2011年第三次高考考前适应性训练试卷理科数学试题参考答案和评分参考

卢湾区2011年高考模拟考试数学试卷（理科） 2011.4（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.不等式|2|x -≤1的解集是 ．2.函数21x y =-的反函数为 ．3.方程2sin 2sin 0x x -=的解集为 ．4.若实数对(,)x y 满足224x y +=，则xy 的最大值为 ．5.若关于x , y 的线性方程组的增广矩阵为0603m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，该方程组的解为3,4.x y =-⎧⎨=⎩则mn 的值为 ．6.在极坐标系中，点A 的极坐标为(2,0) ，直线l 的 极坐标方程为(cos sin )20ρθθ++=，则点A 到直 线l 的距离为 ．7.某算法的流程图如图所示，则该算法输出的n 值 是 ． 8.已知251(2)nx x+(n ∈N *)的展开式中含有常数项，则n 的最小值是 ． 9．已知02πα<<,02πβ-<<,3cos()5αβ-=，且3tan 4α=，则sin β= ．10. 一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射影的坐标分别为(1,2),- (3,3), (3,5),-(1,6)，则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的坐标是 ．11．某船在A 处看灯塔S 在北偏东30︒方向，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75︒方向，则此时该船到灯塔S 的距离约为 海里（精确到0.01海里）．12.已知抛物线22(0)y px p =>，过定点(,0)p 作两条互相垂直的直线12, l l ，1l 与抛物线交于, P Q 两点，2l 与抛物线交于, M N 两点，设1l 的斜率为k ．若某同学已正确求得弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为32p p kk+，则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为．输出n 开始否n ←n +1 2n ＞n 2是结束n ←1 （第7题图）13．已知向量OA，OB的夹角为π3，||4OA = ，||1OB = ，若点M 在直线OB 上，则||OA OM -的最小值为 ． 14.已知集合2(21)cos ,n A x x n m-π⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，当m 为4022时，集合A 的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．“πϕ=”是“函数()sin()f x x ϕ=+是奇函数”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 16．已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若232a a +=，341a a +=，则l i m n n S →∞的值为 （ ） A ．23B ．43C ．83D ．16317.已知复数z 满足z 12i z 2i 32---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为 （ ）A ．双曲线的一支B ．双曲线C ．一条射线D ．两条射线 18.已知234101()1234101xxxxf x x =+-+-+⋅⋅⋅+，234101()1234101xxxxg x x =-+-+-⋅⋅⋅-，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有 （ ） A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈ B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈ C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈ D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）已知矩形ABC D 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，此圆柱的体积为300π，求异面直线A C 与PB 所成角的余弦值．APBCDO20．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分8分．某校10名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队（简称“科服队”），他们参加活动的有关数据统计如下：（1）从“科服队”中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；（2）从“科服队”中任选2人，用ξ表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．21．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分．已知椭圆E ：22221x y ab+=(0a b >>)过点(3, 1)P ，其左、右焦点分别为12, F F ，且126F P F P ⋅=-．（1）求椭圆E 的方程；（2）若,M N 是直线5x =上的两个动点，且12F M F N ⊥，则以M N 为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．参加活动次数 1 2 3 人 数23522．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．已知数列c b a ,,是各项均为正数的等差数列，公差为d （d >0）．在b a ,之间和b,c 之间共插入n 个实数，使得这3n +个数构成等比数列，其公比为q ． （1）求证：||1q >；（2）若1,1 a n ==，求d 的值；（3）若插入的n 个数中，有s 个位于a,b 之间，t 个位于b,c 之间，且,s t 都为奇数，试比较s 与t 的大小，并求插入的n 个数的乘积（用,,a c n 表示）.23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于定义域为D 的函数()y f x =，若有常数M ，使得对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈满足等式12()()2f x f x M +=，则称M 为函数y =f (x )的“均值”． （1）判断1是否为函数()21(1f x x =+-≤x ≤1)的“均值”，请说明理由；（2）若函数2()2(12,f x ax x x =-<<a 为常数）存在“均值”，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 是单调函数，且其值域为区间I ．试探究函数()f x 的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I 之间的关系，写出你的结论（不必证明）． 说明：对于（3），将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分．卢湾区2011年高考模拟考试数学试题（理科）参考答案与评分标准一、选择题：（每小题4分）1. [1,3]2.2log (1)y x =+3. {|,}Ζx x k k =π∈4. 25. 24-6. 227. 5 8． 7 9．725-10．(0,4)11．14.14 12. 32pk pk -- 13．23 14.1006 二．选择题（每小题5分）15．A 16．D 17．C 18．B19．解：设圆柱下底面圆O 的半径为r ，连A C ， 由矩形ABC D 内接于圆O ，可知A C 是圆O 的直径， 于是2226810r A C ==+=，得5r =， ……………3分又圆柱的体积25300V PA =π⋅=π，可得12PA =．……6分 分别以直线,,A B A D A P 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，可得(6,8,0),(6,0,12)AC PB ==-，………8分 设异面直线A C 与PB 所成角所成的角θ，向量AC 与PB的夹角为ϕ，则||3635cos |cos |25||||1065AC PB AC PB θϕ⋅====⋅⨯ ， 故异面直线A C 与PB 所成角的余弦值为3525． ………………………………12分20．解：（1）3人参加活动次数各不相同的概率为111235310C C C 1C 4P ==故这3名同学中参加活动次数各不相同的概率为14． ……………………………5分（2）由题意知：ξ=0, 1, 2，222235210C C C 14(0)C 45P ξ++===； ……………7分11112335210C C C C 217(1)C 4515P ξ+====； ……………9分1125210C C 102(2)C 459P ξ====． ……………10分ξ的分布列为 ：x0 12APB CDOxyz……………11分所以ξ的数学期望:1472410124515945E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………13分21．