【三维设计】高考数学总复习 课时跟踪检测1 集合

课时跟踪检测（一）任意角层级一学业水平达标1．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：选B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3 000°，－840°解析：选B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°与750°终边相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是()A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限解析：选A由题意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，当k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，当k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．终边在第二象限的角的集合可以表示为()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360°B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360°D．165°＋(－3)×360°解析：选B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确．答案：①③7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．若角2α与240°角的终边相同，则α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：选B角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在()A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上解析：选A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是()A．M∩N＝∅B．M NC．N M D．M＝N解析：选C对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n 表示所有的整数，∴N M，故选C.5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k ∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。

课时跟踪训练(一) 命 题1．命题“若x ＞1，则x ＞－1”的否命题是( )A ．若x ＞1，则x ≤－1B ．若x ≤1，则x ＞－1C ．若x ≤1，则x ≤－1D ．若x ＜1，则x ＜－12．给出下列三个命题：( )①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y ，或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3．(湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π44．已知命题“若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0”，则下列结论正确的是( )A ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”B ．真命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”C ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0或b ＞0”D ．假命题，否命题：“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”5．已知命题：弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p ，则q ”的形式，则p 是__________________________，q 是_________________________．6．命题“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题为________________，为________(填“真、假”)命题．7．把命题“两条平行直线不相交”写成“若p ，则q ”的形式，并写出其逆命题、否命题、逆否命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.答 案1．选C 原命题的否命题是对条件“x ＞1”和结论“x ＞－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．选B 逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.5．★答案★：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧6．★答案★：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．解：原命题：若直线l 1与l 2平行，则l 1与l 2不相交；逆命题：若直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行；否命题：若直线l 1与l 2不平行， 则l 1与l 2相交；逆否命题：若直线l 1与l 2相交，则l 1与l 2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．因此假设不成立，故a ＋b ≥0.1．选C 原命题的否命题是对条件“x ＞1”和结论“x ＞－1”同时否定，即“若x ≤1，则x ≤－1”，故选C.2．选B ①的否命题是“不全等的三角形面积不相等”，它是假命题；②的逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；③的逆否命题是“若|x |＝|y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．选C 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 4．选B 逆否命题“若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab ＞0，则a ＞0且b ＞0”，故选B.5．★答案★：一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧6．★答案★：若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4 真7．解：原命题：若直线l 1与l 2平行，则l 1与l 2不相交；逆命题：若直线l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行；否命题：若直线l 1与l 2不平行， 则l 1与l 2相交；逆否命题：若直线l 1与l 2相交，则l 1与l 2不平行．8．证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a ，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．因此假设不成立，故a＋b≥0.。

第一节集 合一、元素与集合[知识能否忆起]1. 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．2. 集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉. 3．常见集合的符号表示： 集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 表示NN *或 N ＋ZQR4．集合的表示法：列举法、描述法、韦恩图． 二、集合间的基本关系描述关系 文字语言符号语言 集合间的基本 关系相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A ＝B 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 A ⊆B 或 B ⊇A真子集A 中任意一元素均为B 中的元素，且 B 中至 少有一个元素 A 中没有A B 或 B A空集空集是任何集合的子集∅⊆B 空集是任何非空集合的真子集∅ B (B ≠∅)三、集合的基本运算集合的并集集合的交集 集合的补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为 U ，则集合 A 的补集为∁U A图形表示意义 {x |x ∈A ，或 x ∈B } {x |x ∈A ，且 x ∈B } {x |x ∈U ，且 x ∉A }＝⎨x ＝Z ⎬ [小题能否全取]1．(2012·大纲全国卷)已知集合 A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：选 B 选项 A 错，应当是 B ⊆A .选项B 对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项 C 错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项 D 错，应当是 D ⊆A .2．(2012·浙江高考)设集合 A ＝{x |1＜x ＜4}，集合 B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则 A ∩(∁R B )＝ ( )A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：选B 因为∁R B ＝{x |x ＞3，或 x ＜－1}，所以 A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}． 3．(教材习题改编)A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则 A ∩B ＝B 时 a 的值是 ( )A ．2B ．2 或 3C ．1 或 3D ．1 或 2解析：选D 验证 a ＝1 时 B ＝∅满足条件；验证 a ＝2 时 B ＝{1}也满足条件． 4.(2012· 盐城模拟) 如图， 已知 U ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ， 集合 A ＝ {2,3,4,5,6,8}，B ＝{1,3,4,5,7}，C ＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为．解析：阴影部分表示的集合为 A ∩C ∩(∁U B )＝{2,8}． 答案：{2,8}⎧ ⎪ 2 ⎫ 5．(教材习题改编)已知全集 U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合 A ＝⎨x x ＝，x ，n ∈Z ⎬ ，则∁U A ＝ .解析：因为 A⎧ ⎪x 2 ，x ，n ∈ ⎫， ⎩ ⎪ n －1 ⎭⎩ ⎪ n －1 ⎭ 当 n ＝0 时，x ＝－2；n ＝1 时不合题意； n ＝2 时 ，x ＝2；n ＝3 时 ，x ＝1； n ≥4 时，x ∉Z ；n ＝－1 时，x ＝－1； n ≤－2 时，x ∉Z . 故 A ＝{－2,2,1，－1}，又 U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}． 答案：{0}1.正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．元素与集合典题导入[例1] (1)(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y ∈A}，则B 中所含元素的个数为()A．3 B．6C．8 D．10(2)已知集合M＝{1，m}，N＝{n，log2n}，若M＝N，则(m－n)2013＝.[自主解答] (1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B 中所含元素的个数为10.(2)由M＝N 知⎧⎪n＝1，⎨⎪⎩log2n＝m⎧⎪m＝0，∴⎨⎪⎩n＝1⎧⎪n＝m，或⎨⎪⎩log2n＝1，⎧⎪m＝2，或⎨⎪⎩n＝2，故(m－n)2013＝－1 或0.[答案] (1)D(2)－1 或0由题悟法2.1. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．以题试法1．(1)(2012·北京东城区模拟)设 P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合 P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若 P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则 P ＋Q 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)已知集合 A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则 a ＝.解析：(1)∵P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，∴当 a ＝0 时，a ＋b 的值为 1,2,6；当 a ＝2 时，a ＋b 的值为 3,4,8；当 a ＝5 时，a ＋b 的值为 6,7,11，∴P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，∴P ＋Q 中有 8 个元素． (2)∵－3∈A ，∴－3＝a －2 或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1 或 a ＝－3 当 a ＝－1 时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3， 与元素互异性矛盾，应舍去．当 a 3 7 2＝－2时，a －2＝－2，2a ＋5a ＝－3.∴a 3＝－2满足条件．答案：(1)B (2)3－2典题导入[例 2] (1)(2012·湖北高考)已知集合 A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }， 则满足条件 A ⊆C ⊆B 的集合 C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合 A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若 A ⊆B ，则实数 a 的取值范围是(c ，＋ ∞)，其中 c ＝.m [自主解答] (1)由 x 2－3x ＋2＝0 得 x ＝1 或 x ＝2， ∴A ＝{1,2}．由题意知 B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的 C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)由 log 2x ≤2，得 0<x ≤4，即 A ＝{x |0<x ≤4}， 而 B ＝(－∞，a )， 由于 A ⊆B ，如图所示，则 a >4，即 c ＝4. [答案] (1)D (2)4由题悟法1.判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系 ；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2.已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．以题试法2．(文)(2012·郑州模拟)已知集合 A ＝{2,3}，B ＝{x |mx －6＝0}，若 B ⊆A ，则实数 m 的值 为 ( )A ．3B ．2C ．2 或 3D ．0 或 2 或 3解析：选D 当 m ＝0 时，B ＝∅⊆A ；⎧ 6 ⎫当 m ≠0 时，由 B ＝⎨ ⎬⊆{2,3}可得⎩m ⎭ 6＝2 或6＝3， m 解得 m ＝3 或 m ＝2， 综上可得实数 m ＝0 或 2 或 3.(理)已知集合 A ＝{y |y ＝ －x 2＋2x }，B ＝{x ||x －m |<2 013}，若 A ∩B ＝A ，则 m 的取值范围 是 ( )A ．[－2 012,2 013]B ．(－2 012,2 013)C ．[－2 013,2 011]D ．(－2 013,2 011)解析：选 B 集合 A 表示函数 y ＝ －x 2＋2x 的值域，由 t ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1， 可得 0≤y ≤1，故 A ＝[0,1]．集合B 是不等式|x －m |<2 013 的解集，解之得m －2 013<x <m ＋2 013，所以B ＝(m －2 013， m ＋2 013)．因为 A ∩B ＝A ，所以 A ⊆B .如图，由数轴可得⎧⎪m－2 013<0，⎨⎪⎩m＋2 013>1，解得－2 012<m<2 013.集合的基本运算典题导入[例3] (1)(2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6} 等于()A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)(2)(2012·安徽合肥质检)设集合A＝{x|x2＋2x－8<0}，B＝{x|x<1}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|－4<x<2}C．{x|－8<x<1} D．{x|1≤x<2}[自主解答] (1)∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}．(2)∵x2＋2x－8<0，∴－4<x<2，∴A＝{x|－4<x<2}，又∵B＝{x|x<1}，∴图中阴影部分表示的集合为A∩(∁U B)＝{x|1≤x<2}．[答案] (1)D(2)D将例3(1)中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条件的集合M 的个数．解：由M∩N＝N 得M⊇N.含有 2 个元素的集合M 有 1 个，含有3 个元素的集合M 有 4 个，含有4 个元素的集合M 有6 个，含有5 个元素的集合M 有4 个，含有6 个元素的集合M 有1 个．因此，满足条件的集合M 有1＋4＋6＋4＋1＝16 个．由题悟法1.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．2.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B 等集合问题时，一定先考虑A 或B 是否为空集，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．以题试法3．(2012·锦州模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁A)∩B 等于()UA．{x|x>2，或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：选C A＝{x|x(x－2)>0}＝{x|x>2，或x<0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1}，∁U A＝{x|0≤x≤2}．∴(∁U A)∩B＝{x|1<x≤2}．1．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1<x<1}，则()A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅解析：选B A＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<1}，所以B A.2．(2012·山西四校联考)已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N 的个数是()A．2 B．3C．4 D．8解析：选C 依题意得，满足M∪N＝{0,1,2}的集合N 有{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}共4 个．3．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝()A．{3,0} B．{3,0,1}＝ m .C ．{3,0,2}D ．{3,0,1,2}解析：选B 因为 P ∩Q ＝{0}，所以 0∈P ，log 2a ＝0，a ＝1，而 0∈Q ，所以 b ＝0.所以P ∪Q ＝{3,0,1}．4．(2012·辽宁高考)已知全集 U ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合 A ＝{0,1,3,5,8}，集合 B ＝ {2,4,5,6,8}， 则 (∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}解析：选B 因为 A ∪B ＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,9}． 5．(2013·合肥质检)已知集合 A ＝{－2，－1,0,1,2}，集合 B ＝{x ∈Z ||x |≤a }，则满足 A B 的实数 a 的一个值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 当 a ＝0 时，B ＝{0}； 当 a ＝1 时，B ＝{－1,0,1}； 当 a ＝2 时，B ＝{－2，－1,0,1,2}； 当 a ＝3 时，B ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}， 显然只有 a ＝3 时满足条件．6．已知全集 U ＝R ，集合 A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．(－∞，3)∪(5，＋∞) B ．(－∞，3]∪[5，＋∞) C ．(－∞，3)∪[5，＋∞)D ．