湖北省襄阳市47中2013年中考数学综合题汇编一季-等腰三角形(含解析)

2013中考综合题（一季-等腰三角形）（共七季）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N．（1）填空：D点坐标是（ 2 ，0 ），E点坐标是（ 2 ， 2 ）；（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记△DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．MN=4CM=MN=4，解得：﹣MN=4，MN=4）6+b=444=，=，∴BN===，=，∴BN==•，2.如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l ：433+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，一个高为3的等边三角形ABC ，边BC 在x 轴上，将此三角形沿着x 轴的正方向平移.（1）在平移过程中，得到111C B A ∆，此时顶点1A 恰落在直线l 上，写出1A 点的坐标 ；（4分）（2）继续向右平移，得到222C B A ∆，此时它的外心P 恰好落在直线l 上，求P 点的坐标；（4分）（3）在直线l 上是否存在这样的点，与（2）中的2A 、 2B 、2C 任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在， 求出点的坐标；如果不存在，说明理由. （4分）（1）()3,31A（2）设()y x P ,,连接P A 2并延长交x 轴于点H ,连接P B 2 在等边三角形222C B A 中,高32=H A ∴3222=B A ，32=HB∵点P 是等边三角形222C B A 的外心∴302=∠H PB ，∴1=PH 即1=y 将1=y 代人433+-=x y ，解得：33=x ∴()1,33P（3）点P 是222C B A ∆的外心，∵22PB PA = 22PC PB = 22PA PC = 22B PA ∆，22C PB ∆，22C PA ∆是等腰三角形 ∴点P 满足条件，由（2）得()3,33P 由（2）得：()0,342C ，点2C 满足直线l ：433+-=x y 的关系式. ∴点2C 与点M 重合. ∴302=∠PMB 设点Q 满足条件，22B QA ∆，22QC B ∆，22QC A ∆能构成等腰三角形.此时22QB QA = 222C B Q B = 222C A Q A =作x QD ⊥轴于D 点，连接2QB∵322=QB ，60222=∠=∠PMB D QB ∴3=QD ，∴()3,3Q………………………………10分设点S 满足条件，22B SA ∆，S B C 22∆，S A C 22∆能构成等腰三角形. 此时22SB SA = S C B C 222= S C A C 222= 作⊥SF x 轴于F 点∵322=SC ，30222=∠=∠PMB B SC ∴3=SF∴()3,334-S ………………………………11分 设点R 满足条件，22B RA ∆，R B C 22∆，R A C 22∆能构成等腰三角形. 此时22RB RA = R C B C 222= R C A C 222= 作⊥RE x 轴于E 点∵322=RC ，3022=∠=∠PMB E RC ∴3=ER∴()3,343-+R答：存在四个点，分别是()1,33P ，()3,3Q ，()3,334-S ，()3,343-+R………………………………………………………………12分3．如图，已知直线y ＝3x －3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点(与A 点不重合)． (1)求抛物线的解析式： (2)求△ABC 的面积；(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点M 的坐标.解：（1）求出A （1，0），B （0，－3）……………………1分 把A 、B 两点的坐标分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 得 ⎩⎨⎧-==++301c c b 解得：b ＝2，c ＝－3…………………………3分 ∴抛物线为：y ＝x 2＋2x －3…………………4分 （2）令y ＝0得：0＝x 2＋2x －3 解之得：x 1＝1，x 2＝－3所以C （－3，0），AC ＝4…………………6分 S △ABC ＝分86342121⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⨯⨯=⋅OB AC （3）抛物线的对称轴为：x ＝－1，假设存在M （－1，m ）满足题意 讨论： ①当MA ＝AB 时 10222=+m6±=m∴M 1（－1，6），M 2（－1，－6）……………………10分 ②当MB ＝BA 时 10)3(122=++m∴M 3＝0，M 4＝－6……………………………………10分 ∴M 3（－1，0），M 4（－1，－6）……………………12分 ③当MB ＝MA 时222)32=m+m+(12+m＝－1∴M5（－1，－1）……………………………………13分答：共存在五个点M1（－1，6），M2（－1，－6），M3（－1，0），M4（－1，－6），M5（－1，－1），使△ABM为等腰三角形……………………………………14分4. 如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从0点出发沿0C 向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。