解：（1）设点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)(0)c c c ->，则12(3,1),(3,1),F P c F P c =+=-故212(3)(3)1106F P F P c c c ⋅=+-+=-=-，可得4c =， …………………2分所以2222122||||(34)1(34)162a PF PF =+=+++-+=，…………………4分 故22232,18162a b a c ==-=-=， 所以椭圆E 的方程为221182xy+=． ……………………………6分（2）设,M N 的坐标分别为(5,),(5,)m n ，则12(9,),(1,)F M m F N n ==，又12F M F N ⊥ ，可得1290F M F N m n ⋅=+=，即9m n =-， …………………8分又圆C 的圆心为(5,),2m n +半径为||2m n -，故圆C 的方程为222||(5)()()22m n m n x y +--+-=，即22(5)()0x y m n y mn -+-++=，也就是22(5)()90x y m n y -+-+-=， ……………………11分 令0y =，可得8x =或2，故圆C 必过定点(8,0)和(2,0)． ……………………13分 （另法：（1）中也可以直接将点P 坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C 直径的两端点直接写出圆C 的方程） 22．解：（1）由题意知2n c q a+=，2c a d =+，又0,0a d >>，可得2211n c d q a a+==+>， ………………………………2分即2||1n q +>，故2||1n q +>，又2n +是正数，故||1q >．………………………………4分 （2）由,,a b c 是首项为1、公差为d 的等差数列，故d c d b 21,1+=+=， 若插入的这一个数位于,a b 之间，则21q d =+，321q d =+， 消去q 可得32)1()21(d d +=+，即320d d d --=，其正根为251+=d ．………7分若插入的这一个数位于,b c 之间，则q d =+1，321q d =+，()P x ξ=144571529消去q 可得3)1(21d d +=+，即3230d d d ++=，此方程无正根． 故所求公差251+=d ． ………………………………………9分（3）由题意得1s b a d q aa++==，12t c a d q ba d ++==+，又0,0a d >>，故220()a d a d daa da a d ++-=>++，可得2a d a d aa d++>+，又20a d a d+>+，故110s t q q ++>>，即11||||s t q q ++>．又||1q >，故有11s t +>+，即s t >． ………………………………………12分 设3n +个数所构成的等比数列为}{n a ，则123,,2s n a c a a a b a c +++====，由413(2,3,4,k n k n a a a a ac k +-+===…，2)n +，可得32(a a (2)22231)()()n n n a a a a a +++= (1)1322()()()n n n a a a a ac +++=， ……………………14分又10s b q a+=>，01>=+bc qt ，由,s t 都为奇数，则q 既可为正数，也可为负数，①若q 为正数，则23a a …2n a +12()n ac +=，插入n 个数的乘积为122()n ac a c++；②若q 为负数，,,32a a …2,n a +中共有12n +个负数，故32a a (1)(1)222(1)()n n n a ac +++=-，所插入的数的乘积为2a c +1(1)22(1)()n n ac ++-．所以当42(n k k =-∈N*)时，所插入n 个数的积为122()n ac a c++；当4(n k k =∈N*）时，所插入n 个数的积为122()n ac a c+±+． …………………18分（另法：由又10s b q a+=>，01>=+bc qt ，20n c qa+=>由,s t 都为奇数，可知n 是偶数，q 既可为正数也可为负数．23a a …2n a +23()()()aq aq aq =…(1)(2)112()n n n n aqaq++++=①若q 为正数，则23a a …2n a +111121222()()()n n n n n n ca q aac a ++++++===，故插入n 个数的乘积为122()n ac a c++； …………………15分②若q 为负数，由n 是偶数，可知(1)(2)2n n ++的奇偶性与22n +的奇偶性相同，可得23a a …2n a +2122(1)()n n ac ++=-．所以当42(n k k =-∈N*)时，所插入n 个数的积为122()n ac a c++；当4(n k k =∈N*）时，所插入n 个数的积为122()n ac a c+±+． …………………18分）23．解：（1）对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-， 当且仅当21x x =-时，有1212()()112f x f x x x +=++=，故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()12f x f x +=， ……………………2分所以1是函数()21(11)f x x x =+-≤≤的“均值”． ……………………4分 (另法：对任意的1[1,1]x ∈-，有1[1,1]x -∈-，令21x x =-， 则2[1,1]x ∈-，且1212()()112f x f x x x +=++=，若2[1,1]x '∈-，且12()()12f x f x '+=，则有22()()f x f x '=，可得22x x '=，故存在唯一2[1,1]x ∈-，满足12()()12f x f x +=， ……………………2分所以1是函数()21(11)f x x x =+-≤≤的“均值”． ……………………4分） （2）当0a =时，()2(12)f x x x =-<<存在“均值”，且“均值”为3-；…………5分 当0a ≠时，由2()2(12)f x ax x x =-<<存在均值，可知对任意的1x ， 都有唯一的2x 与之对应，从而有2()2(12)f x ax x x =-<<单调， 故有11a ≤或12a≥，解得1a ≥或0a <或102a <≤， ……………………9分综上，a 的取值范围是12a ≤或1a ≥． ……………………10分（另法：分0,a =1111,12,2a aa≤<<≥四种情形进行讨论）（3）①当I (,)a b =或[,]a b 时，函数()f x 存在唯一的“均值”． 这时函数()f x 的“均值”为2a b +； …………………12分②当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………14分③当I (,)a =+∞或(,)a -∞或[,)a +∞或(,]a -∞或[,)a b 或(,]a b 时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………16分 [评分说明：若三种情况讨论完整且正确，但未用等价形式进行叙述，至多得6分；若三种情况讨论不完整，且未用等价形式叙述，至多得5分]①当且仅当I 形如(,)a b 、[,]a b 其中之一时，函数()f x 存在唯一的“均值”． 这时函数()f x 的“均值”为2a b +； ……………………13分②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分③当且仅当I 形如(,)a +∞、(,)a -∞、[,)a +∞、(,]a -∞、[,)a b 、(,]a b 其中之一时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分 （另法：①当且仅当I 为开区间或闭区间时，函数()f x 存在唯一的“均值”．这时函数()f x 的均值为区间I 两端点的算术平均数； ……………………13分②当且仅当I 为(,)-∞+∞时，函数()f x 存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数()f x 的“均值”； ……………………16分③当且仅当I 为除去开区间、闭区间与(,)-∞+∞之外的其它区间时，函数()f x 不存在“均值”． ……………………18分）[评分说明：在情形①与②中，等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”，各扣1分]。

2011届高考第三轮复习理科数学精编模拟试卷（五）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数-i 的一个立方根是i ，它的另外两个立方根是A ±12iB ．±12iC ．+12iD ．12i2．不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log ,2|2|22x x 的解集为A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(3．ABC ∆的三边,,a b c 满足等式cos cos cos a A b B c C +=，则此三角形必是 A ．以a 为斜边的直角三角形 B ．以b 为斜边的直角三角形 C ．等边三角形 D ．其它三角形4．若函数2()log (3)(01)a f x x ax a a =-+>≠且，满足对任意的1x 、2x ，当221ax x ≤<时， 0)()(21>-x f x f ，则实数a 的取值范围为A ．)3,1()1,0(B ．)3,1(C ．)32,1()1,0(D ．)32,1(5．设αtan 、βtan 是方程04333=++x x 的两根，且)2,2(),2,2(ππβππα-∈-∈，则βα+的值为：A ．32π-B ．3πC ．323ππ-或 D ．323ππ或-6．过曲线33:x x y S -=上一点)2,2(-A 的切线方程为A ．2-=yB ．2=yC ．0169=-+y xD ．20169-==-+y y x 或7．如图，在多面体ABCDFE 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF=23，EF 与面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为：A ．29 B ．5 C ．6 D ．215 8．如果n 是正偶数，则C n 0＋C n 2＋…＋C n n -2＋C n n＝ A ．2nB ．2n -1C ．2n -2D ．(n －1)2n -19．等比的正数数列{n a }中，若965=a a ，则1032313log log log a a a +++ =A ．