大学物理质点运动时间空间

•描述物质运动具有相对性 参考系: 为确定物理位置和描述物体运动而选为依 据的一个或一组彼此相对静止的物体.
选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运 动描述的相对性.
（1） 参考系的引入是由于运动相对性的需要。 （2）参考系的选择是任意的，对不同的参考系质点运动
形式不同。 （3）通常我们选地面或固定于地面的物体为参考系。
t内位 x 移 8 t 8 t为 t 4 (t)2
x vt1 t2 t8 8 t1 4 (t2 t1)
v018044(ms)方 向 x轴 与正 向 相
v128844(ms)方向 x轴 与正向相
（2）vt
dx88t dt
代入 t = 0 , 1 , 2 得：
v0 8ms v10 v2 8ms
讨论
1. 位移的物理意义 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只
决定于质点的始末位置，是描述状态变化的物理量.
2. 位移与路程
P1P2 两 点 间 的 路 程 是 不
y
唯 位移一 的r,是可唯以一是的.s或 s ' ,而
P1
路程一，般即情况r位移s大；小只不有等于当
质点做单方向的直线运动时，
三、空间和时间
空间（space）反映了物质的广延性，与物体 的体积和位置的变化联系在一起。
时间（time）反映物理事件的顺序性和持续性。
目前的时空范围：宇宙的尺度1026 m(~150亿光年) 到微观粒子尺度10-15 m，从宇宙的年龄1018 s(~150亿
年)到微观粒子的最短寿命10-24 s。
与 x轴正向相同 此时转向 与 x轴 正 向 相 反
练习2:设质点做二维运动： r 2 ti (2 t2 ) j 求t=0秒及t=2秒时质点的速度，并求后者的大
小和方向。
解： v dr2i2tj
dt
t 0v 0 2 i t 2v 2 2 i 4 j
大小： 方向：
v222424.4m 7/s
，a
dv dt
d2r dt2
在直角坐标系中
ax
dvx dt
d 2x dt2
a a xi a yj a zk a y
dvy dt
d2y dt2
az
dvz dt
d 2z dt2
加速度大小
a ax2 ay2 az2
加速度方 向 co a ,i ) s ( a xa co a , js ) (a ya co a ,k ) s ( a za
t 时间内, 质点的平均速度 z
x
v r t
r(tΔt)r(t)平均速度 v
Δt
与 r同方向.
➢瞬时速度
当 t 0 时平均速度的极限叫做瞬时速度，简
称速度，即在某时刻或某位置处质点位矢对时间的变
化v 率. lim rdr t 0t dt
y
B s
r(tt)
当 t0时, drds
v
ds dt
et
O
坐标系: 固定于参考系上的一条或一组带有刻度的有向线段。 在选定的参考物上建立固定的坐标系，可精确描述物体的
运动.
常用坐标系：
直角坐标系（ x , y , z ）, 球坐标系（ r,θ, ）, 柱坐标系（ , , z ）,平面极坐标系(r,)，自然坐标系 ( s ).
在同一参考系中选用不同的坐标系，运动形式相同而描述形 式不同。
2. 领会圆周运动中角位移、角速度和角加速度的概念 以及它们之间的关系. 了解线量和角量的关系.
*3. 认识同一质点在不同坐标系中的位置矢量关系式、 速度关系式和加速度关系式.
一、切向加速度和法向加速度
在质点的运动轨迹上任一点建立如下坐标系，其
中一根坐标 轴沿轨迹在该点 P 的切线方向，该方向单 位矢量用 et 表示；另一坐标轴沿 该点轨迹的法线并指 向曲线凹侧，相应单位矢量用 en表示，这种坐标系就
物体在空间的位置随时间变化的运动称为 机械运动。
1-1 质点运动的描述之一
一、质点
物体：具有大小、形状、质量和内部结构的物质形态。
一般情况下，物体各部分的运动不相同，在运动 的过程中大小、形状可能改变，这使得运动问题变得 复杂。
某些情况下，物体的大小、形状不起作用，或者 起次要作用而可以忽略其影响——简化为质点模型。
叫做自然坐标系（natural coordinates）。
沿轨迹上各点， 自然坐标轴的方 位是不断地变化 着的。
质点速度的方向沿着轨迹的切向，表示为
vvtet vet
ds dt
et
a
dv dt
dv dt
et
v
det dt
de t de n
det dt
ddt en en
v R
en
addvt et R 1v2en
式中R 、是常数.
y
求: （1）质点轨道方程； （2）质点的速度和加速度.
