2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第四章 章末复习课

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问题导学 预习教材 P148－P154，并思考以下问题： 1．一次、二次函数的表达形式分别是什么？ 2．指数函数模型、对数函数模型的表达形式是什么？
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第四章 指数函数与对数函数
几类常见的函数模型
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(1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1)，则 a(1－x)10＝12
a，即(1－x)10＝12，解得 x＝1－12110.
(2)设经过 m 年后森林剩余面积为原来的 22，则 a(1－x)m＝ 22a，
即121m0＝1212，则1m0＝12，解得 m＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了 5 年．
是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，
已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
2 2.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
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第四章 指数函数与对数函数
【解】
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(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 900 个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高 1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原 来的多少倍．
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【解】 (1)由 v＝12log31θ00可知， 当 θ＝900 时，

4.2　指数函数4.2.1　指数函数的概念4.2.2　指数函数的图象和性质第一课时　指数函数及其图象和性质课标要求素养要求1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.2.掌握指数函数的图象及简单性质.3.初步学会运用指数函数来解决问题.1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养.2.通过借助计算工具画出简单指数函数的图象，发展直观想象素养.3.通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.教材知识探究将一张报纸连续对折，折叠次数x与对应的层数y间存在什么关系？对折后的面积S(设原面积为1)与折叠的次数有怎样的关系？提示　(1)幂的形式；(2)幂的底数是一个大于0且不等于1的常数；(3)幂的指数是一个变量.1.指数函数的概念注意其特征：系数为1，指数为x，底数a>0且a≠1y=a x(a>0,且a≠1)一般地，函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2.指数函数的图象和性质结合函数的图象熟记指数函数的性质a>10<a<1图象R（0，+∞）（0,1）01y>1 0<y<10<y<1 y>1增函数减函数3.在实际问题中，经常遇到指数增长模型，形如y＝ka x(k∈R，且k≠0；a>0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.教材拓展补遗[微判断]1.函数y ＝－2x 是指数函数.()提示　因为指数幂2x 的系数为－1，所以函数y ＝－2x 不是指数函数.2.函数y ＝2x ＋1是指数函数.( )提示　因为指数不是x ，所以函数y ＝2x ＋1不是指数函数.3.函数y ＝(－5)x 是指数函数.( )提示　因为底数小于0，所以函数y ＝(－5)x 不是指数函数.×××[微训练]1.函数y＝2－x的图象是( )答案　B2.若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)＝________.3.指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________.解析　由指数函数y＝2x的图象和性质可知定义域为R，值域为(0，＋∞).答案　R　(0，＋∞)[微思考]1.为什么规定指数函数的底数a>0且a≠1?提示　规定y＝a x中a>0，且a≠1的理由：①当a≤0时，a x可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a x＝1(x∈R)，无研究价值.因此规定y＝a x 中a>0，且a≠1.2.在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？提示　指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限.函数f(x)是指数函数，解析　(1)①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.⑤中，底数－2<0，不是指数函数.答案　(1)B　(2)125规律方法　1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)a x的系数是1.2.求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件.【训练1】　(1)若函数y＝a2(2－a)x是指数函数，则( )A.a＝1或－1B.a＝1C.a＝－1D.a>0且a≠1(2)已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，则函数f(x)的解析式为________.题型二　指数函数的图象和性质【例2】　(1)函数f(x)＝2a x＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________.(2)若函数f(x)＝2x＋3，x∈[2，3]，则函数f(x)的值域为________.(3)已知函数y＝3x 的图象，怎样变换(1)解析　因为y＝a x的图象过定点(0，1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2a x＋1－3的图象过定点(－1，－1).答案　(－1，－1)(2)解析　由题意知函数f(x)＝2x＋3在R上是增函数，且x∈[2，3]，所以2x∈[4，8]，故f(x)的值域为[7，11].答案　[7，11]规律方法　处理函数图象问题的策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点.(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移).(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性.【训练2】　(1)函数y＝2|x|的图象是( )(2)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)(2)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝a x(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.答案　(1)B　(2)D　(3)m<n…规律方法　指数函数在实际问题中的应用(1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题.(2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型.【训练3】　春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半.答案　19一、素养落地1.通过指数函数的概念和意义的学习，培养数学抽象素养.通过画指数函数的图象找出图象上的特殊点，提升直观想象素养.通过指数函数的实际应用提升数学建模素养.2.判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a x(a>0且a≠1)这一结构形式，即a x的系数是1，指数是x且系数为1.答案　D解析　由题意，设f(x)＝a x(a>0且a≠1)，则由f(2)＝a2＝4，得a＝2，所以f(x)＝2x.答案　B3.指数函数y＝a x与y＝b x的图象如图所示，则( )A.a<0，b<0B.a<0，b>0C.0<a<1，b>1D.0<a<1，0<b<1解析　结合指数函数图象的特点可知0<a<1，b>1.答案　C答案　A5.函数f(x)＝2·a x－1＋1的图象恒过定点________.解析　令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1，3).答案　(1，3)本节内容结束。

