第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛七年级A卷复赛(含答案)

世界少年奥林匹克数学竞赛选拔赛 2013-2014 决赛试卷 七年级 （本试卷共4页，共18小题，满分150分，考试用时90分钟） 项目 第一大题 第二大题 第三大题 总分 核分人 得分 评卷人 1. 计算：）（201213121+⋅⋅⋅++）（2011131211+⋅⋅⋅+++ -）（2012131211+⋅⋅⋅+++）（201113121+⋅⋅⋅++= 。

2. 比较两数大小：已知A=199991999922221111++，B=199991999933332222++,A_______B 。

3. 已知x ，y ，z 均是非负实数，且满足x+3y+2z=3,3x+3y+z=4，则 3x-2y+4z 的最大值为________，最小值为__________。

4. 已知x x 5)2(3=+与)(65)(34x a x x a x --=--有同解,=a 。

5. 已知3-<x ，化简x +-+123= 。

6. 若3+-y x 与⋅-+1999y x 互为相反数，则y x y x -+2= 。

城市：学校：姓名：准考证号：………………………………………密…………………封…………………线……………………………………………7. )1]()1([23---x x x 展开后，2x 项的系数是 。

8. 代数式25323)32()7468--+-x x x x （的展开式中各项系数的和为_________。

9. 甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别为29,23,21和17。

这四人中最大年龄与最小年龄的差是 。

10. 已知n b m a 2,3==，则=+-+nb a b a 522 。

二、选择题（每小题10分，共60分）11. 若0≠abc ，则c c b b a a ++的所有可能值是 （ ）。

A.0,±1 B.±1,±2 C.±1, ±3 D.±2, ±312. 在一次奥数竞赛中共有40道题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分。

赛（中国区）选拔赛第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1.每位考生将获得考卷一份。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2.本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。

3.请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4.若计算结果是分数，请化至最简。

八年级地方晋级赛复赛B 卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数123++=x x y 的自变量的取值范围是（）A ．x ≥－2B ．x ＞－1C ．x ≠－1D ．x ≥－2且x ≠－12．如图，四边形ABCD 、APQR 是两个全等的正方形，CD 与PQ 相交于点E ，若∠BAP =20°，则∠PEC 等于（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°第2题图第4题图3．已知1)1(12=--x x ，则x 的值为（）A ．±1B ．－1、2C ．1、2D ．0、－14．大明因急事在运行中的自动扶梯上行走去二楼，图中线段OA 、OB 分别大致表示大明在运行中的自动扶梯上行走去二楼和静止站在运行中的自动扶梯上去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间之间的关系．下面四个图中，虚线OC 能大致表示大明在停止运行（即静止）的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的是（）A ．B ．C ．D ．5．若关于x 的分式方程q p x n m x =--2有解，则必须满足条件（）A ．m≠nB ．m≠－nC ．N p≠－m qD ．p≠－q ，m≠n6．如图，在△ABC 中，有一点P 在AC 边上移动，若AB =AC =5，BC =6，则AP +BP +CP 的最小值为（）A ．8B ．8.8C ．9.8D ．107．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（）赛（中国区）选拔赛A ．40B ．25C ．26D ．36第6题图第7题图第8题图第10题图8．如图，点P 、Q 是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，连接AQ 、CP 交于点M ，则在P 、Q 运动的过程中，当△PBQ 为直角三角形时，运动时间为（）A ．34秒B ．25秒或38秒C ．25秒D ．34秒或38秒9．有一种近似半圆球形状的隔热钢碗，每个钢碗的内部半径都是5厘米，厚度都是均匀的0.5厘米，如图①所示，常见钢碗叠放的方式如图②所示．某学校食堂现在要设计一批柜子存放这样的碗，如果要确保每个柜子的正面每竖条都放6个碗，如图③所示，那么柜子的内部高度至少是（）A ．16厘米B ．17厘米C ．18厘米D ．19厘米图①图②图③10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的坐标为（）A ．（25，25）B ．（3，3）C ．（47，47）D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．若整数m 满足条件2)1( m =m +1且m ＜21，则m 的值是____________．12．若实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，且a ＜b ＜c ，则一次函数y =ax +c 的图象不可能经过第_______象限．13．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2＝－1，这个数i 叫做虚数单位．那么i 1=i ，i 2=－1，i 3=－i ，i 4=1，i 5=i ，i 6=－1…，那么i 2015＝_____________．14．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC =78°，过C 点作CF ∥AB ，连接AF 与BC 相交于点G ，若GF =2AC ，则∠BAG =_____________．15．已知ax +by =3，a y －bx =5，则（a 2+b 2）（x 2+y 2）的值为_____________．赛（中国区）选拔赛16．如图，∠AOB =30°，点M 、N 分别是射线OA、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP =6，当△PMN 的周长取最小值时，则PM 的长为_____________．三、解答题（共5小题，共50分）17．已知a =2+1，b =2－1，求ab －（a bb a ）的值．（8分）18．求证：817－279－913能被45整除．（9分）19．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，点H 在AB 上，且∠EHF =90°，求证：CH ⊥AB ．（10分）赛（中国区）选拔赛20．受地震的影响，某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋1200斤．超市决定从甲、乙两大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出800斤，乙养殖场每天最多可调出900斤，从两养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费如表：到超市的路程（千米）运费（元/斤•千米）甲养殖场2000.012乙养殖场1400.015（1）若某天调运鸡蛋的总运费为2670元,则从甲、乙两养殖场各调运了多少斤鸡蛋？（5分）（2）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，总运费为W 元，试写出W 与x 的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？（5分）21．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y =32x +4分别交x 、y 轴于B 、A 两点，将△AOB沿直线l 2：y =2x －29折叠，使点B 落在点C 处．（1）点C 的坐标为______________；（3分）（2）若点D 沿射线BA 运动，连接OD ，当△CDB 与△CDO 面积相等时，求直线OD 的解析式；（4分）（3）在（2）的条件下，当点D 在第一象限时，沿x 轴平移直线OD ，分别交x ，y 轴于点E ，F ，在平面直角坐标系中，是否存在点M （m ，3）和点P ，使四边形EFMP 为正方形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（6分）备用图赛（中国区）选拔赛八年级B 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.C2.C3.B4.B5.D6.C7.B8.D9.B 10.D5.由分式方程q p x n m x =--22解得x =q p mq np 22++，由原分式方程有解，得n －2x =q p mqnp nq np +--+≠0．解得m ≠n ，p =－q ．6.AP +BP +CP =BP +AC ，当BP ⊥AC时，AP +BP +CP 的值最小，作AD ⊥BC ，AD =43522=-，S △ABC =22BP AC AD BC ⨯=⨯=25246BP=⨯，∴BP =4.8，即AP +BP +CP 的最小值为5+4.8=9.8．7.设小正方形的边长为a ，大正方形的边长为b ，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab +a （b －a ）=24①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得（b －a ）2=1a 2－3②，将①②联立解方程组可得：a =4，b =5，∴大正方形的边长为5，∴面积是25．8.设时间为t 秒，则AP =BQ =t cm ，PB =（4－t ）cm ，当∠PQB =90°时，∵∠B =60°，∴PB =2BQ ，即4－t =2t ，t =34，当∠BPQ =90°时，∵∠B =60°，∴BQ =2BP ，得t =2（4－t ），t =38，∴当第34秒或第38秒时，△PBQ 为直角三角形．9.如图，CO 2=5，CO 1=5.5，则O 1O 2=25.555.522=-，六个碗叠放的总高度是5×25.5+5.5=25.131+5.5，∵112=121，11.52=132.25，则112＜131.25＜11.52，11＜25.131＜11.5，∴16.5＜25.131+5.5＜17，因此高度至少是17厘米．10.过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ，∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°，∴∠MCP =∠DPN ，∵P （1，1），∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠PD,PC DPN MCP DNP CMP ，，∴△MCP ≌△NPD （AAS ），∴DN =PM ，PN =CM ，∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P （1，1），∴BN =2a －1，则2a －1=1，a =1，即BD =2．∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =5，在Rt △MCP 中，由勾股定理得：CM =2，则C 的坐标是（0，3），设直线CD 的解析式是y =kx +3，把D （3，2）代入得：k =－1，即直线CD 的解析式是y =－1x +3，赛（中国区）选拔赛即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ，即Q 的坐标是（9，9）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.0或－112.三13.－i 14.26°15.3416.311.∵2)1(+m =m +1，∴m +1≥0，即m ≥－1，又∵m ＜21＜1，∴－1≤m ＜1且为整数，∴m =0或－1．12.∵实数a 、b 、c 满足a +b +c =0，且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴一次函数y =ax +c 的图象经过第一、二、四象限，不可能经过第三象限．13.根据题意得：i 2015=i 2014•i ＝（i 2）1007•i ＝－i ．14.如图，取FG 的中点E ，连接EC ．∵FC ∥AB ，∴∠GCF =90°，∴EC =21FG =AC ，∴∠EAC =∠AEC =∠F +∠ECF =2∠F ，设∠BAG =x ，则∠F =x ，∵∠BAC =78°，∴x +2x =78°，∴x =26°，∴∠BAG =26°．15.由题意得，ax +by =3①，a y －bx =5②，①2得a 2x 2+b 2y 2+2abxy =9③，②2得a 2y 2+b 2x 2－2abxy =25④，③+④得a 2x 2+b 2y 2+a 2y 2+b 2x 2=34，a 2（x 2+y 2）+b 2（x 2+y 2）=34，∴(a 2+b 2)(x 2+y 2)=34．16.作点P 关于OA 的对称点P 1，关于OB 的对称点P 2，连P 1P 2与OA 交于点M 、与OB 交于点N ，连PM 、PN ，则此时△PMN 的周长可取最小值．∵∠AOB =30°，由对称性可知∠AOP 1=∠AOP ，∠BOP 2=∠BOP ，故∠P 1OP 2=2∠AOB =60°，又OP 1=OP =OP 2=6，∴△P 1OP 2为等边三角形．易证得△P 1OM ≌△POM 则MP 1=MP ，∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x ，则∠3=2x ，又OP 平分∠AOB ，则在等边△P 1OP 2中OP 也为角平分线，故OP ⊥P 1P 2，∴∠MPO =90°－2x ，∠OPP 1=75°，∴90°－2x +x =75°，解得x =15°，∴∠3=30°，在Rt △PMG 中，设PG =m ，则PM =2m ，MG =m 3，∴P 1P 2=4MG =4m 3，故4m 3=6，m =23，PM =3．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵a =2+1，b =2－1，∴ab =（2+1）（2－1）=1，a －b =2+1－2+1=2，∴ab －（a b b a -）=1－（a abb ab-）=1－（a b 11-）=1－（ab ba -）=1－（a －b ）=1－2=－1．18.证明：原式=914－99×39－913=328－327－326=326（32－3－1）=326×5=324×32×5=45×324．所以能被45整除．赛（中国区）选拔赛19.证明：∵点D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 的中点，∴DE ∥BC ，DF ∥CE ，∴四边形CEDF 是平行四边形．∵∠ACB =90°，∴四边形CEDF 是矩形，得OD =OC =OE =OF ．在Rt △EHF 中，OH =21EF =OE =OF ，∴OH =21CD =OC =OD ，∴在△CHD 中，∠CHO =∠OCH ，∠OHD =∠ODH ．∵∠CHO +∠OCH +∠OHD +∠ODH =180°，∴∠CHO +∠OHD =90°，即CH ⊥AB ．20.解：（1）设从甲养殖场调运鸡蛋x 斤，从乙养殖场调运鸡蛋y 斤，根据题意得：⎩⎨⎧=+=⨯+⨯,12002670015.0140012.0200y x y x ，解得：⎩⎨⎧==.700,500y x ∵500＜800，700＜900，∴符合条件．答：从甲、乙两养殖场各调运了500斤，700斤鸡蛋；（2）从甲养殖场调运了x 斤鸡蛋，从乙养殖场调运了（1200－x ）斤鸡蛋，根据题意得：⎩⎨⎧≤-≤,9001200,800x x 解得：300≤x ≤800，总运费W =200×0.012x +140×0.015×（1200－x ）=0.3x +2520，（300≤x ≤800），∵W 随x 的增大而增大，∴当x =300时，W 最小=2610元，∴每天从甲养殖场调运了300斤鸡蛋，从乙养殖场调运了900斤鸡蛋，每天的总运费最省．21.解：（1）（0，3）；（2）①点D 在第一象限时（如图①中点D 1），∵△CDB 与△CDO 面积相等，∴CD ∥OB ，∴点D 的纵坐标为3，当y =3时，－32×x +4=3，解得x =23，∴点D 的坐标为（23，3），∴直线OD 的解析式为y =2x ；②点D 在第二象限时（如图①中点D 2），AC =4－3=1，设点D 到y 轴的距离为a ，则S △CDB =S △ACD +S △ABC =21×1•a +21×1×6=21a +3，∵△CDB 与△CDO 面积相等，∴1a +3=1×3a ，解得a =3，∴点D 的横坐标为－3，当x =－3时，y =－2×（－3）+4=2+4=6，∴点D 的坐标为（－3，6），∴直线OD 的解析式为y =－2x ．赛（中国区）选拔赛（3）如图②，设OD 平移后的解析式为y =2x +b ，令y =0，则2x +b =0，解得x =－2b，令x =0，则y =b ，所以，OE =2b ，OF =b ，过点M 作MN ⊥y 轴于N ，过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，∵四边形EFMP 是正方形，∴易证△MNF ≌△FOE ≌△EQP ，∴MN =OF =EQ ，NF =OE =PQ ，∵M （m ，3），∴ON =b +2b=3，解得b =2，∴OE =1，OF =2，∴OQ =OE +QE =1+2=3，∴点M （－2，3），点P （－3，1），故存在点M （－2，3）和点P （－3，1），使四边形EFMP 为正方形．图①图②。

