2019届湖南省百所重点名校大联考高三高考冲刺数学(文)试题(带答案解析)

湖南省2019届高三六校联考试题数学（文科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U ＝{}1，2，3，4，5，A ＝{}2，3，4，B ＝{}3，5，则下列结论正确的是 A ．B ⊆A B ．∁U A ＝{1，5} C ．A ∪B ＝{}3 D ．A ∩B ＝{}2，4，5 2．已知i 为虚数单位，z(1＋i)＝3－i ，则在复平面上复数z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是A.16B.14C.12D.23 4．下列判断正确的是A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1” B ．“α>45°”是“tan α>1”的充分不必要条件 C ．若命题“p∧q”为假命题，则命题p ，q 都是假命题 D ．命题“∀x ∈R ，2x>0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0≤0”5．已知公差d≠0的等差数列{}a n 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝A ．30B ．20C ．10D ．5或406．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求 多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图， 是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n ，x 的值分别为3，32，则输出v 的值为A ．7B ．10C ．11.5D ．17 7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x －2y≤0，则z ＝2x ＋y 的最小值为A ．1B ．－5C ．2D ．0 8．函数f(x)＝（e x－e －x）cos xx2的部分图象大致是9．将函数f(x)＝3sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移π6，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标长度不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是A ．函数g(x)的最大值为3＋1B ．函数g(x)的最小正周期为πC ．函数g(x)的图象关于直线x ＝π3对称D ．函数g(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递增10．已知直线y ＝kx －1与抛物线x 2＝8y 相切，则双曲线：x 2－k 2y 2＝1的离心率等于 A. 2 B. 3 C. 5 D.3211．如图，平面四边形ABCD 中，E ，F 是AD ，BD 中点，AB ＝AD ＝CD ＝2，BD ＝22，∠BDC ＝90°，将△ABD 沿对角线BD 折起至△A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD ， 则四面体A′BCD 中，下列结论不正确．．．的是A ．EF ∥平面A′BCB ．异面直线CD 与A′B 所成的角为90°C ．异面直线EF 与A′C 所成的角为60°D ．直线A′C 与平面BCD 所成的角为30°12．已知函数f(x)＝ln x －ax ＋a 在x∈[1，e]上有两个零点，则a 的取值范围是A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 1－e ，－1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 1－e ，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 1－e ，－1 D.[)－1，e第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年湖南省百所名校大联考（长郡中学、湖南师大附中等）高考数学冲刺试卷（文科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项1．（5分）全集U＝R，A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}，，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2]D．（1，2）2．（5分）若x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|等于（）A．B．2C．2D．43．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（）A．﹣2B．0C．1D．24．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度5．（5分）下列四个命题：p1：任意x∈R，2x＞0；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．其中的真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p3，p4D．p1，p46．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．27．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y＝f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为8．（5分）已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P49．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则）的取值范围是（）A．[0，12]B．[0，]C．[0，6]D．[0，3]10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）11．（5分）直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点，若sin∠ABF＝2sin∠BAF，则k的值是（）A．B．C．1D．12．（5分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图的程序框图，若，则输出n的值为．14．（5分）已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴、y轴交于M，N 两点，点A（2，﹣4）且＝+，则λ+μ的最小值为．15．（5分）锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，则△ABC面积的取值范围为．16．（5分）已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝4，CD＝8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）令b n＝（2﹣n）（a n﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，∠ABC＝45°，VB＝2，，BC＝1，，且V在平面ABC上的射影D在线段AB上．（Ⅰ）求证：DC⊥BC；（Ⅱ）设二面角V﹣AC﹣B为θ，求θ的余弦值．19．（12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：x i y i x i u i其中参考公式：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．20．（12分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，直线l：y＝a（a ＜﹣1）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D．（1）若D的坐标为（0，2），求a的值；（2）设线段AB的中点为N，点D的坐标为（0，﹣a），过M（0，2a）的直线l′与线段DN为直径的圆相切，切点为G，且直线l′与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围．21．（12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝e x+mx2﹣2e2﹣3，当a＝e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）＝k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．2019年湖南省百所名校大联考（长郡中学、湖南师大附中等）高考数学冲刺试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项1．（5分）全集U＝R，A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}，，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2]D．（1，2）【解答】解：A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，＝{y|y＝≥2}，则∁U B＝{x|x＜2}，则A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，故选：D．2．（5分）若x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|等于（）A．B．2C．2D．4【解答】解：x，y为共轭复数，可设x＝a+bi，y＝a﹣bi（a，b∈R）．∵（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，∴4a2﹣3（a2+b2）i＝4﹣6i，∴，解得a2＝b2＝1．∴|x|+|y|＝2＝2．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（）A．﹣2B．0C．1D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）＝x2+，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，故选：A．4．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度【解答】解：根据图中数据知，第一季度的数据是72.25，43.96，93.13；第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；第三季度的数据是59.36，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．故选：B．5．（5分）下列四个命题：p1：任意x∈R，2x＞0；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．其中的真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p3，p4D．p1，p4【解答】解：p1：任意x∈R，2x＞0，由指数函数的性质得命题p1是真命题；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，由x2+x+1＝（x+）2+≥，得命题p2是假命题；p3：任意x∈R，sin x＜2x，由x＝﹣时，sin x＞2x，得命题p3是假命题；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．命题p4是真命题．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．2【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为＝2，高为；所以，该棱锥的体积为V＝S底面积•h＝×2＝．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y＝f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为【解答】解：对于函数f（x）＝sin（x+），令x＝，求得f（x）＝，为函数的最大值，可得它的图象关于直线x＝对称，故A正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；函数y＝f（x+π）＝sin（x+π+）＝﹣sin（x+），在区间[﹣π，]上，x+∈[﹣，]，故f（x+π）单调递减，故C错误；令f（x）＝1，求得sin（x+）＝，∴x+＝2kπ+，或x+＝2kπ+，k∈Z，故在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确，故选：C．8．（5分）已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P4【解答】解：作出集合D表示的平面区域如图所示：设P（x，y）为平面区域内的任意一点，则P在△ABC内部或边上．显然当P为（﹣2，0）时，x+y＝﹣2＜0，故而命题p1为假命题；作出直线2x﹣y+1＝0，由图象可知△ABC在直线2x﹣y+1＝0的上方，故而对于任意一点P，都有2x﹣y+1≤0，故命题p2为真命题；取点M（1，﹣1），连结MB，MC，则k MB＝﹣，k MC＝﹣3，∴﹣3≤≤﹣，故命题p3错误；联立方程组，解得A（﹣1，3），故OA2＝10，故命题p4正确．故选：D．9．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则）的取值范围是（）A．[0，12]B．[0，]C．[0，6]D．[0，3]【解答】解：∵）＝•（+++）＝•（2++）＝2||2+||×|+|×cosθ＝6+6cosθ∵﹣1≤cosθ≤1∴0≤6+6cosθ≤12故选：A．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）【解答】解：由题意，f（0）＝1+b＝0，∴b＝﹣1，∴f（x）＝1og2（x+2）+x﹣1，∴f （2）＝3，函数在R上单调递增，∵|f（x）|＞3，∴|f（x）|＞f（2），∴f（x）＞2或f（x）＜﹣2，∴x＞2或x＜﹣2，故选：A．11．（5分）直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点，若sin∠ABF＝2sin∠BAF，则k的值是（）A．B．C．1D．【解答】解：分别过A，B项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，则AF＝AM，BF＝BN，∵sin∠ABF＝2sin∠BAF，∴AF＝2BF，∴AM＝2BN，∴＝，即B为AP的中点．联立方程组，消去x可得：y2﹣+16＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝16，又B是P A的中点，∴y1＝2y2，∴y2＝2，即B（1，2），又P（﹣2，0），∴直线AB的斜率为．故选：B．12．