解：（1） 运动学方程的分量式是
x R c ot,sy R s itn
y •P(x, y)
R
ωt
x
Ox
由 x R c ot,sy R s itn 中消去时间参量t，
得到轨迹方程
x2y2 R2
（2）将 x R c ot,sy R s itn 对时间求导
质点（mass point，particle）：具有一定质量但忽略 其形状和大小的理想物体（几何点）。
可否视为质点，依具体情况而定：
a. 物体平动时可视为质点。 物体上任一点的运动都可以代表物体的运动。
b. 转动物体自身线度与其活动范围相比小得多时 可视为质点。
研究地球公转
RES RE
1.5108 6.4 103
a ax2ay2 Rω2
v2 R
例变化：，设初质位点置沿为x轴x0作，匀初变速速度直为线v0运.动试，用加积速分度法a不求随出质时点间
的速度公式和运动方程.
解：因为质点做直线运动, a d v dt
所以 dvadt
对上式两边做积分运算,
dvadt
得 vatC1 将初始条件带入上式, 确定积分常数 C1 v0
五、 运动的叠加性
一个运动可以看成由几个独立进行的运动叠加而
成，并且描述其中任何分运动的矢量叠加都满足平行
四边形法则. 反之，一个运动可以按平行四边形法则 分解成若干个分运动.
例如：一只横渡流
速均匀分布的河流的船. v水对岸
船对水的速度
v船对水
v船对岸 v船对水
水对岸的速度
v水对岸
v船对岸
y
jr
*P
标矢 量系,里简的 称位位置矢 的，物用理 r 量表称示位. 置 zko
i x
x
r x i y j z k
z
式中
位矢
r i 、的j、值k为分别r为xr、 y、zx方2 向y的2 单z位2矢y量.
r 位矢 r的方向余弦为
cosxr cosyr
cosz r
o
z
P
x
2. 位移
描写质点位置变化的物理量.
z
A
r(t)
x
当质点作曲线运动时, 质点在某一点的速度方向 就是沿该点轨道曲线的切线方向.
➢瞬时速率
速度 v 的大小称为速率.
v
ds dt
et
v
ds dt
瞬时速率 v d s dt
在直角坐标系中
v dxidyjdzk dt dt dt
vv (dx)2(dy)2(dz)2 dt dt dt
注意
v 船对 v 船 岸对 v 水 水对岸v船对水
v水对岸
六、 运动方程和轨迹方程
质r 点( t 位) 置x 矢( t 量) i 随 时y 间( t 变) j 化 的z 函( t 数) k 关系就是运动方程.
分量式
x x(t)
y y(t)
z z(t)
从运动方程中消去参数t得到质点位置坐标之间的
第一章 质点的运动 时间 空间
第一章 质点运动 时间 空间
1-0 第一章教学基本要求 1-1 质点运动的描述之一 1-2 质点运动的描述之二 1-3 经典时空观及其局限性 *41-04 第 相四 对章论教时学空基观本念要求
教学基本要求
一、掌握位矢、位移、速度和加速度等概念. 二、能借助于直角坐标系计算质点在平面内运动时的速度和 加速度.
1.平均速度与平均速率的区别
•平均速度为物体发生的位移与时间 之比；为矢量。
v
r
t
•平均速率为物体经过的 路程与时间之比；为标量。
s
B
v s t
A
r
2. 速度与速率的区别
•速度为位矢r对时间的一次导数，为矢量：
v dr dx idy j dt dt dt
•速率为速度的大小，为标量：
v
|
v|
物理理论指出，空间和时间都有下限：分别为
普朗克长度10-35 m和普朗克时间10-43 s 。
牛顿的绝对时空观 ：空间和时间是不依赖于物质的 独立的客观存在。 爱因斯坦的相对论时空观 ：相对论时空观，时间与 空间客观存在，与运动密不可分。
四、 描述质点运动的物理量
y
1. 位置矢量 确定质点P某一时刻在坐
2.4140 1
研究地球自转
vR
地球上各点的速度相差很大， 因此，地球自身的大小和形状 不能忽略，这时不能作质点处 理。
二、参考系和坐标系
为什么要选用参考系 例如：匀速运动车厢内某人竖直下抛一小球，观
察小球的运动状态。
车厢内的人： 竖直下落 地面上的人： 抛物运动
孰是孰非？
•物质运动具有绝对性
z
r(t1)
O
路程和位移的大小才相等.
