当前位置：文档之家 › 知识梳理之11——直线和圆答案

知识梳理之11——直线和圆答案

  • 格式：doc
  • 大小：818.50 KB
  • 文档页数：8

高中数学复习系列之十一《直线和圆》知识梳理《考试说明》对《直线和圆》这一章所涉及知识考点和方法技巧的具体要求主要有：①直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、参数式、一般式），注意设法及各自的限制条件；②两条直线的位置关系（相交、垂直、平行、重合）的判断，注意充要条件；③点到直线的距离公式，能熟练应用；④设圆的标准方程或一般方程解决有关问题； ⑤直线与圆的位置关系以及两圆位置关系的判断与应用；另外，注意建立在圆中应用平面几何的有关性质简捷解决问题的意识。

一、重点知识（一）直线有关问题1．直线有关概念：直线的倾斜角α的取值范围为[)0,π。

当直线的倾斜角不是 90时，斜率tan k α=；当直线的倾斜角等于 90时斜率不存在。

过两点))(,(),,(21222111x x y x p y x p ≠的直线的斜率公式2121y y k x x -=-；定比分点坐标公式：设111222(,),(,)p x y p x y ，直线12P P 上一点(,)P x y 分有向线段12P P 的比为12P P P P λ=,则1212,.11x x y y x y λλλλ++==++例 1 ①过点(1,2)A 且在两坐标轴的截距相等的直线方程为20x y -=或30x y +-=；②过点(A -且与圆221x y +=3．两条直线的位置关系⑴若直线1l 、2l 的斜率存在且不重合：①21//l l ⇔12k k =且12b b ≠； ②21l l ⊥⇔121k k =-。

⑵若0,022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：：（222C B A 、、不为零）。

①21//l l ⇔ ； ②21l l ⊥⇔ ； ③1l 与2l 相交⇔；④1l 与2l 重合⇔。

4. 点到直线的距离：平面内一点),(00y x P 0=++C By Ax l ：到的距离为 。

平行线间距离：两条平行线0021=++=++C By Ax C By Ax 与间的距离为 。

例 2 ①若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为则直线l 的倾斜角的取值范围是 。

解析 配方得18)2()2(22=-+-y x ，圆心为（2，2），半径为23；l :0ax by +=为过原点的任一条直线，若l 过圆心（2，2）即倾斜角4πα=，此时2223>=r ，圆上存在4点到到直线l的距离为，适合题意；然后将l 绕原点向上下旋转，检验：125,123221222ππα=⇒±=⇒=+-=k kk d ，此时对于直线l 恰好与圆的平行切线之间的距离为，是l 的边界位置，故5[,]1212ππ.这道试题明显改造于1991年全国高考试题：圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离等于2的点的个数是（ C ） A.1 B.2 C.3 D.4②已知点P 到两定点)0,1(),0,1(N M -的距离比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程。

解析 本题常规做法为： 设),(b a P ，则PM 的方程为)1(1++=x a b y ，即0)1(=++-b y a bx ，于是.31)1(2122b a a b b NH ±=+⇒++==①又8)3()1()1(2222222=+-⇒+-++==ba ba b a PNPM ②（注：满足上述条件PNPM =2的点P 的轨迹为阿波罗尼圆，即图中的圆C ）将①代入②可得2a =±1).b =±于是.11±=-=a bk PN因此直线PN 的方程为).1(-±=x y若能进一步观察题设条件：在MNH Rt ∆中斜边2=MN ，直角边1=NH ，可得30=∠HMN ，在PMN ∆中应用正弦定理PMNPN PNMPM ∠=∠sin sin.135452230sin sin或=∠⇒==∠⇒PNM PNPM PNM于是.1tan ±=∠=PNM k PN 因此直线PN 的方程为).1(-±=x y评注：本题为2002年全国高考文科第21题，分值为14分，重点考查学生通过联立①②消参解方程组的运算能力，对文科学生的运算能力提出了较高的要求；通过上述通法与巧法对比，读者容易看出：运用平面图形的有关几何性质来分析解决一些解析几何的问题，可以有效地避免复杂的解几运算，以达简捷明快之目的。