（5分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）的定义域是（0，+∞）∴f′（x）＝+﹣k＝，∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根，∴e x﹣kx2＝0在（0，+∞）无变号零点，即k＝在x＞0上无变号零点，令g（x）＝，因为g'（x）＝，所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x＞2 上单调递增所以g（x）的最小值为g（2）＝，所以必须k≤，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图的程序框图，若，则输出n的值为5．【解答】解：模拟程序的运行，可得：循环依次为：；结束循环，输出n＝5．故答案为：5．14．（5分）已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴、y轴交于M，N两点，点A（2，﹣4）且＝+，则λ+μ的最小值为．【解答】解：由题意得M（2，0），N（0，﹣4），由＝+，得（x﹣2，y+4）＝λ（0，4）+μ（﹣2，0），∴x﹣2＝﹣2μ，y+4＝4λ，因此．故答案为：．15．（5分）锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，则△ABC面积的取值范围为．【解答】解：∵∠A＝30°，BC＝1，可得：，∴AB＝2sin C，AC＝2sin B＝2sin（150°﹣C）＝2（cos C+sin C）＝cos C+sin C，∴S△ABC＝AB•AC，∵C∈（，），可得：2C﹣∈（0，），∴sin（2C﹣）∈（0，1]，可得：，则△ABC面积的取值范围为，故答案为：．16．（5分）已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝4，CD＝8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为8【解答】解：如图三棱锥A﹣BCD，底面为等腰直角三角形，斜边为CD，底面圆心为CD中点F，由AB＝AC＝AD，可得AF⊥平面BCD，球心O1在直线AF上，AF＝＝＝2，设球O1的半径为r1，可得r12＝（r1﹣2）2+16，解得r1＝5，由球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球心O2在直线AE上，球O2直径的最大值为10﹣2＝8．故答案为：8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）令b n＝（2﹣n）（a n﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，①a1+a2+a3+…+a n+1＝n+1﹣a n+1，②②﹣①可得2a n+1﹣a n＝1 …..（3分）即：a n+1﹣1＝（a n﹣1），又a1﹣1＝﹣…..（5分）所以数列{a n﹣1是以﹣为首项，以为公比的等比数列…．…..（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a n＝1﹣，…（7分）∴b n＝（2﹣n）（a n﹣1）＝…（8分）由b n+1﹣b n＝﹣＝＞0可得n＜3由b n+1﹣b n＜0可得n＞3 …（9分）所以b1＜b2＜b3＝b4，b4＞b5＞…＞b n＞…故b n有最大值b3＝b4＝所以，对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2﹣t成立…（13分）所以t2﹣t﹣≥0解得t≥或t≤﹣所以，实数t的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）…（14分）18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，∠ABC＝45°，VB＝2，，BC＝1，，且V在平面ABC上的射影D在线段AB上．（Ⅰ）求证：DC⊥BC；（Ⅱ）设二面角V﹣AC﹣B为θ，求θ的余弦值．【解答】18（Ⅰ）证明：VB＝2，，BC＝1⇒BC⊥VC，VD⊥平面ABC⇒VD⊥BC，VD∩VC＝V，∴BC⊥平面VCD⇒DC⊥BC．（Ⅱ）解：作DE⊥AC垂足为E，连接VE，则∠VED为二面角V﹣AC﹣B的平面角．在△BCD中，∠DBC＝45°，DC⊥BC，BC＝1，∴CD＝1，，∠BDC＝45°，在△ADC中，∠ADC＝135°，，∴，∴，又VD⊥平面ABC，∴VD⊥CD，又，∴，∴．19．（12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：x i y i x i u i其中参考公式：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【解答】解：（1）根据散点图判断，y＝c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；…………（3分）（2）由y＝c•d x，两边同时取常用对数得：1gy＝1g（c•d x）＝1gc+1gd•x；设1gy＝v，∴v＝1gc+1gd•x；………………（5分）计算，，∴lg＝＝，………………（7分）把样本中心点（4，1.54）代入v＝1gc+1gd•x，得：，∴，∴，……………………（9分）∴y关于x的回归方程式：；………（10分）把x＝8代入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；…………………………（12分）20．（12分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，直线l：y＝a（a ＜﹣1）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D．（1）若D的坐标为（0，2），求a的值；（2）设线段AB的中点为N，点D的坐标为（0，﹣a），过M（0，2a）的直线l′与线段DN为直径的圆相切，切点为G，且直线l′与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围．【解答】解：（1）由抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，得p＝，则抛物线C的方程为x2＝﹣y．设切线AD的方程为y＝kx+2，代入x2＝﹣y得x2+kx+2＝0，由△＝k2﹣8＝0得k＝±2．当k＝2时，A的横坐标为﹣＝﹣，则a＝﹣（﹣）2＝﹣2，当k＝﹣2时，同理可得a＝﹣2．（2）由（1）知，N（0，a），D（0，﹣a），则以线段ND为直径的圆为圆O：x2+y2＝a2，根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l′即可，因为G为直线l′与圆O的切点，所以OG⊥MG，cos∠MOG＝＝，所以∠MOG＝，所以|MG|＝|a|，则直线l′的斜率为，所以直线l′的方程为y＝x+2a，代入x2＝﹣y得x2+x+2a＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2＝﹣，x1x2＝2a，△＝3﹣8a＞0，所以|PQ|＝•＝2，所以＝＝•＝•，设t＝﹣，因为a＜﹣1，所以t∈（0，1），所以3t2+8t∈（0，11），所以＝•＝•∈（0，）．21．（12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝e x+mx2﹣2e2﹣3，当a＝e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），又，令f'（x）＝0，得x＝1或x＝a﹣1．当a≤1，则a﹣1≤0，由f'（x）＜0得0＜x＜1，由f'（x）＞0得x＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．当1＜a＜2，则0＜a﹣1＜1，由f'（x）＜0得a﹣1＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜a﹣1或x＞1，函数f（x）在（a﹣1，1）上单调递减，在（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增．当a＝2，则a﹣1＝1，可得f'（x）≥0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＞2时，则a﹣1＞1，由f'（x）＜0得1＜x＜a﹣1，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a﹣1，函数f（x）在（1，a﹣1）上单调递减，在（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增．（II）当a＝e2+1时，由（1）得函数f（x）在（1，e2）上单调递减，在（0，1）和（e2，+∞）上单调递增，从而f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（e2）＝﹣e2﹣3．对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），即存在x2∈[1，+∞），g（x2）函数值不超过f（x）在区间[1，+∞）上的最小值﹣e2﹣3．由e x+mx2﹣2e2﹣3≤﹣e2﹣3得e x+mx2≤e2，．记，则当x∈[1，+∞）时，m≤p（x）max．＝，当x∈[1，2]，显然有e x x+2（e2﹣e x）＞0，当x∈（2，+∞），e x x+2（e2﹣e x）＞e x x﹣2e x＞0，故p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，得，从而m的取值范围为（﹣∞，e2﹣e]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝2y，配方为x2+（y﹣1）2＝1．（2）由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y﹣2＝0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y﹣1）2＝1的一条直径，∴∠POQ＝90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）＝k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝+＝+＝|x ﹣3|+|x+4|，∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．∴①，或②，或③．得不等式①：x≤﹣5；解②可得x无解；解③求得：x≥4．所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤﹣5，或x≥4}．（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∵f（x）＝|x﹣3|+|x+4|＝．由于函数g（x）＝k（x﹣3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，作函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图，其中，K PB＝2，A（﹣4，7），∴K P A＝﹣1．由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∴实数k的取值范围为（﹣1，2]．。

绝密★启用前湖南省百所重点名校大联考·2019届高三高考冲刺理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．本卷答题时间120分钟，满分150分。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项1．全集U =R ，A ={x |y =log 2018(x −1) }，B ={y|y =√x 2+4x +8 }，则A ∩(∁ U B )= A ． [1,2]B ． [1,2)C ． (1,2]D ． (1,2)2．x ，y 互为共轭复数，且()i xyi y x 6432-=-+则y x +=A ．2B ．22C ．1D ．43．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()210f x x x=+>,则()1f -= A ．-2B ．0C ．1D ．24．某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示.根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是A. 第一季度B. 第二季度C. 第三季度D. 第四季度5．已知ξ服从正态分布2(1,),N a R σ∈，则“()0.5P a ξ>=”是“关于x 的二项式321()ax x+的展开式的常数项为3”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件6．已知()20{,|20360x y D x y x y x y +-≤⎧⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬⎪⎪-+≥⎩⎭，给出下列四个命题：()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥()2,,210;P x y D x y ∀∈-+≤：()31:,,4;1y P x y D x +∃∈≤--()224,,2;P x y D x y ∃∈+≥： 其中真命题的是 A. 12,P PB. 23,P PC. 34,P PD. 24,P P7．已知函数()3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，以下结论错误的是A. 函数()y f x =的图象关于直线6x π=对称B. 函数()y f x =的图象关于点203π⎛⎫⎪⎝⎭，对称C. 函数()y f x π=+在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 在直线1y =与曲线()y f x =的交点中，两交点间距离的最小值为2π 8．在直角坐标系xoy 中，全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，已知集合A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴上的动点，则MPQ ∆周长的最小值为A ．24B ．104C ．14D ．248+9．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且CP =u u u v 则()PC PA PB⋅+u u u v u u u v u u u v 的取值范围是 A. []0,12B. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []0,6D. []0,310．已知椭圆C )20(14222<<=+b b y x ，作倾斜角为43π的直线交椭圆C 于C ,B 两点,线段C B的中点为C ,O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为θ,且θtan =3，则b =A ．1B ．2C ．3D ．2611．定义“有增有减”数列{a n }如下：∃t ∈N *，a t <a t ＋1，且∃s ∈N *，a s >a s ＋1.已知“有增有减”数列{a n }共4项，若a i ∈{x ，y ，z }(i ＝1,2,3,4)，且x <y <z ，则数列{a n }共有A ．64个B ．57个C ．56个D ．54个12．已知函数()x f x e ax =-有两个零点12,x x ，12x x <，则下面说法正确的是 A. 122x x +< B. a e <C. 121x x >D. 