(－∞，3]∪(5，＋∞)解析：选C x 2－7x ＋10<0⇔(x －2)·(x －5)<0⇒2<x <5，A ∩B ＝{x |3≤x <5}， 故∁U (A ∩B )＝(－∞，3)∪[5，＋∞)．7．(2012·大纲全国卷)已知集合 A ＝{1,3， m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则 m ＝( )A ．0 或B ．0 或 3C ．1 或D ．1 或 3解析：选B 法一：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又 A ＝{1,3， m }，B ＝{1，m }，∴m ＝3 或 m由 m ＝ m 得 m ＝0 或 m ＝1.但 m ＝1 不符合集合中元素的互异性，故舍去，故 m ＝0 或 m ＝3.法二：∵B ＝{1，m }，∴m ≠1，∴可排除选项 C 、D.又当 m ＝3 时，A ＝{1,3， 3}，B ＝{1,3}，满足 A ∪B ＝{1,3， 3}＝A ，故选 B. 8．设 S ＝{x |x <－1，或 x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则 a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1) B ．[－3，－1]C．(－∞，－3]∪(－1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－1，＋∞)解析：选A 在数轴上表示两个集合，因为S∪T＝R，由图⎧⎪a<－1，可得⎨⎪⎩a＋8>5，解得－3<a<－1.9．若集合U＝R，A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁U B)＝.解析：由题意得∁U B＝(－∞，1)，又因为A＝{x|x＋2>0}＝{x|x>－2}，于是A∩(∁U B)＝(－2,1)．答案：(－2,1)10．(2012·武汉适应性训练)已知A，B 均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B)∩A＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2,4}，则B∩(∁U A)＝.解析：依题意及韦恩图得，B∩(∁U A)＝{5,6}．答案：{5,6}⎧⎪2 ⎫11．已知R 是实数集，M＝⎨x⎪x<1⎬，N＝{y|y＝x－1}，则⎩⎭N∩(∁R M)＝.解析：M＝{x|x<0，或x>2}，所以∁R M＝[0,2]，又N＝[0，＋∞)，所以N∩(∁R M)＝[0,2]．答案：[0,2]12．(2012·吉林模拟)已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(∁U A) ＝∅，则m＝.解析：A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m1答案：0,1 1＝－2.，－213．(2012·苏北四市调研)已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，存在a∈R，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是．解析：不等式x2＋a≤(a＋1)x 可化为(x－a)(x－1)≤0，由题意知不等式的解集为{x|1≤x≤a}．A 中所有整数元素构成以1 为首项，1 为公差的等差数列，其前7 项和为7×(1＋7)2 ＝28，所以7≤a<8，即实数a 的取值范围是[7,8)．答案：[7,8)14．(2012·安徽名校模拟)设集合S n＝{1,2,3，…，n}，若X⊆S n，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n的奇(偶)子集．则S4的所有奇子集的容量之和为⎩ ．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为 X ＝{1}， {3}，{1,3}，其容量分别为 1,3,3，所以 S 4 的所有奇子集的容量之和为 7.答案：7⎧ ⎪ 1⎫1．(2012·杭州十四中月考)若集合 A ＝⎨y ⎪y ＝lg x ，10≤x ≤10⎬，B ＝{－2，－1,1,2}， ⎭全集 U ＝R ，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－1,1} B ．(∁U A )∪B ＝[－1,1]C ．A ∪B ＝(－2,2)D ．(∁U A )∩B ＝[－2,2]解析：选A ∵x ∈⎡ 1，10⎤，∴y ∈[－1,1]，⎣10 ⎦∴A ∩B ＝{－1,1}．2．设 A 是自然数集的一个非空子集，对于 k ∈A ，如果 k 2∉A ，且 k ∉A ，那么 k 是 A 的一个“酷元”，给定 S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设 M ⊆S ，且集合 M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合 M 有( )A ．3 个B ．4 个C ．5 个D ．6 个解析：选C 由 36－x 2>0，解得－6<x <6.又因为 x ∈N ，所以 S ＝{0,1,2,3,4,5}． 依题意，可知若 k 是集合 M 的“酷元”是指 k 2 与 k 都不属于集合 M .显然 k ＝0,1 都不是“酷元”．若 k ＝2，则 k 2＝4；若 k ＝4，则 k ＝2.所以 2 与 4 不同时在集合 M 中，才能成为“酷元”．显然 3 与 5 都是集合 S 中的“酷元”．综上，若集合 M 中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类： (1)只选 3 与 5，即 M ＝{3,5}；(2)从 3 与 5 中任选一个，从 2 与 4 中任选一个，即 M ＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}． 所以满足条件的集合 M 共有 5 个．3．(2013·河北质检)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋a ≥0}，N ＝{x |log 2(x －1)<1}，若M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1，或 x ≥3}，那么()A ．a ＝－1B ．a ≤1C ．a ＝1D ．a ≥1解析：选A 由题意得M＝{x|x≥－a}，N＝{x|1<x<3}，所以∁U N＝{x|x≤1，或x≥3}，又M∩(∁U N)＝{x|x＝1，或x≥3}，因此－a＝1，a＝－1.4．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是．解析：①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确；②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③令A1＝{－4,0,4}，A2＝{－2,0,2}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．答案：②5．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A⊆∁R B，求实数m 的取值范围．解：A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．⎧⎪m－2＝1，(1)∵A∩B＝[1,3]，∴⎨得m＝3.⎪⎩m＋2≥3，(2)∁R B＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．∵A⊆∁R B，∴m－2＞3 或m＋2＜－1.∴m＞5 或m＜－3.即m 的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6．(2012·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁I M)∩N；(2)记集合A＝(∁I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a 的取值范围．解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M＝{x|x∈R 且x≠－3}，∴(∁I M)∩N＝{2}．(2)A＝(∁I M)∩N＝{2}，⎭ ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或 B ＝{2}，当 B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；⎧⎪a －1＝2， 当 B ＝{2}时，⎨ ⎪⎩5－a ＝2，解得 a ＝3， 综上所述，所求 a 的取值范围为{a |a ≥3}．⎧ b ⎫ 2 2 013 1. 现有含三个元素的集合，既可以表示为⎨a ，a ，1⎬，也可表示为{a ，a ＋b,0}，则 a⎩ ⎭＋b 2 013＝ .b 2解析：由已知得a ＝0 及 a ≠0，所以 b ＝0，于是 a ＝1，即 a ＝1 或 a ＝－1，又根据集 合中元素的互异性可知 a ＝1 应舍去，因此 a ＝－1，故 a 2 013＋b 2 013＝(－1)2 013＝－1.答案：－12. 集合 S ＝{a ，b ，c ，d ，e }，包含{a ，b }的 S 的子集共有( )A ．2 个B ．3 个C ．5 个D ．8 个 解析：选D 包含{a ，b }的 S 的子集有：{a ，b }；{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{a ，b ，e }； {a ，b ，c ，d }，{a ，b ，c ，e }，{a ，b ，d ，e }；{a ，b ，c ，d ，e }共 8 个．3. 某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13，同时参加数学和物理小组的有 6 人，同时参加物理和化学小组的有 4 人，则同时参加数学和化学小组的有人． 解析：由题意知，同时参加三个小组的人数为 0，设同时参加数学和化学小组的人数为 x ，Venn 图如图所示，∴(20－x )＋6＋5＋4＋(9－x )＋x ＝36，解得 x ＝8.答案：84. 已知集合 A ＝{x |x 2＋2x ＋a ≤0}，B ＝{x |a ≤x ≤4a －9}，若 A ，B 中至少有一个不是空集，则 a 的取值范围是． 解析：若 A ，B 全为空集，则实数 a 满足 4－4a <0 且 a >4a －9，即 1<a <3，则满足题意的 a 的取值范围为(－∞，1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[3，＋∞)⎛ 1⎫ ⎫2 5．(2012·重庆高考)设平面点集 A ＝(x ，y )(y －x )·1) 2≤1}，则 A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )⎝y －x ⎭≥0⎬，B ＝{(x ，y )|(x －1) ＋(y －3 3A.4πB.5π4 πC.7πD.2解析：选D A∩B 表示的平面图形为图中阴影部分，由对称性可知，S C＝S F，S D＝S E.因此A∩B 所表示的平面图形的面积是圆面积的π一半，即为2.。

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语课时跟踪检测文1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且∃x∈B，x∉AA B或B A相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，且B⊆A A＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A ∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B续补集 全集U 中不属于集合A 的元素组成的集合 {x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A4．集合问题中的几个基本结论(1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ； (2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ； (3)运算性质①A ∩B ＝B ∩A ，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . ②A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .③∁S (∁S A )＝A ，(∁S A )∪(∁S B )＝∁S (A ∩B )，(∁S A )∩(∁S B )＝∁S (A ∪B )． [小题体验]1．(教材习题改编)下列关系中正确的序号为________．①{0}＝∅；②0∈{0}；③∅{0}；④{0,1}⊆{(0,1)}；⑤{(a ，b )}＝{(b ，a )}． 解析：由集合的有关概念易知②③正确． 答案：②③2．(教材习题改编)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x63－x ∈N ，x ∈N ，用列举法表示为________． 解析：用列举法可知x 可取0,1,2. 答案：{0,1,2}3．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,5}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(∁U B )＝________. 答案：{2,4}4．集合{a ，b }的所有子集为________． 答案：{a }，{b }，{a ，b }，∅1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．若集合A ＝{a ＋1，a －1，a 2－3}满足1∈A ，则实数a 的值为________．解析：若a ＋1＝1，则a ＝0，A ＝{1，－1，－3}，满足；若a －1＝1，则a ＝2，此时a 2－3＝1，与集合的互异性矛盾，舍去；若a 2－3＝1，则a ＝±2，a ＝2舍去，当a ＝－2时，A ＝{－1，－3，1}，满足． 答案：0或－22．已知集合M ＝{x |y ＝x 2＋2x ＋4}，N ＝{y |y ＝2x 2＋2x ＋3}，则M ∩N ＝________.解析：因为M ＝R ，N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞3．集合A ＝{x |x ＝－y 2＋6，x ∈N ，y ∈N}的真子集的个数为________．解析：当y ＝0时，x ＝6；当y ＝1时，x ＝5；当y ＝2时，x ＝2；当y ≥3时，x ∉N ，故集合A ＝{2,5,6}，共含有3个元素，故其真子集的个数为23－1＝7.答案：7考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(易错题)已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为________．解析：集合B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．答案：92．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵A ＝∅，∴方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，当a ≠0时，Δ＝9－8a <0，∴a >98.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞ 3．(易错题)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．如“题组练透”第1题． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．如“题组练透”第3题易忽视．考点二 集合间的基本关系（重点保分型考点——师生共研）[典例引领]1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，实数m 的取值范围为(－∞，4]． 答案：(－∞，4]2．(2016·苏州四市调研)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．解析：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．答案：43．集合A ＝{0,1，x }，B ＝{x 2，y ，－1}，若A ＝B ，则y ＝________.解析：因为A ＝{0,1，x }，B ＝{x 2，y ，－1}，且A ＝B ，所以x ＝－1，此时集合A ＝{0,1，－1}，B ＝{1，y ，－1}，所以y ＝0.答案：0[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．已知集合A ＝{x |2a －2<x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∁R B ，则实数a 的取值范围为________．解析：∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}． (1)当A ＝∅时，2a －2≥a ，解得a ≥2； (2)当A ≠∅时，由A∁R B ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，a ≤1，或⎩⎪⎨⎪⎧2a －2<a ，2a －2≥2，解得a ≤1.综上可知， 实数a 的取值范围为(－∞，1]∪[2，＋∞)． 答案：(－∞，1]∪[2，＋∞)2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a ＝0}，B ＝{1,2}，且A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：若A ＝∅，则Δ＝4－4a <0，解得a >1； 若A ≠∅，则A ＝{1}或{2}或{1,2}；若A 中只有一个元素，则Δ＝4－4a ＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，A ＝{1}，满足；若A 中有两个元素，则A ＝{1,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2＋a ＝0，4－4＋a ＝0，无解．综上可知，实数a 的取值范围为[1，＋∞)．考点三 集合的基本运算（常考常新型考点——多角探明）[命题分析]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)求交集或并集； (2)交、并、补的混合运算； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：求交集或并集1．(2014·江苏高考)已知集合A ＝{－2，－1,3,4}，B ＝{－1,2,3}，则A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{－2，－1,3,4}∩{－1,2,3}＝{－1,3}．答案：{－1,3}2．(2016·兰州诊断)已知集合A ＝{x ||x |<1}，B ＝{x |2x>1}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________.解析：由|x |<1，得－1<x <1，所以A ＝{x |－1<x <1}． 又由2x>1，解得x >0，所以B ＝{x |x >0}． 所以A ∩B ＝{x |0<x <1}，A ∪B ＝{x |x >－1}． 答案：{x |0<x <1} {x |x >－1} 角度二：交、并、补的混合运算3．设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求实数a 的值以及集合A ，B ； (2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )．解：(1)由题意可知，2∈A,2∈B ，将x ＝2代入集合A 中得，8＋2a ＋2＝0，解得a ＝－5.则A ＝{x |2x 2－5x ＋2＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12 ，B ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{2，－5}．(2)U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，－5 ，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 ，所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－5 . 角度三：新定义集合问题4．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________．解析：要使x －y ∈A ，当x ＝5时，y 可取1,2,3,4； 当x ＝4时，y 可取1,2,3； 当x ＝3时，y 可取1,2；当x ＝2时，y 可取1.综上共有10个． 答案：105．(2015·启东模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x <0，x ∈R}，则A ⊕B ＝___________. 解析：依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R}，B －A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－94 ∪[0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94 ∪[0，＋∞)[方法归纳]解集合运算问题4个注意点一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．设集合M ＝{x |x ＋1>0}，N ＝{x |x －2<0}，则M ∩N ＝________.解析：因为M ＝{x |x ＋1>0}＝{x |x >－1}，N ＝{x |x －2<0}＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝(－1,2)．