第四章总结及测试一．单选题（每题5分，共60分）1．已知关于x 的不等式42133x x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，则该不等式的解集为（ ）A ．［4，+∞)B ．(-4，+∞)C ．(-∞,-4 )D ．(]4,1- 【答案】B【解析】依题意可知，原不等式可转化为4233x x -+->，由于指数函数3xy =为增函数，故42,4x x x -+>->-，故选B.2．已知f(x)是定义域为R 的偶函数，且x ≥0时，f(x)=(12)x ，则不等式f(x)>12的解集为( ) A ．(−14,14) B ．(−12,12) C ．(−2,2) D ．(−1,1)【答案】D【解析】由题意得，当x ≥0时，f(x)=(12)x ，则不等式f(x)>12，即(12)x >12，解得0≤x <1；又因为函数f(x)是定义域为R 的偶函数，当x <0时，f (x )=2x ，则不等式f(x)>12，即2x >12，解得−1<x <0，所以不等式f(x)>12的解集为{x|−1<x <1}，故选D ．3．已知32121=0.3log 22a b c -⎛⎫== ⎪⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>【答案】D【解析】由指数函数和对数函数图像可知：32121(0,1),0.31,log 202a b c -⎛⎫=∈=>=< ⎪⎝⎭，则a b c ，，的大小关系是：b a c >>.故选：D ．4．下列四个函数中，在区间()0,1上是减函数的是（ ）A ．2log y x =B ．1y x=C ．12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．23y x =【答案】B【解析】A.2log y x =在()0,∞+上是增函数，∴2log y x =在()0,1上是增函数，故错；B.1y x =在()0,∞+上是减函数，1y x∴=在()0,1上是减函数，故对； C.12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是增函数，12xy ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在()0,1上是增函数，故错； D.23y x =在()0,∞+上是增函数，∴23y x =在()0,1上是增函数，故错.故选：B 。

(1)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示，请把函数 f(x)的图象补充完 整，并根据图象写出函数 f(x)的增区间；
(2)写出函数 f(x)的值域. 解 (1)由 f(x)为偶函数可知，其图象关于 y 轴对称，如图所示，作出已知图象关 于 y 轴对称的图象，即得该函数的完整图象.
②若 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在[a，b]上的值域.
注意：a.f(x)中的 x 与 f(g(x))中的 g(x)地位相同；
b.定义域是指 x 的范围. 【例 1】 (1)函数 f(x)＝ 2x2 ＋(2x－1)0 的定义域为( )
1－x
－∞，1
A.
2
－1，1 C. 2 2
3
63
因此，实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.
(2)由(1)知 f(x)＝2x2＋2＝2x＋ 2 . 3x 3 3x
任取 x1，x2∈[－2，－1]，且 x1<x2，
则
f(x1)－f(x2)＝23(x1－x2)
1－ 1 x1x2
＝23(x1－x2)·x1xx12x－2 1.
∵－2≤x1<x2≤－1，∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.
【例 2】 (1)已知 f(x－1)＝2x＋5，则 f(x)的解析式为________.
(2)设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(0)＝1，并且 x，y∈R，都有 f(x－y)
＝f(x)－y(2x－y＋1)，则 f(x)＝________.
解 当－3≤x<－1 时，函数 f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设 f(x)＝ax＋ b(a≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得 f(x)＝－3x－7；

第一章 集合与函数概念
(一)函数单调性、奇偶性联袂问题 单调性和奇偶性是函数的两个重要基本性质，二者之间有下 面的密切联系： (1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性； (2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 巧妙地运用单调性和奇偶性的联系，可以轻松解决很多函数 问题．
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B．最小值是－9
C．最大值是－9
D．最大值是9
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第一章 集合与函数概念
[解析] 因为f(x)是偶函数且在区间[3,6]上是增函数， 所以f(x)在区间[－6，－3]上是减函数．因此，f(x)在区间 [－6，－3]上最大值为f(－6)＝f(6)＝9. [答案] D
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[解] 由于函数f(x)的定义域为(－1,1)，
－1<1－m<1， 则有－1<12－2m<1，
解得0<m<34.
又f(1－m)＋f12－2m<0， 所以f(1－m)<－f12－2m. 而函数f(x)为奇函数，
第一章 集合与函数概念
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第一章 集合与函数概念
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[解析] 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)． 又因为f(x)在区间[0,1]上是减函数， 所以f(1)<f(0.5)<f(0)， 即f(－1)<f(－0.5)<f(0)． [答案] B
第一章 集合与函数概念
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第一章 集合与函数概念