12B ．10C ．8D ．2+5log 3 10．双曲线b 2x 2－a 2y 2=a 2b 2 (a>b>0)的渐近线夹角为α，离心率为e,则cos 2α等于 A ．eB ．e 2C ．e1D ．21e二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．11．已知函数22x1x )x (f +=，那么)31(f )3(f )21(f )2(f )1(f +++++=+)41(f )4(f ________． 12．如图是一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是________．13．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=+qp 11________． 14．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为________，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为________．15．(几何证明选讲选做题)如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、TB 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA =________，TEAD=________．三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）记函数)()(1x f x f =，)())((2x f x f f =，它们定义域的交集为D ，若对任意的D x ∈,x x f =)(2，则称)(x f 是集合M 的元素．（Ⅰ）判断函数12)(,1)(-=+-=x x g x x f 是否是M 的元素； （Ⅱ）设函数)1(log )(x a a x f -=，求)(x f 的反函数)(1x f -，并判断)(x f 是否是M 的元素．17．（本小题满分12分） 已知抛物线21()4f x ax bx =++与直线y x =相切于点(1,1)A ． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）若对任意[1,9]x ∈，不等式()f x t x -≤恒成立，求实数t 的取值范围． 18．（本小题满分14分）如图组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点．（Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．P19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：121,4,a a ==且对任意的3,n n N *≥∈有12440n n n a a a ---+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）是否存在等差数列{}n b ，使得对任意的n N *∈有1212nn n n n na bCb C b C =+++成立？证明你的结论．20．（本小题满分14分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+ba b y a x C 的离心率e ，左右两个焦分别为21F F 、．过右焦点2F 且与轴垂直的．直线与椭圆C 相交M 、N 两点，且|MN|=1．（Ⅰ） 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆C 的左顶点为A,下顶点为B ，动点P 满足4PA AB m ⋅=-，（m R ∈）试求点P 的轨迹方程，使点B 关于该轨迹的对称点落在椭圆C 上． 21．（本小题满分14分）已知二次函数()2f x ax bx c =++．（Ⅰ）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；（Ⅱ）若对12,,x x R ∀∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明()012,x x x ∃∈，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立． （Ⅲ）是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件①对,(4)(2)x R f x f x ∀∈-=-，且()0f x ≥；②对x R ∀∈，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-．若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题：DCDDA DDBBC解析：1．复数i 的一个辐角为900，利用立方根的几何意义知，另两个立方根的辐角分别是900+1200与900+2400，即2100与3300，故虚部都小于0，答案为D ．2．把x =3代入不等式组验算得x=3是不等式组的解，则排除A 、B ，再把x=2代入不等式组验算得x=2是不等式组的解，则排除D ，所以选C ．3．在题设条件中的等式是关于,a A 与,b B 的对称式，因此选项在A 、B 为等价命题都被淘汰，若选项C正确，则有111222+=，即112=，从而C 被淘汰，故选D ． 4．“对任意的x 1、x 2，当221ax x ≤<时，0)()(21>-x f x f ”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“)(x f 有意义”．事实上由于3)(2+-=ax x x g 在2a x ≤时递减，从而⎪⎩⎪⎨⎧>>.0)2(,1a g a 由此得a 的取值范围为)32,1(，故选D ．5．由韦达定理知0tan ,0tan ,0tan tan ,0tan tan <<><+βαβαβα且故从而(,0)2πα∈-，(,0)2πβ∈-，故.32πβα-=+故选A ．6．当点A 为切点时，所求的切线方程为0169=-+y x ，当A 点不是切点时，所求的切线方程为.2-=y 故选D ．7．由已知条件可知，EF ∥平面ABCD ，则F 到平面ABCD 的距离为2，∴V F －ABCD ＝31·32·2＝6，而该多面体的体积必大于6，故选D ．8．由二项展开式系数的性质有C n 0＋C n 2＋…＋C n n -2＋C n n＝2n -1，选B ．9．取特殊数列．．．．．n a =3，则1032313log log log a a a +++ =1033log =10，选B ． 10．本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察．取双曲线方程为42x －12y =1，易得离心率e=25，cos 2α=52，故选C ．二．填空题：11．72； 12．4π；13．4a ；14．22(2)4x y +-=，)2,2(π；15解析：11．因为2222222111()()111111x x x f x f x x x x x+=+=+=++++（定值），于是1(2)()12f f +=，1(3)()13f f +=，1(4)()14f f +=，又1(1)2f =，故原式=72．12．因为正方形的面积是16，内切圆的面积是4π，所以豆子落入圆内的概率是4164ππ=． 13．设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得ax 21±，∴a FQ PF 21||||==，从而a qp 411=+．14．（略） 15．（略） 三．解答题： 16．解：（Ⅰ）∵对任意R x ∈，x x x f f =++--=1)1())((，∴M x x f ∈+-=1)(． ∵341)12(2))((-=--=x x x g g 不恒等于x ，∴M x g ∉)(． （Ⅱ）设)1(log x a a y -=．①1>a 时，由110<-<x a 解得0,0<<y x ．由)1(log x a a y -=解得其反函数为)1(log x a a y -=，)0(<x ；②10<<a 时，由110<-<x a 解得0,0>>y x ．由)1(log x a a y -=解得其反函数为)1(log x a a y -=，)0(>x ．∵x a a x f f x a a a xa =+-=-=-)11(log )1(log ))(()1(log ， ∴M a x f x a ∈-=)1(log )(．17．解：（Ⅰ）依题意，有1(1)1144(1)21f a b a f a b ⎧=++=⎪⇒=⎨⎪'=+=⎩，12b =．因此，()f x 的解析式为21()2x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭； （Ⅱ）由()f x t x -≤（19x ≤≤）得212x t x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（19x ≤≤），解之得221)1)t ≤≤（19x ≤≤）．由此可得2min 1)]4t ≤=且2max 1)]4t ≥=，所以实数t 的取值范围是{|4}t t =．18．（Ⅰ）证明：因为侧面11ABB A 是圆柱的的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点，所以AC BC ⊥．又圆柱母线1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥BC ．又1AA AC A =，所以BC ⊥平面1A AC ，因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC⊥平面1A AC ． （Ⅱ）解：设圆柱的底面半径为，母线长度为h ．当点C 是弧AB 的中点时，三角形ABC 的面积为2r ，三棱柱111ABC A B C -的体积为2r h ，三棱锥1A ABC -的体积为213r h ，四棱锥111A BCC B -的体积为2221233r h r h r h -=，圆柱的体积为2r h π，四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比为2:3π．