有极小值点0x ，且1202x x x +<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2019届湖南省名校联盟高三下学期5月大联考数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{|23}A x a x a =-<<+，{|(1)(4)0}B x x x =-->，若A B R =U ，则a 的取值范围是（） A ．(,1]-∞ B ．(1,3)C ．[1,3]D ．[3,)+∞答案：B根据A B R =U 建立集合A 两端点与集合B 的两端点的不等式，即可求解 解：{|(1)(4)0}{|41}B x x x B x x x =-->⇒=><或，又A B R =U ，故2134a a -<⎧⎨+>⎩，解得(1,3)a ∈ 故选：B 点评：本题考查根据并集结果求参数，属于基础题 2．已知复数31iz i-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 解：由题意，复数()()()()31324121112i i i iz i i i i ----====-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限. 故选D. 点评：本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3618S S +=，则5S =() A ．5 B ．9C ．10D ．14答案：C根据等差数列的前n 项和公式，结合等差数列的通项公式、等差数列的下标性质进行求解即可. 解：设等差数列的公差为d .36111311183326651822222S S a d a d a d a +=⇒+⨯⨯++⨯⨯=⇒+=⇒=，因此1535()5251022a a a S +⋅⋅⋅===. 故选：C 点评：本题考查了等差数列前n 项和公式，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了等差数列下标性质，考查了数学运算能力.4．已知x ，y 满足约束条件31021010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++⎩…，则z y x =-的最大值为()A ．1-B ．13C ．2D ．3答案：D在平面直角坐标系内，画出约束条件表示的可行解域，平移直线y =x+z ，在可行解域内，找到当直线y =x+z 在纵轴上的截距最大时所经过的点，把点的坐标代入目标函数中即可. 解：约束条件所表示的可行解域如下图所示：平移直线y =x+z ，当直线y =x+z 经过点A 时，在纵轴上的截距最大，点A 的坐标是方程组310210x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解，解得25x y =⎧⎨=⎩，即(2,5)A ，所以z y x =-的最大值为523-=.故选：D 点评：本题考查了线性目标函数的最大值问题，考查了数形结合能力和数学运算能力.5．已知双曲线()222102y x a a -=>的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线的焦点坐标为（）A ．()2,0B ．()6,0C ．(0,2D ．(0,6答案：D根据解析式可知双曲线的焦点在y 轴上,结合渐近线方程及b 的值,可得a 的值.由双曲线中a b c 、、的关系即可求得c ,得焦点坐标. 解：由双曲线()222102y x a a -=>可知双曲线的焦点在y 轴上,所以渐近线方程可表示为ay x b=±由22b =及渐近线方程y ==解得2a =双曲线中a b c 、、满足222+=a b c则22226c =+=解得c 则焦点坐标为(0, 故选:D 点评：本题考查了双曲线渐近线方程的简单应用,双曲线中a b c 、、的关系,属于基础题. 6．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数()[]f x x =称作取整函数，又叫高斯函数.在区间[2,5]上任取实数x ，则[]x =的概率为() A ．14B ．13C ．12D ．23答案：D根据定义，分类讨论求出方程的解，然后根据几何概型计算公式进行求解即可. 解：当[2,3)x ∈时，由[]x =可得：423323233x x x ≤<⇒≤<≤<∴≤<Q ；当[3,4)x ∈时，由[]x =可得：1634334343x x x ≤<⇒≤<≤<∴≤<Q ；当[4,5)x ∈时，由[]x =可得：1625454533x x x ≤⇒≤<≤<∴∈∅Q当5x =时，显然[]x =不成立，因此在区间[2,5]上任取实数x ，则[]x =的概率为(32)(43)2523-+-=-.故选：D 点评：本题考查了几何概型计算公式的应用，考查了数学阅读能力和分类讨论思想，考查了数学运算能力. 7．函数()ln x xe e y x-+=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：C由函数()f x 为奇函数，排除B 、D ，再由当0x ＞时，0x e ->，则有()()ln ln x x x e e e x -+>=可排除A ，得到答案.解：解：根据题意，()1x xn e e y x-+=，其定义域为{|0}x x ≠，有()x x1n e e ()()xf x f x -+-=-=-，即函数()f x 为奇函数，排除B 、D ；当0x ＞时，0xe ->，则有()()ln ln xxxe ee x -+>=，必有()ln 1x xe e x-+>，排除A ；故选：C ． 点评：本题考查根据函数的解析式结合函数的性质选择函数图像，属于中档题.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A ．20213ππ+B ．16213ππ+C ．1613ππ+D ．1213ππ+答案：A根据三视图可以判断该几何体是圆柱和圆锥的组合体，再根据圆锥和圆柱的表面积公式进行求解即可. 解：根据三视图可知该几何体是左边是圆锥，右边是圆柱，如下图所示：由三视图可知：圆锥的底面半径为2222313+=2，母线为2，所以该几何体的表面积为2221322222220213ππππππ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=+. 故选：A 点评：本题考查由三视图求空间几何体的表面积，考查了圆锥和圆柱的表面积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力. 9．设3log 24a =，9log 64b =，512c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>答案：D根据指数的运算性质把三个数变成底数为2的形式，结合对数的运算性质、对数的单调性、指数的单调性进行判断即可. 解：3333log 2log 22log 2g 4lo 2(2)242a ====，9939log 6log 62log 6log 62(2)242b ====，55122c -⎛⎫ ⎪⎭==⎝3335log 9log 6log 4>>>，2xy =是实数集上的增函数， 所以c b a >>. 故选：D点评：本题考查了指数式和对数式的比较大小，考查了指数函数和对数函数的单调性的应用，考查了指数运算和对数运算，考查了数学运算能力. 10．执行如图所示程序框图，输出的结果是()A ．1213-B ．1011-C ．1011D ．1213答案：A按照程序框图的流程执行程序，当进入循环体时，先执行后判断，直到当5k >成立时，退出循环结构，输出S 的值. 解：初始条件；1,0k S ==，进入循环体：124140(1)4113S ⨯=+-=-⨯-，15k =>不成立，因此2k =，进入循环体：224424(1)34215S ⨯=-+-=-⨯-，25k =>不成立，因此3k =，进入循环体：324438(1)54317S ⨯=-+-=-⨯-，35k =>不成立，因此4k =，进入循环体：428448(1)74419S ⨯=-+-=-⨯-，45k =>不成立，因此5k =，进入循环体：5284512(1)945111S ⨯=-+-=-⨯-，55k =>不成立，因此6k =，进入循环体：62124612(1)1146113S ⨯=-+-=-⨯-，65k =>成立，退出循环体，输出1213S =-. 故选：A 点评：本题考查了程序框图输出问题，考查了数学运算能力. 11．已知三棱锥P ABC -的顶点都在半径为53的球面上，1AB =，3BC =，2AC =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为() A ．3 B ．1C ．3D ．332答案：A先判断三角形ABC 的形状，然后根据球的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解即可. 解：设球心为O ，因为1AB =，3BC =，2AC =，所以有222AC AB BC =+，因此三角形ABC 是以AC 为斜边的直角三角形，所以斜边AC 的中点'O 是三角形ABC 的外接圆的圆心，连接',OO OA ，显然有'OO ⊥平面ABC ， 显然'2'22222154()()1233OO OA O A OA AC =-=-=-=，当',,P O O 在同一条直线上时，三棱锥的高最大，因此此时三棱锥的体积最大，最大值为：1154313()3233⨯⨯⨯⨯+=. 故选：A点评：本题考查了三棱锥体积最大值问题，考查了球的性质，考查了三棱锥的体积公式，考查了空间想象能力和数学运算能力.12．已知函数()()2333xf x ae x x a Z =-+-∈在区间(]0,2上有零点，则a =（）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B由在给定区间上()0f x =有解，可得23330x ae x x -+-=，即23(1)x a x x e -=-+，构造新函数2()3(1)xg x x x e -=-+，求导可得其值域，()g x 的取值范围即是a 的取值范围，再根据a Z ∈即可 解：由题函数()f x 在区间(0,2]上有零点，可得23330x ae x x -+-=，即有23(1)x a x x e -=-+，令2()3(1)x g x x x e -=-+，2'()3(32)x g x e x x -=--+，当(0,1)x ∈时)'(0g x <，当(1,2)x ∈时'()0g x >，即(1)g 为函数极小值，计算得(0)3g =，3(1)g e =，29(2)g e =，故3()[,3)g x e ∈，即3[,3)a e∈，又因为a Z ∈，所以2a =，故选B. 点评：本题考查函数在定义区间上有零点的条件下求参数值问题，将求参数问题转化为求新的函数的值域问题，运用了求导的方法，有一定的综合性． 二、填空题13．已知向量(2,1)a =-r，(0,1)b =r ，()3a kb b +⋅=r r r ，则k =________.答案：4根据平面向量共线和加法运算以及数量积运算的坐标表示公式进行求解即可. 解：因为(0,1)b =r ，所以(0,)kb k =r ，又因为(2,1)a =-r，所以(2,1)a kb k +=-r r ，而()3a kb b +⋅=r r r，所以20(1)134k k ⨯+-⋅=⇒=.故答案为：4 点评：本题考查了共线向量、平面向量加法和平面向量数量积的坐标表示公式，考查了数学运算能力.14．将函数()()cos 2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移6π个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则ϕ=___．答案：6π 根据函数平移变换关系求出函数解析式，然后将原点坐标代入解析式得出关于ϕ的表达式，结合条件2πϕ<可得出ϕ的值.解：将函数()()cos 2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()cos 2y x ϕ=+， 再把得到的图象向左平移6π个单位长度，得到cos 2cos 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，Q 所得函数图象关于原点对称，()32k k Z ππϕπ∴+=+∈，则()6k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<Q ，∴当0k =时，6π=ϕ. 故答案为：6π． 点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式，以及利用函数对称性的性质是解决本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S .若数列{}n a 与12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭都是公比为q 的等比数列，则4S =________. 答案：40根据公比是不是1进行分类讨论，结合等比数列的定义和前n 项和公式进行求解即可. 解：因为数列{}n a 是公比为q 的等比数列，所以1n n a q-=，当1q =时，因为数列{}n a 的首项为1，所以n S n =，1122n S n +=+，因此有： 123131517,,222222S S S +=+=+=，显然231211221122S S S S ++≠++，不符合题意；当1q ≠时，因此有11n n q S q -=-，因为12n S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为q 的等比数列，所以有14141111113131()()340.22121222n n n n n n q q S q S q q S S q q ++----+=+⇒+=+⇒=⇒=⇒==--故答案为：40 点评：本题考查了等比数列的定义，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.16．已知直线2y x b =+与抛物线24x y =相切于点A ，F 是抛物线的焦点，直线AF 交抛物线于另一点B ，则||BF =________. 答案：54设出A 点坐标，利用导数和已知直线方程可以求出点A 坐标，进而求出直线AF 的方程，与抛物线方程联立，求出B 的纵坐标，最后利用抛物线的定义进行求解即可. 解： 设2001(,)4A x x ，22'11442x y y x y x =⇒=⇒=，过A 点的切线方程为2y x b =+，所以00124(4,4)2x x A =⇒=∴，因为F 是抛物线的焦点，所以(0,1)F ，因此直线AF 的方程为：4434404140y x x y --=⇒-+=--，则有2234403404x y x x x y-+=⎧⇒--=⎨=⎩ 解得4,x =或1x =-，因此点B 坐标为：1(1,)4-，抛物线的准线方程为：1y =-，由抛物线的定义得：15||(1)44BF =--=. 故答案为：54点评：本题考查了导数的几何意义，考查了抛物线的定义的应用，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了数学运算能力. 三、解答题17．已知,,a b c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，且2222cos2a bc B b c +⋅=+. （1）证明：2A B =； （2）若3a =，1b =，求ABC ∆的面积.答案：（1）证明见解析；（2）32. （1）根据已知结合余弦定理进行证明即可；（2）由（1）结合正弦定理、二倍角的正弦定理、三角形面积公式进行求解即可. 