全国中考信息资源门户zhongkao等腰直角三角形1、〔2021?XX〕将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一X宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，那么三角板的最大边的长为〔〕A． 3cmB． 6cmC．cmD．cm考点：含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：过另一个顶点 C 作垂线 CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有 45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．解答：解：过点 C 作 CD⊥AD，∴ CD=3，在直角三角形ADC中，∵∠ CAD=30°，∴A C=2CD=2×3=6，又三角板是有 45°角的三角板，∴A B=AC=6，22222∴BC =AB+AC=6 +6 =72，∴B C=6 ，应选： D．点评：此题考察的知识点是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先由求得直角边，再由勾股定理求出最大边．2、〔2021?内江〕，如图，△ ABC 和△ ECD都是等腰直角三角形，∠ ACD=∠DCE=90°， D 为AB边上一点．求证： BD=AE．考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC， CD=CE，再根据同角的余角相等求出∠A CE=∠BCD，然后利用“边角边〞证明△ ACE 和△ BCD全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明．解答：证明：∵△ ABC 和△ ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC， CD=CE，∵∠ ACD=∠DCE=90°，∴∠ ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ ACE=∠BCD，在△ ACE和△ BCD中，，∴△ ACE≌△ BCD〔 SAS〕，∴B D=AE．点评：此题考察了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，以及等角的余角相等的性质，熟记各性质是解题的关键．3、〔2021?XX压轴题〕两个共一个顶点的等腰 Rt△ABC， Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF， M是 AF 的中点，连接 MB、 ME．（1〕如图 1，当 CB与 CE在同一直线上时，求证： MB∥CF；（2〕如图 1，假设 CB=a， CE=2a，求 BM，ME的长；（3〕如图 2，当∠ BCE=45°时，求证： BM=ME．考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．3718684分析：〔 1〕证法一：如答图 1a 所示，延长 AB交 CF 于点 D，证明 BM为△ ADF的中位线即可；证法二：如答图 1b 所示，延长 BM交 EF于 D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角〞证明△ ABM 和△ FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出 BE=DE，从而得到△ BDE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠ EBM=45°，从而得到∠ EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF 即可，〔 2〕解法一：如答图2a 所示，作辅助线，推出BM、 ME是两条中位线；解法二：先求出 BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△ BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；〔 3〕证法一：如答图3a 所示，作辅助线，推出 BM、ME是两条中位线： BM= DF，ME= AG；然后证明△ ACG≌△ DCF，得到 DF=AG，从而证明 BM=ME；证法二：如答图3b 所示，延长 BM交 CF 于 D，连接 BE、 DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得 AM=MF，然后利用“角边角〞证明△ ABM 和△ FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边〞证明△BCE 和△DFE 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠ BEC=∠DEF，然后求出∠B ED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．解答：〔 1〕证法一：如答图 1a，延长 AB交 CF于点 D，那么易知△ ABC 与△ BCD均为等腰直角三角形，∴A B=BC=BD，∴点 B 为线段 AD的中点，又∵点 M为线段 AF的中点，∴BM为△ ADF的中位线，∴BM∥CF．证法二：如答图 1b，延长 BM交 EF于 D，∵∠ ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠ BAM=∠DFM，∵M是 AF的中点，∴AM=MF，∵在△ ABM和△ FDM中，，∴△ ABM≌△ FDM〔 ASA〕，∴A B=DF，∵B E=CE﹣ BC， DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠ EBM=45°，∵在等腰直角△ CEF 中，∠ ECF=45°，∴∠ EBM=∠ECF，∴MB∥CF；〔 2〕解法一：如答图 2a 所示，延长AB交 CF于点 D，那么易知△ BCD 与△ ABC为等腰直角三角形，∴A B=BC=BD=a， AC=AD= a，∴点 B 为 AD中点，又点M为 AF 中点，∴BM= DF．分别延长FE 与 CA交于点 G，那么易知△ CEF 与△ CEG均为等腰直角三角形，∴C E=EF=GE=2a， CG=CF=a，∴点 E 为 FG中点，又点 M为 AF 中点，∴ME= AG．∵CG=CF=a， CA=CD=a，∴A G=DF= a，∴BM=ME= ×a=a．解法二：∵C B=a， CE=2a，∴BE=CE﹣ CB=2a﹣a=a，∵△ ABM≌△ FDM，∴B M=DM，又∵△ BED 是等腰直角三角形，∴△ BEM是等腰直角三角形，∴BM=ME= BE= a；〔 3〕证法一：如答图 3a，延长 AB交 CE于点 D，连接 DF，那么易知△ ABC 与△ BCD均为等腰直角三角形，∴A B=BC=BD， AC=CD，∴点 B 为 AD中点，又点M为 AF 中点，∴ BM= DF．全国中考信息资源门户zhongkao延长 FE 与 CB交于点 G，连接 AG，那么易知△ CEF 与△ CEG均为等腰直角三角形，∴C E=EF=EG， CF=CG，∴点 E 为 FG中点，又点M为 AF 中点，∴ ME= AG．在△ ACG与△ DCF中，，∴△ ACG≌△ DCF〔 SAS〕，∴DF=AG，∴BM=ME．证法二：如答图 3b，延长 BM交 CF于 D，连接 BE、 DE，∵∠ BCE=45°，∴∠ ACD=45°× 2+45°=135°∴∠ BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠ BAM=∠DFM，∴M是 AF的中点，∴AM=FM，在△ ABM和△ FDM中，，∴△ ABM≌△ FDM〔 ASA〕，∴A B=DF， BM=DM，全国中考信息资源门户zhongkao∴A B=BC=DF，∵在△ BCE 和△ DFE中，，∴△ BCE≌△ DFE〔 SAS〕，∴B E=DE，∠ BEC=∠DEF，∴∠ BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△ BDE是等腰直角三角形，又∵ BM=DM，∴BM=ME= BD，故BM=ME．点评：此题考察了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是此题的难点．4、〔2021?XX〕一节数学课后，教师布置了一道课后练习题：如图，在 Rt△ABC中， AB=BC，∠ ABC=90°， BO⊥AC，于点 O，点 PD分别在 AO和 BC上，PB=PD，DE⊥AC 于点 E，求证：△ BPO≌△ PDE．〔1〕理清思路，完成解答〔2〕此题证明的思路可用以下框图表示：根据上述思路，请你完整地书写此题的证明过程．〔2〕特殊位置，证明结论假设 PB平分∠ ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．〔3〕知识迁移，探索新知假设点 P 是一个动点，点 P 运动到 OC的中点 P′时，满足题中条件的点 D 也随之在直线 BC上运动到点 D′，请直接写出 CD′与 AP′的数量关系．〔不必写解答过程〕考点：全等三角形的判定与性质．分析：〔 1〕求出∠ 3=∠4，∠ BOP=∠PED=90°，根据AAS证△ BPO≌△ PDE 即可；〔 2〕求出∠ ABP=∠4，求出△ ABP≌△ CPD，即可得出答案；〔 3〕设 OP=CP=x，求出 AP=3x， CD= x，即可得出答案．解答：〔 1〕证明：∵ PB=PD，∴∠ 2=∠PBD，∵AB=BC，∠ ABC=90°，∴∠ C=45°，∵BO⊥ AC，∴∠ 1=45°，∴∠ 1=∠C=45°，∵∠ 3=∠PBO﹣∠ 1，∠ 4=∠2﹣∠ C，∴∠ 3=∠4，∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠ BOP=∠PED=90°，在△ BPO和△ PDE中∴△ BPO≌△ PDE〔 AAS〕；（2〕证明：由〔 1〕可得：∠ 3=∠4，∵BP 平分∠ ABO，∴∠ ABP=∠3，∴∠ ABP=∠4，在△ ABP 和△ CPD中∴△ ABP≌△ CPD〔 AAS〕，∴AP=CD．〔 3〕解： CD′与 AP′的数量关系是CD′=AP′．理由是：设OP=PC=x，那么 AO=OC=2x=BO，则AP=2x+x=3x，由〔 2〕知 BO=PE，PE=2x， CE=2x﹣ x=x，∵∠ E=90°，∠ ECD=∠ACB=45°，∴D E=x，由勾股定理得： CD= x，即 AP=3x， CD= x，∴CD′与 AP′的数量关系是CD′=AP′点评：此题考察了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的综合应用，主要考察学生的推理和计算能力．。

2013中考综合题（五季-相似问题）（共七季）1.如图，第一象限内半径为2的⊙C 与y 轴相切于点A ，作直径AD ，过点D 作⊙C 的切线l 交x 轴于点B ，P 为直线l 上一动点，已知直线PA 的解析式为：y=kx+3。

(1) 设点P 的纵坐标为p ，写出p 随变化的函数关系式。

(2)设⊙C 与PA 交于点M ，与AB 交于点N ，则不论动点P 处于直线l 上（除点B 以外）的什么位置时，都有△AMN ∽△ABP 。

请你对于点P 处于图中位置时的两三角形相似给予证明； (3)是否存在使△AMN 的面积等于2532的k 值？若存在，请求出符合的k 值；若不存在，请说明理由。

解：（1）、∵y 轴和直线l 都是⊙C 的切线 ∴OA ⊥AD BD ⊥AD 又∵ OA ⊥OB∴∠AOB=∠OAD=∠ADB=90° ∴四边形OADB 是矩形 ∵⊙C 的半径为2 ∴AD=OB=4 ∵点P 在直线l 上 ∴点P 的坐标为（4，p ）又∵点P 也在直线AP 上 ∴p=4k+3 （2）连接DN∵AD 是⊙C 的直径 ∴ ∠AND=90° ∵ ∠AND=90°-∠DAN ，∠ABD=90°-∠DAN ∴∠AND=∠ABD又∵∠ADN=∠AMN ∴∠ABD=∠AMN …………4分 ∵∠MAN=∠BAP …………5分 ∴△AMN ∽△ABP …………6分 (3)存在。