P 1 B ． C ．P 3 D ．P 4
第2题图 第3题图 第4题图
．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点CD 平分∠ACB ，且与=80°，=60°ADC 的度数为（ ⌒
BC 80° B ．D ．95°
．如图，△OAB 与△OCD 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠AD ＜tan α＜334
3
3，与直
第13题图 第14题图 第16题图
．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ．．正数m ，n 满足m +的值为　
42016
8
23
≈1.414，≈1.732）
备用图
、AB 、AD 三次反弹后整理得：x 2－2x +2=0，5，过D 作DE ⊥x 轴，∴无论k 取何
-=-=.1,
1y x 的图象的示意图如图，
轴的交点为B （+-n n =90°，=AD － 圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：
n
）－3=0，。

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2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。

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4. 若计算结果是分数，请化至最简。

九年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分） 1．252用科学记数法可以表示为（ ） A ．8×10-1B ．8×10-2C ．2.3×10-1D ．2.3×10-22．如图，O 为线段AB 的中点，AB =4cm ，P 1、P 2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、 2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ） A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4第2题图 第3题图 第4题图3．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点A ，CD 平分∠ACB ，且与l 交于点D ，若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC 的度数为（ ）A ．80°B ．85°C ．90°D ．95°4．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD =90°， CO =CD ．若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ）A ．（2，2）B ．（2，4）C ．（22，22）D ．（4，2）5．方程组⎩⎨⎧=+=+6||,12||y x y x 的解的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若等式23)3)(2(1-+-=---x bx a x x x （a 、b 为常数）成立，则a 、b 的值为（ ）A ．a =4，b =－3B ．a =2，b =－1C ．a =－1，b =1D ．a =－1，b =27．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ） A ．300 B ．405 C ．416 D ．450 8．如图，矩形台球桌ABCD ，其中A 、B 、C 、D 处有球洞，已知DE =4， CE =2，BC =36，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后回到E 点，则关于tan α的说法下列正确的是（ ）A ．3≤tan α＜323 B ．343＜tan α＜323 C ．tan α=3 D ．343＜tan α＜33 9．如图，已知反比例函数y =xk的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为4+25，AD =2，则△ACO 的面积为（ ） A ．41 B ．21C ．1D ．210．将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，直线l 2：y =2x +1和直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n －1 和直线l n +1：y =（n +1）x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a 2－5a －1=0，则5（1+2a ）－2a 2=___________．12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O ”记号，另外12张卡片作上“X ”记号．右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O ” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为_________．第13题图 第14题图 第16题图14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ． 15．正数m ，n 满足m +n m mn 424--+4n =3，则2016282++-+n m n m 的值为 ．16．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 在BC 边上运动，点G 是DE 的中点，EG 绕点E 顺 时针旋转90°得到EF ，当CE = 时，点A 、C 、F 在一条直线上．三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式：)1)(221()1)(31(22+--++y y y y ＞（8分）18．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分）19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的51，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm ，参考数据5≈2.236）（10分）20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ．（1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（5分）（2）若∠AOC =120°时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732） （5分）图① 图②21．已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2），点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左 侧）．（1）求此二次函数的表达式；（3分）（2）当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN 的长；（4分）（3）当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标．（6分）备用图九年级A 卷答案三、选择题（每小题4分，共40分）1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.C9.A 10.B5.当x ≥0，y ≤0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=-=+,6,12y x y x 解得⎩⎨⎧==;3,9y x 由于y ≤0，所以此种情况不成立；当x ≤0，y ≥0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=+=-,6,12y x x y 解得⎩⎨⎧=-=;9,3y x 当x ≥0，y ≥0时，⎩⎨⎧=+=+,6,12y x y x 无解；当x ≤0，y ≤0时，⎩⎨⎧=-=-,6,12y x x y 无解；因此只有一组解． 7.设巧克力和棒棒糖的数量分别为x ，y ，幸福值为W ，根据题意得：3x +2y ≤100，W =xy ，∴y =xW ， ∴3x +2x W ≤100，∴W ≤50x －23x 2=－23（x －350）2+31250，∵x ，y 为整数，∴x =16，y =26 时，W 最大=xy =416．8.如图，∵DE =4，CE =2，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后 回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等， ∴CF =211+BC =23，∴在Rt △CEF 中，tan α=CECF =3． 9.在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4， 由周长为4+25，得到AB +AO =25，设AB =x ，则AO =25－x ，根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（25－x ）2=42， 整理得：x 2－25x +2=0， 解得x 1=5+3，x 2=5－3，∴AB =5+3，OA =5－3，过D 作DE ⊥x 轴， 交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =21OA =21（5－3）（若OA =5+3， 求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得：DE =21（5+3），∴k =－DE •OE =－21（5+3）× 21（5－3）=－21，∴S △AOC =21|k |=41． 10.将y =nx +n －1和y =（n +1）x +n 联立得：⎩⎨⎧++=-+=,)1(,1n x n y n nx y 解得：⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ∴无论k 取何值，直线l n 和直线l n +1均交于定点（－1，－1），k ≠1时，l n 与l n+1的图象的示意图如图，∵y =nx +n －1与x 轴的交点为A （n n -1，0），y =（n +1）x +n 与x 轴的交点为B （1+-n n， 0），∴S n =S △ABC =21×|AB |×|－1|=21×|11|++-n nn n ×1=)1(21+n n ， 当n =1时，结论同样成立．∴W =S 1+S 2+S 3+…+S n =]11321211[21）（+++⨯+⨯⨯n n =21（1－21+21－31+…+111+-n n ）=21（1－11+n ）=121+⨯n n ．当n 越来越大时，1+n n 越来越接近与1． ∴121+⨯n n越来越接近于21，∴W 越来越接近于21．四、填空题（每小题5分，共30分）11.3 12.94 13.6 14.5π 15.20195- 16.3513.∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠BAD +∠CAD =90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE =90°，∴∠BAD =∠ACE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE =BD =4，AD =CE =10，∴DE =AD － AE =6．14.由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，圆心从O 到O 1的运动轨迹是一条直线，长度为41圆的周长，然后沿着弧O 1O 2旋转41圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：41×2π×5+ 41×2π×5=5π．15.∵m +4n m mn 42--+4n =3，∴m +4mn +4n －2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n ）2－2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n －3）（m +2n +1）=0，∴m +2n =3，m +2n ）=－1（不合题意，舍去），∴原式=2016383+-=20195-．16.过F 作FN ⊥BC ，交BC 延长线于N 点，连接AC ，∵∠DCE =∠ENF =90°，∠DEC +∠NEF =90°，∠NEF +∠EFN =90°， ∴∠DEC =∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ， ∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴DE :EF =2:1， ∴CE :FN =DE :EF =DC :NE =2:1，∴CE =2NF ，NE =21CD =25． ∵∠ACB =45°，∴当∠NCF =45°时，A 、C 、F 在一条直线上．则△CNF 是等腰直角三角形，∴CN =NF ，∴CE =2CN ， ∴CE =32NE =32×25=35．∴CE =35时，A 、C 、F 在一条直线上．五、解答题（共5小题，共50分）17.解：∵y 2+1＞0，则原不等式可化为1+3y ＞1－22-y ，解得y ＞1.2． 18.解：是的．证明如下：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数，∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只需p =x －2y ，q =x －y 即可．∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a =j 2+k 2，另一个为b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、 s 为任意给定的有理数，则ab =（j 2+k 2）（r 2+s 2）=（jr +ks ）2+（js －kr ）2是“世博数”．19.解一：设上、下边衬宽均为4x cm ，左、右边衬宽均为3x cm ，则（40－8x ）（30－6x ）=54×40×30．整理，得x 2－10x +5=0，解之得x =5±25，∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 解二：设中央矩形的长为4x cm ，宽为3x cm ，则4x ×3x =54×40×30，解得x 1=45，x 2= －45（舍去），∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15－65≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ．20.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ， 则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63，DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42．在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°，∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27，∴点P 在直线PC 上的位置上升了．21.解：（1）设抛物线的表达式为y =a （x －2）2．∵将（0，1）代入得：4a =1，解得a =41， ∴抛物线的解析式为y =41（x －2）2． （2）MN 的长不发生变化．理由如下：如图1所示，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BC 、CN ．设点C 的坐标为（a ，2)2(41-a ）．∵CH ⊥MN ，∴MH =HN ． ∵HN 2=CN 2－CH 2=CB 2－CH 2，∴HN 2=[2－2)2(41-a ]2+（a －2）2－[2)2(41-a ]2=4．∴HN =2．∴MN =4．∴MN 不发生变化．（3）①如图2所示，当点C 与点A 重合时．∵MN 经过点C ，∴MN 为圆C 的直径．∴MC =2． ∵点C （2，0），∴M （0，0）． ②如图3所示，∵△ABM ∽△ANB ，∴ABANAM AB =，即AB 2=AM •AN ． 设AM =a ，则4=a （a +4），解得：a 1=－2+22，a 2=－2－22（舍去）， 又∵点A （2，0），∴2+（－2+22）=22．∴点M 的坐标为（22，0）．③如图4所示，∵△ABN ∽△AMB ，∴AB 2=AN •AM ．设AM =a ，则4=a （a －4），解得：a 1=2+22，a 2=2－22（舍去）．又∵点A （2，0），∴2－（2+22）=－22．∴点M 的坐标为（－22，0）．。

WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简。

八年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．函数0)2(1--=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1且x ≠2 C ．x ≥0且x ≠2 D ．x ≥0且x ≠2且x ≠1 2．某车由甲地等速前往丁地，如图，过程是：自甲向东直行8分钟至乙后， 朝东偏南直行8分钟至丙，左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地 按原来的速度匀速向东直行可到达丁地，则此车程需要（ ）A ．19.5分钟B ．24分钟C ．25分钟D ．28分钟 3．如果等式（2x －3）x +3=1，则等式成立的x 的值的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．如右图，在一条笔直的小路上有一盏路灯，晚上小雷从点B 处径直走到点A 处再远离A 处 时，小雷在灯光照射下的影长y 与行走的路程x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，△ABC 内有一点P ，点D 、E 、F 分别是点P 关于AB 、BC 、AC 对称的点．若△ABC 的内角∠BAC =70°，∠ABC =60°，∠ACB =50°，则∠ADB +∠BEC +∠CF A 等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．480° 6．若实数x ，y 满足x －y +1=0且1＜y ＜2，化简1026234422+--+-+y x y y x 得（ ） A ．7 B ．2x +2y －7C ．11D ．9－4y7．如图，正三角形ABC 的三边表示三面镜子，BP =31AB =1，一束光线从点P 发射至BC 上R 点，且∠BPR =60°．光线依次经BC 反射，AC 反射，AB 反射…一直继续下去．当光线第一次回到点P 时，这束光线所经过的路线的总长为（ ） A ．6 B ．9C ．39D ．278．如图，在平行四边形ABCD 中，BC =2AB，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF =54°， 则∠B 的度数为（ ）A ．54°B ．60°C ．66°D ．72°第5题图 第7题图 第8题图9．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB =m ， PC =n ，AB =c ，AC =b ，则（m +n ）与（b +c ）的大小关系是（ ）A ．m +n ＞b +cB ．m +n ＜b +cC ．m +n =b +cD ．无法确定第9题图 第10题图10．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y =x 上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴，垂足为B ，直线AB 与直线y =x 交于点A ，且BD =2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y =x 交于点Q ，则点Q 的 坐标为（ ）A ．（25，25）B ．（3，3）C ．（47，47） D ．（49，49）二、填空题（每小题5分，共30分）11．已知a =6013，b =1315，则代数式(a +b )2－(a －b )2的值为____________． 12．如图，在△ABC 中，AB=4，AC =3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于点F ，交AB 于点G ，连接EF ，则线段EF 的长等于 ．13．若关于x 的方程0111=--+x ax 的解为正数，则a 的取值范围是_____________． 14．如图，点A （1，1），B （2，－3），点P 为x 轴上一点，当|P A －PB |最大时，点P 的坐 标为_____________．第12题图 第14题图 第16题图 15． 若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，a 、b 满足)2(2)3(b a b b a a -=-，则abb aba +-=_______．16．如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，D 为BC 上一点，BE ∥AC ，且DE ⊥AD ，若 BD =2，CD =4，则BE 的长为_______________．---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------三、解答题（共5小题，共50分）17．先化简，再求值：yx y xy x y x yx ++++--239，其中x =3，y =4．（8分）18．定义：如果一个数的平方等于－1，记为i 2=－1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫 做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似． 例如计算：（5+i ）×（3－4i ）=19－17i ． 试一试：请利用学过的有关知识将ii-+22化简成a +bi 的形式．（9分）19．如图，在平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，交AB 边于点E ，EF ∥BC ，交CD 于点F ，点G 是BC 边的中点，连接GF ，且∠1=∠2，CE 与GF 交于点M ，过点M 作MH ⊥CD 于点H ．求证：EM =FG +MH ．（10分）20．某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干，已知这两种粽子每个的进价相同，第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售，板栗馅粽子在进价的基础 上提价50%销售，当天全部售完，发现咸肉馅粽子销售了1200个，共获利3200元．（1）设这两种粽子的进价为每个a 元，求a 的值；（5分） （2）如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%，且按第一天的销售价格 销售，那么销售利润最多是多少元？（5分）21．在平面直角坐标系xOy 中，边长为6的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，直线y =mx +2与OC ，BC 两边分别相交于点D ，G ，以DG 为边作菱形DEFG ， 顶点E 在OA 边上．（1）如图①，当CG =OD 时，求直线DG 的函数表达式；（3分） （2）如图②，连接BF ，设CG =a ，△FBG 的面积为S ． ①求S 与a 的函数关系式；（4分）②判断S 的值能否等于等于1？若能，求此时m 的值，若不能，请说明理由．（6分）八年级A 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A 10.D 3.当x +3=0时，x =－3；当2x －3=1时，x =2；当x =1时，（2x －3）x +3=1．6.∵x －y +1=0，∴y =x +1，∵1＜y ＜2，∴1＜x +1＜2，∴0＜x ＜1， ∴1026234422+--+-+y x y y x=10)1(26)1(23)1(4422++--++-++x x x x x =96214422+-+++x x x x =22)3(2)12(-++x x =|2x +1|+2|x －3|=2x +1+2（3－x ） =7． 7.∵BP =31AB =1，∠BPR =60°，∴PR =1，根据等边三角形的性质可知当光 线第一次回到点P 时，光线经过的大致路线如图所示， ∴当第一次回到点P 时，这束光线所经过的路线的总长为---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------1+2+1+2+1+2=9．8.过F 作FG ∥AB ∥CD ，交BC 于G ．则四边形ABGF 是平行四边形，所以AF =BG ，即G 是BC 的中点；连接EG ，在Rt △BEC 中，EG 是斜边上的中线， 则BG =GE =FG =21BC ；∵AE ∥FG ，∴∠EFG =∠AEF =∠FEG =54°， ∴∠AEG =∠AEF +∠FEG =108°，∴∠B =∠BEG =180°－108°=72°．9.在BA 的延长线上取点E ，使AE =AC ，连接EP ，∵AD 是∠A 的外角平分线，∴∠CAD =∠EAD ，在△ACP 和△AEP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，AP AP EAD CAD AC AE ,，∴△ACP ≌△AEP （SAS ），∴PE =PC ，在△PBE 中，PB +PE ＞AB +AE ， ∵PB =m ，PC =n ，AB =c ，AC =b ，∴m +n ＞b +c ．10.过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ， ∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°， ∴∠MCP =∠DPN ，∵P （1，1），∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠P D ,PC DPN MCP DNP CMP ，，∴△MCP ≌△NPD （AAS ），∴DN =PM ，PN =CM ， ∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P （1，1），∴BN =2a －1，则2a －1=1，a =1，即BD =2． ∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =5，在Rt △MCP中，由勾股定理得：CM =2，则C 的坐标是（0，3），设直线CD 的解析式是y =kx +3，把D （3，2）代入得：k =－31，即直线CD 的解析式是y =－31x +3， 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ，即Q 的坐标是（49，49）．二、填空题（每小题5分，共30分）11.1 12.21 13.a ＜1且a ≠－1 14.(21,0) 15.512 16.213.解方程得x =a -12，∵原方程的解为正数，∴x ＞0，即a-12＞0，当x －1=0时，x =1，代入得a =－1．此为增根，∴a ≠－1，解得a ＜1且a ≠－1．14.作A 点关于x 轴的对称点A'，连BA'，交x 轴于点P ，此时|P A -PB |最大． 由A'（1，－1）、B （2，－3）可得直线BA'的解析式为y =－2x +1， 令y =0，则x =21，即点P 的坐标为(21,0) ． 15.∵)2(2)3(b a b b a a -=-，∴a －3ab =2ab －4b ，∴a －5ab +4b =0， ∴（b a 4-）（b a -）=0，而a ≠b ，故b a 4-=0，a =16b ，原式=5124416=+-b b b b ．16.连AE ，过A 点作AF ⊥BC 于点F ，过点E 作EG ⊥CB 的延长线于点G ，∵BD =2，CD =4， ∴BC =6，由题意得BF =CF =AF =3，DF =1，AB =23，∴在Rt △ADF 中AD =10．设GE =GB =x ，则BE =x 2，GD =x +2，ED 2=x 2+（x +2）2，AE 2=ED 2+AD 2=x 2+（x +2）2+10，又在Rt △ABE 中，AE 2=BE 2+AB 2=2x 2+（23）2= 2x 2+18，∴x 2+（x +2）2+10=2x 2+18，解得x =1，∴BE =2．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：原式=yx y x y x 3)3)(3(-+-+yx y x ++2)(=x +3y +x +y=2x +4y ，当x =3，y =4时，原式=23+44=23+8．18.解：i i i i i i i i i i 5453543444)2)(2()2(22222+=+=-++=+-+=-+． 19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ECF ，∵EF ∥BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，∵CE 平分∠BCD ，∴∠BCE =∠ECF ， ∴∠BCE =∠1，∴BC =BE ，∴四边形BCFE 是菱形．∵∠1=∠ECF ，∠1=∠2，∴∠ECF =∠2，∴CM =FM ，又∵MH ⊥CD ，连接BF 交CE 于点O ，∵G 是BC 中点， ∴CG =21CB ，∵CH =21CF ，∴CG =CH ，在△CGM 和△CHM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，CH CG HCM GCM CM CM , ∴△CGM ≌△CHM （SAS ），∴∠CGM =∠CHM =90°，即FG ⊥BC ，∴CF =BF ，∵BC =CF ，∴BC =CF =BF ，∴△BCF 是等边三角形， ∴∠BFC =60°，∴∠2=∠BFG =30°，∵BF ⊥CE ， ∴OM =MH ，∵OE =OC =FG ，∴EM =FG +MH ． 20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a 元，则1.5a ×aa12004000-+1200×2a －4000=3200，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------解得：a =2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元，则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000 个，设利润为W 元，销售板栗粽子x 个，咸肉馅棕售价4元/个，板栗粽售价3元/个，根 据题意得：W =4（2000－x ）+3x －400=－x +4000，∵2000－x ≤60%x ，∴x ≥1250，∵－1＜ 0，∴W 随x 的增大而减小，∴当x =1250时，W 最大，最大值为W =－1250+4000=2750． 21.解：（1）∵将x =0代入y =mx +2得；y =2，∴点D 的坐标为（0，2）．∵CG =OD =2，∴点G 的坐标为（2，6），将点G （2，6）代入y =mx +2得：2m +2=6． 解得：m =2．∴直线DG 的函数表达式为y =2x +2． （2）①如图所示：过点F 作FH ⊥BC ，垂足为H ，延长FG 交y 轴于点N ． ∵四边形DEFG 为菱形，∴GF =DE ，GF ∥DE ．∴∠GNC =∠EDO ． ∴∠NGC =∠DEO ．∴∠HGF =∠DEO ．∴Rt △GHF ≌Rt △EOD ． ∴FH =DO =2．∴S △GBF =21GB ·HF ==21×2×（6－a ）=6－a ，∴S 与a 之 间的函数关系式为：S =6－a ．②当s =1时，则6－a =1，解得：a =5．∴点G 的坐标为（5，6）． 在△DCG 中，由勾股定理可知DG =41542222=+=+CG CD ． ∵四边形GDEF 是菱形，∴DE =DG =41．在Rt △DOE 中，由勾股定理可知 OE =44122-=-OD DE =37＞6．∴OE ＞OA ，∴点E 不在OA 上，∴S ≠1．图① 图②。

第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛：八年级地方晋级赛复赛A 卷 --------------------------------------------------------------------------------- 考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。

考试期间,不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分,选择题每小题4分,填空题每小题5分,解答题共5小题,共 50分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时,考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数,请化至最简。

