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精品案例高中数学“椭圆的定义与标准方程”教学设计文|景朝英一、教材分析对于本课内容，新课标提出要引导学生经历具体情境，并从中抽象出椭圆产生过程，概括并理解椭圆定义，并掌握标准方程。
椭圆的定义与标准方程的研究方法和之后需要学习的双曲线、抛物线并没有什么区别，而且教材对椭圆研究也非常重视，所以本部分知识起着承上启下的作用。
此外，本节内容还涉及数形结合意识、转化思想等，因此教师在对这部分内容进行教学时需要将这些数学思想融入其中。
二、教学目标1.理解椭圆概念，掌握椭圆标准方程，能够运用坐标法解决几何问题。
2.用坐标法推导椭圆标准方程，锻炼发现、概括、认知规律以及解决实际问题的能力。
3.感受椭圆具有的对称美和简洁美，并增强数形结合思想。
4.培养直观想象、数学建模和数学运算等数学学科素养。
三、教学重点椭圆定义和椭圆两种形式标准方程的理解、掌握，能够运用坐标法解决几何问题。
四、教学难点引导学生经历椭圆标准方程推导过程，培养学生的直观想象、数学建模和数学运算等数学学科素养。
五、学情分析高二学生在之前的学习中已经接触过一些圆锥曲线概念，如圆、椭圆等，但他们的抽象思维能力和数形结合意识还不太强，而椭圆的定义与标准方程这部分内容涉及的概念较为抽象，需要学生具备较强的抽象思维能力，而且本章学习重点是数形结合，需要学生建立代数方程与椭圆之间的联系，所以在本节教学中教师一定要注意这一点。
根据教材内容、学生实际情况以及课本要求，本课教学可采用如下策略：1.用问题探索活动引起学生学习兴趣，促使学生主动思考。
2.借助实验探究活动让学生亲身感受椭圆画图过程，帮助学生更好地理解椭圆定义。
3.引导学生动手、动脑推导椭圆标准方程，帮助学生更深刻地理解概念，掌握其标准方程。
4.引导学生回忆圆方程求解步骤，通过知识迁移建立椭圆直角坐标系，通过列式运算推导出椭圆标准方程。
5.对典型求解椭圆标准方程例题进行变式，引导学生采用不同的求解方法和思路，帮助学生掌握这类习题本质。
【课题】《椭圆的定义与标准方程》【授课类型】新授课【教学目标】1.知识目标掌握椭圆的椭圆的定义与标准方程2.能力目标通过对椭圆的认识及其标准方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力。
3.情感目标通过课堂学生的参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生的审美情趣，培养学生勇于探索的精神。
【重点】椭圆的定义和椭圆的标准方程。
【难点】椭圆的标准方程的推导。
【教学方法】主要采用探究性教学法和启发式教学法。
以启发、引导为主，采用设疑的形式，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力。
【教具】多媒体课件微课【教学过程】[板书设计]课后反思我根据教学大纲，认真设计了教学过程。
借助于微课传媒，在老师的启发引导下，在多媒体课件的辅助下，教学内容由浅入深，循序渐进，贴近学生的认知规律。
但是由于容量大，学生的训练还不充分，在课后具体的解题中，还会出现很多疑问。
需要在以后的教学中更加重视。
《椭圆的定义与标准方程》课后检测题1.在椭圆14922=+y x 中，a= ,b= ,焦点位于 轴上，焦点坐标为 。
2.在椭圆11271622=+y x 中，a= ,b= ,焦点位于 轴上，焦点坐标为 。
3.在椭圆13610022=+y x 上一点p 到焦点1F 的距离为6，则P 到另一焦点2F 的距离为 .4.求适合下列条件的椭圆方程： （1） 、a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上；（2）、b=1，c=3,焦点在y 轴上;（3）、若椭圆满足: a ＝5 , c ＝3 ,求它的标准方程。
椭圆的定义与标准方程教案教案标题：椭圆的定义与标准方程教案目标：1. 理解椭圆的定义及其特征性质。
2. 掌握椭圆的标准方程及其相关参数。
3. 能够应用椭圆的定义和标准方程解决相关问题。
教学准备：1. 教师准备：椭圆的定义、标准方程及其相关性质的教学材料、白板、白板笔、投影仪等。
2. 学生准备：笔、纸、教材等。
教学过程：步骤一：导入新知识（5分钟）1. 教师通过引入一个生活中的例子（如椭圆形的运动轨迹）引起学生对椭圆的兴趣。
2. 引导学生思考并回答问题：“你们对椭圆有什么了解？你们知道椭圆的定义吗？”步骤二：椭圆的定义与特征性质（15分钟）1. 教师向学生介绍椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
2. 教师解释椭圆的特征性质：椭圆的离心率小于1，焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a。
3. 教师通过图示和示例帮助学生理解椭圆的定义和特征性质。
步骤三：椭圆的标准方程（20分钟）1. 教师向学生介绍椭圆的标准方程：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 教师解释标准方程中各参数的含义，并通过示例演示如何确定椭圆的中心、长短半轴等参数。
