《1.4.1生活中的优化问题举例》导学案

生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点 生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． (2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值． (3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．类型一 平面几何中的最值问题例1 如图所示，在二次函数f (x )＝4x －x 2的图象与x 轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD ，求这个矩形面积的最大值．解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2.∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2)＝16x －12x 2＋2x 3， ∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±233，∵0<x <2，∴x ＝2－233.∵当0<x <2－233时，y ′>0，函数递增；当2－233<x <2时，y ′<0，函数递减，∴当x ＝2－233时，矩形面积取到最大值y max ＝3293.反思与感悟 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O ，半径为100 m ，并与北京路一边所在直线l 相切于点M .点A 为上半圆弧上一点，过点A 作l 的垂线，垂足为点B .市园林局计划在△ABM 内进行绿化．设△ABM 的面积为S (单位：m 2)，∠AON ＝θ(单位：弧度)．(1)将S 表示为θ的函数；(2)当绿化面积S 最大时，试确定点A 的位置，并求最大面积．解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，则S ＝12MB ·AB ＝12×100sin θ×(100＋100cos θ)＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)．(2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π3.所以当θ＝π3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边l 的距离为150 m.类型二 立体几何中的最值问题例2 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π3立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y 千元．(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 解 (1)因为容器的体积为64π3 立方米，所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－4r 3.所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr (643r 2－4r 3)＝128π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2. 所以y ＝(128π3r －8πr 23)×3＋4πr 2×4＝128πr＋8πr 2. 又l ＝643r 2－4r3>0⇒r <432，所以定义域为(0,432)．(2)因为y ′＝－128πr 2＋16πr ＝16π(r 3－8)r 2，所以令y ′>0，得2<r <432； 令y ′<0，得0<r <2.所以当r ＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l ＝83米．引申探究例2中，若r ∈(0,1]，求最小建造费用． 解 由例2(2)可知，y ＝128πr ＋8πr 2在(0,1]上单调递减，∴当r ＝1时，y min ＝136π. ∴最小建造费用为136π千元．反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．跟踪训练2 周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm 3. 答案4 00027π解析 设矩形的长为x cm ， 则宽为(10－x ) cm (0<x <10)． 由题意可知圆柱体积为 V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3. ∴V ′＝20πx －3πx 2，令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝203，且当x ∈(0，203)时，V ′(x )>0，当x ∈(203，10)时，V ′(x )<0，∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 00027π cm 3.类型三 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 费用(用材)最省问题例4 已知A 、B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km /h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？ 解 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)， 则y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，得k ＝5.设全程燃料费为y ，由题意，得 y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2(v －8)2＝1 000v 2－16 000v (v －8)2.令y ′＝0，得v ＝16， ∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时，全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数，∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省， 为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练4 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( ) A ．4 B ．6 C ．4.5 D ．8答案 A解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值． ∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．9千台 B ．8千台 C ．6千台 D ．3千台 答案 C解析 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 答案100π4＋π解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π(x2π)2＋(100－x 4)2(0<x <100)．因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π4＋πcm 时，面积之和最小． 4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 设底面长为x ，由题意得底面宽为4x .设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×(2x ＋2×4x )，即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解 (1)设商品降价x 元，则多卖出的商品件数为kx 2. 若记商品一个星期的获利为f (x )，则有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)． 由已知条件，得24＝k ×22，于是有k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,21]．(2)根据(1)得，f ′(x )＝－18x 2＋252x －432 ＝－18(x －2)(x －12)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值↗极大值↘故当x ＝12时，f (x )取得极大值． 因为f (0)＝9 072，f (12)＝11 664.所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值． 2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．课时作业一、选择题1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8答案 C解析 原油温度的瞬时变化率f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则当其表面积最小时底面边长为( )A.3V B.32V C.34V D.23V答案 C解析 设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43xV (x >0)， ∴S ′＝3x 2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V .3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为( ) A.⎝⎛⎭⎫l 63π B.⎝⎛⎭⎫l 33π C.⎝⎛⎭⎫l 43π D.14⎝⎛⎭⎫l 43π 答案 A解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r 2.