…………7分 理由：把x=0代入y=kx+3得y=3，即OA=BD=3 AB=5342222=+=+BD AD∵ S △ABD= 21AB ²DN=21AD ²DB ∴DN=AB DB AD ∙=512534=⨯ ∴AN 2=AD 2-DN 2=25256)512(422=-∵△AMN ∽△ABP ∴2)(AP AN S S AMNAMN =∆∆ 即222)(APS AN S AP AN S ABP ABP AMN ∆∆∆∙=∙= ……8分 当点P 在B 点上方时，∵AP 2=AD 2+PD 2= AD 2+(PB-BD)2=42+(4k+3-3)2=16(k 2+1) 或AP 2=AD 2+PD 2= AD 2+(BD-PB)2=42+(3-4k-3)2=16(k 2+1) S △ABP=21PB ²AD=21(4k+3)³4=2(4k+3) ∴2532)1(25)34(32)1(1625)34(22562222=++=+⨯+⨯=∙=∆∆k k k k AP S AN S ABP AMN整理得k 2-4k-2=0 解得k 1 =2+6 k 2=2-6 …………9分 当点P 在B 点下方时，∵AP 2=AD 2+PD 2=42+(3-4k-3)2=16(k 2+1)S △ABP=21PB ²AD=21[-(4k+3)]³4=-2(4k+3) ∴2532)1(1625)34(2256222=+⨯+⨯-=∙=∆∆k k AP S AN S ABP AMN化简，得k 2+1=-（4k+3） 解得k=-2综合以上所得，当k=2±6或k=-2时，△AMN 的面积等于2532…10分2.如图，已知点A （0，4），B （2，0）． （1）求直线AB 的函数解析式；（2）已知点M 是线段AB 上一动点（不与点A 、B 重合），以M 为顶点的抛物线()n m x y +-=2与线段OA 交于点C .① 求线段AC 的长；（用含m 的式子表示） ② 是否存在某一时刻，使得△ACM 与△AMO 相似？ 若存在，求出此时m 的值.解：（1）设直线AB 的函数解析式为：y=kx+b∵点A 坐标为（0，4），点B 坐标为（2，0） ∴⎩⎨⎧=+=04b 2k b ²²²²²²²²²²²² 2分解得：⎩⎨⎧=-=42b k即直线AB 的函数解析式为 y=－2x+4 ²² 4分 （2）① 依题意得抛物线顶点M （m , n ）∵在点M 在线段AB 上，∴n =－2m+4 ²²² 5分当x ＝0时，代入()n m x y +-=2得n m y +=2 ²²²²²²²²²²²²²² 6分 ∴422+-=m m y 即C 点坐标为（0, 422+-m m ） ²²²²²²²²²² 7分 ∴AC ＝OA －OC ＝4－（422+-m m ）＝m m 22+- ²²²²²²²²²²²²² 8分 ② 答：存在 ²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 9分 作MD ⊥y 轴于点D ，则D 点坐标为（0，42+-m ）∴AD ＝OA －OD ＝4－(42+-m )＝2m ²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 10分 ∵M 不与点A 、B 重合，∴0＜m ＜2又∵MD ＝m ，∴m MD AD AM 522=+= ²²²²²²²²²²²²²²²² 11分（第26题图）（第26题图）(另解：在Rt△AOB 中，根据勾股定理得5241622=+=+=OB OA AB 又∵DM ∥OB ，∴ABAMAO AD =，∴m m AO AD AB AM 54252=⨯=⋅= ²² 11分) ∵在△ACM 与△AMO 中，∠CAM ＝∠MAO ，∠MCA ＞∠AOM ²²²²²²²²²²² 12分 ∴设△ACM ∽△AMO ∴AOAMAM AC =²²²²²²²²²²²²²²²²²²² 13分 即45522m mmm =+-，整理，得 0892=-m m 解得98=m 或0=m （舍去） ∴存在一时刻使得△ACM 与△AMO 相似，且此时98=m ²²²²²²²²²²² 14分3、如图1，已知菱形ABCD 的边长为，点A 在x 轴负半轴上，点B 在坐标原点．点D 的坐标为（3），抛物线y=ax 2+b （a≠0）经过AB 、CD 两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD 于点E ，交抛物线于点F ，连接DF 、AF ．设菱形ABCD 平移的时间为t 秒（0＜t ）①当t=1时，△ADF 与△DEF 是否相似？请说明理由；②连接FC ，以点F 为旋转中心，将△FEC 按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x 轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t 的取值范围．（写出答案即可）解：（1）由题意得AB 的中点坐标为（﹣，0），CD 的中点坐标为（0，3）， …………………………2分 分别代入y=ax 2+b 得，解得，，∴y=﹣x 2+3． ……………………………3分 （2）①如图2所示，在Rt△BCE 中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2∴sinC===，∴∠C=60°，∠CBE=30°∴EC=BC=，DE=……………………………4分又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°∴∠ADC=180°﹣60°=120°……………………………5分 ∵t=1, ∴B 点为(1,0) ∴F(1,2) ,E(1,3)∴EF=1 ……………………………6分 在Rt △DEF 中 tan ∠EDF=3331==DE EF ∴∠EDF=300∴∠ADF=∠ADC —∠EDF=1200—300=900∴∠ADF=∠DEF∴DF=2EF=2……………………………7分 又∵3232==DF AD ,313==EF DE ∴EFDEEF AD =∴△ADF∽△DEF……………………………8分 ②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x 轴，分别交抛物线、x 轴于点M 、点N ．观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE 且MN≥C′N． ∵F（t ，3﹣t 2），∴EF=3﹣（3﹣t 2）=t 2，∴EE′=2EF=2t 2， 由EE′≤BE，得2t 2≤3，解得t≤．∵C′E′=CE=，∴C′点的横坐标为t ﹣，∴MN=3﹣（t ﹣）2，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t 2，由MN≥C′N，得3﹣（t ﹣）2≥3﹣2t 2，解得t≥．∴t的取值范围为：．……………………………11分4.如图，已知：如图①，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E 分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）；对称轴过点A且顶点为M的抛物线y=a（x﹣k）2+h（a＜0）始终经过点E，过E作EG∥OA交抛物线于点G，交AB于点F，连结DE、DF、AG、BG．设D、E的运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，运动时间为t秒．（1）用含t代数式分别表示BF、EF、AF的长；（2）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；（3）当△ADF是直角三角形，且抛物线的顶点M恰好在BG上时，求抛物线的解析式．﹣x+x+中，令y=）．，∴∠OAB=60°，∴EF==t．时，四边形=，t=∴BE=t=BE=），））代入得：b=x+，+）在抛物线上，=a+a=（+x+．t=∴BE=t=，），））代入得：，x+，∴M（+）在抛物线上，=a+a==x+y=x+或x+．5．已知抛物线y= x2－2x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D点，点A的坐标为（－1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连结AC，BD，并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（－4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC 于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．解：（1）把x=－1，y=0代入22y x x c=-+得1＋2＋c=0，∴c=－3 ………………………………………………………………1分∴()222314y x x x=--=--∴顶点D的坐标为（1，－4）………………………………………………………3分（2）如图1，连结CD、CB,过D作DF⊥y轴于F点，由2230x x--=得x1=－1，x2=3，∴B（3,0）．当x=0时，2233y x x=--=-．∴C（0,－3），∴OB=OC=3，∵∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，BC=4分又∵DF=CF=1，∠CFD=90°，∴∠FCD=45°，CD，∴∠BCD=180°－∠OCB－∠FCD =90°．∴∠BCD=∠COA．…………………………………5分11,=33CD OACB OC又∴=CD OACB OC，∴△DCB∽△AOC，∴∠CBD=∠OCA．…………………………6分又∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB，∴∠E=∠OCB=45°．……………………7分图1(3)如图2，设直线PQ 交y 轴于N 点，交BD 于H 点，作DG ⊥x 轴于G 点． ∵∠PMA =45°，∴∠EMH =45°，∴∠MHE =90∴∠PHB =90°，∴∠DBG +∠OPN =90°．又∠ONP +∠OPN =90°，∴∠DBG =∠ONP ， 又∠DGB =∠PON =90°，∴△DGB ∽△PON ， ∴2==44BG ON ONDG OP ,即， ∴ON =2，∴N （0，－2）．…………………………10分 设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，则由40,2.k b b ì-+=ïïíï=-ïî 解得k =－12，b =－2， ∴122y x =--． 设Q （m ，n ）且n <0，∴122n m =--． 又Q （m ，n ）在223y x x =--上，∴223n m m =--，∴212232m m m --=--，解得1212,2m m ==-， ∴1273,4n n =-=-，∴点Q 的坐标为（2，－3）或（－12，－74）.6.如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB ＝10cm ，BC ＝12cm ．点E ，F ，G 分别从A ，B ，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s ，点F 的运动速度为3cm ／s ，点G 的运动速度为1.5cm ／s ．当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB'F ，设点E ，F ，G 运动的时间为t （单位：s ）．(1)当t ＝ ▲ s 时，四边形EBFB'为正方形；(2)若以点E ，B ，F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求t 的值； (3)是否存在实数t ，使得点B'与点O 重合？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；(2)分两种情况，讨论如下：①若△EBF∽△FCG，则有，即，解得：t=2.8；②若△EBF∽△GCF，则有，即，解得：t=﹣14﹣2(不合题意，舍去)或t=﹣14+2．∴当t=2.8s或t=(﹣14+2)s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似．(3)假设存在实数t，使得点B′与点O重合．如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+(6﹣3t)2=(3t)2解得：t=；过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+(5﹣t)2=(10﹣t)2解得：t=3.9．∵≠3.9，∴不存在实数t，使得点B′与点O重合．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x 轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．»AB的长；（1）当∠AOB＝30°时，求（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图解：（1）连结BC ,∵A （10，0）, ∴OA =10 ,CA =5, ∵∠AOB =30°,∴∠ACB =2∠AOB =60°, ∴»AB 的长=35180560ππ=⨯⨯; ………………………………………………3分 （2）连结OD, ∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°, 又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线；……………………………………………………4分∴OD =OA =10, 在Rt △ODE 中，OE ==-22DE OD 681022=-,∴AE =AO －OE=10－6=4，………………5分由 ∠AOB =∠ADE =90°－∠OAB ，∠OEF =∠DEA ，得△OEF ∽△DEA ，∴OE EF DE AE =,即684EF=，∴EF =3； （3）设OE =x ，①当交点E 在O ，C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ，当∠ECF =∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点E 为OC 中点，即OE =25， ∴E 1（25，0）；…………………………………………………………………8分 当∠ECF =∠OAB 时，有CE =5－x , AE =10－x ，∴CF ∥AB ,有CF =12AB ,∵△ECF ∽△EAD, ∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-，解得：310=x , ∴E 2（310，0）；………9分 ②当交点E 在点C 的右侧时，∵∠ECF ＞∠BOA ， ∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ，连结BE ，∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线， ∴BE =AB =BD ，∴∠BEA =∠BAO,∴∠BEA =∠ECF,∴CF ∥BE ，∴OEOCBE CF =,∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED ，∴CF CE AD AE =， 而AD =2BE ，∴2OC CEOE AE=， 即55210x x x-=-, 解得417551+=x , 417552-=x ＜0（舍去）， ∴E 3（41755+，0）； …………………………………………9分 ③当交点E 在点O 的左侧时，∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF .∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO 连结BE ，得BE =AD 21=AB ，∠BEA =∠BAO ， ∴∠ECF =∠BEA, ∴CF ∥BE ，∴OEOCBE CF =, 又∵∠ECF =∠BAO ，∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED ， ∴ADCFAE CE =， 而AD =2BE ， ∴2OC CE OE AE =, ∴5+5210+x x x=， 解得417551+-=x , 417552--=x ＜0（舍去），∵点E 在x 轴负半轴上，∴E 4（41755-，0）； 综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为：1E （25，0）、2E （310，0）、3E （41755+，0）、4E （41755-，0）．8．如图，抛物线与x 轴交于A ()0,1 、)03(，-B 两点，与y 轴交于点C (),3,0设抛物线的顶点为D .（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标. （2）试判断△BCD 的形状,并说明理由.（3）探究坐标轴上是否存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似? 若存在,请直接写出点P解:(1)设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2由抛物线与y 轴交于点)3,0(C ,可知3=c .即抛物线的解析式为32++=bx ax y .把点A ()0,1、点)03(，-B∴抛物线的解析式为∵2--=x y ∴顶点D (2) △BCD 理由如下：解法一：过点D 分别作x 分）∵在Rt △BOC 中，3=OB 在Rt △CDF 中，，，1341=-=-==OC OF CF DF ∴2222=+=CF DF CD 在Rt △BDE 中，，4-==OB BE DE∴2BC +∴△BCD 解法二：过点D 作DF 在Rt △BOC ∴OC OB = ∴ 45=∠OCB∵在Rt △CDF 中，=DF∴CF DF = ∴ 45=∠DCF ………………………………………………（9分）∴-=∠ 180BCD DCF ∠－ 90=∠OCB∴△BCD 为直角三角形. ………………………………………………………（10分） （3）坐标轴上存在点P ,使得以C A P 、、为顶点的三角形与△BCD 相似. …（11分）符合条件的点P 的坐标为：)09(),310(),00(321，，，--P P P .……………………9.如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点， OA =1，tan ∠BAO =3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ．抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ． （1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ．①设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求出当△CEF 与△COD 相似时点P 的坐标．②是否存在一点P ，使△PCD 的面积最大？若存在，求出△PCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：(1)在Rt △AOB 中，OA=1，tan ∠BAO==3，∴OB=3OA=3．∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的， ∴△DOC ≌△AOB ， ∴OC=OB=3，OD=OA=1，第24题备用图∴A、B、C的坐标分别为(1，0)，(0，3)(﹣3，0)．代入解析式为，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；(2)①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣=﹣1，∴E点的坐标为(﹣1，0)．如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P(﹣1，4)；当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴，∴MP=3EM．∵P的横坐标为t，∴P(t，﹣t2﹣2t+3)．∵P在二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=3(﹣1﹣t)，解得：t1=﹣2，t2=﹣3(与C重合，舍去)，∴t=﹣2时，y=﹣(﹣2)2﹣2³(﹣2)+3=3．∴P(﹣2，3)．∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：(﹣1，4)或(﹣2，3)；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线CD的解析式为：y=x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为(t，t+1)，∴NM=t+1．∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣(t+1)=﹣t2﹣+2．∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，∴S△PCD=PM•CM+PN•OM=PN(CM+OM)=PN•OC=³3(﹣t2﹣+2)=﹣(t+)2+，∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为．10.已知，如图(a)，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x1,0),B(x2,0)，C(0,-2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N.∠ONE=30°，|x1-x2|=8. （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得⊿ABP与⊿ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b ）,点Q 为上的动点（Q 不与E 、F 重合），连结AQ 交y 轴于点H ，问：AH²AQ 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.），的坐标为（即抛物线顶点时，当抛物线解析为：，解得：），，（抛物线过点又，解析式为：两点，所以可设抛物线、抛物线过），）、（，的坐标分别为（、点分中，在是切线，，连结解：圆的半径）（............................... .38-2,382232461261232-- .23261)6)(2(61.61)60)(20(-22-0)6)(2(y . .0602-B A ,6,22.......1.......... ,8.,60. 4,30.. 4282||2r 120021D y x x x x x y a a C x x a B A OB OA OM MN EMN ME MA ONE MNE Rt NE ME NE ME x x AB -=-⨯-⨯==⨯=∴--=-+=∴=-+=∴-+=∴==∴=∴==∠∴===∠∆⊥∴==-==(2）如图，由抛物线的对称性可知：BD AD =，DBA DAB ∠=∠．相似，与使侧图像上存在点若在抛物线对称轴的右ADB ABP P ∆∆,必须有BAD ∠=∠=∠BPA BAP ． 设AP 交抛物线的对称轴于D′点， 显然)38,2(D '，∴直线OP 的解析式为3432+=x y ， 由2326134322--=+x x x ，得10,221=-=x x （舍去）. ∴)8,10(P . 过P 作,G x PG 轴，垂足为⊥,8,4==∆PG BG BGP Rt 中，在∵8548422≠=+=PB∴BPA BAP .∠≠∠∴≠AB PB ．．∴PAB ∆与BAD ∆不相似， …………………………9分 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点．所以在该抛物线上不存在点P ，使得与PAB ∆与相似．…………………… 10分(3)连结AF 、QF, 在AQF ∆和AFH ∆中， 由垂径定理易知：弧AE=弧AF.∴AFH ∠=∠AQF , 又HAF ∠=∠QAF , ∴AQF ∆∽AFH ∆,AFAHAQ AF =∴, 2AF AQ AH =⋅∴ ……………… 12分在Rt△AOF 中，AF 2＝AO 2＋OF 2＝22＋(23)2＝16（或利用AF 2＝AO²AB＝2³8＝16）∴AH²AQ＝16即：AH²AQ 为定值。

