高中数学选修2-1综合测试题及答案

高中数学人教a版高二选修2-1-章末综合测评1有答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若某2＜1，则－1＜某＜1”的逆否命题是()A．若某2≥1，则某≥1，或某≤－1B．若－1＜某＜1，则某2＜1C．若某＞1，或某＜－1，则某2＞1D．若某≥1或某≤－1，则某2≥1【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．【答案】D2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】把全称量词改为存在量词并把结论否定．【答案】D3．命题p：某＋y≠3，命题q：某≠1或y≠2，则命题p是q的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】命题“若p，则q”的逆否命题为：“若某＝1且y＝2，则某＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．【答案】A4．设点P(某，y)，则“某＝2且y＝－1”是“点P在直线l：某＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件第-1-页共8页【解析】当某＝2且y＝－1时，满足方程某＋y－1＝0,即点P(2，－1)在直线l上．点P′(0，1)在直线l上，但不满足某＝2且y＝－1，∴“某＝2且y＝－1”是“点P(某，y)在直线l上”的充分而不必要条件．【答案】A5．“关于某的不等式f(某)＞0有解”等价于()A．某0∈R，使得f(某0)＞0成立B．某0∈R，使得f(某0)≤0成立C．某∈R，使得f(某)＞0成立D．某∈R，f(某)≤0成立【解析】“关于某的不等式f(某)＞0有解”等价于“存在实数某0，使得f(某0)＞0成立”．故选A.【答案】A6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.【答案】A7．命题p：函数y＝lg(某2＋2某－c)的定义域为R；命题q：函数y＝lg(某2＋2某－c)的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝()A．C．{c|c≥－1}B．{c|c【解析】命题p为真命题，即某2＋2某－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c第-2-页共8页【答案】A8．对某∈R，k某2－k某－1＜0是真命题，则k的取值范围是()A．－4≤k≤0C．－4＜k≤0B．－4≤k＜0D．－4＜k＜0【解析】由题意知k某2－k某－1＜0对任意某∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒k＜0，成立；当k≠0时，有即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0.2Δ＝k＋4k＜0，【答案】C9．已知命题p：若(某－1)(某－2)≠0，则某≠1且某≠2；命题q：存在实数某0，使2某0＜0.下列选项中为真命题的是()A．綈pC．綈q∧pB．綈p∨qD．q【解析】很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2某，某∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p∨q为假命题，綈q∧p为真命题，故选C.【答案】C10．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件a1>0，a1<0，【解析】等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q>1”是q>10“”“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．【答案】D11．已知命题p：某>0，总有(某＋1)e某>1，则綈p为()A．某0≤0，使得(某0＋1)e某0≤1B．某0>0，使得(某0＋1)e某0≤1C．某>0，总有(某＋1)e某≤1第-3-页共8页D．某≤0，使得(某＋1)e某≤1【解析】因为全称命题某∈M，p(某)的否定为某0∈M，綈p(某)，故綈p：某0>0，使得(某0＋1)e某0≤1.【答案】B12．已知p：点P在直线y＝2某－3上；q：点P在直线y＝－3某＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是()A．(0，－3)C．(1，－1)B．(1，2)D．(－1，1)【解析】因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题．所以点P为直线y＝2某y＝2某－3，某＝1，－3与直线y＝－3某＋2的交点．解方程组得即点P的坐标为(1，y＝－3某＋2，y＝－1，－1)．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝某－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．【解析】p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．【答案】p∨q与綈p14．“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．【解析】命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．【答案】末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除15．已知f(某)＝某2＋2某－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______．f（1）＝3－m≤0，【解析】依题意，∴3≤m<8.f（2）＝8－m>0，第-4-页共8页【答案】[3，8)16．给出以下判断：①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；3②命题“某∈N，某3>某2”的否定是“某0∈N，使某0>某2；0”③“b＝0”是“函数f(某)＝a某2＋b某＋c为偶函数”的充要条件；④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．其中正确命题的序号是________.【解析】①②④是假命题，③是真命题．【答案】③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．(1)q：所有的矩形都是正方形；(2)r：某0∈R，某20＋2某0＋2≤0；(3)：至少有一个实数某0，使某30＋3＝0.【解】(1)綈q：至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．(2)綈r：某∈R，某2＋2某＋2>0，真命题．这是由于某∈R，某2＋2某＋2＝(某＋1)2＋1≥1>0恒成立．(3)綈：某∈R，某＋3≠0，假命题．这是由于当某＝－3时，某3＋3＝0.18．(本小题满分12分)指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：{某|某>－2或某<3}；q：{某|某2－某－6<0}；(2)p：a与b都是奇数；q：a＋b是偶数；(3)p：03【解】(1)因为{某|某2－某－6<0}＝{某|－2－2或某<3}/{某|－2－2或某<3}．所以p是q的必要不充分条件．第-5-页共8页33(2)因为a，b都是奇数a＋b为偶数，而a＋b为偶数/a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．(3)m某2－2某＋3＝01Δ>0，4－12m>0，mm>0m>0m>03所以p是q的充要条件．19．(本小题满分12分)已知命题p：不等式2某－某2q：m2－2m－3≥0，如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围.【解】2某－某2＝－(某－1)2＋1≤1，所以p为真时，m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，所以q为真时，m≤－1或m≥3.因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题，所以p为真命题，q为假命题，所以得m>1，－1即120．(本小题满分12分)已知两个命题p：in某＋co某＞m，q：某2＋m某＋1＞0，如果对任意某∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．【解】当命题p是真命题时，π由于某∈R，则in某＋co某＝2in某＋≥－2，4所以有m＜－2.当命题q是真命题时，由于某∈R，某2＋m某＋1＞0，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．考虑到函数f(某)＝某2＋m某＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的某∈R，某2＋m某第-6-页共8页＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p为假，q为真，m≥－2，此时有－2＜m＜2，解得－2≤m＜2，所以实数m的取值范围是[－2，2)．21．(本小题满分12分)已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋a＋2<0.