全等三角形的判定(基础卷)2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【人教版】

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）第十二章 全等三角形单元培优训练班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________考试范围：第12章 全等三角形，共23题； 考试时间：120分钟； 总分：120分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（2022·全国·八年级单元测试）已知图中的两个三角形全等，则∠a 等于（ ）A ．72oB ．60oC ．58oD ．50o 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，即可得到结论．【详解】Q 图中的两个三角形全等，a Ð 为a 和c 的夹角又Q 第一个三角形中a 和c 的夹角为50°\ 50a Ð=°故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，准确找到对应角是解题的关键．2．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，14AB =，6AC =，AC AB ^，BD AB ^，垂足分别为A 、B ．点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿AB 向点B 运动；点Q 从点B 出发，以每秒a 个单位的速度沿射线BD 方向运动．点P 、点Q 同时出发，当以P 、B 、Q 为顶点的三角形与CAP V 全等时，a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．2或3D ．2或127【答案】D3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，AOB ADC △≌△，点B 和点C 是对应顶点，90O D Ð=Ð=°，记,,OAD ABO ABC ACB a b Ð=Ð=Ð=Ð，当//BC OA 时，a 与b 之间的数量关系为（ ）A ．a b=B ．2a b =C ．90a b +=°D ．2180a b +=°【答案】B 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB =AC ，全等三角形对应角相等可得∠BAO =∠CAD ，然后求出∠BAC =α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC ，整理即可．【详解】∵AOB ADC △≌△，∴BAO CAD Ð=Ð，4．（2022·全国·八年级单元测试）如图，△ABC≌△ADE，如果AB＝5cm，BC＝7cm，AC＝6cm，那么DE 的长是（ ）A．6cm B．5cm C．7cm D．无法确定【答案】C【分析】根据全等三角形的性质计算即可；【详解】∵△ABC≌△ADE，=，∴BC DE∵BC＝7cm，∴7=；DE cm故答案选C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．∥，5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若AC DE∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】D 【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出55B C Ð=Ð=°，利用平行线的性质可得出55DEB C Ð=Ð=°，则CEF Ð即可求．【详解】解：ABC Q V 沿线段DE 折叠，使点B 落在点F 处，BDE FDE \@V V ，DEB DEF \Ð=Ð，70A AB AC Ð=°=，Q ，12180705)5(B C \Ð=Ð=´°-°=°，AC DE ∥Q ，55DEB C DEF \Ð=Ð=°=Ð，18070FEC DEB DEF \Ð=°-Ð-Ð=°，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC ≌△DEF ，CD 平分∠BCA ，若∠A ＝30°，∠CGF ＝88°，则∠E 的度数是（ ）A ．50°B ．44°C ．34°D ．30°【答案】C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【答案】②③【分析】根据全等图形的定义，两个图形必须能够完全重合才行．【详解】观察图形，发现②③图形可以和①图形完全重合故答案为：②③．【点睛】本题考查全等的概念，任何一组图形，要想全等，则这组图形必须能够完全重合．8．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC 中，∠A ：∠ABC ：∠ACB ＝3：5：10，又△A ′B ′C ≌△ABC ，则∠BCA ′：∠BCB ′的值为_____．9．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，,125,25,ABC ADE EAB CAD BAC Ð=°Ð=°ÐV V ≌的度数为___________．【答案】75°【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD ＝∠CAB ，求出∠DAB ＝∠EAC =50°，即可得到∠BAC 的度数．【详解】解：∵V ABC ≌V ADE ，10．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠P ＋∠Q ＝__________度．【答案】45【分析】如图，直接利用网格得出对应角P AQC ÐÐ=，进而得出答案．【详解】如图，易知ABP ACQ V V ≌，∴P AQC ÐÐ=，∵BQ 是正方形的对角线，∴45BQC BQA AQC P Q ÐÐ+Ð=Ð+Ð=°=，故答案为：45．【点睛】本题考查了全等三角形，正确借助网格分析是解题关键．11．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知△ABC ≌△ADE ，若AB=7，AC=3，则BE 的值为_________．【答案】4【分析】根据△ABC ≌△ADE ，得到AE=AC ，由AB=7，AC=3，根据BE=AB-AE 即可解答．【详解】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AE=AC ，∵AB=7，AC=3，∴BE=AB-AE=AB-AC=7-3=4．故答案为：4．【点睛】本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等．12．（2022·江西上饶·八年级期末）如图，在△ABC 中，90ACB Ð=°，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ．点C 在直线l 上，动点P 从A 点出发沿A →C 的路径向终点C 运动；动点Q 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 分别以每秒1cm 和2cm 的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P 和Q 作PM ⊥直线l 于M ，QN ⊥直线l 于N ．则点P 运动时间为____秒时，△PMC 与△QNC 全等．【答案】2或6##6或2【分析】设点P 运动时间为t 秒，根据题意化成两种情况，由全等三角形的性质得出CP CQ =，列出关于t 的方程，求解即可．【详解】解：设运动时间为t 秒时，△PMC ≌△CNQ ，∴斜边CP CQ =，分两种情况：①如图1，点P 在AC 上，点Q 在BC 上，图1∵AP t =，2BQ t =，∴8CP AC AP t =-=-，102CQ BC BQ t =-=-，∵CP CQ =，∴8102t t -=-，∴2t =；②如图2，点P 、Q 都在AC 上，此时点P 、Q 重合，图2∵8CP AC AP t =-=-，210CQ t =-，∴8210t t -=-，∴6t =；综上所述，点P 运动时间为2或6秒时，△PMC 与△QNC 全等，故答案为：2或6．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，根据题意判断两三角形全等的条件是解题关键，同时要注意分情况讨论，解题时避免遗漏答案．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABD ≌△ACE ，写出对应边和对应角，并证明∠1＝∠2．【答案】见解析，证明见解析Ð=Ð，根据等角的补角相等即可求【分析】根据全等三角形的性质写出对角与对应边，根据ADB AEC解．【详解】解：∵△ABD≌△ACE，\===，AB AC AD AE BD CE,,A ABC ADB AECÐ=ÐÐ=ÐÐ=Ð；,,Ð=Ð，证明：∵ADB AEC\°-Ð=°-Ð，ADB AEC180180即12Ð=Ð．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等角的补角相等，掌握全等三角形的性质是解题的关键．14．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．(1)求证：BC＝DE＋CE；∥？(2)当△ABC满足什么条件时，BC DE【答案】(1)见解析∥(2)当∠ACB为直角时，BC DE【分析】(1)根据全等三角形的性质得出AE=BC，AC=DE，据此即可证得；(2)根据平行线的性质得出∠BCE=∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB=∠E，求出∠ACB=∠BCE，再求出答案即可．（1）证明：∵△ABC ≌△DAE ，∴AE ＝BC ，AC ＝DE ，又∵AE ＝AC +CE ，∴BC ＝DE +CE ；（2）解：∵BC DE ∥，∴∠BCE ＝∠E ，又∵△ABC ≌△DAE ，∴∠ACB ＝∠E ，∴∠ACB ＝∠BCE ，又∵∠ACB +∠BCE ＝180°，∴∠ACB ＝90°，即当△ABC 满足∠ACB 为直角时，BC DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和平行线的性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．15．（2022·全国·八年级专题练习）如图，点A ，B ，C 在同一直线上，点E 在BD 上，且ABD EBC V V ≌，2cm AB =，3cm BC =．（1）求DE 的长；（2）判断AC 与BD 的位置关系，并说明理由．（3）判断直线AD 与直线CE 的位置关系，并说明理由．【答案】（1）1cm DE =；（2）AC BD ^．理由见解析；（3）直线AD 与直线CE 垂直．理由见解析【分析】（1）由题意根据全等三角形的对应边相等得到BD=BC=5cm ，BE=AB=2cm ，计算即可；（2）由题意直接根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；（3）由题意延长CE 交AD 于F ，进而根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行分析解答即可．【详解】解：（1）ABD EBC Q △≌△，3cm BD BC \==，2cm BE AB ==，1cm DE BD BE \=-=．（2）AC BD ^．理由：ABD EBC Q △≌△，ABD EBC Ð=Ð\．又A Q ，B ，C 在同一直线上，90EBC \=а．AC BD \^．（3）直线AD 与直线CE 垂直．理由：如图，延长CE 交AD 于F ．ABD EBC Q △≌△，D C \Ð=Ð．Q 在Rt ABD △中，90A D Ð+Ð=°，90A C +Ð=\а，90AFC \Ð=°，即直线AD 与直线CE 垂直．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等以及全等三角形的对应角相等是解题的关键．16．（2022·全国·八年级专题练习）如图，A ，E ，C 三点在同一直线上，且△ABC ≌△DAE ．(1)线段DE ，CE ，BC 有怎样的数量关系？请说明理由．(2)请你猜想△ADE 满足什么条件时，DE ∥BC ，并证明．【答案】(1)DE ＝CE +BC ，理由见解析(2)当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明见详解【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，根据两直线平行，内错角相等，得出∠C＝∠DEC，再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．（1）解：DE＝CE+BC．理由：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，DE＝AC．∵A，E，C三点在同一直线上，∴AC＝AE+CE，∴DE＝CE+BC．（2）猜想：当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．证明：∵△ABC≌△DAE，∴∠AED＝∠C，又∵DE∥BC，∴∠C＝∠DEC，∴∠AED＝∠DEC．又∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AED＝∠DEC＝90°，∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DE∥BC．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等量代换、平行线的性质、邻补角互补，解本题的关键在熟练掌握相关性质．17．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．（1）求AE的长度；（2）求∠AED的度数．【答案】（1）3AE =；（2）80AED Ð=°．【分析】（1）先根据全等三角形的性质可得3BE BC ==，再根据线段的和差即可得；（2）先根据全等三角形的性质可得55DBE C Ð=Ð=°，再根据三角形的外角性质即可得．【详解】解：（1）∵,3ABC DEB BC @=V V ，∴3BE BC ==，∵6AB =，∴633AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB @△△，∴55DBE C Ð=Ð=°，∵25D Ð=°，∴552580AED DBE D Ð=Ð+Ð=°+°=°．【点睛】本题考查全等三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的对应角和对应边相等是解题关键．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（2021·全国·八年级专题练习）如图，ABC DEB V V ≌，点E 在AB 上，DE 与AC 相交于点F ，若7DE =，4BC =，35D Ð=°，60C Ð=°．（1）求线段AE 的长；（2）求DFA Ð的度数．【答案】（1）3AE =；（2）130DFA Ð=°【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质以及三角形的外角性质解答即可．【详解】（1）∵ABC DEB V V ≌，∴7AB DE ==，4BC BE ==，∵点E 在AB 上，∴AE BE AB +=，∴743AE AB BE =-=-=；（2）∵ABC DEB V V ≌，∴∠A=∠D=35°，60C DBE °Ð=Ð=，95AEF DBE D Ð=Ð+Ð=°，130DFA AEF A °Ð=Ð+Ð=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析．19．（2022·全国·八年级专题练习）如图，,ABF CDE B ÐV V ≌和D Ð是对应角，AF 和CE 是对应边．（1）写出ABF V 和CDE △的其他对应角和对应边；（2）若30,40B DCF Ð=°Ð=°，求EFC Ð的度数；（3）若10,2BD EF ==，求BF 的长．【答案】（1）其他对应角为BAF Ð和DCE Ð，AFB Ð和CED Ð；其他对应边为AB 和,CD BF 和DE ；（2）70EFC Ð=°；（3）6BF =．【分析】（1）根据全等三角形的性质，对应角相等，对应边相等，解答即可；（2）根据全等三角形的性质可得30D B Ð=Ð=°，运用三角形外角的性质即可解答；（3）根据全等三角形的性质可得BF DE =，进一步证明DF BE =，然后可得426BF BE EF =+=+=．【详解】（1）其他对应角为：BAF Ð和DCE Ð，AFB Ð和CED Ð；其他对应边为：AB 和,CD BF 和DE ；（2）∵,30ABF CDE B Ð=°V V ≌，20．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，ABC V ≌ADE V ，AC 和AE ，AB 和AD 是对应边，点E 在边BC 上，AB 与DE 交于点F ．（1）求证：CAE BAD Ð=Ð；（2）若35BAD Ð=°，求BED Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）根据ABC V ≌ADE V ，可得∠BAC =∠DAE ，即可求证；（2）由（1）可得∠CAE =35°，再由ABC V ≌ADE V ，可得∠C =∠AED ，然后根据三角形外角的性质，可得∠BED =∠CAE ，即可求解．【详解】（1）证明：∵ABC V ≌ADE V ，∴∠BAC =∠DAE ，即∠CAE +∠BAE =∠BAD +∠BAE ，（2）∵35BAD Ð=°，CAE BAD Ð=Ð，∴∠CAE =35°，∵ABC V ≌ADE V ，∴∠C =∠AED ，∵∠AEB =∠C +∠CAE ，∠AEB =∠AED +∠BED ，∴∠BED =∠CAE =35°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知△ABC ≌△DEF ，点B ，E ，C ，F 在同一直线上．(1)若∠BED ＝130°，∠D ＝70°，求∠ACB 的度数；(2)若2BE ＝EC ，EC ＝6，求BF 的长．【答案】(1)60°(2)12【分析】（1）根据三角形的外角的性质求出∠F ，再根据全等三角形的对应角相等解答；（2）根据题意求出BE 、BC ，再根据全等三角形的性质解答．（1）解：∵∠BED ＝130°，∠D ＝70°，∴∠F ＝∠BED －∠D ＝60°，∵V ABC ≌V DEF ，∴∠ACB ＝∠F ＝60°；（2）∵2BE ＝EC ，EC ＝6，∴BE ＝3，∴BC ＝BE ＋EC ＝9，∵V ABC ≌V DEF ，∴EF ＝BC ＝9，∴BF ＝EF ＋BE ＝12．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．22．（2021·全国·八年级单元测试）如图△ADF ≌△BCE ，∠B ＝40°，∠F ＝22°，BC ＝2cm ，CD ＝1cm ．求：（1）∠1的度数；（2）AC 的长．【答案】（1）62°；（2）3cm【分析】（1）根据全等三角形的性质可得22E F Ð=Ð=°，由三角形外角的性质可得1B E Ð=Ð+Ð，即可求解；（2）由全等三角形的性质可得AD BC =，即可求解．【详解】解：（1）∵ADF BCEV V ≌∴22E F Ð=Ð=°由三角形外角的性质可得：162B E Ð=Ð+Ð=°∠1的度数为62°（2）∵ADF BCEV V ≌∴2AD BC cm==∴3AC AD CD cm=+=即AC 的长为3cm【点睛】此题考查了全等三角形的性质，涉及了三角形外角的性质，掌握全等三角形的有关性质是解题的关键．六、（本大题共12分）23．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在ABC V 中，4cm,,4cm BC AE BC AE ==∥，点N 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度连续做往返运动，点M 从点A 出发沿线段AE 以1cm/s 的速度运动至点E ．M 、N 两点同时出发，连结,MN MN 与AC 交于点D ，当点M 到达点E 时，M 、N 两点同时停止运动，设点M 的运动时间为(s)t ．(1)当3t =时，线段AM 的长度=___________cm ，线段BN 的长度=___________cm ．(2)当BN AM =时，求t 的值．(3)连接AN ，当ABN V 的面积等于ABC V 面积的一半时，直接写出所有满足条件的t 值．(4)当ADM CDN △≌△时，直接写出所有满足条件的t 值．。