==A A B BA B A;B是两个非空集合，如果按照某种，使对于集合A中的一个数确定的数和它对应，那→为集合合的一B边听边练边落实 1．计算()1222--⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的结果是 ( )A ．2B ．2- Ｃ．22D ．22-2．若22521,(),4,1,(1),2x y x y y x y x y x ====+=-,(1)x y x y a a ==>,上述函数是幂函数的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3.幂函数()f x 的图象过点43,27)（，则()f x 的解 析式是_____________。

4．如图，设a,b,c,d>0， 且不等于1，y=a x ,y=b x , y=c x ,y=d x 在同一坐标系中的图象如图，则a,b,c,d 的大小顺序（ ）A ．a<b<c<dB ．a<b<d<cC ．b<a<d<cD ．b<a<c<d 5． lg ,lg ,lg x y z 用表示;3xy lg z6． 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =A.4B.14C.-4 D-147．利用对数的换底公式化简下列各式：()()23454839(1)log log ;(2)log 3log 4log 5log 2;(3)log 3log 3log 2log 2••••++a c c a8．函数)8131(log 3≤≤=x x y 的值域为( )A ．),0(+∞B ．)81,31( C ．)4,1( D ．)4,1(- 9．（1）求函数y ＝12log (32)x －的定义域。

（2）求函数11()2xy =-的定义域、值域：y=d xy=c xy=b x y=a xOyx必修一模块过关试题（1）一、选择题：（每小题4分共40分） 1．函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞2．如果幂函数()nf x x =的图象经过点)2,2(,则(4)f 的值等于A 、16B 、2C 、116 D 、123．已知a 是单调函数)(x f 的一个零点，且21x a x <<则 A.0)()(21>x f x f B.0)()(21<x f x f C.0)()(21≥x f x f D.0)()(21≤x f x f 4．下列表示同一个函数的是A.1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f B.22)()(,)(x x g x x f == C.2)(,)(t t g x x f == D.222log ,log 2x y x y ==5．函数⎩⎨⎧<≥+=)0(3)0(1)(||x x x x f x 的图象为A ．B ．C ．D ．6.若偶函数()f x 在(]-∞,0上是减函数，则下列关系中成立的是A.()()()020********f f f ...6.<.<. B ()()()020********f f f ..6..<.<.A B=∅，求实数数学必修一过关检测（2）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1．函数2y x =-的定义域是：. (2,) . [2,) . (,2) . (,2]A B C D +∞+∞-∞-∞2．全集U ＝｛0,1,3,5,6,8｝,集合A ＝{ 1，5, 8 }, B ={2},则集合)A B =U （C ：A ．{0,2,3,6}B ．{ 0,3,6}C ． {2,1,5,8}D ． ∅ 3．已知集合{}{}13,25A x x B x x AB =-≤<=<≤=,则：A. ( 2, 3 )B. [-1,5]C. (-1,5)D. (-1,5]4．下列函数是偶函数的是：A ．x y =B ．322-=x y C ．21x y = D ．]1,0[,2∈=x x y5．化简：2(4)ππ-＋＝：A ． 4B ． 2 4π－C ．2 4π－或4D ． 4 2π－ 6．在同一直角坐标系中，函数xy a =与log a y x =的图像只能是：7．下列说法正确的是：A ．对于任何实数a ，2142||a a =都成立 B ．对于任何实数a ，||n n a a =都成立C ．对于任何实数,a b ，总有ln()ln ln a b a b ⋅=+D ．对于任何正数,a b ，总有ln()ln ln a b a b +=⋅8．如图所示的曲线是幂函数ny x =在第一象限内的图象.已知n 分别取1-，l ，12，2四个值，则与曲线1C 、2C 、3C 、4C 相应的n 依次为：A ．2，1，12，1- B ．2，1-，1，12 C ．12，1，2，1-D ．1-，1，2，129．函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为：A ．1[0,]8B ．11[,]84C ．11[,]42D ．1[,1]210.若指数函数)10(<<=a a y x在[-1，1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 为：A.251- B. 251+- C. 451+ D. 451+- 选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 11．21log 32.5log 6.25lg0.01ln 2e +++-＝12.已知25(1)()21(1)x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩，则[(1)]f f = . 13.已知2(1)f x x +=，则 ()f x = .14. 方程 96370x x-⋅-=的解是 ． 15. 关于下列命题：①若函数xy 2=的定义域是｛}0|≤x x ，则它的值域是}1|{≤y y ；② 若函数x y 1=的定义域是}2|{>x x ，则它的值域是}21|{≤y y ； ③若函数2x y =的值域是}40|{≤≤y y ，则它的定义域一定是}22|{≤≤-x x ； ④若函数x y 2log =的值域是}3|{≤y y ，则它的定义域是}80|{≤<x x .其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上).三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．(每小题满分6分)不用计算器求下面式子的值:4160.25343216(23)(22)4()28(2009)49-⨯+--⨯--︒；17．（本小题满分8分）已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，2{|320}A x x x =-+=，{|15,}B x x x Z =≤≤∈，{|29,}C x x x Z =<<∈．（1）求()AB C ；（2）求()()U U C B C C ．18．(本小题满分8分)已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，()f x 22x x =+．(1)现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图像，如图所示，请补出完整函数()f x 的图像，并根据图像写出函数()f x 的增区间； (2)写出函数()f x 的解析式和值域.。