(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．5【解】(1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得125所以实数t的取值范围是1，2.(2)因为p是q解集的真子集．5的充分不必要条件，所以t1的法一因为方程t2－(a＋3)t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2，51所以只需a＋2>，解得a>.22即实数a的取值范围为2，＋∞.法二令f(t)＝t2－(a＋3)t＋a＋2，因为f(1)＝0，15所以只需f2<0，解得a>.2即实数a的取值范围为2，＋∞.22．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程某2＋2a某＋b2＝0与某2＋2c某－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.【证明】充分性：∵∠A＝90°，∴a2＝b2＋c2.于是方程某2＋2a某＋b2＝0可化为某2＋2a某＋a2－c2＝0，∴某2＋2a某＋(a＋c)(a－c)＝0.第-7-页共8页∴[某＋(a＋c)][某＋(a－c)]＝0.∴该方程有两根某1＝－(a＋c)，某2＝－(a－c)，同样另一方程某2＋2c某－b2＝0也可化为某2＋2c某－(a2－c2)＝0，即[某＋(c＋a)][某＋(c－a)]＝0，∴该方程有两根某3＝－(a＋c)，某4＝－(c－a)．可以发现，某1＝某3，∴方程有公共根．必要性：设某是方程的公共根，某2＋2a某＋b2＝0，①则22某＋2c某－b＝0，②由①＋②，得某＝－(a＋c)，某＝0(舍去)．代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.∴∠A＝90°.∴结论成立．第-8-页共8页。

一、选择题1．下列命题中，真命题是（ ）A ．命题“若a b >，则22ac bc >”B ．命题“若a b =，则a b =”的逆命题C ．命题“当2x =-时，2560x x ++=”的否命题D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”的逆否命题 2．下列命题错误的是( )A ．命题“若p 则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题B ．命题“x ∃∈R, 20x x ->”的否定是“R ∀∈,20x x -≤”C ．∀ 0x >且1x ≠，都有12x x+> D ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真3．设a ，b ，c +∈R ，则“1abc =”是a b c+≤++”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件 4．设0a >，0b >.下列说法正确的是（ ）A ．2ln 2ln a b a b +<+则a b >B ．2ln 2ln a b a b +<+则a b <C ．2ln 2ln a b a b -<-则a b >D ．2ln 2ln a b a b -<-则a b <5．9k >是方程22194x y k k +=--表示双曲线的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件6．若命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[]2,6B ．()2,6C ．(][),26,-∞+∞D ．()(),26,-∞+∞7．下列命题中正确的是（ ）A ．“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行”的充分不必条件B ．“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C ．已知a 、b 、c 为非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的充要条件D ．p ：存在x ∈R ，2220130x x ++≤.则p ⌝：任意x ∈R ，2220130x x ++> 8．若函数()sin f x x x =，则对a ，,22b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()f a f b >成立的一个充要条件是（ ）A ．a b >B ．a b <C ．a b >D ．22a b > 9．已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞ 10．已知x 、y R ∈，则“221x y +<”是“()()110x y -->”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件11．条件甲：关于x 的不等式 sincos 1a x b x +>的解集为空集，条件乙：1a b +≤，则甲是乙的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 12．已知2:11x p x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．()1,-+∞ 二、填空题13．给出如下四个命题：①把二进制数(2)110011化为十进制数，结果为51；②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值不变，方差不变；③从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立；④若“p q ∧”为假命题，则p 、q 均为假命题.其中正确的命题的序号是________． 14．已知命题p ：任意[1,2]x ∈，20x a -≥，命题q ：存在x ∈R ，2220x ax ++=.若命题p 与q 都是真命题，求实数a 的取值范围________.15．已知集合261|()13x x A x --⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，3{|log ()}1B x x a ≥＝＋，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．16．已知命题:p x R ∀∈，210x mx ++≥；命题()0:0,q x ∃∈+∞，000x e mx -=，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围是_______________；17．设2:8120x x α-+>，2:x m m β-≤，若β是α的充分非必要条件，则实数m 的取值范围是_______________.18．若命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a ++>”为假命题，则实数a 的取值范围是______. 19．已知a R ∈ ，则“16a =”是“两直线1:210l x ay +-=与()2:3110l a x ay ---=平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）. 20．若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ∃∈≤+为真命题，则实数m 的最大值为__________．三、解答题21．已知:46p x -≤，2:2240q x x --≤，若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数x 的取值范围.22．已知p ：27100x x -+<，q ：22430x mx m -+<，其中0m >.（1）若4m =且p q ∧为真，求x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.23．设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，命题q ：实数x 满足|3|1x -<． （1）若1a =，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围；（2）若0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．24．已和知集合()(){}20A x x a x a=--<，集合211x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，命题:p x A ∈，命题:q x B ∈.（1）当实数a 为何值时，p 是q 的充要条件；（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.25．已知条件:p 对任意[3,4]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；条件:q 当[0,1]x ∈时，函数221m x x a =-++.（1）若p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.26．已知条件4:11p x ≤--，条件22:q x x a a +<-，且q ⌝的一个充分不必要条件是p ⌝，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据不等式的性质和四种命题的关系判断各选项．