一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{2|650,|,A x x x B x y A B =-+≤===（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,5 【答案】D考点：集合的交集运算．2.命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数 【答案】D 【解析】试题分析：依据逆否命题的概念把原命题中的条件和结论同时“换位”且“换否”，注意“都是”的否定为“不都是”，所以原命题的逆否命题应为“若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数”，故选D. 考点：四种命题的概念.3.若执行右边的程序框图，输出S 的值为6，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．32?k <B ．65?k <C ．64?k <D ．31?k < 【答案】C考点：程序框图中的循环结构. 4.下列函数中在3(,)44ππ上为减函数的是（ ） A ．22cos 1y x =- B ．tan y x =- C ．cos(2)2y x π=- D ．sin 2cos 2y x x =+【答案】C 【解析】试题分析：A ．22cos 1cos 2y x x =-=，当3x (,)44ππ∈时，32x ,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数不单调；B ．tan y x =-在3(,)44ππ上不连续，也不符合题意；C ．cos(2)sin 2x 2y x π=-=，当3x (,)44ππ∈时，32x ,22ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数单调递减，符合题意；D ．sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当3x (,)44ππ∈时，372x ,444πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数不单调，也不符合题意，故选C. 考点：三角函数的单调性.5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ） A ．15 B ．7 C ．9 D ．10 【答案】D考点：随机抽样中的系统抽样法.6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3πB ．103πC ．6πD ．83π【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为底面半径为1高为6的圆柱按图中的截面截去一半剩下的部分，如图所示，所以几何体的体积21163,2V ππ=⨯⨯=故选A.考点：几何体的三视图与体积.7.若231(2)(1)x x x++-的展开式中的常数项为a ，则20(31)a x dx -⎰的值为（ ）A ．6B ．20C ．8D ．24 【答案】A考点：二项式定理及微积分基本定理的应用.8.若函数2xy =图象上存在点(,)x y 满足约束条件302302x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为（ ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．12【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，要使函数2xy =图象上存在点(,)x y 满足约束条件，即2xy =图象上存在点(,)x y 在阴影区域内，则必有12m ≤，即实数m 的最大值为12，故选D.考点：简单的线性规划.9.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有n n S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．2λ≥B ．3λ>C ．3λ≥D ．2λ> 【答案】D考点：等差、等比数列的前n 项和公式及数列的函数特性.10.已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排成一列而成．记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =++++表示S 所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（ ）A ．22min 22S a a b b =++B ．22min 23S a b =+C ．若a b ⊥，则min S 与a 无关D ．S 有5个不同的值 【答案】C【解析】试题分析：S 可能的取值有3种情况：2222222212,S a a b b b S a a b a b b b =++++=++++，23S a b a b a b a b b =++++．2213232()0,()0S S a b S S a b -=->-=->，所以321S S S <<，若2min 4S b a b =+，若a b ⊥，则min S 与a 无关，故选C ．考点：共线向量定理及平面向量数量积的应用.【方法点晴】本题以命题的形式考查平面向量的数量积及共线向量定理的应用，考查学生推理、运算和分析问题的能力，属于中档题.虽然形式上本题条件复杂给考生一种威慑感，但仔细分析实际上就是考查了平面向量的数量积运算，解答本题的关键是先求出S 的三种结果，通过作差比较123,,S S S 的大小关系，问题就迎刃而解了.11.设a b c x y ===+，若对任意的正实数,x y ，都存在以,,a b c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(]1,2 C ．17(,)22D ．以上均不正确 【答案】A考点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题结合三角形的基本性质考查了基本不等式的应用，属于中档题.解答本题应先根据基本不等式求得c a c a ≥≥>，再三角形的性质任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到c a b a c -<<+即得p 的不等式组，再利用基本不等式结合函数的单调性求出p 的取值范围.12.已知,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，不同两点,P Q 在椭圆C上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则当21ln ln 2b a m n a b mn++++取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 【答案】D 【解析】考点：椭圆的标准方程、几何性质及基本不等式.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质，着重考查了基本不等式和考生分析问题及利用函数思想解决问题的能力，属于难题.解答本题的入手点是消元法，根据椭圆方程把mn 转化为22b a，然后通过换元来构造函数，考查了考生应用函数的意识和能力，把问题转化为求函数在给定区间上的最值点问题，最后再根据椭圆中基本量,,a b c 求得离心率的值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知复数21iz i=-，则z =________．【解析】试题分析：()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+ 考点：复数模的概念与复数的运算.14.在ABC ∆中，2,BC AC ABC ==∆的面积为4，则AB 的长为_________．【答案】4或【解析】试题分析：1242ABC S C ∆=⨯⨯=，得sin C =cos C =∴AB =，∴4AB =或．考点：利用余弦定理解三角形.15.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________． 【答案】53考点：圆与圆的位置关系.【方法点晴】本题形式上考查了圆圆的位置关系，但本质上还要转化为直线与圆的位置关系问题，考查考生利用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题.本题解答的要点有二，一是通过两圆为方程得到它们公共弦所在直线的方程，把问题转化为直线与圆的位置关系；二是对条件“22221122x y x y +=+”的理解和应用，考查考生数形结合的意识，实质上表达了,A B两点到原点的距离相等，这样通过圆的性质来解答，问题就变得容易了. 16.