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FE DCBA1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ． 求证∠A =∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。
５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.AD C B1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。
求证：△AFD ≌△CEB ．6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。
求证：△ABD ≌△ACE ．C EDBAE B CFD A BC D 2 AC B ED1H F ED CB A 7．已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ．8．已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．9．如图, 在△ABC 中, 分别延长中线BE 、CD 至F 、H, 使EF ＝BE, DH ＝CD, 连结AF 、AH ． 求证：(1) AF ＝AH ；(2)点A 、F 、H 三点在同一直线上； (3)HF ∥BC.10．如图, 在△ABC 中, AC ⊥BC, AC ＝BC, 直线EF 交AC 于F, 交AB 于E, 交BC 的延长线于D, 连结AD 、BF, CF ＝CD. 求证：BF ＝AD, BF ⊥AD.11．证明：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）AB E F12．证明：如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．13.已知：如图，正方形ABCD ，BE =CF ，求证：(1)AE =BF ； （2）AE ⊥BF . 14．已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF.（提示：旋转构造等腰）15.如图,△ABD 和△ACE 是△ABC 外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.（1）判断CD 与BE 有怎样的数量关系;（2）探索DC 与BE 的夹角的大小.（3）取BC 的中点M ，连MA ，探讨MA 与DE 的位置关系。
全等三角形第1节全等三角形的性质和判定【知识梳理】1、全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．2、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．3、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．4、全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．【诊断自测】1、如果ΔABC≌ΔDBC，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠DBC的对应角是_____，∠DCB的对应角是_____．2、如图，已知△ABE≌△DCE，AE＝2 cm，BE＝1.5 cm，∠A＝25°，∠B＝48°；那么DE＝_____cm，EC＝_____cm，∠C＝_____°；∠D＝_____°．3、如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是，对应边是，对应角是，表示这两个三角形全等的式子是．【考点突破】类型一：全等形例1、由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案_____全等图案，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片____全等图形。
（填“是”或者“不是”）类型二：全三角形的定义和性质例2、如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB例3、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC：∠ABC：∠BCA=28：5：3，则∠α的度数为（）A．90°B．85°C．80°D．75°类型三：全等三角形的判定（SSS）例4、用直尺和圆规作一个角等于己知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS例5、已知：如图2－1，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．分析：要证RM平分∠PRQ，即∠PRM＝______，只要证______≌______证明：∵ M 为PQ 的中点（已知），∴______＝______在△______和△______中，⎪⎩⎪⎨⎧===),______(____________,),(PM RQ RP 已知 ∴______≌______（ ）．∴ ∠PRM ＝______（______）．即RM ．例6．已知：如图，AD ＝BC ．AC ＝BD ．试证明：∠CAD ＝∠DBC .类型四：全等三角形的判定（SAS ）例7. 已知：如图3－1，AB 、CD 相交于O 点，AO ＝CO ，OD ＝OB ．求证：∠D ＝∠B ．分析：要证∠D ＝∠B ，只要证______≌______证明：在△AOD 与△COB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO∴ △AOD ≌△______ （ ）．∴ ∠D ＝∠B （______）．例8、小红家有一个小口瓶（如图所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）例9、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．类型五：全等三角形的判定（AAS和ASA）例10、某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，同学小明知道只要带③去就行了，你知道其中的道理是（）A．SAS B．SSA C．ASA D．HL例11. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是例12、已知：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．分析：∵PM ＝PN ，∴ 要证AM ＝BN ，只要证PA ＝______，只要证______≌______．证明：在△______与△______中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠),______(______),______(______),______(______ ∴ △______≌△______ （ ）．∴PA ＝______ （ ）．∵PM ＝PN （ ），∴PM －______＝PN －______，即AM ＝______．