3-2分布的离散程度

第二节离散程度的测度10天道森供应公司克拉克批发公司5 0.54 0.49 10 11 工作日数 7 8 9 10 11 12 13 14 15 工作日数集中趋势只是数据分布的一个特征，数据的离中趋势是数据分布的另一个重要特征。

两者是反映总体数据分布特征的一对对立统一的代表值。

一、离散程度指标，又称标志变异指标，标志变动度。

（一）定义就是总体各项标志值差别大小的程度。

（二）应用1．主要是评价平均数代表性的依据。

平均数的代表性与标志变动度的数值成反比。

例如：有甲乙两组工人，人数都是5人。

每人每日产量：甲：5 20 45 85 95乙：48 49 50 51 52平均数 5095-59052-48 42．标志变动度可以用来反映社会生产和其他社会经济活动过程的均衡性或协调性。

标志变动度小，就说明生产或经济活动各阶段变动幅度小，是均衡的协调的，反之，就是不均衡，不协调的。

二、测量标志变动度的主要方法（一）异众比率——分类数据，顺序数据，数值型数据1 定义：异众比率，即非众数组的频数占总频数的比率。

2 公式：Vr=(∑fi —fm)/ ∑fi =1—fm/ ∑fi∑fi变量值的总频数，fm众数组的频数。

3作用：主要用于衡量众数对一组数据的代表程度。

异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性就越差；反之，异众比率越小，说明非众数组的频数占总频数的比重越小，众数的代表性越好。

4 适用范围：测定分类数据（也可以是顺序数据，数值型数据）的离散程度饮料品牌频数可口可乐 15旭日升 11百事可乐 9汇源果汁 6露露 9合计 50异众比率解：Vr=(∑fi —fm)/ ∑fi=1—fm/ ∑fi=（50—15）/50=35/50=0.7=70%（二）四分位差——顺序数据数值型数据1 定义：上四分位数和下四分位数之差。

2 公式： Qd=Qu—Ql3 作用：反映了中间50%数据的离散程度。

其数值越小，说明中间的数据越集中，数值越大，说明中间的数据越分散。

方差标准差离散程度方差、标准差及离散程度在统计学中，方差、标准差和离散程度是描述一组数据的分布和变异性的重要指标。

它们能帮助我们理解数据的集中程度和分散程度，从而更好地进行数据分析和预测。

1. 方差方差是一种衡量数据分散程度的统计量。

它用来衡量每个数据点与平均值之间的差异。

方差越大，表示数据点相对于平均值的差异度较大，数据分散程度也较大；反之，方差越小，数据分散程度也较小。

方差的计算公式为：$$\\sigma^2=\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}(x_i-\\bar{x})^2$$其中，$\\sigma^2$表示总体方差，n表示数据点的个数，$x_i$表示第i个数据点，$\\bar{x}$表示所有数据点的平均值。

方差的计算步骤如下：1) 计算所有数据点与平均值之差；2) 求解每个差值的平方；3) 求平方后的差值的平均值作为方差。

方差的单位是原数据单位的平方。

在实际应用中，方差经常用来度量数据的稳定性和预测的准确性。

较小的方差常常表明数据集中在平均值附近，而较大的方差则表明数据分散程度较大。

2. 标准差标准差是方差的平方根，它衡量数据点与平均值之间的平均差异。

标准差与方差具有相同的基本性质，但由于标准差的单位与原数据的单位一致，因此更容易理解和解释。

标准差的计算公式为：$$\\sigma=\\sqrt{\\sigma^2}=\\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{ n}(x_i-\\bar{x})^2}$$标准差的计算步骤与方差类似，只是最后需要对方差进行开方。

标准差越小，表示数据点相对于平均值的差异度越小，数据集中程度越高；反之，标准差越大，数据集中程度越低。

标准差在实际应用中广泛使用。

它可以告诉我们数据分布的宽度和散布程度，帮助我们判断数据是否聚集在一起，以及数据是否偏离了我们的预期。

3. 离散程度离散程度是描述数据分散程度的一个概念，它可以用方差或标准差来衡量。

精品文档.第一章 导论1、统计数据可分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？按照所采用的计量尺度的不同，可以将统计数据分为分类数据、顺序数据和数值型数据。

按照统计数据的收集方法，可以将其分为观测数据和实验数据。

按照被描述的现象与时间的关系，可以将统计数据分为截面数据和时间序列数据。

分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，是用文字来表述的。

顺序数据是只能归于某一有序类别的非数字型数据。

顺序数据虽然也是类别，但这些类别是有序的，是用文字来表述的。

数值型数据是按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。

现实中处理的大多数都是数值型数据。

2、解释分类数据、顺序数据和数值数据的意义。

对分类数据，我们通常计算出各组的频数或频率，计算其众数和异众比率，进行列联表分析和x 2检验等；对顺序数据，可以计算其中位数和四分位差，计算等级相关系数等；对数值型数据，可以用更多的统计方法进行分析，如计算各种统计量，进行参数估计和检验等 3、举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念。