3.函数 f(α)＝asin α＋bcos α(a， b 为常数)， 可以化为 f(α)＝ a ＋b 或 f(α)＝ a ＋b
2 2 2 2
sin(α＋φ)其中tan
b φ＝a
· cos(α－φ)其中tan
a φ＝b.
[微点提醒] 1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
2sin αcos α sin 2α＝_____________. 1－2sin2α cos2α－sin2α ＝_____________ 2cos2α－1 ＝_____________. cos 2α＝_____________
2tan α 2 1 － tan α tan 2α＝________________ .
多维探究
cos 10° － 3cos（－100° ） 【例 2－1】 (1)计算： ＝________. 1－sin 10°
解析
cos 10° － 3cos（－100° ） cos 10° ＋ 3cos 80° cos 10° ＋ 3sin 10° ＝ ＝ ＝ 2· sin 40° 1－sin 10° 1－cos 80°
1 A. 2 3 B. 2 1 C.－ 2 3 D.－ 2
)
解析 由三角函数定义，sin α＝cos 47°，cos α＝sin 47°， 则sin(α－13°)＝sin αcos 13°－cos αsin 13°
＝cos 47°cos 13°－sin 47°sin 13° 1 ＝cos(47° ＋13° )＝cos 60° ＝ . 2 答案 A
解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.

4. (a b)2 a b(a b).
学习新知 探究:
分数指数幂
10
5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5 (a 0),
12
4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4 (a 0).
0的正分数指数 幂等于0,0 的负 分数指数幂没有 意义.
2
33 aa22 a 3 (a 0),
1
)3
=36+9－7－5=33
巩固练习 3.化简或求值：
1
1
1
1
(3)求值： (1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )
1
1
1
1
解： (1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )
1
1
1
1
1
(1 2 16 )(1 2 16 )(1 2 8 )(1 2 4 )(1 2 2 )
巩固练习
1. 已知 9a2－6a+1=3a－1, 求 a 取值范围.
a1 3
巩固练习
2.设 10m=2, 10n=3,求 10-2m－10-n的值
1 12
巩固练习 3.化简或求值：
1
(1)0.00814
3
(4 4
)2
(2
4
2) 3
160.75
解：
1
0.00814
3
(4 4
)2
(2
4
2) 3
160.75
当 n 为奇数时
2n (a b)n n (a b)n 2(a b) (a b) 3a b
巩固练习
4
1
练习5 : 化简
a 3 8a 3b
2
2