2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题【人教版】专题2.8第2章全等三角形单元测试（培优卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•西城区期末）如图，在△ABC与△EMN中，BC＝MN＝a，AC＝EM＝b，∠C＝∠M＝54°．若∠A＝66°，下列结论正确的是（）A．EN＝c B．EN＝a C．∠E＝60°D．∠N＝66°2．（2020春•香坊区期末）如图，AE∥FD，AE＝DF，要使△EAB≌△FDC，需要添加的条件可以是（）A．AB＝BC B．EB＝FC C．∠A＝∠F D．AB＝CD3．（2019秋•正阳县期末）下列说法正确的是（）A．三个角对应相等的两个三角形全等B．两角对应相等，且一条边也对应相等的两个三角形全等C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．有两个角与一边对应相等的两个三角形不一定全等4．（2019秋•邓州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（）A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF5．（2020春•宁德期末）如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CD＝CA，CE＝CB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS6．（2020春•哈尔滨期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，E是AC上一点，连接BE，过E作DE⊥AB，垂足为D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE+DE的值为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm7．（2019秋•中山区期末）如图，D是∠CBA的平分线BP上一点，DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，下列结论中不正确的是（）A．DE＝DF B．BE＝BF C．BD＝DE+DF D．△BDE≌△BDF8．（2019秋•辛集市期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，AD平分∠BAC，则下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．BE＝CFC．∠ABD+∠C＝180°D．AB+AC＝2AD9．（2020春•碑林区校级期末）如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64B．48C．32D．4210．（2020春•宁德期末）如图，点P在∠MAN的角平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR⊥AM，PS⊥AN，垂足分别是R，S．若∠ABP+∠ACP＝180°，则下面三个结论：①AS＝AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•太原期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为．12．（2019秋•鄞州区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为．13．（2019秋•镇原县期末）如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝．14．（2019秋•海州区期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠EAB＝°．15．（2020•牡丹江一模）如图，已知△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，DE，∠C+∠AED ＝180°，请你添加一个条件，使△BDE≌△BDC，你所添加的条件是（只填一个条件即可）．16．（2020春•历城区校级期中）如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．17．（2019秋•松滋市期中）已知△ABC的三边分别是6，8，10，△DEF的三边分别是6，6x﹣4，4x+2，若两个三角形全等，则x的值为．18．（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是．（填写正确的序号）①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③F A平分∠DFE，④AE平分∠F AB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•宽城区期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4．（1）求∠CBE的度数．（2）求△CDP与△BEP的周长和．20．（2019秋•袁州区校级期中）如图，要测量河流AB的长，因为无法测河流附近的点A，可以在AB线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连结ED和BD，并且延长BD到点G，使DG＝BD；延长ED到点F，使DF＝ED；连结FG，并延长FG到点H，使点H，D，A在同一直线上．证明：测量出线段HG的长就是河流AB的长．21．（2019秋•青羊区期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．22．（2019秋•江夏区期中）如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．（1）求证：点E到DA、DC的距离相等；（2）求∠BED的度数．23．（2020•雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，∠ABD＝45°，且∠ADB ＝∠CDB，过A点作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求证：AD＝BF．24．（2020春•南岗区校级期中）已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．（1）如图1，求证：△ABE≌△CDF．（2）如图2，连接AD、BC、BF、DE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有全等的三角形（除△ABE全等于△CDF外）．25．（2020春•南岗区校级期中）如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，在BD上截取BF ＝AC，延长CE至点G使CG＝AB，连接AF，AG．（1）如图1，求证：AG＝AF；（2）如图2，若BD恰好平分∠ABC，过点G作GH⊥AC交CA的延长线于点H，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．26．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题2.8第2章全等三角形单元测试（培优卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•西城区期末）如图，在△ABC 与△EMN 中，BC ＝MN ＝a ，AC ＝EM ＝b ，∠C ＝∠M ＝54°．若∠A ＝66°，下列结论正确的是（ ）A ．EN ＝cB ．EN ＝aC ．∠E ＝60°D ．∠N ＝66°【分析】根据已知条件得到两个三角形全等的条件SAS ，由此判定△ABC ≌△ENM ，所以根据全等三角形的对应边（角）相等进行分析判断．【解析】如图，在△ABC 中，∠C ＝54°，∠A ＝66°，则∠B ＝180°﹣54°﹣66°＝60°． ∵在△ABC 与△ENM 中， {BC =NM ∠C =∠M AC =EM． ∴△ABC ≌△ENM （SAS ）．∴EN ＝AB ＝c ，故选项A 符合题意，选项B 不符合题意． ∠E ＝∠A ＝66°，故选项C 不符合题意． ∠N ＝∠B ＝60°．故选项D 不符合题意． 故选：A ．2．（2020春•香坊区期末）如图，AE ∥FD ，AE ＝DF ，要使△EAB ≌△FDC ，需要添加的条件可以是（ ）A ．AB ＝BCB ．EB ＝FCC ．∠A ＝∠FD ．AB ＝CD【分析】根据平行线的性质得出∠A ＝∠D ，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【解析】∵AE ∥DF ， ∴∠A ＝∠D ，A 、根据AB ＝BC ，AE ＝DF 和∠A ＝∠D 不能推出△EAB ≌△FDC ，故本选项不符合题意； B 、根据EB ＝FC ，AE ＝DF 和∠A ＝∠D 不能推出△EAB ≌△FDC ，故本选项不符合题意； C 、根据AE ＝DF 和∠A ＝∠F 不能推出△EAB ≌△FDC ，故本选项不符合题意； D 、∵在△EAB 和△FDC 中 {AE =DF ∠A =∠D AB =DC， ∴△EAB ≌△FDC （SAS ），故本选项符合题意； 故选：D ．3．（2019秋•正阳县期末）下列说法正确的是（ ） A ．三个角对应相等的两个三角形全等B ．两角对应相等，且一条边也对应相等的两个三角形全等C ．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D ．有两个角与一边对应相等的两个三角形不一定全等【分析】根据全等三角形的判定定理的内容举出反例，再得出选项即可．【解析】A 、如图，△ADE 和△ABC 的三角对应相等，但两三角形不全等，错误，故本选项不符合题意；B 、两角对应相等，且一条边也对应相等的两个三角形全等，符合全等三角形的判定定理ASA 或AAS ，正确，故本选项符合题意；C 、如图，AC ＝AD ，AB ＝AB ，∠B ＝∠B ，但是△ABD 和△ABC 不全等，错误，故本选项不符合题意；D 、如图，△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠E ＝90°，∠A ＝∠F ，BC ＝EF ， 当△ABC 和△DEF 不全等，错误，故本选项不符合题意； 故选：B ．4．（2019秋•邓州市期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点E ，使EC ＝BC ，过点E 作EF ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）A ．∠F ＝∠BCFB ．AE ＝7cmC ．EF 平分ABD ．AB ⊥CF【分析】由垂直的定义得到∠FEC ＝∠ACB ＝90°，由余角的性质得到∠F ＝∠BCF ；故A 选项正确；根据全等三角形的性质得到AE ＝AC ﹣CE ＝7cm ，故B 选项正确；根据全等三角形的性质得到∠A ＝∠F ，根据三角形的内角和得到AB ⊥CF ，故D 选项正确；根据平行线分线段成比例定理的AD DB=AE CE=75，于是得到EF 不平分AB ，故C 选项错误． 【解析】∵EF ⊥AC ，∠ACB ＝90°， ∴∠FEC ＝∠ACB ＝90°，∴∠F +∠FCE ＝∠FCE +∠BCF ＝90°， ∴∠F ＝∠BCF ；故A 选项正确； 在Rt △ACB 与Rt △FEC 中，{BC =EC AB =CF ，∴Rt △ACB ≌Rt △FEC （HL ），∴AC ＝EF ＝12，CE ＝BC ＝5cm ，∴AE ＝AC ﹣CE ＝7cm ，故B 选项正确；∵Rt △ACB ≌Rt △FEC ，∴∠A ＝∠F ，∵∠ADE ＝∠EDF ，∴∠FED ＝∠AEF ＝90°，∴AB ⊥CF ，故D 选项正确；∵∠AED ＝∠ACB ，∴DE ∥BC ，∴AD DB =AE CE =75， ∴AD ≠DB ，∴EF 不平分AB ，故C 选项错误，故选：C ．5．（2020春•宁德期末）如图，公园里有一座假山，要测假山两端A ，B 的距离，先在平地上取一个可直接到达A 和B 的点C ，分别延长AC ，BC 到D ，E ，使CD ＝CA ，CE ＝CB ，连接DE ．这样就可利用三角形全等，通过量出DE 的长得到假山两端A ，B 的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（ ）A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS【分析】图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等．【解析】根据题意可得：在△ABC 和△DEC 中，{CD =CA ∠ACB =∠DCE CE =CB，∴△ABC ≌△DCE （SAS ），∴AB ＝DE ，∴依据是SAS ，故选：D ．6．（2020春•哈尔滨期末）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，E 是AC 上一点，连接BE ，过E 作DE ⊥AB ，垂足为D ，BD ＝BC ，若AC ＝6cm ，则AE +DE 的值为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．7cm【分析】根据全等三角形的性质求出DE ＝EC ，求出AE +DE ＝AC ，即可求出答案．【解析】∵DE ⊥AB 于D ，∴∠BDE ＝90°，在Rt △BDE 和Rt △BCE 中，{BE =BE BD =BC， ∴Rt △BDE ≌Rt △BCE （HL ），∴ED ＝CE ，∴AE +ED ＝AE +CE ＝AC ＝6cm ，故选：C ．7．（2019秋•中山区期末）如图，D 是∠CBA 的平分线BP 上一点，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥BA 于F ，下列结论中不正确的是（ ）A ．DE ＝DFB ．BE ＝BFC ．BD ＝DE +DF D ．△BDE ≌△BDF【分析】根据角平分线的性质得出DE ＝DF ，根据全等三角形的判定定理推出Rt △BED ≌Rt △BFD 即可．【解析】∵D 是∠CBA 的平分线BP 上一点，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥BA 于F ，∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠BFD ＝90°，在Rt △BED 和Rt △BFD 中{BD =BD DE =DF∴Rt △BED ≌Rt △BFD （HL ），∴BE ＝BF ，即选项A 、B 、D 正确，选项C 不一定正确，故选：C ．8．（2019秋•辛集市期末）如图，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD ＝CD ，AD 平分∠BAC ，则下列结论错误的是（ ）A ．DE ＝DFB ．BE ＝CFC ．∠ABD +∠C ＝180° D ．AB +AC ＝2AD【分析】由角平分线的性质得DE ＝DF ，全等三角形的判定与性质得BE ＝CF ，邻补角的定义和等量代换得∠ABD +∠C ＝180°，全等三角形所性质和线段的和差得AB +AC ＝2AE ．【解答】∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC ，又∴DE ＝DF ，∴结论①正确；在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，{BD =CD DE =DF， ∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴BE ＝CF ，∴结论②正确；∵Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴∠EBD ＝∠C ，又∵∠ABD +∠DBE ＝180°，∴∠ABD +∠C ＝180°，∴结论③正确；在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，{AD =AD DE =DF， ∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （HL ），∴AE ＝AF ，又∵BE ＝CF ，AE ＝AB +BE ，∴AB +AC ＝AE +AF ＝2AE ，∴结论④错误，故选：D ．9．（2020春•碑林区校级期末）如图，已知△ABC 的周长是16，MB 和MC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过点M 作BC 的垂线交BC 于点D ，且MD ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．64B ．48C ．32D ．42【分析】连接AM ，过M 作ME ⊥AB 于E ，MF ⊥AC 于F ，根据角平分线的性质得出ME ＝MD ＝MF ＝4，根据三角形的面积公式求出即可．【解析】连接AM ，过M 作ME ⊥AB 于E ，MF ⊥AC 于F ，∵MB 和MC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，MD ⊥BC ，MD ＝4，∴ME ＝MD ＝4，MF ＝MD ＝4，∵△ABC 的周长是16，∴AB+BC+AC＝16，∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM=12×AC×MF+12×BC×DM+12×AB×ME=12×AC×4+12×BC×4+12×AB×4＝2（AC+BC+AB）＝2×16＝32，故选：C．10．（2020春•宁德期末）如图，点P在∠MAN的角平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR⊥AM，PS⊥AN，垂足分别是R，S．若∠ABP+∠ACP＝180°，则下面三个结论：①AS＝AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】利用角平分线的性质得到PR＝PS，再利用HL证明Rt△APR≌Rt△APS，得到AS＝AR，可判断①；再根据∠ABP+∠ACP＝180°，得到∠ABP＝∠PCS，再利用AAS证明△BRP≌△CSP可判断②；再说明若要PC∥AB，则需要说明AC＝PC，无法达成，从而可判断③．【解析】∵点P在∠MAN的角平分上，PR⊥AM，PS⊥AN，∴PR＝PS，∵∠ARP＝∠ASP＝90°，∴在Rt△APR和Rt△APS中，{AP=APPR=PS，∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），∴AS＝AR，故①正确；∵∠ABP+∠ACP＝180°，∴∠ABP＝∠PCS，又∵PR＝PS，∠PRB＝∠PSC＝90°，∴△BRP≌△CSP（AAS），故③正确；若∠MAP＝∠CP A，则PC∥AB，则需要AC＝PC得出∠P AN＝∠CP A，从而根据∠MAP＝∠P AN，得出∠MAP＝∠CP A，而题中没有条件说明AC＝PC，故③错误；故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•太原期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，DB ＝5，点E在边AB上运动，连接DE，则线段DE长度的最小值为3．【分析】当DE⊥AB时，线段DE的长度最小，根据角平分线的性质得出CD＝DE，代入求出即可．【解析】当DE⊥AB时，线段DE的长度最小（根据垂线段最短），∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3，即线段DE的长度的最小值是3，故答案为：3．12．（2019秋•鄞州区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP＝2，S△BFP＝15，则AB的长度为15．【分析】过E作EG⊥AB于E，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP＝S△CFP＝y，根据BD是BD边上的中线，设S△CDF＝S△AFD＝z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，根据角平分线的性质得到EG＝CE＝2CP＝4，于是得到结论．【解析】过E作EG⊥AB于E，连接CF，∵P为CE中点，∵S△EFP＝S△CFP，设S△EFP＝S△CFP＝y，∵BD是AC边上的中线，∴设S△CDF＝S△AFD＝z，∵S△BFP＝15，∴S△BCD＝15+y+z，∴S△ABC＝2S△BCD＝30+2y+2z，∵S△ACE＝S△ACF+S△CEF＝2y+2z，∴S△ABE＝S△ABC﹣S△ACE＝30+2y+2z﹣（2y+2z）＝30，∵AE是∠CAB的角平分线，∴EG＝CE＝2CP＝4，∴S△ABE=12AB•EG＝30，∴AB＝15，故答案为：15．