤x≤t+1时，图象G的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值−t2+4；当x=t时，y取最小值−t2+3；最大值比最小值大1.关于图象H的性质：∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，有n2−m=m−n1，(m2−2tm+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+2tm+2m−3．∴图象H的解析式为：y H=−x2+2tx+2x−3.配方，得y H=−[x−(t+1)]2+(t2+2t−2)∴图象H为一抛物线，开口向下，对称轴为x=t+1，顶点P(t+1,t2+2t−2)，且图象恒过点(0,−3).∴当t≤x≤t+1时，图象H的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值t2+2t−2；当x=t时，y取最小值y=t2+2t−3，即过Q(t,t2+2t−3)；最大值比最小值大1．情况1：当P，Q两点重合，即两个函数恰好都经过(t,t)，(t+1,t+1)时，把(t,t)代入y=x2−2tx+3得t=t2−2t⋅t+3，解得，t=−1+√132或t=−1−√132．分别对应图3，图4两种情形，由图可知，当m=t，或m=t+1时，A与B重合，即有n1=n2，不合题意，舍去；情况2：当点P在点Q下方，即t>−1+√132时，大致图象如图1，当t<−1−√132时，大致图象如图2，都有点A在点B的上方，即n1>n2成立，符合题意；情况3：当点P在点Q上方，即−1−√132<t<−1+√132时，大致图象如图5，图6，当t≤m≤t+1时，存在A在B的下方，即存在n1<n2，不符合题意，舍去；综上所述，所求t的取值范围为：t>−1+√132或t<−1−√132．【知识点】二次函数的顶点、二次函数的最值、二次函数与不等式、y=ax^2+bx+c的图象20. 【答案】(1) 5或1；2(2) 当2≤x≤5时，∣x−2∣+∣x−5∣有最小值，最小值是3，当x>5时，x−2+x−5=2x−7>3，当2≤x≤5时，x−2+5−x=3，当x<2时，2−x+5−x=7−2x>3，故当2≤x≤5时，∣x−2∣+∣x−5∣有最小值，最小值是3．(3) ∵∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣表示数x分别与a，2，b的距离之和，∴x=2时，∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣的值最小，∵a<2<b，∴∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣的最小值是2−a+b−2=b−a．故x=2时，∣x−a∣+2∣x−2∣+∣x−b∣的值最小，最小值是b−a．【解析】(1) ∵∣x−3∣=2，∴x−3=±2，∴x=5或1，∵∣x−5∣=∣x+1∣，∴x=2，故为5或1；2．【知识点】绝对值的几何意义21. 【答案】(1) 1001；9999．(2) x=2；6529．(3) 1212与2121；1221与2112；1203与2130；1230与2103．【知识点】一元一次方程的解、有理数的加法法则及计算22. 【答案】(1) 由于4班实际购入21本书，实际购入数量与计划购入数量的差值=−9,可得计划购入数量=30（本），所以一班实际购入30+12=42本，二班实际购入数量与计划购入数量的差值=33−30=3本，3班实际购入数量=30−8=22本．故答案依次为42，+3，22．(2) 118(3) 如果按甲方案购书，花费=30×38=1140（元）（购买两次），如果按乙方案购书，则共花费=30×42×90%=1134（元）．故按乙方案购入书花费最少为1134元．【解析】(2) 4个班一共购入数量=42+33+22+21=118本，另解：4个班一共购入数量=30×4+12+3−8−9=118．故答案为118．【知识点】有理数减法的应用、有理数乘法的应用、有理数加法的应用23. 【答案】(1) −4−2=−6，−4×2+1=−7，∴−4−2≠−4×2+1，∴“−4，2”不是“共生有理数对”；∵7−34=614，7×34+1=614，∴7−34=7×34+1，∴(7,34)是共生有理数对．(2) 由题意得：3−x=3x+1，解得x=12．(3) 是理由：−n−(−m)=−n+m，−n⋅(−m)+1=mn+1，∵(m,n)是“共生有理数对”，∴m−n=mn+1，∴−n+m=mn+1，∴(−n,−m)是“共生有理数对”．【知识点】有理数的乘法、有理数的减法法则及计算、解常规一元一次方程24. 【答案】(1) 因为∣m∣=1，∣n∣=4，所以m=±1，n=±4，因为mn<0，所以m=1，n=−4或m=−1，n=4，所以m+n=±3．(2) m=1，n=4时，m−n=−3；m=−1，n=−4时，m−n=3；m=1，n=−4时，m−n=5；m=−1，n=4时，m−n=−5；所以m−n的最大值是5．【知识点】有理数的减法法则及计算、有理数的加法法则及计算25. 【答案】(1) 圆的周长=2π⋅2π=4个单位长度．(2) 若该圆在数轴上向右滚动2周后，点A需要滚动8个单位长度，此时与点A重合的点表示的数为：8−1=7．(3) 由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，∵2018÷4=504⋯2，∴表示−2018的点是第505个循环组的第2个数B重合．【知识点】数轴的概念、圆的周长。