例13、已知：AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E=∠B ，DE=CB ．求证：AD=AC ．．例14、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ．AD ⊥CE 于点D ．求证：△DEC ≌△CDA ．类型六：全等三角形的判定（HL ） 例15.已知在△ABC 和△DEF 中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC 和△DEF 全等的是( )A.AB=D E,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD.∠C=∠F,BC=EF例16、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BD=BC,若AC=6，则AE+DE=_____【易错精选】1、如图所示，△ABC≌△DEC，则不能得到的结论是（）A．AB=DE B．∠A=∠D C．BC=CD D．∠ACD=∠BCE2、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D．283、如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC+∠DFE=__________度A CBED【精华提炼】判定三角形全等的基本思路：SAS SS HLSSS →⎧⎪→⎨⎪→⎩找夹角已知两边 找直角 找另一边 AAS ASA SA AASSAS ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AA AAS →⎧⎨→⎩找两角的夹边已知两角 找任意一边 备注：寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴ 平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型【本节训练】训练【1】如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明你的结论．训练【2】如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF．训练【3】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于度．【训练4】．如图，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，AB=AC．求证：BD=CE．基础巩固一、选择题1、下列说法：①有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等；③有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等；④有一条边相等的两个等腰直角三角形全等．其中正确的有（）．A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出 [ ]．A．2个 B．4个 C．6个 D．8个3、下列说法正确的是（）A、全等三角形是指周长和面积都一样的三角形;B、全等三角形的周长和面积都一样 ;C、全等三角形是指形状相同的两个三角形;D、全等三角形的边都相等4、下列两个三角形中，一定全等的是（）A. 两个等边三角形B. 有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形C. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形D. 有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形5、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB<BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( )A．AE=CD B．AE>CD C．AE<CD D．无法确定6、如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°二、填空题6、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与B E相交于点F，若BF=AC，则∠ABC=_______7、如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点B在直线PQ上，AD⊥PQ于D，CE⊥PQ 于E，且AD=2cm，DB=4cm，则梯形ADEC的面积是 _____．A8、（动手操作实验题）如图所示是小明自制对顶角的“小仪器”示意图：（1）将直角三角板ABC的AC边延长且使AC固定；（2）另一个三角板CDE•的直角顶点与前一个三角板直角顶点重合；（3）延长DC，∠PCD与∠ACF就是一组对顶角，已知∠1=30°，∠ACF为多少？三、简答题9、如图，已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，求证：∠C=∠B．10、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高线，求证：AD⊥EF。
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（ ）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠= .【仿练1】如图2，已知ABC ADE ∆≅∆，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是 . 【仿练2】如图3，ABC ADE ∆≅∆，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= .、图4EDCB A图2 图3M DA NBC 图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF ∵CM 是△的中线∴_____________( )∴____________________∴__________（ ） 或 ∵AC=EF∴____________________∴__________（ ）AB=AB （ ）在△ABC 和△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．BFECAFE DCB ACMBA B A例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠C B．AB=AD C．AD∥BC D．AB∥CD2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACE D．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSS B．SAS C．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形的判定及性质
三条边对应于两个相等三角形的重合。
三角形的两条边对应相等，两条边之间的夹角也对应两个相等三角形的全等。
即一个三角形的两个角等价，两个角夹的边等价于两个三角形。
