6.示范教案(2.3.4 平面向量共线的坐标表示)

2019-2020年高中数学《234平面向量共线的坐标表示》教学案新人教A版必修4【教学目标】1 •会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件；2. 能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。

3 •通过学习向量共线的坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力•【教学重难点】教学重点：向量共线的坐标表示及直线上点的坐标的求解.教学难点：定比分点的理解和应用.【教学过程】一、〖创设情境〗前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算。

这就为解决问题提供了方便。

我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数入使得=入，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示。

二、〖新知探究〗思考：共线向量的条件是当且仅当有一个实数入使得=入，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设=(x i, y i) =(x 2, y 2)()其中由=入，(x i, y i)= 入(x 2, y 2) 消去入：x i y2 —X2y i=0结论：// ( )x i y2-X2y i=0注意：i 消去入时不能两式相除，T y i, y 2有可能为0, •/ ,X2, y 2中至少有一个不为0.2 充要条件不能写成•/ x i, x 2有可能为0.3 从而向量共线的充要条件有两种形式：// ()三、〖典型例题〗例i.已知，，且，求.点评：利用平面向量共线的充要条件直接求解变式训练i :已知平面向量，，且，则等于 _______________ .例2:已知,,，求证：、、三点共线. _证明：AB =(i-(-i),3 -(-i)) =(2,4) , AC =(2-(-i),5 -(-忙(3,6),又，•••.•••直线、直线有公共点，•,,三点共线。

点评:若从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.变式训练2:若A(x, -i),旳,3) , C(2 , 5)三点共线，则x的值为______________________________ .例3:设点P是线段P i P2上的一点，P i、P2的坐标分别是(x i, y i) , (X2, y2).(1) 当点P是线段P i F2的中点时，求点P的坐标；(2) 当点F是线段F i F2的一个三等分点时，求点F的坐标.所5卄(宇屮1 .(2)当P X P=-PP^时，可求得：点的坐标为:当珂时，可求得’点的坐标芮：可+ 2乃乃+纽］3 3 J点评:此题实际上给出了鏡段吊中点坐标公式和號段三等分点坐标公式.变式训练3：当 辛=冋时点P 的坐标是什么?四、 〖课堂小结〗1 •熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；2 •会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；3 •明白判断两直线平行与两向量平行的异同。

