第四章测量平差-最小二乘

最小二乘法设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。

根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。

最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。

如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。

因此称最小二乘法。

所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。

法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。

事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。

此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。

为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。

最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。

Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计= a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和｀〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化判据”。

令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。

第一章绪论第二、三章全书的基础知识第四章介绍测量平差理论第五、六、七、八章 4种平差方法第九章各种平差方法的总结第十章讨论点位精度第十一章统计假设检验的知识第十二章近代平差概论根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。

二、如何学好测量平差1. 要有扎实的数学基础。

只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。

2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。

3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。

第一章绪论本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。

第二章误差散布与精度指标全章共分5节，是本课程的重点内容之一。

重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。

难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。

要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。

第三章协方差传播律及权全章共分7节，是本课程的重点内容之一。

重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。

难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。

要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系；能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量实践中去，解决各类精度评定问题。

第四章平差数学模型与最小二乘原理全章共分5节。

重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。

难点：函数模型的线性化，随机模型。

要求：牢固掌握本章的重点内容；深刻理解最小二乘原理中“最小”的含义；关于较简单的平差问题，能熟练地写出其数学模型。

最小二乘平差最小二乘平差（Least Squares Adjustment）是测量数据处理中的一种常用方法，用于对测量观测数据进行最优估计。

通过该方法可以减小测量误差，提高测量精度，对于工程测量、测绘、地理信息系统等领域具有重要的应用价值。

原理介绍最小二乘平差的原理基于最小化观测量与观测值之间的残差平方和。

在测量过程中，常常会存在观测误差、系统误差等不确定因素，这些因素会导致观测值与真实值之间存在差异。

最小二乘平差通过对所有观测值进行加权，使得观测值与真实值之间的差异最小化。

设有n个观测值，每个观测值的观测量为O，真实值为T，观测误差为e。

则最小二乘平差的目标是找到最优的拟合/估计值x，使得：formula1通过对以上目标进行求解，可以得到最优的拟合/估计值x。

其中，观测值和真实值之间的关系可以通过各种数学模型进行描述，例如线性模型、非线性模型等。

应用场景最小二乘平差在测量数据处理中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1.三角测量：在工程测量中，常用三角测量方法测量不同点之间的距离、角度等。

利用最小二乘平差，可以修正测量误差，提高测量精度。

2.高程测量：在测绘、地理信息系统中，通常需要测量地点的高程信息。

最小二乘平差可以对高程测量数据进行优化处理，提高高程测量的精度。

3.GPS定位：全球卫星定位系统（GPS）在导航、地图绘制等领域有着广泛的应用。

最小二乘平差可用于对GPS观测数据进行处理，提高定位的准确性。

4.建筑变形监测：在建筑工程中，对于建筑物的变形监测和建筑物的结构健康状况评估，最小二乘平差可用于对监测数据进行处理，及时发现异常情况。

实现方法最小二乘平差的实现方法有多种，常用的包括：1.高斯-马尔可夫模型：基于线性模型，通过最小二乘法对观测数据进行拟合估计。

该方法适用于满足高斯分布假设的情况。

2.递归最小二乘法：将观测数据分为多个子集，通过递归的方式对子集数据进行最小二乘拟合，然后合并得到最终的拟合结果。

水准测量平差计算
水准测量平差计算是水准测量中的一项重要工作，主要是对测量数据进行分析处理，消除误差和残差，以求得较为准确的高程结果。

具体步骤如下：
1. 建立观测方程
在水准测量中，设定起点高程为0，然后逐站向前观测，求出每个站点的高程。

建立每个站点高程的观测方程，包括自由高差和永久高差的影响。

2. 矩阵方程式
将所有观测方程进行矩阵变换，消除自由高差，得到纯高差矩阵方程组。

3. 固定高程点的影响
将所有观测方程加上固定高程点的影响，消除永久高差，得到纯高差矩阵方程组。

4. 最小二乘方法
利用最小二乘方法解出平差后的高差平差值，分别确定每个站点的高程。

5. 残差分析
对于每个观测方程都会有一个残差，其代表了实际测量值与计算值之间的差异。

进行残差分析，可发现数据中的误差规律和存在的误差来源，为后续的测量和处理提供参考和改进。

6. 高程精度分析
通过对整个水准测量的误差分析和精度分析，得出测量结果的可靠性和精度，为后续的工作提供指导和帮助。

第一章绪论第一节观测误差一、观测值中为什么存在观测误差？观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。