三角形全等的判定
SSS（边边边），即三边对应相等的两个三角形全等。
SAS（边角边），即三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等。
ASA（角边角），即三角形的其中两个角对应相等，且两个角夹的的边也对应相等的两个三角形全等。
AAS（角角边），即三角形的其中两个角对应相等，且对应相等的角所对应的边也对应相等的两个三角形全等。
HL（斜边、直角边），即在直角三角形中一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形性质
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.能够完全重合的顶点称为对应顶点。
4.全等三角形对应边的高度相等。
5.全等三角形对应角的平分线相等。
6.全等三角形对应边的中线相等。
7.全等三角形面积和周长相等。
8.全等三角形对应角的三角函数相等。
相似三角形的判定
类比全等三角形的判定定理，可以得出下列结论：
定理（AA）两角分别对应相等的两个三角形相似。
定理（SAS）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
定理（SSS）三边成比例的两个三角形相似。
定理（HL）一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
全等三角形问题培优在初中数学学习中，全等三角形是一个很重要的概念。
全等三角形指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们常常要运用全等三角形的性质。
本文将从这一角度出发，介绍全等三角形问题的培优方法。
一、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们可以利用全等三角形的性质来简化计算过程和证明过程。
1. 边边边（SSS）全等条件：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2. 边角边（SAS）全等条件：如果两个三角形的一个边和其夹角分别相等，并且另一边也相等，则这两个三角形全等。
3. 角边角（ASA）全等条件：如果两个三角形的两个角和夹在两个角之间的边分别相等，则这两个三角形全等。
利用这些全等条件，我们可以在解决问题过程中找到相应的全等三角形，从而得出答案。
二、全等三角形的应用1. 边长和角度比较在问题中，经常会出现两个或多个三角形的边长或内角需要进行比较的情况。
利用全等三角形的性质，我们不需要逐一计算每个边长或者每个内角的数值，只需要通过观察边长和角度的关系，找到全等三角形，就可以简化计算过程。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF的三个内角分别相等，我们可以得出这两个三角形全等。
如果已知三角形ABC的一条边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为b，那么我们就可以直接得出三角形DEF的边长与a的比较结果。
2. 证明问题在几何证明中，全等三角形是常常被用到的工具。
通过找到一个或多个全等三角形，我们可以得到所求证的结论。
例如，我们需要证明两条线段相等，可以通过构造两个全等三角形，使得所求线段等于全等三角形中的某条边。
然后，利用全等三角形的性质，我们可以得到所求线段等于另一条边，从而得到所需要证明的结论。
3. 问题求解在解决具体问题时，全等三角形也是一个很有用的工具。
通过观察问题中的几何关系，我们可以找到并利用全等三角形来简化问题的求解过程。
全等三角形的判定与性质全等三角形是指具有相同形状和大小的两个三角形。
在几何学中，全等三角形是非常重要的概念，对于研究和解决三角形相关问题具有重要的作用。
本文将对全等三角形的判定方法和性质进行探讨。
一、全等三角形的判定方法1. SSS 判定法SSS (side-side-side) 判定法是指当两个三角形的三边分别相等时，可以判定它们是全等三角形。
例如，若三角形 ABC 的边长分别为 AB = 3 cm，BC = 4 cm，AC = 5 cm，而三角形 XYZ 的边长也分别为 XY = 3 cm，YZ = 4 cm，XZ = 5 cm，则可以判定三角形 ABC 全等于三角形XYZ。
2. SAS 判定法SAS (side-angle-side) 判定法是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，可以判定它们是全等三角形。
例如，若三角形 ABC 的边长分别为 AB = 3 cm，BC = 4 cm，而三角形 XYZ 的边长分别为 XY = 3 cm，XZ = 4 cm，且它们的夹角∠BAC 和∠YXZ 分别相等，则可以判定三角形 ABC 全等于三角形 XYZ。
3. ASA 判定法ASA (angle-side-angle) 判定法是指当两个三角形的两角和一边分别相等时，可以判定它们是全等三角形。
例如，若三角形 ABC 的边长分别为 AB = 3 cm，AC = 4 cm，而三角形 XYZ 的边长分别为 XY = 3 cm，YZ = 4 cm，且它们的角∠BAC 和∠YXZ 分别相等，则可以判定三角形 ABC 全等于三角形 XYZ。
二、全等三角形的性质1. 边对边性质对于全等三角形 ABC 和 XYZ，它们的对应边是相等的，即 AB = XY，BC = YZ，AC = XZ。
并且，全等三角形的对应边之间的长度关系是一一对应的。
2. 角对角性质对于全等三角形 ABC 和 XYZ，它们的对应角度是相等的，即∠BAC = ∠YXZ，∠ABC = ∠YZX，∠ACB = ∠XZY。
2．5 全等三角形（附答案）专题一 全等三角形的性质和判定1．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于点F ，E 为垂足.则结论：①AD=BF ；②CF=CD ；③AC+CD=AB ；④BE=CF ；⑤BF=2BE 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42. 如图，在等边△ABC 中，AD=BE=CF ，D 、E 、F 不是各边的中点，AE 、BF 、CD 分别交于P 、M 、H ，如果把三个三角形全等叫做一组全等三角形，那么图中全等三角形有（）MPHA ．6组B ．5组C ．4组D ．3组3. 如图，点A 在DE 上，F 在AB 上，且AC=CE ，∠1=∠2=∠3，则DE 的长等于（ ）A ．DCB ．BC C ．ABD ．AC 4. 已知：如图AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于G ．求证：AG 平分∠BAC.5.如图AB ∥DC ，AD ∥BC ，聪明的小老鼠哼哼和唧唧分别从B 站、D 站出发沿垂直于AC 的路径BE 、DF 去寻找奶酪, 假设AC 上堆满了奶酪,哼哼和唧唧的速度相同,问它俩谁最先 寻找到奶酪?为什么?BAE FCD专题二 构造全等三角形解决求边或角的问题6.如图，过边长为3的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连接PQ 交边AC 于点D ，则DE 的长为（ ）A ．1 B ．3 C ．1D ．不能确定 ___________．8.