八年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分,共40分） 1．函数0)2(1--=x x y 的自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥0 B ．x ≠1且x ≠2 C ．x ≥0且x ≠2 D ．x ≥0且x ≠2且x ≠12．某车由甲地等速前往丁地,如图,过程是：自甲向东直行8分钟至乙后, 朝东偏南直行8分钟至丙,左转90°直行15分钟至丁．若此车由甲地 按原来的速度匀速向东直行可到达丁地,则此车程需要（ ） A ．19.5分钟B ．24分钟C ．25分钟D ．28分钟3．如果等式（2x －3）x +3=1,则等式成立的x 的值的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如右图,在一条笔直的小路上有一盏路灯,晚上小雷从点B 处径直走到点A 处再远离A 处时,小雷在灯光照射下的影长y 与行走的路程x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图,△ABC 内有一点P ,点D 、E 、F 分别是点P 关于AB 、BC 、AC 对称的点．若△ABC的内角∠BAC =70°,∠ABC =60°,∠ACB =50°,则∠ADB +∠BEC +∠CF A 等于（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．480°6．若实数x ,y 满足x －y +1=0且1＜y ＜2,化简1026234422+--+-+y x y y x 得（ ） A ．7B ．2x +2y －7C ．11D ．9－4y7．如图,正三角形ABC 的三边表示三面镜子,BP =31AB =1,一束光线从点P 发射至BC 上R点,且∠BPR =60°．光线依次经BC 反射,AC 反射,AB 反射…一直继续下去．当光线第 一次回到点P 时,这束光线所经过的路线的总长为（ ） A ．6B ．9C ．39D ．278．如图,在平行四边形ABCD 中,BC =2AB ,CE ⊥AB 于E ,F 为AD 的中点,若∠AEF =54°, 则∠B 的度数为（ ）A ．54°B ．60°C ．66°D ．72°第5题图 第7题图 第8题图 9．如图,在△ABC 中,AD 是∠A 的外角平分线,P 是AD 上异于A 的任意一点,设PB =m , PC =n ,AB =c ,AC =b ,则（m +n ）与（b +c ）的大小关系是（ ）A ．m +n ＞b +cB ．m +n ＜b +cC ．m +n =b +cD ．无法确定第9题图 第10题图10．如图,在平面直角坐标系中,已知直线y =x 上一点P （1,1）,C 为y 轴上一点,连接PC ,线段PC 绕点P 顺时针旋转90°至线段PD ,过点D 作直线AB ⊥x 轴,垂足为B ,直线AB 与直线y =x 交于点A ,且BD =2AD ,连接CD ,直线CD 与直线y =x 交于点Q ,则点Q 的 坐标为（ ） A ．（25,25） B ．（3,3） C ．（47,47） D ．（49,49）二、填空题（每小题5分,共30分） 11．已知a =6013,b =1315,则代数式(a +b )2－(a －b )2的值为____________． 12．如图,在△ABC 中,AB =4,AC =3,AD 、AE 分别是其角平分线和中线,过点C 作CG ⊥AD 于点F ,交AB 于点G ,连接EF ,则线段EF 的长等于 ． 13．若关于x 的方程0111=--+x ax 的解为正数,则a 的取值范围是_____________． 14．如图,点A （1,1）,B （2,－3）,点P 为x 轴上一点,当|P A －PB |最大时,点P 的坐 标为_____________．第12题图 第14题图 第16题图 15． 若a ＞0,b ＞0,且a ≠b ,a 、b 满足)2(2)3(b a b b a a -=-,则abb aba +-=_______．16．如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC ,D 为BC 上一点,BE ∥AC ,且DE ⊥AD ,若 BD =2,CD =4,则BE 的长为_______________．三、解答题（共5小题,共50分） 17．先化简,再求值：y x y xy x y x yx ++++--239,其中x =3,y =4．（8分）18．定义：如果一个数的平方等于－1,记为i 2=－1,这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数,表示为a +bi （a ,b 为实数）,a 叫这个复数的实部,b 叫 做这个复数的虚部,它的加,减,乘法运算与整式的加,减,乘法运算类似． 例如计算：（5+i ）×（3－4i ）=19－17i ． 试一试：请利用学过的有关知识将ii-+22化简成a +bi 的形式．（9分）19．如图,在平行四边形ABCD 中,CE 平分∠BCD ,交AB 边于点E ,EF ∥BC ,交CD 于点F ,点G 是BC 边的中点,连接GF ,且∠1=∠2,CE 与GF 交于点M ,过点M 作MH ⊥CD 于点H ．求证：EM =FG +MH ．（10分）20．某超市在端午节前两天每天都花4000元购进咸肉馅和板栗馅粽子若干,已知这两种粽子每个的进价相同,第一天超市将咸肉馅粽子按进价的2倍销售,板栗馅粽子在进价的基础上提价50%销售,当天全部售完,发现咸肉馅粽子销售了1200个,共获利3200元． （1）设这两种粽子的进价为每个a 元,求a 的值；（5分）（2）如果要求咸肉馅粽子的数量不能超过板栗馅粽子数量的60%,且按第一天的销售价格销售,那么销售利润最多是多少元？（5分）21．在平面直角坐标系xOy中,边长为6的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,直线y=mx+2与OC,BC两边分别相交于点D,G,以DG为边作菱形DEFG, 顶点E在OA边上．（1）如图①,当CG=OD时,求直线DG的函数表达式；（3分）（2）如图②,连接BF,设CG=a,△FBG的面积为S．①求S与a的函数关系式；（4分）②判断S的值能否等于等于1？若能,求此时m的值,若不能,请说明理由．（6分）图①图②八年级A卷答案一、选择题（每小题4分,共40分）1.D2.C3.C4.A5.C6.A7.B8.D9.A 10.D3.当x+3=0时,x=－3；当2x－3=1时,x=2；当x=1时,（2x－3）x+3=1．6.∵x－y+1=0,∴y=x+1,∵1＜y＜2,∴1＜x+1＜2,∴0＜x＜1,∴1026234422+--+-+yxyyx=10)1(26)1(23)1(4422++--++-++xxxxx=96214422+-+++xxxx=22)3(2)12(-++xx=|2x+1|+2|x－3|=2x+1+2（3－x）=7．7.∵BP=31AB=1,∠BPR=60°,∴PR=1,根据等边三角形的性质可知当光线第一次回到点P时,光线经过的大致路线如图所示,∴当第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为1+2+1+2+1+2=9．8.过F作FG∥AB∥CD,交BC于G．则四边形ABGF是平行四边形,所以AF=BG,即G是BC的中点；连接EG,在Rt△BEC中,EG是斜边上的中线,则BG=GE=FG=21BC；∵AE∥FG,∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°,∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°,∴∠B=∠BEG=180°－108°=72°．9.在BA的延长线上取点E,使AE=AC,连接EP,∵AD是∠A的外角平分线,∴∠CAD=∠EAD,在△ACP和△AEP中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，APAPEADCADACAE,,∴△ACP≌△AEP（SAS）,∴PE=PC,在△PBE中,PB+PE＞AB+AE,∵PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,∴m+n＞b+c．10.过P作MN⊥y轴,交y轴于M,交AB于N,过D作DH⊥y轴,交y轴于H,∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°,∴∠MCP+∠CPM=90°,∠MPC+∠DPN=90°,∴∠MCP=∠DPN,∵P（1,1）,∴OM=BN=1,PM=1,在△MCP和△NPD中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠PD,PCDPNMCPDNPCMP，，∴△MCP≌△NPD（AAS）,∴DN=PM,PN=CM,∵BD=2AD,∴设AD=a,BD=2a,∵P（1,1）,∴BN=2a－1,则2a－1=1,a=1,即BD=2．∵直线y=x,∴AB=OB=3,在Rt△DNP中,由勾股定理得：PC=PD=5,在Rt△MCP中,由勾股定理得：CM=2,则C的坐标是（0,3）,设直线CD的解析式是y=kx+3,把D （3,2）代入得：k =－31,即直线CD 的解析式是y =－31x +3, 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,331x y x y 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.49,49y x ,即Q 的坐标是（49,49）．二、填空题（每小题5分,共30分）11.1 12.21 13.a ＜1且a ≠－1 14.(21,0) 15.512 16.213.解方程得x =a -12,∵原方程的解为正数,∴x ＞0,即a-12＞0,当x －1=0时,x =1,代入得a =－1．此为增根,∴a ≠－1,解得a ＜1且a ≠－1．14.作A 点关于x 轴的对称点A',连BA',交x 轴于点P ,此时|P A -PB |最大． 由A'（1,－1）、B （2,－3）可得直线BA'的解析式为y =－2x +1,令y =0,则x =21,即点P 的坐标为(21,0) ． 15.∵)2(2)3(b a b b a a -=-,∴a －3ab =2ab －4b ,∴a －5ab +4b =0,∴（b a 4-）（b a -）=0,而a ≠b ,故b a 4-=0,a =16b ,原式=5124416=+-b b b b ． 16.连AE ,过A 点作AF ⊥BC 于点F ,过点E 作EG ⊥CB 的延长线于点G ,∵BD =2,CD =4, ∴BC =6,由题意得BF =CF =AF =3,DF =1,AB =23,∴在Rt △ADF 中AD =10．设 GE =GB =x ,则BE =x 2,GD =x +2,ED 2=x 2+（x +2）2,AE 2=ED 2+AD 2= x 2+（x +2）2+10,又在Rt △ABE 中,AE 2=BE 2+AB 2=2x 2+（23）2= 2x 2+18,∴x 2+（x +2）2+10=2x 2+18,解得x =1,∴BE =2．三、解答题（共5小题,共50分）17.解：原式=yx y x y x 3)3)(3(-+-+yx y x ++2)(=x +3y +x +y=2x +4y ,当x =3,y =4时,原式=23+44=23+8．18.解：i i i i i i i i i i 5453543444)2)(2()2(22222+=+=-++=+-+=-+． 19.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD ,∴∠1=∠ECF ,∵EF ∥BC ,∴四边形BCFE 是平行四边形,∵CE 平分∠BCD ,∴∠BCE =∠ECF , ∴∠BCE =∠1,∴BC =BE ,∴四边形BCFE 是菱形．∵∠1=∠ECF ,∠1=∠2,∴∠ECF =∠2,∴CM =FM ,又∵MH ⊥CD ,连接BF 交CE 于点O ,∵G 是BC 中点,∴CG =21CB ,∵CH =21CF ,∴CG =CH ,在△CGM 和△CHM 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，CH CG HCM GCM CM CM , ∴△CGM ≌△CHM （SAS ）,∴∠CGM =∠CHM =90°,即FG ⊥BC ,∴CF =BF ,∵BC =CF ,∴BC =CF =BF ,∴△BCF 是等边三角形, ∴∠BFC =60°,∴∠2=∠BFG =30°,∵BF ⊥CE , ∴OM =MH ,∵OE =OC =FG ,∴EM =FG +MH ． 20.解：（1）设这两种粽子的进价为每个a 元,则1.5a ×aa12004000-+1200×2a －4000=3200,解得：a =2．（2）由（1）知粽子的进价为每个2元,则前两天购进咸肉馅和板栗馅粽子4000÷2=2000 个,设利润为W 元,销售板栗粽子x 个,咸肉馅棕售价4元/个,板栗粽售价3元/个,根 据题意得：W =4（2000－x ）+3x －400=－x +4000,∵2000－x ≤60%x ,∴x ≥1250,∵－1＜ 0,∴W 随x 的增大而减小,∴当x =1250时,W 最大,最大值为W =－1250+4000=2750． 21.解：（1）∵将x =0代入y =mx +2得；y =2,∴点D 的坐标为（0,2）．∵CG =OD =2,∴点G 的坐标为（2,6）,将点G （2,6）代入y =mx +2得：2m +2=6． 解得：m =2．∴直线DG 的函数表达式为y =2x +2．（2）①如图所示：过点F 作FH ⊥BC ,垂足为H ,延长FG 交y 轴于点N ． ∵四边形DEFG 为菱形,∴GF =DE ,GF ∥DE ．∴∠GNC =∠EDO ． ∴∠NGC =∠DEO ．∴∠HGF =∠DEO ．∴Rt △GHF ≌Rt △EOD ． ∴FH =DO =2．∴S △GBF =21GB ·HF ==21×2×（6－a ）=6－a ,∴S 与a 之 间的函数关系式为：S =6－a ．②当s =1时,则6－a =1,解得：a =5．∴点G 的坐标为（5,6）． 在△DCG 中,由勾股定理可知DG =41542222=+=+CG CD ． ∵四边形GDEF 是菱形,∴DE =DG =41．在Rt △DOE 中,由勾股定理可知 OE =44122-=-OD DE =37＞6．∴OE ＞OA ,∴点E 不在OA 上,∴S ≠1．。