【详解】A ．当0c 时，22ac bc >不成立，A 错；B ．命题“若a b =，则a b =”的逆命题是若a b =，则a b =，错误，也可能是=-a b ；C ．命题“当2x =-时，2560x x ++=”的否命题是若2x ≠-，则2560x x ++≠，错误，3x =-时，也有2560x x ++=；D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”是真命题，逆否命题也故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查命题真假的判断，四种命题之间互为逆否的命题同真假，因此原命题的为真只能判断逆否命题为真，而逆命题和否命题的真假不确定，需写出逆命题，否命题进行判断．这也告诉我们当一个命题难以判断真假时可考虑判断其逆否命题的真假． 2．D解析：D【分析】对给出的四个选项分别进行判断可得结果．【详解】对于选项A ，由逆否命题的定义可得，命题“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，所以A 正确．对于选项B ，由含量词的命题的否定可得，命题“x ∃∈R, 20x x ->”的否定是“R ∀∈,20x x -≤”，所以B 正确．对于选项C ，当0x >且1x ≠时，由基本不等式可得12x x+>．所以C 正确． 对于选项D ，命题“若a b <，则22am bm <”当0m =时不成立，所以D 不正确． 故选D ．【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力．3．A解析：A【分析】证充分性时，利用“1”的代换，通过基本不等式论证，必要性时，取特殊值即可.【详解】因为1abc =，所以222c b a c a b a b c +++++=≤++=++，当且仅当1a b c ===，取等号，故充分，当4a b c ===a b c≤++，故不必要， 故选：A.【点睛】本题主要考查逻辑条件涉及了基本不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 4．B解析：B举反例说明C,D 不成立，再根据函数2ln x y x =+单调性，进而确定选项.【详解】 因为311123112ln12ln 2,2ln 2ln ,ee e e -<--<-所以CD 不成立； 因为2ln x y x =+在(0,)+∞上单调递增，所以由2ln 2ln a b a b +<+得a b <， 故选：B【点睛】本题考查利用函数单调性判断命题真假，考查基本分析判断能力，属基础题.5．B解析：B【分析】由9k >⇒方程22194x y k k +=--表示双曲线；方程221994x y k k k +=⇒>--或4k <． 【详解】解：已知9k >，90k ∴-<，40k ->，∴方程22194x y k k +=--表示双曲线， 反之，若已知方程22194x y k k +=--表示双曲线， (9)(4)0k k ∴--<，解得9k >或4k <，9k ∴>是方程22194x y k k +=--表示双曲线的充分不必要条件． 故选：B ．【点睛】本题考查充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用6．A解析：A【分析】因为原命题是假命题，其否定为真命题，问题可转化为0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥恒成立，故由0∆≤即可求出m 的取值范围．【详解】因为命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题，故其否定：“0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥”为真命题，故224(23)8120m m m m ∆=--=-+≤，解得26m ≤≤,故实数m 的取值范围是[2,6]．故选：A【点睛】本题原命题是存在性命题且为假命题，它的否定是全称命题且为真命题，进而将问题转化为恒成立处理，采用正难则反的思想进行求解，同时考查命题的等价性和转化的思想． 7．D解析：D【分析】由两直线平行与系数的关系式求得m 判断A;由线面垂直的判定定理判断B ；由平面向量的数量积的运算判断C ；写出特称命题的否定判断D ，综合可得答案.【详解】解：由直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行⇔223203220m m m m m ⎧+--=⎨-+--≠⎩（）（）（）（），可得52m ±=，故可得：“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行”的既不充分也不必条件，故A 错误；直线l 垂直平面α内无数条直线不一定有直线垂直平面，故“直线l 垂直平面α内无数条直线”不是“直线l 垂直于平面α”的充分条件，故B 错误； a 、b 、c 为非零向量，由“a b a c ⋅=⋅”不能得到“b c =”，反之由“b c =”能够得到“a b a c ⋅=⋅”，故“a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的必要不充分条件，故C 错误；p ：存在x ∈R ，2220130x x ++≤.则p ⌝：任意x ∈R ，2220130x x ++>，故D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及全称命题与特称命题的否定的书写、充分必要条件的判断等知识点，属于中档题.8．D解析：D【分析】先分析函数的奇偶性，由导数得出函数的单调性，利用这两个性质求解．【详解】()sin f x x x =，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，()f x 是偶函数，()sin cos f x x x x '=+，在02x π≤<时，()0f x '≥，()f x 递增， 所以22()()()()f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔>⇒>．故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，用函数的这两个性质求解不等式．本题还考查了导数与单调性的关系．掌握用导数研究不等式的方法是解题关键．9．A解析：A【分析】由题意，可先解出p ⌝：31x -≤≤与q ⌝：x a ≤，再由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列出不等式即可得出a 的取值范围.【详解】 由条件:12p x +>，解得1x >或3x <-，故p ⌝：31x -≤≤，由条件:q x a >得q ⌝：x a ≤，∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1a ≥，故选：A .【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键.10．A解析：A【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断即可.【详解】由221x y +<，可得11x -<<，且11y -<<，则可得到()()110x y -->，故充分性成立；反之若()()110x y -->，可取2x y ==，显然得到不等式221x y +<不成立，故必要性不成立.故选：A ．【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.11．A解析：A【分析】分别求出条件甲、乙所对应的,a b 的关系式，比较两个关系式所表示的图形，可得出结论.【详解】由题意，当0a b 时，不等式 sincos 1a x b x +>的解集为空集，当,a b 不都为0时，()sin cos a x b x x ϕ+=+，sin ϕ=，22cos a a b ϕ=+.因为()22sin 1a b x ϕ++>的解集为空集，所以221a b +≤，即221a b +≤.如下图，221a b +≤表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部，1a b +≤表示为圆内接正方形及其内部，所以甲是乙的必要不充分条件. 故答案为：A.【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，考查三角函数的恒等变换，考查不等式表示的平面区域，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.12．A解析：A【分析】由p 为q 的充分不必要条件可得211x x <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集，从而可求出答案．【详解】解：∵211x x <+，∴2101x x x --<+，即101x x -<+， ∴()()110x x +-<，解得11x -<<，∴:11p x -<<，由p 为q 的充分不必要条件可得211x x <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集， 当3a =时，解得:3q x ≠，满足条件；当3a >时，解得:q x a >或3x <，满足条件；当3a <时，解得:3q x >或x a <，∴13a ≤<，综上：1a ≥，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题13．