③已知m ∈R ，直线l ：2(1)4m x m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=． （Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；（Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？解析：（Ⅰ）211[,]122mk m =∈-+； （Ⅱ）法1 通过观察可得直线l 恒过定点(4,0)A ,而圆C 的圆心坐标为（4，－2），半径为2. 故若截得比值为12的两段圆弧必须使得圆心角为120 ，此时直线倾斜角为60 ，斜（具体步骤略） 法2 l ===≤，于是168315cos .24523πθθ-==>⇒<⨯法3 2421cos35309022d m m rθ===⇒++=⇒∆=-<，无解。

评注：1.直线系方程问题及直线恒过定点问题；2. （Ⅱ）的多种解法。

（二）圆的有关问题1. 圆的方程：①圆的标准方程： ；②圆的一般方程： ； ③圆的参数方程： 。

例3 ①0≠=C A 且0=B 是方程022=+++++F Ey Dx CyBxy Ax 表示圆的A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件②直线l :3x +4y -12=0与圆C :12cos 22sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数 )公共点个数为 。

2提示：725d r ==<=，故相交，有2个公共点。

2.直线与圆的位置关系的判定方法有两种：①代数法：把直线方程代入圆的方程转化成二次方程利用判别式⇔>-=∆042ac b ；⇔=-=∆042ac b ；⇔<-=∆042ac b . ②几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系：⇔<r d ； ⇔=r d ；⇔>r d .如),(00y x P 为平面任意一点，直线200r y y x x =+圆222r yx=+的位置关系：点),(00y x P 在圆222r y x =+外，直线200ry y x x =+与圆222r yx =+ ；点),(00y x P 在圆222r y x =+上，直线200r y y x x =+与圆222r y x =+ ；点),(00y x P 在圆222r yx =+内，直线200r y y x x =+与圆222r yx =+ .3．弦长公式：设直线:l y kx b =+与圆220x y Dx Ey F ++++=交于两个不同点1122(,),(,)P x y Q x y ，则所截得弦长为：PQ = = . 4.两圆位置关系：设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21. ⇔+>21r r d ⇔4条公切线；⇔+=21r r d ⇔3条公切线；⇔+<<-2121r r d r r ⇔ ；⇔-=21r r d⇔ ；⇔-<<210r r d ⇔无公切线；5. 两圆的公共弦与圆的切线长：例4：①已知两圆1C ：02410222=-+-+y x y x ，2C ：082222=-+++y x y x ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是22420x y x y ++-=.②已知两个圆221x y +=①与22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。

将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。

推广的命题为 .解析 命题组所给答案为： “设两圆方程分别为222()()x a y b r -+-=①与222()()x c y d r -+-=②，则由①-②可得两圆的对称轴方程。

”事实上，本题尚可进一步推广：设两圆方程分别为221110x y D x E y F ++++=①与221110x y D x E y F ++++=②，则由①-②可得方程121212()()0D D x E E y F F -+-+-=（12D D ≠或12E E ≠）③表示两圆的根轴。

”特别地，若两圆半径相等，则为两圆的对称轴方程；若两圆半径不相等，则有以下几种情况：外切时表示内公切线；相交时表示公共弦所在直线；内切时表示外公切线；内含或相离时为根轴。

③由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++= 引切线，则切线长的最小值为（ ） A ．．④已知两定点(2,0),A -(1,0),B 如果动点P 满足条件2,PA PB =则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）（A ）π （B ）4π （C ）8π （D ）9π 提示：P 点轨迹为圆，半径为2，故面积为4π。

⑤已知直角坐标平面上点Q （2，0）和圆C ：,122=+y x 动点M 到圆C 的切线长与MQ的比等于常数)0(>λλ.求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线. 简析 此题为1994年全国高考文科试题，是改造高中数学（新教科书必修本）第二册（上）78P 例5，将常数21换成字母λ，再加上单位圆的切线长编制而成；本质上是阿波罗尼圆：设MN 切圆于N ，M （x,y ）,则MQ MN λ=，即.)2(1222y x y x +-=-+λ整理得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x .讨论：当1=λ时为直线54x =；当1≠λ时为圆2222222213()1(1)x y λλλλ+-+=--。