∴V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎫0<r <l 4， 则V ′＝l πr －6πr 2.令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0，∴r ＝l6是其唯一的极值点．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝⎛⎭⎫l 63π. 4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为( ) A ．120 000 cm 3 B ．128 000 cm 3 C ．150 000 cm 3 D ．158 000 cm 3 答案 B解析 设水箱底边长为x cm ，则水箱高h ＝60－x2(cm)．水箱容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0<x <120)， V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得当x ＝80 cm 时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300 答案 D解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300，即当每年生产300单位的产品时，总利润最大．故选D.6．圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为( )A ．2∶1B ．1∶2C ．1∶4D ．4∶1 答案 A解析 设其体积为V ，高与底面半径分别为h ，r ，则V ＝πr 2h ，即h ＝V πr 2. 由题意知，当表面积S 最小时所用材料最省．S ＝2πr 2＋2πrh ＝2πr 2＋2πr V πr 2＝2πr 2＋2V r. 令S ′＝4πr －2V r 2＝0，得r ＝3V 2π， 当r ＝3V 2π时，h ＝V π(3V 2π)2＝34V π. 则h ∶r ＝2∶1时，表面积S 最小．二、填空题7. 如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．答案 33d 解析 设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝kxh 2＝kx (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)． 当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d . 所以当x ＝33d 时，f (x )有最大值． 8．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为________．答案 40解析 V (x )＝－12x 3＋30x 2， 由V ′(x )＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)＝0， 得x ＝0(舍去)，x ＝40.∴当底面边长为40时，箱子的容积最大．9．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大．(毛利润＝销售收入－进货支出)答案 30解析 由题意知，毛利润等于销售额减去成本，即L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0，右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值．10．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8，x ∈(0,120]，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以________千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少． 答案 80解析 当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为y 升，依题意得，y ＝(1128 000x 3－380x ＋8)·100x＝ 1 1 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)． 则y ′＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令y ′＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，y ′<0，该函数递减；当x ∈(80,120)时，y ′>0，该函数递增，所以当x ＝80时，y 取得最小值．11．某厂生产某种产品x 件的总成本为c (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，产量定为________件时总利润最大． 答案 25解析 由题意知502＝k 100，解得k ＝25×104. ∴产品的单价P ＝25×104x ＝500x. ∴总利润L (x )＝x 500x－1 200－275x 3 ＝500x －1 200－275x 3， L ′(x )＝250x －12－225x 2， 令L ′(x )＝0，得x ＝25，∴当x ＝25时，总利润最大．三、解答题12．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？解 设速度为每小时v 千米时，燃料费是每小时p 元，那么由题设知p ＝k v 3，因为v ＝10，p ＝6，所以k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3. 又设船的速度为每小时v 千米时，行驶1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是(0.006v 3＋96)元，而行驶1千米所用时间为1v 小时，所以行驶1千米的总费用为q ＝1v(0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v .q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v 2(v 3－8 000)， 令q ′＝0，解得v ＝20.当v <20时，q ′<0；当v >20时，q ′>0，所以当v ＝20时，q 取得最小值．即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．13．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解 设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x ) m(0<x <32)． 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3) m 3(0<x <32)． 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝1，因此x ＝1.当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 故当长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3.四、探究与拓展14．某民营企业生产甲、乙两种产品，根据以往经验和市场调查，甲产品的利润与投入资金成正比，乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，已知甲、乙产品分别投入资金4万元时，所获得利润(万元)情况如下：该企业计划投入资金10万元生产甲、乙两种产品，那么可获得的最大利润(万元)是( ) A.92B.6516C.358D.174 答案 B解析 ∵k 1甲产品的利润与投入资金成正比，∴设y 1＝k 1x ，当投入4万时，利润为1万，即4k 1＝1，得k 1＝14，即y 1＝14x . ∵乙产品的利润与投入资金的算术平方根成正比，∴设y 2＝k 2x ，当投入4万时，利润为2.5万，即4k 2＝52，得2k 2＝52， 即k 2＝54，即y 2＝54x . 设乙产品投入资金为x ， 则甲产品投入资金为10－x,0≤x ≤10，则销售甲、乙两种产品所得利润为y ＝14(10－x )＋54x ， 则y ′＝－14＋58x ＝5－2x 8x， 由y ′>0，得5－2x >0，即0<x <254， 由y ′<0，得5－2x <0，即x >254， 即当x ＝254时，函数取得极大值同时也是最大值，此时 y ＝14(10－254)＋54·254＝1516＋5016＝6516. 15．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x ，年销售量也相应增加，年销售量y 关于x 的函数为y ＝3 240(－x 2＋2x ＋53)，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)解 由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x )，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x )，年利润为f (x )＝[13(1＋0.7x )－10(1＋x )]·y＝(3－0.9x )×3 240×(－x 2＋2x ＋53) ＝3 240(0.9x 3－4.8x 2＋4.5x ＋5)，则f ′(x )＝3 240(2.7x 2－9.6x ＋4.5)＝972(9x －5)(x －3)，由f ′(x )＝0，解得x ＝59或x ＝3(舍去)， 当x ∈(0，59)时，f ′(x )>0，f (x )是增函数； 当x ∈(59，1)时，f ′(x )<0，f (x )是减函数． 所以当x ＝59时，f (x )取极大值，f (59)＝20 000. 因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝59时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元．。