3. 教师提供一些练习题，让学生通过给定的标准方程确定椭圆的相关参数。
步骤四：应用与解决问题（15分钟）1. 教师提供一些实际问题，引导学生运用椭圆的定义和标准方程解决问题。
2. 学生个别或小组合作完成问题，并展示解决过程和结果。
3. 教师对学生的解答进行点评和总结。
步骤五：课堂小结与作业布置（5分钟）1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生需要掌握的知识点。
2. 布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够了解椭圆的定义和特征性质，并能够应用椭圆的标准方程解决相关问题。
椭圆的定义及标准方程教学目标：1、椭圆是圆锥曲线的一种，是高中数学教学中的重点和难点，所以这部分内容中的知识点学生必须达到理解、应用的水平；2、利用投影、计算机模拟动点的运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的数学想象和抽象思维能力。
教学重点：对椭圆定义的理解。
教学难点：对椭圆定义中两定点之距与定值的关系。
教学过程：（1） 复习提问：动点轨迹的一般求法？（通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内 容与原来所学知识之间的内在联系。
并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。
）（2） 引入举例：椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，行星绕太阳运行的轨道等等； 计算机：动态演示行星运行的轨道。
（进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。
）（3） 教学实施一、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c 表示）常数一般用2a 表示。
（讲解定义时要注意条件：022>>c a ）二：根据定义推导椭圆标准方程： 1：复习求轨迹方程的基本步骤：2：推导：取过焦点21F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴。
设P （x,y ）为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是2c （c>0）. 则：)0,()0,(21c F c F -，又设M 与F 1,F 2距离之和等于2a （常数）{}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴化简，得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得：222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得：12222=+b y a x ，此即为椭圆的标准方程。
椭圆及其标准方程长治八中 李玲一、教学目标 1.知识与技能理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导过程. 2.过程与方法通过椭圆定义概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法——坐标法. 3.情感、态度与价值观通过椭圆定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生研究问题时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范解答，体会运动变化、对立统一的思想. 二、教学重点难点1.重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程.2.难点：椭圆标准方程的推导，椭圆定义中对常数加以限制的原因. 三、教学方法：启发引导，合作探究 四、教具：多媒体、三角板 五、教学过程（一）创设情境，引入概念由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹，太阳系中行星的运行轨道等及现实生活中的多幅椭圆图片引入，让学生从感性上认识椭圆。
（二）实验探究，形成概念动手实验：学生分组动手画出椭圆。
试验一：把一根长为a 2的细绳的两端用图钉分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的是什么图形？ （1）在这个运动过程中，什么是不变的？（2）在上面过程中，你能说出移动的笔尖（动点）满足的几何条件吗？思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 概括椭圆定义引导学生概括椭圆定义椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数的点的轨迹叫椭圆。