13．（2019秋•镇原县期末）如图，已知△ABC≌△A′BC′，AA′∥BC，∠ABC＝70°，则∠CBC′＝40°．【分析】根据平行线的性质得到∠A′AB＝∠ABC＝70°，根据全等三角形的性质得到BA＝BA′，∠A′BC＝∠ABC＝70°，计算即可．【解析】∵AA′∥BC，∴∠A′AB＝∠ABC＝70°，∵△ABC≌△A′BC′，∴BA＝BA′，∠A′BC＝∠ABC＝70°，∴∠A′AB＝∠AA′B＝70°，∴∠A′BA＝40°，∴∠ABC′＝30°，∴∠CBC′＝40°，故答案为：40°．14．（2019秋•海州区期中）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠EAB＝60°．【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠B＝50°，∠EAD＝∠CAB，根据三角形内角和定理求出∠EAD，代入∠EAB＝∠EAD+∠DAC+∠CAB，即可求出答案．【解析】∵△ABC≌△ADE，∠B＝50°，∴∠D＝∠B＝50°，∠EAD＝∠CAB，∵∠AED＝105°，∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠AED＝25°，∴∠CAB＝25°，∵∠CAD＝10°，∴∠EAB＝∠EAD+∠DAC+∠CAB＝25°+10°+25°＝60°15．（2020•牡丹江一模）如图，已知△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，连接BD ，DE ，∠C +∠AED＝180°，请你添加一个条件，使△BDE ≌△BDC ，你所添加的条件是 ∠CBD ＝∠EBD （只填一个条件即可）．【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，先求出∠C ＝∠DEB ，再根据全等三角形的判定定理添加条件即可．【解析】添加的条件是：∠CBD ＝∠EBD ，理由是：∵∠C +∠AED ＝180°，∠DEB +∠AED ＝180°，∴∠C ＝∠DEB ，在△BDE 和△BDC 中{∠EBD =∠CBD ∠DEB =∠C BD =BD，∴△BDE ≌△BDC （AAS ），故答案为：∠CBD ＝∠EBD ．16．（2020春•历城区校级期中）如图，已知AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，添加下列哪个条件可以利用SAS 判断△ABC ≌△DEC ．正确的是： ② ．①∠A ＝∠D ；②BC ＝EC ；③AC ＝DC ；④∠BCE ＝∠ACD ．【分析】已知两个三角形的一组对应角相等和已知对应边相等，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．【解析】∵AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，∴添加①∠A ＝∠D ，利用ASA 得出△ABC ≌△DEC ；∴添加②BC ＝EC ，利用SAS 得出△ABC ≌△DEC ；∴添加④∠BCE ＝∠ACD ，得出∠ACB ＝∠DCE ，利用AAS 得出△ABC ≌△DEC ；故答案为：②．17．（2019秋•松滋市期中）已知△ABC 的三边分别是6，8，10，△DEF 的三边分别是6，6x ﹣4，4x +2，若两个三角形全等，则x 的值为 2 ．【分析】根据全等三角形对应边相等，分两种情况求出x 的值，再根据x 的值作出判断即可．【解析】由全等三角形对应边相等得，①4x +2＝10，解得x ＝2，6x ﹣4＝8，解得x ＝2，由于 2＝2，所以，此种情况成立；②4x +2＝8，解得x =32，6x ﹣4＝10，解得x =73，由于32≠73， 所以该情况不成立综上所述，x 的值为2．故答案是：2．18．（2020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝140°，AB ⊥CB 于点B ，AD ⊥CD 于点D ，E 、F 分别是CB 、CD 上的点，且∠EAF ＝70°，下列说法正确的是 ③⑤⑥ ．（填写正确的序号）①DF ＝BE ，②△ADF ≌△ABE ，③F A 平分∠DFE ，④AE 平分∠F AB ，⑤BE +DF ＝EF ，⑥CF +CE ＞FD +EB ．【分析】延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ，根据全等三角形的判定定理求出△ADF ≌△ABG ，根据全等三角形的性质得出AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ，求出∠F AE ＝∠EAG ＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△F AE ≌△GAE ，根据全等三角形的性质得出∠FEA ＝∠GEA ，∠G ＝∠EF A ，EF ＝EG ，再进行判断即可．【解析】延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ， ∵AB ⊥CB ，AD ⊥CD ， ∴∠D ＝∠ABG ＝90°， 在△ADF 和△ABG 中 {AD =AB∠D =∠ABG DF =BG， ∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AF ＝AG ，∠G ＝∠DF A ，∠DAF ＝∠BAG ， ∵∠EAF ＝70°，∠DAB ＝140°，∴∠DAF +∠EAB ＝∠DAB ﹣∠F AE ＝140°﹣70°＝70°， ∴∠EAG ＝∠EAB +∠BAG ＝∠EAB +∠F AD ＝70°， ∴∠F AE ＝∠EAG ＝70°， 在△F AE 和△GAE 中 {AE =AE∠FAE =∠EAG AF =AG， ∴△F AE ≌△GAE （SAS ），∴∠FEA ＝∠GEA ，∠G ＝∠EF A ，EF ＝EG ，∴EF ＝EB +DF ，∠F AE ≠∠EAB ，故⑤正确，④错误； ∴∠G ＝∠EF A ＝∠DF A ，即AF 平分∠DFE ，故③正确； ∵CF +CE ＞EF ，EF ＝DF +BE ， ∴CF +CE ＞DF +BE ，故⑥正确；根据已知不能推出△ADF ≌△ABE ，故①错误，②错误； 故答案为：③⑤⑥．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019春•宽城区期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4．（1）求∠CBE的度数．（2）求△CDP与△BEP的周长和．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可；（2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可．【解析】（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，∴∠ABD+∠CBE＝132°，∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°，即∠CBE的度数为66°；（2）∵△ABC≌△DBE，∴DE＝AC＝AD+DC＝5，BE＝BC＝4，∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝2.5+5+4+4＝15.5．20．（2019秋•袁州区校级期中）如图，要测量河流AB的长，因为无法测河流附近的点A，可以在AB线外任取一点D，在AB的延长线上任取一点E，连结ED和BD，并且延长BD到点G，使DG＝BD；延长ED到点F，使DF＝ED；连结FG，并延长FG到点H，使点H，D，A在同一直线上．证明：测量出线段HG的长就是河流AB的长．【分析】证明△BED≌△GFD（SAS），推出△ABD≌△DGH（ASA）可得结论．【解答】证明：∵DB＝DG，∠BDE＝∠GDF，DE＝DF，∴△BED≌△GFD（SAS），∴∠EBD＝∠FGD，∴∠ABD＝∠HGD又∵BD＝GD，∠ADB＝∠HDG，∴△ABD≌△DGH（ASA），∴AB＝GH，∴测量出线段HG的长就是河流AB的长．21．（2019秋•青羊区期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）求∠EDA的度数；（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．【分析】（1）根据角平分线的性质解答即可；（2）根据三角形的面积公式解答即可．【解析】（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝60°∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=12∠BAC=30°∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°（2）过点D作DF⊥AC于点F．∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝3又AB＝10，AC＝8，∴S△ABC=12×10×3+12×8×3=27．22．（2019秋•江夏区期中）如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，∠ABD的角平分线与AC交于点E，连接DE．（1）求证：点E到DA、DC的距离相等；（2）求∠BED的度数．【分析】（1）作辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF＝EG＝EH，进而解答即可；（2）设∠DEG＝y，∠GEB＝x，根据三角形的内角和定理可得：∠GEA＝∠FEA＝40°，∠FEB＝∠HEB，列方程为2y+x＝80﹣x，y+x＝40，可得结论：∠DEB＝40°．【解答】证明：（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD，∴EH＝EF，∵∠BAC＝130°，∴∠F AE＝∠CAD＝50°，∴EF＝EG，∴EG＝EH，∴ED平分∠CDG，∴点E到DA、DC的距离相等；（2）∵ED平分∠CDG，∴∠HED＝∠DEG，设∠DEG＝y，∠GEB＝x，∵∠EF A＝∠EGA＝90°，∴∠GEA＝∠FEA＝40°，∵∠EFB＝∠EHB＝90°，∠EBF＝∠EBH，∴∠FEB＝∠HEB，∴2y+x＝80﹣x，2y+2x＝80，y+x＝40，即∠DEB＝40°．23．（2020•雁塔区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，∠ABD＝45°，且∠ADB ＝∠CDB，过A点作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求证：AD＝BF．【分析】根据垂直的定义得出∠AEB＝∠AED＝∠BEF＝90°，求出∠BAE＝∠ABE，推出AE＝BE，根据三角形的内角和定理求出∠BFE＝∠BDC，求出∠ADB＝∠BFE，根据全等三角形的判定定理得出△AED≌△BEF，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEF＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠BAE ＝45°＝∠ABE ， ∴AE ＝BE ，∵∠C ＝90°，∠BEF ＝90°，∴∠BDC +∠DBC ＝90°，∠BFE +∠DBC ＝90°， ∴∠BFE ＝∠BDC ， ∵∠BDC ＝∠ADB ， ∴∠ADB ＝∠BFE ， 即∠ADE ＝∠BFE ， 在△AED 和△BEF 中 {∠ADE =∠BFE ∠AED =∠BEF AE =BE， ∴△AED ≌△BEF （AAS ）， ∴AD ＝BF ．24．（2020春•南岗区校级期中）已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． （1）如图1，求证：△ABE ≌△CDF ．（2）如图2，连接AD 、BC 、BF 、DE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有全等的三角形（除△ABE 全等于△CDF 外）．【分析】（1）先求出AE ＝CF ，根据平行线的性质得出∠AEB ＝∠CFD ，再根据全等三角形的判定定理SAS 推出即可；（2）根据全等三角形的判定定理得出全等三角形即可． 【解答】（1）证明：∵AF ＝CE ， ∴AF +EF ＝CE +EF ， 即AE ＝CF ， ∵BE ∥DF ，∴∠AEB ＝∠CFD ， 在△ABE 和△CDF 中 {BE =DF∠AEB =∠CFD AE =CF， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）图2中的全等三角形有△ABC ≌△CDA ，△AFB ≌△CED ，△ADE ≌△CBF ，△ADF ≌△CBE ， 理由是：∵△ABE ≌△CDF ， ∴AB ＝CD ，∠BAC ＝∠DCA ， 在△ABCHE △CDA 中 {AB =CD∠BAC =∠DCA AC =CA， ∴△ABC ≌△CDA （SAS ）， ∴AD ＝BC ，∠DAC ＝∠BCA ， 在△AFB 和△CED 中 {AB =CD∠BAF =∠DCE AF =CE， ∴△AFB ≌△CED （SAS ）， 在△ADE 和△CBF 中 {AD =CB∠DAE =∠BCF AE =CF， ∴△ADE ≌△CBF （SAS ）， 在△ADF 和△CBE 中 {AD =CB∠DAF =∠BCE AF =CE，∴△ADF ≌△CBE （SAS ）．25．（2020春•南岗区校级期中）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是AC ，AB 边上的高，在BD 上截取BF ＝AC ，延长CE 至点G 使CG ＝AB ，连接AF ，AG ． （1）如图1，求证：AG ＝AF ；（2）如图2，若BD 恰好平分∠ABC ，过点G 作GH ⊥AC 交CA 的延长线于点H ，请直接写出图中所有的全等三角形并用全等符号连接．【分析】（1）根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：（1）∵BD 、CE 分别是AC 、AB 两条边上的高， ∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°，∴∠ABD +∠BAD ＝∠ACE +∠CAE ＝90°， ∴∠ABD ＝∠ACG ，在△AGC 与△F AB 中，{BF =CA∠ABF =∠GCA AB =GC ，∴△AGC ≌△F AB （SAS ）， ∴AG ＝AF ；（2）图中全等三角形有△AGC ≌△F AB ，由{CG =AB∠H =∠BDA =90°∠GCH =∠ABD 得出△CGH ≌△BAD ，由{AF =AG GH =AD得出Rt △AGH ≌Rt △AFD ，△ABD ≌△CBD ；△CBD ≌△GCH ． 26．（2020春•南岸区期末）在∠MAN 内有一点D ，过点D 分别作DB ⊥AM ，DC ⊥AN ，垂足分别为B ，C ．且BD ＝CD ，点E ，F 分别在边AM 和AN 上． （1）如图1，若∠BED ＝∠CFD ，请说明DE ＝DF ；（2）如图2，若∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°，猜想EF ，BE ，CF 具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED ＝∠CFD ，可以证明△BDE ≌△CDF ，从而可以得到DE ＝DF ； （2）作辅助线，过点D 作∠CDG ＝∠BDE ，交AN 于点G ，从而可以得到△BDE ≌△CDG ，然后即可得到DE ＝DG ，BE ＝CG ，再根据题目中的条件可以得到△EDF ≌△GDF ，即可得到EF ＝GF ，然后即可得到EF ，BE ，CF 具有的数量关系． 【解析】（1）∵DB ⊥AM ，DC ⊥AN ， ∴∠DBE ＝∠DCF ＝90°， 在△BDE 和△CDF 中，∵{∠BED =∠CFD ，∠DBE =∠DCF ，BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）． ∴DE ＝DF ； （2）EF ＝FC +BE ，理由：过点D 作∠CDG ＝∠BDE ，交AN 于点G ， 在△BDE 和△CDG 中， {∠EBD =∠GCD BD =CD ∠BDE =∠CDG， ∴△BDE ≌△CDG （ASA ）， ∴DE ＝DG ，BE ＝CG ．∵∠BDC ＝120°，∠EDF ＝60°， ∴∠BDE +∠CDF ＝60°．∴∠FDG ＝∠CDG +∠CDF ＝60°， ∴∠EDF ＝∠GDF ．在△EDF 和△GDF 中， {DE =DG∠EDF =∠GDF DF =DF， ∴△EDF ≌△GDF （SAS ）． ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FC +CG ＝FC +BE ．。

专题7.1证明、定义与命题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．一．选择题（共10小题）1．（2020秋•兴化市月考）下列命题：①三点确定一个圆；②圆中90°的角所对的弦是直径；③长度相等的弧是等弧；④等弧所对的弦相等．其中真命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆周角定理对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据弧、弦、圆心角的关系对④进行判断．【解析】不共线的三点确定一个圆，所以①为假命题；圆中90°的圆周角所对的弦是直径，所以②为假命题；长度相等的弧不一定等弧，能完全重合的弧为等弧，所以③为假命题；等弧所对的弦相等，所以④为真命题．故选：D．2．（2020春•蔡甸区校级月考）下列命题中，是真命题的是（）A．﹣1的平方根是1B．5是25的一个平方根C．（﹣4）2的平方根是﹣4D．64的立方根是±4【分析】根据平方根、立方根进行判断即可．【解析】A、﹣1没有平方根，原命题是假命题，不符合题意；B、5是25的一个平方根，是真命题，符合题意；C、（﹣4）2的平方根是±4，原命题是假命题，不符合题意；D、64的立方根是4，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．3．（2020春•海淀区校级期末）若“存在x＞1．使x+a＝1成立“是真命题，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a≤0C．a＞0D．a≥0【分析】根据不等式的性质解答即可．【解析】若“存在x＞1．使x+a＝1成立“是真命题，则a的取值范围是a＜0，故选：A．4．（2020•安徽一模）能说明命题“若x2≥4，则x≥2”为假命题的一个反例可以是（）A．x＝﹣1B．x＝2C．x＝﹣3D．x＝5【分析】当x＝﹣3时，满足x2≥4，但不能得到x≥2，于是x＝﹣3可作为说明命题“若x2≥4，则x≥2”是假命题的一个反例．【解析】说明命题“若x2≥4，则x≥2”是假命题的一个反例可以是x＝﹣3．故选：C．5．（2020春•岳麓区校级期末）下列命题错误的是（）A．长度为5，2，3 的三条线段可以组成三角形B．任意三角形的内角和都是180°C．多边形的外角和是360°D．两直线平行，同位角相等【分析】根据三角形的概念和三角形内角和、多边形外角和及平行线的性质进行判断即可．【解析】A、因为2+3＝5，所以长度为5，2，3 的三条线段不可以组成三角形，原命题是错误，符合题意；B、任意三角形的内角和都是180°，原命题是正确，不符合题意；C、多边形的外角和是360°，原命题是正确，不符合题意；D、两直线平行，同位角相等，原命题是正确，不符合题意；故选：A．6．（2020春•林州市期末）下列命题是假命题的是（）A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B．负数没有立方根C．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥cD．同旁内角互补，两直线平行【分析】根据垂直的定义、立方根及平行线的判定与性质判断即可．【解析】A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；B、负数有立方根，原命题是假命题；C、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，是真命题；D、同旁内角互补，两直线平行，是真命题；故选：B．7．（2020春•丛台区校级月考）下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据实数、平方根和立方根进行判断即可．