（三）对称问题⑴点),(000y x P 关于定点),(b a A 的对称点坐标为 ；曲线C ：0),(=y x f 关于定点),(b a A 的对称曲线方程为 。

⑵若求点),(000y x P 关于直线0=++C By Ax l ：的对称点),(y x P ，可得方程组 ； 特别地，若对称轴为0l x y C ++=：则P 点坐标为00(,)y C x C ----；若对称轴为0l x y C -+=：则P 点坐标为00(,)y C x C -+；如：已知点)1,2(P 在圆C ：2220x y ax y b ++-+=上，点P 关于直线10x y +-=的对称点也在圆上，则圆心坐标为 （0，1） ，半径为 2 ．⑶圆222()()x a y b r -+-=关于),(00y x P 的对称圆的方程为 ；关于直线0=++C By Ax l ：的对称圆的方程为 。

合集下载

直线与圆基础知识点+思维导图练习

直线与圆基础知识点+思维导图练习


6、直线方程的几种形式
直线形式
方程形式
已知条件
名称
点斜式
过点 P(x0 , y0 ) ，斜率为 k
适用范围 斜率存在
斜截式
斜率为 k ，在 y 轴上的截距为 b
斜率存在
一般式
A, B 不同时为 0
适用任何直线
两点式 截距式
过点 P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )
x1 x2 , y1 y2
在 x 轴、 y 轴上的截距分别是 a 、 b 不垂直与坐标轴，
不过原点
30
7、特殊位置的直线方程
（1）若直线垂直于 x 轴，且过点 P(x0 , y0 ) ，则直线方程是
；
（2）若直线垂直于 y 轴，且过点 P(x0 , y0 ) ，则直线方程是
.
8、两条直线的位置关系 两直线方程
l1 : y k1x b1
时，
两圆相离；当
时，两圆外切；当
当
时，两圆内切；当
时，两圆内含.
时，两圆相交；
*17、过圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 外一点 P(x0 , y0 ) 作圆的两条切线，切点分别为 A, B ，则
A, B 所在直线方程为 (x0 a)(x a) ( y0 b)( y b) r2 .
外切：d=R+r
外离：d>R+r
例 1、点 A(3, 0) 与点 B(7, 2) 的中点坐标为
.
例 2、已知点 A(2, 1) ，点 B(1, 3) ，则| AB |
.
例 3、求直线 l 经过以下两点的斜率及倾斜角.
（1） A(1, 3), B(1,3 3)
（2） A(2, 2), B(2, 2)
直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳

直线与圆圆与圆的位置关系考点与题型归纳

直线与圆、圆与圆的位置关系考点与题型归纳、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)2.圆与圆的位置关系(两圆半径为r i,匕，d=|O i O2|)、常用结论(1 )圆的切线方程常用结论①过圆x2 + y2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为 x o x+ y o y= r2②过圆(x- a)2+ (y- b)2= r2上一点P(x o, y o)的圆的切线方程为(x o—a)(x— a)+ (y o — b)(y -b) = r2.③过圆x2 + y2= r2外一点M(x o, y o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x o x+ y o y =r2.(2)直线被圆截得的弦长1 i弦心距d、弦长I的一半及圆的半径r构成一直角三角形，且有r2 = d2+ ~l 2.考点一直线与圆的位置关系考法(一)直线与圆的位置关系的判断［典例］直线I: mx— y+ 1— m = 0与圆C： x2+ (y— 1)2= 5的位置关系是( )A•相交 B •相切C.相离 D •不确定mx— y+ 1 — m= 0,［解析］法一：由o ox2 + y — 1 = 5,消去 y,整理得(1 + m2)x2— 2m2x+ m2— 5= 0,因为△= 16m2+ 20>0,所以直线I与圆相交.法二：由题意知，圆心(0,1)到直线I的距离d=―<1<寸5，故直线I与圆相交.yj m2 + 1法三：直线I: mx — y+ 1 — m= 0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2 + (y— 1)2= 5的内部，所以直线I 与圆相交.［答案］A［解题技法］判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用△判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.［提醒］上述方法中最常用的是几何法.考法(二)直线与圆相切的问题［典例］(1)过点P(2,4)作圆(x— 1)2+ (y— 1)2 = 1的切线，则切线方程为()A . 3x+ 4y — 4= 0B.4x— 3y + 4= 0C.x = 2 或 4x— 3y+ 4 = 0D.y= 4 或 3x+ 4y— 4 = 0(2)(2019成都摸底)已知圆C： x2+ y2— 2x— 4y+ 1 = 0上存在两点关于直线I: x+ my+ 1=0对称，经过点 M(m, m)作圆C的切线，切点为 P,则|MP|= ________________________ .［解析］⑴当斜率不存在时，x= 2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y— 4= k(x-2），即 kx — y+ 4-2k= 0,则|k — 1 + 4 - 2k|■ k 2 + 1=1，解得4k= 3，则切线方程为4x — 3y + 4= 0,故切线方程为 x= 2或4x — 3y + 4= 0.⑵圆C: x 2 + y 2— 2x — 4y+ 1= 0的圆心为C(1,2)，半径为2•因为圆上存在两点关于直线I: x+ my + 1= 0 对称，所以直线 I: x+ my+ 1 = 0 过点(1,2)，所以 1 + 2m+ 1 = 0,解得 m = —1，所以 |MC|2= 13, |MP|= 13— 4= 3.［答案］(1)C(2)3考法(三)弦长问题［典例］ ⑴若a 2 + b 2= 2C 2(C M 0)，则直线ax+ by+ c= 0被圆x 2 + y 2= 1所截得的弦长为( )1B . 1C#D. . 2(2)(2019海口一中模拟)设直线y= x+ 2a 与圆C ：x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A,B 两点， 若|AB|= 2 .3,则圆C 的面积为()A . 4 nB . 2 n C. 9 nD. 22 n［解析］⑴因为圆心(0,0)到直线ax+ by+ C = 0的距离d = t |C|=#弟=¥‘因此根寸 a 2+ b 2 V 2|C| 2据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1 — I2 =于，所以弦长为2.(2)易知圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2 = 0的圆心为(0, a)，半径为-a 2+ 2.