（三）归纳定义，完善定义试验二：保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？（学生分组讨论）M 2F 1F当两定点间距离等于线段||AB 长度时的轨迹（为一条线段）和当两定点距离大于线段||AB 长度时的轨迹（不存在），由学生完善椭圆定义中常数的范围。
教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+定义的应用例1.已知定点F 1，F 2 ,且|F 1F 2 |=10，动点M 分别满足下列条件时的轨迹是什么？ （1）|ＭF 1|+|ＭF 2| =10； （2）|ＭF 1|+|ＭF 2| =16； （3）|ＭF 1|+|ＭF 2|=6.（1）因为|ＭF 1|+|ＭF 2|=10= | F 1F 2 | ，所以动点M 的轨迹是线段F 1F 2.（2）因为|ＭF 1|+|ＭF 2| =16>10= | F 1F 2 | ，所以动点M 的轨迹是以F 1 , F 2为焦点的椭圆.（3）因为|ＭF 1|+|ＭF 2| =6<10= | F 1F 2 | ，所以动点M 的轨迹不存在. 变式练习1.若动点M 到定点F 1(-1,0), F 2 (1,0)的距离之和为2，则动点M 的轨迹是（ ） A.椭圆 B.直线F 1F 2C.线段F 1F 2D.线段F 1F 2的垂直平分线 点拨：|ＭF 1|+|ＭF 2| =2= | F 1F 2 |，故M 的轨迹为线段F 1F 2（四）研讨探究，推导方程1、知识回顾：利用坐标法求圆的方程的一般方法和步骤是什么？（1）建系 （2）设点 （3）列式 （4） 化简2、研讨探究问题：如图已知焦点为21,F F 的椭圆，且21F F =2c,对椭圆上任一点M ，有a MF MF 221=+，尝试推导椭圆的方程。
一、教学门标1. 使学生了解椭圆的实际背景，感受椭圆刻画现实世界和在实际问题中的作用.2. 掌握椭圆的定义、标准方程的推导及步骤、标准方程中a 、b 、c 的代数意义、标准方程.3. 掌握直接法求曲线方程，培养学生数形结合数学思想，提高分析问题的能力.4. 营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学.引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美.培 养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦.发展数学的应用意识，认识数学的应用 价值. 二、 教学重点和难点教学重点：椭圆的定义及其标准方程的推导（通过学生自主建立直角坐标系和 对方程的讨论选择突出重点）.教学难点：椭圆概念的形成.通过椭圆的画法设计，标准方程与圆的比较突破 难点.三、 教学过程设计1、设置情景，导入新课椭圆是由圆压扁得到的吗?让学生观察上面的图片，说说这些图片有什么共同点，得出本节课的主题椭圆.2、 引导探究，获得新知问题1：我们看到第四张图片•，椭圆是不是由圆压扁得到的呢？它和圆有关系 吗？（让学生讨论这个问题，并抽一些同学说说讨论的结果.）为了解决这两个问题，先给出一种画椭圆的方法：取一•条一定长的细绳，把它 的两端固定在画图板上的乌和％两点（如下图），当绳长大于K 和％的距离时，用 铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆.我们来看一 看高中数学 椭圆定义及其标准方程万源市第三中学校 王尚莲玻璃餐桌椭圆和圆的画法.（找两个学生上讲台按这个方法画出一个椭圆，之后用几何画板演示画圆的过程和画椭圆的过程）.问题2：这椭圆是怎么画出来的啊？（让学生讨论回答）.问题3：从画法中找出要满足什么样的条件才可以画出一个椭圆呢？（可以提问, 也可以集体回答・）（D 4,%点固定，是定点・（2）MF} + MF2就是细绳的长度.我们来看，因为Fe，M三个点是构成的是一•个三角形所以MF】+MF2大于|F 『2|的长度.让学生根据这些应满足的条件归纳出椭圆的定义来・（引导学生概括椭圆的定义）椭圆的定义：平面内到两定点4,灼的距离之和等于常数（大于尚灼|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距.下面我们来看看，MF】 +MF2小于等于的长度时，M点的轨迹是什么情况呢？（学生思考）结论：若常数等于|F£|,则是线段入己；若常数小于|F£|,则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：此常数大于|^^|.（强调MR+ML是定长但是大于|F禹|）3、深入探索，推导方程接下来你们试试推导椭圆的方程？（简单回顾求圆方程的方法和步骤）（1）建立适半的坐标系，用有序实数对（、,），）表示曲线上任意一点沏的坐标；（2）写出适合条件P（M）;（3）用坐标表示条件P（M）,列出方程；（4）化方程为最简形式.第一步，该如何建立坐标系呢？（学生会说出不同的方案，选取下列方案）以两定点q, %的直线为X 轴，线段的垂直平分线为），轴，建立直角坐标 系.（老师在黑板上画出适当的图，如下图）A（方案一）这样建系很合理.建立坐标系后的片匕坐标分别是氏（-c,O ）,%C,O ）,原则：尽 可能使方程的形式简单、运算简单；（一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所 在的直线作为坐标轴.）为了后面化简方便，我们这里把定长定为2。