①③【分析】①根据二进制与十进制的关系转换后可判断②利用均值与方差的计算公式可判断③根据事件的关系判断④根据且的真假判断【详解】对于①正确;对于②将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后平均值解析：①③【分析】①根据二进制与十进制的关系转换后可判断，②利用均值与方差的计算公式可判断，③根据事件的关系判断，④根据“且”的真假判断．【详解】对于①543210(2)11001112120202121251=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=正确;对于②，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，平均值为加上或减去这个常数，均值改变，方差不变，错误；对于③，从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，“至多一个红球”为“一红一白或两白”，“都是红球”为“两红”，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立，正确;对于④，若“p q ∧”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，则④不正确；答案:①③.【点睛】方法点睛：本题命题的真假判断，解题时需对每个命题进行判断，要求掌握相应的知识，考查的知识点较多，属于中档题．14．【分析】分别根据命题为真命题得到和或再计算得到答案【详解】即恒成立即；存在即解得或综上所述：故答案为：【点睛】本题考查了根据命题的真假确定参数范围意在考查学生的计算能力和转化能力属于常考题型解析：(,-∞【分析】分别根据命题为真命题得到1a ≤和a ≥a ≤. 【详解】[1,2]x ∈，20x a -≥，即2a x ≤恒成立，即{}2min 1a x ≤=；存在x ∈R ，2220x ax ++=，即2480a ∆=-≥，解得a ≥a ≤综上所述：a ≤故答案为：(,-∞.【点睛】 本题考查了根据命题的真假确定参数范围，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于常考题型.15．(－∞0【分析】由集合AB 得到元素的范围根据x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件知即可求得a 的范围【详解】由得x2－x －6≥0即x≤－2或x≥3∴A ＝{x|x≤－2或x≥3}由得x ＋a≥3即x≥3－a 则B解析：(－∞，0]【分析】由集合A 、B 得到元素的范围，根据“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件知B A ，即可求得a 的范围【详解】 由261|()13x x A x --⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，得x 2－x －6 ≥ 0 即x ≤－2或x ≥ 3∴ A ＝{x |x ≤－2或x ≥ 3}由31log ()x a ≥＋，得x ＋a ≥ 3，即x ≥ 3－a ，则B ＝{x |x ≥ 3－a }由题意知：B A∴ 3－a ≥ 3，得a ≤ 0.故答案为：(－∞，0]【点睛】本题考查了必要条件，应用必要条件与对应集合间的包含关系解不等式，求参数范围 16．【分析】先求出命题为真命题时的取值范围以及当命题为真命题时的取值范围由为假命题可知两个命题均为假命题由此可求得实数的取值范围【详解】若命题为真命题则解得；若命题为真命题则关于的方程在上有解则令其中则 解析：()(),22,e -∞-【分析】先求出命题p 为真命题时m 的取值范围，以及当命题q 为真命题时m 的取值范围，由p q ∨为假命题可知两个命题均为假命题，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】若命题p 为真命题，则240m ∆=-≤，解得22m -≤≤；若命题q 为真命题，则关于x 的方程0x e mx -=在()0,∞+上有解，则x e m x =. 令()x e f x x =，其中0x >，则()()21x x e f x x-'=. 当01x <<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x >时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.所以，()()1f x f e ≥=，则m e ≥.因为命题p q ∨为假命题，则命题p 、q 均为假命题，则22m m m e ⎧-⎨<⎩或， 所以，2m <-或2m e <<.因此，实数m 的取值范围是()(),22,e -∞-. 故答案为：()(),22,e -∞-.【点睛】 本题考查利用复合命题的真假求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点问题，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】根据是的充分非必要条件可知集合是集合的真子集由集合之间的包含关系再求参数范围即可【详解】对集合：解得；对集合：解得；因为是的充分非必要条件可知集合是集合的真子集故可得或解得或故故答案为：【点 解析：21m -<<【分析】根据β是α的充分非必要条件，可知集合β是集合α的真子集，由集合之间的包含关系，再求参数范围即可.【详解】对集合α：28120x x -+>，解得()(),26,x ∈-∞⋂+∞；对集合β：2x m m -≤，解得22,x m m m m ⎡⎤∈-++⎣⎦；因为β是α的充分非必要条件，可知集合β是集合α的真子集，故可得22m m +<，或26m m -+>，解得()2,1m ∈-或m ∈∅，故()2,1m ∈-.故答案为：21m -<<.【点睛】本题考查由充分非必要条件，推出集合之间的关系，以及根据集合关系求参数范围的问题，属综合基础题.18．【分析】由原命题为假命题则命题的否定为真命题再根据一元二次不等式恒成立求出参数的取值范围【详解】解：由题意命题为假命题则为真命题令则对恒成立因为的对称轴为则在上单调递增则只需即可即解得即故答案为：【 解析：(],4-∞-【分析】由原命题为假命题，则命题的否定为真命题，再根据一元二次不等式恒成立求出参数的取值范围.【详解】解：由题意，命题“[]01,1x ∃∈-，20030x x a ++>”为假命题， 则[]1,1x ∀∈-，230x x a ++≤为真命题，令()23g x x x a ++=，则对[]1,1x ∀∈-，()0g x ≤恒成立，因为()23g x x x a ++=的对称轴为32x =-，则()g x 在[]1,1x ∈-上单调递增， 则只需()10g ≤即可，即40a +≤，解得4a ≤-，即(],4a ∈-∞-.故答案为：(],4-∞-.【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.19．_充分非必要【解析】【分析】由两直线l1：x+2ay ﹣1＝0与l2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行列式求得a 值再由充分必要条件的判定得答案【详解】解：由两直线l1：x+2ay ﹣1＝0与l2：（3a解析：_充分非必要【解析】【分析】由两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行列式求得a 值，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行，可得()23101310a a a a ⎧---=⎨-+-≠⎩ ，即a ＝0或a ＝16 . ∴“a ＝16”是“两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行”的充分非必要条件．故答案为充分非必要．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题．20．【分析】根据题意转化为利用可将函数进行换元利用对勾函数求函数的最大值【详解】当时又设设当时取得最大值若为真命题即的最大值是5故填:5【点睛】本题考查了根据全称命题的真假求参数取值范围的问题考查了转化 解析：5【分析】根据题意转化为()2max log 4log 2x m x ≤+，利用21log 2log x x =，可将函数进行换元，利用对勾函数求函数的最大值.【详解】当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈ 又21log 2log x x = ，设[]2log 1,3x t =∈ ，设24log 4log 2x y x t t=+=+ 当1t =时，取得最大值max 5y =.若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ∃∈≤+为真命题，()2max log 4log 2x m x ≤+ ，即5m ≤,m ∴的最大值是5.故填:5.【点睛】本题考查了根据全称命题的真假，求参数取值范围的问题，考查了转化与化归的思想，若存在0x ，使()0m f x ≤，即()()max m f x ≤，若0x ∀，使()0m f x ≤恒成立，所以()()min m f x ≤，需注意时任意还是存在问题.三、解答题21．(][)6,104,2--【分析】 解不等式46x -≤和22240x x --≤，由题意得出p 、q 一真一假，然后分情况讨论，进而可求得实数x 的取值范围.