圆心(0, a)到直线y = x+ 2a 的距离d = |a 2，由直线y= x+ 2a 与圆C: x 2 + y 2— 2ay — 2= 0相交于A, B 两点，|AB| =2诵，可得 齐3 = a 2 + 2,解得a 2= 2，故圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4 n 故选 A.［答案］(1)D(2)A［题组训练］1 •已知圆的方程是X2+ y2= 1,则经过圆上一点M 誓，当的切线方程是 _________________________ -解析：因为M #, +是圆X2+y2= 1上的点，所以圆的切线的斜率为一1,则设切线方程为x + y+ a = 0，所以 #+#+ a= 0,得a=— 2,故切线方程为 x+ y— 2= 0.答案：x+ y— 2 = 02.若直线kx— y+ 2 = 0与圆x2 + y2— 2x — 3 = 0没有公共点，则实数 k的取值范围是解析：由题知，圆 x2 + y2— 2x— 3 = 0可写成(x— 1)2+ y2= 4,圆心(1,0)到直线 kx— y+ 2=0的距离|k + 2| 4 d>2,即------------ >2,解得 0v kv3.p k2+1 3答案：4 033.设直线y= kx+ 1与圆x2 + y2 + 2x— my= 0相交于A, B两点，若点A, B关于直线l:x+ y= 0 对称，则 |AB|= _____________ .解析：因为点A, B关于直线I: x+ y= 0对称，所以直线y= kx+ 1的斜率k= 1,即y = 「、mx+ 1•又圆心—1, 2在直线I: x+ y= 0上，所以m= 2,则圆心的坐标为(一1,1)，半径r = 2，所以圆心到直线 y= x+ 1的距离du^2，所以AB|= 2 r2— d2= ,6.答案：6考点二圆与圆的位置关系［典例］(2016 •东高考)已知圆M : x2 + y2— 2ay= 0(a> 0)截直线x+ y= 0所得线段的长度是2 2，则圆M与圆N: (x— 1)2+ (y— 1)2= 1的位置关系是( )A.内切 B .相交C.外切 D .相离x2+ y2— 2ay= 0,［解析］法一：由x+ y= 0,得两交点为(0,0), (— a, a).•••圆M截直线所得线段长度为 2 2,r = 1,则点N到直线2x-2y- 1= 0的距离d = —1| 2,2•••- a2 + - a 2 = 2 2.又 a>O,「・a= 2.A圆 M 的方程为 x2 + y2-4y= 0, 即 x2 + (y- 2产=4,圆心 M(0,2)，半径 r i = 2.又圆 N : (x- 1)2+ (y- 1)2= 1,圆心 N(1,1)，半径 r2= 1, •••|MN|=- 0 - 1 2+ 2- 1 2= 2.•.•「1-「2= 1, r1+ r2 = 3,1<|MN|<3,•两圆相交.法二a 一：由题知圆 M : x2 + (y- a)2— a2(a>0),圆心(0, a)到直线x+ y= 0的距离d —所以2 :a2—2—2 2，解得a —2•圆M，圆N的圆心距|MN|— .2,两圆半径之差为 1,两圆半径之和为3，故两圆相交.［答案］B［变透练清］1. (2019 太原模拟)若圆 C1： x2 + y2= 1 与圆 C2： X2 + y2- 6x- 8y+ m= 0 外切，则 m=( )A. 21 B . 19C. 9 D . - 11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1= 1，因为圆C2的方程可化为(x- 3)2+ (y-4)2= 25- m,所以圆 C2 的圆心为 C2(3,4)，半径 r2= 25 - m(m V 25).从而 |C1C2=：32+ 42=5•由两圆外切得 C1C2= r1 + ",即卩1 +「25 - m= 5,解得m= 9，故选C.2.变结论若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为 ___________________ .x+ y — 4y= 0,解析：联立两圆方程两式相减得，2x-2y- 1 = 0,因为N(1,1),x-1 2 + y-1 2= 1,答案：*4匚2,故公共弦长为• 2 2. 144 = 2B . ±5C. 3［解题技法］几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1) 确定两圆的圆心坐标和半径长； (2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求r i + r 2, |r i — r 2|;⑶比较d, r i + r 2, |r i — r 2|的大小，写出结论.[课时跟踪检测]1.若直线2x+ y + a= 0与圆x 2 + y 2 + 2x — 4y= 0相切，则a 的值为()A. ±,5 D . ±3解析：选B 圆的方程可化为(x+ 1)2+ (y — 2)2= 5，因为直线与圆相切，所以有|a 5 = ,5, 即a= ±故选B. 2.