数学竞赛试卷七年级【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 如果一个数的平方根是9，那么这个数是：A. 81B. 9C. 3D. -92. 下列哪个数是有理数？A. √2B. √3C. √5D. √93. 下列哪个数是整数？A. 3.14B. 2.5C. 5.0D. -3.54. 下列哪个数是负数？A. -1B. 0C. 1D. 25. 下列哪个数是偶数？A. 21B. 23C. 25D. 27二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘的结果是正数。

（）2. 两个正数相乘的结果是负数。

（）3. 两个负数相除的结果是正数。

（）4. 两个正数相除的结果是负数。

（）5. 0乘以任何数都等于0。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 如果一个数的平方是16，那么这个数是______。

2. 如果一个数的平方根是4，那么这个数是______。

3. 两个负数相乘的结果是______。

4. 两个正数相乘的结果是______。

5. 0乘以任何数都等于______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请解释有理数的概念。

2. 请解释整数的概念。

3. 请解释负数的概念。

4. 请解释偶数的概念。

5. 请解释奇数的概念。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算下列各式的值：a) -3 + 7b) 5 (-2)c) -4 × 6d) -9 ÷ 3e) 14 ÷ (-2)2. 判断下列各式的符号：a) -(-5)b) -(+8)c) -(-12)d) -(+15)e) -(-20)3. 计算下列各式的值：a) √16c) √36d) √49e) √644. 判断下列各数是否为整数，并解释原因：a) 3.14b) 2.5c) 5.0d) -3.5e) 8.95. 判断下列各数是否为负数，并解释原因：a) -1b) 0c) 1d) 2e) -3六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析并解释为什么两个负数相乘的结果是正数。

---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 --------------------------------------------------------------------------------- 考生须知： 1. 每位考生将获得一份试卷。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简。

九年级地方晋级赛复赛A 卷 （本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1．252用科学记数法可以表示为（ ） A ．8×10-1 B ．8×10-2 C ．2.3×10-1 D ．2.3×10-2 2．如图，O 为线段AB 的中点，AB =4cm ，P 1、P 2、P 3、P 4到点O 的距离分别是1cm 、2cm 、 2.8cm 、1.7cm ，下列四点中能与A 、B 构成直角三角形的顶点是（ ） A ．P 1 B ．P 2 C ．P 3 D ．P 4 第2题图 第3题图 第4题图 3．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点A ，CD 平分∠ACB ，且与l 交于点D ， 若⌒AB =80°，⌒BC =60°，则∠ADC 的度数为（ ） A ．80° B ．85° C ．90° D ．95° 4．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD =90°， CO =CD ．若点B 的坐标为（1，0），则点C 的坐标为（ ） A ．（2，2） B ．（2，4） C ．（22，22） D ．（4，2） 5．方程组⎩⎨⎧=+=+6||,12||y x y x 的解的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．若等式23)3)(2(1-+-=---x b x a x x x （a 、b 为常数）成立，则a 、b 的值为（ ） A ．a =4，b =－3 B ．a =2，b =－1 C ．a =－1，b =1 D ．a =－1，b =2 7．小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公 式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（ ）A ．300B ．405C ．416D ．4508．如图，矩形台球桌ABCD ，其中A 、B 、C 、D 处有球洞，已知DE =4，CE =2，BC =36，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD三次反弹后回到E 点，则关于tan α的说法下列正确的是（ ）---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- A ．3≤tan α＜323 B ．343＜tan α＜323 C ．tan α=3 D ．343＜tan α＜33 9．如图，已知反比例函数y =x k 的图象过Rt △ABO 斜边OB 的中点D ，与直 角边AB 相交于C ，连结AD 、OC ，若△ABO 的周长为4+25，AD =2， 则△ACO 的面积为（ ） A ．41 B ．21 C ．1 D ．2 10．将直线l 1：y =x 和直线l 2：y =2x +1及x 轴围成的三角形面积记为S 1，直线l 2：y =2x +1和 直线l 3：y =3x +2及x 轴围成的三角形面积记为S 2，…，以此类推，直线l n ：y =nx +n －1 和直线l n +1：y =（n +1）x +n 及x 轴围成的三角形面积记为S n ，记W =S 1+S 2+…+S n ，当n 越来越大时，你猜想W 最接近的常数是（ ） A ．32 B ．21 C ．31 D ．41 二、填空题（每小题5分，共30分） 11．已知a 2－5a －1=0，则5（1+2a ）－2a 2=___________． 12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O ”记号，另外12张卡片作上“X ”记号． 右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一 张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O ” 的卡片的概率是___________． 13．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD 是经过A 点的一条直线，且B 、C 在AD 的两侧，BD ⊥AD 于D ，CE ⊥AD 于E ，交AB 于点F ，CE =10，BD =4，则DE 的长为_________． 第13题图 第14题图 第16题图 14．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动 滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ． 15．正数m ，n 满足m +n m mn 424--+4n =3，则2016282++-+n m n m 的值为 ． 16．已知正方形ABCD 的边长为5，点E 在BC 边上运动，点G 是DE 的中点，EG 绕点E 顺 时针旋转90°得到EF ，当CE = 时，点A 、C 、F 在一条直线上．---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 三、解答题（共5小题，共50分） 17．解不等式：)1)(221()1)(31(22+--++y y y y ＞（8分） 18．如果有理数m 可以表示成2x 2－6xy +5y 2（其中x 、y 是任意有理数）的形式，我们就称m 为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分） 19．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm ，宽30cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例 相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的51，上、下边衬等宽，左、右边 衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm ，参考数据5≈2.236）（10分） 20．如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若 显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边BO 长均为24cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD ⊥AO 时，称点P 为“最佳视角点”，作PC ⊥BC ，垂足C 在OB 的延长线上，且BC =12cm ． （1）当P A =45cm 时，求PC 的长；（5分） （2）若∠AOC =120°时，“最佳视角点”P 在直线PC 上的位置会发生什么变化？此时PC 的 长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）（5分）图① 图②---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 21．已知二次函数图象的顶点坐标为A （2，0），且与y 轴交于点（0，1），B 点坐标为（2，2）， 点C 为抛物线上一动点，以C 为圆心，CB 为半径的圆交x 轴于M ，N 两点（M 在N 的左 侧）． （1）求此二次函数的表达式；（3分） （2）当点C 在抛物线上运动时，弦MN 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发 生变化，求出弦MN 的长；（4分） （3）当△ABM 与△ABN 相似时，求出M 点的坐标．（6分） 备用图 九年级A 卷答案 三、选择题（每小题4分，共40分） 1.B 2.B 3.C 4.A 5.A 6.B 7.C 8.C 9.A 10.B 5.当x ≥0，y ≤0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=-=+,6,12y x y x 解得⎩⎨⎧==;3,9y x 由于y ≤0，所以此种情况不成 立；当x ≤0，y ≥0时，原方程组可化为：⎩⎨⎧=+=-,6,12y x x y 解得⎩⎨⎧=-=;9,3y x 当x ≥0，y ≥0时， ⎩⎨⎧=+=+,6,12y x y x 无解；当x ≤0，y ≤0时，⎩⎨⎧=-=-,6,12y x x y 无解；因此只有一组解． 7.设巧克力和棒棒糖的数量分别为x ，y ，幸福值为W ，根据题意得：3x +2y ≤100，W =xy ，∴y =x W ， ∴3x +2x W ≤100，∴W ≤50x －23x 2=－23（x －350）2+31250，∵x ，y 为整数，∴x =16，y =26---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- 时，W 最大=xy =416． 8.如图，∵DE =4，CE =2，球从E 点出发，与DC 夹角为α，经过BC 、AB 、AD 三次反弹后 回到E 点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等， ∴CF =211+BC =23，∴在Rt △CEF 中，tan α=CE CF =3． 9.在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4， 由周长为4+25，得到AB +AO =25，设AB =x ，则AO =25－x ， 根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（25－x ）2=42， 整理得：x 2－25x +2=0， 解得x 1=5+3，x 2=5－3，∴AB =5+3，OA =5－3，过D 作DE ⊥x 轴， 交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =21OA =21（5－3）（若OA =5+3， 求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得： DE =21（5+3），∴k =－DE •OE =－21（5+3）× 21（5－3）=－21，∴S △AOC =21|k |=41． 10.将y =nx +n －1和y =（n +1）x +n 联立得：⎩⎨⎧++=-+=,)1(,1n x n y n nx y 解得：⎩⎨⎧-=-=.1,1y x ∴无论k 取何 值，直线l n 和直线l n +1均交于定点（－1，－1），k ≠1时，l n 与l n+1的图象的示意图如图， ∵y =nx +n －1与x 轴的交点为A （n n -1，0），y =（n +1）x +n 与x 轴的交点为B （1+-n n ， 0），∴S n =S △ABC =21×|AB |×|－1|=21×|11|++-n n n n ×1=)1(21+n n ， 当n =1时，结论同样成立．∴W =S 1+S 2+S 3+…+S n = ]11321211[21）（+++⨯+⨯⨯n n =21（1－21+21－31+…+111+-n n ）= 21（1－11+n ）=121+⨯n n ．当n 越来越大时，1+n n 越来越接近与1． ∴121+⨯n n 越来越接近于21，∴W 越来越接近于21． 四、填空题（每小题5分，共30分） 11.3 12.94 13.6 14.5π 15.20195- 16.35 13.∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴∠BAD +∠CAD =90°，∵CE ⊥AD 于E ，∴∠ACE +∠CAE =90°， ∴∠BAD =∠ACE ，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AE =BD =4，AD =CE =10，∴DE =AD － AE =6． 14.由图形可知，圆心先向前走OO 1的长度，圆心从O 到O 1的运动轨迹是一条直线，长度为41圆的周长，然后沿着弧O 1O 2旋转41圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：41×2π×5+ 41×2π×5=5π． 15.∵m +4n m mn 42--+4n =3，∴m +4mn +4n －2（m +2n ）－3=0，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- ∴（m +2n ）2－2（m +2n ）－3=0，∴（m +2n －3）（m +2n +1）=0， ∴m +2n =3，m +2n ）=－1（不合题意，舍去），∴原式=2016383+-=20195-． 16.过F 作FN ⊥BC ，交BC 延长线于N 点，连接AC ， ∵∠DCE =∠ENF =90°，∠DEC +∠NEF =90°，∠NEF +∠EFN =90°， ∴∠DEC =∠EFN ，∴Rt △FNE ∽Rt △ECD ， ∵DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90°得EF ，∴DE :EF =2:1， ∴CE :FN =DE :EF =DC :NE =2:1，∴CE =2NF ，NE =21CD =25． ∵∠ACB =45°，∴当∠NCF =45°时，A 、C 、F 在一条直线上． 则△CNF 是等腰直角三角形，∴CN =NF ，∴CE =2CN ， ∴CE =32NE =32×25=35．∴CE =35时，A 、C 、F 在一条直线上． 五、解答题（共5小题，共50分） 17.解：∵y 2+1＞0，则原不等式可化为1+3y ＞1－22-y ，解得y ＞1.2． 18.解：是的．证明如下：∵m =2x 2－6xy +5y 2=（x －2y ）2+（x －y ）2，其中x 、y 是有理数， ∴“世博数”m =p 2+q 2（其中p 、q 是任意有理数），只需p =x －2y ，q =x －y 即可． ∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a =j 2+k 2，另一个为b =r 2+s 2，其中j 、k 、r 、 s 为任意给定的有理数，则ab =（j 2+k 2）（r 2+s 2）=（jr +ks ）2+（js －kr ）2是“世博数”． 19.解一：设上、下边衬宽均为4x cm ，左、右边衬宽均为3x cm ，则（40－8x ）（30－6x ）=54×40×30． 整理，得x 2－10x +5=0，解之得x =5±25，∴x 1≈0.53，x 2≈9.47（舍去）， 答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 解二：设中央矩形的长为4x cm ，宽为3x cm ，则4x ×3x =54×40×30，解得x 1=45，x 2= －45（舍去），∴上、下边衬宽为20－85≈2.1，左、右边衬宽均为15－65≈1.6， 答：上、下边衬宽均为2.1cm ，左、右边衬宽均为1.6cm ． 20.解：（1）如图，当P A =45cm 时，连接PO ．∵D 为AO 的中点，PD ⊥AO ，∴PO =P A =45cm ． ∵BO =24cm ，BC =12cm ，∠C =90°，∴OC =OB +BC =36cm ，PC =223645-=27（cm ）； （2）当∠AOC =120°，如图，过D 作DE ⊥OC 交BO 延长线于E ，过D 作DF ⊥PC 于F ， 则四边形DECF 是矩形．在Rt △DOE 中，∵∠DOE =60°，DO =21AO =12， ∴DE =DO •sin60°=63，EO =21DO =6，∴FC =DE =63，DF =EC =EO +OB +BC = 6+24+12=42．在Rt △PDF 中，易求得∠PDF =30°， ∴PF =DF •tan30°=42×33=143， ∴PC =PF +FC =143+63=203≈34.64＞27， ∴点P 在直线PC 上的位置上升了．21.解：（1）设抛物线的表达式为y =a （x －2）2．∵将（0，1）代入得：4a =1，解得a =41，---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------------- ∴抛物线的解析式为y =41（x －2）2． （2）MN 的长不发生变化．理由如下： 如图1所示，过点C 作CH ⊥x 轴，垂足为H ，连接BC 、CN ． 设点C 的坐标为（a ，2)2(41-a ）．∵CH ⊥MN ，∴MH =HN ． ∵HN 2=CN 2－CH 2=CB 2－CH 2，∴HN 2=[2－2)2(41-a ]2+（a －2）2－[2)2(41-a ]2=4． ∴HN =2．∴MN =4．∴MN 不发生变化． （3）①如图2所示，当点C 与点A 重合时．∵MN 经过点C ，∴MN 为圆C 的直径．∴MC =2． ∵点C （2，0），∴M （0，0）． ②如图3所示，∵△ABM ∽△ANB ，∴AB AN AM AB =，即AB 2=AM •AN ． 设AM =a ，则4=a （a +4），解得：a 1=－2+22，a 2=－2－22（舍去）， 又∵点A （2，0），∴2+（－2+22）=22．∴点M 的坐标为（22，0）． ③如图4所示，∵△ABN ∽△AMB ，∴AB 2=AN •AM ． 设AM =a ，则4=a （a －4），解得：a 1=2+22，a 2=2－22（舍去）． 又∵点A （2，0），∴2－（2+22）=－22．∴点M 的坐标为（－22，0）．。