答案：(－1,2)2．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3,4}，N ＝{4,5}，则∁U (M ∪N )＝________. 解析：∵M ＝{2,3,4}，N ＝{4,5}， ∴M ∪N ＝{2,3,4,5}，则∁U (M ∪N )＝{1,6}． 答案：{1,6}3．(2015·陕西高考改编)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝________. 解析：M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]． 答案：[0,1]4．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R}，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R}，则A ∩B 中的元素个数为________．解析：由题意联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中的元素个数为3.答案：35．(2016·海安实验中学检测)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁R B )＝________.解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}＝{x |0<x <2}，∴A ∪(∁R B )＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，＋∞) 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为________． 解析：∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1， 故集合A 中的元素个数为4. 答案：42．(2016·南通中学月考)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为________．解析：由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 答案：43．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝______________.解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 答案：{x |－3＜x ≤－1}4．已知集合A ＝{x |x 2<3x ＋4，x ∈R}，则A ∩Z 中元素的个数为________． 解析：由x 2<3x ＋4，得－1<x <4.所以A ＝{x |－1<x <4}，故A ∩Z＝{0,1,2,3}． 答案：45.设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：由2x (x －2)<1得x (x －2)<0，解得0<x <2，由1－x >0，得x <1.图中阴影部分表示的集合为A ∩∁U B .因为∁U B ＝[1，＋∞)，画出数轴，如图所示，所以A ∩∁U B ＝[1,2)．答案：[1,2)6．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋2x ＋4}，N ＝{(x ，y )|y ＝2x 2＋2x ＋3}，则M ∩N ＝________.解析：由题可知，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2x ＋4，y ＝2x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3.所以M ∩N ＝{(1,7)，(－1,3)}． 答案：{(1,7)，(－1,3)}7．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值为________．解析：由题意A ＝{1,2}，当B ≠∅时， ∵B ⊆A ，∴B ＝{1}或{2}，当B ＝{1}时，a ·1－2＝0，解得a ＝2； 当B ＝{2}时，a ·2－2＝0，解得a ＝1. 当B ＝∅时，a ＝0.故a 的值为0或1或2. 答案：0或1或28．(2016·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}9．已知集合A ＝{}y |y ＝－2x，x ∈[2，3]，B ＝{x |x 2＋3x －a 2－3a >0}．(1)当a ＝4时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意可知A ＝[－8，－4]， 当a ＝4时，B ＝(－∞，－7)∪(4，＋∞)， 由数轴图得：A ∩B ＝[－8，－7)．(2)方程x 2＋3x －a 2－3a ＝0的两根分别为a ，－a －3，①当a ＝－a －3，即a ＝－32时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞，满足A ⊆B ； ②当a <－32时，a <－a －3，B ＝(－∞，a )∪(－a －3，＋∞)，则a >－4或－a －3<－8，得－4<a <－32；③当a >－32时，a >－a －3，B ＝(－∞，－a －3)∪(a ，＋∞)，则a <－8或－a －3>－4得－32<a <1.综上所述，实数a 的取值范围是(－4,1)．10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， 因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知集合A ＝{x |x 2－2 015x ＋2 014<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 015x ＋2 014<0，解得1<x <2 014，故A ＝{x |1<x <2 014}．由log 2x <m ，解得0<x <2m，故B ＝{x |0<x <2m}．由A ⊆B ，可得2m≥2 014，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：112．(2016·无锡一中月考)设集合M ＝{x |－2≤x ≤5}，N ＝{x |a ＋1≤x ≤2a －1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是________．解析：当N ＝∅时，a ＋1>2a －1，解得a <2；当N ≠∅时，由N ⊆M 得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤2a －1，a ＋1≥－2，2a －1≤5，解得2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]． 答案：(－∞，3]3．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围；(3)若全集U ＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，求实数a 的取值范围． 解：由题意知A ＝{1,2}．(1)因为A ∩B ＝{2}，所以2∈B ，所以4＋4(a ＋1)＋(a 2－5)＝0，整理得a 2＋4a ＋3＝0，解得a ＝－1或a ＝－3.经检验，均符合题意，所以a ＝－1或a ＝－3. (2)由A ∪B ＝A 知，B ⊆A .若集合B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)<0. 即2a ＋6<0，解得a <－3；若集合B 中只有一个元素，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝0，整理得2a ＋6＝0，解得a ＝－3.此时B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}．满足；若集合B 中有两个元素，则B ＝{1,2}．所以a >－3，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －2＝0，a 2＋4a ＋3＝0，无解．综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－3]． (3)由A ∩(∁U B )＝A 可知，A ∩B ＝∅.所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋1＋a 2－5≠0，4＋4a ＋1＋a 2－5≠0，解得a ≠－1，a ≠－3，a ≠－1＋3，a ≠－1－ 3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－1－3)∪(－1－3，－1)∪(－1，－1＋3)∪(－1＋3，＋∞)．第二节 四种命题和充要条件1．命题概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句 特点 (1)能判断真假；(2)陈述句 分类 真命题、假命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为Bp 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/ p A 是B 的真子集 集合与p是q的必要不充分条件P⇒/q且q⇒p B是A的真子集充要条件p是q的充要条件p⇔q A＝Bp是q的既不充分又不必要条件p⇒/ q且q⇒/ p A，B互不包含[小题体验]1．(教材习题改编)条件p：x>2，条件q：x≥2，则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．答案：充分不必要2．(教材习题改编)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：A∩B＝{4}⇒m2＋1＝4⇒m＝±3，故“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．已知命题：若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实数根．则其逆否命题为________________________________________________________________________．答案：若方程x2＋x－m＝0无实根，则m≤01．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒/A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A 且A⇒/B)两者的不同．[小题纠偏]1．命题“当a<0时，函数y＝ax＋b的值随x值的增大而减小”的否命题是________________________________．解析：本题的条件是“x的值增大”，结论是函数“y＝ax＋b的值减小”，故其否命题是“当a<0时，若x的值不增大，则函数y＝ax＋b的值不减小”．答案：当a<0时，若x的值不增大，则函数y＝ax＋b的值不减小2．命题“全等三角形一定相似”的逆否命题是________________________．解析：由原命题与逆否命题的关系，得逆否命题是“若两个三角形不相似，则它们不全等”．答案：若两个三角形不相似，则它们不全等3．若|x|<a(a>0)的充分条件是|x|<b(b>0)，则a，b的大小关系是________．解析：由题意，得|x|<b⇒|x|<a.因为|x|<a的解集是(－a，a)，|x|<b的解集是(－b，b)，所以(－b，b)⊆(－a，a)．所以a≥b.4．已知p：x≠2或y≠1，q：x＋y≠3，则p是q的____________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若p⇒q，即“x≠2或y≠1”⇒“x＋y≠3”，得其逆否命题为“x＋y＝3⇒x＝2且y＝1”，显然不正确，所以p⇒/ q.同理可得q⇒p.所以p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一命题及其相互关系基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是________________．解析：根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.答案：若a2≤b2，则a≤b2．已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则p是q的________(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)．解析：因为命题q的条件与结论恰好是命题p的条件与结论的否定，故两者之间互否．答案：否命题3．(易错题)给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定（重点保分型考点——师生共研）[典例引领]1．(2015·北京高考改编)设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a|·|b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件．答案：充分不必要2．(2016·无锡模拟)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由奇函数的定义易知．答案：必要不充分3．(2016·金陵中学期中)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由a>2且b>2得a＋b>4，而由a＋b>4无法得到a>2且b>2，故“a＋b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件．答案：必要不充分[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．[即时应用]1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：设p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0或x≤－1}＝B，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要2．(2016·常州武进期中)△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A>B”是“a>b”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：因为△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，若a>b，则根据正弦定理可得2R sin A>2R sin B，sin A>sin B，所以A>B.若A>B，则sin A>sin B,2R sin A>2R sin B，即a>b.所以根据充分必要条件的定义可以判断：“A>B”是“a>b”的充要条件．答案：充要考点三充分必要条件的应用（题点多变型考点——纵引横联）[典型母题]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S 的必要条件，求m的取值范围．[解] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则{1－m≤1＋m，1－m≥－2，1＋m≤10，∴0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3].[类题通法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．[越变越明][变式1] 母题条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件． 解：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解．即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．[变式2] 母题条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由母题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇒/ P .∴[－2,10][1－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [破译玄机]本题运用等价法求解，也可先求綈P ，綈S ，再利用集合法列出不等式，求出m 的范围． [变式3] 若P ，S 分别变为：p ：(x －m )2>3(x －m )，s ：x 2＋3x －4<0.若x ∈p 是x ∈s 的必要不充分条件，求m 的取值范围．解：记P ＝{x |(x －m )2>3(x －m )} ＝{x |(x －m )(x －m －3)>0} ＝{x |x <m 或x >m ＋3}，S ＝{x |x 2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0} ＝{x |－4<x <1}，x ∈p 是x ∈S 的必要不充分条件，即等价于S P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1. 即m 的取值范围为(－∞，－7]∪[1，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x－1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．(2015·苏州模拟)已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得－1<x <2，即由p 不能得q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得p .因此，p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．答案：24．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.解不等式(x－a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 5．(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题： ①“a >b ”是“3a >3b”的充分不必要条件；②“α>β ”是“cos α<cos β ”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．解析：①是充要条件，故①错误；②是既不充分又不必要条件，故②错误；③正确． 答案：③二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知复数z ＝a ＋3ii(a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a >0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：z ＝a ＋3ii＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a >0，反之也成立，所以“a >0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．答案：充要2．命题“a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0”的逆否命题是______________． 解析：a ＝b ＝0的否定为a ≠0或b ≠0；a 2＋b 2＝0的否定为a 2＋b 2≠0. 答案：a ，b ∈R ，若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠03．(2016·南京、盐城一模)设向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若a ∥b ，则cos 2θ－sin 2θ＝0，即cos 2θ－2sin θcos θ＝0，解得cos θ＝0或tan θ＝12，所以“a ∥b ”是“tan θ＝12”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．命题p ：“若ac ＝b ，则a ，b ，c 成等比数列”，则命题p 的否命题是________(填“真”或“假”)命题．解析：命题p 的否命题是“若ac ≠b ，则a ，b ，c 不成等比数列”． 答案：假5．(2016·镇江五校联考)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ， 由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集， 所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32， 所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题， 若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题． 故假命题的个数为3. 答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3； 又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0， 解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)． 答案：[3,8)9．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x mx －1x <0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x >1}，命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件．若命题p ，q ，r 都是真命题，求实数m 的值．