《椭圆及其标准方程》教学设计（精选3篇）《椭圆及其标准方程》教学设计篇1一、教材内容分析本节是整个解析几何部分的重要基础学问。
这一节课是在《直线和圆的方程》的基础上，将讨论曲线的方法拓展到椭圆，又是连续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好预备。
它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是同学学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前起后的作用。
二、学情分析高中二班级同学正值身心进展的鼎盛时期，思维活跃，又有了相应学问基础，所以他们乐于探究、敢于探究。
但高中生的规律思维力量尚属阅历型，运算力量不是很强，有待于训练。
基于上述分析，我实行的是“创设问题情景-----自主探究讨论-----结论应用巩固”的一种讨论性教学方法，教学中采纳激发爱好、主动参加、乐观体验、自主探究的学习，形成师生互动的教学氛围。
使同学真正成为课堂的主体。
三、设计思想1、把章头图和引言用微机以影像、录音和图片的形式给出，生动体现出数学的有用性；2、进行分组试验，让同学亲自动手，体验学问的发生过程，并培育团队协作精神；3、利用《几何画板》进行动态演示，增加直观性；四、教学目标1、学问与技能目标：理解椭圆定义、把握标准方程及其推导。
2、过程与方法目标：注意数形结合，把握解析法讨论几何问题的一般方法，注意探究力量的培育。
3、情感、态度和价值观目标：(1)探究方法激发同学的求知欲，培育深厚的学习爱好。
(2)进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学习。
五、教学的重点和难点教学重点：椭圆定义的理解及标准方程的推导。
教学难点：标准方程的推导。
四、说教学过程（一）、创设情景，导入新课。
（3分钟)1、利用微机放映“彗星运行”资料片，引入课题——椭圆及其标准方程。
2、提问：同学们在日常生活中都见过哪些带有椭圆外形的物体？对同学的回答进行筛选，并利用微机放映几个例子的图片。
设计意图：通过观看影音资料，一方面使同学简洁了解椭圆的实际应用，另一方面产生问题意识，对讨论椭圆产生心理期盼。
《椭圆及其标准方程》教案（通用4篇）《椭圆及其标准方程》篇1教学目标:(一)知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.(二)能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.(三)情感目标:激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神.教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程.教学难点:椭圆标准方程的推导.教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力.教具准备:多媒体和自制教具:绘图板、图钉、细绳.教学过程:(一)设置情景,引出课题问题:XX年10月12日上午9时,“神州六号”载人飞船顺利升空,实现多人多天飞行,标志着我国航天事业又上了一个新台阶,请问:“神州六号”飞船的运行轨道是什么?多媒体展示“神州六号”运行轨道图片.(二)启发诱导,推陈出新复习旧知识:圆的定义是什么?圆的标准方程是什么形式?提出新问题:椭圆是怎么画出来的?椭圆的定义是什么?它的标准方程又是什么形式?引出课题:椭圆及其标准方程(三)小组合作,形成概念动画演示椭圆形成过程.提问:点m运动时,f1、f2移动了吗?点m按照什么条件运动形成的轨迹是椭圆?下面请同学们在绘图板上作图,思考绘图板上提出的问题:1.在作图时,视笔尖为动点,两个图钉为定点,动点到两定点距离之和符合什么条件?其轨迹如何?2.改变两图钉之间的距离,使其与绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?3.当绳长小于两图钉之间的距离时,还能画出图形吗?学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程,得出这样三个结论:椭圆线段不存在并归纳出椭圆的定义:平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.(四)椭圆标准方程的推导:1.回顾:求曲线方程的一般步骤:建系、设点、列式、化简.2.提问:如何建系,使求出的方程最简?由各小组讨论,请小组代表汇报研讨结果.各组分别选定一种方案:(以下过程按照第一种方案)①建系:以所在直线为x轴,以线段的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系。