解：（1）由已知及余弦定理得2222cos22cos b c a bc B bc A +-==，∴cos cos2A B =，因此有22()A B k k Z π=+∈或22()A B k k Z π=-+∈， 当22()A B k k Z π=+∈时，因为A ，B 是三角形的内角，故0k =，因此2A B =； 当22()A B k k Z π=-+∈时，即22()A B k k Z π+=∈，因为A ，B 是三角形的内角，显然22()A B k k Z π+=∈不成立，故2A B =；（2）由（1）及正弦定理得sin 2sin a b B B =，∴3cos 2B =，(0,)6B B ππ∈∴=Q ，3A π∴=，∴2C A B ππ=--=，∴ABC ∆的面积为13132⨯⨯=. 点评：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，考查了二倍角的正弦公式，考查了三角形面积公式，考查了数学运算能力.18．某科研单位到某大学的光电信息科学工程专业招聘暑期实习生，该专业一班30名同学全部报名，该科研单位对每个学生的测试是光电实验，这30名学生测试成绩的茎叶图如图所示.（1）求男同学测试成绩的平均数及中位数；（2）从80分以上的女同学中任意选取3人，求恰有2人成绩位于[80,90)的概率； （3）若80分及其以上定为优秀，80分以下定为合格，作出该班男女同学成绩“优秀”、“合格”的22⨯列联表，并判断是否有90%的把握认为该次测试是否优秀与性别有关？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.答案：（1）84，85；（2）35；（3）列联表见解析，有把握. （1）根据茎叶图，结合平均数和中位数的定义进行求解即可；（2）设成绩位于[80,90)的三个女同学为a ，b ，c ，90以上的两个女同学为A ，B .先列举出从中任取3人的情形的个数，然后从中选出符合条件的情形的个数，最后利用古典概型的计算公式进行求解即可；（3）根据公式，计算出2K 的值进行求解即可. 解： （1）1(697476787982838585868891929597)8415x =++++++++++++++=，中位数是85.（2）设成绩位于[80,90)的三个女同学为a ，b ，c ，90以上的两个女同学为A ，B .从中任取3人的情形有：,,,,,,,,,abc abA abB acA acB aAB bcA bcB bAB cAB ，共10种情形，满足条件的,,,,,,abA abB acA acB bcA bcB 有6种，故概率为35. （3）22⨯列联表为合计 15 15 302230(101055) 3.333 2.70615151515K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有90%的把握认为该次测试成绩是否优秀与性别有关. 点评：本题考查了应用茎叶图求平均数和中位数，考查了古典概型的计算公式，考查了2K 的计算，考查了数学运算能力.19．如图，ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24AB CD ==，10BC AD ==，BDEF 为矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD .（1）证明：AC ⊥平面BDEF ； （2）若D 到平面ACE 的距离为233，求几何体ABCDEF 的体积. 答案：（1）证明见解析；（2）12.（1）设AC BD O =I ，过C 向AB 作垂线交于H ，根据平行线成比例定理，结合勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理和判定定理进行证明即可； （2）连接OE ，过D 向OE 作垂线交于P ，由（1）结合面面垂直的判定定理和性质定理可以证明出DP 即为D 到平面ACE 的距离，最后利用体积公式进行求解即可. 解：（1）如图，设AC BD O =I ，过C 向AB 作垂线交于H ， 在等腰梯形ABCD 中，AB CDBH 12-==，所以3AH AB BH =-=， 由勾股定理得：223CH BC BH =-=，2232AC AH CH +=，∵2AB AOCD OC==，22AO BO ==222AO BO AB +=，∴AC BD ⊥.∵DE BD ⊥，平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =， ∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE AC ⊥. ∵BD DE D ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接OE ，由（1）知平面ACE ⊥平面ODE ，过D 向OE 作垂线交于P ， ∴DP ⊥平面ACE ，∴DP 即为D 到平面ACE 的距离， 设DE a =，∴223232OD DE aOE a⋅==+，解得2a =，∴132232123V =⨯⨯⨯=. 点评：本题考查了线面垂直的证明，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了空间几何体的体积公式，考查了推理论证能力和数学运算能力.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为22连接其四个顶点构成的四边形的面积为23（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 是C 上关于原点对称的两点，且A ，B 不在x 轴上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得直线MA 与直线MB 的斜率积MA MB k k ⋅为定值？若存在，求出点M 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.答案：（1）2213x y +=；（2）存在，(3,0)，13-. （1）根据焦距的定义，结合对角线互相垂直的四边形面积公式、椭圆中,,a b c 的关系进行求解即可；（2）设出点A 、B 、M 的坐标，根据斜率的公式，结合点在椭圆上进行求解即可.解：（1）根据题意可得c =，1222a b ab ⋅⋅=⇒=，而2222c a b ==-∴23a =，21b =，∴椭圆C 的方程为2213x y +=；（2）设()11,A x y ，()11,B x y --，(,0)M m ，则根据题意可得11MA y k x m=-，11MB y k x m-=--，∴211122111MA MBy y y k k x m x m x m -⋅=⋅=----， 又()222111111333y x x =-=-，∴()2211222211131333MA MB x x k k x m x m --⋅==-⋅--， ∴当23m =时，13MA MB k k ⋅=-，此时点M的坐标为(0). 点评：本题考查了求椭圆的标准方程，考查了点与椭圆的位置关系的应用，考查了直线斜率的公式，考查了数学运算能力.21．已知函数()2()2ln f x ax x x x =-+. （1）当12a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围.答案：（1）()f x 的增区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,)+∞，减区间为12,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1e ⎛ ⎝.（1）对函数进行求导，根据导函数的正负性判断其单调性即可；（2）根据x 和1的大小关系，结合函数的定义域，分类讨论常变量分离，构造新函数，求导，利用新构造函数的单调性进行求解即可. 解： （1）当12a =时，11()(2)ln 21(2)ln 22f x x x x x x ⎛⎫'=-+-+=-+ ⎪⎝⎭，由()0f x '>得2x >或120x e -<<；由()0f x '<得122e x -<<，∴()f x 的增区间为120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,)+∞，减区间为12,2e -⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由()0f x >得ln 2ln 1ax x x >-，若1x >，则21ln a x x x >-，设21()ln g x x x x=-，2222221ln (2ln 1)(ln 1)()ln ln x x x g x x x x x x++-'=-+=-， ∵1x >，∴2ln 10x +>，∴当x e >时，()0g x '<，当1x e <<时，()0g x '>，此时()g x 在x e =处取得最大值1(e)g e =，∴1a e>. 若1x =，不等式恒成立，a R ∈. 若01x <<，则21ln a x x x <-，由上知：21()ln g x x x x=-，2222221ln (2ln 1)(ln 1)()ln ln x x x g x x x x x x++-'=-+=-， 当01x <<时，令12()0g x x e -'=⇒=，当120x e -<<时，()0,()g x g x '<单调递减， 当121e x -<<时，()0,()'>g x g x 单调递增，由以上知()g x 在12x e-=处取得最小值12g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时a <综上，a 的取值范围是1e⎛ ⎝. 点评：本题考查了利用导数求函数的增区间，考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想，考查了常变量分离法，考查了数学运算能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a y a θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，0a ≠），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，2C 的极坐标方程为()3θρπ=∈R . （1）写出1C 的普通方程与2C 的直角坐标方程；（2）若在1C 上至少存在一点P 到2C 的距离为1，求a 的取值范围.答案：（1）222(1)x y a +-=，y =；（2）12a …或12-a „.（1）利用同角的三角函数关系式进行消参，利用极坐标方程与直角坐标方程互化公式进行转化即可；（2）先计算出圆心到直线的距离，然后根据题意列出不等式，解不等式即可. 解：（1）1C 的普通方程为222(1)x y a +-=，2C的直角坐标方程为y =.（2）由（1）知1C 是圆心为(0,1)，半径为||a 的圆，且圆心(0,1)到直线y =的距离为12==， ∵在1C 上至少存在一点P 到2C 的距离为1， ∴必须满足1||12a +≥，即1||2a ≥，解得12a …或12-a „.点评：本题考查了参数方程化成普通方程、极坐标方程化成直角坐标方程，考查了直线与圆的位置关系的应用，考查了数学运算能力. 23．设函数22()f x x a x b =-++.（1）若2a b =，(1)10f <，求a 的取值范围； （2）若3a b +=，证明：9()2f x ….答案：（1）(-；（2）证明见解析.（1）根据2a b =，把不等式(1)10f <中的b 进行消元，然后分类讨论进行求解即可； （2）利用重要不等式，结合绝对值的性质进行证明即可. 解：（1）当2a b =时，22()4a f x x a x =-++，由(1)10f <得2211104a a -++<，当21a ≤时，22231121044a a a -++=-<恒成立，此时21a ≤；当21a >时，2225111044a a a -++=<，28a <，此时218a <<，综上可得28a <，(a ∈-.（2）∵222a b ab +…，∴()2222()9a b a b ++=…，2292a b +…， ∴()()2222229()2f x x a x b x a x b a b =-++--+=+厖. 点评：本题考查了利用分类讨论法求解绝对值不等式问题，考查了利用重要不等式和绝对值的性质进行证明不等式问题，考查了数学运算能力和推理论证能力.。

2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{﹣3，﹣1，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．已知函数g（x）＝为奇函数，且f（﹣1）＝1，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．254．已知单位向量，满足|+|＝|﹣|，则|﹣|＝（）A．B．1C．D．25．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．6．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，命题p：若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，命题q：若a＞b，则cos A＜cos B．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）7．在△ABC中，D是AB的中点，H是CD的中点，若＝λ+μ（x，μ∈R），则λ+μ＝（）A．B．C．D．8．正四面体SABC中，D是AB的中点，E是SB的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称10．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）＝，则函数g（x）＝f（x）﹣lg|x|的零点个数为（）A．9B．10C．18D．2012．若∀x＞0，（e x﹣ax）（lnx﹣ax）≤0恒成立，则a的取值范围是（）A．[，e]B．[]C．[1，e]D．[e，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为14．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝．15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，已知一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为16．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，ab sin C＝c2﹣（a﹣b）2，若△ABC的面积为4，则c的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝3，a n﹣a n﹣3n＝0，n≥2．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+，a∈R．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{﹣3，﹣1，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}为奇数集，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，则A∩B＝{﹣1，1}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．已知函数g（x）＝为奇函数，且f（﹣1）＝1，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】根据题意，由函数的解析式可得g（﹣1）＝f（﹣1）＝1，又由函数为奇函数可得（﹣1）2﹣a（﹣1）＝﹣1，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数g（x）＝，则g（﹣1）＝f（﹣1）＝1，又由函数g（x）＝为奇函数，则g（1）＝﹣g（﹣1）＝﹣1，即12﹣a＝﹣1，解可得a＝2；故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．