s'
s r P2
r(t2)
x
3. 速度
描写物体运动快慢和位置变化方向的物理量.
➢ 平均速度
y
物体的位移与发生这段位移 所用的时间之比.
B
* s
r(tt)
在 t 时间内, 质点从点A 运
r
动到点 B, 其位移为
*A
r(t)
r r ( t t) r ( t) O
所以速度公式为 vv0 at
由速度定义, 有 v d x dt
所以 d xv d t(v 0a)d tt
对上式两边积分运算:
dx(v0a)d tt
得
xv0t
1at2 2
C2
将初始条件带入上式, 确定积分常数 C2 x0
运动方程为
xx0 v0t12at2
1-2 质点运动的描述之二
预习要点
1. 领会切向加速度和法向加速度的概念及物理意义； 理解切向加速度、法向加速度和总加速度的关系.
关系式称为轨迹方程.
f(x,y,z)0
七、 例题
质点运动学两类基本问题
➢由质点的运动方程求得质点在任一时刻的速度和加 速度（通过求导计算）；
➢已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 求质 点速度及其运动方程（通过积分计算）.
求导
r(t)
v (t )
积分
求导 a(t)
积分
例：已知质点的运动方程是r R ct o i R st i j，n
加速度的方向就是时间t趋近于零时，速度增量v的
极限方向。加速度与速度的方向一般不同。
加速度与速度的夹角为0或180，质点做直线运动。
加速度与速度的夹角等于90，质点做圆周运动。
加速度与速度的夹角小于90，速率增大。 加速度与速度的夹角大于90，速率减小。
质点做曲线运动时，加速度总是指向轨迹曲线凹的一边
arctan4 6326 为v2与x轴2的 夹 角
4. 加速度
反映速度变化快慢和速度方向变化的物理量.
➢平均加速度 某段时间内, 单位时间的速
y vA
vB
度增量即平均加速度.
B
A
a v a 与 v 同方向. O
t
➢瞬时加速度
vA
x
v
Δt 0时平均加速度的极限.
vB
alimvdv t0 t dt
经过时间间隔 t 后, 质
点位置矢量发生变化, 由始点 A指向终点B的有向线段AB称
y
A r B
rA
rB
为点A到B的位移.
o
x
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A B rrBrA
在直角坐标系
O xyz 中, 其位移 的表达式为
r ( x B x A ) i ( y B y A ) j ( z B z A ) k
vx
dx dt
Rω sin
ωt
vy
dy dt
Rω cos ωt
v vx2 vy2 Rω
ax
dvx dt
Rω2 cosωt
ay
dvy Rω2 dt
sin ωt
a ax2ay2 Rω2
a a x i a y j 2 ( R c t i o R ss t j ) i n 2 R
dr
dt
dx2 dt
ddyt2
练习1 一质点沿x轴作直线运动，其位置坐标与时间的 关系为 x=10+8t-4t2,求：
（1）质点在第一秒、第二秒内的平均速度。
（2）质点在t=0、1、2秒时的速度。 解：（ 1 ） t时x 刻 1 0 8 t 4 t2
t t 时 ( x x 刻 ) 1 8 ( t 0 t ) 4 ( t t ) 2
三、掌握质点作圆周运动时的切向加速度、法向加速度、角 速度、角加速度等概念和角量与线量的关系，并能做相关计 算. 四、了解惯性参考系、伽利略变换和经典时空观，了解伽利 略相对性原理，了解狭义相对论产生的科学背景（含洛伦兹 变换）.了解狭义相对论的基本原理和时空观的基本理论. *五、了解狭义相对论中同时的相对性及长度收缩和时间膨胀等 相对论效应，会做简单的相关计算.