【解析】①负数有立方根，原命题是假命题；②一个实数的算术平方根一定是非负数，原命题是假命题；③一个正数或负数的立方根与这个数同号，原命题是真命题；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0，原命题是真命题；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1、﹣1或0，原命题是假命题；故选：B．8．（2020春•丛台区校级月考）下列命题是真命题的是（）A．如果两角是同位角，那么这两角一定相等B．如果a2＝b2，那么a＝bC．立方根是本身的数是0和1D．等角或同角的余角相等【分析】根据同位角、等式的性质、立方根及等角或同角的余角进行判断即可．【解析】A、如果两角是同位角，但这两角不一定相等，原命题是假命题；B、如果a2＝b2，那么a＝b或a＝﹣b，原命题是假命题；C、立方根是本身的数是0、﹣1和1，原命题是假命题；D、等角或同角的余角相等，原命题是真命题；故选：D．9．（2020•浙江自主招生）老师让4个学生猜一猜这次考试中4个人的成绩谁最好．甲说：“乙最好”：乙说：“丁最好”；丙说：“反正我不是最好”；丁说：“乙说我最好，肯定错了”．老师告诉他们，只有一个人猜对了，于是，聪明的孩子们马上知道是谁的成绩最好了，你知道吗？（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据题意，分情况讨论：①假设甲最好；②假设乙最好；③假设丁最好；④假设丙最好，判断与老师说的无矛盾即可得到答案．【解析】假设甲最好，则甲说得错了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是甲最好；假设乙最好，则甲说对了，则乙说错了，丙说对了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此不是乙最好；假设丙最好，则甲说错了，则乙说错了，丙说错了，丁说对了，与老师说的“只有一个人猜对了，”不矛盾，因此是丙最好；假设丁最好，则甲说错了，则乙说对了，丙说对了，丁说错了，与老师说的“只有一个人猜对了，”矛盾，因此是丁不是最好；因此丙的成绩最好，故选：C．10．（2019秋•诸暨市期末）学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有（）箱．A．2B．3C．4D．5【分析】先计算出这些球的总数量，再根据剩下的足球与篮球的数量关系，通过推理判断出拿走的篮球的个数，从而计算出剩余篮球的个数，判断篮球的箱数．【解析】∵8+9+16+20+22+27＝102（个），根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，∴剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是3的倍数，由于102是3的倍数，所以拿走的篮球个数也是3的倍数，只有9和27符合要求，假设拿走的篮球的个数是9个，则（102﹣9）÷3＝31，剩下的篮球是31个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是31个，故拿走的篮球的个数不是9个，假设拿走的篮球的个数是27个，则（102﹣27）÷3＝25，剩下的篮球是25个，只有9+16＝25，所以剩下2箱篮球，故这六箱球中，篮球有3箱，故选：B．二．填空题（共10小题）11．（2020•丰台区模拟）某班对思想品德、历史、地理三门课程的选考情况进行调研，数据如下：科目思想品德历史地理选考人数（人）201318其中思想品德、历史两门课程都选了的有3人，历史、地理两门课程都选了的有4人，则该班选了思想品德而没有选历史的有17人；该班至少有学生30人．【分析】根据题意列出表格，以选思品未选历史、选历史未选思品、思品+历史、总人数为表头列表即可．【解析】思想品德共有20人选择，其中选历史的有3人，所以选思想品德而没有选历史的有17人；根据题意可以列表为：所以该班选了思想品德而没有选历史的有17人；该班至少有学生30人．故答案为：17，30．12．（2020•西城区二模）一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中．（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是红色．（2）若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有20个球．【分析】（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的球的颜色是红色；（2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红+红，②黑+黑，③红+黑，④黑+红．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，以及红球数＝黑球数，即可求解．【解析】（1）∵某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，∴放入了乙盒，∴先放入甲盒的球的颜色是红色．（2）由题意，可知取两个球共有四种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1，②黑+黑，则丙盒中黑球数加1，③红+黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1，④黑+红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，∴乙盒中最终有5个红球时，甲盒最少有5个红球，∵红球数＝黑球数，∴袋中原来最少有2×10＝20个球．故答案为：红色；20．13．（2019秋•宁德期末）有一个密码箱，密码由三个数字组成，甲、乙、丙三个人都开过，但都记不清了．甲记得：这三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7；乙记得：1和2的位置相邻；丙记得：中间的数字不是1．根据以上信息，可以确定密码是127．【分析】先根据第一个数字不是7，得出第一个数字是1或2，再根据1和2相邻，进而得出第三个是7，即可得出结论．【解析】∵三个数字分别是7，2，1，但第一个数字不是7，∴第一个数为1或2，∵1和2的位置相邻，∴前两个数字是1，2或2，1，第三位是数字7，∵中间的数字不是1，∴第一个数字只能是1，第二个数字为2，即密码为127，故答案为127．14．（2020秋•海淀区校级月考）手工课上，老师将同学们分成A，B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如表：则这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟．工序打磨（A组）组装（B组）时间模型模型甲9分钟5分钟模型乙6分钟11分钟【分析】分两种情况，①当A组先打磨模型甲共需26分钟．②当A组先打磨模型乙共需22分钟．再比较大小即可．【解析】①当A组先打磨模型甲需要9分钟，然后B组装模型甲需要5分钟，在这5分钟内，A组已打磨模型乙用了5分钟，还需等1分钟，B才能组装模型乙，之后B组在组装模型乙需要11分钟，则整个过程用时9+5+1+11＝26分钟．②当A组先打磨模型乙需要6分钟，然后B组装模型乙需要9分钟，在这11分钟内，A组已打磨好模型甲，因为A组打磨模型甲只需要9分钟，之后B组在组装模型甲需要5分钟，则整个过程用时6+11+5＝22分钟．而26＞22，∴这两个模型都制作完成所需的最短时间为22分钟，故答案为：22．15．（2020春•回民区期末）下列四个命题中：①对顶角相等；②如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等；④当m≠0时，点P（m2，﹣m）在第四象限内．其中真命题有①（填序号）．【分析】根据对顶角相等、平行线的性质、实数的平方、有理数的大小比较判断．【解析】①对顶角相等，本小题说法是真命题；②如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，本小题说法是假命题；③如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等或互为相反数，本小题说法是假命题；④当m≠0时，点P（m2，﹣m）在第四象限内或第一象限内，本小题说法是假命题；故答案为：①．16．（2020春•新乡期末）下列命题中，是真命题的是①④．（填序号）①对顶角相等；②内错角相等；③三条直线两两相交，总有三个交点；④若a∥b，b∥c，则a∥c．【分析】利用对顶角的性质、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．【解析】①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意；②两直线平行，内错角相等，故原命题错误，不符合题意；③三条直线两两相交，总有三个或一个交点，故原命题错误，不符合题意；④若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，是真命题，符合题意，正确的有①④．故答案为：①④．17．（2020春•武川县期末）以下四个命题：①−827的立方根是±23；②要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④已知∠ABC与其内部一点D，过点D 作DE∥BA，作DF∥BC，则∠EDF＝∠B．其中假命题的序号①③④．【分析】利用立方根的定义对①进行判断；根据普查和抽样调查的特点对②进行判断；根据平行线的性质对③④进行判断．【解析】−827的立方根是−23，所以①为假命题；要调查一批灯泡的使用寿命适宜用抽样调查，所以②为真命题；两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以③为假命题；已知∠ABC与其内部一点D，过D点作DE∥BA，作DF∥BC，则∠EDF与∠B相等或互补，所以④为假命题．故答案为①③④．18．（2020春•营口期末）“a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，那么a⊥c”这个命题是假命题．（填“真”或者“假”）【分析】利用垂直的定义进行判断即可．【解析】平面内a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，那么a∥c，故原命题错误，是假命题，故答案为：假．19．（2019秋•连州市期末）命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短．其中真命题是 ①②④ （填序号）．【分析】根据邻补角互补，对顶角相等的性质，线段的性质对各小题分析判断后即可求解． 【解析】①邻补角互补，正确； ②对顶角相等，正确；③被截线不平行则同旁内角不互补，故本小题错误； ④两点之间线段最短，是线段的性质，正确； 正确的有①②④， 故答案为：①②④．20．（2020•浙江自主招生）黑板上写有1，12，13，⋯1100共有100个数字，每次操作，先从黑板上的数选取2个数a ，b ，然后删去a ，b ，并在黑板上写上数a +b +ab ，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是 100 ． 【分析】经过99次操作后，黑板上剩下的数为x ，则x +1＝（1+1）×（12+1）×（13+1）×（14+1）×…×（199+1）×（1+1100），整理可得x +1＝101，解方程即可．【解析】∵a +b +ab +1＝（a +1）（b +1），∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变， 设经过99次操作后，黑板上剩下的数为x ，则x +1＝（1+1）×（12+1）×（13+1）×（14+1）×…×（199+1）×（1+1100）， 化简得：x +1＝101， 解得：x ＝100，∴经过99次操作后，黑板上剩下的数是100． 故答案为：100．。

数学八年级上册全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB6，∵AC＝BC2AB＝3∴BE＝23﹣6；③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＝45°∴AE平分∠BAC∵AB＝AC，∴BE＝1BC＝3．2故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5．∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．3．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．【答案】①②③【解析】【分析】只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．【详解】解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB ，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中，∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC，故①正确．∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC，∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF，故③正确．作GM⊥AB于M．如图所示：∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC，∴GH=GM＜DG，∴S△DGB＞S△GHB，∵S△ABE=S△BCE，∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误，故答案为：①②③．【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．【答案】30°．【解析】【分析】如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB 、OA 于M 、N ，则可证明此时△PMN 周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12∠P'O P''=30°. 【详解】解：如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB 、OA 于M 、N ，由轴对称△PMN 周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN 周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB ，∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°. 故答案为30°.【点睛】 本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.5．如图，己知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，…均为等边三角形，若12OA =，则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =⋯进而得出答案．【详解】 解：△112A B A 是等边三角形，1121A B A B ∴=，341260∠=∠=∠=︒，2120∴∠=︒，30MON ∠=︒，11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒，又360∠=︒，5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒，130MON ∠=∠=︒，1112OA A B ∴==，212A B ∴=，△223A B A 、△334A B A 是等边三角形，111060∴∠=∠=︒，1360∠=︒，41260∠=∠=︒，112233////A B A B A B ∴，1223//B A B A ，16730∴∠=∠=∠=︒，5890∠=∠=︒，22122242A B B A =∴==，33232B A B A =，33312428A B B A ∴===，同理可得:444128216A B B A ===，⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ，∴△556A B A 的边长为5232=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =进而发现规律是解题关键．6．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ PQ =，PR PS =，那么下面四个结论：①AS AR =；②QP //AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BRQS ，其中一定正确的是（填写编号）_____________.【答案】①，②【解析】【分析】连接AP，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定推出QP∥AB即可；在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS．无法判断△BRP≌△QSP也无法证明BR QS．【详解】解：连接AP①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2-PR2，AS2=AP2-PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴①正确；②∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；③在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.7．△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，如图为其中一种分割法，此时△ABC中的最大内角为90°，那么其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为_____．【答案】117°或108°或84°．【解析】【分析】根据等腰三角形的性质进行分割，写出△ABC中的最大内角的所有可能值.【详解】①∠BAD＝∠BDA＝12（180°﹣24°）＝78°，∠DAC＝∠DCA＝12∠BDA＝39°，如图1所示：∴∠BAC＝78°+39°＝117°；②∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠ACD＝2∠DBA＝48°，如图2所示：∴∠DAC＝180°﹣2×48°＝84°，∴∠BAC＝24°+84°＝108°；③∠DBA＝∠DAB＝24°，∠ADC＝∠DAC＝2∠DBA＝48°，如图3所示：∴∠BAC＝24°+48°＝72°，∠C＝180°﹣2×48°＝84°；∴其它分割法中，△ABC中的最大内角度数为117°或108°或84°，故答案为：117°或108°或84°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分割找出所有情况.8．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..9．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。