【详解】 解不等式46x -≤，即646x -≤-≤，解得210x -≤≤；解不等式22240x x --≤，解得46x -≤≤. :210p x ∴-≤≤，:46q x -≤≤，因为p q ∨为真，p q ∧为假，所以p 、q 一真一假，若p 真q 假，则(]6,10x ∈；若q 真p 假，则[)4,2x ∈--.综上所述，实数x 的取值范围是(][)6,104,2--. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.22．（1）45x <<；（2）523m ≤≤ 【分析】（1）由p q ∧为真，可知,p q 都为真，进而求出命题,p q ，可得到答案；（2）先求出命题,p q ，由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，可得p 是q 的充分不必要条件，进而可列出不等式，求出实数m 的取值范围.【详解】由27100x x -+<，解得25x <<，所以p ：25x <<，又22430x mx m -+<，且0m >，解得3m x m <<，所以q ：3m x m <<.（1）当4m =时，q ：412x <<，因为p q ∧为真，所以,p q 都为真，所以45x <<.（2）因为q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为p ：25x <<，q ：3m x m <<，所以2350m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，解得523m ≤≤. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查利用复合命题的真假求参数的范围，考查充分不必要条件的应用，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.23．（1）(1,4)；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】(1)分别求解当命题p 命题q 为真时x 的取值范围,在分“p 真q 假”和“q 真p 假”两种情况求对应的实数x 的取值范围即可.(2)根据0a >再因式分解求得命题p ：3a x a <<,再根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件可知p ⌝对应的集合是q ⌝对应的集合的子集,再根据集合区间端点的位置关系求出实数a 的取值范围即可.【详解】（1）由22430x ax a -+<得()(3)0x a x a --<,当1a =时,13x <<,即p 为真时,(1,3)x ∈.由|3|1x -<,得131x -<-<,得24x <<,即q 为真时,(2,4)x ∈.若p q ∨为真,则p 真或q 真,所以实数的取值范围是(1,4).（2）由22430x ax a -+<得()(3)0x a x a --<,0,a >3a x a ∴<<.由|3|1x -<,得131x -<-<,得24x <<.设{|3},A x x a x a =≤≥或{|24}B x x x =≤≥或,若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,则A 是B 的真子集,故0234a a <≤⎧⎨≥⎩, 所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了根据充分与必要条件求解参数的范围问题.需要根据参数的范围求解对应的集合区间,再根据区间端点的位置关系列式求出参数的范围.属于中档题.24．（1）1a =-；（2）(]1,1-.【分析】（1）化简B ，根据p 是q 的充要条件可得A B =，根据A B =列式可得结果； （2）将p 是q 的充分不必要条件转化为A 是B 的真子集，然后按照a 与2a 的大小关系分类讨论得到A ，根据真子集关系列式可得结果.【详解】（1）211x x <-，即211011x x x x +-=<--，有()()110x x -+<，解得11x -<<， 故{}11B x x =-<<，因为p 是q 的充要条件，所以A B =，故()()20x a x a --<的解集也为()1,1-，所以211a a =-⎧⎨=⎩，即1a =-； （2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，当2a a <，即0a <或1a >时，{}2A x a x a =<<，由A 是B 的真子集可得211a a >-⎧⎨<⎩，解得10a -<<；当2a a =，即1a =或0时，A =∅，符合题意；当2a a >，即01a <<时，{}2A x a x a =<<，由A 是B 的真子集可得211a a ⎧-<⎨<⎩，解得01a <<，综上所述：实数a 的取值范围是11a -<≤.、【点睛】结论点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．25．（1）[]1,4-；（2）[]1,3-.【分析】（1）把命题p 转化为当[3,4]x ∈时，2min (22)3x m m -≥-，即可求解；（2）根据二次函数的性质，求得[1,4],[,1]A B a a =-=+，根据p 是q 的必要不充分条件，得到B 是A 的真子集，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，对任意[3,4]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，即当[3,4]x ∈时，2min (22)3x m m -≥-，又由3x =时，min (22)4x -=，即243m m ≥-，解得14m -≤≤，即实数m 的取值范围[]1,4-.（2）对于命题q ：当[0,1]x ∈时，函数221m x x a =-++，当[0,1]x ∈时，函数2221(1)[,1]m x x a x a a a =-++=-+∈+，记[1,4],[,1]A B a a =-=+，因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，可得114a a ≥-⎧⎨+≤⎩且“=”不能同时成立，解得13a -≤≤， 经验证，当1,3a =-时满足题意，所以实数a 的取值范围[]1,3-.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．26．[1,2]-【分析】先求出条件,p q 对应的x 取值范围，再根据题意可得p 是q 的一个必要不充分条件，由集合关系即可求出.【详解】 由411x ≤--，得:31p x -≤<， 由22x x a a +<-，得[]()(1)0x a x a +--<， 当12a =时，:q ∅；当12a <时，:(1,)q a a --；当12a >时，:(,1)q a a --. 由题意得，p 是q 的一个必要不充分条件， 当12a =时，满足条件； 当12a <时，则[)(1,)3,1a a ---，得11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭； 当12a >时，[)(,1)3,1a a ---得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 综上，[1,2]a ∈-.【点睛】本题考查根据条件的关系求参数，属于基础题.。

(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点O 为空间任意一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →用a ，b ，c 可表示为________．解析：OD →＝OA →＋AD →＝OA →＋BC →＝OA →＋(OC →－OB →) ＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c2.已知空间四边形ABCD 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)解析：显然MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－34OA →.答案：－34a ＋12b ＋12c3.在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是________(填序号)． ①OM →＝3OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →；③MA →＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0.解析：①对，空间的四点M ，A ，B ，C 共面只需满足OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1即可．根据空间向量共面定理可知③也能使M 与A ，B ，C 共面．答案：①③4.已知向量a ＝(2，－3，0)，b ＝(k ，0，3)，若a ，b 成120°的角，则k ＝________．解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2k 13×9＋k 2＝－12<0∴k <0，∴k ＝－39.答案：－395.已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′等于________．解析：只需将AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，运用向量运算|AC ′→|＝|AC ′→|2即可． 