有观测就有误差的结论。

二、观测误差的计算给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。

三、观测误差的分类及其处理1、分类给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。

结合测角、测距和水准测量的全过程，让学生分析哪些因素引起的误差属于粗差，那些哪些因素引起的误差属于系统误差，那些哪些因素引起的误差属于偶然误差。

2、处理总结粗差、系统误差和偶然误差的处理方法，让学生举例说明测量上哪些操作是为了消除系统误差影响的，那些计算改正为了消除系统误差影响的。

四、测量平差的任务根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。

第二节测量平差学科的研究对象研究对象为含有观测误差的各类观测值。

举例说明。

第三节测量平差的简史和发展一、测量平差理论的发展１、经典平差理论的发展主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。

２、近代平差理论的发展主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。

二、平差计算方法的发展２、半自动平差阶段３、全自动平差阶段第四节测量平差的任务和内容一、任务讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。

二、内容课本各章的内容。

小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观测误差的定义、处理，以及测量平差的发展概况。

第二章误差分布与精度指标第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。

二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。

第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法（1）列表法（通过实例列表讲解）（2）绘图法（通过实例绘图讲解）（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。

测绘技术中的平差计算方法详解测绘技术是一个复杂而多样化的领域，涉及到测量和计算等多个方面。

其中，平差计算是测绘技术中的一个重要环节，用于处理测量数据的误差，并确定准确的测量结果。

本文将详细介绍测绘技术中的平差计算方法，包括主要的几种方法以及其原理和应用。

一、最小二乘法平差最小二乘法平差是测绘技术中常用的一种平差方法，其原理是通过最小化测量数据的残差平方和，找到最优的平差结果。

具体而言，最小二乘法平差可以分为两个步骤，即观测方程的建立和最小二乘平差计算。

观测方程的建立是最小二乘法平差的首要步骤。

观测方程是通过观测数据和控制点坐标之间的关系建立的，通常采用线性模型，分为多余观测方程和未知数观测方程。

多余观测方程用于约束未知数之间的关系，而未知数观测方程用于计算未知数的值。

最小二乘平差计算是基于观测方程的误差理论和最小二乘法原理进行的。

具体而言，最小二乘平差计算首先确定观测方程的权阵，即观测误差的方差-协方差矩阵的逆阵。

然后，通过迭代计算的方式，不断更新未知数的值，直到满足平差条件为止。

最终，得到的平差结果可以用于控制点坐标的计算和精度评定等。

最小二乘法平差在测绘技术中有广泛的应用。

例如，地理信息系统（GIS）中的空间数据处理和地图制图，常常需要进行最小二乘法平差来获得准确的空间坐标。

此外，最小二乘法平差还在大地测量、工程测量和海洋测绘等领域中得到广泛的应用。

二、权值平差除了最小二乘法平差外，权值平差也是测绘技术中常用的一种平差方法。

它通过给予不同观测量不同的权值，来提高平差结果的准确性。

具体而言，权值平差可以分为权值设计和平差计算两个步骤。

权值设计是权值平差的首要步骤。

权值设计是通过评定每个观测量的精度，为观测方程赋予权值。

通常情况下，权值可以根据观测量的可靠性、测量仪器的准确性和操作员的经验等因素来确定。

平差计算是基于观测方程的权值进行的。

权值平差首先通过测量原始数据的残差和权阵，确定观测方程的权阵。