WMO 世 界 奥 林 匹 克 数 学 竞 赛 （ 中 国 区 ） 选 拔 赛姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简。

七年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．33)1(-的立方根是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．±1 2．已知⎩⎨⎧==1,2y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+1,5ay bx by ax 的解，则a +b 的值是（ ）A ．－1B ．2C ．3D ．43．大华、小宇两兄弟与父母一起量体重，已知母亲和大华共重110公斤，父亲和小宇共重120 公斤．若大华比小宇重3公斤，则父亲比母亲重（ ）A．7公斤 B ．10公斤 C ．13公斤 D ．17公斤 4．已知S =2+4+6+…+200，T =1+3+5+…+199，则S －T 的值为（ ） A ．50 B ．100 C ．200 D ．4005．如图是将积木放在等臂天平上的三种情形．若一个球形、方形、锥形的积木重量分别用x 、 y 、z 表示，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．x ＞y ＞zB ．y ＞z ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞y ＞x6．将边长是10cm 的正方形纸片中间挖一个正方形洞，成为一个边宽是1cm 的方框．把5个 这样的方框放在桌上，成为如图所示图形，则桌面上被这些方框盖住的部分面 积是（ ）A ．262cm 2B ．260cm 2C ．180cm 2D ．172cm 2 7．当x 变化时，|x －4|+|x +t |有最小值3，则常数t 的值为（ ）A ．－1B ．7C ．－1或－7D ．3或－1 8．如右面左图，P 点在O 点正北方．一只机器狗从P 点按逆时针 方向绕着O 点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如右面右 图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的 （ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，AB ∥CD ，EG 、EM 、FM 分别平分∠AEF ，∠BEF ，∠EFD ， 则图中与∠DFM 相等的角（不含它本身）的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．810．若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，则a +b +c +d 的最大值是（ ） A ．5 B ．2 C ．－5 D ．－2二、填空题（每小题5分，共30分）11．当x ____________时，式子523--x 的值是非正数．12．设a 、b 、c 都是实数，且满足（2－a ）2+c b a ++2+|c +8|=0，ax 2+bx +c =0，则代数式x 2+2x－2016的值为______________．13．在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点分别是A （－3，1），B （1，3），点C 是线段AB 的中点．把线段AB 平移后得到线段A'B'，点A 、B 、C 分别与A'、B'、C'对应，若点 A'的坐标是（－1，－1），则点C'的坐标为_______________．14．许久未见的蜜蜜，圆圆，西西，豆豆，琪琪五位同学欢聚在Let’s party 餐厅，他们相互拥抱一次，中途统计各位同学拥抱次数为：蜜蜜拥抱了4次，圆圆拥抱了3次，西西拥抱 了2次，豆豆拥抱了1次，那么此时琪琪拥抱了 次．15． 1059、1417和2312分别除以d 所得余数均为r （d 是大于1的整数），则d －21r = ． 16．在一次数学游戏中，老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0，b 0，c 0，记为G 0=（a 0，b 0，c 0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果。

P 1 B ． C ．P 3 D ．P 4
第2题图 第3题图 第4题图
．如图，圆上有A 、B 、C 三点，直线l 与圆相切于点CD 平分∠ACB ，且与=80°，=60°ADC 的度数为（ ⌒
BC 80° B ．D ．95°
．如图，△OAB 与△OCD 为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠AD ＜tan α＜334
3
3，与直
第13题图 第14题图 第16题图
．如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b ，然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线b 重合为止，则圆心O 运动路径的长度为 ．．正数m ，n 满足m +的值为　
42016
8
23
≈1.414，≈1.732）
备用图
、AB 、AD 三次反弹后整理得：x 2－2x +2=0，5，过D 作DE ⊥x 轴，∴无论k 取何
-=-=.1,
1y x 的图象的示意图如图，
轴的交点为B （+-n n =90°，=AD － 圆的周长，则圆心O 运动路径的长度为：
n
）－3=0，。

七年级A 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.A2.B3.C4.B5.B6.D7.C8.D9.C 10.C5.由第一个图知2y +z ＞y +2z ，则y ＞z ；由第二个图知3y +z ＞x +2y +z ，则y ＞x ；由第三个图知 x +y +2z ＞2x +y +z ，则z ＞x ．综上所述y ＞z ＞x ．6.一个方框的面积是102 －（10－2）2=36，5个方框重合部分面积是8，则方框盖住的部分 面积是36×5－8=172（cm 2）．8.360÷45=8，因此每8分钟回到出发原点，101÷8=12……5，因此只有D 选项符合要求．9.∵FM 平分∠EFD ，∴∠EFM =∠DFM =21∠CFE ，∵EG 平分∠AEF ，∴∠AEG =∠GEF = 21∠AEF ，∵EM 平分∠BEF ，∴∠BEM =∠FEM =21∠BEF ， ∴∠GEF +∠FEM =21（∠AEF +∠BEF ）=90°，即∠GEM =90°， ∠FEM +∠EFM =21（∠BEF +∠CFE ），∵AB ∥CD ，∴∠EGF =∠AEG ，∠CFE =∠AEF ， ∴∠FEM +∠EFM =21（∠BEF +∠CFE ）=21（BEF +∠AEF ）=90°，∴在△EMF 中， ∠EMF =90°，∴∠GEM =∠EMF ，∴EG ∥FM ，∴与∠DFM 相等的角有：∠EFM 、∠GEF 、 ∠EGF 、∠AEG 以及∠GEF 、∠EGF 、∠AEG 三个角的对顶角．10.∵a +b =c ①，b +c =d ②，c +d =a ③，由①+③，得（a +b ）+（c +d ）=a +c ，∴b +d =0④，②+④，得b +c +b +d =d ，得2b +c =0，∴c =－2b ⑤；由①、⑤，得a =c －b =－3b ⑥，由④、⑤、⑥，得a +b +c +d =－5b ；∵b 是正整数，∴b ≥1，∴－b ≤－1，∴a +b +c +d ≤－5，∴a +b +c +d 的最大值是－5．二、填空题（每小题5分，共30分）11.≥32 12.－2012 13.（1，0） 14.2 15.97 16.（9，10，11） 14.∵共有5个人，蜜蜜拥抱了4次，则蜜蜜与圆圆、西西、豆豆、琪琪每人拥抱一次， ∴圆圆、西西一定不是与豆豆拥抱，∵圆圆拥抱了3次，豆豆拥抱了1次，∴圆圆拥抱了 3次一定是与蜜蜜、西西、琪琪；∵西西拥抱了2次，是与蜜蜜和圆圆拥抱． ∴琪琪一共拥抱了2次，是与蜜蜜和圆圆．15.∵2312－1417=895=5×179 ，2312－1059=1253=7×179，1417－1059=358=2×179，∴它们 共同的因数只有179，即d =179，1059÷179=5……164 即r =164，d －21r =179－21×164=97． 16.若G 0=（4，8，18），则G 1=（5，9，16），G 2=（6，10，14），G 3=（7，11，12）， G 4=（8，12，10），G 5=（9，10，11），G 6=（10，11，9），G 7=（11，9，10），G 8=（9， 10，11），G 9=（10，11，9），G 10=（11，9，10），…由此看出从G 5开始3个一循环， （2015－4）÷3=670……1，所以G 2014与G 8相同，也就是（9，10，11）．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：原式=－（a +b ）+2（b －1）+（a －c ）－（1－c ）=－a －b +2b －2+a －c －1+c +1－b － c =－2－c ．18.解：⎩⎨⎧-=++=+②,134,①123p y x p y x ①×3－②×2得x =p +5，则y =－p －7，由x ＞y 得p +5＞－p －7， 故p ＞－6．19.证明：过点G 1作G 1H ∥AB ，过点G 2作G 2I ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴G 1H ∥CD ，G 2I ∥CD ， 易证得∠EG 2F =∠1+∠3，∠EG 1F =∠BEG 1+∠G 1FD ，∴∠3=∠G 2FD ，∵FG 2平分∠EFD ，∴∠4=∠G 2FD ，∵∠1=∠2，∴∠G 2=∠2+∠4，∵∠EG 1F =∠BEG 1+∠G 1FD ，∴∠EG 1F +∠G 2=∠2+∠4+∠BEG 1+∠G 1FD =∠BEF +∠EFD ，∵AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°，∴∠EG 1F +∠G 2=180°．20.（1）A （0，4）、C （3，0）；提示：∵OA +OC =7，∴由题意可得m +m －1=7．解得m =4，∴A （0，4），C （3，0）．（2）解：S △ABC =21BC ×OA =21×8×4=16，∴由题意可得 S △POA =16×41=4， 当P 在线段OB 上时，S △POA =21OP ×OA =21（5－2t ）×4，∴4=21（5－2t ）×4，∴t =23， 则OP =5－2t =2，则P （－2，0）；当P 在BO 延长线上时，∵S △POA =21OP ×OA =21（2t －5）×4 ，∴4=21（2t －5）×4，∴t =27， 则OP =2t －5=2，则P （2，0）．综上所述，存在t =23时，P （－2，0）；t =27时，P （2，0）． 21.解：（1）根据题意可得：小花上场时，站在6号位置，第5轮发球时，站在①号位置；（2）∵小花上场时，站在6号位置，∴第3轮发球时站在3号位置，∵这场比赛最多发21轮球，且每发球6轮循环一圈，∴第9轮发球时也站在3号位置，同理可得：第15轮发球时也站在3号位置，第，21轮 发球时也站在3号位置，综上所述：第3，9，15，21轮发球时，小花站在3号位置；（3）∵小花上场时，站在6号位置，第1轮发球时，站在⑤号位置；第2轮发球时，站在④号位置，第3轮发球时，站在③号位置，第4轮发球时，站在②号位置，第5轮发球时，站在①号位置，第6轮发球时，站在⑥号位置，第7轮发球时，站在⑤号位置，第8轮发球时，站在④号位置，第9轮发球时，站在③号位置，第10轮发球时，站在②号位置，第11轮发球时，站在①号位置，第12轮发球时，站在⑥号位置；∴第n 轮发球时，1≤n ≤5时，站在（6－n ）号位置， 当n =6或12，18时，站在⑥号位置；7≤n ≤11时，站在（12－n ）号位置，13≤n ≤17时，站在（18－n ）号位置，19≤n ≤21时，站在（24－n ）号位置．。

姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------第15届WMO 世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：1. 每位考生将获得考卷一份。

考试期间，不得使用计算工具或手机。

2. 本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共 50分。

3. 请将答案写在本卷上。

考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。

4. 若计算结果是分数，请化至最简。

七年级地方晋级赛复赛A 卷（本试卷满分120分 ，考试时间90分钟 ）一、选择题（每小题4分，共40分）1．33)1(-的立方根是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．±1 2．已知⎩⎨⎧==1,2y x 是方程组⎩⎨⎧=+=+1,5ay bx by ax 的解，则a +b 的值是（ ）A ．－1B ．2C ．3D ．43．大华、小宇两兄弟与父母一起量体重，已知母亲和大华共重110公斤，父亲和小宇共重120 公斤．若大华比小宇重3公斤，则父亲比母亲重（ ）A．7公斤 B ．10公斤 C ．13公斤 D ．17公斤 4．已知S =2+4+6+…+200，T =1+3+5+…+199，则S －T 的值为（ ） A ．50 B ．100 C ．200 D ．4005．如图是将积木放在等臂天平上的三种情形．若一个球形、方形、锥形的积木重量分别用x 、 y 、z 表示，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．x ＞y ＞zB ．y ＞z ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞y ＞x 6．将边长是10cm 的正方形纸片中间挖一个正方形洞，成为一个边宽是1cm 的方框．把5个 这样的方框放在桌上，成为如图所示图形，则桌面上被这些方框盖住的部分面 积是（ ） A ．262cm 2 B ．260cm 2 C ．180cm 2 D ．172cm 2 7．当x 变化时，|x －4|+|x +t |有最小值3，则常数t 的值为（ ） A ．－1 B ．7 C ．－1或－7 D ．3或－1 8．如右面左图，P 点在O 点正北方．一只机器狗从P 点按逆时针 方向绕着O 点作匀速圆周运动，经过一分钟，其位置如右面右 图所示．那么经过101分钟，机器狗的位置会是下列图形中的 （ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，AB ∥CD ，EG 、EM 、FM 分别平分∠AEF ，∠BEF ，∠EFD ， 则图中与∠DFM 相等的角（不含它本身）的个数为（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．810．若a 、c 、d 是整数，b 是正整数，且a +b =c ，b +c =d ，c +d =a ，则a +b +c +d 的最大值是（ ） A ．5 B ．2 C ．－5 D ．－2二、填空题（每小题5分，共30分）11．当x ____________时，式子523--x 的值是非正数．12．设a 、b 、c 都是实数，且满足（2－a ）2+c b a ++2+|c +8|=0，ax 2+bx +c =0，则代数式x 2+2x－2016的值为______________．13．在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点分别是A （－3，1），B （1，3），点C 是线段AB 的中点．把线段AB 平移后得到线段A'B'，点A 、B 、C 分别与A'、B'、C'对应，若点 A'的坐标是（－1，－1），则点C'的坐标为_______________．14．许久未见的蜜蜜，圆圆，西西，豆豆，琪琪五位同学欢聚在Let’s party 餐厅，他们相互拥抱一次，中途统计各位同学拥抱次数为：蜜蜜拥抱了4次，圆圆拥抱了3次，西西拥抱 了2次，豆豆拥抱了1次，那么此时琪琪拥抱了 次． 15． 1059、1417和2312分别除以d 所得余数均为r （d 是大于1的整数），则d －21r = ． 16．在一次数学游戏中，老师在A 、B 、C 三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a 0， b 0，c 0，记为G 0=（a 0，b 0，c 0）．游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则 从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果 数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果）， 记为一次操作．若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．n 次操作后的糖果数记为G 0= （a 0，b 0，c 0）．小晓发现：如果G 0=（4，8，18），那么游戏将永远无法结束，则此时姓名 年级 学校 准考证号 考场 赛区_________ 父母姓名 、 联系电话_ 、 ------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------G 2015= ．------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------三、解答题（共5小题，共50分）17．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如右图所示，试化简：|a +b |－2|b －1|－|a －c |－|1－c |+|b +c －1|．（9分）18．若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+134,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，试求p 的取值范围．（9分）19．如图，AB ∥CD ，EG 1和EG 2为∠BEF 内满足∠1=∠2的两条线，分别与∠EFD 的平分线交于点G 1和G 2，求证:∠FG 1E +∠G 2=180°．（10分）20．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．三角形ABC 的边BC 在x 轴上，点B 的坐标是（－5，0），点A 在y 轴的正半轴上，点C 在x 轴的正半轴上，它们的坐标分别为 A （0，m ）、C （m －1，0），且OA +OC =7，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速 度，沿射线BO 运动．设点P 运动时间为t 秒．（1）A 、C 两点的坐标分别为（______，______）、（______，______）；（4分）（2）连P A ，当P 沿射线BO 匀速运动时，是否存在某一时刻，使三角形POA 的面积是三角 形ABC 面积的41？若存在，求出t 的值并写出P 点坐标；若不存在，说明理由．（6分）21．排球比赛中，甲、乙两方上场的各6名队员面对排球网，分别站在排球场的一边，6名队员一般站成两排，从排球场右下角开始，分别为1号位、2号位、3号位、4号位、5号位、 6号位（如图）．比赛中每一次换发球的时候有位置轮换，简单说就是第一轮发球是比赛开始由甲方1号位 的选手发球，得分则继续发球，失分则乙方发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球．甲 方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到 5号位，以此类推，2号位队员到1号位置发球，得分则继续发球，失分则乙方发球，再 轮到甲方选手发球的时候，甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转一圈），随后以此 类推…如果甲方选手小花上场时（这场比赛最多发21轮球）站在6号位置，那么， （1）第五轮发球时，她站在几号位置？（3分） （2）第几轮发球时，她站在3号位置？（4分） （3）第n 轮发球时，她站在几号位置？（5分）七年级A 卷答案一、选择题（每小题4分，共40分）1.A2.B3.C4.B5.B6.D7.C8.D9.C 10.C5.由第一个图知2y +z ＞y +2z ，则y ＞z ；由第二个图知3y +z ＞x +2y +z ，则y ＞x ；由第三个图知 x +y +2z ＞2x +y +z ，则z ＞x ．综上所述y ＞z ＞x ．6.一个方框的面积是102 －（10－2）2=36，5个方框重合部分面积是8，则方框盖住的部分 面积是36×5－8=172（cm 2）．8.360÷45=8，因此每8分钟回到出发原点，101÷8=12……5，因此只有D 选项符合要求．------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线---------------------------9.∵FM 平分∠EFD ，∴∠EFM =∠DFM =21∠CFE ，∵EG 平分∠AEF ，∴∠AEG =∠GEF = 21∠AEF ，∵EM 平分∠BEF ，∴∠BEM =∠FEM =21∠BEF ， ∴∠GEF +∠FEM =21（∠AEF +∠BEF ）=90°，即∠GEM =90°，∠FEM +∠EFM =21（∠BEF +∠CFE ），∵AB ∥CD ，∴∠EGF =∠AEG ，∠CFE =∠AEF ，∴∠FEM +∠EFM =21（∠BEF +∠CFE ）=21（BEF +∠AEF ）=90°，∴在△EMF 中，∠EMF =90°，∴∠GEM =∠EMF ，∴EG ∥FM ，∴与∠DFM 相等的角有：∠EFM 、∠GEF 、∠EGF 、∠AEG 以及∠GEF 、∠EGF 、∠AEG 三个角的对顶角． 10.∵a +b =c ①，b +c =d ②，c +d =a ③，由①+③，得（a +b ）+（c +d ）=a +c ，∴b +d =0④， ②+④，得b +c +b +d =d ，得2b +c =0，∴c =－2b ⑤； 由①、⑤，得a =c －b =－3b ⑥， 由④、⑤、⑥，得a +b +c +d =－5b ；∵b 是正整数，∴b ≥1，∴－b ≤－1，∴a +b +c +d ≤－5，∴a +b +c +d 的最大值是－5．二、填空题（每小题5分，共30分）11.≥3212.－2012 13.（1，0） 14.2 15.97 16.（9，10，11）14.∵共有5个人，蜜蜜拥抱了4次，则蜜蜜与圆圆、西西、豆豆、琪琪每人拥抱一次，∴圆圆、西西一定不是与豆豆拥抱，∵圆圆拥抱了3次，豆豆拥抱了1次，∴圆圆拥抱了 3次一定是与蜜蜜、西西、琪琪；∵西西拥抱了2次，是与蜜蜜和圆圆拥抱． ∴琪琪一共拥抱了2次，是与蜜蜜和圆圆．15.∵2312－1417=895=5×179 ，2312－1059=1253=7×179，1417－1059=358=2×179，∴它们 共同的因数只有179，即d =179，1059÷179=5……164 即r =164，d －21r =179－21×164=97． 16.若G 0=（4，8，18），则G 1=（5，9，16），G 2=（6，10，14），G 3=（7，11，12），G 4=（8，12，10），G 5=（9，10，11），G 6=（10，11，9），G 7=（11，9，10），G 8=（9， 10，11），G 9=（10，11，9），G 10=（11，9，10），…由此看出从G 5开始3个一循环， （2015－4）÷3=670……1，所以G 2014与G 8相同，也就是（9，10，11）．三、解答题（共5小题，共50分）17.解：原式=－（a +b ）+2（b －1）+（a －c ）－（1－c ）=－a －b +2b －2+a －c －1+c +1－b － c =－2－c ．18.解：⎩⎨⎧-=++=+②,134,①123p y x p y x ①×3－②×2得x =p +5，则y =－p －7，由x ＞y 得p +5＞－p －7，故p ＞－6．19.证明：过点G 1作G 1H ∥AB ，过点G 2作G 2I ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴G 1H ∥CD ，G 2I ∥CD ， 易证得∠EG 2F =∠1+∠3，∠EG 1F =∠BEG 1+∠G 1FD ，∴∠3=∠G 2FD ， ∵FG 2平分∠EFD ，∴∠4=∠G 2FD ， ∵∠1=∠2，∴∠G 2=∠2+∠4， ∵∠EG 1F =∠BEG 1+∠G 1FD ，∴∠EG 1F +∠G 2=∠2+∠4+∠BEG 1+∠G 1FD =∠BEF +∠EFD ， ∵AB ∥CD ，∴∠BEF +∠EFD =180°，∴∠EG 1F +∠G 2=180°． 20.（1）A （0，4）、C （3，0）；提示：∵OA +OC =7，∴由题意可得m +m －1=7．解得m =4，∴A （0，4），C （3，0）．（2）解：S △ABC =21BC ×OA =21×8×4=16，∴由题意可得 S △POA =16×41=4，当P 在线段OB 上时，S △POA =21OP ×OA =21（5－2t ）×4，∴4=21（5－2t ）×4，∴t =23，则OP =5－2t =2，则P （－2，0）； 当P 在BO 延长线上时，∵S △POA =21OP ×OA =21（2t －5）×4 ，∴4=21（2t －5）×4，∴t =27， 则OP =2t －5=2，则P （2，0）． 综上所述，存在t =23时，P （－2，0）；t =27时，P （2，0）． 21.解：（1）根据题意可得：小花上场时，站在6号位置，第5轮发球时，站在①号位置； （2）∵小花上场时，站在6号位置，∴第3轮发球时站在3号位置， ∵这场比赛最多发21轮球，且每发球6轮循环一圈，∴第9轮发球时也站在3号位置，同理可得：第15轮发球时也站在3号位置，第，21轮 发球时也站在3号位置，综上所述：第3，9，15，21轮发球时，小花站在3号位置；（3）∵小花上场时，站在6号位置，第1轮发球时，站在⑤号位置； 第2轮发球时，站在④号位置，第3轮发球时，站在③号位置， 第4轮发球时，站在②号位置，第5轮发球时，站在①号位置， 第6轮发球时，站在⑥号位置，第7轮发球时，站在⑤号位置， 第8轮发球时，站在④号位置，第9轮发球时，站在③号位置， 第10轮发球时，站在②号位置，第11轮发球时，站在①号位置，第12轮发球时，站在⑥号位置；∴第n 轮发球时，1≤n ≤5时，站在（6－n ）号位置， 当n =6或12，18时，站在⑥号位置；7≤n ≤11时，站在（12－n ）号位置，13≤n ≤17时，站在（18－n ）号位置，------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线--------------------------- 19≤n ≤21时，站在（24－n ）号位置．。