总体：是包含所研究的全部个体的集合，它通常由所研究的一些个体组成。

如多个企业构成的集合，多个居民户构成的集合，多个人构成的集合样本:是从总体中抽出的一部分元素的集合。

如从一批灯泡中随机抽取100个，这100个灯泡就构成了一个样本。

参数：是用来描述总体特征的概括性数字度量，它是研究者想要了解的总体的某种特征值。

在统计中，总体参数通常用希腊字母表示，如，总体平均数用u （miu ）表示，总体标准差用（sigma ）表示，总体比例用（pai ）表示，等。

统计量：是用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一个量，由于抽样是随机的，因此统计量是样本的函数。

样本统计量通常用英文字母来表示。

如，样本平均数用（x-bar ）表示，样本标准车用s 表示，样本比例用p 表示，等。

变量：是说明现象某种特征的概念。

标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差(mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数,它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。

标准差是方差的算术平方根。

标准差能反映一个数据集的离散程度。

平均数相同的,标准差未必相同。

标准差(Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量.标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度.测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位. 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。

标准计算公式假设有一组数值X1，X2,X3,.。

.。

.Xn(皆为实数），其平均值为μ,公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。

图2简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。

一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。

例如，两组数的集合{0, 5，9, 14} 和{5, 6，8，9｝其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。

例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。

当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较）,则认为测量值与预测值互相矛盾.这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确.标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。

标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。

相反，标准差数值越细,代表回报较为稳定，风险亦较小。

例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。

离散趋势的二级指标1.方差方差是最常用的二级指标之一，它用来衡量数据集中各个数据与其均值之间的差异。

方差越大，说明数据集中的数据波动越大，离散程度越高。

2.标准差标准差是方差的平方根，它主要用于度量数据集的波动程度，是一种直观的度量手段。

标准差越大，说明数据的离散程度越高。

3.偏度偏度是用来衡量数据分布的不对称性的指标。

当数据分布左偏时，偏度为负值；当数据分布右偏时，偏度为正值。

偏度为0说明数据分布左右对称。

4.峰度峰度是用来衡量数据分布的尖峰程度的指标。

正态分布的峰度为3，当峰度大于3时，说明数据分布比正态分布更尖锐；当峰度小于3时，说明数据分布比正态分布更平缓。

5.百分位数百分位数是用来度量一组数据中特定百分比的值的指标。

例如，第25百分位数是将数据集分为四个等分的值，第50百分位数是中位数，第75百分位数是将数据集分为四个等分的值。

6.四分位数极差四分位数极差是指数据集的上四分位数与下四分位数之差，它用来衡量数据集的离散程度。

四分位数极差越大，说明数据集的离散程度越高。

7.离散系数离散系数是用来衡量数据集的波动相对于其平均值的大小的指标。

它是标准差与均值之比。

离散系数越大，说明数据集的离散程度越高。

8.变异系数变异系数是标准差与平均值之比，用于度量数据集的离散程度。

它可以用来比较不同数据集之间的离散程度，因为它不受数据集量纲的影响。

这些离散趋势的二级指标可以互相结合使用，对数据集的离散趋势进行全面和深入的分析。

在实际应用中，根据数据特点和分析目的，选择适合的指标进行分析，可以更好地理解和解释数据集的离散趋势。

统计研究的步骤设计、收集、整理、分析。

☆描述定量资料的集中趋势与离散程度的指标的使用条件集中趋1）算数均数（口，又）：适用于单峰对称分布资料。

2）几何均数（G）：适合于作对数变换后单峰对称分布资料（等比资料、滴度资料、对数正态分布资料）。

3）中位数（M）和百分位数（PX）：适用于任何分布的资料；中位数和百分位数在样本含量较少时不稳定，越靠两端越不稳定；中位数在抗极端值的影响方面，比均数具有较好的稳定性，但不如均数精确。

因此，当资料适合计算均数或几何均数时，不宜用中位数表示其平均水平（偏态分布、分布不明资料、有不确定值的资料）。

4）不同质的资料应考虑分别计算平均数。

离散程度：1）极差（R）不稳定，不灵敏。

2）标准差的基本内容是离均差，它显示一组变量值与其均数的间距，故标准差直接地、总结地、平均地描述了变量值的离散程度。

在同质的前提下，标准差大表示变量值的离散程度大，即变量值的分布分散、不整齐、波动较大；反之，标准差小表示变量值的离散程度小，即变量值的分布集中、整齐、波动较小。

3）变异系数派生于标准差，其应用价值在于排除了平均水平的影响，并取消了单位。

因此变异系数常用于：比较度量衡单位不同的两组或多组资料的变异度；比较均数相差悬殊的两组或多组资料的变异度。

平均数与变异度的关系1）均数±标准差（min,max）2）中位数±四分位数间距（min,max）3）变异度小，则均数代表性好。

4）变异度大，数据分散，则均数代表性差。

5）平均数所表示的集中性与变异度所表示的离散性,从两个不同的角度阐明计量资料的特征。

正态分布的特征1）单峰分布；高峰在均数处。

2）以均数为中心，均数两侧完全对称。

3）正态分布有两个参数（Parameter）,即位置参数（均数）和变异度参数（标准差）。

4）有些指标本身不服从正态分布，但经过变换之后可以服从正态分布。

5）正态曲线下的面积分布有一定的规律。

正态曲线下的面积规律1）正态曲线下面积总和为1。