【中考数学试题汇编】2013—2019湖北省襄阳市年中考数学试题汇编（含参考答案与解析）1、2013年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案与解析 (2)2、2014年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案与解析 (25)3、2015年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案与解析 (48)4、2016年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案与解析 (72)5、2017年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案与解析 (98)6、2018年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案与解析 (121)7、2019年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案与解析 (144)2013年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．2 C．12D．12-2．四川芦山发生7.0级地震后，一周内，通过铁路部门已运送救灾物资15810吨，将15810吨，将15180用科学记数法表示为（）A．1.581×103B．1.581×104C．15.81×103D．15.81×1043．下列运算正确的是（）A．4a﹣a=3 B．a•a2=a3C．（﹣a3）2=a5D．a6÷a2=a34．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90°5．不等式组21217xx-⎧⎨--⎩≥＞的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．如图，BD平分∠ABC，CD∥AB，若∠BCD=70°，则∠ABD的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．40°7．分式方程121x x=+的解为（）A．x=3 B．x=2 C．x=1 D．x=﹣18．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是（）A．B．C．D．9．如图，平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且AB=5，△OCD 的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（ ）A ．18B ．28C ．36D ．4610．二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示：若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在此函数图象上，x 1＜x 2＜1，y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．y 1≤y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1＞y 211．七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：节水量（m 3） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 家庭数（个）12241那么这组数据的众数和平均数分别是（ ）A ．0.4和0.34B ．0.4和0.3C ．0.25和0.34D ．0.25和0.312．如图，以AD 为直径的半圆O 经过Rt △ABC 斜边AB 的两个端点，交直角边AC 于点E 、B ，E 是半圆弧的三等分点，弧BE 的长为23π，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．9π B C 32π- D 23π-二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）13．计算：)|3|1-+= ．14有意义的x 的取值范围是 ． 15．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m ，其中水面的宽AB 为0.8m ，则排水管内水的深度为 m ．16．襄阳市辖区内旅游景点较多，李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩．如果他们各自在这三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第一站的可能性相同），那么他们都选择古隆中为第一站的概率是 ．17．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是 ．三、解答题（本大题共9小题，满分69分）18．（6分）先化简，再求值：2222a b ab b a a a ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭，其中，1a =+1b = 19．（6分）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼上的C 处测得旗杆低端B 的俯角为45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD 为9m ，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号）20．（6分）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？21．（6分）某中学为了预测本校应届毕业女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图10所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图． 根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图，并指出这个样本数据的中位数落在第 小组；（2）若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，本校九年级女生共有260人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；（3）如测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于170次的成绩为满分，在这个样本中，从成绩为优秀的女生中任选一人，她的成绩为满分的概率是多少？22．（6分）平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（3，3）反比例函数myx的图象经过点C．（1）求此反比例函数的解析式；（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形AD′C′B，请你通过计算说明点D′在双曲线上；（3）请你画出△AD′C，并求出它的面积．23．（7分）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．24．（9分）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B （元）．请解答下列问题：（1）分别写出y A、y B与x之间的关系式；（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．26．（13分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x=﹣2．（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的另一点．已知以AB为一底边的梯形ABCD 的面积为9．求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．①当t为秒时，△PAD的周长最小？当t为秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．2的相反数是（）A．﹣2 B．2 C．12D．12【知识考点】相反数．【思路分析】根据相反数的表示方法：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号．【解答过程】解：2的相反数是﹣2．故选A．【总结归纳】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．四川芦山发生7.0级地震后，一周内，通过铁路部门已运送救灾物资15810吨，将15810吨，将15180用科学记数法表示为（）A．1.581×103B．1.581×104C．15.81×103D．15.81×104【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：15180=1.581×104，故选：B．【总结归纳】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列运算正确的是（）A．4a﹣a=3 B．a•a2=a3C．（﹣a3）2=a5D．a6÷a2=a3【知识考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．。