2021年人教版高中数学必修第一册：第4章《章末复习课》(含答案详解)1、指数与对数的运算【例1】计算：(1)2log32－log3＋log38－5log53；(2)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－.[解] (1)原式＝log3－3＝2－3＝－1.(2)原式＝＋2×2＋22×33－＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先留意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要留意分子、分母因式分解以到达约分的目的.对数运算首先留意公式应用过程中范围的改变，前后要等价，娴熟地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.7n1．设3x＝4y＝36，则＋的值为( )A．6B．3C．2D．1D [由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝lo2、g436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.]指数函数、对数函数的图象及应用【例2】(1)若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如下图，则以下函数正确的选项是( )A B C D(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x.①如图，画出函数f(x)的图象；②依据图象写出f(x)的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，loga3＝1，所以a＝3.A项，函数解析式为y＝3－x，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为y＝(－x)3＝－x3，当x0时，y0，这与图象不符；D项中函数解析式为y＝log3(－x)，在(－∞，0)上为单调3、递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为y＝x3，7n 与图象相符．应选B.](2)[解] ①先作出当x≥0时，f(x)＝x的图象，利用偶函数的图象关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．②函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手：(1)单调性：函数图象的改变趋势；(2)奇偶性：函数图象的对称性；(3)特别点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a0＝1，loga1＝0.2．函数y＝1＋log(x－1)的图象肯定经过点( )A．(1,1)B．(1,0)C．(2,1)D．(2,0)C [把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可4、得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．]比较大小【例3】若0xy1，则( )A．3y3xB．logx3logy3C．log4xlog4y7nD.xyC [因为0xy1，则对于A，函数y＝3x在R上单调递增，故3x3y，A错误．对于B，依据底数a对对数函数y＝logax的影响：当0a1时，在x∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0xy1，所以logx3logy3，B错误．对于C，函数y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，故log4xlog4y，C正确．对于D，函数y＝x在R上单调递减，故xy，5、D错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要依据参数的取值进行分类商量．3．设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则( )A．abcB．bacC．acbD．cbaC [∵a＝log2πlog22＝1，b ＝logπlog1＝0，c＝π－2＝，即0c1，∴acb，应选C.]指数函数、对数函数的性质【例4】(6、1)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是( )A．奇函数，且在(0,1)上是增函数B．奇函数，且在(0,1)上是减函数C．偶函数，且在(0,1)上是增函数7nD．偶函数，且在(0,1)上是减函数(2)已知a0，a≠1且loga3loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.①求a的值；②若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．](2)[7、解] ①因为loga3loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.②函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.令t＝log3x，因为1≤x≤3，所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.所以y＝2＋∈，所以所求函数的值域为.1．把本例(1)的函数f(x)改为“f(x)＝ln(x＋)”，推断其奇偶性．[解] ∵f(x)＝ln(x＋)，∴其定义域为R，又f(－x)＝ln(－x ＋)，∴f(x)＋f(－x)＝ln(x＋)＋ln(－x＋)＝ln1＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．28、．把本例(2)②中的函数改为“y＝a2x＋ax－1”，求其最小值．[解] 由题意可知y＝32x＋3x－1，令3x＝t，则t∈[3,27]，∴f(t)＝t2＋t－1＝2－，t∈[3,27]，∴当t＝3时，f(t)min＝f(3)＝9＋3－1＝11.7n1．讨论函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要留意换元后u的取值范围．函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．[解] (1)最初的质量为9、500g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg0.9t＝lg0.5，即tlg0.9＝lg0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x 为时间)的形式.4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减，问至少应过滤几次才能使产品到达市场要求？(已知：10、lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)7n[解] 设过滤n次能使产品到达市场要求，依题意，得×n≤，即n≤.则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能到达市场要求．7。

单调区间:
(1)y=log3(x-2);(2)y=|log 1 x|.
2
解 (1)函数y=log3(x-2)的图象如图①所示,其定义域为(2,+∞),值域为R,在区
间(2,+∞)内是增函数.
图①
log 1 ,0 < ≤ 1,
2
(2)y=|log 1 x|=
其图象如图②所示,其定义域为(0,+∞),值域为
(m∈Z)内,则
A.1
B.2
1
27 +log3m
C.3
的值是(
D.4
)
1 1
(3)若函数f(x)=ax2-2x+1在区间 - 2 , 2 内有零点,则实数a的取值范围
为
答案 (1)D
.
(2)D
(3)(-∞,0]
解析 (1)由常数a,b同号,b,c异号,可得a,c异号,令2x=t,则方程变为
at2+bt+c=0,t>0,由于此方程的判别式Δ=b2-4ac>0,故此方程有两个不等实
由图象可知函数的三个性质:
①对称性:图象的对称轴为直线x=1.
②单调性:在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
③函数的值域:[1,+∞).
专题二
指数函数性质的综合应用
在指数函数性质的综合应用中,主要出现以指数函数为载体的复合函数,然
后利用定义判断复合函数的奇偶性、单调性,从而解决问题.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)若f(x)>0,求x的取值范围.
10 + > 0,
解(1)要使函数有意义,则