解：∵命题p 是真命题， ∴0<m <6，m ∈N ，①∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x mx －1x <0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <1m . 由题意知，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x >1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <12.∵命题q ，r 都是真命题，∴A B ，C A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1m ≤4，1m >12.②由①②得m ＝1.10．设p ：－1≤4x －3≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：法一：设A ＝{x |－1≤4x －3≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，由－1≤4x －3≤1，得12≤x ≤1，故A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，所以綈p 所对应的集合为∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >1，綈q 所对应的集合为∁R B ＝{}x |x <a 或x >a ＋1.由綈p 是綈q 的必要不充分条件，知∁R B ∁R A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 法二：设A ＝{x |－1≤4x －3≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}．由－1≤4x －3≤1，得12≤x ≤1，故A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， 故B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，可知p 是q 的充分不必要条件，所以A B . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．给出下列命题：①已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ；②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件； ③在△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充要条件；④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为P ，Q ，则a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的充要条件．其中正确的命题的序号是________．解析：对于①，a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ⇔2(a 2＋b 2＋c 2)＝2(ab ＋ac ＋bc )⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2＝0⇔a ＝b ＝c ⇔△ABC 是等边三角形，故①正确；对于②，由S n ＝An 2＋Bn ，得a 1＝A ＋B ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2An －A ＋B ，显然n ＝1时适合该式，易知数列{a n }是等差数列，满足充分性，故②不正确；对于③，记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则A ＝B ⇔a ＝b ，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则a ＝b ⇔sin A ＝sin B ，所以A ＝B ⇔sin A ＝sin B ，故③正确；对于④，例如：x 2＋x ＋5>0与x 2＋x ＋2>0的解集都是R ，但是11＝11≠52，故不满足必要性，故④不正确．答案：①③2．(2015·南京三模)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，又由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以(－3,2)⊆(a ，＋∞)，故a ≤－3.答案：(－∞，－3]3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32.假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断pqp ∧qp ∨q綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真2．全称量词和存在量词量词名称 常见量词符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀ 存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃3．全称命题和存在性命题名称形式全称命题存在性命题结构 对M 中的任意一个x ，有p (x )成立 存在M 中的一个x ，使p (x )成立简记 ∀x ∈M ，p (x ) ∃x ∈M ，p (x ) 否定 ∃x ∈M ，綈p (x )∀x ∈M ，綈p (x )[小题体验]1．命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是________． 解析：∃改为∀，否定结论，即ln x ≠x －1. 答案：∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －12．(教材习题改编)命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则綈p 是________________． 解析：命题p ：“∃x ∈A ，P (x )”，则綈p 为：“∀x ∈A ，綈P (x )”，故答案为：所有三角形都不是等腰三角形．答案：所有三角形都不是等腰三角形3．若命题“∀x∈R，x2－ax＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．解析：由条件得Δ＝a2－4a≤0，解得0≤a≤4.答案：[0,4]1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．2．p或q的否定易误写成“綈p或綈q”；p且q的否定易误写成“綈p且綈q”．[小题纠偏]1．命题“若一个数是奇数，则它的立方一定是奇数”的否定是______________________．解析：命题的否定一般是只否定命题的结论，即“若一个数是奇数，则它的立方不一定是奇数”．答案：若一个数是奇数，则它的立方不一定是奇数2．命题“若a＋c<b＋d，则a<b且c<d”的否定是__________________________．解析：因为“a<b且c<d”的否定是“a≥b或c≥d”，所以命题“若a＋c<b＋d，则a<b 且c<d”的否定是“若a＋c<b＋d，则a≥b或c≥d”．答案：若a＋c<b＋d，则a≥b或c≥d3．命题“对任意x∈R，都有x2＋2x＋3＝0”的否定为________________．解析：命题“对任意x∈R，都有x2＋2x＋3＝0”的否定为“存在x∈R，使得x2＋2x＋3≠0”．答案：存在x∈R，使得x2＋2x＋3≠0考点一全称命题与存在性命题的真假判断（基础送分型考点——自主练透）[题组练透]1．下列存在性命题中，真命题的个数是________．①∃x∈R，x2－x＋1<0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；④有些平行四边形不是菱形．解析：x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，故①是假命题；1既不是合数，也不是素数，故②是真命题；当x ＝45时，x 2＝5为无理数，故③是真命题；邻边不相等的平行四边形不是菱形，故④是真命题．故真命题的个数是3.答案：32．(2016·昆山中学检测)下列命题中，是真命题的有________(填序号)． ①∃x ∈Z ，x 2＝3； ②∃x ∈R ，x 2＝2； ③∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0； ④∀x ∈R ，x 2＋x －5>0.解析：由x 2＝3，得x ＝±3，所以①是假命题；因为当x ＝2时，x 2＝2，所以②是真命题；因为x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2>0，所以③是真命题；因为当x ＝1时，x 2＋x －5＝－3<0，所以④是假命题． 答案：②③3．(2016·通州高级中学检测)若命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为命题“∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1<0”是真命题，所以二次方程x 2＋2ax ＋1＝0的判别式Δ＝4a 2－4>0，所以a <－1或a >1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)[谨记通法]全称命题与存在性命题真假的判断方法不管是全称命题，还是存在性命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.考点二 含有一个量词的命题的否定（基础送分型考点——自主练透）[题组练透]1．(易错题)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为______________________． 解析：全称命题的否定是存在性命题．“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为“存在x∈R ，使得x 2<0”．答案：存在x ∈R ，使得x 2<0 2．下列四个命题：①“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定； ②“若x 2＋x －6≥0，则x ≥2”的否命题；③在△ABC 中，“A >30°”是“sin A >12”的充分不必要条件；④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z)”． 其中真命题的序号是________．解析：①中，“∃x ∈R ，x 2－x ＋1≤0”的否定为“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”，是真命题；②中，“若x 2＋x －6≥0，则x ≥2”的否命题为“若x 2＋x －6<0，则x <2”，是真命题，③④很显然是假命题，可以作出正弦和正切函数图象来判断．答案：①②3．写出下列命题的否定并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数值，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根； (2)p ：有的三角形的三条边相等； (3)p ：菱形的对角线互相垂直； (4)p ：∃x ∈N ，x 2－2x ＋1≤0.解：(1)綈p ：存在一个实数m ，使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根． 因为该方程的判别式Δ＝m 2＋4>0恒成立， 故綈p 为假命题．(2)綈p ：所有的三角形的三条边不全相等． 显然綈p 为假命题．(3)綈p ：有的菱形的对角线不垂直． 显然綈p 为假命题．(4)綈p ：∀x ∈N ，x 2－2x ＋1>0. 显然当x ＝1时，x 2－2x ＋1>0不成立， 故綈p 是假命题．[谨记通法]对全称(存在性)命题进行否定的方法(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． (2)对原命题的结论进行否定．如“题组练透”第1题易错．考点三 含有逻辑联结词命题真假的判断重点保分型考点——师生共研。

课时跟踪检测（一） 集 合1.(2019·福州质量检测)已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1,k ∈Z},B ＝{x |－1<x ≤4},则集合A ∩B 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析：选B 依题意,集合A 是由所有的奇数组成的集合,故A ∩B ＝{1,3},所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2.设集合U ＝{1,2,3,4,5,6},A ＝{1,3,5},B ＝{3,4,5},则∁U (A ∪B )＝( )A.{2,6}B.{3,6}C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}解析：选A 因为A ＝{1,3,5},B ＝{3,4,5},所以A ∪B ＝{1,3,4,5}.又U ＝{1,2,3,4,5,6},所以∁U (A ∪B )＝{2,6}.3.(2018·天津高考)设全集为R,集合A ＝{x |0＜x ＜2},B ＝{x |x ≥1},则A ∩(∁R B )＝( )A.{x |0＜x ≤1}B.{x |0＜x ＜1}C.{x |1≤x ＜2}D.{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R,B ＝{x |x ≥1},∴∁R B ＝{x |x ＜1}.∵集合A ＝{x |0＜x ＜2},∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}.4.(2018·南宁毕业班摸底)设集合M ＝{x |x <4},集合N ＝{x |x 2－2x <0},则下列关系中正确的是( )A.M ∩N ＝MB.M ∪(∁R N )＝MC.N ∪(∁R M )＝RD.M ∪N ＝M解析：选D 由题意可得,N ＝(0,2),M ＝(－∞,4),所以M ∪N ＝M .5.设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤2x <2,B ＝{x |ln x ≤0},则A ∩B 为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.[－1,0) C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.[－1,1]解析：选A ∵12≤2x <2,即2－1≤2x <212,∴－1≤x <12,∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x <12.∵ln x ≤0,即ln x ≤ln 1,∴0<x ≤1,∴B ＝{x |0<x ≤1},∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x <12.6.(2019·郑州质量测试)设集合A ＝{x |1<x <2},B ＝{x |x <a },若A ∩B ＝A ,则a 的取值范围是( )A.(－∞,2]B.(－∞,1]C.[1,＋∞)D.[2,＋∞)解析：选D 由A ∩B ＝A ,可得A ⊆B ,又因为A ＝{x |1<x <2},B ＝{x |x <a },所以a ≥2.7.已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素,()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素.若A ∩B 非空,则A ∩B 的元素个数为( )A.mnB.m ＋nC.n －mD.m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素,如图中阴影部分所示,又U＝A ∪B 中有m 个元素,故A ∩B 中有m －n 个元素.8.定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ,已知集合A ＝{2,4,6},B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ,则集合B A ∪B 中的元素个数为( ) A.6B.7C.8D.9解析：选B 由题意知,B ＝{0,1,2},B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13,则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2,共有7个元素. 9.设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0},B ＝{x |x <1,且x ∈Z},则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2},因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1,x ∈Z}＝{－1,0}.答案：{－1,0}10.已知集合U ＝R,集合A ＝[－5,2],B ＝(1,4),则下图中阴影部分所表示的集合为________.解析：∵A ＝[－5,2],B ＝(1,4),∴∁U B ＝{x |x ≤1或x ≥4},则题图中阴影部分所表示的集合为(∁U B )∩A ＝{x |－5≤x ≤1}.答案：{x |－5≤x ≤1}11.若集合A ＝{(x ,y )|y ＝3x 2－3x ＋1},B ＝{(x ,y )|y ＝x },则集合A ∩B 中的元素个数为________.解析：法一：由集合的意义可知,A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x 2－3x ＋1，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝13，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫13，13，(1，1),所以A ∩B 中含有2个元素. 法二：由集合的意义可知,A ∩B 表示曲线y ＝3x 2－3x ＋1与直线y ＝x 的交点构成的集合.因为3x 2－3x ＋1＝x 即3x 2－4x ＋1＝0的判别式Δ>0,所以该方程有两个不相等的实根,所以A ∩B 中含有2个元素.答案：212.已知集合A ＝{x |log 2x ≤2},B ＝{x |x ＜a },若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是__________. 解析：由log 2x ≤2,得0＜x ≤4,即A ＝{x |0＜x ≤4},而B ＝{x |x ＜a },由于A ⊆B ,在数轴上标出集合A ,B ,如图所示,则a ＞4.答案：(4,＋∞)13.设全集U ＝R,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2<x <4},C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.(1)分别求A ∩B ,A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ,求实数a 的取值范围.解：(1)由题意知,A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}.易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4},所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}.(2)由B ∪C ＝B ,可知C ⊆B ,画出数轴(图略),易知2<a <a ＋1<4,解得2<a <3.故实数a 的取值范围是(2,3).。