19．解：（Ⅰ）∵12440n n n a a a ---+=，∴11222(2)(3)n n n n a a a a n ----=-≥， 11222,(3)2n n n n a a n a a ----∴=≥-，∴数列1{2}n n a a --是首项为（212a a -），公比为2的等比数列．2122a a -=，2112222n n n n a a ---∴-=⋅=(2)n ≥ 112122n n n n a a ---∴-=，∴数列1{}2nn a -是首项为1，公差为1的等差数列，12nn a n -∴=，∴12n n a n -=⋅．（Ⅱ）令1,2,3n =代入1212nn n n n na bCb C b C =+++得11212221231323331412b b C b C b C b C b C =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩解得1231,2,3b b b ===．由此可猜想n b n =，即11222.n n n n n n C C nC -⋅=+++下面用数学归纳法证明：（1）当n ＝1时，等式左边＝1，右边＝111C =，∴当n ＝1时，等式成立． （2）假设当n ＝k 时，等式成立，即11222.k k k k k k C C kC -⋅=+++当n ＝k ＋1时，111(1)222222k k k k k k k k +--+⋅=⋅+=⋅+ 12012(2)().k k k k k k k k C C kC C C C =+++++++1201242.k k k k k k k k C C kC C C C =+++++++011223()2()3()(1).k k k k k k k k C C C C C C k C =++++++++1231111123(1).k k k k k C C C k C +++++=+++++∴当n ＝k ＋1时，等式成立．综上所述，存在等差数列n b n =，使得对任意的n N *∈有1212nn n n n na bCb C b C =+++成立． 20．解：（Ⅰ）∵2MF x ⊥轴，∴21||2MF =，由椭圆的定义得11||22MF a +=． ∵2211||(2)4MF c =+，∴2211(2)424a c -=+，又e =2234c a = ∴22423,a a a -= 0a >，2a ∴=，∴2222114b a c a =-==，∴所求椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B 为（0，－1），设点P 的坐标为(,)x y ，则(2,)PA x y =---，(2,1)AB =-，由PA AB m ⋅=－4得－424x y m -+=-，∴点P 的轨迹方程为2y x m =+．设点B 关于P 的轨迹的对称点为00'(,)B x y ，则由轴对称的性质可得：0000111,2222y y x m x +-=-=⋅+， 解得004423,55m m x y ---==．∵点00'(,)B x y 在椭圆上，∴ 224423()4()455m m ---+=，整理得2230m m --=解得1m =-或32m =．∴点P 的轨迹方程为21y x =-或322y x =+，经检验21y x =-和322y x =+都符合题设，∴满足条件的点P 的轨迹方程为21y x =-或322y x =+．21．解：（Ⅰ）()10,0,f a b c -=∴-+=b ac =+，2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=-，当a c =时0∆=，函数()f x 有一个零点；当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点．（Ⅱ）令()()()()1212g x f x f x f x =-+⎡⎤⎣⎦，则 ()()()()()()121112122f x f x g x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()212212122f x f xg x f x f x f x -=-+=⎡⎤⎣⎦ ()()()()()()()212121210,4g x g x f x f x f x f x ∴⋅=--<≠⎡⎤⎣⎦()0g x ∴=在()12,x x 内必有一个实根，即()012,x x x ∃∈，使()()()01212f x f x f x =+⎡⎤⎣⎦成立．（Ⅲ）假设,,a b c 存在，由①知抛物线的对称轴为x ＝－1，且m in ()0f x =，∴241,024b ac b a a--=-= ⇒ 222,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒=．由②知对x R ∀∈,都有210()(1)2f x x x ≤-≤-．令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ⇒-=(1)1f ⇒=1a b c ⇒++=．由12a b c b aa c++=⎧⎪=⎨⎪=⎩得11,42a c b ===． 当11,42a c b ===时，221111()(1)4244f x x x x =++=+，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x R ∀∈，都有210()(1)2f x x x ≤-≤-，满足条件②．∴存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足条件①、②．。

2011年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练数学（理科）参考答案－．选择题：ADDDC BABAC二．填空题：11．1； 12．(0,1)； 13．23； 14．②④； 15．A {}212x x x -<<->或； B ．４；C ．31-或；三．解答题：16．解：（Ⅰ）)sin cos ,sin cos 2(A A A A n m +-+=+)4sin(44)sin (cos )sin cos 2(||22π--=++-+=+A A A A A n m2||=+n m ,0)4sin(=-∴πA又π<<A 0 3,444A πππ∴-<-<4,04ππ==-∴A A ……6分 （Ⅱ）4,2π==A a c ,2sin sin ==∴ACa c π<<=∴C C 0,1sin 又 2π=∴CABC ∴∆为等腰直角三角形，16)24(212=⨯=ABC S ……12分17．解：记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件A 、B 、C ，三次均未击中目标为事件D ，则1()2P A =． 设选手甲在x m 处击中目标的概率为()P x ，则2()kP x x =．由100x =m 时1()2P A =，得212100k =，∴5000k =，25000()P x x=． ∴21(),(),98P B P C ==17749()()()()298144P D P A P B P C ==⨯⨯=． ……4分（Ⅰ）由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在三次射击中击中目标的概率为95()()()144P P A P A B P A B C =+⋅+⋅⋅=． ……7分 （Ⅱ）由题设知，ξ的可取值为0,1,2,3．1(3)2P ξ==，121(2)299P ξ==⨯=，1717(1)298144P ξ==⨯⨯=，49(0)144P ξ==． ∴ξ的分布列为ξ0 1 2 3P49144 7144 19 12数学期望为8548E ξ=． ……12分 18．解：（Ⅰ）证明： PA ⊥平面ABCD ，PA AC ∴⊥AC AB ⊥,AC PAB ∴⊥平面,PB AC ∴⊥ ……3分（Ⅱ）连结BD 交AC 于O ，连结OE ，PB ∥平面ACE ,平面ACE 平面PBD OE =∴PB ∥OE ,又O 为BD 的中点∴E 为PD 的中点，故 1.λ= ……7分（Ⅲ）取AD 的中F ,连结EF ,则EF ∥PA ,PA ⊥平面ABCD ,EF ∴⊥平面ABCD .连结OF ,则OF ∥AB BA AC ⊥,OF ∴⊥AC ,连结OE , 则,OE AC EOF ⊥∴∠就是二面角D AC E --的平面角， 又11,,,45.22EF PA OF AB EF OF EF OF EOF ==∴=⊥∴∠=且 ∴二面角B AC E --大小为 135 ……12分19．解：（1）∵53,a a 是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差0d >，∴355,9a a ==，公差.23535=--=a a d ∴.12)5(5-=-+=n d n a a n又当n 1=时，有11112b b S -==113b ∴= 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{n b }是首项113b =，公比13q =的等比数列，∴111.3n n n b b q -== ……6分（2）213n n n n n c a b -==，12313521........3333n nn T -=++++① 13n T ∴=23411352321...33333n n n n +--+++++② ①-②得2312122221.....333333n n n n T +-=++++-=2311111212(.....)33333n n n +-++++-，化简得：113n n n T +=- ……12分 20．（Ⅰ）设(,),(,0),(0,),0B x y C a M b a ≠，CA CB ⊥,即90ACB ∠= 21b a a∴⋅=--，于是22a b =① M 在y 轴上，且1()2AM AB AC =+，M ∴是BC 的中点，可得0202a xy b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩2a x yb =-⎧⎪∴⎨=⎪⎩② 把②代入①得2(0)y x x =≠，所以B 的轨迹E 的方程为2(0)y x x =≠ ……6分 （Ⅱ）点1(0,)4F -,设满足条件的直线l 的方程为14y kx =-，1122(,),(,)H x y G x y 由214y kx y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2104x kx -+=，2210,1k k ∆=->∴>，12FH HG =，11211211(,)(,)42x y x x y y ∴+=--，1211122x x x ∴=-， 123x x ∴=，12x x k +=，1214x x =，23k ∴= ……13分 21．解：（Ⅰ）)(x F 的定义域为（0，+∞）， 又()()()F x g x f x =-2ln x a x =-∴xax x a x x F -=-='222)(， 当0≤a 时，)(x F '>0恒成立∴)(x F 在（0，+∞）上单调递增； 令()0F x '=得22ax =当0a >时，若220a x <<，()0F x '< ∴)(x F 在（0，22a ）上单调递减； 若x >22a ，()0F x '>，∴)(x F 在（22a，+∞）上单调递增 故0a ≤时，()F x 增区间为(0,)+∞；0a >时，()F x 增区间为2a ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，减区间为（0，22a ）。