类型
【例 3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察
站，测量最大积雪深度 x 与当年灌溉面积 y.现有连续 10 年的实测资料，如表所
示.
年序 最大积雪深度 x(cm) 灌溉面积 y(公顷)
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
4
2
(1)求 p%的值；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解 (1)由题意得 a(1－p%)10＝a， 2
即(1－p%)10＝1，解得 2
p%＝1－
1 2
1 10.
(2)设经过 m 年森林面积为 2a， 2
则
a(1－p%)m＝
2a，即 2
1 2
m 10＝
1 2
12，得1m0＝12，解得
所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱. 规律方法 1.利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换 元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料 最省等最值问题. (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 2.应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论. 【训练 1】 某车间生产一种仪器的固定成本为 10 000 元，每生产一台该仪器需 要增加投入 100 元，已知总收入满足函数：

3.4　函数的应用(一)课标要求素养要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要性.2.会利用已知函数模型解决实际问题.通过本节课的学习，使学生体会常见函数的变化异同，提升学生数学抽象、数学建模、数据分析等素养.教材知识探究随着经济和社会的发展，汽车已逐步成为人们外出的代步工具.下面是某地一汽车销售公司对近三年的汽车销售量的统计表：结合以上三年的销量及人们生活的需要，2018年初，该汽车销售公司的经理提出全年预售43万辆汽车的远大目标，经过全体员工的共同努力，2018年实际销售44万辆，圆满完成销售目标.年份201520162017销量/万辆81830问题1　在实际生产生活中，对已收集到的样本数据常采用什么方式获取直观信息？问题2　如果我们分别将2015，2016，2017，2018年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，一次函数模型g(x)＝ax＋b(a≠0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？问题3　依照目前的形势分析，你能预测一下2019年，该公司预销售多少辆汽车吗？提示　1.建立函数模型.2.通过计算二次函数能更好地反映该公司中的年销量.3.2019年，该公司预销售60万辆汽车.1.常见的函数模型常见函数模型一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)幂函数模型y＝axα＋b(a，b为常数，a≠0，α≠1)2.解决函数应用问题的步骤(1)利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原.(2)这些步骤用框图表示如图：教材拓展补遗[微判断]1.当x 每增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值，则y 是x 的一次函数.( )2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y (℃)随着时间t (min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.判断下列说法的正误：√(1)前5分钟温度增加越来越快.( )(2)前5分钟温度增加越来越慢.( )(3)5分钟后温度保持匀速增加.( )(4)5分钟后温度保持不变.()×√×√[微训练]1.一个矩形的周长是40，矩形的长y关于宽x的函数解析式为________.解析　由题意可知2y＋2x＝40，即y＝20－x，易知0<x≤10.答案　y＝20－x(0<x≤10)答案　2 500[微思考]一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型的选取的标准是什么？它们的增长速度是如何变化的？提示　一次函数模型y＝kx＋b(k>0)增长特点是直线上升，增长速度不变.二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最优、最省等最值问题，幂函数y＝ax n＋b(x>0，n>0，a>0)随x的增大而增大，但增长的速度相对平稳，图象随n的变化而变化.题型一　一次函数模型函数的图象确定了函数的类型【例1】　为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜.规律方法　在用函数刻画实际问题时，除了用函数解析式刻画外，函数图象也能够发挥很好的作用，因此，应注意提高读图的能力.【训练1】　某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________.解析　设解析式为y＝kx＋b(k≠0)，题型二　幂函数与二次函数模型【例2】　(1)某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.(2)商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售.问：①商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？②通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？(1)解析　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.答案　125(2)解　①设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100，300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300).∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100，300])，∵k<0，∴x＝200时，y max＝－10 000k，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.②由题意得k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%，x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元.规律方法　1.幂函数应用的常见题型(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.2.利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.【训练2】　据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？(2)设最大利润为Q(x)，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.的最大值与最小值.日销售额y解　(1)由已知，由价格乘以销售量可得：(2)由(1)知①当0≤t≤10时，y＝－t2＋10t＋1 200＝－(t－5)2＋1 225，函数图象开口向下，对称轴为t＝5，该函数在t∈[0，5]单调递增，在t∈(5，10]单调递减，∴y max＝1 225(当t＝5时取得)，y min＝1 200(当t＝0或10时取得)；②当10<t≤20时，y＝t2－90t＋2 000＝(t－45)2－25，函数图象开口向上，对称轴为t＝45，该函数在t∈(10，20]单调递减，∴y max＝1 200(当t＝10时取得)，y min＝600(当t＝20时取得).由①②知y max＝1 225(当t＝5时取得)，y min＝600(当t＝20时取得).规律方法　应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【训练3】　某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (t ∈N ＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (t ∈N ＋)(天)之间的关系如下表：(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数关系式；t /天5102030Q /件35302010(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量).解　(1)由已知可得：(2)日销售量Q与时间t的一个函数式为)，Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N＋(3)由题意当0<t<25，t＝10时，y max＝900，当25≤t≤30，t＝25时，y max＝(25－70)2－900＝1 125.∴当第25天时，该商品日销售金额的最大值为1 125元.一、素养落地1.通过本节课的学习，学会用函数模型解决实际问题，重点提升学生的数学抽象、数学建模、数据分析素养.2.建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤.二、素养训练1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是( )A.y＝2tB.y＝120tC.y＝2t(t≥0)D.y＝120t(t≥0)解析　因为90 min＝1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5＝120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y＝120t(t≥0).答案　D2.网上购鞋常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”中国鞋码220225230235240245250255260265实际标准(mm)中国鞋码34353637383940414243习惯叫法(号)习惯称为“30号”的童鞋，对应的脚实际尺寸为多少毫米( )A.150B.200C.180D.210解析　设脚的长度为y mm，对应的鞋码为x码.则y＝5x＋50，当x＝30时，y＝5×30＋50＝200.故选B.答案　B3.国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税.已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A.2 800元B.3 000元C.3 800元D.3 818元令(x－800)×0.14＝420，解得x＝3 800，令11.2%x＝420，得x＝3 750(舍去).故这个人应得稿费(扣税前)3 800元，故选C.答案　C4.用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________m2.解析　设矩形的一边长为x m，当x＝3 m时，S最大＝9 m2.答案　9本节内容结束。