课时跟踪检测(一) 集合1 •已知集合M = {x|x2+ x—2 = 0}, N = {0,1}，贝V M U N =( )A• {—2,0,1} B. {1}C • {0} D• ?解析：选A 集合M = {x|x2+ x —2 = 0} = {x|x =—2 或x= 1} = { —2,1}, N = {0,1},则M U N = { —2,0,1}.故选A.2. (2018 浙江高考)已知全集U = {1,2,3,4,5} , A = {1,3}，则?u A=( )A. ?B. {1,3}C • {2,4,5} D. {1,2,3,4,5}解析：选 C ••• U= {1,2,3,4,5} , A= {1,3},二?u A= {2,4,5} •3.(2019 衡水模拟)已知集合A={x|y= x2—2x}, B= {y|y= x2+ 1},贝V An B =( )A • [1 ,+s ) B. [2 ,+s )C. ( — s, 0] U [2,+^ )D. [0,+s )解析：选B 由于集合A= {x|y= x2—2x}表示的是函数y= x2—2x的定义域，所以由x2—2x > 0可知集合A = {x|x< 0或x> 2}.集合B= {y|y= x2+ 1}表示的是函数y= x2+1的值域，因此B= {y|y> 1}.••• A n B= [2, + s).故选B.4. (2019河北五个一名校联考)若集合A= {x|3 + 2x —x2>0},集合B = {x|2x<2},则A n B 等于()A. (1,3)B. ( — s, —1)C • (—1,1)D • (—3,1)解析：选C 依题意，可求得 A = (—1,3), B= (—s, 1),• A n B= (—1,1).5. (2019 浙江五校联考)设全集U = R，集合A = {x|x> 3}, B = {x|0< x<5}，则(?U A) n B =( )A. {x|0<x<3}B. {x|0< x w 3}C. {x|0<x w 3}D. {x|0< x<3}解析：选 D 由题意得？U A = {x|x<3}，所以(?U A) n B= {x|0w x<3}，故选 D.6. (2019 长沙模拟)已知集合A= {1,2,3} , B= {x|x2—3x + a = 0, a€ A}，若A n B M ?, 则a的值为()A. 1B. 2C . 3D . 1 或2解析：选B 当a= 1时，x2—3x+ 1 = 0,无整数解，贝U An B= ?;当a= 2时，B = {1,2}, . n . U. n . UA nB = {1,2}工？；当 a = 3时，B = ?, A A B = ?.因此实数 a = 2.7.(2019 资阳模拟)设全集 U = R ,集合 A = {x|x 2— 2x — 3<0} , B = {x|x - 1> 0}，则图中阴 影部分所表示的集合为()A. {x|x <— 1 或 x > 3}B. {x|x<1 或 x > 3}C. {x|x < 1}D. {x|x <— 1}解析：选D 图中阴影部分表示集合 U B = {x|x> — 1},二?U (A U B)= {x|x < — 1}，故选 D.8. (2019石家庄重点高中毕业班摸底则 M A N =() A . ?C . [ — 2,2] 解析：选D 因为集合 M = {x|— 3< x w 3}, N = R ,所以M A N = [ — 3,3]，故选D.9.设集合 A = {x|y = Ig(— x 2+ x + 2)} , B = {x|x — a>0}，若 A ? B ，则实数 a 的取值范围 是()A . ( — rn,— 1)B . ( — m, — 1]C . ( — m,— 2)D . ( — m,— 2]解析：选 B 因为集合 A = {x|y = Ig(— x 2+ x + 2)} = {x|— 1<x<2}, B = {x|x>a}，因为 A ? B ，所以 a < — 1.10.已知全集 U = {x|— 1<x<9} , A = {x|1<xva} , A 是U 的子集，若 A M ?，贝U a 的取值 范围是( )A . {a|a<9}B . {a|a w 9}C . {a|a > 9}D . {a|1<a w 9} 解析：选D 由题意知，集合 A M ?，所以a>1，又因为A 是U 的子集，故需a w 9,所 以a 的取值范围是{a|1<a w 9}.U (A U B),又 A = {x|— 1vx<3} , B = {x|x > 1}A2 2 r 、)已知集合 M = { x 氏 + \ = 1 }，N 1j , B . {(3,0), (0,2)} D . [ — 3,3]11. 定义集合M与N的新运算：M ® N = {x|x € M或x€ N且x?M A N}，则(M ® N) ® N =( ) . n . UC. MD. N解析：选C 按定义，M ® N表示图中的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M A N.（M ® N）® N 应表示x€ M ® N 或x € N 且x? （M ® N）nN的所有x的集合，（M ® N）n N表示N上的阴影部分，因此（M ® N）® N = M.12. 某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为（）A. 17B. 18C. 19D. 20解析：选B 记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A,喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A n ?U B（如图），故有18人.13. 设A= {1,4,2x}, B= {1, x }，若B? A,贝U x= _________ .解析：由B? A,贝U x2= 4 或x2= 2x.得x= d2或x= 0,当x=- 2 时，A= {1,4, - 4}, B= {1,4}，符合题意；当x= 2时，贝V 2x = 4，与集合的互异性相矛盾，故舍去；当x= 0时, A= {1,4,0} , B= {1,0}，符合题意.综上所述，x=-2 或x= 0.答案：—2或014. 设集合A = {x|x + m>0}, B= {x| —2<x<4}，全集U= R,且(?u A)n B= ?，则实数m的取值范围为__________ .解析：由已知A= {x|x> —m},「. ?U A= {x|x<—m}. v B = {x|—2<x<4} , (?u A)n B= ?, •••—m W—2, 即卩m> 2.「. m 的取值范围为{m|m> 2}.答案：{m|m> 2}15. ______________________________________________ 对于任意两集合A, B，定义A—B = {x|x € A且x?B}, A* B= (A—B) U但—A),记A= {y|y>0}, B = {x|—3< x W 3}，贝U A*B = ___________________________________________________________ .解析：由题意知A—B= {x|x>3} , B— A = {x|—3W x<0},所以A*B= [ —3,0)U (3, + ).答案：[—3,0)U (3,+s )16. 设[x]表示不大于x的最大整数，集合A = {x|x2—2[x] = 3}, B=1 xgv2x<8 :则A n BAw解析：1因为不等式8<2x<8的解为一3<x<3 ,所以B = ( —3,3).若x € A n B ,则所以[x]只可能取值一3, —2, —1,0,1,2.若[x] W —2,则x2= 3 + 2[x]<0，没x2—2[x] = 3,—3<x<3,有实数解；若[x]=—1,贝U x2= 1,得x=—1;若[x] = 0,贝U x2= 3,没有符合条件的解；若[x] = 1，则x2= 5,没有符合条件的解；若[x] = 2，则x2= 7,有一个符合条件的解，x = 7.因此,A n B= {- 1, 7}.答案：{-1, .7}17. (2019 南阳模拟)若集合A= {(x, y)|x2+ mx-y+ 2= 0, x€ R}, B={(x, y)|x—y+ 1 =0,0W x w 2}，当A n B M ?时，求实数m的取值范围.解：•••集合A = {(x, y)|x2+ mx—y+ 2 = 0, x€ R} = {(x, y)|y= x2+ mx + 2, x€ R} , B ={(x, y)|x—y+ 1= 0,0< x< 2} = {(x, y)|y= x + 1,0< x w 2},l y= x2+ mx+ 2,2••• A n B M ?等价于方程组在X € ［0,2］上有解，即x2+ mx+ 2= x + 1ly= x +1在［0,2］上有解，即x2+ (m—1)x+ 1 = 0在［0,2］上有解，显然x= 0不是该方程的解，1从而问题等价于—(m—1) = x + -在(0,2］上有解.又•••当x€ (0,2］时，1+ x>2(当且仅当丄=x,即x= 1 时取“ =”)，•一(m —1)>2, • m w —1,即m的取值范围为(一g,—1］.18. 已知集合A= {x|x2—3x+ 2= 0}, B = {x|x2+ 2(a+ 1)x+ a2—5= 0}.(1) 若A n B= {2}，求实数a的值；(2) 若A U B= A，求实数a的取值范围.解：(1) •/ A = {x|x2—3x+ 2= 0} = {1,2}, A n B = {2},•2€ B,2 是方程x2+ 2(a+ 1)x+ a2—5= 0 的根，•a2+ 4a + 3= 0, a=—1 或a=—3.经检验a的取值符合题意，故 a =— 1 或a=— 3.(2) •/ A U B= A, • B? A.当B= ?时，由△= 4(a+ 1)2—4(a2—5)<0 ,解得a<—3;当B M ?时，由B= {1}或B = {1,2}，可解得a€ ?;由B= {2}，可解得a = — 3.综上可知，a的取值范围是(―^ ,—3］.。

课时跟踪检测(一)集合第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·哈尔滨四校统考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈A}，则B的所有真子集的个数为()A．512B．256C．255 D．2542．(2013·佛山一模)设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{2,4}C．{2,5} D．{1,5}3．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B4．(2014·太原诊断)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(∁R B)∩A＝()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}5．(2013·郑州质检)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．(2014·湖北八校联考)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A．1个B．2个C．4个D．8个7．(2014·江西七校联考)若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为()A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9]8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}9．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝xx ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________. 10．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.12．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．第Ⅱ组：重点选做题1．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，试求m 的值．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋2)>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 由题意知当x ＝1时，y 可取1,2,3,4；当x ＝2时，y 可取1,2；当x ＝3时，y 可取1；当x ＝4时，y 可取1.综上，B 中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.2．选B 由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．故选B.3．选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .4．选C 集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |x >2}，则(∁R B )∩A ＝{x |1<x ≤2}，选C.5．选B ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．6．选B |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．7．选D 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．8．选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．解析：因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1；n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1；n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}10．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(－∞，1]11．解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12. 答案：0,1，－1212．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第Ⅱ组：重点选做题1．解：易知A ＝{－2，－1}．由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}．①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}．③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2.2．解：(1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.①解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.②由①②求交集得－2<x ≤5，即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1， 解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。

课时跟踪检测(四) 集合的并集、交集一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ∈N *}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ． 2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个2．设S ，T 是两个非空集合，且它们互不包含，那么S ∪(S ∩T )等于( )A ．S ∩TB ．SC ．∅D ．T 3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1, 2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．44．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,5}，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B 等于( )A ．{1,2}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{1,2,5}5．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2二、填空题6．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________.7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．8．满足{1,3}∪A ＝{1,3,5}的所有集合A 的个数是________．三、解答题9．已知S ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，T ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋q ＋5＝0}，且S ∩T ＝{12}，求S ∪T .10．已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x<－1，或x>5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．答案课时跟踪检测(四)1．选A M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，∴M∩N＝{1,3}．2．选B ∵(S∩T)⊆S，∴(S∩T)∪S＝S.故选B.3．选D ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a ＝4.故选D.4．选D ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}．∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.5.选C ∵A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a>－1.6．解析：∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.答案：27．解析：设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x)＝x－5，故15＋x－5＝30－8⇒x＝12.答案：128．解析：由{1,3}∪A ＝{1,3,5}，知A ⊆{1,3,5}，且A 中至少有一个元素为5，从而A 中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素．而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A 的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．答案：49．解：∵S ∩T ＝{12}，∴12∈S ，且12∈T . 因此有⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q －1＝0p ＋2q ＋15＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－7，q ＝－4.从而S ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝{12，－4}． T ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝{12，13}．∴S ∪T ＝{12，－4}∪{12，13}＝{12，13，－4}． 10．解：在数轴上标出集合A 、B ，如图．要使A ∪B ＝R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋8≥5，a <－1，解得－3≤a ＜－1.综上可知：a 的取值范围为－3≤a ＜－1.。

课时跟踪检测(四十五) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程第Ⅰ组：全员必做题1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.232．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜03．若实数a ，b 满足a ＋2b ＝3，则直线2ax －by －12＝0必过定点( ) A ．(－2,8) B ．(2,8) C ．(－2，－8)D ．(2，－8)4．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋15．(2014·浙江诸暨质检)已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤46．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________.7．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是________．8．过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 9．已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程； (2)已知实数m ∈⎣⎡⎦⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．10．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4，则直线l ：ax －by＋c ＝0的倾斜角为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．135°2．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a ＝________.答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 设P (x P,1)，由题意及中点坐标公式得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5，即P (－5,1)，所以k ＝－13.2．选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b＜0且－cb＞0，故ab ＞0，bc ＜0.3．选D a ＋2b ＝3⇒4a ＋8b －12＝0，又2ax －by －12＝0，比较可知x ＝2，y ＝－8故选D.4．选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.5.选A 如图所示，∵k PN ＝1－(－2)1－(－3)＝34，k PM ＝1－(－3)1－2＝－4， ∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ，由已知得k ≥34或k ≤－4，故选A.6．解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC ， 即－x －54＝2，解得x ＝－3.答案：－37．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k P A ＝1－00－(－1)＝1.∴k 的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]8．解析：(1)当过原点时， 直线方程为y ＝－53x ，(2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0. 答案：y ＝－53x 或x －y ＋8＝09．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎡⎭⎫－33，0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞，∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3.10．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)． 法二：设直线l 过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立， 即(x 0＋2)·k －y 0＋1＝0恒成立， ∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，解得x 0＝－2，y 0＝1， 故直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[0，＋∞)． (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为 －1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0. 第Ⅱ组：重点选做题1．选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2， 即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1， ∴倾斜角为135°.2．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．1答案：2。