2011届高中毕业班第三次适应性测试数学（理科）2011.4 考生注意:1. 本试卷分第I卷(选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟.2. 考生作答时,请将答案答在答题卡上。

第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第II卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大理共12小题,毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合理目要求的.请将正确答案的代号填在答题卷的对应位置上.）1. 复数的虚部是A. 1B. -1C. 2 D－22. 已知集合，，，则=A. B.C.D.3. 已知实数x,y则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 若实数x,y满足不等式组则的最大值为A. B. C. D.5. 在等比数列中,a1=2,前n项和为，若•,则=A. B. 3 C. 4 D. 86. 的展开式中所有项的系数和为A. 64B. 128C. 225D. 2567. 若关于x的不等式的解集是，则实数k的取值范围是A. (-1,1)B.C. D.8. 在三棱柱中，已知，AB丄側面，则直线C1B与底面ABC所成角的正弦值为A. B. C. D.9. 已知函数，且，若关于x的方程有3个不同实根，则实数k的取值范围是A. (0,2)B. [2,4]C. (0,4)D. [0,4]10. 已知椭圆C:(a>b>0)，F(c，0)是它的右焦点，经过坐标原点O的直线l与楠圆相交于A,B两点，且，则椭圆的离心率为A. B. C. D.11. 已知在上单调，且，则=A.—2B. — 1C. - D,12. 在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为A. B. C. D.第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，毎小题5分，共20分.请把答案填在答题卷相应位置上.)13. 连接球面上两点的线段称为球的弦.半径为5的球的两条弦A B、C D的长度分别等于8、2，M、N分别为A B、C D的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则M N的最小值为_______ 14. 已知函数是偶函数，且当时，，则=_______.15. 若双曲线(a〉0,b>0〉的渐近线与圆相切，则此双曲线的渐近线方程为_______16. 已知向量，|b|=1.则函数的最大值为_______三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请把解答过程写在答题卷相应位置上）17. (本小题满分10分）在中，内角A、B、C对边分别是已知,求的面积.18. (本小题满分12分)各项均为正数的数列的前n项和为，满足(I)求数列的通项公式；(I I)记，求数列的前项和19. (本小题满分12分）如图1，直角梯形ABCD中，A D//B C,’E、F分别为边AD、BC上的点,且EF//AB ,AD=2AE=2AB=4FC=4,将四边形EFCD沿EF折起如图2的位置，使AD=AE.(I)求证:B C//平面DAE;(II)求平面CBD与平面DAE所成锐二面角的余弦值.20 (本小题满分12分）某学科的试卷中共有12道单项选择题.（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分,不答或答错得0分〉。

福建莆田市 2011届高三适应性练习数学（理）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用O ．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．0sin(225)-的值是（ ）A．2B．2-C．2D．22．已知变量x y 、满足条件1,2,0,x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则x y +的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13．在递减等差数列}{n a 中，若150a a +=，则n s 取最大值时n 等于（ ）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ． 2或34．下列命题中，真命题的个数有（ ）①21,04x R x x ∀∈-+≥；②2,220x R x x ∃∈++<； ③函数2x y -=是单调递增函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A ．2()f x x =B ．1()f x x= C ．()ln 26f x x x =+-D ．()sin f x x =6．已知函数2221,0,()21,0,x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式恒成立的是（ ）A ．12()()0f x f x ->B ．12()()0f x f x -<C ．12()()0f x f x +<D ．12()()0f x f x +>7．由两个完全相同的正四棱锥组合而成的空间几何体的正(主)视图、侧(左)视图、 俯视图相同如右图所示，其中视图中ABCD 四边形是边长为1的正方形，则 该几何体的体积为( )A.B.3 C. 3 D. 68．已知双曲线221x y -=与直线()112y x =-交于A 、B 两点，满足条件()OA OB OC O λ+=u u u r u u u r u u u r为坐标原点的点C 也在双曲线上，则点C 的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ． 2个D ．0个或1个或2个 9．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是．．尖子生的是（ ） A ．甲同学：均值为2，中位数为2 B ．乙同学：均值为2，方差小于1 C ．丙同学：中位数为2，众数为2 D ．丁同学：众数为2，方差大于1 10．已知f(x)是定义在[a ，b]上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件： ①f(x)的值域为G ，且G ⊆[a ，b]；②对任意不相等的x ，y ∈[a ，b]，都有|f(x)－f(y)|<|x －y|．那么，关于x 的方程f(x)=x 在区间[a ，b]上根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有且仅有一个实数根C ．恰有两个不等的实数根D ．有无数个不同的实数根第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．已知复数Z a bi =+（其中i 为虚数单位），若||1a ≤且||1b ≤，则||1Z ≤的概率为 ．12．P 为抛物线24y x =上一动点，则点P 到y 轴距离和到点A ()2,3距离之和的最小值等于 ．13．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则24a a +的值等于 _． 14．在△ABC 中，060A ∠=，1b =，2ABCS = ，则AB AC ⋅u u u r u u u r 等于 ． 15．已知函数f(x)=－x 3+ax 2+bx(a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点相切， 且x 轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为112，则a= ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）随机变量X 的分布列如下表如示，若数列{}n p 是以1p 为首项，以q 为公比的等比数列，则称随机变量X 服从等比分布，记为Q(1p ,q )．现随机变量X ∽Q(163,2)．(Ⅰ)求n 的值并求随机变量X 的数学期望EX ；（Ⅱ）一个盒子里装有标号为1，2，…，n 且质地相同的标签若干张，从中任取1张标签所得的标号为随机变量X ．现有放回的从中每次抽取一张，共抽取三次，求恰好2次取得标签的标号不大于3的概率．17.（本小题满分13分）椭圆1C ：()012222>>=+b a by a x 与抛物线2C ：()022>=p py x 的一个交点为M ，抛物线2C 在点M 处的切线过椭圆1C 的右焦点F ． (Ⅰ)若M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛552,2，求1C 和2C 的标准方程； X12…nP 1p 2p … n p（II ）求椭圆1C 离心率的取值范围．18.