位置不是x,C不是指数函数;D式中,自变量不在指数上,D不是指数函数.
探究点二 指数函数的图象及应用
角度1指数型函数图象过定点问题
【例2】 已知函数f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的图象一定过点P,则点P的坐标
是
.
答案 (-1,4)
解析 ∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象
解得
> 0,且 ≠ 1,
> 0,且 ≠ 1,
故 a=2.
规律方法
指数函数是一个形式定义,其特征如下:
变式训练1
下列以x为自变量的函数中,是指数函数的为(
)
A.y=(π-1)x
B.y=(1-π)x
C.y=3x+1
D.y=x2
答案 A
解析 π-1为正实数,A是指数函数;B式中,1-π<0,B不是指数函数;C式中,指数
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.(
(3)所有的指数函数图象过定点(0,1).(
)
(4)函数y=a|x|与函数y=|ax|(a>0,且a≠1)的图象是相同的.( × )
)
2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么?具体变化特
征是什么?
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,
∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.
若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x是减函数,
∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.

4.5　函数的应用(二)4.5.1　函数的零点与方程的解课标要求素养要求1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系.2.了解零点存在性定理、会判断函数零点的个数.通过本节内容的学习，使学生体会转化思想在研究函数中的作用，提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象素养.教材知识探究路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？将这个实际问题抽象成数学模型.问题　如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A，B是人的起点和终点，则点A，B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河？提示　只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识.1.函数的零点注意零点不是点，而是一个实数f(x)=0(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数的零点、函数的图象与x 轴的交点、对应方程的根的关系：f(x)=0x轴f (a )·f (b )<0是函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内存在零点的充分不必要条件2.函数零点存在定理(1)条件：①如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条 的曲线；② <0.(2)结论：函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内至少有一个零点，即存在c ∈(a ，b )，使得，这个c也就是方程f (x )＝0的解.连续不断f (a )·f (b )f(c)=0×2.若函数f (x )在(a ，b )内有零点，则f (a )f (b )<0.()提示　反例：f (x )＝x 2－2x 在区间(－1，3)内有零点，但f (－1)·f (3)>0.3.若函数f (x )的图象在区间[a ，b ]上是一条连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则f (x )在(a ，b )内只有一个零点.()提示　反例：f (x )＝x (x －1)(x －2)，区间为(－1，3)，满足条件，但f (x )在(－1，3)内有0，1，2三个零点.××[微训练]1.下列各图象表示的函数中没有零点的是( )答案　D2.若2是函数f(x)＝a·2x－log2x的零点，则a＝________.[微思考]1.结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思考是否所有的函数都有零点？并说明理由.提示　不一定.因为函数的零点就是方程的根，但不是所有的方程都有根，所以说不是所有的函数都有零点.如：指数函数，其图象都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点.2.在零点存在定理中，若f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点.则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？提示　满足f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)·f(b)<0.题型一　求函数的零点(2)令f(x)＝21－x－4＝0解得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.(3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3.答案　(1)B　(2)－2　(3)3规律方法　探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点.(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.【训练1】　函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________.解析　∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0 b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1).题型二　判断函数零点的个数(2)法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数.在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点.法二　由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，所以f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1，2)上是连续的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个.规律方法　判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点.(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数.(4)转化成两个函数图象的交点问题.答案　C题型三　判断函数零点所在的区间【例3】　(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x－3－2－101234 y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( )A.(－3，－1)和(2，4)B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2)D.(－∞，－3)和(4，＋∞)解析　(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2，4)内有根.故选A.答案　(1)A　(2)C规律方法　确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点.(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练3】　(1)函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A.(－2，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，2)(2)若方程x lg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于( )A.－2B.1C.－2或1D.0解析　(1)∵f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，∴f(0)·f(1)<0，又f(x)的图象在(0，1)内是一条连续不断的曲线，∴f(x)在(0，1)内有零点.答案　(1)C　(2)C一、素养落地1.通过学习函数零点与方程根的关系培养数学抽象素养，通过学习零点存在定理判断零点的个数及判断零点所在区间提升逻辑推理、直观想象素养.2.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.3.方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标.4.函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时可以转化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础.二、素养训练1.函数f(x)＝2x2－4x－3的零点有( )A.0个B.1个C.2个D.不能确定解析　由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0，所以方程2x2－4x－3＝0有两个不相等的实根，即f(x)有两个零点.答案　C答案　B答案　B4.函数f(x)＝x2－2x在R上的零点个数是________.解析　函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数.如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象.由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点.答案　3本节内容结束。