25【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1，a2，a5成等比数列，∴＝a1•a5，∴（1+d）2＝1•（1+4d），解得d＝2．∴S5＝5+＝25．故选：D．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知单位向量，满足|+|＝|﹣|，则|﹣|＝（）A．B．1C．D．2【分析】由已知，两边同时平方可求得＝，然后代入|﹣|＝＝可求．【解答】解：∵，且|+|＝|﹣|，∴，∴＝，∴＝，则|﹣|＝＝＝1，故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，根据锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝（1+2）×1＝，高h＝1，故体积V＝Sh＝，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．6．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，命题p：若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，命题q：若a＞b，则cos A＜cos B．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【分析】推导出命题p是假命题，命题q是真命题，由此能求出结果．【解答】解：由a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，知：命题p：若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，是假命题，比如a＝5，b＝4，c＝3，则a2+b2＞c2，则△ABC为直角角三角形，故命题p是假命题；命题q：若a＞b，则cos A＜cos B，是真命题．∴在A中，p∧q是假命题；在B中，p∨（￢q）是假命题；在C中，（￢p）∧（￢q）是假命题；在D中，（￢p）∨（￢q）是真命题．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查复合命题的真假判断等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．7．在△ABC中，D是AB的中点，H是CD的中点，若＝λ+μ（x，μ∈R），则λ+μ＝（）A．B．C．D．【分析】用，表示出，由平面向量基本定义可得出λ，μ的值即可得出答案．【解答】解：∵D为AB中点，H为CD中点，＝＝＝，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．8．正四面体SABC中，D是AB的中点，E是SB的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】过点D作DF∥AE，交SB于点F，得出∠CDF是异面直线AE与CD所成的角；设正四面体SABC 的棱长AB＝a，利用三角形的边角关系求出cos∠CDF的值．【解答】解：如图所示，过点D作DF∥AE，交SB于点F，连接CF，则∠CDF是异面直线AE与CD所成的角；设正四面体SABC的棱长AB＝a，则AE＝CD＝a，DF＝AE＝a，BF＝a；△BCF中，CF2＝a2+a2﹣2•a•a•cos60°＝a2；△CDF中，cos∠CDF＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角的计算问题，也考查了空间想象能力，是基础题．9．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称【分析】由图象经过两点，解方程可得函数f（x）的解析式，由对称轴的特点可判断A；由对称中心解方程可判断B；运用正弦函数的图象解不等式可得解集，可判断C；运用图象平移规律和函数奇偶性的性质，可判断D．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），可得2sinφ＝1，由|φ|＜）即有φ＝，由2sin（ω+）＝﹣2，0＜ω＜1，即有ω+＝，可得ω＝，则f（x）＝2sin（x+），由f（﹣）＝2sin（﹣+）＝0不为最值，故A错；可令x+＝kπ，可得x＝2kπ﹣，k∈Z，即有对称中心为（2kπ﹣，0），故B错；由f（x）≥1即sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤2kπ+，即4kπ≤x≤4kπ+，k∈Z，故C对；f（x）的图象向右平移个单位可得y＝2sin（x﹣+），即y＝2sin x，所得函数图象关于原点对称，故D错．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数解析式的求法和对称性、图象平移，考查化简运算能力，属于中档题．10．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，结合三角函数的性质求出极小值点即可．【解答】解：∵f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x﹣x＝x（cos x﹣），令f′（x）＝0，解得：x＝0或x＝2kπ±，令k＝1，则k＝1时，x＝或，显然x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，函数的极小值点是，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道常规题．11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）＝，则函数g（x）＝f（x）﹣lg|x|的零点个数为（）A．9B．10C．18D．20【分析】先根据函数的周期性画出函数y＝f（x）的图象，以及y＝1gx的图象，结合图象即可判定函数函数g（x）＝f（x）﹣1g|x|的零点个数．【解答】解：R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数，根据周期性画出函数y＝f（x）在（0，+∞）上的图象，根据y＝lgx在（0，+∞）上与函数y＝f（x）图象可知有9个交点，则函数g（x）＝f（x）﹣lg|x|的零点个数为2×9＝18，故选：C．【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）＝f （x）﹣1g|x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题．12．若∀x＞0，（e x﹣ax）（lnx﹣ax）≤0恒成立，则a的取值范围是（）A．[，e]B．[]C．[1，e]D．[e，+∞）【分析】由题意可得＜a＜，x＞0，分别构造函数设f（x）＝，g（x）＝，x＞0，利用导数求出函数的最值即可求出a的范围．【解答】解：∀x＞0，（e x﹣ax）（lnx﹣ax）≤0恒成立，∴（﹣a）（﹣a）≤0，∵e x﹣lnx＞0，∴＜∴＜a＜，x＞0，设f（x）＝，∴f′（x）＝，令f′（x）＝＝0，解得x＝e，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增减，∴f（x）max＝f（e）＝，再令g（x）＝，x＞0，g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增减，∴f（x）min＝f（1）＝e，∴≤a≤e故选：A．【点评】本题考查了函数恒成立的问题，以及导数和函数最值得关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图形可知A（2，2）当直线y＝﹣2x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：6．故答案为：6．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝﹣．【分析】利用两个向量垂直的性质求得tanθ的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则•＝2cosθ﹣sinθ＝0，故tanθ＝2．故sin（θ+）cos（θ+）＝sin（2θ+）＝cos2θ＝•＝•＝•＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，二倍角公式的应用，属于基础题．15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，已知一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为36【分析】利用球体的体积公式可得内切接球的半径，得到三棱柱的高，求出三棱柱的底面三角形的边长，即可求解该堑堵的表面积．【解答】解：一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，画出球在底面的俯视图，如图：球的半径为：r，，可得球的半径为：r＝1，棱柱的底面周长为：c，则＝6，解得c＝12，棱柱的侧面积为：12×2＝24，棱柱的表面积为：6+24+6＝36．故答案为：36．【点评】本题考查外接球的体积，弄清楚直三棱柱与外接球之间的一些数据关系，是解本题的关键，属于中等题．16．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，ab sin C＝c2﹣（a﹣b）2，若△ABC的面积为4，则c的最小值为2【分析】由三角形的面积公式，均值定理，余弦定理化简已知等式即可得解．【解答】解：∵△ABC的面积为4，即：ab sin C＝4，可得：ab sin C＝8，∴由ab sin C＝c2﹣（a﹣b）2，可得：8＝c2﹣a2﹣b2+2ab，可得：c2＝a2+b2﹣2ab+8，∴c2＝a2+b2﹣2ab+8≥2ab﹣2ab+8＝8，当且仅当a＝b时等号成立，∴c≥2，当且仅当a＝b时等号成立，即c的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，均值定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）利用正弦定理转化求解即可．（2）利用余弦定理以及正弦定理，以及两角和与差的三角函数求解即可．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得，∴，∴；（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C⇒c2＝2+4+4，∴，由，∴．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝3，a n﹣a n﹣1﹣3n＝0，n≥2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）运用数列的恒等式：a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1），结合等差数列的求和公式，可得所求通项；（2）求得b n＝＝•＝（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝3，a n﹣a n﹣1﹣3n＝0，n≥2，即a n﹣a n﹣1＝3n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝3+6+9+…+3n＝n（3+3n）＝n2+n；（2）b n＝＝•＝（﹣），前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．【分析】（1）利用和与差公式打开，化简，即可求解单调递增区间；（2）根据区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，结合单调性即可求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．＝（cosπx cos﹣sinπx sin）（cosπx cos+sinπx sin）＝cos2πx sin2πx＝＝cos2πx令2kπ﹣π≤2πx≤2kπ，k∈Z得：k﹣≤x≤k∴f（x）的单调递增区间为[k﹣，k]，k∈Z．∵x∈[，a]上∴2πx∈[，2πa]上f（x）值域为[﹣，﹣]，≤cos2πx．结合余弦函数的性质：π≤2πa．解得：故得a的取值范围是[，]．【点评】本题考查三角函数的图象及性质的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）分n＝1和n≥2两种情况，根据数列的通项公式的定义求得a n＝2n﹣1，然后代入已知条件推知{b n}的通项公式；（2）利用错位相减法求得T n．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1．＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1当n＝1时也适合，故a n＝2n﹣1，所以1+log2a n＝n，故nb n+1＝n（b n+2）．b n﹣b n+1＝2，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）a n b n＝（2n﹣1）•2n﹣1．T n＝1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①2T n＝2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，②由①﹣②得：﹣T n＝1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n＝1+2（2n﹣2）﹣（2n﹣1）•2n，T n＝（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了数列的求和、“错位相减”法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+，a∈R．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求得a＝1时f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线方程；（2）由题意可得f（x）＝0有且只有一个正实数根，可得﹣a＝xlnx，设g（x）＝xlnx，求得导数和单调性、极值和最值，画出g（x）的图象，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx+的导数为f′（x）＝﹣，可得曲线f（x）在x＝1处的切线斜率为k＝1﹣1＝0，切点为（1，1），可得切线方程为y＝1；（2）函数f（x）有且只有一个零点，即f（x）＝0有且只有一个正实数根，可得﹣a＝xlnx，设g（x）＝xlnx，导数为g′（x）＝1+lnx，可得x＞时，g′（x）＞0，g（x）递增；0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递减；即有x＝时g（x）取得最小值﹣，作出g（x）＝xlnx的图象，可得﹣a＝﹣或﹣a＞0，解得a＝或a＜0，则a的取值范围是{}∪（﹣∞，0）．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分离参数和构造函数法，化简整理的运算能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出a＞在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）f′（x）＝，令y＝x2+ax﹣a，当△≤0即﹣4≤a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，△＞0，x2+ax﹣a＝0的两根为x1＝，x2＝，∵x2＜0＜x1，∴f（x）在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增，当a≤﹣4时，△＞0，0＜x2＜x1，故f（x）在（0，x2），（x1，+∞）递增，在（x2，x1）递减；（2）由已知得a＞在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝2﹣e x﹣2x，h′（x）＝﹣e x﹣2＜0，故h（x）＜h（0）＝1，∵h（）＜0，∴h（x）在（0，）上存在零点，设为x0，则＝2﹣2x0，g（x）≤g（x0）＝，x0∈（0，），设m（x）＝，则m′（x）＝＞0，故m（x）在（0，）递增，故m（x）∈（0，），故整数a的最小值是1．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。