等腰三角形1、（2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2、(2013年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A1 ，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0),A2(2,0),B1(0,1)，B2（0,2），分别以A1A2B1B2其中的任意两点与点．．O．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（A）34. (B)13. (C) 23.(D)12.答案：D解析：以A1A2B1B2其中的任意两点与点．．O．为顶点作三角形，能作4个，其中A1B1O，A2B2O 为等腰三角形，共2个，故概率为：123、(2013年武汉)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°答案：A解析：因为AB＝AC，所以，∠C＝∠ABC＝12（180°－36°）＝72°，第6题图DCBA又BD为高，所以，∠DBC＝90°72°＝18°4、（2013四川南充，3，3分）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是（）A.70°B. 55°C. 50°D. 40°答案：D解析：因为AB=AC，所以∠C＝∠B=70°，∠A=180°－70°－70°＝40°5、（2013•宁波）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为（）考点：梯形；等腰三角形的判定与性质．分析：延长AE交BC于F，根据角平分线的定义可得∠BAF=∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFB，然后求出∠BAF=∠AFB，再根据等角对等边求出AB=BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD 是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．解答：解：延长AE交BC于F，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠DAF，∵AE∥CD，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=，BC=4，∴CF=4﹣=，∵AD∥BC，AE∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD=CF=．故选B．点评：本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线．6、（2013•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（）A．30°B．35°C．40°D．50°考点：旋转的性质．分析：根据旋转的性质可得AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ACC′=∠CAB，然后利用等腰三角形两底角相等求出∠CAC′，再求出∠BAB′=∠CAC′，从而得解．解答：解：∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAC=∠B′AC′，∵CC′∥AB，∠CAB=75°，∴∠ACC′=∠CAB=75°，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×75°=30°，∵∠BAB′=∠BAC﹣∠B′AC，∠CAC′=∠B′AC′﹣∠B′AC，∴∠BAB′=∠CAC′=30°．故选A．点评：本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质．7、（2013•广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A．25 B．25或32 C．32 D．19考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．3718684分析：因为已知长度为6和13两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当6为底时，其它两边都为13，6、13、13可以构成三角形，周长为32；②当6为腰时，其它两边为6和13，∵6+6＜13，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有32．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8、（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4D．8考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：计算题．分析：由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．解答：解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选B点评：此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．9、（2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：作出图形，利用数形结合求解即可．解答：解：如图，满足条件的点M的个数为6．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观．10、（2013•德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）A．68°B．32°C．22°D．16°考点：平行线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠C的度数，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．解答：解：∵CD=CE，∴∠D=∠DEC，∵∠D=74°，∴∠C=180°﹣74°×2=32°，11、（2013•徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（）A．80°B．50°C．40°D．20°考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可得解．解答：解：∵等腰三角形的顶角为80°，∴它的底角度数为（180°﹣80°）=50°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，是基础题．12、（2013•张家界）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（）A．矩形B．正方形C．菱形D．直角梯形考点：中点四边形．3718684分析：根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形．解答：解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是菱形．证明：连接AC、BD．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=AC．同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形．故选C．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定．用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形．13、（2013•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5B．7C．5或7 D．6考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．3718684分析：因为已知长度为3和1两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当3为底时，其它两边都为1，∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去，当3为腰时，其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为7．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．∠=∠，AB=5,则AC的长为（）15、（2013成都市）如图，在△ＡＢＣ中，B CA.2B.3C.4D.5答案：D解析：由∠B＝∠C，得AC＝AB＝5（等角对等边），故选D16、（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8B．6C．4D．2考点：等腰三角形的判定；矩形的性质．分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形，故选：C．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分．17、（2013哈尔滨）如图，在ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C)5(D)22考点：平行四边形的性质及等腰三角形判定．分析：本题主要考查了平行四边形的性质：平边四边形的对边平行且相等；等腰三角形判定，两直线平行内错角相等；综合运用这三个性质是解题的关键解答：根据CECE平分∠BCD得∠BCE=∠ECD,AD∥BC得∠BCE=∠DEC从而△DCE为等腰三角形，ED=DC=AB,2AB=AD=AE+ED=3+AB,解得AB=3故选B18、（2013•毕节地区）已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为（）A．16 B．20或16 C．20 D．12考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：因为已知长度为4和8两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解答：解：①当4为底时，其它两边都为8，4、8、8可以构成三角形，周长为20；②当4为腰时，其它两边为4和8，∵4+4=8，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有20．故选C．点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．19、（2013•钦州）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ）A ．80° B ． 80°或20° C ． 80°或50° D ． 20°考点： 等腰三角形的性质．3718684专题： 分类讨论．分析： 分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．解答： 解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选B ． 点评： 本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．20、（2013年广州市）如图5，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥==则tan B =（ ）A 23B 22C 114D 554分析：先判断DA=DC ，过点D 作DE ∥AB ，交AC 于点F ，交BC 于点E ，由等腰三角形的性质，可得点F 是AC 中点，继而可得EF 是△CAB 的中位线，继而得出EF 、DF 的长度，在Rt △ADF 中求出AF ，然后得出AC ，tanB 的值即可计算．解：∵CA是∠BCD的平分线，∴∠DCA=∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，∵AB⊥AC，∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），∴点F是AC中点，∴AF=CF，∴EF是△CAB的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2，在Rt△ADF中，AF==4，则AC=2AF=8，tanB===2．故选B．点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．21、（2013台湾、31）如图，甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确考点：平行四边形的判定．分析：求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．解答：解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE=×（180°﹣108°）=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°﹣36°=72°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣72°﹣72°=108°=∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE=108°，∴∠BAM=∠EAM=54°，∵AB=AE=AP，∴∠ABP=∠APB=×（180°﹣54°）=63°，∠AEP=∠APE=63°，∴∠BPE=360°﹣108°﹣63°﹣63°≠108°，即∠ABP=∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；故选C．点评：本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．22、（2013台湾、20）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，今以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于P点．若∠PBC=70°，则∠MPC的度数为何？（）A．20B．35C．40D．55考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形两底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根据等边对等角求解即可．解答：解：∵以B、M为圆心，分别以BC长、MC长为半径的两弧相交于P点，∴BP=PC，MP=MC，∵∠PBC=70°，∴∠BCP=（180°﹣∠PBC）=（180°﹣70°）=55°，在长方形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°，∴∠MPC=∠MCP=35°．故选B．点评：本题考查了矩形的四个角都是直角的性质，等腰三角形两底角相等的性质以及等边对等角，是基础题．23、（2013•滨州）在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，则∠B= 65°．考点：等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形性质即可直接得出答案．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠A=50°，∴∠B=（180°﹣50°）÷2=65°．故答案为：65°．点评：本题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．24、（2013•雅安）若（a﹣1）2+|b﹣2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 5 ．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出a、b再分情况讨论求解即可．解答：解：根据题意得，a﹣1=0，b﹣2=0，解得a=1，b=2，①若a=1是腰长，则底边为2，三角形的三边分别为1、1、2，∵1+1=2，∴不能组成三角形，②若a=2是腰长，则底边为1，三角形的三边分别为2、2、1，能组成三角形，周长=2+2+1=5．故答案为：5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，难点在于要讨论求解．25、（2013•黄冈）已知反比例函数在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连接AO、AB，且AO=AB，则S△AOB= 6 ．考点：反比例函数系数k的几何意义；等腰三角形的性质．3481324分析：根据等腰三角形的性质得出CO=BC，再利用反比例函数系数k的几何意义得出S△AOB 即可．解答：解：过点A作AC⊥OB于点C，∵AO=AB，∴CO=BC，∵点A在其图象上，∴AC×CO=3，∴AC×BC=3，∴S△AOB=6．故答案为：6．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，正确分割△AOB是解题关键．26、（2013•绍兴）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是12°．考点：等腰三角形的性质．3718684分析：设∠A=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．解答：解：设∠A=x，∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x，∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∴∠P2P3P4=∠P13P12P10=3x，…，∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x，∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x，在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°，解得x=12°，即∠A=12°．故答案为：12°．点评：本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律探寻题，难度较大．27、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=．考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．3481324分析：根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．解答：解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，∵BD为中线，∴∠DBC=∠ABC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠E+∠CDE=∠ACB，∴∠E=30°=∠DBC，∴BD=DE，∵BD是AC中线，CD=1，∴AD=DC=1，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD==，即DE=BD=，故答案为：．点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．28、（2013•昆明）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有8 个．考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．分析：建立网格平面直角坐标系，然后作出符合等腰三角形的点P的位置，即可得解．解答：解：如图所示，使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个．故答案为：8．点评：本题考查了等腰三角形的判定，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．29、（2013•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为80°或50°．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．3718684分析：已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．解答：解：当该角为顶角时，顶角为50°；当该角为底角时，顶角为80°．故其顶角为50°或80°．故填50°或80°．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．30、（2013凉山州）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是．考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．解答：解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣8=0，解得x=4，y=8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，∵4+4=8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，能组成三角形，周长=4+8+8=20，所以，三角形的周长为20．故答案为：20．点评：本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．31、（2013•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为6，4或5，5 ．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．解答：解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理，故该等腰三角形的另两边为：6，4或5，5．故答案为：6，4或5，5．点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．32、（2013凉山州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．专题：动点型．分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，∴此时点P坐标为（2，4）；（2）如答图②所示，OP=OD=5．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，∴此时点P坐标为（3，4）；（3）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，∴OE=OD+DE=5+3=8，∴此时点P坐标为（8，4）．综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．33、（2013•牡丹江）劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为 2.4cm或cm ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．3718684专题：分类讨论．分析：设平行四边形的短边为xcm，分两种情况进行讨论，①若BE是平行四边形的一个短边，②若BD是平行四边形的一个短边，利用三角形相似的性质求出x的值．解答：解：如图AB=AC=8cm，BC=6cm，设平行四边形的短边为xcm，①若BE是平行四边形的一个短边，则EF∥BC，=，解得x=2.4厘米，②若BD是平行四边形的一个短边，则EF∥AB，=，解得x=cm，综上所述短边为2.4cm或cm．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质等知识点，解答本题的关键是正确的画出图形，结合图形很容易解答．34、（2013•眉山）如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF、BF，则下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2=DE2，其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，得出∠FAE=45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；如果△ABE∽△ACD，那么∠BAE=∠CAD，由∠ABE=∠C=45°，则∠AED=∠ADE，AD=AE，而由已知不能得出此条件，判定②错误；先由∠BAC=∠DAF=90°，得出∠CAD=∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD=BF，又①知DE=EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C=∠ABF=45°，进而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代换后判定④正确．解答：解：①∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF﹣∠DAE=45°．在△AED与△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABE=∠C=45°．∵点D、E为BC边上的两点，∠DAE=45°，∴AD与AE不一定相等，∠AED与∠ADE不一定相等，∵∠AED=45°+∠BAE，∠ADE=45°+∠CAD，∴∠BAE与∠CAD不一定相等，∴△ABE与△ACD不一定相似，②错误；③∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC﹣∠BAD=∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD=∠BAF．在△ACD与△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD=BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE=EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；④由③知△ACD≌△ABF，∴∠C=∠ABF=45°，∵∠ABE=45°，∴∠EBF=∠ABE+∠ABF=90°．在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2=EF2，∵BF=DC，EF=DE，∴BE2+DC2=DE2，④正确．所以正确的结论有①③④．故选C．点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，有一定难度．35、（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 15 度．考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．36、（2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 6 个，写出其中一个点P的坐标是（5，0）．考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．3718684专题：数形结合．分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标即可．解答：解：如图所示，满足条件的点P有6个，分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（﹣5，0）（0，﹣5）．故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出6个中的一个即可）．点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便．37、（2013•宁夏）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为2a ．考点：旋转的性质．3718684分析：由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，可求得：∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠B=90°﹣α，然后由三角形内角和定理，求得答案．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，∴∠B=90°﹣α，由旋转的性质可得：CB=CD，∴∠CDB=∠B=90°﹣α，∴∠BCD=180°﹣∠B﹣∠CDB=2α．即旋转角的大小为2α．故答案为：2α．点评：此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．38、（2013菏泽）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为．考点：平行四边形的性质；等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）．分析：如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE．又B′E是BD的中垂线，则DB′=BB′．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=BE=．又∵BE=DE，B′E⊥BD，∴DB′=BB′=．故答案是：．点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键．39、（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP= 12 ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，。