《全等三角形》培优专题训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题如图所示，ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长.解题策略在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对应角是 .2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由.融会贯通4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 .2 三角形全等的判定判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠，所以OAD OAE ∠=∠，AOE AOD ∠=∠，又因为AO AO =，所以AOE AOD ∆≅∆ ( ASA).(2)由AOE AOD ∆≅∆，得OE OD =，且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=︒-∠，180CDO ADO ∠=︒-∠，所以B E O C D O ∠=∠.在AOE ∆和AOD ∆中，因为B E O C D O ∠=∠，OE OD =，BOE COD ∠=∠，所以B O E C O D ∆≅∆(ASA). 画龙点睛1. 判定两个三角形全等，往往需要三个条件，根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边)，这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了. 2. 要证明两条线段或者两个角相等，常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是( ).(A) CB CD = (B)BAC DAC ∠=∠ (C)BCA DCA ∠=∠ (D)90B D ∠=∠=︒2. 如图所示，点D 、C 在BF 上，//AB EF ，A E ∠=∠，BC DF =.求证AB EF =.3. 如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA OC =，EA EC =，你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4. 如图所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。

人教版八年级数学上册三角形全等的判定（SSS）同步提优测评卷一、单选题1．如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AC，AE，若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形有（）A．0对B．1对C．2对D．3对2．如图所示,在△ABC和△DBC中,已知AB=DB,AC=DC,则下列结论中错误的是( )A．△ABC△△DBC B．△A=△DC．BC是△ACD的平分线D．△A=△BCD3．如图，AB=CD，AD=CB，判定△ABD△△CDB的依据是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS4．我国的纸伞工艺十分巧妙,如图,伞圈D 能沿着伞柄滑动,伞不论张开还是缩拢,伞柄AP 始终平分同一平面内所成的角△BAC,为了证明这个结论,我们的依据是A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA5．如图，已知AC＝AD，BC＝BD，能确定△ACB△△ADB的理由是（）A ．SASB ．AASC ．ASAD ．SSS6．如图，在ABC ∆中，,,,AB AC BD CD E F ==是AD 上的任意两点．若8,6BC AD ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．12B ．20C ．24D ．487．如图，利用直尺圆规作△AOB 的角平分线OP.则图中△OCP△△ODP 的理由是A ．边边边B ．边角边C ．角角边D ．斜边直角边 8．如图，OA ＝OB ，OC ＝OD ，AD ＝BC ，则图中全等三角形的对数有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对9．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与△PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是△PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC△△ADC ，这样就有△QAE=△PAE ．则说明这两个三角形全等的依据是[来（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS10．如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为'''D O C DOC ∆≅∆,所以'''D O C DOC ∠=∠∆.由这种作图方法得到的'''D O C ∆和DOC ∆全等的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论中：△△ABD△△ACD；△△B ＝△C；△AD平分△BAC；△AD△BC，其中正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个∠是一个任意角，在边12．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图所示，AOB=，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角OA，OB上分别取OM ON∠的平分线．这种做法的道理是（）尺顶点C的射线OC即是AOBA．SAS B．SSS C．ASA D．以上三种都可以二、填空题≅，依据SSS，则还需添加条件13．如图，AB=AC，BE=CD，要使ABE ACD_______________．（填一个即可）14．在如图所示3×3的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样顶点均在格点上的三角形叫格点三角形，在图中画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画 __________个．15．如图是小明制作的风筝，他根据DE ＝DF ， EH=FH ，不用度量就通过证全等三角形知道△DEH ＝△DFH ，试问小明判定这两个全等三角形的方法是__________（用字母表示）．16．如图，在△ABC 中，已知AD ＝DE ，AB ＝BE ，△A ＝85°，△C ＝45°，则△CDE ＝_____度．17．如图，△A ＝△E ，AC△BE ，AB ＝EF ，BE ＝10，CF ＝4，则AC ＝______．三、解答题18．如图，AB AD =、BC DC =．求证：BAC DAC ∠=∠．19．如图，已知点A 、B 、C 、D 在同一直线上，AE DF =，BE CF =，AC DB =．求证：//AE DF ．20．如图，已知AB DC =，AC DB =．求证：A D ∠=∠．21．已知：如图，AD 、BC 相交于点Ｏ，AB ＝CD ，AD ＝CB ．求证：△ABD △△CDB ．22．如图：AB =AD ，CB =CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？23．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB DE =，AC DF =，BE CF =．求证：（1）A D ∠=∠；（2）//AB DE ．24．如图，AD CB =，AB CD =，BE AC ⊥，垂足为E ，DF AC ⊥，垂足为F ．求证：（1）ABC CDA △△≌；（2）BE DF =．答案1．D解：在△ABE 和△AEC 中，AB AC AE AE BE EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△ABE△△ACE （SSS ），在△AEC 和△ADC 中，AE CD AC AC AD EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△ACE△△CAD （SSS ），△△ABE△△CAD ，故选D2．D解：△在△ABC 与△DBC 中AB DB BC BC AC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△ABC△△DBC （SSS ）△△A=△D ，△ACB=△DCB△BC 是△ACD 的平分线故D.3．A解：在△ABD 和△CDB 中，△AB =CD ，AD =CB ，BD =DB ，△△ABD △△CDB （SSS ）． 故选A ．4．B解：根据伞的结构，AE=AF ，伞骨DE=DF ，AD 是公共边，△在△ADE 和△ADF 中，AE AF DE DF AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ADE△△ADF （SSS ），△△DAE=△DAF ，即AP 平分△BAC ．故选B ．5．D解：△AC=AD ，BC=BD ，AB=AB ，△△ABC△△ABD （SSS ），A 、B 、C 都不是全等的原因．故选D ．6．A解：△AB=AC ，BD=CD ，AD=AD ，△△ADC△△ADB （SSS ），AD△BC△S △ADC =S △ADB ，BD=12BC ， △BC=8，△BD=4，△S △BEF =S △CEF ，AD=6，△S 阴影=S △ADB =12BD•AD 12=×4×6=12． 故选：A ．7．A解：根据角平分线的作法可知，OC=OD ，CP=DP ，又△OP 是公共边，△△OCP△△ODP 的根据是“SSS”．故选：A ．8．C解：△OA=OB ，OC=OD ，AD ＝BC ，△△DOA△△COB （SSS ）；△OA=OB ，OC=OD ，△AC=BD ，△AB=AB ，AD ＝BC ，△△ABD△△BAC （SSS ）；△AD=BC ，AC=BD ，DC=CD△△ADC△△BCD （SSS ）．故选C ．9．D解：在△ADC 和△ABC 中，AD AB DC BC AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△ADC△△ABC （SSS ），△△DAC=△BAC ，即△QAE=△PAE ．故选D ．10．A解：根据作图得OD=OC=OD′=OC′，CD=C′D′，所以利用“SSS”可判断为△D′O′C′△△DOC ，所以△D′O′C′=△DOC ．(SSS)故选A.11．D解：△D 为BC 的中点，△BD=CD ，又△AB=AC ，AD 为公共边△△ABD△△ACD （SSS ），故△正确，△△B=△C ，△BAD=△CAD ，△ADB=△ADC ，△△ADB+△ADC=180°，△△ADB=△ADC=90°，即AD△BC ，故△△△正确.综上所述：正确的结论有△△△△共4个，故选D.12．B解：由图可知，CM CN =，又OM ON =，在MCO 和NCO 中，MO NO CO CO NC MC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()COM CON SSS ∴≅，AOC BOC ∠=∠∴，即OC 是AOB ∠的平分线．故SSS ．故选：B.13．AE AD =或CE BD =（填其中任一个均可）解：由题意，有以下两种情况：（1）当AE AD =时，由SSS 定理可证得ABE ACD ≅；（2）当CE BD =时，AB AC =，AC CE AB BD ∴-=-，即AE AD =，则当CE BD =时，也可利用SSS 定理证得ABE ACD ≅；故AE AD =或CE BD =（填其中任一个均可）．14．4解：如下图所示：以AB 为公共边的三角形有3个，以BC 为公共边的三角形有0个，以AC 为公共边的三角形有1个，△共有3+0+1=4个，故4个．15．SSS解：证明：△在△DEH 和△DFH 中， DE DF EH FH DH DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△DEH△△DFH （SSS ），△△DEH=△DFH ．故SSS ．16．40解：如图：在△ABC 中，已知AD DE AB BE BD BD ⎧⎪⎨⎪=⎩＝＝ ,△△ADB△△BDE ，△△A=△DEB=85°， △△CDE=△DEB －△C=85°－45°=40°. 故答案为4017．6解：△AC△BE ，△△ACB=△ECF=90°，在△ABC 和△EFC 中，{ACB ECFA EAB EF ∠∠∠∠＝＝＝，△△ABC△△EFC （AAS ），△AC=EC ，BC=CF=4，△EC=BE -BC=10-4=6，△AC=EC=6.18．见解析证明：在ABC 和ADC 中 ,,AB AD BC DC AC AC ===△()ABC ADC SSS △△≌△BAC DAC ∠=∠19．证明见详解证明：△ AC= DB△AB= CD ，且AE= DF ，BE= CF ， △ △ABE△△DCF (SSS)△△A= △D ，△AE△DF ．20．证明过程见解析证明：在△ABC 和△DCB 中AB DCAC DB BC CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△DCB （SSS ）△A D ∠=∠（全等三角形对应角相等）． 21．详见解析证明：在△ABD 和△CDB 中AB CDAD CB BD DB=⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABD △△CDB （SSS ）22．全等（SSS ）；原因见解析． 解：△ABC 与△ADC 全等．AB AD =，CB CD =，AC AC =, ABC ADC ∴≌（SSS ）．23．（1）证明见解析；（2）证明见解析．证明：（1）BE CF =，BE EC CF EC ∴+=+，BC EF ∴=，在ABC 和DEF 中，BC EFAB DE AC DF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABC DEF SSS ∴△≌△， A D ∴∠=∠；（2）由（1）得：ABC DEF △≌△， B DEF ∴∠=∠，//AB DE ∴．24．（1）见解析；（2）见解析． 证明：（1）在ABC 和CDA 中， AD CBAB CD AC CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△ABC CDA △△≌；（2）△ABC CDA △△≌， △BAC DCA ∠=∠，在ABE △和CDF 中，AEB CFDBAC DCA AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABE CDF △≌△，△BE DF =．。

人教版八年级数学12.2 全等三角形的判定培优训练一、选择题1. 如图所示，AC，BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则图中与∥ABC全等的三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个2. 如图，小强画了一个与已知∥ABC全等的∥DEF，他画图的步骤是：(1)画DE ＝AB；(2)在DE的同旁画∥HDE＝∥A，∥GED＝∥B，DH，EG相交于点F，小强画图的依据是()A．ASA B．SASC．SSS D．AAS3. 如图所示，已知AB∥DE，点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∥B＝32°，∥A＝78°，则∥F等于()A．55° B．65° C．60° D．70°4. 如图，李颖同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最合理的办法是带哪块玻璃去()A．只带∥ B．只带∥C．只带∥ D．带∥和∥5. 如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块玻璃碎片去玻璃店()A.①B.②C.③D.④6. 如图，添加下列条件，不能判定∥ABD∥∥ACD的是()A．BD＝CD，AB＝ACB．∥ADB＝∥ADC，BD＝CDC．∥B＝∥C，∥BAD＝∥CADD．∥B＝∥C，BD＝CD7. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD8. 如图，已知∥ABC＝∥DCB，添加以下条件，不能判定∥ABC∥∥DCB的是()A．∥A＝∥DB．∥ACB＝∥DBCC．AC＝DBD．AB＝DC9. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误10. 如图，∠AOB＝120°，OP平分∥AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且∥PMN为等边三角形，则满足上述条件的∥PMN有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 3个以上二、填空题11. 如图，已知∥B＝∥C，添加一个条件使∥ABD∥∥ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是__________(填一个即可)．12. 如图，已知点B，C，F，E在同一直线上，∥1＝∥2，∥A＝∥D，要使∥ABC∥∥DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是____________(只需写出一个)．13. 如图，已知AB＝BC，要使∥ABD∥∥CBD，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________．(只需写一个，不添加辅助线)14. 如图，在∥ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．15. 如图，在Rt ABC△中，90C∠=︒，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB BC，于点MN，，再分别以点M N，为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若30A∠=︒，则BCDABDSS=△△______ ____．16. 如图，∥C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX∥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，∥ABC与∥APQ全等．三、解答题17. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∥D＝90°.(1)求证：∥ACB∥∥BDA；(2)若∥ABC＝35°，则∥CAO＝________°.18. 如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC 上取一点B ，在小山外取一点D ，连接BD 并延长，使DF ＝BD ，过点F 作AB 的平行线FM ，连接MD 并延长，在延长线上取一点E ，使DE ＝DM ，在点E 开工就能使A ，C ，E 三点成一条直线，你知道其中的道理吗？19. (2019•苏州)如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ． (1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．20. (2019•重庆A 卷)如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． (1)若∠C=36°，求∠BAD 的度数．(2)若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB=FE ．21. 观察与类比(1)如图∥，在∥ABC中，∥ACB＝90°.点D在∥ABC外，连接AD，作DE∥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF.求证：DF＝BC ＋CF；(2)如图∥，AB＝AD，AC＝AE，∥ACB＝∥AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论．人教版 八年级数学 12.2 全等三角形的判定培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] 与已知三角形全等的三角形有∥DCB ，∥BAD ，∥DCE ，∥CDA.2. 【答案】A3. 【答案】D[解析] 因为AB∥DE ，所以∥B ＝∥DEF.由条件BE ＝CF 知BC ＝EF.结合条件AB ＝DE ，可由“SAS”判定∥ABC∥∥DEF ，所以∥F ＝∥ACB ＝180°－(∥A ＋∥B)＝180°－(78°＋32°)＝70°.4. 【答案】C[解析] 由“ASA”的判定方法可知只带∥去就可以配出一块和以前一样(全等)的三角形玻璃．5. 【答案】D[解析] 第①块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块玻璃碎片不能配一块与原来完全一样的玻璃;第②③块只保留了原三角形的部分边，根据这两块玻璃碎片中的任一块均不能配一块与原来完全一样的玻璃;第④块玻璃碎片不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一条完整的边，则可以根据“ASA”来配一块完全一样的玻璃.最省事的方法是带④去.6. 【答案】D[解析] A ．在∥ABD 和∥ACD 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∥∥ABD∥∥ACD(SSS)，故本选项不符合题意； B ．