课时追踪检测 ( 一)集合1．(2012 ·新课标全国卷 ) 已知会合＝ {|x2－－2<0}，＝{x| －1<x<1} ，则 ()A x xB A．A B B．B AC．A＝B D ．A∩B＝?2．(2012 ·广州毕业测试 ) 设会合＝ {(x ，)|2x＋＝6} ，＝{(x，y)|3x＋ 2＝4} ，A y yB y知足 C? ( A∩ B)的会合 C的个数为()A． 1 B ． 2C． 3 D ． 43．设会合P＝ {3 ， log 2a} ，Q＝ { a，b} ，若P∩Q＝ {0}，则 P∪ Q＝()A． {3,0} B ． {3,0,1}C． {3,0,2} D ． {3,0,1,2}4．(2012 ·辽宁高考 ) 已知全集U＝ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，会合 A＝{0,1,3,5,8}，集合 B＝{2,4,5,6,8}，则( ?U A)∩(?U B)＝()A． {5,8} B ． {7,9}C． {0,1,3} D ． {2,4,6}5．(2013 ·合肥质检 ) 已知会合＝ { －2，－ 1,0,1,2} ，会合＝ {x ∈ Z||x| ≤a} ，则满A B足 A B 的实数 a 的一个值为()A． 0 B ． 1C． 2 D ． 36．(2012 ·汕头质检 ) 已知全集U＝R，会合A＝ { x|3 ≤x<7} ，B＝ { x| x2－ 7x＋ 10<0} ，则?( ∩ )＝()UA． ( －∞， 3) ∪(5 ，＋∞) B ．(－∞， 3] ∪[5 ，＋∞)C． ( －∞， 3) ∪[5 ，＋∞) D ．(－∞， 3] ∪(5 ，＋∞)7．(2012 ·纲领全国卷 ) 已知会合A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，A∪ B＝A，则 m＝() A．0 或3B．0或3C．1 或3D．1或38．(2012 ·中山模拟) 设S＝{ x| x<－ 1，或x>5} ，T＝ { x| a<x<a＋ 8} ，S∪T＝ R，则a的取值范围是 ()A． ( －3，－ 1)B． [ －3，－ 1]C． ( －∞，－ 3] ∪ ( － 1，＋∞)D． ( －∞，－ 3) ∪ ( － 1，＋∞)19．若会合U＝R，A＝ { x| x＋ 2>0} ，B＝ { x| x≥1} ，A∩(?U B) ＝ ________.10．(2012 ·佛山适性 ) 已知，B 均会合＝ {1,2,3,4,5,6}的子集，且∩A U AB ＝{3} ， ( ?U B) ∩A＝ {1} ， ( ?U A) ∩(?U B) ＝ {2,4} ，B∩(?U A) ＝ ________.2<1R 11．已知 R 是数集，M＝x x， N＝{ y| y＝x－1}， N∩(? M)＝________.12．(2012 ·吉林模 ) 已知U＝ R，会合A＝ { x| x2－x－ 2＝ 0} ，B＝ { x| mx＋ 1＝ 0} ，B∩(?A)＝?， m＝________.U13．(2013 · 北四市研 ) 已知会合＝ {|x 2＋≤(＋1)x，∈ R} ，存在a∈R，使得A x a a a会合 A 中全部整数元素的和28，数a的取范是 ________．14．(2012 ·安徽名校模 ) 会合S＝ {1,2,3，⋯， n}，若 X? S ，把 X 的全部元素的n n乘称 X 的容量(若 X中只有一个元素，元素的数即它的容量，定空集的容量0) ．若X的容量奇 ( 偶 ) 数，称X S n的奇 ( 偶 ) 子集．S4的全部奇子集的容量之和________．1．(2013·杭州十四中月考)若会合＝yy＝lg x，1≤ x≤10，＝－2，－A10 B {1,1,2} ，全集＝ R，以下正确的选项是()UA．A∩B＝ { － 1,1}B．(? A) ∪B＝[ －1,1]UC．A∪B＝ ( － 2,2) D ．(? A) ∩B＝[ －2,2]U2．(2012 ·湛江模 ) 会合＝ {(x ，)|x＋<4，，∈ N*} ，会合P的非空子集个P y y x y数是 ()A．2 B ． 3C．7 D ． 83．A是自然数集的一个非空子集，于k∈ A，假如 k2?A，且k?A，那么 k 是 A 的一个“酷元”，定＝ {x ∈N|y＝ lg(36－2)}， ?，且会合中的两个元素都是“酷S x M S M元”，那么的会合M有()A．3 个 B ．4个C．5 个 D ．6个4．定会合A，若于随意a，b∈ A，有 a＋ b∈ A，且 a－ b∈ A，称会合 A 会合，出以下三个：①会合 A＝{－4，－2,0,2,4}会合；②会合 A＝{ n| n＝3k， k∈Z}会合；③若会合 A1， A2会合，A1∪ A2会合．此中正确的序号是________．25．(2012 ·清远调研) 已知会合A＝{ x| x2－ 2x－3≤0，x∈ R} ，B＝{ x| m－2≤x≤m＋ 2} ．(1)若 A∩ B＝[1,3]，务实数 m的值；(2)若 A? ?R B，务实数 m的取值范围．6．(2013 ·衡水模拟 ) 设全集I ＝ R，已知会合＝ {|(x＋ 3)2≤0}，＝{ |x2＋－6＝ 0} ．M x N x x(1)求( ?I M)∩N；(2)记会合 A＝( ?I M)∩ N，已知会合 B＝{ x| a－1≤ x≤5－ a，a∈R}，若 B∪ A＝ A，务实数a的取值范围．答案课时追踪检测 ( 一 )A 级1．选B ＝{|2－－2<0}＝{x | －1<x<2} ，A x x x B＝{ x|－1<x<1}，所以B A.2．选 B由条件可知会合，分别表示直线 2 ＋＝ 6,3x ＋2y＝ 4 上的点，且这两条A B x y直线不平行，也不重合，则这两条直线必有一个交点，即A∩ B 只有一个元素，知足条件的会合 C，只可能是?或 A∩ B 这两种状况．3．选 B由于∩＝{0}，所以0∈，log 2＝ 0，＝1，而 0∈，所以b ＝0. 所以∪P Q P a a Q P Q＝{3,0,1}．4．选 B由于 A∪ B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以 ( ?U A) ∩(?U B) ＝ ?U( A∪B) ＝ {7,9} ．5．选 D当 a＝0时， B＝{0}；当 a＝1时， B＝{－1,0,1}；当 a＝2时， B＝{－2，－1,0,1,2}；当 a＝3时， B＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，明显只有 a＝3时知足条件．6．选 Cx 2－ 7 ＋10<0? (x－2)·( －5)<0 ? 2< <5，∩＝{x|3 ≤<5} ，x x x A B x故 ?U( A∩B) ＝ ( －∞， 3) ∪[5 ，＋∞ ) ．7．选 B法一：∵∪＝，∴?. 又＝ {1,3 ，}，＝{1， }，∴ ＝3或＝ .ABABA A m B mm m m由 m＝m得 m＝0或 m＝1.但 m＝1不切合会合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或 m＝3.3法二：∵ B＝{1， m}，∴ m≠1，∴可清除选项C、D.又当 m＝3时， A＝{1,3，3}， B＝{1,3}，知足 A∪B＝{1,3，3} ＝A，应选 B.8．选 A∪＝ R，由图可得a<－1，在数轴上表示两个会合，由于解得－ 3< <S T aa＋8>5，－1.9．分析：由题意得?U B＝ ( －∞， 1) ，又由于 A＝{ x| x＋2>0}＝{ x| x>－2}，于是 A∩(?U B)＝(－2,1)．答案： ( － 2,1)10．分析：依题意及韦恩图得，B∩(?U A)＝{5,6}．答案： {5,6}11．分析：M＝ { x| x<0，或x>2} ，所以 ?R M＝ [0,2]，又 N＝[0，＋∞)，所以 N∩(?R M)＝[0,2]．答案： [0,2]12．分析：A＝ { － 1,2} ，B＝ ?时，m＝ 0；1B＝{－1}时， m＝1； B＝{2}时， m＝－2.答案： 0,1 ，－1213．分析：不等式x2＋ a≤(a＋1) x 可化为( x－ a)( x－1)≤0，由题意知不等式的解集为{ x|1 ≤x≤a} ．A中全部整数元素组成以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，其前7项和为＋＝ 28，所以 7≤a<8，2即实数 a 的取值范围是[7,8)．答案： [7,8)14．分析：∵S4＝{1,2,3,4}，∴ X＝?，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}， {1,3}， {1,4} ，{2,3} ，{2,4}，{3,4} ，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4} ，{2,3,4} ， {1,2,3,4}．此中是奇子集的为 X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3 ，所以S4的全部奇子集的容量之和为7.答案： 74B 级11．选 A∵ x∈ 10，10，∴ y∈ [－1,1]，∴A∩B＝{－1,1}．2．选 C当x＝1时，y<3，又y∈N*，所以y＝1或y＝2；当 x＝2时， y<2，又 y∈N*，所以 y＝1；当 x＝3时， y<1，又 y∈N*，所以这样的 y 不存在．综上所述，会合P中的元素有(1,1)，(1,2)，(2,1)，会合P的非空子集的个数是23－ 1＝7.3．选 C由36－x2>0，解得－6<x<6.又由于x∈ N，所以S＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是会合 M的“酷元”是指k2与k都不属于会合M.明显 k＝0,1都不是“酷元”．若 k＝2，则 k2＝4；若 k＝4，则 k＝2.所以2与4不一样时在会合 M中，才能成为“酷元”．明显 3 与 5 都是会合S 中的“酷元”．综上，若会合M中的两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选 3 与 5，即M＝ {3,5} ；(2) 从 3 与 5 中任选一个，从 2 与 4 中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以知足条件的会合M共有5个．4．分析：①中，－4＋ ( － 2) ＝－ 6?A，所以不正确；②中设 n1，n2∈ A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则 n1＋ n2∈ A，n1－ n2∈ A，所以②正确；③令 A1＝{－4,0,4}， A2＝{－2,0,2}，则A1，A2为闭会合，但A1∪ A2不是闭会合，所以③不正确．答案：②5．解：A＝ { x| －1≤x≤3} ，B＝ { x| m－2≤x≤m＋ 2} ．m－2＝1，(1) ∵A∩B＝ [1,3]，∴得m＝3.m＋2≥3，(2)?R B＝{ x| x＜m－2，或x＞m＋2} ．∵ A? ?R B，∴ m－2＞3或 m＋2＜－1.∴ m＞5或 m＜－3.即 m的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．6．解： (1) ∵M＝ { x|( x＋3) 2≤0} ＝ { － 3} ，N＝{ x| x2＋ x－6＝0}＝{－3,2}，∴ ?I M＝ { x| x∈ R 且x≠－ 3} ，5∴( ?I M) ∩N＝ {2} ．(2) A＝( ?I M) ∩N＝{2} ，∵A∪ B＝ A，∴ B? A，∴ B＝?或 B＝{2}，当 B＝?时， a－1>5－ a，∴ a>3；a－1＝2，当 B＝{2}时，解得a＝3，5－a＝ 2，综上所述，所求 a 的取值范围为{ a| a≥3}．6。

课时跟踪检测(一)集合第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·哈尔滨四校统考)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，xy∈A}，则B的所有真子集的个数为()A．512B．256C．255 D．2542．(2013·佛山一模)设全集U＝{x∈N*|x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{2,4}C．{2,5} D．{1,5}3．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B4．(2014·太原诊断)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则(∁R B)∩A＝()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}5．(2013·郑州质检)若集合A＝{0,1,2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．(2014·湖北八校联考)已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有()A．1个B．2个C．4个D．8个7．(2014·江西七校联考)若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为()A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9]8．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q＝()A．{x|0<x<1} B．{x|0<x≤1}C．{x|1≤x<2} D．{x|2≤x<3}9．已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁U A ＝________. 10．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．11．已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.12．设集合S n ＝{1,2,3，…，n }，若X ⊆S n ，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量(若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X 的容量为奇(偶)数，则称X 为S n 的奇(偶)子集．则S 4的所有奇子集的容量之和为________．第Ⅱ组：重点选做题1．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，求实数a 的取值范围．2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧ log 12(x ＋2)>－3x 2≤2x ＋15，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)求集合A ；(2)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 由题意知当x ＝1时，y 可取1,2,3,4；当x ＝2时，y 可取1,2；当x ＝3时，y 可取1；当x ＝4时，y 可取1.综上，B 中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.2．选B 由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．故选B.3．选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R .4．选C 集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |x >2}，则(∁R B )∩A ＝{x |1<x ≤2}，选C.5．选B ∵A ＝{0,1,2，x }，B ＝{1，x 2}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2＝0或x 2＝2或x 2＝x ，解得x ＝0或2或－2或1.经检验当x ＝2或－2时满足题意．6．选B |a |≥2⇒a ≥2或a ≤－2.又a ∈M ，(a －2)·(a 2－3)＝0⇒a ＝2或a ＝±3(舍)，即A 中只有一个元素2，故A 的子集只有2个．7．选D 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]．8．选B 由log 2x <1，得0<x <2，所以P ＝{x |0<x <2}；由|x －2|<1，得1<x <3，所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}．9．解析：因为A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n －1，x ，n ∈Z ， 当n ＝0时，x ＝－2；n ＝1时不合题意；n ＝2时，x ＝2；n ＝3时，x ＝1；n ≥4时，x ∉Z ；n ＝－1时，x ＝－1；n ≤－2时，x ∉Z .故A ＝{－2,2,1，－1}，又U ＝{－2，－1,0,1,2}，所以∁U A ＝{0}．答案：{0}10．解析：∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案：(－∞，1]11．解析：A ＝{－1,2}，B ＝∅时，m ＝0；B ＝{－1}时，m ＝1；B ＝{2}时，m ＝－12. 答案：0,1，－1212．解析：∵S 4＝{1,2,3,4}，∴X ＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X ＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S 4的所有奇子集的容量之和为7.答案：7第Ⅱ组：重点选做题1．解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎨⎧ a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，43.2．解：(1)解不等式log 12(x ＋2)>－3得：－2<x <6.①解不等式x 2≤2x ＋15得：－3≤x ≤5.② 由①②求交集得－2<x ≤5，即集合A ＝(－2,5]．(2)当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，解得m <2；当B ≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>－2，2m －1≤5解得2≤m ≤3，故实数m 的取值范围为(－∞，3]．。