精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

2.3.4 平面向量共线的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)2.能根据平面向量的坐标判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)1.通过向量的坐标运算进行向量的线性运算，提升了学生的数学运算的核心素养；2.通过平面向量共线的坐标表示培养了学生逻辑推理的核心素养.平面向量共线的坐标表示(1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b≠0，a ，b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb ．(2)如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b≠0)共线．思考：两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的坐标条件能表示成x 1x 2＝y 1y 2吗？[提示] 不一定，x 2，y 2有一者为零时，比例式没有意义，只有x 2y 2≠0时，才能使用． 1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2) D ．(－4，－8) D [AB →＝(1，2)，根据平行条件知选D.] 2．下列各对向量中，共线的是( ) A ．a ＝(2，3)，b ＝(3，－2) B ．a ＝(2，3)，b ＝(4，－6) C ．a ＝(2，－1)，b ＝(1，2) D ．a ＝(1，2)，b ＝(2，2)D [A ，B ，C 中各对向量都不共线，D 中b ＝2a ，两个向量共线．] 3．已知a ＝(－3，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝ ． －4 [∵a ∥b ，∴6－3＝y2，解得y ＝－4.] 4．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝ ．－9 [AB →＝(－8，8)，AC →＝(3，y ＋6)，∵A ，B ，C 三点共线，即AB →∥AC →，∴－8(y ＋6)－8×3＝0，解得y ＝－9.]向量共线的判定与证明【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( ) A ．a ＝(－2，3)，b ＝(4，6) B ．a ＝(2，3)，b ＝(3，2) C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7，14) D ．a ＝(－3，2)，b ＝(6，－4)(2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (1，5)，D (2，7)，向量AB →与CD →平行吗？直线AB 平行于直线CD 吗？思路点拨：(1)利用“纵横交错积相减”判断． (2)判断向量AB →，CD →平行→无相关点→AB ∥CD(1)D [A 中，－2×6－3×4≠0，B 中3×3－2×2≠0，C 中1×14－(－2)×7≠0，D 中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.](2)[解] ∵AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， CD →＝(2－1，7－5)＝(1，2)．又2×2－4×1＝0， ∴AB →∥CD →.又AC →＝(2，6)，AB →＝(2，4)， ∴2×4－2×6≠0， ∴A ，B ，C 不共线， ∴AB 与CD 不重合， ∴AB ∥CD .向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．1．已知A (1，－3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，12，C (9，1)，求证：A ，B ，C 三点共线． [证明] AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1，12＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7，72，AC →＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →，AC →有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.已知平面向量共线求参数时它们是同向还是反向？思路点拨：法一：可利用b 与非零向量a 共线等价于b ＝λa (λ>0，b 与a 同向；λ<0，b 与a 反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k ，再利用b ＝λa 判定同向还是反向． [解] 法一：(共线向量定理法)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，所以⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，因为λ＝－13<0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．法二：(坐标法)由题知k a ＋b ＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(10，－4)，因为k a ＋b 与a －3b 平行，所以(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0， 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路： (1)利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解． (2)利用向量平行的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)，若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ ． 12[由题可得2a ＋b ＝(4，2)，∵c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即λ＝12.故答案为12.]向量共线的综合应用α等于( )A ．3B ．－3C ．－45D ．45(2)如图所示，已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标． 思路点拨：(1)先由a ∥b 推出sin α与cos α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcos α.(2)要求点P 的坐标，只需求出向量OP →的坐标，由OP →与OB →共线得到OP →＝λOB →，利用AP →与AC →共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ，y )，由OP →∥OB →及AP →∥AC →，列出关于x ，y 的方程组求解．(1)C [因为a ∥b ，所以cos α×1－(－2)sin α＝0，即cos α＝－2sin α，tan α＝－12，所以2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1＝－45.] (2)[解] 法一：(定理法)由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)，AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：(坐标法)设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x4＝y4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3，3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤3.如图所示，已知△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．[解] 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54.因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)， AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎪⎫2，－72.