与圆 C i ： x 2 + y 2— 6x+ 4y+ 12 = 0, C 2： x 2+ y 2— 14x — 2y+ 14= 0 都相切的直线有C. 3条 解析：选A两圆分别化为标准形式为C i ： (x — 3)2+ (y+ 2)2= 1, C 2 : (x — 7)2 + (y — 1)2=36，则两圆圆心距|C i C 2|= 7 — 3 2+ [1 —— 2 ]2= 5,等于两圆半径差，故两圆内切.所 以它们只有一条公切线.故选A.3. (2019南宁、梧州联考)直线y= kx+ 3被圆(x — 2)2+ (y — 3)2= 4截得的弦长为2.3, 则直线的倾斜角为(),n ［、. 5 nA ・6或石n D ・6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2,所以圆心到直线的距离为d= 22— 3 2 =1.即d=J^= 1，所以k=±富由k=tan"得a= 6或于故选A.B.x+ ay+ 1线的距离为1,故圆心（一1,3）到直线x+ ay+ 1 = 0的距离为1,即|— 1+ 3a+ 1| :1'1 + a 2=1,解得a =4.过点（3,1）作圆（x — 1）2+ y 2= r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（）A . 2x+ y — 5= 0B . 2x+ y — 7= 0 C. x — 2y — 5 = 0D . x — 2y — 7= 0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2 = 5,圆的方程为(x — 1)2+ y 2=5，则过点(3,1)的切线方程为(x — 1)・—3) + y(1 — 0) = 5，即2x+ y — 7 = 0•故选5. （2019重庆一中模拟）若圆x 2 + y 3+ 2x — 6y+ 6= 0上有且仅有三个点到直线 =0的距离为1，则实数a 的值为（）C. 土，2解析：选B 由题知圆的圆心坐标为（一1,3），半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直D . y=— 4圆(x — 1)2+ y 2= 1 的圆心为 C(1,0)，半径为 1,以 |PC|= -''=2为直径的圆的方程为（x — 1）2+ （y+ 1）2= 1,将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2yC. y =解析：选B解析：易知圆心（2, — 1）,半径r = 2,故圆心到直线的距离|2+ 2 X — 1 — 3| 3,5 弦长为2 r 2— d2 =迸5答案: 2 '555.12 + 22±2±4 -6.（2018嘉定二模）过点P（1 , — 2）作圆C : （x— 1）4+ y2= 1的两条切线，切点分别为A,B,则AB所在直线的方程为（）1B . y=— 21+ 1 = 0，即 y= —2•故选 B.x— (3 + a)y— a= 0,圆心(0,0)到直线的距离I— a| d= . 1 +3 + a&若P(2,1)为圆(x— 1)2+ y2= 25的弦AB的中点，则直线 AB的方程为 _____________________一 1解析：因为圆(x— 1)2+ y2= 25的圆心为(1,0),所以直线AB的斜率等于 =—1,由点1 — 0斜式得直线 AB的方程为y— 1 = — (x— 2)，即卩x+ y— 3= 0.答案：x+ y— 3 = 09.____________________________________________________________________________ 过点P(— 3,1),Q(a,O)的光线经x轴反射后与圆x2+ y2= 1相切，则a的值为_____________________________解析：因为P( — 3,1)关于x轴的对称点的坐标为P' (— 3, — 1),一 1所以直线P' Q的方程为y= (x— a),即—3 — a所以a=— |.5答案：—|10.点 P 在圆 C1: x2+ y2— 8x— 4y + 11 = 0 上，点 Q 在圆 C2: x2+ y2+ 4x+ 2y + 1 = 0 上,则|PQ|的最小值是 ____________解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x— 4)2+ (y— 2)2= 9, (x + 2)2 + (y+ 1)2 =4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3;圆C2的圆心坐标是(一 2,— 1)，半径是2.圆心距d =■4+ 2 2 + 2+ 1 2= 3 ,5> 5•故圆C1与圆C2相离，所以|PQ |的最小值是3 .5 — 5.答案：3 5—511.