给出下列命题：（1）设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数；（2）若12,x x R ∀∈，都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上递增，则()()f x g x + 在R 上也递增；（3）已知0,1a a >≠，函数,1(),1x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩，若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实 数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（4）存在不同的实数k ，使得关于x 的方程222(1)10x x k ---+=的根的个数为2个、4个、5个、8 个．则所有正确命题的序号为________． 【答案】（1）（2）（3）考点：函数的单调性、奇偶性及函数的零点等知识的综合应用.【方法点晴】本题以多选题的形式考查了考生对函数单调性、奇偶性、分段函数及函数与方程等知识及分类讨论和数形结合及化归的能力，属于难题.要准确解答多选题，需要考生对每个命题都要作出准确判断才能得分.解答的（1）、（2）的关键是构造法，根据题目条件构造函数奇偶性和单调性定义的形式来判断；（3）考查了分段函数的单调性和分类讨论，避免思维定势；（4）需要通过数形结合来解答.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lgn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大？ 【答案】(1) 若10a =，则0n a =，若10a ≠，则2nn a λ=；(2) 数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前6项的和最大. 【解析】试题分析：（1）根据11n n a a S S λ=+，当1n =时，求出1a ，当2n ≥时，写出11,n n a s --的表达式，两式相减消去1,n n S S -得到数列{}n a 的递推式，根据等比数列通项公式求解，注意讨论1a 是否等于0；（2）根据（1）的结论设1lgn nb a =，整理得2lg 2nb n =-，判断出{}n b 的单调性和各项的符号，即可求得最大值.考点：数列的递推公式和等差数列通项公式和前n 项和的最值问题.18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且ABC ∆为等边三角形，1,2AE BD ==，CD 与平面ABCDE （1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥平面DBC ；（2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；（2）解：取AB 的中点O ，连结,OC OD ，则OC ⊥平面ABD ，CDO ∠即是CD 与平面ABDE所成角，OC CD =AB x ==2AB =，取DE 的中点为G ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OG 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，则考点：空间中的垂直关系及空间向量在求解二面角中的应用.19.（本小题满分12分）某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[)[)[)[)、、、20,3030,4040,5050,60、两项培训，培训结束分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加A B后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[)20,30抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)30,40内各抽取1人，设这两人中A B 、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．【答案】（1）14；（2）35；（3）概率分布见解析，数学期望是267392.由题设知X的可能取值为0，1，2．∴15385153153177 (0)(1)(1),(1)(1)(1)498196498498392 P X P X==--===⨯-+-⨯=，15345(2)498392P X==⨯=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴X的概率分布为X 的数字期望为8517745267012196392392392EX =⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：用样本的数字特征估计总体及离散型随机变量的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知抛物线方程为22(0)x py p =>，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M ．（1）求OA OB ；（2）设直线MF 与抛物线交于,C D 两点，且四边形ACBD 的面积为2323p ，求直线AB 的斜率k ．【答案】（1）234p -；（2）k =或k =.根据1()(0)f x x x x =+>的图象和性质得，23k =或213k =，即k =或k =．．．．12分 考点：直线与抛物线位置关系的应用.【方法点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系问题，考查学生的运算能力及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于难题.本题第一问思维简单，主要考查了考生运用方程思想和韦达定理解决问题的能力，第二问的技巧在于利用导数的几何意义求得切线AM 斜率和方程，代换得到BM 的方程，从而求得点M 坐标，发现直线MF 与AB 相互垂直对于最后表示出四边形的面积十分关键，根据弦长公式求出AB 的长，代换得到CD 的出，最后通过四边形ACBD 的面积得到斜率k 的方程，这一过程考查了考生的逻辑推理能力和运算能力.21.（本小题满分12分）已知函数()(ln 2)x f x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（1）求()f x 的单调区间；（2）设1(ln 1)()x x x g x e -+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+<+． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞；（2）证明见解析.设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x'=--<，在(0,)+∞上恒成立，即()k x 在(0,)+∞上是减函数，由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>，当1x >时()0k x <，从而()0f x '<． 综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分考点：导数的几何意义、利用导数研究函数在给定区间上的最值及不等式的证明.【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和通过求给定区间上的最值来证明不等式，考查考生讨论和转化的数学思想，属于难题.本题解答的难点是第二问转化的过程，在第一问解答的基础上，利用不等式的性质把要证明的不等式转化为证明两个不等式，分别构造函数，再利用导数研究其单调性求得其最值，考查了考生应用所学函数、导数、不等式知识解决问题的能力.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E ，EF 垂直于BA 的延长线于点F ．（1）求证：DEA DFA ∠=∠；（2）若030EBA ∠=，2EF EA AC ==，求AF 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）1.考点：平面几何中四点共圆及三角形相似证明和应用.23.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值．【答案】（1）222x y x +=，x m =+；（2）1m =或1m =.（2）把12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入方程：222x y x +=化为：2220t t m m ++-=，由0∆>，解得 13m -<<，∴2122t t m m =-． ∵121PAPB t t ==，∴221m m -=±， 解得1m =±或1m =．又满足0∆>．∴实数1m =或1m =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：圆的极坐标方程及直线参数方程的意义.24. （本小题满分10分）函数()f x ．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数()R a b BC A ∈、时，证明：124a b ab +<+． 【答案】（1）{}|41A x x x =≤-≥或；（2）证明见解析.考点：绝对值不等式的解法及不等式的证明.。