湖南省百所重点名校大联考·2019届高三高考冲刺文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项1． 全集 ， ， ，则A ．B ．C ．D ． 2．x ，y 互为共轭复数，且()i xyi y x 6432-=-+则y x +=A ．B ．22C ．1D ．3．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()210f x x x =+>,则()1f -= A ．-2 B ．0 C ．1 D ．24．某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示.根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是A. 第一季度B. 第二季度C. 第三季度D. 第四季度5．下列四个命题：1p ：任意 20x x R ∈>，；2p ：存在2 10x R x x ∈++<，；3p ：任意 sin 2x x R x ∈<，；4p ：存在x R ∈，2cos 1x x x >++. 其中的真命题是A ．12 p p ，B ．23 p p ，C ．34 p p ，D ．14 p p ，6．某几何体三视图如图，则该几何体体积是（ ）A ．4B ．43C ．83D ．27．已知函数()3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，以下结论错误的是 A. 函数()y f x =的图象关于直线6x π=对称B. 函数()y f x =的图象关于点203π⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称 C. 函数()y f x π=+在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D. 在直线1y =与曲线()y f x =的交点中，两交点间距离的最小值为2π 8．已知()20{,|20360x y D x y x y x y +-≤⎧⎫⎪⎪=-+≤⎨⎬⎪⎪-+≥⎩⎭，给出下列四个命题：()1:,,0;P x y D x y ∀∈+≥ ()2,,210;P xy D x y ∀∈-+≤： ()31:,,4;1y P x y D x +∃∈≤-- ()224,,2;P x y D x y ∃∈+≥： 其中真命题的是A. 12,P PB. 23,P PC. 34,P PD. 24,P P9．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且3CP =，则()PC PA PB ⋅+的取值范围是 A. []0,12 B. 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,6 D. []0,310．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时， ，则 的解集为A ．B ．C ．D ．11．直线()2(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =交于A ， B 两点， F 为C 的焦点，若sin 2sin ABF BAF ∠=∠，则k 的值是A. 3B. 3C. 1D. 12．已知函数f (x )＝e xx 2＋2k ln x －kx ，若x ＝2是函数f (x )的唯一极值点，则实数k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 24 B ． ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，e 2 C ．(0,2]D ．[2，＋∞) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖南省十三校重点中学2019届高三第一次联考数学（文）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}(){}1,2,3,4,5,1,2U U AB AC B ===，则集合B =（ ）A ．{}2,4,5B ．{}3,4,5C ．{}4,5D ．{}2,4 2.复数()2211z i i=-++(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.设():21,:10x p q x x <+<,则p 是q 成立的 （ ）A ． 充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4.设x R ∈,向量()(),1,4,2a x b ==-，且//a b ，则a b +=（ ）A ．．5 C.2D ．8545.实数,x y 满足不等式组010210x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2x y -的最大值为（ ）A ．12-B ．1 C. 2 D ．4 6.《九章算术·商功》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的侧面积为（ ）A ． 4 B．6+4+ D ．2 7.如图给出的是计算1111352017++++的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．1009i ≤B ．1009i > C. 1010i ≤ D ．1010i > 8.函数()2sin f x x x =-在[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．9.某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.120.05,lg1.30.11,lg 20.30===（ ） A ．2017年 B ．2018年 C. 2019年 D ．2020年10.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若35,cos 5a b A ===-，则向量BA 在BC 方向上的投影为（ ）A ．2-B ．2C. 2- D ．2 11.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，得到()g x 的图象.若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则12x x -的最大值为 （ ）A ． πB ． 2π C. 3π D ．4π12.抛物线()21:20C x py p =>的焦点与双曲线222:13x C y -=的右焦点的连线在第一象限内与1C 交于点M .若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p =（ ）A．16 B．8C. 3 D．3第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.在区间[]1,1-上随机地取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆()2259x y -+=相交”发生的概率为 ．14.某校高三文科班150名男生在“学生体质健康50米跑”单项测试中，成绩全部介于6秒与11秒之间.现将测试结果分成五组：第一组[]6,7；第二组(]7,8，…，第五组(]10,11.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.按国家标准，高三男生50米跑成绩小于或等于7秒认定为优秀，若已知第四组共48人，则该校文科班男生在这次测试中成绩优秀的人数是 ．15.已知四面体P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面,ABC AB AC ⊥，且2AC PB AB ===，则球O 的表面积为 ．16.若函数()cos2sin f x x a x =+在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值大于零，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在数列{}n a 中，已知12211,3,32n n n a a a a a ++===-.（1）证明数列{}1n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设(){}2log 1,n n n b a b =+的前n 项和为n S ，求证：12311112nS S S S ++++<.18. 如图，在正方形ABCD 中，点,E F 分别是,AB BC 的中点，将,AED DCF ∆∆分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于P .设EF 与BD 交于点O ，过点P 作PH BD ⊥垂足为H .（1）求证：PH ⊥底面BFDE ；（2）若四棱锥P BFDE -的体积为12，求正方形ABCD 的边长.19.空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，参与空气质量评价的主要污染物为22310 2.5SO NO PM PM O CO 、、、、、等六项.空气质量按照AQI 大小分为六级：一级050为优；二级51100为良好；三级101150为轻度污染；四级151200为中度污染；五级201300为重度污染；六级300>为严重污染.某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续10天AQI 的茎叶图如图所示：（1）利用访样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）； （2）若从样本中的空气质量不佳（100AQI >）的这些天中，随机地抽取三天深入分析各种污染指标，求这三天的空气质量等级互不相同的概率.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()222:0,0E x y t r t r +-=>>经过椭圆22:142x y C +=的左右焦点12,F F ，与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且1,,F E A 三点共线. （1）求圆E 的方程；（2）设与直线OA 平行的直线l 交椭圆C 于,M N 两点，求AMN ∆的面积的最大值.21. 已知函数()ln 1f x x x a x =+-.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线13:3x t C y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线()222:11C x y +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线12,C C 的极坐标方程；（2）若射线():0l θαρ=>分别交12,C C 于,A B 两点，求OB OA的最大值.23.选修4-5：不等式选讲. 已知函数()12f x x a x =-++.（1）求1a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）当1a <-时，若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，求a 的值.湖南省十三校重点中学2019届高三第一次联考数学（文）试题答案一、选择题1-5: BDBAD 6-10: CABDB 11、12：CD二、填空题13.3414. 9 15. 16π 16. ()1,+∞ 三、解答题17.【解析1】（1）由2132n n n a a a ++=-，得()211212,2n n n n a a a a a a +++-=--=， 所以，{}1n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列. ∴12n n n a a +-=，()()()211213211212222112nn n n n n a a a a a a a a ---=+-+-++-=++++==--. （2）()22log 1log 2n n n b a n =+==，∴()11232n n n S n +=++++=， 于是()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以12311111111112121222311n S S S S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 18.【解析】（1）在正方形ABCD 中，,BE BF DE DF ==， 所以,B D 在EF 的垂直平分线上，∴EF BD ⊥， ∵,,,DP PF DP PE PF PE ⊥⊥⊂平面,PEF PF PE P =，因此DP ⊥平面PEF ，∴EF PD ⊥，又PD BD D =，所以EF ⊥平面PDB ，∴EF PH ⊥. 又,PH BD EFBD O ⊥=，故PH ⊥底面BFDE .（2）设正方形边长为a ，连接OP ，在正方形ABCD中，,222a a BE BF EF a PE PF ==⇒===， 故090FPE ∠=，因此124PO EF ==， 又PD a =，所以23aaPD POa PH OD===， 又四边形BFDE 的面积2221122S a a a =-=， 所以四棱锥P BFDE -的体积211126323aV a a ==⇒=. 19.【解析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为51102=， 估计该月空气质量优良的频率12，从而估计该月空气质量优良的天数为130152⨯=.（2）该样本中轻度污染共3天，分别记为,,A B C ；中度污染1天，记为y ；重度污染1天，记为z ，从中随机抽取三天的所有可能结果表示为：,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,;,,A B C A B y A B z A C y A C z B C y B C z A y z B y z C y z ；共10个；其中空气质量互不相同的结果有：,,;,,;,,A y z B y z C y z ；共3个. 所以这两天的空气质量等级恰好不同的概率为310. 20.【解析】（1）∵1,,F E A 三点共线，∴1F A 为圆E 的直径，∴212AF F F ⊥且22AF t =， 又2,a c =.