三维设计江苏专用高三数学一轮总复习第三章导数及其应用课时跟踪检测理第一节 导数的概念与计算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x)′＝a xln_a ， (e x)′＝e x，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x. 3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．[小题体验]1．(教材习题改编)一次函数f (x )＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为________．解析：由题意得函数f (x )＝kx ＋b 在区间[m ，n ]上的平均变化率为f n －f mn －m＝k .答案：k2．(教材习题改编)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋5，则f (3)＝________，f ′(3)＝________.解析：由图知切点为(3,2)， 切线斜率为－1. 答案：2 －13．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________. 解析：由f (x )＝x ＋ln x (x >0)，知f ′(x )＝1＋1x，所以f ′(1)＝2.答案：24．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 答案：31．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝________.解析：对关系式f (x )＝2xf ′(e)＋ln x 两边求导，得f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ，得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，所以f ′(e)＝－1e.答案：－1e2．已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________.解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)，所以f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝22－6×2＝－8.答案：－83．已知定义在R 上的函数f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是________．解析：令x ＝0，得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x＋2x －1＋cos x ，所以f ′(0)＝1，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝x ＋1.答案：y ＝x ＋1考点一 导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x e x ；(4)y ＝11－x ＋11＋x. 解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′ ＝1x －1x2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x e x ′ ＝cos x ′e x－cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos x ex. (4)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝21－x ，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫21－x ′＝－21－x ′1－x 2＝21－x2.[谨记通法] 求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义常考常新型考点——多角探明[命题分析]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2016·南通调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6， ∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， ∴f ′(－1)＝8，故切线方程为y －2＝8(x ＋1)， 即8x －y ＋10＝0，令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，∴所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254角度二：求切点坐标2．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线 2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x＝1＋ln x ，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2. 设P (m ，n )，则1＋ln m ＝2， 解得m ＝e ， 所以n ＝eln e ＝e ， 即点P 的坐标为(e ，e)． 答案：(e ，e) 角度三：求参数的值3．(2016·南京外国语学校检测)已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.解析：∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝－13，f ′－1＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13－4－2a －b ＝－27，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13，∴a ＋b ＝18. 答案：18[方法归纳]导数几何意义的应用的2个注意点(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为________． 解析：∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)． 答案：3(x 2－a 2)2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝________.解析：由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.3．(2016·徐州一中检测)曲线y ＝f (x )＝x (x －1)(x －2)·…·(x －6)在原点处的切线方程为________．解析：y ′＝(x －1)(x －2)·…·(x －6)＋x [(x －1)·(x －2)·…·(x －6)]′，所以f ′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)×(－6)＋0＝720.故切线方程为y ＝720x .答案：y ＝720x4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 与直线4x －y －1＝0平行，且点P 0在第三象限，则点P 0的坐标为________．解析：设P 0(x 0，y 0)．由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 由已知，得3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1. 当x 0＝1时，y 0＝0； 当x 0＝－1时，y 0＝－4.又点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)． 答案：(－1，－4)二保高考，全练题型做到高考达标1．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度为________ m/s.解析：∵s ′＝2t －3t 2，∴在第4 s 末的瞬时速度v ＝s ′| t ＝4＝8－316＝12516 m/s.答案：125162．(2015·苏州二模)已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.解析：f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋lnx 0＝2 016，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：14．(2016·金陵中学模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为________．解析：因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为________．解析：∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2. 答案：－26．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________． 解析： ∵f (x )＝x e x， ∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e.答案：y ＝2e x －e7.(2015·无锡调研)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：08．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′a＋b f ′b＋c f ′c＝________.解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ，f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a f ′a ＋bf ′b ＋c f ′c＝aa －ba －c＋bb －a b －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10．已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．解：因为f (1)＝1a－1，所以切点为⎝⎛⎭⎪⎫1，1a－1.由已知，得f ′(x )＝2x a ，切线斜率k ＝f ′(1)＝2a，所以切线l 的方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0. 令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a. 所以l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，所以S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．解析：设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′|x ＝t＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.答案：2782．(2016·无锡一中检测)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．解析：∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1.答案：13．(2016·苏北四市调研)设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)f ′(x )＝a ＋b x2.∵点(2，f (2))在切线7x －4y －12＝0上， ∴f (2)＝2×7－124＝12.又曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝74，f 2＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b 4＝74，2a －b 2＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.∴f (x )的解析式为f (x )＝x －3x.(2)设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－3x 0为曲线y ＝f (x )上任意一点，则切线的斜率k ＝1＋3x 20，切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)， 令x ＝0，得y ＝－6x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20x －x 0，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0，y ＝2x 0.∴曲线y ＝f (x )上任意一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积S ＝12|2x 0|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0＝6，为定值．第二节 导数的应用1．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0.f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数．f ′(x )≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数．2．函数的极值 (1)函数的极小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3．函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．[小题体验]1．(教材习题改编)函数f (x )＝x 2e x的单调增区间是________．解析：函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝2x e x ＋x 2e x ＝e x (2x ＋x 2)，令f ′(x )>0，得x <－2或x >0，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)2．(教材习题改编)函数f (x )＝13x 3＋32x 2－4x ＋13取得极大值时x 的值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋3x －4，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－4，经检验知x ＝－4时，函数y 取得极大值．答案：－43．(教材习题改编)函数f (x )＝32x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值为________． 解析：f ′(x )＝32＋cos x ，令f ′(x )＝0，x ∈[0,2π]， 得x ＝5π6或x ＝7π6，又f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝53π12＋12.f ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＝73π12－12，f (2π)＝3π.所以函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值为3π.答案：3π4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是________． 答案：31．求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．[小题纠偏]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________． 解析：由题意，知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由函数f (x )在x ＝1处取得极大值10，知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.答案：－232．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．解析：因为f ′(x )＝4x －1x (x >0)，所以可求得f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.又函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤k －1<12，k ＋1>12，解得1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 3．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 解析：y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－827，f (2)＝8. ∴最大值为8. 答案：8第一课时 导数与函数的单调性考点一 判断或证明函数的单调性重点保分型考点——师生共研[典例引领]设a ∈[－2,0]，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－a ＋5x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x >0.证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增． 证明：设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)，①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由于a ∈[－2,0]，从而当－1<x ≤0时，f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减． ②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0<x <1时，f 2′(x )<0；当x >1时，f 2′(x )>0，即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．[由题悟法]导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的3步骤(1)一求．求f ′(x )；(2)二定．确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)三结论．作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时应用]已知函数f (x )＝ln x －x1＋2x.(1)求证：f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增； (2)若f [x (3x －2)]＜－13，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝ln x －x1＋2x， ∴f ′(x )＝1x －1＋2x －2x 1＋2x 2＝4x 2＋3x ＋1x 1＋2x 2. ∵x ＞0，∴4x 2＋3x ＋1＞0，x (1＋2x )2＞0. ∴当x ＞0时，f ′(x )＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)∵f (x )＝ln x －x1＋2x ，∴f (1)＝ln 1－11＋2×1＝－13.由f [x (3x －2)]＜－13得f [x (3x －2)]＜f (1)．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x3x －2＞0，x3x －2＜1，解得－13＜x ＜0或23＜x ＜1.∴实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1.考点二 求函数的单调区间重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2(m ，n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ； (2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ， 又f ′(2)＝0，所以3m ＋n ＝0，故n ＝－3m . (2)因为n ＝－3m ， 所以f (x )＝mx 3－3mx 2，所以f ′(x )＝3mx 2－6mx . 令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0， 当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)． 综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)； 当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2)．[由题悟法] 确定函数单调区间4步骤(1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．[即时应用](2015·重庆高考改编)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R)在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，求g (x )的单调区间． 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x.令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )的减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．考点三 已知函数的单调性求参数的范围题点多变型考点——纵引横联[典型母题]已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－a . ①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a3； 当x ＞3a 3或x ＜－3a 3时，f ′(x )＞0； 当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a a 上为减函数． 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． (2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在 (－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0].根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．[提醒] f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0，且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．[越变越明][变式1] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：因为f ′(x )＝3x 3－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以a ≤3，即a 的取值范围为(－∞，3]．[变式2] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围． 解：由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，得a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立．因为－1＜x ＜1，所以3x 2＜3，所以a ≥3.即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，f (x )在(－1,1)上为减函数．[变式3] 函数f (x )不变，若f (x )的单调递减区间为(－1,1)，求a 的值． 解：由母题可知，f (x )的单调递减区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3，∴3a 3＝1，即a ＝3.[破译玄机]函数的单调区间是指单调递增或单调递减，在求解中应列方程求解，与函数在某个区间上具有单调性是不同的．[变式4] 函数f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝x 3－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2－a .由f ′(x )＝0，得x ＝±3a3(a ≥0)．∵f (x )在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，得0＜a ＜3，即a 的取值范围为(0,3)．