数学试题一、选择题（3*12=36分）1. 2的相反数是（）A、-2B、2C、D、2. 四川芦山发生7.0级地震后，一周内，通过铁路部门已运送救灾物资15810吨，将15810吨，将15180用科学计数法表示为（）A、1.581×103B、1.581×104C、15.81×103D、15.81×1043.下列运算正确的是（）4.如图1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A、60°B、70°C、80°D、90°5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）6、如图2，BD平分∠ABC，CD∥AB，若∠BCD =70°，则∠ABD 的度数为（）A、55°B、50°C、45°D、40°7、分式方程121x x=+的解为（）A、x = 3B、x = 2C、x = 1D、x = -18、如图3所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是（）9、如图4，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB = 5，△OCD的周长为23，则平行四边形ABCD 的两条对角线的和是（）A、18B、28C、36D、4610二次函数的图像如图5所示：若点在此函数图像上，的大小关系是（）11、七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：节水量（m3）0.2 0.25 0.3 0.4 0.5家庭数（个）1 2 2 4 1那么这组数据的众数和平均数分别是（）A、0.4和0.34B、0.4和0.3C、0.25和0.34D、0.25和0.312、如图6，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E、B，E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为，则图中阴影部分的面积为（）二、填空题（3*5=15分）13、计算：14、使代数式有意义的x的取值范围是15、如图7，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，则排水管内水的深度为 m。