因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y －54，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，74，因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －54＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫127，2.共线向量与线段分点点坐标的计算1．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，如何求线段P 1P 2的中点P 的坐标？ 提示：如图所示，∵P 为P 1P 2的中点， ∴P 1P →＝PP 2→， ∴OP →－OP 1→＝OP 2→－OP →，∴OP →＝12(OP 1→＋OP 2→)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，∴线段P 1P 2的中点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.2．设P 1，P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，则P 点坐标是什么？提示：点P 是线段P 1P 2的一个三等分点，分两种情况：①当P 1P →＝13P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋13P 1P 2→＝OP 1→＋13(OP 2→－OP 1→)＝23OP 1→＋13OP 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 23，2y 1＋y 23；②当P 1P →＝23P 1P 2→时，OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋23P 1P 2→＝OP 1→＋23(OP 2→－OP 1→)＝13OP 1→＋23OP 2→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 23，y 1＋2y 23.3．当P 1P →＝λPP 2→时，点P 的坐标是什么？提示：∵OP →＝OP 1→＋P 1P →＝OP 1→＋λPP 2→＝OP 1→＋λ(OP 2→－OP →)＝OP 1→＋λOP 2→－λOP →， ∴OP →＝OP 1→＋λOP 2→1＋λ＝11＋λ(x 1，y 1)＋λ1＋λ(x 2，y 2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λx 1，11＋λy 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ1＋λx 2，λ1＋λy 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【例4】 已知点A (3，－4)与点B (－1，2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．思路点拨：点P 在直线AB 上，包括点P 在线段AB 内和在线段AB 的延长线上，因此应分类讨论．[解] 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|.当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x ，2－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝0，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0.当P 在线段AB 延长线上时，AP →＝－2PB →， ∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x ，2－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝8，∴P 点坐标为(－5，8)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0或(－5，8)．1．若将本例条件“|AP →|＝2|PB →|”改为“AP →＝3PB →”其他条件不变，求点P 的坐标． [解] 因为AP →＝3PB →，所以(x －3，y ＋4)＝3(－1－x ，2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3－3x ，y ＋4＝6－3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.2．若将本例条件改为“经过点P (－2，3)的直线分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，且|AB →|＝3|AP →|”，求点A ，B 的坐标．[解] 由题设知，A ，B ，P 三点共线，且|AB →|＝3|AP →|，设A (x ，0)，B (0，y )， ①点P 在A ，B 之间，则有AB →＝3AP →， ∴(－x ，y )＝3(－2－x ，3)， 解得x ＝－3，y ＝9，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)． ②点P 不在A ，B 之间， 则有AB →＝－3AP →，同理，可求得点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)． 综上，点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－9)． 求点的坐标时注意的问题(1)设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．若点P 是P 1P 2的中点时，则P (x ，y )为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)求线段P 1P 2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若P 1P →＝λP 1P 2→，(λ≠0) ①0＜λ＜1时，P 在线段P 1P 2上； ②λ＝1时，P 与P 2重合；③λ＞1时，点P 在线段P 1P 2延长线上； ④λ＜0时，点P 在线段P 1P 2反向延长线上． 1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例． 2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．1．下列说法不正确的是( )A ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a 与b 共线，则x 1x 2＝y 1y 2. B ．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 2≠x 2y 1，则a 与b 不共线． C ．若A ，B ，C 三点共线，则向量AB →，BC →，CA →都是共线向量． D ．若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝－9.A [A 中，x 2或y 2为零时，比例式无意义，B 、C 很明显都正确；D 中AB →∥BC →，由AB →＝(－8，8)，BC →＝(11，y －2)，则－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.∴D 正确．]2．已知两点A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 可以是( ) A ．(1，－2) B ．(9，3) C ．(－2，4)D ．(－4，－8)D [由题意，得AB →＝(1，2)，所以a ＝λAB →＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D 项，故选D.]3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于 ． (－4，－8) [∵a ∥b ，∴1×m －(－2)×2＝0， ∴m ＝－4，∴a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)， ∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]4．设O 是坐标原点，OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] ∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)，又A ，B ，C 三点共线，∴由两向量平行，得(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.即当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．。