椭圆的定义及其标准方程说课稿及教案一、说课稿1. 椭圆的定义椭圆是一种平面内到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
这两个固定点称为椭圆的焦点，常数称为椭圆的长轴。
椭圆的焦点可以在平面上任意位置，但椭圆的对称轴必须通过焦点。
2. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，a是椭圆的长轴的一半，b是椭圆的短轴的一半。
椭圆的长轴和短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 焦点与椭圆的关系椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
即\[ 2a = |PF_1| + |PF_2| \]其中，\( PF_1 \)和\( PF_2 \)分别是椭圆的两个焦点。
4. 椭圆的性质（1）椭圆的长轴和短轴互相垂直，且通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点在长轴上，且距离中心点的距离分别为\( c \)和\( -c \)，其中\( c \)满足\( c^2 = a^2 b^2 \)。
（3）椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴的长度。
（4）椭圆的面积为\( S = \pi ab \)。
二、教学目标1. 了解椭圆的定义及其性质。
2. 掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 能够应用椭圆的知识解决实际问题。
三、教学内容1. 椭圆的定义及其性质。
2. 椭圆的标准方程及其求法。
3. 椭圆在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习相结合的方法进行教学。
2. 使用多媒体课件辅助教学，增强学生的直观感受。
3. 设置实例分析，引导学生运用椭圆知识解决实际问题。
五、教学步骤1. 导入：通过展示生活中常见的椭圆形状物体，引导学生关注椭圆的形状特征。
2. 讲解椭圆的定义及其性质，引导学生理解椭圆的基本概念。
3. 推导椭圆的标准方程，让学生掌握椭圆方程的求法。
4. 结合实际问题，让学生运用椭圆知识进行分析。
5. 课堂练习：设置相关练习题，让学生巩固所学知识。
椭圆的几何性质教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引导学生观察生活中的椭圆形状实例，如地球、柠檬等。
引导学生通过实际操作，用两个固定点（焦点）和一条连接这两个点的线段（半长轴）来定义椭圆。
强调椭圆的两个焦点在横轴上，且两个焦点的距离等于椭圆的长轴长度。
1.2 椭圆的标准方程引导学生推导椭圆的标准方程。
引导学生通过实际操作，用两个焦点和两个顶点来确定椭圆的方程。
强调椭圆的标准方程为\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴长度。
强调椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，其长度等于椭圆的半长轴的两倍。
2.2 椭圆的短轴引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的短轴长度。
强调椭圆的短轴是垂直于长轴的线段，其长度等于椭圆的半短轴的两倍。
2.3 椭圆的焦距引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的焦距长度。
强调椭圆的焦距是两个焦点之间的距离，其长度等于椭圆的长轴长度减去短轴长度。
第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式引导学生推导椭圆的面积公式。
强调椭圆的面积公式为\( A = \pi ab \)，其中\( a \) 是半长轴的长度，\( b \) 是半短轴的长度。
3.2 椭圆的面积计算引导学生通过实际操作，计算给定椭圆的长轴和短轴长度，计算其面积。
强调椭圆的面积是椭圆内部所有点构成的区域的大小。
第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义引导学生通过实际操作，观察椭圆的离心率与长轴、短轴的关系。
强调椭圆的离心率是焦距与长轴之间的比值，其公式为\( e = \frac{c}{a} \)，其中\( c \) 是焦距的长度，\( a \) 是半长轴的长度。
4.2 椭圆的离心率性质引导学生通过实际操作，观察和记录不同椭圆的离心率性质。
§2.1.1椭圆的定义与标准方程一、：教学目标1、重点椭圆的定义和椭圆的标准方程。
2、难点：椭圆标准方程的推导。
3、能力点：发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
4、教育点：使学生通过运动规律，认清事物运动的本质。