2013中考综合题（四季-面积问题）（共七季）1.如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0）．与y 轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标．（用含a的代数式表示）；（2）若△ACD的面积为3．①求抛物线的解析式；②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移后抛物线的解析式．tan∠DAC=．，解得：×DE×OA===．==y=，解得，点坐标为（，点坐标（，）代入=﹣（﹣）x ，解得点坐标为（，﹣点坐标（，﹣=﹣（﹣））﹣2.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直线BC 翻折，点A的对应点为D，抛物线y=ax2﹣10ax+c经过点C，顶点M在直线BC上．（1）证明四边形ABCD是菱形，并求点D的坐标；（2）求抛物线的对称轴和函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PBD与△PCD的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．AC==10=5，．．x（，3.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A 两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．=4，∴OP==2×24.如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（﹣1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y=kx﹣4k（k≠0）的图象过点P交x轴于点Q．（1）求该二次函数的解析式；（2）当点P的坐标为（﹣4，m）时，求证：∠OPC=∠AQC；（3）点M，N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M，N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．连接AN，当△AMN的面积最大时，①求t的值；②直线PQ能否垂直平分线段MN？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明你的理由．，即﹣AM•ND=t﹣）．，∴S=﹣）（＜t≤＜，＜时，t=5.在平面直角坐标系中，已知M 1（3，2），N 1（5，－1），线段M 1N 1平移至线段MN 处（注：M 1与M ，N 1与N 分别为对应点）.（1）若M （－2，5），请直接写出N 点坐标.（2）在（1）问的条件下，点N 在抛物线216y x k =+上，求该抛物线对应的函数解析式.（3）在（2）问条件下，若抛物线顶点为B ，与y 轴交于点A ，点E 为线段AB 中点，点C（0，m ）是y 轴负半轴上一动点，线段EC 与线段BO 相交于F ，且OC ︰OF=2m 的值.（4）在（3）问条件下，动点P 从B 点出发，沿x 轴正方向匀速运动，点P 运动到什么位置时（即BP 长为多少），将△ABP 沿边PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的△ABP 面积的14，求此时BP 的长度.（1）N （0,2） …………1分 （2）∵N （0,2）在抛物线y=61x 2+323x+k 上∴k=2∴抛物线的解析式为y=61x 2+323x+2 …………3分（3）∵y=61x 2+323x+2=61（x+23）2∴B （－23，0）、A （0,2）、E （－3，1） ∵CO ：OF=2: 3∴CO=－m, FO=－23m, BF=23+23m ∵S △BEC = S △EBF + S △BFC =12ABC S ∆∴21(23+23m)(－m+1) = 11)22m ⨯⨯-整理得：m 2+m = 0 （图1） ∴m=－1或0 …………5分 ∵m < 0 ∴m =－1 …………6分 （4）在Rt △ABO 中，tan ∠ABO=BO AO =322=33 ∴∠ABO=30°，AB=2AO=4①当∠BPE>∠APE 时，连接A 1B则对折后如图2，A 1为对折后A 的所落点，△EHP 是重叠部分. ∵E 为AB 中点，∴S △AEP = S △BEP =21S △A BP ∵S △EHP =41S △ABP ∴1ΔA HE S = S △EHP = S △BH P =41S △ABP ∴A 1H=HP ，EH=HB=1∴四边形A 1BPE 为平行四边形 （图2） ∴BP=A 1E=AE=2即BP=2②当∠BPE=∠APE 时，重叠部分面积为△ABP 面积的一半，不符合题意…………9分 ③当∠BPE<∠APE 时.则对折后如图3，A1为对折后A 的所落点.△EHP 是重叠部分∵E 为AB 中点，∴S △AEP = S △BEP =21S △A BP ∵S △EHP =41 S △A BP ∴S △EBH = S △EHP=1ΔA HP S =41S △A BP ∴BH=HP ，EH=HA 1=1 又∵BE=EA=2∴AP EH 2111∴AP=2 （图3）在△APB 中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2.∴∠APB=90° ∴BP=综合①②③知：BP=2或6.如图1所示，已知直线y kx m =+与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当12x =-时，y取最大值254.（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P 是直线AC 上一点，且S ABP ：S BPC 1:3=，求点P 的坐标； （3）若直线12y x a =+与（1）中所求的抛物线交于M 、N 两点，问: ①是否存在a 的值，使得090MON ∠=？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；②猜想当090MON ∠>时，a 的取值范围（不写过程，直接写结论）. （参考公式：在平面直角坐标系中，若11(,)M x y ，22(,)N x y ，则M ，N 两点间的距离为MN =解：（1）由题意得212(1)24(1)254(1)4b c b ⎧-=⎪⎪⨯-⎨⨯--⎪=⨯-⎪⎩解得{16b c =-=∴抛物线的解析式为26y x x =--+ ∴(3,0)A -，(2,0)B∴直线AC 的解析式为26y x =+ ···················· （2分） （2）分两种情况：①点P 在线段AC 上时，过P 作PH x ⊥轴，垂足为H ∵13ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴14AP AC =∵PH ∥CO ∴14PH AH AP CO AO AC === ∴32PH =，34AH = ∴94HO =∴93(,)42P -②点P 在线段CA 的延长线上时，过P 作PG x ⊥轴，垂足为G ∵13ABP BPC S AP S PC ==△△ ∴12AP AC =∵PG ∥CO ∴12PG AG AP CO AO AC === ∴3PG =，32AG = ∴92GO =∴9(,3)2P --综上所述，193(,)42P -或29(,3)2P -- ··················· （4分） （3）①方法1：假设存在a 的值，使直线12y x a =+与（1）中所求的抛物线26y x x =--+交于11(,)M x y 、22(,)N x y 两点（M 在N 的左侧），使得090MON ∠=由2126y x ay x x ⎧⎪=+⎨⎪=--+⎩ 得2232120x x a ++-= ∴1232x x +=-，126x x a ⋅=-又1112y x a =+，2212y x a =+∴121211()()22y y x a x a ⋅=++2121211()42x x x x a a =⋅+++26344a a a -=-+∵090MON ∠= ∴222OM ON MN +=∴22222211222121()()x y x y x x y y +++=-+- ∴12120x x y y ⋅+⋅=∴2636044a a a a --+-+= 即22150a a +-=∴3a =-或52a = ∴存在3a =-或52a =使得090MON ∠= ·方法2：假设存在a 的值，使直线12y x a =+与（1）中所求的抛物线26y x x =--+交于11(,)M x y 、22(,)N x y 两点（M 在x 轴上侧），使得090MON ∠=，如图，过M 作MP x⊥于P ，过N 作NQ x ⊥于Q 可证明 MPO △∽OQN △ ∴MP POOQ QN=即1122y x x y -= ∴1212x x y y -= 即12120x x y y ⋅+⋅= 以下过程同上 ②当532a -<<时，090MON ∠>7.如图，在平面直角坐标系中，直线2+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，动点P （a ，b ）在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM ，PN （垂足为M ，N ）分别与直线AB 相交于点E ，点F ，当点P （a ，b ）运动时，矩形PMON 的面积为定值2. （1）求∠OAB 的度数； （2）求证：⊿AOF ∽⊿BEO ；（3）当点E ，F 都在线段AB 上时，由三条线段AE ，EF ，BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S 1，⊿OEF 的面积为S 2.试探究：S 1+S 2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由.，∴BE=AF=ON ∴BE•AF=OM•ON=2OM•ON．EF（（==（）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM，[PF（PF•EM+OM•PE）PE（=m），时，2=a+﹣﹣=，即a=b=时，﹣（﹣+2）﹣8.如图，已知抛物线y＝12x2＋bx＋c（b，c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．(1)b＝▲，点B的横坐标为▲（上述结果均用含c的代数式表示）；(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝12x2＋bx＋c交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC 的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有▲个．解（1）；（点B坐标根据二次函数对称性来求解）（2）直线AE解析式，联立二次函数解析式解得点E直线CD解析式，因为C、D、E三点共线，所以点E代入CD解析式可解得所以抛物线解析式为（3）（表示出△PBC的面积并判断出最大、最小值即可求出范围）①设点P，则当时，；当时，。