2013年高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案新人教A
版选修2-2
教学目标：
知识目标：1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，
b]上的最大（小）值；
2.利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。

能力目标：1.通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，
b]上的最大（小）值，
培养学生的数学思维能力；
2.通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，
以及数学建模能力。

思想目标：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
教学重难点：
将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题
教学基本流程：
教学过程：。

§1.4 生活中的优化问题学习目标：1、通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在实际问题中的作用；2、会利用导数解决生活中的实际问题。

一、典例分析：〖例1〗：要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目，这两栏目的面积之和为218000cm ，四周空白的宽度为10cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm 。

怎样确定广告的高与宽的尺寸，能使矩形广告的面积最小？〖例2〗：某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2x +万元。

假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元。

（1）试写出y 关于x 的函数关系式；（2）当m =640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？〖例3〗：某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。

经测算，如果将楼房建为()10x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +560+48x （单位：元）。

为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）二、课后作业：1、某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时的时候，原油温度（单位：C ）为()()3218053f x x x x =-+≤≤，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（ ） A 、8 B 、203 C 、1- D 、8- 2、有一长为16m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为（ ）A 、232mB 、214mC 、216mD 、218m3、设底为等边三角形的直棱柱的体积为，那么其表面积最小时，底面边长为（ ）A B C D 、4、一张高1.4m 的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼睛1.8m 。

选修2－2 《1.3.4生活中的优化问题举例》学案【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【学法指导】“最优化”指的是类似利润最大、用料最省、效率最高等问题，本节课与必修一的《3.2.2函数模型的应用举例》区别仅在于，问题都是求最值，数学化后求最值的方法是导数。

所以，导数应用仅是本节课的一半内容，在此之前必须学会读懂题意，将题目提供的信息转化为数学语言，构建函数模型。

在利用导数求出最值后，最后还要回归到具体应用问题的结论。

用图表表达如下：【学习过程】例1、海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面积最小？问题1：剖去背景，将此问题纯数学化，实际是怎样的条件和问题？问题2：“如何设计海报的尺寸”指的是什么？问题3：要设几个变量，才能把图形中的其他量表达出来？问题4：设置的变量有范围限制吗？问题5：用什么方法求空白的面积S关于变量x的函数S(X)的最小值？饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司每卖出一瓶饮料的利润越大？例2：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。

瓶子的制造成本是0.8 r2分，其中r 是瓶子的半径，单位是厘米。

已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm。

（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？问题1：对于此题，如何计算“每瓶饮料的利润y”？问题2：“每瓶饮料的成本”指的是什么？问题3：“每瓶饮料的收入”指的是什么？问题4：利润y关于半径r的函数模型是什么？自变量的取值范围是什么？问题5：求最值时要注意什么问题？【当堂检测】某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋275x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，当产量为100件时，单价为50元。

例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。

瓶子的制造成本是20.8r 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售 1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm .问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 思考与总结：1、本题是那一类优化问题：2、该问题应该转化为哪一类数学模型：3、你有哪几种求解方法：求解过程：练习：1、圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能使材料最省？2、用铁丝弯成一个（如图）上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积是2am 。

为使所用的材料最省，底宽应怎样多少？学习反思：分析：法一：这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决. 法二：只要能把 AE+BE 代数化,问题就易解决 解 设x 如图，并设输电线总长为)(x L . 则有222()1(3) 1.5, 0 3.L x AE EB x x x =+=++-+≤≤222222(3) 1.5(3)1()0(3) 1.5 1x x x x L x x x -+--+'==-+⋅+, ⇒222(3) 1.5(3)1x x x x -+=-+, 2 1.25690.x x ⇒+-= 解得 1.2x =和6x =-(舍去). 答： ……3、某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x 艘的产值函数R (x )=3700x + 45x 2–10x 3(单位：万元), 成本函数为C (x ) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为： Mf (x ) = f (x +1) – f (x ). 求：（提示：利润 = 产值 – 成本）(1)利润函数P (x ) 及边际利润函数MP (x ); (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?(3)边际利润函数MP (x )的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？学习反思：。