2.3.4平面向量共线地坐标表示【教学目标】1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示地充要条件； 2．能利用两向量共线地坐标表示解决有关综合问题.3．通过学习向量共线地坐标表示，使学生认识事物之间地相互联系，培养学生辨证思维能力.【教学重难点】教学重点： 向量共线地坐标表示及直线上点地坐标地求解． 教学难点： 定比分点地理解和应用． 【教学过程】一、〖创设情境〗前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算.这就为解决问题提供了方便.我们又知道共线向量地条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线地坐标表示.二、〖新知探究〗思考：共线向量地条件是当且仅当有一个实数λ使得a=λb ，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（b ≠0）其中b ≠a由a=λb ， (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ消去λ：x 1y 2－x 2y 1=0结论：a ∥b (b≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0，∵b≠0，∴x 2, y 2中至少有一个不为0. 2︒充要条件不能写成2211x y x y =∵x 1, x 2有可能为0. 3︒从而向量共线地充要条件有两种形式：a ∥b (b≠)01221=-=⇔y x y x λ三、〖典型例题〗例1. 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ． 解：∵//a b ，∴4260y -⨯=．∴3y =． 点评：利用平面向量共线地充要条件直接求解.变式训练1：已知平面向量)2,1(=a ，),2(m b -= ，且b a //，则32+等于_________.例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证:A 、B 、C 三点共线．证明：(1(1),3(1))(2,4)AB =----=，(2(1),5(1))(3,6)AC =----=， 又26340⨯-⨯=，∴//AB AC .∵直线AB 、直线AC 有公共点A ， ∴A ，B ，C 三点共线.点评:若从同一点出发地两个向量共线,则这两个向量地三个顶点共线.变式训练2：若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 地值为_________. 例3:设点P 是线段P 1P 2上地一点， P 1、P 2地坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1) 当点P 是线段P 1P 2地中点时，求点P 地坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2地一个三等分点时，求点P 地坐标. 解：（1）)(2121OP OP +=＝⎪⎭⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x 所以，点P 地坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x（2）当2121PP P P =时，可求得：点地坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++32,322121y y x x 当212PP P =时，可求得：点地坐标为：⎪⎭⎫⎝⎛++32,322121y y x x 点评:此题实际上给出了线段地中点坐标公式和线段三等分点坐标公式. 变式训练3：当21PP P λ=时,点P 地坐标是什么？ 四、〖课堂小结〗1．熟悉平面向量共线充要条件地两种表达形式；2．会用平面向量平行地充要条件地坐标形式证明三点共线和两直线平行； 3．明白判断两直线平行与两向量平行地异同. 五、〖反馈测评〗1.已知AB =a +5b ，BC =－2a +8b ，CD =3（a －b），则（ ）A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线2.若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 为________.3．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，(0,2)απ∈，且//a b ，求角α．【板书设计】【作业布置】课本P1084、5、6、72.3.4平面向量共线地坐标表示课前预习学案一、预习目标：通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示地充要条件进行预算. 二、预习内容： 1、知识回顾：平面向量共线定理________________________________________.2.平面向量共线地坐标表示：设a=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)（b ≠0）其中b ≠a ，则a ∥b (b≠)⇔_____________________.三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标：1．会推导并熟记两向量共线时坐标表示地充要条件； 2．能利用两向量共线地坐标表示解决有关综合问题.3．通过学习向量共线地坐标表示，使学生认识事物之间地相互联系，培养学生辨证思维能力.二、学习内容1.思考：共线向量地条件是当且仅当有一个实数λ使得b =λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示呢？设a=(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)（b ≠）其中b ≠a由a=λb ，得___________________,即__________________________,消去λ后得:__________________________________.这就是说,当且仅当___________________时,向量a 与b共线.2.典型例题例1 已知(4,2)a =，(6,)b y =，且//a b ，求y ．例2: 已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线．例3:设点P 是线段P 1P 2上地一点， P 1、P 2地坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2). (1) 当点P 是线段P 1P 2地中点时，求点P 地坐标； (2) 当点P 是线段P 1P 2地一个三等分点时，求点P 地坐标.三、反思总结1．平面向量共线充要条件地两种表达形式是什么?2．如何用平面向量共线地充要条件地坐标形式证明三点共线和两直线平行? 3．判断两直线平行与两向量平行有什么异同?四、当堂检测1.已知AB =a +5b ，=－2a +8b ，=3（a －b），则（）A. A 、B 、D 三点共线 B .A 、B 、C 三点共线 C. B 、C 、D 三点共线D. A 、C 、D 三点共线2.若向量a=(-1，x)与b =(-x ， 2)共线且方向相同，则x 为________.3．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3b α=，(0,2)απ∈，且//a b ，求角α．课后练习与提高1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b，则y =（）A.6 B .5 C.7 D.8 2.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 地值为（）A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ，=(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 地方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与共线，则x 、y 地值可能分别为（）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b，则y =.5.已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b平行，则x 地值为6.已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.xHAQX74J0X用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.LDAYtRyKfEUsers may use the contents or services of this article for personal study, research or appreciation, and othernon-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimate rights of this website and its relevant obligees. In addition, when any content or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall be obtained from the person concerned and the relevant obligee.Zzz6ZB2Ltk转载或引用本文内容必须是以新闻性或资料性公共免费信息为使用目地地合理、善意引用，不得对本文内容原意进行曲解、修改，并自负版权等法律责任.dvzfvkwMI1Reproduction or quotation of the content of this article must be reasonable and good-faith citation for the use of news or informative public free information. It shall not misinterpret or modify the original intention of the contentof this article, and shall bear legal liability such as copyright.rqyn14ZNXI。