（本小题满分13分）已知，在水平平面α上有一长方体1AC 绕BC 旋转090得到如图所示的几何体． (Ⅰ)证明：平面11ADC B ⊥平面22EFC B ；（Ⅱ）当1AB BC ==时，直线2CB 与平面11ADC B 所成的角的正弦值为34，求1AA 的长度；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设旋转过程中，平面11BCC B 与平面α所成的角为θ，长方体1AC 的最高点离平面α的距离为()fθ，请直接写出()f θ的一个表达式，并注明定义域．19.（本小题满分13分）某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与a x -和x 的乘积成正比；②2a x =时，2y a =；③02()x t a x ≤≤-，其中t 为常数，且[0,1]t ∈．(Ⅰ)设()y f x =，求()f x 表达式，并求()y f x =的定义域； （Ⅱ）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入．20.（本小题满分14分） 已知函数f(x)=12m(x －1)2－2x+3+lnx （m≥1）．A 222(Ⅰ)当32m =时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值； （Ⅱ）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a ，b]；（Ⅲ）是否存在实数m ，使曲线C ：y=f(x)在点P （1，1）处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点？若存在，求出实数m 的值，若不存在，请说明理由．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． (1)（选修4—2 矩阵与变换）（本小题满分7分） 已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣24⎤⎥⎦，向量74⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ α． (Ⅰ) 求矩阵A 的特征值1λ、2λ和特征向量1 α、2α；（Ⅱ）求5Aα的值．(2)（选修4—4 参数方程与极坐标）（本小题满分7分）在极坐标系中,过曲线)0(c o s 2s i n :2>=a a L θθρ外的一点),52(θπ+A (其中,2t a n =θθ为锐角)作平行于)(4R ∈=ρπθ的直线l 与曲线分别交于C B ,．(Ⅰ) 写出曲线L 和直线l 的普通方程(以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建系)； （Ⅱ）若|||,||,|AC BC AB 成等比数列,求a 的值．(3)（选修4—5 不等式证明选讲）（本小题满分7分） 已知正实数a 、b 、c 满足条件3a b c ++=，(Ⅰ) 3≤； （Ⅱ）若c ab =，求c 的最大值．1．A 2．C 3． D 4．B 5．D 6．B 7．C 8．A 9．D 10．B11．4π121 13． 15 14． 1 15． －116．解：(Ⅰ)依题意得，数列{}n p 是以163为首项，以2为公比的等比数列， 所以121(12)6312n n n S p p p -=+++=- =1………………………………………………………………1分 解得n=6。

2011年适应性考试数学试题（本试卷共4页，满分120分．考试时间120分钟．）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 答题用0．5毫米的黑色墨水签笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，如需改动，用橡皮擦干净后，再作答，答在试题卷上无效． 3. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交收回．一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答. 1．在数轴上表示2-的点离开原点的距离等于A ．2B ．2-C ．2±D ．4 2．下列各式计算不正确．．．的是 A ．—（—3）＝3 B ．42= C ．()3339x x = D ．1122-=3．4的算术平方根是 A ．2 B ．2-C ．2±D ．164．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5．不等式组11223x x ⎧⎪⎨⎪-<⎩≤的解集在数轴上表示为6．一次函数y =－2x +3的图象不经过．．．的象限是A ．第一象限B ．第二象限 C．第三象限 D ．第四象限 7．下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是ABCD8．下图中不是中心对称图形的是圆柱 正方体 圆锥球 -1 0 1 2 A -1 0 1 2 B -1 0 1 2 C -1 0 1 2DAB C D9．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 A.1k >- B.1k >-且0k ≠ C.1k < D. 1k <且0k ≠10．已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是A ．01d <<B ．5d >C ．01d <<或5d >D ．01d <≤或5d > 11．如图，⊙0是△ABC 的外接圆，已知∠ABO ＝50°，则∠ACB 的大小为A ．40°B ．30°C ．45°D ．50°12．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于 A ．1∶3B ．2∶3C ．3∶2D ．3∶3二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）把答案填在答题卡的对应位置的横线上．13．据统计，襄樊市现有人口总数约为560万人，用科学记数法表示这个数为 . 14．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为 ．15．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则图象的关系式为： 。

2011年广西南宁市高三第三次适应性测试数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1. 复数3+i 2−i的虚部是（ ）A 1B −1C 2D −22. 已知集合A ={0, 1, a}，B ={a 2, 1}，A ∩B ={1}，A ∪B ={0, 1, 2, 4}，则C R B =( )A (−∞, 1)∪(2, +∞)B (−∞, 1)∪(4, +∞)C {x|x ≠1且x ≠4}D {x|x ≠1且x ≠2}3. 已知实数a ，b ，则“ab ≥2”是“a 2+b 2≥4”的（ ）条件.A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要 4. 若实数x ，y 满足不等式组{0≤x ≤x20≤y ≤sinx 则z =y −12x 的最大值为（ ）A 1−π4B 12−π4C√22−π6D√32−π65. 在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为S n ，若S 3=a 3+83，则limn →∞S n等于（ ）A 32B 3C 4D 86. (C 41x +C 42x 2+C 43x 3+C 44x 4)2的展开式中所有项的系数和为( ) A 64 B 128 C 225 D 2567. 若关于r 的不等式(k 2−2k +32)r <(k 2−2k +32)1−r 的解集是(12，+∞)，则实数k 的取值范围是（ ） A (−1, 1) B (−√22，√22) C (2−√2，2+√2) D (1−√22，1+√22) 8. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知BC =1，BB 1=2，∠BCC 1=90∘，AB 丄側面BB 1C 1C ，则直线C 1B 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ） A √55 B2√55C √34D √329. 已知函数f(x)=x|m −x|(x ∈R)，且f(4)=0，若关于x 的方程f(x)=k 有3个不同实根，则实数k 的取值范围是（ ）A (0, 2)B [2, 4]C (0, 4)D [0, 4] 10. 已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，F(c, 0)是它的右焦点，经过坐标原点O 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且FA →⋅FB →=0，|OA →−OB →|=2|OA →−OF →|，则椭圆的离心率为（ ）A √2B √3C √2−1D √3−1 11. 已知f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|≤π2)在[0,4π3]上单调，且f(π3)=0，f(4π3)=2，则f(0)等于（ ） A −2 B −1 C −√32 D −1212. 在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为（ ） A 815B 835C 1629D 1635二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13. 连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为5的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于8、2√2，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则MN 的最小值为________．14. 已知函数f(x)是偶函数，且当x ∈(0, 1)时，f(x)=2x −1，则f(log 223)等于________．