《生活中的优化问题举例》导学案学科：高二数学课型：新授课课时：2课时编写时间：2013. 3. 2编写人：孙圣斌审核人：朱丽中班级：姓名：【导案】【学习目标】1．能够利用导数解决实际问题中的优化问题。

2．通过利用导数解决实际问题，学会将实际问题转化为数学问题，掌握利用导数求解实际问题中的最值问题的方法。

3．体会数学是从实践中来的，又将应用到实践中去；体会数学的应用价值，提高学习数学的兴趣，坚定学好数学的信心。

【教学重、难点】利用导数求解实际问题中的最值问题。

【学案】1．优化问题生活中经常遇到求________、________、________等问题，这些问题通常称为________。

2．解决优化问题的基本思路优化问题————→用函数表示的数学问题优化问题的答案←——用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的________的过程。

3．例题分析【例1】在高为H，底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体，则圆柱体的底面半径为多大时：（1）圆柱体的体积最大？（2）圆柱体的表面积最大？【练1】将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成一个正方形，另一段弯成一个圆，问如何截使得正方形与圆的面积之和最小？【例2】已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/小时。

（8＜v≤v0）若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比。

当v=12千米/小时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？【练2】甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入。

在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x元与年产量t吨满足函数关系x=2000t。

若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）。

将乙方的年利润ω元表示为年产量t吨的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量。

1.4生活中的优化问题举例教学设计1教材分析教材关于导数的应用，主要涉及的是可导函数单调性、极值和最大 (小) 值的判定，其中关键是函数极值的判定.通过判定可导函数的极值，可以使学生加深对函数单调性与其导数的关系的了解:并且，掌握了函数极值的判别法，再学习函数的极大值与极小值的判定方法，有了这些准备工作学习本节不成问题本节研究增长率、膨胀率、效率、利润、速度等有关导数应用的实例，例如，通过使利润最大、用料最省效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的广泛作用和强大实力，主要目的是:(1) 培养应用意识应用导数，解决生活中的优化问题.(2) 培养学生数学建模的思想，对于一个优化问题，解决的思路是: 第步将优化问题转化为用函数表示的数学问题，第一C步是应用导数这个工具解决数学问题，进而得到问题的答案.2学情分析学生已经学习了函数以及导数的基础知识，知道了利用导数研究函数的基本性质，用导数来处理函数单调性、极值、最值等问题的基本思路，但如何利用导数来解决一些具体的问题，学生的能力还比较薄弱，这都造成了本节课的困难，需要进行问题的引导.1）学生的难点是如何建模，应注重这方面的引导训练:2)考虑对自变量的实际限制，规范解题步骤的表述;3）充分体会导数在解决数学及其他学科实际应用题中的工具性作用.3教学目标1）.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，2.形成求解优化问题的思路和方法。

过程与方法2）.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。

3）.提高将实际问题转化为数学问题的能力。

情感、态度、价值观培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度4 教学重难点教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

5 教法与学法教法分析：根据本节课的教学内容和教学重难点，本节课采用从具体到抽象，从特殊到一般的方法形成增函数的定义，再引导学生通过类比归纳的方法形成减函数的定义。

生活中的优化问题举例【教学目标】1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

【教学重难点】教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。

【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。

（三）合作探究、精讲点拨（1）提出概念生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（2）引导探究例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。

已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.8r0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

§1.4生活中的优化问题举例（2课时）【学习要求】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题． 【学法指导】1．在利用导数解决实际问题的过程中体会建模思想．2．感受导数知识在解决实际问题中的作用，自觉形成将数学理论与实际问题相结合的思想，提高分析问题、解决问题的能力.教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程： 一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

三．典例分析1.用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )A.2 m 3B.3 m 3C.4 m 3D.5 m 3 设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为1812x 3h (4.53x)(0x )42-<<－＝＝，故长方体的体积为V(x)＝2x 2(4.5－3x)＝9x 2－6x 3(0<x< 1.5 )， 从而V ′(x)＝18x －18x 2＝18x(1－x)，令V ′(x)＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)，当0<x<1时，V ′(x)>0；当1<x<1.5时，V ′(x)<0，故在x ＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积为V(1)＝9×12－6×13＝3(m 3).2.如图，在二次函数f(x)=4x-x 2的图象与x 轴所围成的图形中有一个内接矩形，求这个矩形的最大面积.例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是20.8r π分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。