2.3.4平面向量共线的坐标表示●三维目标1．知识与技能(1)理解两向量共线的坐标表示．(2)会用两向量共线的坐标表示解决向量共线、点共线、直线平行等问题．2．过程与方法通过对平面向量共线定理的坐标表示形式的探究和应用，培养学生的分析问题、解决问题的能力和体会化归与转化的数学思想方法．3．情感、态度与价值观通过本节学习和运用实践，培养学生的探索精神，体会数学的科学价值与应用价值．●重点、难点重点：用坐标表示两向量共线．难点：两向量共线坐标表示的灵活应用．●教学建议引进向量的坐标表示后，各量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a＝λb，那么a与b共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只是将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何用坐标表示两个向量共线？⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(见学生用书第50页)已知下列几组向量： (1)a ＝(0,2)，b ＝(0,4)； (2)a ＝(2,3)，b ＝(4,6)； (3)a ＝(－1,4)，b ＝(2，－8)； (4)a ＝(12，1)，b ＝(－12，－1)．1．上面几组向量中，a ，b 有什么关系？【提示】 (1)(2)中b ＝2a ，(3)中b ＝－2a ，(4)中b ＝－a . 2．以上几组向量中a ，b 共线吗？ 【提示】 共线．3．当a ∥b 时，a ，b 的坐标成比例吗？ 【提示】 坐标不为0时成正比例．1．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ，使a ＝λb . 2．如果用坐标表示可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)， 当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 、b (b≠0)共线．注意：对于2的形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．(见学生用书第51页)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？【思路探究】 由向量a ，b 的坐标，求出k a ＋b 与a －3b 的坐标，由向量共线的条件列方程(组)，求k 的值．从而进一步判定向量是同向还是反向．【自主解答】 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当k a ＋b 与a －3b 平行时， 存在唯一实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a －3b )． 由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)．得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13.当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)， ∵k a ＋b 与a －3b 平行，∴(k －3)×(－4)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13.故k a ＋b 与a －3b 反向．1．利用向量共线定理(几何)或向量共线坐标的条件(代数)进行两向量是否共线的判断．2．利用b ＝λa 中λ的正负判断a ，b 同向还是反向．在本例中已知条件不变，若问题改为“当k 为何值时，a ＋k b 与3a －b 平行？”，又如何求k 的值？【解】 a ＋k b ＝(1,2)＋k (－3,2)＝(1－3k,2＋2k )， 3a －b ＝3(1,2)－(－3,2)＝(6,4)， ∵a ＋k b 与3a －b 平行， ∴(1－3k )×4－(2＋2k )×6＝0， 解得k ＝－13.(1)已知四点坐标A (－1,1)、B (1,5)、C (－2，－1)、D (4，11)，请判断直线AB 与CD 是否平行？(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ 【思路探究】 (1)判断AB →∥CD →→判断点A 是否在直线CD 上→结论．(2)求A 、B 、C 三点共线时k 的值，则一定有AB →＝λAC →成立．先求AB →、AC →，再列方程组求解k .【自主解答】 (1)因为AB →＝(2,4)，AD →＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，AC →＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，所以AB →＝－2AC →，AD →＝－5AC →. 所以AB →∥AC →∥AD →.由于AB →与AC →、AD →有共同的起点A ， 所以A 、B 、C 、D 四点共线． 因此直线AB 与CD 重合．(2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝ (10－k ，k －12)，若A 、B 、C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )， 解得k ＝－2或11，∴当k ＝－2或11时A 、B 、C 三点共线．1．三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．2．若A ，B ，C 三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线．已知A (1，－3)，B (8，12)，C (9,1)，求证：A 、B 、C 三点共线．【证明】 AB →＝(8－1，12＋3)＝(7，72)，AC →＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，∵7×4－72×8＝0，∴AB →∥AC →，且AB →、AC →有公共点A . ∴A 、B 、C 三点共线.如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．图2－3－9【思路探究】 要求点P 的坐标，只需求出向量OP →的坐标，由OP →与OB →共线得到OP →＝λOB →，利用AP →与AC →共线的坐标表示求出λ即可；也可设P (x ，y )，由OP →∥OB →及AP →∥AC →，列出关于x ，y 的方程组求解．【自主解答】 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)，AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)．由AP →与AC →共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．