由椭圆定义和勾股定理得：2212232242t r t r t r ⎧=⎪⎧-=⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩，∴圆的方程为221924x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（2）在椭圆22142x y +=中令x =A的坐标为)，∴直线OA的斜率为2. 设直线l的方程为2y x m =+，联立222142y m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2220x m ++-=， 设()()1122,,,M x y N x y，∴21212,2x x x x m +==-，222480m m ∆=-+>，∴22m -<<，且0m ≠，又21MN x =-=∵点A 到直线l的距离d =.∴()()222224116221234222222AMNm m S MN d m m m m ∆-+==-⨯=-≤=，当且仅当224m m -=，即m =时等号成立，故AMN ∆21.【解析】（1）当0a =时，()ln f x x x =， 定义域为()()0,,ln 1f x x '+∞=+，令()10f x x e'=⇒=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>递增，∴()f x 的递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，极小值为11f e e⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值.（2）方法一：()()ln 10f x x x a x x =+->显然有一个零点1.①当1x >时，()()()ln 1,ln 1f x x x a x f x x a '=+-=++，令()0ln 1f x x a '=⇒=--， ① 若10a --≤，即1a ≥-时，()0f x '≥，（只在1,1a x =-=取等号），()f x 递增， 又()10f =，故()f x 在()1,+∞上无零点. ② 若10a -->，即1a <-时，11a x e--=>，易知当()11,a x e --∈时，()()0,f x f x '<递减；当()1,a x e --∈+∞时，()()0,f x f x '>递增， ∴()f x 有极小值，即最小值为()()()111111a a a a f ee a a e e a --------=--+-=--. 而()f x 在()11,a e --递减，故()()110a f ef --<=. 又取11aa x ee ---=>>有()()()10a a af e e a a e a ---=-+-=->，故()f x 在()1,+∞上必有唯一零点.（2）当01x <<时，()()()ln 1,ln 1f x x x a x f x x a '=+-=+-，令()0ln 1f x x a '=⇒=-， ①若10a -≥，即1a ≥时，()()0,f x f x '<递减，又()10f =，故()f x 在()0,1上无零点； ③ 若10a -<，即1a <时，101a x e-<=<.易知当()10,a x e -∈时，()()0,f x f x '<递减；当()1,1a x e -∈时，()()0,f x f x '>递增. ∴()f x 有极小值，即最小值为()()()1111110a a a a f ee a a e a e ----=-+-=-<， 而0x →时，()f x a →，故当01a <<时，()f x 在()0,1上必有唯一零点；当0a ≤时，()f x 在()0,1上无零点，综上可知：当1a <-或01a <<时，()f x 有两个零点；当10a -≤≤或1a ≥时，()f x 有唯一零点. 故()(),10,1a ∈-∞-.方法二：()()ln 10f x x x a x x =+->显然有一个零点1. 令()ln 10f x x x a x =+-=，则1ln 10x a x+-=，令()1ln 1,11ln 11ln 1,01x a x x g x x a x x a x x ⎧⎛⎫+-> ⎪⎪⎪⎝⎭=+-=⎨⎛⎫⎪+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩，()22,1,01x a x x g x x a x x +⎧>⎪⎪'=⎨-⎪<<⎪⎩，()10g =. （1）当1a <-时，()0,1x ∈时，()()0,1,g x x a '>∈-时，()()0,,g x x a '<∈-+∞时，()0g x '>. 所以()g x 在()0,1递增，在()1,a -递减，在(),a -+∞递增.()0,1x ∈时，()()()10,g x g g x <=无零点，()1,x a ∈-时，()()()()10,g a g x g g x -<<=无零点，但a x e -=时，()0a a g e ae -=->， 所以()g x 在()1,+∞有且只有一个零点，在()0,1没有零点；（2）当10a -≤≤时，()0,1x ∈时，()()0,1,g x x '>∈+∞时，()0g x '>，因为()0,1x ∈时，()()()10,1,g x g x <=∈+∞时，()()10g x g >=，所以()g x 在()1,+∞和()0,1都无零点；（3）当01a <<时，()1,x ∈+∞时，()()0,0,g x x a '>∈时，()()0,,1g x x a '<∈时()0g x '>， 所以()g x 在()0,x a ∈时递减，(),1x a ∈时递增，()1,x ∈+∞时递增，所以(),1x a ∈时，()()()()10,1,g a g x g x <<=∈+∞时，()()10g x g >=，当()0,x a ∈时，111a a g e ae a a -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 设()11a a ae a a ϕ=-+-，令1,1t t a =>，则()1t e t t t tϕ=-+-， 则()()()2221111tt t t e t e t e t t t t ϕ----'=-++=， 令()1t h t e t =--，则()10th t e '=->，所以()h t '在()1,+∞递增，即()()120h t h e >=->， 又10t ->，所以()0t ϕ'>.所以()t ϕ在()1,+∞递增，即()()11120t e e ϕϕ>=-+-=->， 即10a g e -⎛⎫> ⎪⎝⎭，又因为()()0,g a g x <在()0,a 递减，所以()g x 在()0,1有唯一零点，在()1,+∞没有零点；（4）当1a ≥时，()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， ()0,1x ∈时，()()()10,1,g x g x >=∈+∞时，()()10g x g >=， ()g x 在()0,1和()1,+∞没有零点.综上实数a 的取值范围是1a <-或01a <<.22.【解析】（1）1C 的普通方程为6x y +=，故极坐标方程为()1:cos sin 6C ρθθ+=， ()()222:sin 1cos 12sin C ρθρθρθ-+=⇒=.（2）设()()12,,,A B ραρα，结合图形可知304πα<<， 则126,2sin cos sin ρρααα==+. ∴()()21111sin cos sin sin 2cos 21213664OBOA ρπααααααρ⎤⎛⎫==+=-+=-+ ⎪⎥⎝⎭⎦ 当38πα=时，∴OB OA取得最大值16. 23.【解析】（1）当1a =时，()5f x ≥化为1250x x -++-≥， 当2x ≤-时，不等式化为2663x x --≥⇒≤-，解得3x ≤-； 当21x -<<时，不等式化为20-≥，无解；当1x ≥时，不等式化为2402x x -≥⇒≥，解得2x ≥， 所以()5f x ≥的解集为(][),32,-∞-+∞.（2）由题设可得()()()()()()112,2121,21121,1a x a x f x a x a x a x a x -++-≤-⎧⎪=-++-<<⎨⎪++-≥⎩，当1a <-时，()10,10,10a a a -+>-<+<，又()()23,130f f a -==<，所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形位于y 轴左侧，且三个顶点分别为()1212,0,,0,2,311a a A B C a a -+⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭， 所以ABC ∆的面积为3121262211a a a a a +-⎛⎫-=⇒=- ⎪-+⎝⎭，即a 的值为-2. .。

2019届湖南省百所重点名校大联考高三高考冲刺数学（文）试题一、单选题1．全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{|B y y ==，则()U A B ⋂=ð（ ）A ．[]1,2B ．[)1,2C ．(]1,2D ．()1,2【答案】D【解析】先求出集合A 、B 的等价条件，结合集合交集、补集的定义进行计算即可． 【详解】解：(){}{}{}2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，{{}2B y y y y ====≥，则{}2U B x x =<ð，则(){}12U A B x x ⋂=<<ð， 故选D ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2．x ，y 互为共轭复数，且()23i 46i x y xy +-=-则x y +=（ ）A ．2B ．1C ．D ．4【答案】C【解析】利用待定系数法求解，设复数i x a b =+，则其共轭复数i y a b =-，然后将x ，y 代入()23i 46i x y xy +-=-中化简，可求出,a b 的值，从而可求出复数x ，y 的模. 【详解】设i x a b =+，i y a b =-，代入得()()22223i 46i a a b -+=-，所以()224a =，()2236a b +=，解得1=a ，1=b ，所以x y +=故选：C 【点睛】此题考查复数和其共轭复数，复数的运算，复数的模，属于基础题.3．已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时, ()21f x x x=+,则()1f -= ( ) A ．-2 B ．0 C ．1D ．2【答案】A【解析】因为()f x 是奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，故选A. 4．某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（ ）A ．第一季度B ．第二季度C ．第三季度D ．第四季度【答案】B【解析】方差最小的数据最稳定,所以选B. 5．下列四个命题：1p ：任意 20x x R ，∈>；2p ：存在2 10x R x x ∈++<，；3p ：任意sin 2x x R x ∈<，；4p ：存在x ∈R ，2cos 1x x x >++.其中的真命题是（ ）A ．12p p ， B ．23 p p ， C ．34 p p ， D ．14p p ， 【答案】D【解析】【详解】试题分析：对于 20x x R ，∈>，1p 为真命题；22131()024x x x ++=++>，2p 为假命题；323 sin()122ππ--=>，3p 为假命题；12x =-时23cos cos 162x x x π>=>++，4p 为真命题；选D.【考点】命题真假 【方法点睛】判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.6．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体体积是（ ）A ．4B ．43C ．83D ．2【答案】B 【解析】【详解】如图所示，在棱长为2的正方体中，三视图表示图中的棱锥P ABC -，其中C 点为中点，该几何体的体积为：ABC 11142223323V S h ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭V . 本题选择B 选项.7．已知函数()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，以下结论错误的是（ ）A ．函数()y f x =的图象关于直线6x π=对称B ．函数()y f x =的图象关于点203π⎛⎫⎪⎝⎭，对称 C ．函数()y f x π=+在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．在直线1y =与曲线()y f x =的交点中，两交点间距离的最小值为2π【答案】C【解析】对于函数()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令x=6π，求得f （x ）2为函数的最大值，可得它的图象关于直线6x π=，故A 正确；令x=23π，求得f （x ）=0，可得它的图象关于点203π⎛⎫⎪⎝⎭，对称故B 正确； 函数y=f （x+π）23x ππ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，x+3π,22ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故f （x+π）单调递减，故C 错误；令f （x ）=1，求得sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭=2，∴x+3π=2kπ+4π，或x+3π=2kπ+34π，k ∈Z ， 故在直线y=1与曲线y=f （x ）的交点中，两交点间距离的最小值为2π，故D 正确； 故选C.8．记不等式组2020360x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域为D .下面给出的四个命题：1:(,),0P x y D x y ∀∈+…；2:(,),210P V x y D x y ∈-+„ ；31:(,),41y P Z x y D x +∈--„ ；242:(,),2P x y D x y ∃∈+…其中真命题的是： A ．12PP B ．23,P PC ．24,P PD ．34,P P【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，利用目标函数的几何意义求解z=x+y ，z 1＝2x ﹣y ，z 211y x +=-，z 3＝x 2+y 2，的范围，判断命题的真假即可． 【详解】实数x ，y 满足202360x y y x x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪-+≥⎩，由约束条件作出可行域为D ，如图阴影部分，A （﹣2，0），B （0，2），C （﹣1，3），z=x+y 经过可行域的点A 及直线BC 时分别取得最值，可得：z ∈[﹣2，2]，所以1P 错误；z 1＝2x ﹣y 经过可行域的B 、C 时分别取得最值，可得：z 1∈[﹣5，﹣2]，所以2P 正确；z 211y x +=-，它的几何意义是可行域内的点与（1，﹣1）连线的斜率， 可得：DA 的斜率是最大值为：13-；BD 的斜率取得最小值为：3-；z 2∈[3-，13-]；所以3P 错误；z 3＝x 2+y 2，它的几何意义是可行域内的点与（0，0）连线的距离的平方， 最小值为原点到直线y=x+2的距离的平方：）22=，最大值为OC 的平方：（﹣1﹣0）2+（3﹣0）2＝10，z 3∈[2，10]．