已知圆 C1: x2+ y2— 2x— 6y— 1 = 0 和圆 C2: x2 + y2— 10x— 12y+ 45 = 0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；⑵求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径「1=111, 圆C2的圆心 C2(5,6)，半径r2= 4,y=— 2x 上.C 截得的弦长为两圆圆心距 d = |C i C 2|= 5, r i + r 2 = ：.； 11 + 4, |r i — r 2|= 4— 11,-■•|r i — r 2|<d<门 + r 2,「.圆 C 1 和圆 C 2 相交. ⑵圆C 1和圆C 2的方程相减，得 4x+ 3y — 23 = 0, •••两圆的公共弦所在直线的方程为4x + 3y — 23= 0.|20+ 18— 23| 圆心C 2(5,6)到直线4x+ 3y —23= 0的距离d=, = 3, 寸 16+ 9故公共弦长为 2 16— 9= 2 ,7.12. 已知圆C 经过点A(2, — 1)，和直线x + y= 1相切，且圆心在直线 (1) 求圆C 的方程；(2) 已知直线I 经过原点，并且被圆 C 截得的弦长为2，求直线I 的方程解：(1)设圆心的坐标为 C(a,— 2a),化简，得a 2— 2a + 1 = 0,解得a= 1. •Q(1 , — 2)，半径 r = |AC|=1 —2 2+ — 2 + 1 2= ,2.•••圆 C 的方程为(x — 1)2 + (y+ 2)2= 2.⑵①当直线I 的斜率不存在时，直线I 的方程为x = 0,此时直线I 被圆 2,满足条件.②当直线I 的斜率存在时，设直线I 的方程为y= kx, K+ 2|3由题意得 -------- =1，解得k=— 4,寸 1 + k 243•直线I 的方程为y= — ]x,即3x+ 4y= 0. 综上所述，直线I 的方程为x= 0或3x+ 4y= 0.—2a+ 11.过圆x2+ y2= 1上一点作圆的切线，与 x轴、y轴的正半轴相交于 A, B两点，则|AB|B. ,.''3 D . 3解析：选C 设圆上的点为(x o , y o ),其中x o > 0, y o >0，则有x g + 的最小值为() A. .''2C. 2y 0= 1，且切线方程为x o x+ y o y = 1.分别令 y = 0, x= 0得1 / 12 1 1B0，y ，则IAB =.. x 04 5 6+ y 02=硕》右=2当且仅当 等号成立.2.(2018 •苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I: y= 2x 上在第一象限内的点,B(5,0)，以AB 为直径的圆 C 与直线I 交于另一点 D.若AB CD = 0，则点A 的横坐标为n解析：因为AB CD = 0,所以AB 丄CD ，又点C 为AB 的中点，所以/ BAD = 4,设直n线I 的倾斜角为0,直线AB 的斜率为k ，则tan 0= 2, k=tan 0+ 4 =- 3.又B(5,0)，所以直线AB 的方程为y=— 3(x — 5)，又A 为直线l: y= 2x 上在第一象限内的点，联立直线y=— 3 x — 5 ,x= 3,AB 与直线l 的方程，得解得所以点A 的横坐标为3.y= 2x,y= 6, 答案：33. (2018 安顺摸底)已知圆 C: x 2 + (y — a)2= 4,点 A(1,0). 5 当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数 a 的取值范围；6 设AM , AN 为圆C 的两条切线，M , N 为切点，当|MN|= 誓时，求MN 所在直线的 方程. 解：(1)过点A 的切线存在，即点 A 在圆外或圆上， •••1 + a 2>4,^a> '3或 a< — .'3. (2)设MN 与AC 交于点D, O 为坐标原点.4/52 需•••|MN|=〒，.・.|DM|=才.20_ 4 又 |MC|= 2 ,「.|CD| =25= .5,4A 的方程为(x — 1)2+ y 2 =即 x — 2y= 0 或(x — 1)2+ y 2 V 52|MC| 2 厂2丢cos Z MCA 2_7•••|OC|= 2, |AM|= 1,• MN 是以点A 为圆心，1为半径的圆A 与圆C 的公共弦，圆 1,圆 C 的方程为 x 2+ (y — 2)2 = 4 或 x 2+ (y+ 2)2= 4,•'■MN 所在直线的方程为 (x — 1)2+ y 2— 1 — x 2 — (y — 2)2+ 4 = 0, —1 — x 2— (y+ 2)2 + 4= 0，即 x+ 2y= 0,因此MN 所在直线的方程为 x — 2y= 0或x+ 2y= 0.17.在平面直角坐标系 xOy 中，直线x+ 2y — 3 = 0被圆（x — 2）2+ （y+ 1）2= 4截得的弦长为 __________ .。