法二 设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，则得(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以P 点的坐标为(3,3)．1．关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解．2．本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用．已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A (3,0)，B (4,4)，C (2,1)，试求AC 与OB 的交点坐标P (x ，y )(其中O 为坐标原点)．【解】 ∵P 在OB 上，∴OP →与OB →共线．又OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)，∴4x －4y ＝0，即x －y ＝0.①同理，AP →与AC →共线． 由AP →＝(x －3，y )，AC →＝(－1,1)， 得x －3＋y ＝0.②由①②解得x ＝32，y ＝32.∴P 点的坐标为(32，32)．(见学生用书第52页)对共线向量的定义理解不到位致误若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，求x.【错解】∵a，b共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得x＝－2(舍去)或x＝2，故x＝2为所求．【错因分析】舍去x＝－2没有道理．【防范措施】共线的两个向量可以是同向共线，也可以是反向共线．解答这类试题时，要认真审题，对求得的参数需进行讨论，舍去不合题意的参数值．【正解】∵a，b共线，∴(－1)×2－x(－x)＝0，得x＝±2，而x＝2时，a＝(－1，2)，b＝(－2，2)＝2(－1，2)＝2a，此时a，b同向共线；x＝－2时，b＝－2a，此时a，b异向共线．故x＝±2为所求．1．两个向量共线条件的表示方法 已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．2．向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据．(见学生用书第52页)1．若向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则下列关系式一定成立的是( ) A ．x 1y 1－x 2y 2＝0 B ．x 1x 2－y 1y 2＝0 C.x 1y 1＝x 2y 2D ．x 1y 2－x 2y 1＝0【解析】 由共线向量的坐标表示可知选D. 【答案】 D2．(2013·济宁高三检测)已知向量a ＝(3，x －1)，b ＝(1,2)，若a ∥b ，则实数x 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【解析】 ∵a ∥b ，∴3×2－(x －1)＝0，∴x ＝7. 【答案】 C3．向量a ＝(n,1)与b ＝(4，n )共线且方向相同，则n ＝________. 【解析】 ∵a 与b 共线，∴n 2－4＝0，∴n ＝±2， 又a 与b 方向相同，∴n ＝2. 【答案】 24．如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A ，B ，C 三点共线．【解】 ∵A ，B ，C 三点共线，即AB →，BC →共线， ∴存在实数λ，使得AB →＝λBC →，即i －2j ＝λ(i ＋mj )．于是⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λm ＝－2，∴m ＝－2.故m ＝－2时，A ，B ，C 三点共线.一、选择题1．设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(1，－1)一定不平行的向量是( ) A ．b ＝(k ，k ) B ．c ＝(－k ，－k ) C ．d ＝(k 2＋1，k 2＋1) D ．e ＝(k 2－1，k 2－1)【解析】 由向量共线的判定条件，当k ＝0时，向量b ，c 与a 平行；当k ＝±1时，向量e 与a 平行．对任意k ∈R,1·(k 2＋1)＋1·(k 2＋1)≠0，∴a 与d 不平行．【答案】 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)【解析】 由a ∥b 得m ＋2×2＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)．∴2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．【答案】 B3．在▱ABCD 中，已知AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,3)，对角线AC 、BD 相交于O 点，则CO →的坐标是( )A ．(－12，5)B ．(－12，－5) C ．(12，－5) D ．(12，5) 【解析】 ∵CO →＝－12AC →＝－12(AB →＋AD →) ＝－12(－2,3)－12(3,7)＝(－12，－5)． 【答案】 B4．已知向量a ＝(32，sin α)，b ＝(sin α，16)，若a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60°C ．45°D ．75°【解析】 ∵a ∥b ，∴sin 2 α＝32×16＝14， ∴sin α＝±12.∵α为锐角，∴α＝30°. 【答案】 A5．与a ＝(12,5)平行的单位向量为( )A ．(1213，－513) B ．(－1213，－513) C ．(1213，513)或(－1213，－513) D ．(±1213，±513)【解析】 设与a 平行的单位向量为e ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，12y －5x ＝0， ∴⎩⎨⎧ x ＝1213，y ＝513，或⎩⎨⎧ x ＝－1213，y ＝－513. 【答案】 C二、填空题 6．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(0，－1)，(2,3)，(－1，－3)，则A ，B ，C 三点的位置关系是________．【解析】 AB →＝(2,4)，AC →＝(－1，－2)，∴AB →＝－2AC →.∴A ，B ，C 三点共线．【答案】 共线7．(2013·福州高一检测)设向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(6,2)共线，则实数λ＝________.【解析】 λa ＋b ＝λ(1,0)＋(1,1)＝(λ＋1,1)，因为向量λa ＋b 与c ＝(6,2)共线，所以(λ＋1)×2＝6×1，∴λ＝2.