所以4P 正确； 故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．9．已知ABC ∆是边长为2的正三角形，点P 为平面内一点，且3CP =u u u v，则()PC PA PB ⋅+u u u v u u u v u u u v的取值范围是（ ）A ．[]0,12B ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,6D ．[]0,3【答案】A【解析】以点B 为坐标原点， BC 所在直线为x 轴，过点B 与BC 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()00B ，、(3A ，、()20C ， 设() P x y ，因为3CP =u u u v P 点轨迹为()2223x y -+=令233x cos y sin θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩则()1333PA cos sin θθ=--u uu v ， ()23,3PB cos sin θθ=--u u u v()33PC cos sin θθ=-u u u v则()16666cos 26PC PA PB sin πθθθ⎫⎛⎫⋅+=-+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v u u u v 由66cos 66πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 得066cos 126πθ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭故选A 点睛：本题在求解过程中采用了建立平面直角坐标系的方法，先根据题目条件得出点P 点轨迹，然后利用三角函数换元，求得各向量的表示方法，借助辅助角公式进行化简，本题较为综合，运用了较多知识点．10．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足当x ≥0时，()()2log 2f x x x b =+++，则()3f x >的解集为（ ）A ．()(),22,-∞-+∞UB ．()(),44,-∞-+∞UC ．()2,2-D ．()4,4-【答案】A【解析】由于函数为奇函数，并且在R 上有定义，利用()00f =求出b 的值.然后解()3f x >这个不等式，求得x 的取值范围.【详解】由于函数为奇函数，并且在R 上有定义，故()20log 2010f b b =++=+=，解得1b =-，故当0x ≥时，()()2log 21f x x x =++-，这是一个增函数，且()00f =，所以()0f x ≥，故()()33f x f x >⇔>，注意到()23f =，故2x >.根据奇函数图像关于原点对称可知，当2x <-时，()3f x <-，()3f x >.综上所述，()(),22,x ∈-∞-⋃+∞.故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查奇函数图像关于原点对称的特点，考查绝对值不等式的解法.属于中档题.11．直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线2:8C y x =交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若sin 2sin ABF BAF ∠=∠，则k 的值是（ ）A．3B．3C ．1D【答案】B【解析】分析：由正弦定理将sin 2sin ABF BAF ∠=∠角化边可得2AF BF =，结合抛物线的性质可知B 为PA 的中点，联立方程组消元，根据根与系数的关系求出B 点坐标，即可求出k 的值．详解：分别过A ，B 项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M ，N ，则AF AM =，BF BN =.设直线()2(0)y k x k =+>与x 轴交于点P ，则(2,0)P -.∵抛物线的方程为28y x =∴抛物线的准线方程为2x =-，即点P 在准线上. ∵sin 2sin ABF BAF ∠=∠ ∴根据正弦定理可得2AF BF = ∴2AM BN = ∴12PB BN PA AM ==，即B 为PA 的中点. 联立方程组2(2)8y k x y x =+⎧⎨=⎩，消去x 可得：28160y y k -+=. 设211(,)8y A y ，222(,)8y B y ，则1216y y =.∵B 为PA 的中点 ∴122y y =，即(1,22)B . ∵(2,0)P -∴直线AB 的斜率为223故选B.点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系及抛物线的性质的应用，对于直线与圆锥曲线的问题，通常通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用韦达定理，进而求解问题，故解答本题的关键是证出B 为PA 的中点.12．已知函数()2ln xz e f x k x kx x=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞ 【答案】A【解析】由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根． 【详解】解：∵函数f x （）的定义域是0（，）+∞ ∴()()()233222'x x e kx x e x k f x k x x x---=+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点 ∴2x =是导函数'0f x =（）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）+∞无变号零点， 即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2xe g x x=，因为()32'x e x g x x（）-=，所以g x （）在02（，）上单调递减，在2x ＞上单调递增 所以g x （）的最小值为224e g =（），所以必须24e k ≤，故选：A ． 【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论．二、填空题13．执行下面的程序框图，若，则输出的值为______.【答案】5【解析】根据框图，逐次循环即可求出答案. 【详解】 循环依次为，；，； ，； ，； 结束循环，输出. 【点睛】本题主要考查了框图，属于中档题.14．已知P 为抛物线C ：2y x =上一动点，直线l ：24y x =-与x 轴、y 轴交于M ，N 两点，点()2,4A -且AP AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r，则λμ+的最小值为______. 【答案】74【解析】根据直线l ：24y x =-与x 轴、y 轴交于M ,N 两点可得()()2,0,0,4M N -,再根据向量的坐标计算求得λμ+关于,x y 的表达式,再根据24y x =-换元,利用二次函数的最值求解即可. 【详解】由题意得()()2,0,0,4M N -,设(,)P x y ，由AP AM AN λμ=+u u u v u u u u v u u u v得()()()2,40,42,0,x y λμ-+=+-22,44x y μλ∴-=-+=因此2242177242422244y x x x x λμ+-⎛⎫+=-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭.故答案为：74【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标计算,同时也考查了利用二次函数的性质求解最值的问题,属于中档题.15．锐角三角形ABC 中，30A ∠=︒，1BC =，则ABC V 面积的取值范围为______.【答案】12+⎝⎦【解析】由正弦定理可求出,AB AC ，代入三角形面积公式化简得1sin 223S c π⎛⎫=- ⎪⎝⎭根据C ,62ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求出其范围.【详解】∵A 30∠=︒，BC 1=，可得：2sin sin AB ACC B==∴AB 2sin C =，AC 2sin B ==()12sin 150C 2cos cos 2C C C C ⎛⎫︒-==+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ABC 1S 2AB AC ∆=⋅111sin 2sin (cos )sin 22223A C C C c π⎛⎫⋅=⨯⨯+⨯=-+⎪⎝⎭ ∵C ,62ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得：2C 3π-∈20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴sin 2C (0,1]3π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，可得：11sin 2234424c π⎛⎛⎫-+∈+ ⎪ ⎝⎭⎝⎦则ABC V 面积的取值范围为1424⎛+ ⎝⎦【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角恒等变换，正弦型函数的值域，属于中档题.16．已知A ，B ，C ，D 四点均在以点1O 为球心的球面上，且AB AC AD ===，BC BD ==8CD =.若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切，则球2O 直径的最大值为______.【答案】8【解析】如图，设CD 的中点为O ，则O 为BCD V 的外心，且外接圆半径4r =，连接AO ，BO ，确定球心1O 在直线AO 上，计算5R =，当球2O 直径最大时，球2O 与平面BCD 相切，且与球1O 内切，计算得到答案. 【详解】由题意，得222BC BD CD =＋，所以BC BD ⊥，所以BCD V 为等腰直角三角形. 如图，设CD 的中点为O ，则O 为BCD V 的外心，且外接圆半径4r =. 连接AO ，BO ，因为25AC AD ==，所以AO CD ⊥，2AO =，又4BO =，所以222AO BO AB =＋，所以AO BO ⊥，所以AO ⊥平面BCD ，所以球心1O 在直线AO 上.设球1O 的半径为R ，则有2221r OO R =＋，即()22162R R +-=，解得5R =.当球2O 直径最大时，球2O 与平面BCD 相切，且与球1O 内切， 此时A ，O ，1O ，2O 四点共线，所以球2O 直径的最大值为18R OO +=.【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n=n-a n，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n-1}是等比数列；（Ⅱ）令b n=（2-n）（a n-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析. （Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，再写一式，两式相减，整理可得数列{a n-1}是等比数列；（Ⅱ）先确定b n，再利用b n+1﹣b n，确定b n有最大值b3＝b4，从而对任意n∈N，都有b n t≤t2，等价于对任意n∈N，都有t2t成立，由此可求实数t的取值范围．【详解】（Ⅰ）由题可知：，①，②②-①可得.即：，又.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴.由可得，由可得.所以，，故有最大值.所以，对任意，都有，等价于对任意，都有成立.所以，解得或.所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了由数列递推式推导等比数列的证明，考查恒成立问题及数列的最大项问题，考查了数列的单调性的判断，是中档题．18．如图，在三棱锥V ABC -中，45ABC ∠=︒，2VB =，3VC =，1BC =，22AB =，且V 在平面ABC 上的射影D 在线段AB 上．（Ⅰ）求证：DC BC ⊥；（Ⅱ）设二面角V AC B --为θ，求θ的余弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）1111【解析】试题分析：（Ⅰ）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证；因为V 在平面ABC 上的射影D 在线段AB 上，所以VD ABC VD BC ⊥⇒⊥平面，又根据勾股定理可得BC VC ⊥，因此BC VCD DC BC ⊥⇒⊥平面（Ⅱ）求二面角，一般方法为利用空间向量，即先根据题意建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，再根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与法向量之间相等或互补的关系求二面角试题解析：（Ⅰ）证明：2VB =，3VC =1BC BC VC =⇒⊥，VD ABC VD BC ⊥⇒⊥平面，VD VC V ⋂=，BC VCD DC BC ∴⊥⇒⊥平面．（Ⅱ）解：（法一）作DE AC ⊥垂足为E ，连接VE ， 则VED ∠为二面角V AC B --的平面角．在BCD ∆中，45DBC ∠=︒，DC BC ⊥，1BC =，1CD =∴，2BD =，45BDC ∠=︒，在ADC ∆中，135ADC ∠=︒，2AD AB BD =-=222?cos1355AC AD DC AD DC ∴+-︒=5DE ∴=VD ABC ⊥平面，VD CD ∴⊥，又3VC =2VD ∴=，5511cos511VE VED∴=⇒∠=．（法二）在BCD∆中，45DBC∠=︒，DC BC⊥，1BC=，1CD=∴，2BD=，45BDC∠=︒，在ADC∆中，135ADC∠=︒，2AD AB BD=-=，又VD ABC⊥平面，VD CD∴⊥，又3VC=，2VD∴=，如图建立直角坐标系，()1,0,0D，()0,1,0B，()2,1,0A-，()1,0,2V，平面ABC的法向量为()10,0,1e=，平面VAC的法向量为()22,22,1e=--，1212·11cose ee eθ==．【考点】线面垂直性质定理，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．19．近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付，某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），绘制了如图所示的散点图：（I ）根据散点图判断在推广期内，y=a+b?x 与x y c d =⋅（c ，d 为为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（I ）的判断结果求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次. 参考数据：xyv71i ii x y =∑71i i i x v =∑721ii x=∑0.54104 62 1.54 2535 50.12 140 3.47其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆva u β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i ni i u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆav u β=-。