5、自主探究点：椭圆定义及标准方程的探究。
6、考试点：定义得考查及标准方程的求解。
7、易错点：焦点位置的确定。
二、引入新课（多媒体演示）体育场的平面图、卫星绕地球运行的动画，描绘出运行轨迹。
提问：体育场的外墙、卫星的运行轨迹是什么图形？学生回答：椭圆（设计意图：通过实物感受椭圆形状）让学生再列举一些椭圆形的例子（如鸡蛋，油罐车的一面，腰带扣，饼干盒盖等等）。
（设计意图：将刚才对图形的感受在实物中继续加强）教师指出椭圆在生活中很常见，今天我们就一起学习----椭圆（板书课题）。
提问：我们以前学习过的圆是如何定义的呢？（到定点的距离等于定长的点的轨迹就是圆）那么椭圆又是满足什么条件的点的轨迹呢？我们一起来探究。
（设计意图：类比圆的定义引导学生用点的轨迹推出椭圆的定义）三、探究新知1、椭圆的定义让学生拿出课前准备的纸板、细绳、图钉，让学生分组合作尝试如何用这些工具来画椭圆。
教师巡视检查，再用多媒体演示椭圆的画法（也可让成功的小组展示画法），然后让学生动手模仿画。
强调：绳长要大于两图钉之间的距离。
（设计意图：先通过尝试练习培养学生的探究能力，然后展示让成功的学生体会成功的喜悦，让未成功的学生学习如何画，并通过后面的绘制练习进一步巩固，让学生通过动手感受椭圆是由一个动点和两个定点决定的，为下定义作铺垫。
）提问：绳长要等于两图钉间距离呢，会画出什么图形？学生动手实践得出答案（线段）如果绳长要小于两图钉间距离呢，又会画出什么图形？（不能构成图形）（设计意图：让学生体会能画出椭圆必须满足距离条件，为下面下定义时别漏了条件打下基础。
）依据上面的作图实践，请学生思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹？教师启发，并由学生回答，互相补充完善，归纳出椭圆的定义。
教师板书定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
其中两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距，记为2c。
提问：若令M为椭圆上任意一点，可否把定义用数学表达式写出？学生思考回答：|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）（设计意图：将定义由文字改为数学式，更简洁的记忆了定义。
另外此定义式的应用也非常广泛。
） 2、标准方程的推导在刚才的定义学习中我们可以类比圆的定义推导椭圆的定义，那么我们能否用圆的标准方程的推导方法推导椭圆的标准方程呢？我们试试看吧。
先请同学们回顾一下圆的标准方程是如何推导的？学生讨论后回答：（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简依据这个步骤来研究一下椭圆的方程（1） 建系：以F 1、F 2所在直线为x 轴，线段F 1F 2的中垂线为y 轴建立直角坐标系。
(2)设点: 设椭圆上任意一点M （x ，y ），由|F 1F 2|=2c 知F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)（学生回答坐标）(3)列式: 让学生自己列出：|MF 1|+|MF 2|=2a ，并将两点间的距离公式代入得：(4)化简。
（设计意图：强化类比推理能力，形成圆锥曲线的探究模式。
） 师问：为体现数学的简洁美，应化简。
采取什么样的方法呢？ 学生回答：平方。
教师：这里有两个根式，如何平方更简捷？ 学生思考得出：移项平方，再移项再平方的方法。
教师带领学生一起化简，得到：2a \=-22222()44()x c y a x c y ++=--+2a2a cx -=22222222()()a c x a y a a c -+=-同时除以222()a a c -得22221y x a b+=222221x y a a c +=- 为了让式子更美观，我们可以设222b a c =-得22221x y a b += 这就是椭圆的标准方程。
可用多媒体一步步演示化简过程。
（设计意图：让学生学会复杂根式是如何化简的，为以后圆锥曲线方程的推导打下基础。
）提问：方程中a 与 b 的大小如何？教师提示学生在图中表示出a,b,c 即可。
当M 在Y 轴时，︳1MF ︱=a,︱1FO ︱= c,得︱MO ︱=b,所以a>b>0。
因此在椭圆标准方程后需注明a>b>0。
所以椭圆的标准方程为22221x y a b+=（a>b>0）（设计意图：让学生理解标准方程中条件的确定，并会用椭圆定义寻找a,c 。
） 教师指出此方程在建系时我们把焦点设在了X 轴上得出的，那么能把焦点设在Y 轴上吗，如何建系？学生回答。
教师多媒体展示图形。
那么推导出的椭圆标准方程会是什么？让学生模仿刚才的 过程分组探究，然后找学生叙述结果。
焦点在Y 轴的椭圆标准方程：22221y x a b+=（a>b>0），（设计意图：完善椭圆的标准方程，培养学生的类比推理能力。
）4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++思考：如何依据标准方程判断焦点的位置？学生观察后可得出：含22y x ，的分式的分母哪个大，焦点就在哪个轴上。