知识要点-直线与圆的位置关系

知识要点-直线与圆的位置关系

第4讲 直线与圆的位置关系★知识梳理★1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，若直线与圆相离，则r d >；若直线与圆相切，则r d =；若直线与圆相交，则r d < ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断，若0>∆，则直线与圆相离；若0=∆，则直线与圆相切；若0<∆，则直线与圆相交2.两圆的的位置关系(1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d若两圆相外离，则r R d +> ，公切线条数为4若两圆相外切,则r R d +=，公切线条数为3若两圆相交r R d r R +<<-，则，公切线条数为2若两圆内切，则r R d -=，公切线条数为1若两圆内含，则r R d -<，公切线条数为0(2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D3. 相切问题的解法：①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=∆来求解。

特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为200r y y x x =+, 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--4.圆系方程①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为)0()()(22020>=-+-r r y y x x②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++220)(=+++c by ax λ③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为11122F y E x D y x ++++0)(22222=+++++F y E x D y x λ（不表示圆2C ）★重难点突破★重点:根据给定的方程判定直线与圆、圆与圆的位置关系；利用直线和圆、圆与圆的位置关系的充要条件解决一些简单的问题；难点:借助数形结合,利用圆的几何性质,将题目所给条件转化为圆心到直线的距离、两圆的连心线或半径的和与差重难点:将方程的理论与圆的几何性质相结合,并加以运用1、把握直线与圆的位置关系的三种常见题型：①相切——求切线②相交——求距离③相离——求圆上动点到直线距离的最大（小）值；问题10y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于【解析】圆心为)0,1(，半径为3，332|3|=⇒=+m m 或33- 2、解决直线与圆的位置关系问题用到的思想方法有：①数形结合，善于观察图形，充分运用平面几何知识，寻找解题途径②等价转化，如把切线长的最值问题转化为圆外的点到圆心的距离问题，把公切线的条数问题转化为两圆的位置关系问题，把弦长问题转化为弦心距问题等③待定系数法，还要合理运用“设而不求”，简化运算过程3、①圆与圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之和或半径之差的关系②公共弦满足的条件是：连心线垂直平分公共弦★热点考点题型探析★考点1 直线与圆的位置关系题型1: 判断直线与圆的位置关系[例1 ] （2005北京海淀）设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切[解析]圆心到直线的距离为d =21m +，圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=21（m －1）2≥0， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离.所以选C【名师指引】判断直线与圆的位置关系的两种方法(代数法、几何法)中，几何法更简便 题型2:求解圆的切线、弦长问题[例2] 已知圆1)2(:22=-+y x M ,Q 是x 轴上的动点,QA 、QB 分别切圆M 于B A ,两点(1)若点Q 的坐标为（1，0），求切线QA 、QB 的方程(2)求四边形QAMB 的面积的最小值(3)若324=AB ，求直线MQ 的方程 【解题思路】(2)用一个变量表示四边形QAMB 的面积(3)从图形中观察点Q 满足的条件 解析：（1）设过点Q 的圆M 的切线方程为1+=my x ，则圆心M 到切线的距离为1， ∴3411|12|2-=⇒=++m m m 或0，∴切线QA 、QB 的方程分别为0343=-+y x 和1=x （2）AQ MA ⊥ ，3112222=-≥-=-==⋅=∴MO MQ MA MQ QA QA MA S MAQB（3）设AB 与MQ 交于点P ，则MQ MB AB MP ⊥⊥,31)322(12=-=MP ，在MBQ Rt ∆中，MQ MP MB ⋅=2， 即MQ 311=3=∴MQ 设)0,(x Q ，则)0,5(,5,9222±∴±==+Q x x∴直线MQ 的方程为05252=-+y x 或05252=+-y x【名师指引】转化是本题的关键，如：第2问把切线长转化为圆外一点到圆心的距离；第3问把弦长转化为圆心到弦所在直线的距离，再利用射影定理转化为圆外一点Q 到圆心的距离。

直线与圆知识点以及经典例题总结归纳

直线与圆知识点以及经典例题总结归纳

直线与圆知识点以及经典例题总结
归纳
直线与圆的知识点以及经典例题总结归纳
一、直线与圆的概念
1.直线：是一条无限长的抽象线段，它有一定的方向，并由两个端点构成。

2.圆：一种特殊的曲线，它的轨迹是一个闭合的曲线，它的圆心和半径是固定的，每一点到圆心的距离都是半径的长度。

二、直线与圆的性质
1.直线的性质：
(1)直线穿过的任意两点之间的距离相等。

(2)任意一点到直线的距离是不变的，且与直线上任意一点到此直线的距离相等。

2.圆的性质：
(1)圆的任意两点之间的距离都相等。

(2)任意一点到圆的距离都是固定的，且与圆心的距离相等，即为半径。

三、直线与圆的经典例题
1.已知圆O的半径为5，直线l与圆O相交于A、B两点，若∠BAO=60°，求直线l的斜率。

解：以O为原点，将坐标系原点平移至O，则AB 两点的坐标分别为(5,0),(-3.464,4.264)，∴直线l的斜率为：k=4.264/3.464=1.237
2.已知圆O的半径为1，点P在圆O外，且P到圆O的距离为2，求直线OP的斜率。

解：以O为原点，将坐标系原点平移至O，则点P 的坐标为(2,0)，∴直线OP的斜率为：k=0/2=0。