2023~2023年七年级下学期数学竞赛试题一.选择题(每小题5分,共30分)1.若a<0 , ab<0 , 那么51---+-baab等于( )A . 4B .-4C . -2a+2b+6 D. 19962.数轴上坐标是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为2023厘米的线段AB,则线段AB盖住的整点的个数是( )A.2023 或2023 B . 2023或2023 C . 2023 或2023 D . 2023 或20233.已知{a x b y==是方程组{5272=+=+y x y x的解, 则a-b的值为( )A . 2B . 1 C. 0 D. -14.若a<3 , 则不等式(a-3)x<a-3的解集是( )A. x>1 B .x<1 C . x>-1 D . x<-15.方程2x+y=7的正整数解有( )A.一组 B .二组 C .三组 D . 四组6.不等式组{5335+<-<xxax的解集为x<4, 则a满足的条件是( )A. a<4 B .a=4 C .a≤4 D .a≥4二.填空题(每小题4分,共24分)1.不等式组{4252>+<-axbx的解集是0<x<2, 则a+b的值等于_______2.已知543zyx ==, 且10254=+-z y x ,则z y x +-52的值等于________3.计算200920081431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯ = _________4.一个角的补角的31等于它的余角, 则这个角等于_____度.5.计算（1+715131++）×-91715131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（1+91715131+++）×（715131++）=．6。

b b a -=+22若，______622=+-+b a b a 则三. 解答题:(,共46分). 1（本题6分）解方程组 345238x y x y -=⎧⎨+=-⎩，．2.（本题10分）已知: 0634=--z y x ，072=-+z y x ()0≠xyz ， 求代数式222222103225z y x z y x ---+的值3（本题10分）.如图,已知CD ⊥AB ，DE ∥BC,∠1=∠2求证:FG ⊥AB21G F E D CB A4．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知三点()()()b c C b B a A ,,0,,,0，其中c b a ,,满足关系式()a b c b a -==-+-2,0322；（1）求c b a ,,的值,（2）请你将三点()()()b c C b B a A ,,0,,,0在平面直角坐标系中描出来，并计算出ABC ∆的面积。

世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛 2012-2013 初赛试卷 七年级（A 卷） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 考生须知：本卷共120分，考试时间90分钟。

第1至20题,每题6分。

考试期间，不得使用计算工具或手机Part 1 填空题1. 计算： 211⨯＋321⨯＋431⨯＋……＋100991⨯= 。

2. 当1±≠x 时，方程20111133=--+++x x x x 的解是 。

3. 计算：3001×2999= 。

4. 计算： 97×103×10009= 。

5. 计算：1234712345-1234620122⨯= 。

6. 计算：当3-=x ，31=y 时，5y 3-2+x 的值是 。

7. 计算：=2-2-2--2-2-223201********* 。

8. 计算：有两个质数的平方和是125，这两质数的和是 。

9．当=x 时，分式 32+x x的值为0。

10. 732012÷的余数是 。

Part 2 单项选择题（把字母填在空格处）11. 如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，14a-2b 的值是 。

A.52B.55C.58D.62 12.若m 为实数，则代数式m +m 的值一定是（ ）．A 、正数B 、0C 、负数D 、非负数 _______学校 姓名_________辅导教师__________年级____考场____考号手机电话 ---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------13．已知m 是方程01x -x 2=+2006的一个根，则3+1++22m 20062005m -m 的值等于（ ）． A 、2005 B 、2006 C 、2007 D 、.200814．将一段72cm 长的绳子，从一端开始每3cm 作一记号，每4cm 也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）．A 、37B 、36C 、35D 、3415．某旅游团92人在快餐店就餐，该店备有9种菜，每份菜单单价分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9（元），旅游团领队交代:每人可选不同的菜，但金额都须正好10元，且每一种菜最多只能买一份，这样，该团成员在购菜完全符合要求的所有方案中，至少有一个方案的人数不少于（ ）．A 、9人B 、10人C 、11人D 、12人16．如图4是由几块相同的小正方体搭成的立体图形的三视图，则这立体图形中小正方体共有（ ）块．A 、9B 、10C 、11D 、12Part 3 计算：17． 20022003)2()2(-+-； 18． 5.702.04.01.05.201.03.02.0-+=--x xPart 4 列方程解应用题。

绝密★启用前世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题：七年级试题（Ａ卷）选手须知：1、本卷共三部分,第一部分：填空题,共计50分；第二部分：计算题,共计12分；第三部分：解答题,共计58分。

2、答题前请将自己的姓名、学校、赛场、参赛证号码写在规定的位置。

3、比赛时不能使用计算工具。

4、比赛完毕时试卷和草稿纸将被收回。

七年级试题（Ａ卷）（本试卷满分120分 ,考试时间90分钟 ）一、填空题。

（每题5分,共计50分）1、甲数和乙数的比7:3,乙数和丙数的比是6:5,甲数和丙数的比是 。

2、购买3斤苹果,2斤橘子需6.90元；购买8斤苹果,9斤橘子需22.80元。

那么苹果、橘子各买1斤需 元。

3、有盐的质量分数为16％的盐水800克,要得到盐的质量分数为20％的盐水,应蒸发水 克。

4、将5,6,7,8,9,0这6个数字填入下面算式中,使乘积最大□□□×□□□5、一个正方形,把它的边长增加4厘米,那么它的面积就增加96平方厘米,则原来正方形的面积是 。

6、单独完成某工程,甲队需要10天,乙队需要15天,丙队需要20天,开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程,问甲队实际工作了 天。

7、在平面上有10条直线,任何两条都不平行,并且任何三条都不交于同一点,这些直线能把平面分成 部分。

8、大客车有48个座位,小客车有30个座位,现在306名旅客,要使每个旅客都有座位而且车上无空位,需要大客车 辆,小客车 辆。

9、在16点16分这个时刻,钟表盘面上时针和分针的夹角是 度。

10、若│a+2014│与│b-2015│互为相反数,则a+b 的值是_________。

二、计算题。

（每题6分,共计12分）11、6513.3838525.4415÷+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-12、201520141...541431321211⨯++⨯+⨯+⨯+⨯三、解答题。

一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列数中，有理数是（）A. √2B. πC. 0.333...D. 无理数答案：C解析：有理数是可以表示为两个整数比的数，其中C选项可以表示为1/3，是有理数。

2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）A. 正方形B. 等边三角形C. 平行四边形D. 圆答案：C解析：轴对称图形是指存在一条直线，将图形分为两部分，两部分完全重合。

平行四边形不具备这一特性。

3. 下列等式中，正确的是（）A. 2a + 3b = 2(a + b)B. (a + b)² = a² + b²C. (a - b)² = a² - 2ab + b²D. (a + b)³ = a³ + b³答案：C解析：C选项是平方差公式，正确。

4. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = x²C. y = 1/xD. y = 3x - 4答案：C解析：反比例函数的特点是y与x成反比，即y = k/x（k为常数）。

C选项符合这一特点。

5. 下列数中，是质数的是（）A. 16B. 15C. 17D. 14答案：C解析：质数是只能被1和它本身整除的数。

C选项17符合这一特点。

二、填空题（每题2分，共20分）6. 2/3 + 3/4 = （）答案：17/12解析：通分后，2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12 = 17/12。

7. (-2)² = （）答案：4解析：负数的平方等于正数，(-2)² = 4。

8. 3x - 5 = 4 的解为 x = （）答案：3解析：移项得 3x = 4 + 5，即 3x = 9，解得 x = 3。

9. 圆的半径为 r，则其直径为（）答案：2r解析：圆的直径是半径的两倍，即直径= 2 × 半径 = 2r。

10. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，则其面积为（）答案：40cm²解析：长方形的面积 = 长× 宽= 8cm × 5cm = 40cm²。