§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素 (1)如果是集合A 的元素,就说属于集合A,记作;(2)如果不是集合A 的元素,就说不属于集合A,记作.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作,正整数集记作或,整数集记作,有理数集记作,实数集记作. [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学; （3）不等式的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形a a a A ∈a a a A ∉N *N N +Z Q R 217x +>{},,M a b c =例3.设若,求的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质,就一定属于集合A.例4.已知,,且,求实数的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 的意义相同 （C ）集合 是有限集 （D ）方程的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．方程组的解构成的集合是（ ）A ．B ．C ．（1，1）D ．.4．已知，，则B ＝5．若，，用列举法表示B= . [归纳反思]1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=()3,2A ∈,a b p p {}2,,M a b ={}22,2,N a b =M N =,a b {}0⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,10122=++x x }33|{=+x x },,|),{(22R y x x y y x ∈-=}0|{2≤x x }01|{2=+-x x x 20{=+=-y x y x )}1,1{(}1,1{}1{}1,0,1,2{--=A }|{A x x y y B ∈==}4,3,2,2{-=A },|{2A t t x xB ∈==的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。

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第四章 指数函数与对数函数
2．如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可
能的函数模型是( )
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x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
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A.一次函数模型
B．二次函数模型
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第四章 指数函数与对数函数
【解】 建立生产量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1，
8)，(2，18)，(3，30)．
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(1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，
第四章 指数函数与对数函数
解析：画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函
数模型，故选④.
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答案：④
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第四章 指数函数与对数函数
4．已知函数
f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1

§1.1 集合（复习）1. 掌握集合的交、并、补集三种运算及有关性质，能运行性质解决一些简单的问题，掌握集合的有关术语和符号；2. 能使用数轴分析、Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.214复习1：什么叫交集、并集、补集？符号语言如何表示？图形语言？A B = ；A B = ；U C A = .复习2：交、并、补有如下性质.A ∩A ＝ ；A ∩∅＝ ；A ∪A ＝ ；A ∪∅＝ ；()U A C A = ；()U A C A = ；()U U C C A = .你还能写出一些吗？二、新课导学※ 典型例题例1 设U =R ，{|55}A x x =-<<，{|07}B x x =≤<.求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、(C U A )∩(C U B )、(C U A )∪(C U B )、C U (A ∪B )、C U (A ∩B ).小结：（1）不等式的交、并、补集的运算，可以借助数轴进行分析，注意端点；（2）由以上结果，你能得出什么结论吗？例2已知全集{1,2,3,4,5}U =，若A B U =，A B ≠∅，(){1,2}U A C B =，求集合A 、B .小结：列举法表示的数集问题用Venn 图示法、观察法.例 3 若{}{}22430,10A x x x B x x ax a =-+==-+-=，{}210C x x mx =-+=,A B A A C C ==且，求实数a 、m 的值或取值范围．变式：设2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=，若B ⊆A ，求实数a 组成的集合、.※ 动手试试练1. 设2{|60}A x x ax =-+=，2{|0}B x x x c =-+=，且A ∩B ＝{2}，求A ∪B .练2. 已知A={x|x<-2或x>3}，B={x|4x+m<0}，当A⊇B时，求实数m的取值范围。