答案：856.已知A (－1，－2，6)，B (1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →的夹角是________．解析：利用cos 〈OA →，OB →〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|，计算结果为－1.答案：π7.设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是________三角形．解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 答案：锐角8.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，则cos 〈OA →，BC →〉＝________．解析：选择一组基向量OA →，OB →，OC →，再来处理OA →·BC →的值． 答案：09.已知A (1，1，1)，B (2，2，2)，C (3，2，4)，则△ABC 的面积为________．解析：应用向量的运算，计算出cos 〈AB →，AC →〉，再计算sin 〈AB →，AC →〉，从而得S ＝12|AB→||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝62.答案：6210.下列命题：①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的法向量，a 与α共面，则n ·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直； 其中正确的个数为________．解析：①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确答案：311.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉的值为________．解析：设正方体棱长为2，以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，如图，可知CM →＝(2，－2，1)，D 1N →＝(2，2，－1)，所以cos 〈CM →，D 1N →〉＝－19，故 sin 〈CM →，D 1N →〉＝459.答案：45912.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则AB →＝(0，1，0)，AD 1→＝(－1，0，1)，AE →＝(0，12，1)；设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD 1→＝0，可解得一个n ＝(1，0，1)；设直线AE 与平面ABC 1D 1所成角为θ，则sin θ＝|AE →·n ||AE →||n |＝105.答案：10513.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1，A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值为________．解析：以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA ＝CB ＝a ，则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(a ，0，2)，D (0，0，1)∴E (a 2，a 2，1)，G (a 3，a 3，13)，∴GE →＝(a 6，a 6，23)，BD →＝(0，－a ，1)，∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ， ∴GE ⊥平面ABD ， ∴GE →·BD →＝0.解得a ＝2.∴GE →＝(13，13，23)，BA 1→＝(2，－2，2)．∵GE →⊥平面ABD ，∴GE →为平面ABD 的一个法向量，那么cos 〈GE →，BA 1→〉＝GE →·BA 1→|GE →||BA 1→|＝4363×23＝23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的余弦值为1－（23）2＝73. 答案：7314.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点P (x 0，y 0，z 0)到平面α的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于________．解析：如图，以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A (1，1，0)，B (－1，1，0)，P (0，0，2)，设平面PAB 的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，C ＝－12D ，所以－Dy －12Dz ＋D ＝0，即2y ＋z －2＝0，则d ＝|2×0＋0－2|22＋1＝255.答案：255二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知：E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：(1)E 、F 、G 、H 四点共面；(2)BD ∥平面EFGH .证明：(1)如图所示，连结EG ，∵E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴BG →＝12BC →＋BD →)，12BD →＝EH →； ∴EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →；∴由共面向量定理知：EG →，EF →，EH →共面； ∴E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，∴EH ∥BD ； 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， ∴BD ∥平面EFGH .16.(本小题满分14分)已知空间向量AB →，AC →，AD →等满足|AC →|＝5，|AB →|＝8，AD →＝511DB →，且CD →·AB →＝0.(1)求|AB →－AC →|；(2)设∠BAC ＝θ，且已知cos(θ＋x )＝45，－π<x <－π4，求sin(θ＋x )．解：(1)由已知得AB →＝DB →－DA →＝DB →＋AD →＝1611DB →，所以DB →＝1116AB →，AD →＝511DB →＝516AB →，则|AD →|＝516|AB →|＝52，|DB →|＝112，因为CD →·AB →＝0，所以CD ⊥AB ，在Rt △BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2，又CD 2＝AC 2－AD 2，所以BC 2＝BD 2＋AC 2－AD 2＝49，所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝7.(2)在Rt △ADC 中，cos ∠BAC ＝12，所以θ＝π3；所以cos(θ＋x )＝cos(π3＋x )＝45，故sin(π3＋x )＝±35.而－π<x <－π4，∴－2π3<π3＋x <π12.如果0<π3＋x <π12，则sin(π3＋x )<sin π12<sin π6<12<35，故sin(π3＋x )＝35舍去，所以sin(π3＋x )＝－35.17.(本小题满分14分)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，PA ＝2，E 为PD 的中点．(1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥面P AC ，并求出点N 到AB 和AP 的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，B ，C ，D ，P ，E 的坐标为A (0，0，0)、B (3，0，0)、C (3，1，0)、D (0，1，0)、P (0，0，2)、E (0，12，1)，从而AC →＝(3，1，0)，PB →＝(3，0，－2)，设AC →与PB →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·PB →|AC →||PB →|＝327＝3714，∴AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(x ，0，z )，则NE →＝(－x ，12，1－z )，由NE ⊥面PAC ，可得⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0，即⎩⎨⎧（－x ，12，1－z ）·（0，0，2）＝0，（－x ，12，1－z ）·（3，1，0）＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧z －1＝0，－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，z ＝1.即N 点的坐标为(36，0，1)，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为1，36.18.(本小题满分16分)已知一个多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.