教师展示下面的表格，让学生根据刚才的所学后面两列的内容。
（设计意图：让学生掌握椭圆标准方程的两种形式。
） 练习：判断下列椭圆的焦点位置？1、2211520x y +=2、22153y x +=3、2211118y x += 4、2212524x y +=（答案：Y 轴，Y 轴，X 轴，X 轴，）(设计意图：掌握判断焦点位置的方法。
) 三、运用新知例1:已知椭圆的焦点在x 轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,求椭圆的标准方程.引导学生分析求椭圆的标准方程需确定选哪个方程，要确定哪个方程需确定焦点位置，在根据条件求解a,b 的值即可。
学生求解，教师板书过程，并总结求解方法，（1）定（焦点位置）,(2)设（标准方程），（3）求（a,b 的值）。
解：∵椭圆焦点在X 轴上∴设标准方程为22221x y a b+=（a>b>0），由题知2c=8,2a=10 ∴c=4,a=5∴ 222225425169b a c =-=-=-=∴b=3 ∴椭圆的标准方程为221259x y +=变式1：若题目条件为焦点在Y 轴上，求标准方程。
学生模仿练习，找学生叙述解题过程，教师在刚才的板书中用彩色笔更改不同之处即可。
（221259y x +=）变式2：若将题目中的第一个条件去掉，标准方程应该是什么？让学生讨论后回答。
（221259x y +=或221259y x +=）通过本题让学生强化求标准方程的基本步骤。
例2：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点53(,)22-， 求椭圆的标准方程。
让学生根据刚才总结的方法尝试解答，小组讨论，讲解做法，教师多媒体展示 解法1：由题知焦点在X 轴上∴设标准方程为22221x y a b+=（a>b>0），由题知c=2∴222224b a a =-=- （1） ∵椭圆经过点53(,)22- ∴代入得22259441a b += （2） 联立（1）(2) 解得 2210,6a b ==∴椭圆标准方程为221109x y +=这是大多数学生的解法，但对于二次不等式解起来学生有些困难。
解法2：由题知焦点在X 轴上∴设标准方程为22221x y a b+=（a>b>0），由椭圆的定义得∴∵c=2∴222221046b a c =-=-=-=∴椭圆标准方程为221109x y +=此法是套用椭圆的定义直接解出a 的值，解答很简洁，要求学生学会运用定义简便解题。
五、运用新知写出适合下列条件的椭圆的标准方程 （1） a焦点在Y 轴上（2） a+c=10,a-c=4 找学生板演，集体订正。
答案：（1）2211611y x += （2）2214940x y +=或2214940y x += 六、课堂小结（1）知识小结：引导学生回顾本节所学：椭圆的定义，图形，标准方程，标准方程求解的基本步骤。
（学生集体回答） （2）方法小结：（教师小结）①用坐标法研究曲线；②用运动、变化的观点分析问题；③类比的数学思想，用所学完的圆锥曲线的探究方法探究未学的圆锥曲线。
七、布置作业自测题1、椭圆221259x y +=上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102、椭圆22125169x y +=的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3、已知椭圆方程为2212332x y +=，则这个椭圆的焦距为（ ）（A ）6 （B ）3 （C ）53 （D ）654、21,F F 是定点，且12||6F F =，动点M 满足12||||6MF MF +=，则点M 的轨迹是（ ）（A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段5、椭圆2214x y m +=的焦距是2，则实数m 的值是（ ）（A ）5 （B ）8 （C ）3或5 （D ）36、已知椭圆的方程为22218x y m+=，焦点在x 轴上，则其焦距为 。
7、如果方程221x ky +=表示焦点在Y 轴上的椭圆，那么实数K 的取值范围为 。
8、已知12,F F 是椭圆2212549x y +=的两个焦点，过1F 的直线与椭圆交与A 、B 两点，则2ABF 的周长为 。
9、求适合下列条件的椭圆方程（1）焦点坐标分别为（0,4），（0，-4），a=5（2）焦点在X 轴上，焦距为4，并且经过点P （3，）（3）答案：1、A 2、C 3、A 4、D 5、C 6、、（0,1） 8、 289、（1）221259y x += （2）2213632x y +=（3）2213616x y +=或2213616y x +=八、教后反思1、本节的亮点是充分类比的数学思想利用所学的圆的知识来探究椭圆的相关知识，学生接受起来比较容易，能很好的归纳出本节的所有的知识点，教师适当的引导点拨，使本节的重点让学生轻松接受，变式训练的设计攻克了本节的难点，本节学习效果较好。
2、本节的不足是在学生书写格式上需进一步在作业中加强规范。
九、板书设计。