【答案】 28．(2013·宿州高一检测)已知：AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)．若A 、C 、D 三点共线，则k ＝________.【解析】 ∵AB →＝(6,1)，BC →＝(4，k )，CD →＝(2,1)，∴AC →＝AB →＋BC →＝(10，k ＋1)，又∵A 、C 、D 三点共线，∴AC →∥CD →.∴10×1－2(k ＋1)＝0，解得k ＝4.【答案】 4三、解答题9．已知向量A B →＝(6,1)，C D →＝(－2，－3)，B C →＝(x ，y )且|B C →|＝5，B C →∥D A →，求x ，y 的值．【解】 由题意得D A →＝－A D →＝－(A B →＋B C →＋C D →)＝－[(6,1)＋(x ，y )＋(－2，－3)]＝(－x －4，－y ＋2)，B C →＝(x ，y )．又∵B C →∥D A →，∴x (－y ＋2)－y (－x －4)＝0.化简得x ＋2y ＝0.即x ，y 应满足的关系为x ＋2y ＝0.①又∵|B C →|＝5，即x 2＋y 2＝5.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 10．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，试证明四边形ABCD 是梯形．【证明】 ∵AB →＝(3,3)，CD →＝(－2，－2)，∴AB →＝－32CD →. 又∵A 、B 、C 、D 四点不共线，∴AB →∥CD →.又∵AD →＝(0,2)－(1,0)＝(－1,2)，BC →＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)．且－1×1－2×(－2)≠0，∴AD 与BC 不平行，∴四边形ABCD 是梯形．11．已知四边形ABCD 是边长为6的正方形，E 为AB 的中点，点F 在BC 上，且BF ∶FC ＝2∶1，AF 与EC 相交于点P ，求四边形APCD 的面积．【解】 以A 为坐标原点，AB →为x 轴建立直角坐标系，如图所示，∴A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)．∴F (6,4)，E (3,0)，设P (x ，y )，AP →＝(x ，y )，AF →＝(6,4)，EP →＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)．由点A ，P ，F 和点C ，P ，E 分别共线，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －6y ＝0，6(x －3)－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝3. ∴S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △AEP －S △CEB＝36－12×3×3－12×3×6＝452. 【教师备课资源】1．向量在平面几何问题中应用【典例】 已知ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F ，求证：AF ＝AE .【思路探究】 建立直角坐标系，将几何证明问题转化为坐标运算问题．【自主解答】 建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便．不妨设正方形ABCD 的边长为1，则B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (x ，y )，这里y >0，于是AC →＝(1,1)，BE →＝(x －1，y )．∵AC →∥BE →，∴1×y －(x －1)×1＝0⇒y ＝x －1.①∵AC ＝OC ＝CE (已知)，∴CE 2＝OC 2⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.②由y >0，联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3＋32，y ＝1＋32，即E (3＋32，1＋32)．AE ＝OE ＝(3＋32)2＋(1＋32)2＝3＋1. 设F (t,0)，则FC →＝(1－t,1)，CE →＝(1＋32，－1＋32)． ∵F 、C 、E 三点共线，∴FC →∥CE →.∴(1－t )×－1＋32－1＋32×1＝0，解得t ＝－1－ 3. ∴AF ＝OF ＝1＋3，∴AF ＝AE .1．解决本题的关键是建立直角坐标系，分别求出点A 、E 、F 的坐标．2．用向量解决平面几何问题，首先要建立坐标系，将平面几何中的证明问题转化为向量的计算问题，计算时要充分利用向量共线、向量相等的条件．如图所示，已知△AOB 中，A (0,5)，O (0,0)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．【解】 ∵OC →＝14OA →＝14(0,5)＝(0，54)，∴C (0，54)． ∵OD →＝12OB →＝12(4,3)＝(2，32)， ∴D (2，32)． 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)． ∵AM →∥AD →，∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.① 又CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4，74)，∵CM →∥CB →，∴74x －4(y －54)＝0，即7x －16y ＝－20.② 联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为(127，2)． 2．知识拓展三点共线问题再探究坐标平面内的三点A 、B 、C 共线时，当且仅当存在三个均不为零的实数l ，m ，n 使l ·OA→＋m ·OB →＋n ·OC →＝0，且l ＋m ＋n ＝0；反之亦成立．理由如下：①一方面：∵l ＋m ＋n ＝0，∴－m l －n l＝1， ∴－m l ＝1＋n l. 又∵l ·OA →＋m ·OB →＋n ·OC →＝0，∴OA →＝－m l OB →－n lOC → ＝(1＋n l )OB →－n lOC → ＝OB →＋n l (OB →－OC →)＝OB →－n lBC →， ∴OA →－OB →＝－n l BC →，∴BA →＝－n lBC →， ∴A 、B 、C 三点共线．②另一方面：∵A 、B 、C 三点共线，∴存在常数λ使BA →＝λBC →(λ≠0且λ≠1)，∴OA →－OB →＝λ(OC →－OB →)，∴OA →＋(λ－1)OB →－λOC →＝0.即l ＝1，m ＝λ－1，n ＝－λ，由λ≠0，且λ≠1知，l 、m 、n 均不为零，∴l ·OA →＋m ·OB →＋n ·OC →＝0，且l ＋m ＋n ＝0.2.4平面向量的数量积。