(1)求BF 的长；(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离．解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．则D (0，0，0)，B (2，4，0)，C (0，4，0)，E (2，4，1)，A (2，0，0)，C 1(0，4，3)； 设F (0，0，z )，∵四边形AEC 1F 为平行四边形， ∴AF →＝EC 1→，得(－2，0，z )＝(－2，0，2)，∴z ＝2，∴F (0，0，2)，∴BF →＝(－2，－4，2)．于是|BF →|＝26，即BF 的长为2 6.(2)设n 1为平面AEC 1F 的法向量，显然n 1不垂直于平面ADF ，故可设n 1＝(x ，y ，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0×x ＋4×y ＋1＝0，－2×x ＋0×y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14.∴n 1＝(1，－14，1)． 又CC 1→＝(0，0，3)，设CC 1→与n 1的夹角为α，则cos α＝CC 1→·n 1|CC 1→||n 1|＝33×1＋116＋1＝43333.∴C 到平面AEC 1F 的距离为d ＝|CC 1→|cos α＝3×43333＝43311.19.(本小题满分16分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ，M 是PB 的中点．(1)证明：面P AD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值；(3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．解：以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图所示，建立空间直角坐标系，则各点坐标为A (0，0，0)，B (0，2，0)，C (1，1，0)，D (1，0，0)，P (0，0，1)，M (0，1，12)．(1)证明：因AP →＝(0，0，1)，DC →＝(0，1，0)， 故AP →·DC →＝0， 所以AP ⊥DC .由题设知AD ⊥DC ，且AP ∩AD ＝A ，由此得DC ⊥面PAD .又DC 在面PCD 上，故面P AD ⊥面PCD .(2)因为AC →＝(1，1，0)，PB →＝(0，2，－1)， 故|AC →|＝2，|PB →|＝5，AC →·PB →＝2，所以cos 〈AC →，PB →〉＝AC →·PB →|AC →||PB →|＝105.故所求AC 与PB 所成角的余弦值为105.(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC →＝λMC →，∵NC →＝(1－x ，1－y ，－z )，MC →＝(1，0，－12)，∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝12λ.要使AN ⊥MC ，只需AN →·MC →＝0，即x －12z ＝0，解得λ＝45.可知当λ＝45时，N 点坐标为(15，1，25)，∴AN →·MC →＝0，此时AN →＝(15，1，25)，BN →＝(15，－1，25)，有BN →·MC →＝0.由AN →·MC →＝0，BN →·MC →＝0得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ，所以∠ANB 为面AMC 与面BMC 所成二面角的平面角．∵|AN →|＝305，|BN →|＝305，AN →·BN →＝－45，∴cos 〈AN →，BN →〉＝AN →·BN →|AN →||BN →|＝－23，故所求的二面角的余弦值为－23.20.(本小题满分16分)已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ＝2，A 1在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知BA 1⊥AC 1.(1)求证：AC 1⊥平面A 1BC ；(2)求点C 1到平面A 1AB 的距离； (3)求二面角A －A 1B －C 的余弦值．解：如图所示，取AB 的中点E ，则DE ∥BC ， 因为BC ⊥AC ， 所以DE ⊥AC ，又A 1D ⊥平面ABC ，以DE ，DC ，DA 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A (0，－1，0)，C (0，1，0)，B (2，1，0)，A 1(0，0，t )，C 1(0，2，t )．(1)证明：∵AC 1→＝(0，3，t )，BA 1→＝(－2，－1，t )，CB →＝(2，0，0)，由AC 1→·CB →＝0，知AC 1⊥CB ，又BA 1⊥AC 1，CB ∩BA 1＝B ，所以AC 1⊥平面A 1BC .(2)由AC 1→·BA 1→＝－3＋t 2＝0，得t ＝ 3. 设平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 又AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(2，2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AA 1→＝y ＋3z ＝0，n ·AB →＝2x ＋2y ＝0，设z ＝1，则n ＝(3，－3，1)，所以点C 1到平面A 1AB 的距离d ＝|AC 1→·n ||n |＝2217.(3)设平面A 1BC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， CA 1→＝(0，－1，3)，CB →＝(2，0，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA 1→＝－y ＋3z ＝0m ·CB →＝2x ＝0，设z ＝1，则m ＝(0，3，1)．cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－77，根据法向量的方向，可知二面角A －A 1B －C 的平面角的余弦值为77.。

常用逻辑用语一、选择题1．命题“如果x≥a 2+b 2,那么x≥2ab”的逆否命题是( ) A ．如果x<a 2+b 2,那么x<2ab B ．如果x≥2ab,那么x≥a 2+b 2 C ．如果x<2ab,那么x<a 2+b 2 D ．如果x≥a 2+b 2,那么x<2ab 2．三角形全等是三角形面积相等的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 3．下列四个命题中，真命题是( ) A ．2是偶数且是无理数 B ．8≥10 C ．有些梯形内接于圆 D ．∀x ∈R,x 2-x+1≠0 4．命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数 二、填空题5．命题“若a=-1,则a 2=-1”的逆否命题是______________________． 6．b=0是函数f(x)=ax 2+bx+c 为偶函数的______________________．7．全称命题“∀a ∈Z,a 有一个正因数”的否定是________________________． 8．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是______________________． 9．设p ：|5x -1|>4；2210231x x x x ++³-+，则非p 是非q 的______ ___条件．三、解答题10．求证：a+2b=0是直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直的充要条件．11．已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-mx+2=0}，若A 是B 的必要不充分条件，求实数m 范围．12．给定两个命题,P ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；Q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果P 与Q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4; q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．常用逻辑用语答案1-4 CACC5．如果a 2≠1,那么a≠-1 6．充分必要条件 7．∃a 0∈Z,a 0没有正因数 8．每个三角形的三条中线不相等 9．即不充分也不必要10．充分性：当b=0时，则a=0，此时两直线分别垂直坐标轴，显然垂直；当b≠0时，两直线的斜率分别是k 1=-a 2,k 2=-1b ,由a+2b=0,k 1⋅k 2=(-a 2-1b)=-1,两直线互相垂直．必要性：如果两直线互相垂直且斜率存在，则k 1⋅k 2=(-a 2)(-1b)=-1,∴a+2b=0；如果两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b=0,且a=0，∴a+2b=0． 11、A={1，2}，A 是B 的必要不充分条件，即B ⊂≠A ．所以B=Φ、B={1}或{2}，当B=φ时，△=m 2-8<0，∴22m 22<<-． 