如图，D 为等边△ABC 内一点，DA=DC ，P 为△ABC 外一点，CP=CA ，CD 平分∠BCP ，求∠P 的度数是___________．9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．10.已知△ABC为等边三角形，E为射线BA上一点，D为直线BC上一点，ED=EC．（1）当点E在AB上，点D在CB的延长线上时（如图1），求证：AE+AC=CD；（2）当点E在BA的延长线上，点D在BC上时（如图2），猜想AE、AC和CD的数量关系，并证明你的猜想；（3）当点E在BA的延长线上，点D在BC的延长线上时（如图3），请直接写出AE、AC和CD的数量关系．状元笔记【知识要点】1．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．2．全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．3．全等三角形的判定：（1）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS”．（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA”．（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS”．（4）三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS”．【温馨提示】1．正确理解“完全重合”，面积相等的两个三角形不一定全等，周长相等的两个三角形也不一定全等．2．全等三角形中要注意边和角的对应．3．全等三角形的判定条件中至少要有一边，没有判定方法“AAA”、“SSA”．【方法技巧】1．全等三角形中对应边或对应角，可以通过“大边对大角”、“小边对小角”、“大角对大边”、“小角对小边”，找出对应顶点，写在对应的位置上．2．证明三角形全等需要三个条件，应用时要注意找准对应角．一般地，公共角、对顶角，同角的余角（或补角）都是相等的．解题时应注意挖掘题中的隐含条件．3．判定两个三角形全等的常规思路可分为如下三大类：第一类：已知两边SASSSS→⎧⎨→⎩找夹角找另一边；第二类：已知两角ASAAAS→⎧⎨→⎩找夹边找一角的对边第三类：已知一边和一角：AASASAAAS→→⎧⎪→⎧⎪⎨⎪→→⎨⎪⎪⎪→⎩⎩边为角的对边找一角找夹边的另一角边为角的邻边找边的对角找夹角的另一边SAS4．证明三角形全等，从而证出对应边相等、对应角相等，成为今后证明边相等和角相等的最常用方法．5．证明线段或角相等，当已知图形中不存在证题所需的全等三角形，我们需要添加辅助线，构造全等三角形，使欲证相等的线段或角转移位置，最终使问题得以解决．参考答案：1. D 解析：①②③⑤四项正确．2. B 解析：△EBA≌△DAC≌△FCB（SAS）；△DBC≌△FAB≌△ECA（SAS）；△ADH≌△CFM ≌△BEP（ASA）；△BAP≌△ACH≌△CBM（SAS）；△DBM≌△FAP≌△ECH（AAS）．共5组．3. C 解析：由∠1=∠3可得∠ACB=∠ECD，再根据∠2=∠3证得∠D=∠B，然后利用“角角边”定理证明△ABC≌△EDC，根据全等三角形对应边相等即可.4.证明：因为AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，所以△ABE≌△ACD，所以∠AEB=∠ADC，∠B=∠C.又∠DGB=∠EGC,因AB-AD=AC-AE，所以BD=CE,所以△DGB≌△EGC，所以DG=GE.因为DG=GE，∠ADG=∠AEG，AD=AE，所以△ADG≌△AEG，所以∠1=∠2，所以AG平分∠BAC.5. 解：同时寻找到奶酪.因为AB∥DC，AD∥BC，所以∠CAD=∠ACB，∠ACD=∠CAB，又AC=AC，所以△ACD≌△CAB，所以AB=CD.又∠ACD=∠CAB，∠BEA=∠DFC，AB=CD，所以△ABE≌△CDF，故BE=DF.9.解：（1）在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC.（2）如图，连接MC，∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．10.解：（1）证明：在CD上截取CF=AE，连接EF．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC．∴BF=BE，△BEF为等边三角形．∴∠EBD=∠EFC=120°．又∵ED=EC，∴∠D=∠ECF．∴△EDB≌△ECF （AAS），∴CF=BD．∴AE=BD．∵CD=BC+BD，BC=AC，∴AE+AC=CD；（2）在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．同（1）的证明过程可得AE=BD．∵CD=BC-BD，BC=AC，∴AC-AE=CD；（3）AE-AC=CD．（在BC的延长线上截取CF=AE，连接EF．证明过程类似（2））．。
全等三角形的性质及判定知识要点1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)（4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（）A.全等图形的面积相等B.面积相等的两个图形是全等形C.形状相同的两个图形是全等形D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形，使顶点与边上的点重合，如果AD=7，DM=5，∠DAM=39°，则=____，=____，= .【仿练1】如图2，已知，，，那么与相等的角是.【仿练2】如图3，，则AB=，∠E=_．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC=.、图4EDCBA图2 图3MDN BC图1三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点∵AE=CF∵CM 是△的中线∴_____________()∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）FECACMBA在△ABC和△DEFxx∵∴△ABC≌△DEF（）例1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？为什么？例２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．求证△ACD≌△CBE．例３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证∠A=∠D．练习1..如图，AB=CD，AD=CB，那么下列结论中错误的是（）A．∠A=∠CB．AB=ADC．AD∥BCD．AB∥CD2、如图所示，在△ABCxx，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△BDE≌△CDEC．△ABE≌△ACED．以上都不对3.如图，AB=AC，BD=CD，则△ABD≌△ACD的依据是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL4.如图,AB=AC,D为BC的中点，则△ABD≌_________.5.如图，已知AB=DE，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，那么还要需要一个条件，这个条件可以是：．6.如图，AB=AC，BD=DC，∠BAC=36°，则∠BAD的度数是°．7、.如图，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC≌ADE。