在∥ABD 和∥ACD 中，⎩⎨⎧AD ＝AD ，∥ADB ＝∥ADC ，BD ＝CD ，∥∥ABD∥∥ACD(SAS)，故本选项不符合题意； C ．在∥ABD 和∥ACD 中，⎩⎨⎧∥BAD ＝∥CAD ，∥B ＝∥C ，AD ＝AD ，∥∥ABD∥∥ACD(AAS)，故本选项不符合题意；D ．根据∥B ＝∥C ，AD ＝AD ，BD ＝CD 不能推出∥ABD∥∥ACD(SSA)，故本选项符合题意．故选D.7. 【答案】C[解析] A.添加BC=FD，AC=ED，可利用“SAS”判定△ABC≌△EFD;B.添加∠A=∠DEF，AC=ED，可利用“ASA”判定△ABC≌△EFD;C.添加AC=ED，AB=EF，不能判定△ABC≌△EFD;D.添加∠A=∠DEF，BC=FD，可利用“AAS”判定△ABC≌△EFD.8. 【答案】C[解析] A．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合“AAS”，即能推出∥ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；B．∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合“ASA”，即能推出∥ABC ≌△DCB，故本选项不符合题意；C．∠ABC＝∠DCB，AC＝DB，BC＝BC，不符合全等三角形的判定条件，即不能推出∥ABC≌△DCB，故本选项符合题意；D．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合“SAS”，即能推出∥ABC≌△DCB，故本选项不符合题意．故选C.9. 【答案】A[解析] AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.10. 【答案】D【解析】如解图，①当OM1＝2时，点N1与点O重合，△PMN 是等边三角形；②当ON2＝2时，点M2与点O重合，△PMN是等边三角形；③当点M3，N3分别是OM1，ON2的中点时，△PMN是等边三角形；④当取∠M1PM4＝∠OPN4时，易证△M1PM4≌△OPN4(SAS)，∴PM4＝PN4，又∵∠M4PN4＝60°，∴△PMN是等边三角形，此时点M，N有无数个，综上所述，故选D.二、填空题11. 【答案】答案不唯一，如AB＝AC12. 【答案】AB＝DE(答案不唯一)13. 【答案】答案不唯一，如AD＝CD[解析] 因为AB＝BC，BD＝BD，所以：(1)当AD＝CD时，∥ABD∥∥CBD(SSS)；(2)当∥ABD＝∥CBD时，∥ABD∥∥CBD(SAS)；(3)当∥A＝∥C＝90°时，Rt∥ABD∥Rt∥CBD(HL)．14. 【答案】2 [解析] ∥CF∥AB ，∥∥A ＝∥FCE.在∥ADE 和∥CFE 中，⎩⎨⎧∥A ＝∥FCE ，∥AED ＝∥CEF ，DE ＝FE ，∥∥ADE∥∥CFE(AAS)． ∥AD ＝CF ＝3.∥BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.15. 【答案】12【解析】由作法得BD 平分ABC ∠， ∵90C =︒∠，30A ∠=︒，∴60ABC ∠=︒， ∴30ABD CBD ∠=∠=︒，∴DA DB =， 在Rt BCD △中，2BD CD =，∴2AD CD =，∴12BCD ABD S S =△△．故答案为：12． 16. 【答案】5或10 [解析] ∥AX∥AC ，∥∥PAQ ＝90°.∥∥C ＝∥PAQ ＝90°.分两种情况：∥当AP ＝BC ＝5时， 在Rt∥ABC 和Rt∥QPA 中，⎩⎨⎧AB ＝QP ，BC ＝PA ，∥Rt∥ABC∥Rt∥QPA(HL)； ∥当AP ＝CA ＝10时，在Rt∥ABC 和Rt∥PQA 中，⎩⎨⎧AB ＝PQ ，AC ＝PA ，∥Rt∥ABC∥Rt∥PQA(HL)．综上所述，当AP ＝5或10时，∥ABC 与∥APQ 全等． 三、解答题17. 【答案】(1)证明：在Rt △ACB 和Rt △BDA 中， ⎩⎨⎧BC ＝ADAB ＝BA，(3分) ∴Rt △ACB ≌△Rt △BDA(HL )． (2)20.(6分)【解法提示】∵∠ABC ＝35°，∴∠CAB ＝90°－35°＝55°，由(1)知∠DAB ＝∠ABC ＝35°，∴∠CAO ＝∠CAB －∠DAB ＝20°.18. 【答案】解：在∥BDE 和∥FDM 中，⎩⎨⎧BD ＝FD ，∥BDE ＝∥FDM ，DE ＝DM ，∥∥BDE∥∥FDM(SAS)． ∥∥BEM ＝∥FME.∥BE∥MF. 又∥AB∥MF ，∥A ，C ，E 三点在一条直线上．19. 【答案】(1)∵CAF BAE ∠=∠， ∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．(2)∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．20. 【答案】(1)∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠， ∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥， ∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． (2)∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠，∴BF EF =．21. 【答案】解：(1)证明：∥DE∥AB ，∥ACB ＝90°， ∥∥AED ＝∥AEF ＝∥ACB ＝90°.在Rt∥ACF 和Rt∥AEF 中，⎩⎨⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ，∥Rt∥ACF∥Rt∥AEF(HL)．∥CF ＝EF. 在Rt∥ADE 和Rt∥ABC 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AE ＝AC ，∥Rt∥ADE∥Rt∥ABC(HL)． ∥DE ＝BC.∥DF ＝DE ＋EF ，∥DF ＝BC ＋CF.(2)BC ＝CF ＋DF.证明：如图，连接AF.在Rt∥ABC 和Rt∥ADE 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AE ，∥Rt∥ABC∥Rt∥ADE(HL)．∥BC ＝DE.∥∥ACB ＝90°，∥∥ACF ＝90°＝∥AED. 在Rt∥ACF 和 Rt∥AEF 中，⎩⎨⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ，∥Rt∥ACF∥∥AEF(HL)． ∥CF ＝EF.∥DE ＝EF ＋DF ，∥BC ＝CF ＋DF.。

【拔尖特训】2023-2024学年八年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题12.6全等三角形的判定（限时满分培优训练）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023春•洋县期末）如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠B＝∠E，BF＝EC，添加下列一个条件，仍不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥DF2．（2023春•新晃县期末）如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD＝PE，则△APD与△APE 全等的直接理由是（）A．SSS B．AAS C．HL D．ASA3．（2023•凉山州）如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是（）A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE4．（2023春•天桥区期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．（2023春•高碑店市校级月考）如图是嘉淇测量水池AB宽度的方案，下列说法不正确的是（）A．△代表BC＝CD B．□代表ACC．☆代表DM D．该方案的依据是SAS6．（2023春•兴宁市校级期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）A．1m B．1.6m C．1.8m D．1.4m7．（2023春•高碑店市校级月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，AC，BD交于点M，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（）结论Ⅰ：AC＝BD；结论Ⅱ：∠CMD＞∠CODA．Ⅰ对，Ⅱ错B．Ⅰ错，Ⅱ对C．1，Ⅱ都对D．Ⅰ，Ⅱ都错8．（2023春•达川区校级期末）如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是（）A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2D．AB＝AC9．（2023春•雅安期末）如图，EF＝CF，BF＝DF，则下列结论错误的是（）A．△BEF≌△DCF B．△ABC≌△ADE C．AB＝AD D．DC＝AC10．（2023春•盐湖区期末）如图，在△ABC中，AD为中线，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD 于点F．在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD．下列结论中正确的个数为（）①BE＝CF；②AG＝2DE；③S△ABD+S△CDF＝S△GCF；④S△AGC＝2S△BDE．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．（2023•鹿城区校级开学）如图，AD∥BC，AD＝BC，请你添加一个条件：，使△ADE≌△CBF．（写出一个条件即可）12．（2023•海淀区开学）如图，已知OB＝OC，若以“SAS”为依据证明△AOB≌△DOC，还需要添加的条件是．13．（2022秋•启东市期末）如图，已知线段AB＝20m，MA⊥AB于点A，MA＝6m，射线BD⊥AB于B，P 点从B点向A运动，每秒走1m，Q点从B点向D运动，每秒走3m，P，Q同时从B出发，则出发秒后，在线段MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等．14．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于点E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则△ADE的周长是．15．（2023春•茂名期末）如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC 于点F，若∠AEF＝∠F AE，BE＝4，EF＝1.6，则CF的长为．16．（2022秋•柳州期末）如图，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（0，2），若在y轴右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等，则点C的坐标为．三、解答题（本大题共7小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2023•贵州模拟）如图，点D在BC上，∠ADB＝∠B，∠BAD＝∠CAE．（1）添加条件：（只需写出一个），使△ABC≌△ADE；（2）根据你添加的条件，写出证明过程．18．（2023•荔湾区一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，连接AC．求证：△ABC≌△CDA．19．（2023•工业园区校级模拟）如图，点C、D在线段AB上，且AC＝BD，AE＝BF，AE∥BF，连接CE、DE、CF、DF，求证CF＝DE．20．（2023•衢江区三模）已知：如图，△ABC与△ADE的顶点A重合，BC＝DE，∠C＝∠E，∠B＝∠D．求证：∠1＝∠2．21．（2022秋•内乡县期末）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC 上，且AE＝CF．（1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．22．（2022秋•东营区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．（1）求证：△ABD≌△EDC；（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．23．（2023春•丰城市期末）如图，做一个“U”字形框架P ABQ，其中AB＝42cm，AP、BQ足够长，P A⊥AB，QB⊥AB，点M从点B出发，向点A运动，同时点N从点B出发，向点Q运动，点M、N运动的速度之比为3：4，当M、N两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线AP上取点C，使△ACM与△BMN 全等，求此时线段AC的长是多少？。

专题1.5第1章勾股定理单元测试（培优卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分120分，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•泰兴市期中）a、b、c为△ABC三边，下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A．a2＝c2﹣b2B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数）【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．【解析】A．若a2＝c2﹣b2，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则最大角∠C＜90°，△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；C．若a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，故本选项不合题意；D．若a＝5k，b＝12k，c＝13k（k为正整数），则a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，故本选项不合题意．故选：B．2．（2017秋•靖江市校级期中）一个长为10米的梯子AB斜靠在墙上，AC⊥BC，AC＝BC，当梯子的顶端A 沿AC方向下滑x米时，梯子足B沿CB方向水平滑动y米，则x与y的大小关系是（）A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．不确定【分析】根据题意由勾股定理得出关于AC，BC，x，y的等式，再利用2AC﹣x＜2BC+y，得出x＞y．【解析】∵AC＝BC，当梯子的顶端A下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动了y米，∴CD＝AC﹣x，EC＝BC+y＝AC+y，∴AC2+BC2＝（AC﹣x）2+（AC+y）2，∴2AC•x﹣x2＝2BC•y+y2，∴x（2AC﹣x）＝y（2BC+y），∵AC＝BC，∴2AC﹣x＜2BC+y，∴x＞y，故选：B．3．（2020春•海安市期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，6，8B．6，8，9C．7，24，25D．5，11，12【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．【解析】A、62+42≠82，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、62+82≠92，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；C、72+242＝252，可以组成直角三角形，故此选项符合题意；D、52+112≠122，不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：C．4．（2019秋•常州期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）A．18B．36C．65D．72【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形面积求法得出即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，∴AB=√92−42=√65，则正方形ABDE的面积为：（√65）2＝65．故选：C．5．（2019秋•金台区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25B．7C．25或7D．25或16【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长=√32+42=5，或直角三角形的第三边长=√42−32=√7，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．6．（2019秋•苏州期中）D是△ABC中BC边上的一点，若AC2﹣CD2＝AD2，则AD是（）A．BC边上的中线B．∠BAC的角平分线C．BC边上的高线D．AC边上的高线【分析】根据题意画出图形，再根据已知条件判断出△ACD的形状，再根据高线的定义解答即可．【解析】如图所示：∵AC2﹣CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴AD⊥BC，则AD是BC边上的高线，故选：C．7．（2019秋•新北区期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A．10m B．11m C．12m D．13m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m，在Rt △ABC中利用勾股定理可求出x．【解析】设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝（x﹣1）m，BC＝5m根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝（x﹣1）2+52，∴x2+22＝（x﹣1）2+52，解得x＝11．故选：B．8．（2019秋•沭阳县期中）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（）A．9B．92C．94D．3【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．【解析】在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝3，S阴影＝S△AEC+S△BFC+S△ADB=12×（√2）2+12×（√2）2+12×（√2）2=14（AC2+BC2+AB2）=12AB2，=12×32 =92． 故选：B ．9．（2019秋•吴中区期中）2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a ，较短的直角边长是b ，且（a +b ）2的值为49，那么小正方形的面积是（ ）A ．2B ．0.5C ．13D ．1【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a +b ）2＝49，大正方形的面积为25，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解析】∵（a +b ）2＝49， ∴a 2+2ab +b 2＝49， ∵大正方形的面积为25， ∴2ab ＝49﹣25＝24，∴小正方形的面积为25﹣24＝1． 故选：D ．10．（2020春•沛县期中）两个边长分别为a ，b ，c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）A ．（a +b ）2＝c 2B ．（a ﹣b ）2＝c 2C ．a 2﹣b 2＝c 2D ．a 2+b 2＝c 2【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求． 【解析】根据题意得：S =12（a +b ）（a +b ），S =12ab +12ab +12c 2，12（a +b ）（a +b ）=12ab +12ab +12c 2，即（a +b ）（a +b ）＝ab +ab +c 2，整理得：a2+b2＝c2．