当B={1}或{2}时，⎩⎨⎧=+-=+-=∆02m 2402m 10或，m 无解．综上所述22m 22<<-．12．解：P 真：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⇔a=0或⎩⎨⎧a>0∆<0⇔0≤a<4;q 真：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根⇔1-4a≥0⇔a≤14；如果P 正确，且Q 不正确，有0≤a<4,且a>14,∴14<a<4；如果Q 正确，且P 不正确，有a<0或a≥4,且a≤14,∴a<0．所以a ∈(-∞,0)∪(14,4)．圆锥曲线练习题一．选择题1.若椭圆经过原点，且焦点分别为12(1,0),(3,0)F F ，则其离心率为（ ） A.34 B.23 C.12 D.142.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线l ，交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A.10B.8C.6D.43.若双曲线x 24＋y2k1的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是（ ）A.(),0-∞B.()3,0-C.()12,0-D.()60,12-- 4.与y 轴相切且和半圆x 2+y 2=4(0≤x ≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ） A.()()24101y x x =--<≤ B.()()24101y x x =-<≤C.()()24101y x x =+<≤ D.()()22101yx x =--<≤5.过点M(-2,0)的直线L 与椭圆2222x y +=交于12,P P 两点，设线段12P P 的中点为P ，若直线l 的斜率为11(0)k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k 等于（ ）A.2-B.2C.12D.－126.如果方程x 2-p ＋y2q ＝1表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（ ）A.2212xyq pq+=+ B.2212xyq pp+=-+ C.2212xyp qq+=+ D.2212xyp qp+=-+二．填空题7.椭圆x 212＋y 23＝1的焦点分别是12F ,F ，点P 在椭圆上，如果线段1P F 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的 倍．8.椭圆x 245＋y 220＝1的焦点分别是12F ,F ，过原点O 做直线与椭圆交于A ，B 两点，若∆ABF 2的面积是20，则直线AB 的方程是 ．9.与双曲线2244x y -=有共同的渐近线，并且经过点（2的双曲线方程是10.已知直线y=kx+2与双曲线x 2-y 2=6的右支相交于不同的两点，则k 的取值范围是 ．三．解答题11.抛物线y=－12x 2与过点M(0,-1)的直线L 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为１，求直线L 的方程．12.已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线:32l y x =-截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．13．21,F F 是椭圆x 29＋y27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=45︒，求∆12AF F 的面积．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题11. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．12. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．圆锥曲线练习题答案一．选择题：CBCADD 二．填空题：7. 7倍 8.y=±43x 9. y 24x 216＝1 10.－153<k<－1三．解答题13. 解：斜率不存在不合题意，设直线1y kx =-代入抛物线得2220x kx +-=2480k =+> 有k ∈R 设点1122(,),(,)A x y B x y 则y 1x 1＋y 2x 2＝1,由根与系数关系，解得直线方程1y x =-．14. 解：设所求的椭圆为x 2a 2＋y 2b2＝1，则222c a b =-=50椭圆与直线联立有()222222(9)1240a b x b x b a +-+-=，由已知x 1+x 22＝12，根与系数关系带入得223a b =解得a 2=75,b 2=25．所以所求椭圆方程为y 225＋x 275＝1．13．解：1212216,6F F AF AF AF AF =+==-222022112112112cos 4548AF AF F F AF F F AF AF =+-⋅=-+2211117(6)48,,2A F A F A F A F -=-+=1772222S =⨯⨯=．空间向量练习题一．选择题1．直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a →,CB →=b →,CC 1→=c →,则A 1B →=( )A ．a →+b →-c →B ．a →-b →+c →C ．-a →+b →+c →D ．-a →+b →-c →2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任意一点O ，下列条件中能确定点M 与A ，B ，C 一定共面的是( )A ．OM →=OA →+OB →+OC → C ．OM →=2OA →-OB →-OC →C ．OM →=OA →+12OB →+13→D ．OM →=13OA →+13OB →+13OC →3．若向量m →同时垂直向量a →和b →,向量n →=λa →+μb →(λ,μ∈R, λ,μ≠0)，则（ ）A ．m →∥n →B ．m →⊥n → C.m →与n →不平行也不垂直 D ．以上均有可能 4．以下四个命题中，正确的是( )A ．若OP →=12OA →+13OB →,则P ，A ，B 三点共线B ．若{a →,b →,c →}为空间一个基底，则{a →+b →,b →+c →,c →+a →}构成空间的另一个基底 C ．|(a →⋅b →)c →|=|a →|⋅|b →|⋅|c →|D ．∆ABC 为直角三角形的充要条件是AB →⋅AC →＝05．已知a →=(λ+1,0,2λ),b →=(6,2μ-1,2),a →∥b →,则λ和μ的值分别为( ) A ．15,12B ．5,2C ．-15,-12D ．-5,-2二．填空题6．若a →=(2,-3,1),b →=(2,0,3),c →=(0,2,2),则a →⋅(b →+c →)=________.7．已知G 是∆ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →+OB →+OC →＝λOG →，则λ的值为_______. 8．已知|a →|=1,|b →|=2,<a →,b →>=60︒,则|a →-25(a →+2b →)|=________.三．解答题9．若向量(a →+3b →)⊥(7a →-5b →)，(a →-4b →)⊥(7a →-2b →)，求a →与b →的夹角．10．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k ，试求实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立．11．正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角． 12．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上移动，问AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为π4．空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x ,1,2)．依题意πcos 422=⇒=．2x =-∴2x =+．2AE =-∴空间向量练习题答案一．选择题 DDBBA二．填空题 6．3 7．3 8．65三．解答题9．由已知向量垂直列方程，解得a →2=b →2=2a →⋅b →,∴cos<a →,b →>=12,∴a →与b →夹角为60︒．10．由4123a a a a λμν=++成立，可建立方程组，解得213v λμ=-==-，，．11．以A 为原点，分别以CA →，AB →，AA 1→为x,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0,2a),C 1(-32a,12a,2a),由于n →=(-1,0,0)是面11ABB A 的法向量，计算得cos<AC 1→,n →>=12,∴<AC 1→,n →>=60︒．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30︒．12．设A E x =，以D 为原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，可求得平面1D EC 的法向量为n →=(2-x,1,2)．依题意πcos 422=⇒=2x =-∴2x =+．2AE =-∴。