湖北省襄阳市第四十七中学八年级数学《全等三角形》训练题（5） 人教新课标版、如图，在ABC Rt ∆中，ＡＢ＝ＡＣ， 90=∠BAC 。

Ｏ是ＢＣ中点. (1) 写出点O 到ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 的距离关系. (2) 如果点M 、N 分别在AB 、AC 上移动，在移动中保持AN=BM ，请判断OMN ∆的形状，并证明你的结论.2、如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG 。

(1)观察猜想B E 与DG 之间的大小关系，并证明你的结论。

(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？如果存在，请你说明旋转过程；如果不存在，请说明理由。

3、如图,AD 是BAC ∠的平分线，M 是BC 中点，FM//AD ，交AB 于E 。

求证：BE=CF 。

4、如图，在ABC ∆中，AB=AC ，D 、E 分别在BC 、AC 边上。

且B ADE ∠=∠,AD=DE 求证：ADB ∆≌DEC ∆.5、如图，在长方形ABCD 中，F 是BC 上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G,DE ⊥AG 于E ，且DE=AB.根据以上条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论.6、如图，在ABC ∆中, 90=∠C , 30=∠A ,分别以AB 、A C 为边在ABC ∆的外侧作正三角形ABE 与正三角形ACD 。

DE 与AB 交于F 。

求证:EF=FD 。

7、如图，在ABC ∆中，延长BC 到D ，延长AC 到E ，AD 与BE 交于F ，∠ABC=45˚，试将下列假设中的两个作为题设，另一个作为结论组成一个正确的命题,并加以证明。

（1）AD ⊥BD, （2）AE ⊥BF （3）AC=BF.8、如图，AB=AC,BE 和CD 相交于P ，PB=PC, 求证：PD=PE 。

9、如图，在ABC ∆中,90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。