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•惠山区校级期中）如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，那么这棵树折断之前的高度是6米．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了短直角边和一锐角为30度，运用直角三角形30度角的性质，从而得出这棵树折断之前的高度．【解析】∵一棵大树在离地面2米处折断，树的另一部分倒地后与地面成30°角，如图，可知：∠ACB＝90°，AC＝2米，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4米，∴折断前高度为2+4＝6（米）．故答案为6．12．（2019秋•鼓楼区校级期中）如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆6m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为10m．【分析】根据题意画出示意图，设绳子的长度为xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝6m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解析】过C作CB⊥AD于B，设绳子的长度为xm，则AC＝AD＝xm，AB＝（x﹣2）m，BC＝6m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+62＝x2，解得：x＝10，即绳子的长度为10m．故答案为：10．13．（2019秋•海州区期中）如图，将一根长12厘米的筷子置于底面半径为3厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为2厘米．【分析】首先应根据勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即√62+82=10，故筷子露在杯子外面的长度至少为多少可求出．【解析】如图所示，筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，∴勾股定理求得圆柱形水杯的最大线段的长度，即√62+82=10cm，∴筷子露在杯子外面的长度至少为12﹣10＝2cm，故答案为2．14．（2019秋•镇江期中）如图，在3x3的网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C都是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为45°．【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ACB为直角三角形即可得到∠ABC的度数．【解析】由勾股定理得：AC＝BC=√22+12=√5，AB=√32+12=√10，∵AC2+BC2＝AB2＝10，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°．故答案为：45°．15．（2019秋•金坛区期中）三角形的三边a，b，c满足（a﹣b）2＝c2﹣2ab，则这个三角形是直角三角形．【分析】首先对等式进行变形得到a2+b2＝c2，然后依据勾股定理的逆定理进行判断即可．【解析】∵（a﹣b）2＝c2﹣2ab，∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab，∴a2+b2＝c2．∴△ABC是直角三角形．故答案为直角三角形．16．（2019秋•连云港期中）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t＝32或125s时，△PBQ为直角三角形．【分析】先分别表示出BP，BQ的值，当∠BQP和∠BPQ分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝6﹣2x，BQ＝x，∴6﹣2x＝2x，解得x=3 2；当∠QPB ＝90°时，∠PQB ＝30°， ∴BQ ＝2PB ， ∴x ＝2（6﹣2x ）， 解得x =125． 答：32或125秒时，△BPQ 是直角三角形．故答案为32或125．17．（2019秋•邳州市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ， ∵每一个直角三角形的面积为：12ab =12×8＝4， ∴4×12ab +（a ﹣b ）2＝25， ∴（a ﹣b ）2＝25﹣16＝9， ∴a ﹣b ＝3， 故答案是：318．（2019秋•亭湖区校级期中）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，AC ＝4，分别以Rt △ABC 三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 6 ．【分析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，证明S1+S2＝S3；推出S 阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，由此即可解决问题．【解析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，则有：S1=12π（BC2）2=π⋅BC28，同理，S2=π⋅AC28，S3=π⋅AB28，∵BC2+AC2＝AB2，∴S1+S2＝S3；∴S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，在直角△ABC中，BC=√AB2−AC2=3，则S阴影＝S△ABC=12AC•BC=12×4×3＝6．故答案为6．三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•海陵区校级期中）如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC上．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CBE（SAS）即可．（2）证明∠DCE＝90°，求出DE，利用勾股定理计算即可．【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°，同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°，在△ABD与△CBE中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBE，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=√2BD=√2，∵△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2，∴AD2+CD2＝2．20．（2019秋•南通期中）在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，若AB＝4，BC＝4，CD＝1，问：在BC 上是否存在点P，使得AP⊥PD？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．【分析】利用△ABP∽△PCD得出∠BP A+∠DPC＝90°，即∠APD＝90°，求出BP的长即可．【解析】存在．如图所示，AP⊥PD，∴∠APD＝90°，∴∠APB+∠DPC＝90°，又∵DC⊥BC，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠APB＝∠PDC，∵∠B＝∠C，设BP ＝x ，则CP ＝4﹣x ， ∴AB PC=BP DC，即4：（4﹣x ）＝x ：1，即x （4﹣x ）＝4， 则x 2﹣4x +4＝0， 即（x ﹣2）2＝0， 解得x ＝2，即BP ＝2．21．（2020春•海安市期中）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2﹣1，c ＝m 2+1，那么以a ，b ，c 为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由． 【分析】根据m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2﹣1，c ＝m 2+1，然后即可得到a 2+b 2的值，c 2的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断以a ，b ，c 为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形，本题得以解决．【解析】以a ，b ，c 为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形， 理由：∵m 表示大于1的整数，a ＝2m ，b ＝m 2﹣1，c ＝m 2+1， ∴c ＞a ，∵a 2+b 2＝（2m ）2+（m 2﹣1）2＝4m 2+m 4﹣2m 2+1＝（m 2+1）2， c 2＝（m 2+1）2， ∴a 2+b 2＝c 2，∴以a ，b ，c 为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形．22．（2019秋•新吴区期中）在边长为1的正方形网格中标有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形△ABC ． （1）△ABC 的面积为 2 ；（2）△ABC 的形状为 直角三角形 ；（3）根据图中标示的各点（A 、B 、C 、D 、E 、F ）位置，与△ABC 全等的格点三角形是 △DBC ，△DAB，△DAC．【分析】（1）根据长方形和三角形的面积公式求出即可；（2）根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）根据全等三角形的判定定理得出即可．【解析】（1）△ABC的面积为：2×2−12×2×2−12×1×1−12×1×3=2，故答案为：2；（2）由勾股定理得：AC=√22+22=2√2，BC=√12+12=√2，AB=√12+32=√10，所以AC2+BC2＝AB2，即∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形，故答案为：直角三角形；（3）与△ABC全等的格点三角形是△DBC，△DAB，△DAC，故答案为：△DBC，△DAB，△DAC．23．（2020春•涿鹿县期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．【解析】（1）如图，连接AC，在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2∴AC＝5cm，在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；（2）∵S△ABC=12×3×4＝6，S△ACD=12×5×12＝30，∴S四边形ABCD＝6+30＝36，费用＝36×80＝2880（元）．答：铺满这块空地共需花费2880元．24．（2019秋•连云港期中）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为5m，12m．现在要将绿地扩充成等腰三角形绿地，且扩允部分是以12m为直角边的直角三角形，求扩充部分三角形绿地的面积．（如图备用）【分析】根据勾股定理求出斜边AB ，（1）当AB ＝AD 时或AB ＝BD ，求出CD 即可；（2）当AB ＝BD 时，求出CD 、AD 即可；（3）当DA ＝DB 时，设AD ＝x ，则CD ＝x ﹣5，求出即可． 【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝5m ，BC ＝12m ， ∴AB ＝13m ，（1）如图1，当AB ＝AD 时，CD ＝5m ， 则△ABD 的面积为：12BD •AC =12×（5+5）×12＝60（m 2）； 若延长BC 到D ，使CD ＝AC ＝12m ，则△ABD 的面积为=12AD ×BC ＝60 （m 2）， 60﹣30＝30 （m 2）；（2）图2，当AB ＝BD 时，CD ＝8m ，则△ABD 的面积为：12BD •AC =12×（5+8）×12＝78（m 2）； 78﹣30＝48（m 2）；（3）如图3，当DA ＝DB 时，设AD ＝x ，则CD ＝x ﹣5， 则x 2＝（x ﹣5）2+122， ∴x ＝16.9，则△ABD 的面积为：12BD •AC =12×16.9×12＝101.4（m 2）； 101.4﹣30＝71.4（m 2）．答：扩充后等腰三角形绿地的面积是30m 2或48m 2或71.4m 2．25．（2020春•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a ，较小的直角边长都为b ，斜边长都为c ），大正方形的面积可以表示为c 2，也可以表示为4×12ab +（a ﹣b ）2，所以4×12ab +（a ﹣b ）2＝c 2，即a 2+b 2＝c 2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a ，b ，斜边长为c ，则a 2+b 2＝c 2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． （2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC 的两直角边长为3和4，则斜边上的高为125．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a ﹣2b ）2＝a 2﹣4ab +4b 2，画在上面的网格中，并标出字母a ，b 所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高； （3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形． 【解析】（1）梯形ABCD 的面积为12（a +b ）（a +b ）=12a 2+ab +12b 2，也利用表示为12ab +12c 2+12ab ，∴12a 2+ab +12b 2=12ab +12c 2+12ab ，即a 2+b 2＝c 2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4， ∴斜边为5，∵设斜边上的高为h ，直角三角形的面积为12×3×4=12×5×h ，∴h =125， 故答案为125；（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：26．（2019秋•大丰区期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×12ab；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为28；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． （2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可． 【解析】[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a +b ）2＝c 2+4×12ab ， ∴a 2+2ab +b 2＝c 2+2ab ， ∴a 2+b 2＝c 2【初步运用】（1）由题意：b ＝2a ，c =√5a ， ∴小正方形面积：大正方形面积＝5a 2：9a 2＝5：9， 故故答案为5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣2×12×4×6＝28． 故答案为28．[迁移运用]结论：a 2+b 2﹣ab ＝c 2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积 可得：12（a +b ）×k （a +b ）＝3×12×b ×ka +12×c ×ck ，∴（a +b ）2＝3ab +c 2 ∴a 2+b 2﹣ab ＝c 2．。

八年级上册数学 全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在01A BA △中，20B ∠=︒，01A B A B =，在1A B 上取点C ，延长01A A 到2A ，使得121A A AC =；在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =；…，按此做法进行下去，第n 个等腰三角形的底角n A ∠的度数为__________．【答案】11()802n -︒⋅.【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA 1 A 0的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律即可得出第n 个等腰三角形的底角∠A n 的度数．【详解】解：∵在△A 0BA 1中，∠B=20°，A 0B=A 1B ， ∴∠BA 1 A 0= 1801802022B ︒︒︒-∠-= =80°， ∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1 A 0是△A 1A 2C 的外角， ∴∠CA 2A 1= 108022BA A ︒∠= =40°； 同理可得，∠DA 3A 2=20°，∠EA 4A 3=10°，∴第n 个等腰三角形的底角∠A n = 11()802n -︒⋅.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA 2A 1，∠DA 3A 2及∠EA 4A 3的度数，找出规律是解答此题的关键．2．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，3，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．【答案】53 【解析】试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=3BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =223314231442⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．3．如图，点A,B,C 在同一直线上,△ABD 和△BCE 都是等边三角形，AE,CD 分别与BD,BE 交于点F,G ，连接FG ，有如下结论：①AE=CD ②∠BFG= 60°；③EF=CG ；④AD ⊥CD⑤FG ∥AC 其中，正确的结论有__________________. (填序号)【答案】①②③⑤【解析】【分析】易证△ABE ≌△DBC ，则有∠BAE ＝∠BDC ，AE ＝CD ，从而可证到△ABF ≌△DBG ，则有AF ＝DG ，BF ＝BG ，由∠FBG ＝60°可得△BFG 是等边三角形，证得∠BFG ＝∠DBA ＝60°，则有FG ∥AC ，由∠CDB ≠30°，可判断AD 与CD 的位置关系．【详解】∵△ABD 和△BCE 都是等边三角形，∴BD ＝BA ＝AD ，BE ＝BC ＝EC ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°． ∵点A 、B 、C 在同一直线上，∴∠DBE ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠ABE ＝∠DBC ＝120°． 在△ABE 和△DBC 中，∵BD BA ABE DBC BE BC ∠∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∴AE ＝CD ，∴①正确； 在△ABF 和△DBG中，60BAF BDG AB DBABF DBG ∠∠∠∠=⎧⎪=⎨⎪==︒⎩，∴△ABF ≌△DBG ，∴AF ＝DG ，BF ＝BG ． ∵∠FBG ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴②正确； ∵AE ＝CD ，AF ＝DG ，∴EF =CG ；∴③正确；∵∠ADB ＝60°，而∠CDB =∠EAB ≠30°，∴AD 与CD 不一定垂直，∴④错误．∵△BFG 是等边三角形，∴∠BFG =60°，∴∠GFB ＝∠DBA ＝60°，∴FG ∥AB ，∴⑤正确． 故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行线的判定和性质，证得△ABE ≌△DBC 是解题的关键．4．