15. 若双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的渐近线与圆(x −2)2+y 2=1相切，则C 的渐近线方程为________．16. 已知向量a n →=(cosnπ7,sinnπ7)，|b →|=1．则函数y =|a 1→+b →|2+|a 2→+b →|2+|a 3→+b →|2+⋯+|a 141→+b →|2的最大值为________．三、解答题（共6小题，满分70分）17. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边分别是已知c +b =2+√3，C =π3，sinC +sin(B −A)=2sin2A ，求△ABC 的面积．18. 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2(S n +1)=a n 2+a n (n ∈N n ) （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =2n a n ，求数列{b n }的前项和T n ．19. 如图1，直角梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC =90∘，E ，F 分别为边AD 和BC 上的点，且EF // AB ，AD =2AE =2AB =4FC =4，将四边形EFCD 沿EF 折起如图2的位置，使AD =AE ． （1）求证：BC // 平面DAE ； （2）求四棱锥D −AEFB 的体积；（3）求面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值． 20. 某学科的试卷中共有12道单项选择题．（每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项是正确的，答对得5分，不答或答错得0分>．某考生每道题都给出了答案，已确定有8道题答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这12道选择题，求：（1）该考生得分为60分的概率；（2）该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ．21. 过点M(4, 2)作X 轴的平行线被抛物线C:x 2=2py(p >0)截得的弦长为4√2(I )求抛物线C 的方程；(II)过拋物线C 上两点A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2(I)若l 1，l 2交点M ，求直线AB 的方(II)若直线AB 经过点M ，记l 1，l 2的交点为N ，当S △ABN =28√7时，求点N 的坐标． 22. 已知函数f(x)=(2−a)(x −1)−2lnx ．(I)当a =1时，求f(x)的极值；(II)若函数f(x)在(0,12)上恒大于零，求实数a 的最小值．2011年广西南宁市高三第三次适应性测试数学试卷（理科）答案1. A2. C3. A4. D5. B6. C7. D8. B9. C 10. D 11. B 12. C 13. 1 14. 1215. y =±√33x 16. 28417. 解：由题意得：sin(B +A)+sin(B −A)=4sinAcosA ，即sinBcosA =2sinAcosA ， 当cosA =0时，则A =π2，B =π6，则a =2b ，c =√3b ，又c +b =2+√3，所以b =√3+12，c =3+√32，所以S △ABC =12bcsinA =3+2√34； 当cosA ≠0时，得sinB =2sinA ，由正弦定理得：b =2a ，① 又由余弦定理得：cos π3=a 2+b 2−(2+√3−b)22ab=12，②将①代入②，解得a =1或a =7+4√3>b +c =2+√3（舍去），b =2， 此时c =√3，所以△ABC 是直角三角形，所以S △ABC =12ac =√32， 综上，△ABC 的面积为3+2√34或√32．18. 解：（1）令n =1，则2(S 1+1)=a 12+a 1 ∴ a 1=−1（舍）或a 1=2当n ≥2时，2(S n +1)=a n 2+a n 2(S n−1+1)=a n−12+a n−1 两式相减得2a n =a n 2−a n−12+a n −a n−1 ∵ a n >0∴ a n −a n−1=1∴ 数列{a n }为等差数列，首项为2，公差为1 ∴ a n =n +1（2）∵ b n =2n ⋅a n =(n +1)⋅2n∴ T n =2⋅2+3⋅22+4⋅23+...+n ⋅2n−1+(n +1)⋅2n 2T n =2⋅22+3⋅23+...+n ⋅2n +(n +1)⋅2n+1 两式相减得−T n =2+2+22+23+...+2n −(n +1)⋅2n+1=2+2(1−2n )1−2−(n +1)⋅2n+1∴ T n =n ⋅2n+1 19. 解：（1）证明：∵ 直角梯形ABCD 中，AD // BC ，∠ABC =90∘，E ，F 分别为边AD 和BC 上的点，且EF // AB ， ∴ CF // DE ，FB // AE又∵ BF ∩CF =F ，AE ∩DE =E ，CF 、FB ⊂面CBF ，DE 、AE ⊂面DAE ∴ 面CBF // 面DAE…又BC ⊂面CBF ，所以BC // 平面DAE… （2）取AE 的中点H ，连接DH∵ EF ⊥ED ，EF ⊥EA ，ED ∩EA =E ∴ EF ⊥平面DAE 又DH ⊂平面DAE ， ∴ EF ⊥DH∴ AE =ED =DA =2，∴ DH ⊥AE,DH =√3，又AE ∩EF =E ∴ DH ⊥面AEFB…所以四棱锥D −AEFB 的体积V =13×√3×2×2=4√33… （3）如图以AE 中点为原点，AE 为x 轴建立空间直角坐标系则A(−1, 0, 0)，D(0, 0, √3)，B(−1, −2, 0)，E(1, 0, 0)，F(1, −2, 0) 因为CF →=12DE →，所以C(12，−2，√32)… 易知BA →是平面ADE 的一个法向量，BA →=n 1→=(0,2,0)… 设平面BCD 的一个法向量为n 2→=(x,y,z)由{n 2→⋅BD →=(x,y,z)⋅(1,2√3)=x +2y +√3z =0˙令x =2，则y =2，z =−2√3，∴ n 2→=(2,2,−2√3)… cos <n 1→，n 2→>=|n 1→||n 2→|˙=2×0+2×2−2√3×02×2√5=√55所以面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值为√55…20. 解：（1）由题意知本题是一个相互独立事件同时发生的概率， 考生要得60分，其余四道题必须全做对， ∴ 得60分的概率为 P =12×12×13×14=148．（2）由题意知该考生得分ξ的取值是40，45，50，55，60， 得分为40表示只做对了8道题，其余4题都做错， 故求概率为 P(ξ=40)=12×12×23×34=18； 同样可求得得分为45分的概率为P(ξ=45)=C 21×12×12×23×34+12×12×13×34+12×12×23×14=1748；得分是50分的概率为P(ξ=50)=1748； 得分是55分的概率为P(ξ=55)=748；得分是60分的概率为P(ξ=60)=148． ∴ ξ的分布列为∴ Eξ=40×648+45×1748+50×1748+55×748+60×148=57512．该考生所得分数的数学期望为 5751221. 解：(I )由已知得点(2√2, √2)在抛物线x 2=2py 上， 代入得8=4p ，故p =2， 所以x 2=4y ．(II)设A(x 1, x 124)，B(x 2, x 224)，直线AB 方程为y =kx +b ， 由{y =kx +b x 2=4y得，则x 1+x 2=4k ，x 1⋅x 2=−4b ． 又y =14x 2，求导得y ′=x2．故抛物线在A ，B 两点处的切线斜率分别为x12，x22．故在A ，B 两点处的切线方程为l 1:y =x 12x −x 124和l 2：:y =x 22x −x 224，于是l 1与l 2的交点坐标为(x 1+x 22, 4˙)，即为(2k, −b)．(I)∵ l 1，l 2交点M∴ {2k =4−b =2⇒{k =2b =−2，故直线AB 的方程为2x −y −2=0．(II)由题意得M(4, 2)在直线AB 上，故4k +b =2． 且x 1+x 2=4k ，x 1⋅x 2=16k −8． 故l 1与l 2交点N 坐标为(2k, 4k −2)．又|AB|=√1+k 2|x 1−x 2=4√(1+k 2)(k 2−4k +2)|， 点N 到直线AB 的距离d =2√1+k 2．故S △NAB =12|AB|⋅d =4(√k 2−4k +2)3故4(√k 2−4k +2)3=28√7，即√k 2−4k +2=√7，得k =−1或5， 故点N 的坐标为(−2, −6)或(10, 18)． 22. 解：(1)当a =1时，f(x)=x −1−2lnx ，则f′(x)=1−(2/x)…2分 由f′(x)>0得x >2；由f′(x)<0得0<x <2...3分∴ f(x)的单调减区间为(0, 2]，单调增区间为[2, +∞]…4分 ∴ f(x)有极小值f(2)2−2ln2，无极大值…5分 (2)要对任意的x ∈(0, 1/2)，f(x)>0恒成立， 即对x ∈(0, 1/2)，a >2−2lnx x−1恒成立，…6分令l(x)=2−2lnx x−1，x ∈(0, 12)，则l′(x)=[−(2/x)(x −1)−2lnx]/(x −1)2=(2lnx +2/x −2)/(x −1)…7分 令M(x)=2lnx +2/x −2)，x ∈(1, 12)则M′(x)=−2/x2+2x=−2(1−x)/x2<0...8分故M(x)在(0, 12)为减函数，所以M(x)>M(12)=2−2ln2>0...9分所以l′(x)>0，所以l(x)在(0, 12)上为增函数…10分所以l(x)>l(12)=2−4ln2所以要使a >2−2lnxx−1恒成立，只要a ∈[2−4ln2, +∞)综上：若函数f(x)在(0,12)上恒大于零，实数a 的最小值为2−4ln2...12分。