全等三角形的性质及判定(习题及答案)全等三角形的性质及判定全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
在几何学中，全等三角形有着重要的性质和判定方法。
本文将介绍全等三角形的性质，并提供一些习题及答案，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、全等三角形的性质1. 对应边长相等性质：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, BC = EF, AC = DF。
2. 对应角度相等性质：如果两个三角形的三个角度分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F。
3. 边角相等性质：若两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AB = DE, ∠A = ∠D, ∠C = ∠F。
4. 斜边和一角相等性质：若两个三角形的一边与一角分别相等，则它们是全等三角形。
即若∆ABC≌∆DEF，则AC = DF, ∠A = ∠D。
二、全等三角形的判定方法1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, BC = EF, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一边和夹角，以及另一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个夹角和一边分别相等，则它们是全等三角形。
即若∠A = ∠D, ∠B = ∠E, AC = DF，则∆ABC≌∆DEF。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，则它们是全等三角形。
即若AC = DF, ∠A = ∠D，则∆ABC≌∆DEF。
三、习题及答案1. 已知∆ABC和∆DEF，且AB = DE, ∠A = ∠D, BC = EF。
证明∠B = ∠E, AC = DF。
全等三角形的性质全等三角形是指具有完全相等的形状和大小的三角形。
在几何学中，全等三角形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨全等三角形的性质，包括定义、判定条件以及相关的定理和应用。
一、定义全等三角形定义为具有完全相等的形状和大小的三角形。
换句话说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形就是全等三角形。
全等三角形可以通过一系列变换操作来叠加在一起，如平移、旋转和翻转。
二、判定条件为了判断两个三角形是否全等，需要满足以下条件之一：1. SSS判定法：两个三角形的三条边相互对应相等。
2. SAS判定法：两个三角形的两条边和夹角相对应相等。
3. ASA判定法：两个三角形的一边和两个夹角相互对应相等。
4. RHS判定法：两个直角三角形的斜边和一个直角边相互对应相等。
三、全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：1. 三个内角完全相等：两个全等三角形的对应内角相等，即三个内角相互对应相等。
2. 三个内角和相等：两个全等三角形的内角和分别相等。
3. 对应的边相等：两个全等三角形的对应边分别相等。
4. 周长相等：两个全等三角形的周长相等。
5. 面积相等：两个全等三角形的面积相等。
四、全等三角形的相关定理全等三角形的性质使得它们具有一些重要的应用和相关定理，如下所示：1. 位于全等三角形相等边上的等角一定相等。
2. 位于全等三角形等角上的边上的角平分线相等。
3. 全等三角形的重心、外心和内心重合。
4. 如果两个三角形的某一边与两个相对角分别相等，则这两个三角形全等。
5. 全等三角形之间的比较定理，包括大小关系和边长比例关系。
五、应用全等三角形在几何学和实际生活中具有广泛的应用，例如：1. 测量和导航：通过观测两个全等三角形的边长和角度，可以计算出距离和方向。
2. 建筑和工程：使用全等三角形的定理来设计、计算和建造各种结构和设备。
3. 图像处理：利用全等三角形的性质来进行图像变换和形状匹配。
4. 运动轨迹：通过观察全等三角形的形状和大小变化，可以描述物体的运动轨迹。
B AC D EF 第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等A FC E DB 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE . 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAB （E ）OC F 图③FA B C DE FAB (E )C DDA图②图①AE第1题图A BCDEBCDO第2题图AFECB D【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90°C ． AC ＝DFD ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQEFB AB P D EC第1题图ACDG 第2题图BF AC E NMPDD A CB FE21ABCPQE F DA B C DF E⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ）第3题图第1题图C AO D BP第2题图ACA /B B /a αcca50° b72° 58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DA ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______. 09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .E2 1N AB DC 第5题图ABCDEAB CD第4题图第6题图M第10题图AB CDE 第9题图EABC D A BC DEF O CAEBD第7题图 第8题图DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F ,请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下； 已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D C BD E C lAAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .F第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFC D 第1题图B第2题图第3题图AB E D CAB C D EAE B DC 09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