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D 下列结论：①EF BE CF =+；②点O 到ABC ∆各边的距离相等；③1902BOC A ∠=+∠；④设OD m =，AE AF n +=，则AEF S mn ∆=；⑤1()2AD AB AC BC =+-.其中正确的结论是.__________．【答案】①②③⑤【解析】【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得③∠BOC=90°+12∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=12mn，故④错误，根据HL证明△AMO≌△ADO得到AM=AD，同理可证BM=BN，CD=CN，变形即可得到⑤正确．【详解】∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°﹣12∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A；故③正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA．∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=12AE•OM+12AF•OD=12OD•（AE+AF）=12mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故②正确；∵AO=AO，MO=DO，∴△AMO≌△ADO（HL），∴AM=AD；同理可证：BM=BN，CD=CN．∵AM+BM=AB，AD+CD=AC，BN+CN=BC，∴AD=12（AB+AC﹣BC）故⑤正确．故答案为：①②③⑤．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．5．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是__．【答案】22【解析】【分析】等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形；【详解】解：因为4+4=8<9，0<4<9+9=18，∴腰的不应为4，而应为9，∴等腰三角形的周长=4+9+9=22.故答案为22.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去.6．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB－2∠ACD，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC即可.【详解】∵CD平分∠ACE，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD，∴∠ECB=∠ACB－∠ACE=∠ACB－2∠ACD，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB－2∠ACD=100°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB－2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.7．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC成轴对称．【答案】6【解析】【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．【详解】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．故答案为：6．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．8．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BE=6cm ，DE=2cm ，∴DM=4，∵△BEM 为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．9．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.【答案】1.5【解析】【分析】延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.【详解】延长BD 交AC 于点E ，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=900，∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5，∴AE=AC -CE=8-5=3，∵A ABD ∠=∠,∴BE=AE=3，∴BD=1.5【点睛】此题考察等腰三角形的性质，延长BD构建全等三角形是证明此题的关键.10．在下列结论中：①有三个角是60︒的三角形是等边三角形；②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60︒，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.【答案】①②③④【解析】【分析】依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.【详解】有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.故此题正确的是①②③④.【点睛】此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．如图，平面直角坐标系中存在点A（3，2），点B（1,0），以线段AB为边作等腰三角形ABP，使得点P在坐标轴上.则这样的P点有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【答案】D【解析】【分析】本题是开放性试题，由题意知A 、B 是定点，P 是动点，所以要分情况讨论：以AP 、AB 为腰、以AP 、BP 为腰或以BP 、AB 为腰．则满足条件的点P 可求．【详解】由题意可知：以AP 、AB 为腰的三角形有3个；以AP 、BP 为腰的三角形有2个；以BP 、AB 为腰的三角形有2个．所以，这样的点P 共有7个.故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；分类别寻找是正确解答本题的关键．12．如图，ABC ，分别以AB 、AC 为边作等边三角形ABD 与等边三角形ACE ，连接BE 、CD ，BE 的延长线与CD 交于点F ，连接AF ，有以下四个结论：①BE CD =；②FA 平分EFC ∠；③FE FD =；④FE FC FA +=．其中一定正确的结论有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 根据等边三角形的性质证出△BAE ≌△DAC ，可得BE =CD ，从而得出①正确；过A 作AM ⊥BF 于M ，过A 作AN ⊥DC 于N ，由△BAE ≌△DAC 得出∠BEA =∠ACD ，由等角的补角相等得出∠AEM =∠CAN ，由AAS 可证△AME ≌△ANC ，得到AM =AN ，由角平分线的判定定理得到FA 平分∠EFC ，从而得出②正确；在FA 上截取FG ，使FG =FE ，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE ≌△CFE ，可得AG =CF ，即可求得AF =CF +EF ，从而得出④正确；根据CF +EF =AF ，CF +DF =CD ，得出CD ≠AF ，从而得出FE ≠FD ，即可得出③错误．【详解】∵△ABD 和△ACE 是等边三角形，∴∠BAD =∠EAC =60°，AE =AC =EC ．∵∠BAE +∠DAE =60°，∠CAD +∠DAE =60°，∴∠BAE =∠DAC ，在△BAE 和△DAC 中，∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD，①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．∵△BAE≌△DAC，∴∠BEA=∠ACD，∴∠AEM=∠ACN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，∴∠AME=∠ANC．在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，∴AM=AN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ACD=180°，∴∠EAC+∠EFC=180°．∵∠EAC=60°，∴∠EFC=120°．∵FA平分∠EFC，∴∠EFA=∠CFA=60°．∵EF=FG，∠EFA=60°，∴△EFG是等边三角形，∴EF=EG．∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，∴∠AEG=∠CEF，在△AGE和△CFE中，∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△CFE（SAS），∴AG=CF．∵AF=AG+FG，∴AF=CF+EF，④正确；∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，∴FE≠FD，③错误，∴正确的结论有3个．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．13．如图，已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②连结AC、BC；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④在射线AM上截取AB＝a；以上画法正确的顺序是（）A．①②③④B．①④③②C．①④②③D．②①④③【答案】B【解析】【分析】根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.【详解】解：已知一条线段的长度为a，作边长为a的等边三角形的方法是：①画射线AM；②在射线AM上截取AB＝a；③分别以A、B为圆心，以a的长为半径作圆弧，两弧交于点C；④连结AC、BC．△ABC即为所求作的三角形．故选答案为B．本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.的正方形网格中，A，B是如图所示的两个格点，如果C也是格点，且14．在一个33ABC是等腰三角形，则符合条件的C点的个数是（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】【分析】根据题意、结合图形，画出图形即可确定答案.【详解】解：根据题意，画出图形如图：共8个.故答案为C.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意、画出符合实际条件的图形是解答本题的关键.15．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC 于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是( )A．AD＝BE B．BE⊥ACC．△CFG为等边三角形D．FG∥BC【答案】B试题解析：A.ABC 和CDE △均为等边三角形，60AC BC EC DC ACB ECD ∴==∠=∠=︒，，，在ACD 与BCE 中，{AC BCACD BCE CD CF =∠=∠=，ACD BCE ∴≌，AD BE ∴=，正确.B .据已知不能推出F 是AC 中点，即AC 和BF 不垂直，所以AC BE ⊥错误，故本选项符合题意.C.CFG 是等边三角形，理由如下：180606060ACG BCA ∠=︒-︒-︒=︒=∠，ACD BCE ≌，CBE CAD ∴∠=∠，在ACG 和BCF 中，{CAG CBFAC BCBCF ACG ∠=∠=∠=∠，ACG BCF ∴≌，CG CH ∴=，又∵∠ACG=60° CFG ∴是等边三角形，正确.D.CFG 是等边三角形，60CFG ACB ∴∠︒=∠﹦，.FG BC ∴ 正确.故选B.16．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ,若△ABC 的周长为24，CE ＝4，则△ABD 的周长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．24【答案】A【解析】根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行解答即可.【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB=DC，BC=2CE=8又∵AABC的周长为24，∴AB+BC+AC=24∴AB+AC=24-BC=24-8=16∴△ABD的周长=AD+BD+AB=AD+CD+AB=AB+AC=16，故答案为A【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，理解并应用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.17．如图，已知等边△ABC的边长为4，面积为43，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为（）A．3 B．2C．3D．3【答案】C【解析】【分析】由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC＝2，连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，∵点E是边BC的中点，∴AE⊥BC，∴PE+PC22-=4223AC E C-22故选C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．18．如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且速度都为1cm/s，连接AQ、CP交于点M，下面四个结论:①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有几个 ( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】①等边三角形ABC中，AB=BC，而AP=BQ，所以BP=CQ．②根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；③由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠CMQ=60°；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，因为∠B=60°，所以PB=2BQ，即4-t=2t故可得出t的值，当∠BPQ=90°时，同理可得BQ=2BP，即t=2（4-t），由此两种情况即可得出结论．【详解】①在等边△ABC中，AB=BC．∵点P、Q的速度都为1cm/s，∴AP=BQ，∴BP=CQ．只有当CM=CQ时，BP=CM．故①错误；②∵△ABC是等边三角形∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，在△ABQ与△CAP中，∵AB CAABQ CAP AP BQ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABQ≌△CAP（SAS）．故②正确；③点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，∴∠CMQ=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．故③正确；④设时间为t秒，则AP=BQ=tcm，PB=（4-t）cm，当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，即4-t=2t，t=43，当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（4-t），t=83，∴当第43秒或第83秒时，△PBQ为直角三角形．故④正确．正确的是②③④，故选C．【点睛】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．19．如图，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD 交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．其中正确结论的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4【解析】【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，即可得出正确选项．【详解】（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°．在△BCD和△ACE中，∵AC BCBCD ACECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，故结论①正确；（2）∵△BCD≌△ECA，∴∠GAC=∠FBC．又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，故结论②正确；（3）∵△ACG≌△BCF，∴CG=CF．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴△FCG为等边三角形，∴∠FGC=60°，∴∠FGC=∠DCE，∴FG∥BE，故结论③正确；（4）过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，则∠CNE=∠CZD=90°．∵△ACE≌△BCD，∴∠CDZ=∠CEN．在△CDZ和△CEN中，CZD CNECDZ CENCD CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ=CN．∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．综上所述：四个结论均正确．故选D．【点睛】本题综合考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等重要几何知识点，有一定难度，需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用．20．如图，在ABC△中，2B C∠=∠，AH BC⊥，AE平分BAC∠，M是BC中点，则下列结论正确的个数为（）（1）AB BE AC+=（2）2AB BH BC+=（3）2AB HM=（4）CH EH AC+=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】（1）延长AB取BD=BE，连接DE，由∠D=∠BED，2ABC C∠=∠，得到∠D=∠C，在△ADE和△ACE中，利用AAS证明ADE ACE≌，可得AC=AD=AB+BE；（2）在HC上截取HF=BH,连接AF，可知△ABF为等腰三角形，再根据2ABC AFB C∠=∠=∠，可得出△AFC为等腰三角形，所以FC+BH+HF=AB+2BH=BC；（3）HM=BM-BH，所以2HM=2BM-2BH=BC-2BH，再结合（2）中结论，可得2AB HM=；（4）结合（1）（2）的结论，BC2BH BE BC BH BE BH CH EHAC AB BE=+=-+=-+-=+.【详解】解：①延长AB取BD=BE，连接DE，∴∠D=∠BED，∠ABC=∠D+∠BED=2∠D,∵2ABC C∠=∠，∴∠D=∠C，在△ADE和△ACE中，DAE CAED CAE AE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADE ACE≌∴AC=AD=AB+BE，故（1）正确；②在HC上截取HF=BH,连接AF，∵AH BC⊥，∴△ABF为等腰三角形，∴AB=AF，∠ABF=∠AFB，∵2ABC C∠=∠，∴∠AFB=2∠C=∠C+∠CAF，∴FC=AF=AB，∴FC+BH+HF=AB+2BH=BC，故（2）正确；③∵HM=BM-BH ，∴2HM=2BM-2BH=BC-2BH ，由②可知BC-2BH=AB ，∴2AB HM =④根据①②结论，可得:BC 2BH BE BC BH BE BH CH EH AC AB BE =+=-+=-+-=+，故（4）正确；故选D.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的外角以及全等三角形的判定和性质，结合实际问题作出合适辅助线是解题关键.。