数学八年级上册 全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，ABC 中，ABC=45∠︒，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论：BF=AC ①；A=67.5∠︒②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有__________（填序号）．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
只要证明△BDF ≌△CDA ，△BAC 是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM ⊥BD 于M ，只要证明GH ＜DG 即可判断④错误．
【详解】
解：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A ＋∠ABE=90°，∠ABE ＋∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB ，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC ，
∴BD=DC ，
在△BDF 和△CDA 中，
∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=CD ，
∴△BDF ≌△CDA （AAS ），
∴BF=AC ，故①正确．
∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE ⊥AC ，
∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确，
∵BE 平分∠ABC ，∠ABC=45°，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵∠BDF=∠BHG=90°，
∴∠BGH=∠BFD=67.5°，
∴∠DGF=∠DFG=67.5°，
∴DG=DF ，故③正确．
作GM ⊥AB 于M ．如图所示：
∵∠GBM=∠GBH ，GH ⊥BC ，
∴GH=GM ＜DG ，
∴S △DGB ＞S △GHB ，
∵S △ABE =S △BCE ，
∴S 四边形ADGE ＜S 四边形GHCE ．故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】
此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
2．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，
92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．
【答案】128︒
【解析】
【分析】
连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，
ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则
∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．
【详解】
连接CE ，
∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，
∴CA=CB ，CE=CD ，
∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，
∴∠ACB=∠ECD=36°，
∴∠ACE=∠BCD，
在∆ACE与∆BCD中，
∵
CA CB
ACE BCD
CE CD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴∆ACE≅∆BCD（SAS），
∴∠AEC=∠BDC，
设∠AEC=∠BDC=x，则∠BDE=72°
-x，∠CEB=92°-x，
∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x）=x-20°，
∴在∆BDE中，∠EBD=180°-（72°-x）-（x-20°）=128°．
故答案是：128︒．
【点睛】
本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
3．如图，在四边形ABCD中，AB AD
=，BC DC
=，60
A
∠=︒，点E为AD边上一点，连接BD.CE，CE与BD交于点F，且CE AB
∥，若8
AB=，6
CE=，则BC的长为_______________.
【答案】7
【解析】
【分析】
由AB AD =，BC DC =知点A,C 都在BD 的垂直平分线上，因此，可连接AC 交BD 于点O ，易证ABD △是等边三角形，EDF 是等边三角形，根据等边三角形的性质对三角形中的线段进行等量转换即可求出OB,OC 的长度，应用勾股定理可求解.
【详解】
解：如图，连接AC 交BD 于点O
∵AB AD =，BC DC =，60A ∠=︒，
∴AC 垂直平分BD ，ABD △是等边三角形
∴30BAO DAO ∠=∠=︒，8AB AD BD ===，4BO OD ==
∵CE AB ∥
∴30BAO ACE ∠=∠=︒，60CED BAD ∠=∠=︒
∴30DAO ACE ∠=∠=︒
∴6AE CE ==
∴2DE AD AE =-= ∵60CED ADB ∠=∠=︒
∴EDF 是等边三角形
∴2DE EF DF ===
∴4CF CE EF =-=，2OF OD DF =-=
∴2223OC CF OF =-=
∴2227BC BO OC +=【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用等边三角形的判定与性质进行线段间等量关系的转换是解题的关键.
4．如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，D 为BC 中点，E 为AC 边上一动点，连接DE ，以DE 为边并在DE 的右侧作等边DEF ∆，连接BF ，则BF 的最小值为______.