中山市2011年高三第三次模拟试题理科数学本试卷共21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式： 线性回归方程系数公式：ˆybx a =+，其中121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数421ii-+（其中i 为虚数单位）的虚部等于（ ） A ．3 B ．6 C ．3- D ．22．命题“,xx e x ∃∈>R ”的否定是（ ）A ．,x x e x ∃∈<RB ．,x x e x ∀∈<RC ．,x x e x ∀∈≤RD ．,xx e x ∃∈≤R3．已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，且(1)0.9P ξ>=，则(5)P ξ<=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.1D ．0.2 4．下列命题正确的是（ ）A ．函数sin y x =在区间()0,π内单调递增B ．函数tan y x =的图像是关于直线2x π=成轴对称的图形C ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πD ．函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称的图形5．若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足1133CM CB CA =+ ，则M AM B ⋅=（ ）A ．2-B ．2 C．- D．6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；②若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；③设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直；④直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直。

上面命题中，其中所有真命题．．．的序号是（ ）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①②7．已知数列：1213214321,,,,,,,,,,...,1121231234依它的前10项的规律，这个数列的第2011项2011a 满足（ ）A ．20111010a <<B ．20111110a ≤< C ．2011110a ≤≤ D ．201110a >8．方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos sin ϕθθ=D ．sin sin θθϕ=-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.关于x 的二项式41(2)x x-展开式中的常数项是若y 与x 线性相关，且ˆ0.95yx a =+，则a = ； 11. 如右图，是一程序框图，则输出结果为 ； 12． 在ABC ∆中，已知(1,3)A ，A ∠的平分线的方程为2y x =+，BC 边上的高所在的直线的方程是142y x =-+，则AC 边所在的直线的方程为13. 若点集22{(,)|1},{(,)|11,11}A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤，则点集 {1111(,)1,1,(,)}P x y x x y y x y A ==+=+∈ {}12121122(,),,(,),(,)M x y xx x yy y x y A x y B==+=+∈∈所表示的区域的面积分别为 ； ． （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________； 15．(几何证明选讲选做题）如图, ,PC DA 是O 的两条切线，AB 为O 的直径， 若2, :1:2DA CD DP ==，则AB = ________ .2342P ODCBA三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

惠州市2011届高三第三次调研考试数学试题(理科）答案一1．【解析】答案：D z ＝12＋i ＝2－i (2＋i )(2－i )＝25－15i .故选D.2．【解析】B ⌝p ：1x >，q ：110x x<⇔<或1x >，故q 是⌝p 成立的必要不充分条件，故选B.3．【解析】选D 直线是均匀的，故选项A 不是；指数函数1()2x y =是单调递减的，也不符合要 求；对数函数12log y x =的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D 中，基本符合要求. 4．【解析】C 去掉最高分和最低分后，所剩分数为84，84，86，84，87，可以计算得平均数和方差.5．【解析】答案：C 依题意及面积公式S ＝12bcsinA ，得103＝12bcsin60°，得bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：222220222222cos 2cos60()3(20)120a b c bc A b c bc b c bc b c bc a =+-=+-=+-=+-=--，故a 解得a ＝7.6．【解析】答案：C 由题意知，圆心坐标为(－4，－1)，由于直线过圆心，所以4a ＋b ＝1，从而1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(4a ＋b)＝8＋b a ＋16ab ≥8＋2×4＝16(当且仅当b ＝4a 时取“＝”)．7．【解析】C ； 根据题中规律，有()1,1为第1项，()1,2为第2项，()1,3为第4项，…，()5,11为第56项，因此第60项为()5,7．8．【解析】B ；若使函数有零点，必须必须()()22224π0a b ∆=--+≥，即222πa b +≥．在坐标轴上将,a b 的取值范围标出，有如图所示当,a b 满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．于是概率为321144πππ-=-．二.填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）9．12800 10．(－1,2) 11．1 12．750013．)1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ∆∆∆∆+++ 14．2215．29．【解析】该组合体的表面积为：222212800S S S cm ++侧视图主视图俯视图＝。

普通高等学校高中数学招生全国统一考试模拟试卷三 理2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东模拟卷三) 数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的．答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}32<<x xB. {}32<≤x xC. {}322<≤-≤x x x 或 D. R 2．已知i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++，则“1a =-”是“z 为纯虚数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有A ．24种B ．48种C ．96种D ．120种4.设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则A ．1201x x <<B ．121x x =C ．1212x x <<D ．122x x ≥5．与椭圆1422=+y x 共焦点且过点P )1,2(的双曲线方程是： A ．1422=-y x B ．1222=-y x C ．13322=-y x D ．1222=-y x 6.设αβ，是空间两个不同的平面，m ，n 是平面α及β外的两条不同直线．从“①m ⊥n ；②α112yOx开始结束1,1,1i M N ===6≥i ?1i i =+ M N M =+ N N M =+输出,M N是否⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论组成命题，其中为真命题的个数是 A ．4 B ． 3 C ．2 D. 1 7．定义在R 上的函数()f x 满足：()(2)f x f x，当[]35x ∈，时，()24f x x ．则A ．sin cos 6π6πf f B ．(sin1)(cos1)f f C ．cos sin 332π2πf f D. (cos2)(sin 2)f f8.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为 A ．1 B ．2 C ． 3 D. 4二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分 （一）必做题(9～13题)9. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０， 向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ， 则向量a 与c 的夹角为 .10. 某程序框图如图所示，该程序运行后 输出,M N 的值分别为 ． 11．已知某几何体的三视图如图所示， 则它的体积是 .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点， 则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13．给出下列命题： ① 2x y =是幂函数 ② 函数2()2x f x x =-的零点有2个③ 2521(2)x x++展开式的项数是6项 ④ 函数[]sin (,)y x x ππ=∈-图象与x 轴围成的图形的面积是sin S xdx ππ-=⎰ ⑤ 若),1(~2σξN ，且(01)0.3P ξ≤≤=，则(2)0.2P ξ≥=其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的编号）。