平面向量共线的坐标表示教学设计点评导学案：做的比较好的个人，小组予以表扬加分。

首先带领大家解读本节课的学习目标：1.掌握向量共线的坐标表示；学会根据向量的坐标判断向量是否共线；了解中点坐标公式.2.在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件.3.了解数学知识体系的延伸、变迁与发展，并体会运用数学知识解决实际问题的方法. 学习重难点使用坐标方法判断向量的共线.运用向量共线的坐标表示，用向量解决等分点的有关问题.复习回顾，知识梳理：1. 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的任一向量a，由平面向量基本定理可得，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj。

这样，平面内的任一向量a都可以由x、y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）y上式叫做向量的坐标表示。

其中的x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，y 叫做向量a 在y 轴上的坐标。

2. 向量的坐标运算：， 探究环节：探究一：向量共线的坐标表示向量的运算以及相等关系都可以用坐标表示，向量共线关系（向量共线定理）能否用坐标表示？若能，请写出表示过程设a =（x 1, y 1），b =（x 2, y 2），其中b ≠a ∥b ⇔问题: 上述过程中，λ是怎样消去的？当用坐标表示向量共线时，是否要求b ≠0？向量共线的两种表示形式各有什么特点？例1: 已知a =（4，2），b =（6，y ），且a ∥b ，求y22()b x y =，11()a x y =，12121212()()(,)a b x x y y a b x x y y a x y λλλ+=++-=--=，，11222121(,),(,),(,).A x yB x y AB x x y y =--若则思考 1: 本题中的a ，b 是同向还是反向？说出你的理由.2: 已知a =（2，-1），b =（x, 2）,c =(-3, y), 且a ∥b ∥c ，求x, y探究二：三点共线的判断例2 已知A （-1，-1），B （1，3），C （2，5），试判断A ，B ，C 之间的位置关系三点共线有哪些证法？请写下归纳小结：变式：判断下列各组的点是否共线：（1）7(1,2) (3,4)2,2A B C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭、、； （2）1(9,1) Q(1,3)8,2P R ⎛⎫- ⎪⎝⎭、、探究三：中点坐标公式例3： 设点P 是线段P 1 P 2上的一点，P 1，P 2 的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2（1）当P 是线段P 1 P 2的中点时，求点P 的坐标；（2）当P 是线段P 1 P 2的一个三等分点时，求点P 的坐标。

2. 3.4 平面向量共线的坐标表示教学目标：1．复习巩固平面向量坐标的概念和平面向量的坐标运算；2．能说出平行（共线）向量充要条件的坐标表示，并会用它解决向量平行（共线）的有关问题；3．弄清向量平行和直线平行的区别．教学重点：向量平行的充要条件的坐标表示．教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解教学过程【提出问题】①如何用坐标表示两个共线向量?②已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且向量a、b共线，试证明：x1 y2—x2 y1= 0。

③已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0，且x1 y2—x2 y1= 0试证明：向量a、b共线。

【得出结论】当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a、b(b≠0)共线.从而向量共线有两种表述形式:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔x1 y2—x2 y1= 0【应用示例】例1、已知a=(4,2), b=(6,y),且a∥b,求y.练习1：已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A、B、C三点之间的位置关系.例2、设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2).(1)当点P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标;(2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标.练习2：①已知=(2,3),=(6,-3),点P是线段AB的三等分点，求P点坐标。

②已知A(2,3)，B（4，-3）点P在线段AB的延长线上，,求P点坐标。

例3、在△ABC中,已知点A(3,7)、B(-2,5).若线段AC、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.练习3、已知点A(1,2),B(4,5),O为坐标原点,OP=OA+t AB.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.【课堂小结】1、复习平面向量的和、差、数乘的坐标运算。

2、学习两个向量共线的坐标表示.3、总结本节学习的数学方法和思想方法。