[破译玄机]函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如变式4中利用了3a 3∈(0,1)来求解．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·镇江模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·苏州测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·南通、扬州、淮安、连云港调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值范围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·盐城中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·镇江五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·徐州调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值范围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·泰州模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9. 第二课时 导数与函数的极值、最值考点一 运用导数解决函数的极值问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．常见的命题角度有： (1)已知函数求极值； (2)已知极值求参数； (3)由图判断极值．[题点全练]角度一：已知函数求极值1．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解：由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x ＞0)，因为f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x ＞0知：①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．角度二：已知极值求参数2．(2016·黑龙江哈三中期末)已知x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2 的极小值点，那么函数f (x )的极大值为________．解析：x ＝2是函数f (x )＝x 3－3ax ＋2的极小值点，即x ＝2是f ′(x )＝3x 2－3a ＝0的根，将x ＝2代入得a ＝4，所以函数解析式为f (x )＝x 3－12x ＋2，则由3x 2－12＝0，得x ＝±2，故函数在(－2,2)上是减函数，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数，由此可知当x ＝－2时函数f (x )取得极大值f (－2)＝18.答案：183．若函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f ′(x )＝ax 2－2ax ＋2a －3，因为函数f (x )＝13ax 3－ax 2＋(2a －3)x ＋1在R 上存在极值，所以f ′(x )＝0有两个不等实根， 其判别式Δ＝4a 2－4a (2a －3)＞0， 所以0＜a ＜3，故实数a 的取值范围为(0,3)． 答案：(0,3)角度三：由图判断极值4．已知函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )有________个极大值点，________个极小值点．解析：由导数与函数极值的关系，知当f ′(x 0)＝0时，若在x 0的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，则f (x )在x ＝x 0处取得极大值；若在x 0的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，则f (x )在x ＝x 0处取得极小值．设函数f ′(x )的图象与x 轴的交点从左到右的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取得极大值，在x ＝x 2，x ＝x 4处取得极小值．答案：2 2[方法归纳]利用导数研究函数极值的一般流程考点二 运用导数解决函数的最值问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝xa－e x(a ＞0)．(1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )在[1,2]上的最大值．解：(1)f (x )＝x a－e x (a ＞0)，则f ′(x )＝1a－e x.令1a －e x ＝0，则x ＝ln 1a.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln a ；单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a ，＋∞.(2)当ln 1a ≥2，即0＜a ≤1e2时，f (x )max ＝f (2)＝2a－e 2；当1＜ln 1a ＜2，即1e 2＜a ＜1e时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1a ＝1a ln 1a －1a； 当ln 1a ≤1，即a ≥1e时，f (x )max ＝f (1)＝1a－e.[由题悟法]求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值3步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[即时应用]设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x ＞0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝a x－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a －2b ＝0，f 1＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.(2)由(1)得f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x2x，∵当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )＞0得1e ≤x ＜1；令f ′(x )＜0，得1＜x ≤e，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上单调递增，在[]1，e 上单调递减，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.考点三 函数极值和最值的综合问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝a ＋2x 2－3x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝a ＝1， 故f (x )＝x －2x－3ln x ，则f ′(x )＝x －1x －2x2.由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x 32⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 2 (2,3) 3 f ′(x ) －0 ＋f (x )1－3ln 2从而在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上，f (x )有最小值，且最小值为f (2)＝1－3ln 2.(2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x2(x ＞0)， 由题设可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根， 不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a ＞0，x 1＋x 2＝3a ＞0，x 1x 2＝2a ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a ＞0，－－32a ＞0，h 0＞0，解得0＜a ＜98. 故所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98. [由题悟法]求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．[即时应用]已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解：(1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， 得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0， 可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：x －3 (－3，－2)－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f ′(x )＋0 －0 ＋f (x )81395274所以y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx(x >0)，令f ′(x )>0，得0<x <1，令f ′(x )<0，得x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )在(0，e]上取得最大值f (1)＝－1.答案：－12．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域为________解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴f ′(x )＝e xcos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，即12≤f (x )≤12e π2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π23．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝________. 解析：令y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2. 答案：－1ln 24．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________． 解析：若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2－12>0，从而c >32或c <－32.故实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 5．已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________．解析：因为f ′(x )＝2f ′1x－1，令x ＝1，得f ′(1)＝1.所以f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2x－1.当0<x <2，f ′(x )>0；当x >2，f ′(x )<0.从而f (x )的极大值为f (2)＝2ln 2－2.答案：2ln 2－2二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x ＞0.令f ′(x )＞0，得x ＞1；令f ′(x )＜0，得0＜x＜1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.答案：122．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为________．解析：f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a .∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.答案：203．(2016·南京外国语学校)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图。

课时跟踪检测（二） 四种命题和充要条件一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x－1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．答案：必要不充分2．(2015·苏州模拟)已知p ：|x |<2；q ：x 2－x －2<0，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由x 2－x －2<0，得(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2；由|x |<2得－2<x <2.注意到由－2<x <2不能得－1<x <2，即由p 不能得q ；反过来，由－1<x <2可知－2<x <2，即由q 可得p .因此，p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分3．原命题p ：“设a ，b ，c ∈R ，若a >b ，则ac 2>bc 2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．答案：24．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.解不等式(x－a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 5．(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)给出下列三个命题： ①“a >b ”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β ”是“cos α<cos β ”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号为________．解析：①是充要条件，故①错误；②是既不充分又不必要条件，故②错误；③正确． 答案：③二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知复数z ＝a ＋3ii(a ∈R ，i 为虚数单位)，则“a >0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：z ＝a ＋3ii＝－(a ＋3i)i ＝3－a i ，若z 位于第四象限，则a >0，反之也成立，所以“a >0”是“z 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件．答案：充要2．命题“a ，b ∈R ，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0”的逆否命题是______________． 解析：a ＝b ＝0的否定为a ≠0或b ≠0；a 2＋b 2＝0的否定为a 2＋b 2≠0. 答案：a ，b ∈R ，若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠03．(2016·南京、盐城一模)设向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是“tan θ＝12”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：若a ∥b ，则cos 2θ－sin 2θ＝0，即cos 2θ－2sin θcos θ＝0，解得cos θ＝0或tan θ＝12，所以“a ∥b ”是“tan θ＝12”的必要不充分条件．答案：必要不充分4．命题p ：“若ac ＝b ，则a ，b ，c 成等比数列”，则命题p 的否命题是________(填“真”或“假”)命题．解析：命题p 的否命题是“若ac ≠b ，则a ，b ，c 不成等比数列”． 答案：假5．(2016·镇江五校联考)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：因为|x |≤2，则p ：－2≤x ≤2，q ：x ≤a ， 由于p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)6．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32， 所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题， 若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题． 故假命题的个数为3. 答案：37．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，又S 4＝2S 2， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2(a 1＋a 2)，∴a 3＋a 4＝a 1＋a 2，∴q 2＝1⇔|q |＝1，∴“|q |＝1”是“S 4＝2S 2”的充要条件． 答案：充要8．已知p (x )：x 2＋2x －m ＞0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3； 又p (2)是真命题，所以4＋4－m ＞0， 解得m ＜8.故实数m 的取值范围是[3,8)． 答案：[3,8) 9．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xmx －1x <0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x >1}，命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件．若命题p ，q ，r 都是真命题，求实数m 的值．解：∵命题p 是真命题， ∴0<m <6，m ∈N ，① ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xmx －1x <0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <1m . 由题意知，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |log 12x >1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0<x <12. ∵命题q ，r 都是真命题，∴A B ，C A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1m ≤4，1m >12.②由①②得m ＝1.10．设p ：－1≤4x －3≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：法一：设A ＝{x |－1≤4x －3≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}，由－1≤4x －3≤1，得12≤x ≤1，故A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，所以綈p 所对应的集合为∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >1，綈q 所对应的集合为∁R B ＝{}x |x <a 或x >a ＋1.由綈p 是綈q 的必要不充分条件，知∁R B ∁R A ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 法二：设A ＝{x |－1≤4x －3≤1}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}．由－1≤4x －3≤1，得12≤x ≤1，故A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， 故B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由綈p 是綈q 的必要不充分条件，可知p 是q 的充分不必要条件，所以A B . 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．给出下列命题：①已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等边三角形的充要条件为a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ；②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件； ③在△ABC 中，A ＝B 是sin A ＝sin B 的充要条件；④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为P ，Q ，则a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2是P ＝Q 的充要条件．其中正确的命题的序号是________．解析：对于①，a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋ac ＋bc ⇔2(a 2＋b 2＋c 2)＝2(ab ＋ac ＋bc )⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2＝0⇔a ＝b ＝c ⇔△ABC 是等边三角形，故①正确；对于②，由S n ＝An 2＋Bn ，得a 1＝A ＋B ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2An －A ＋B ，显然n ＝1时适合该式，易知数列{a n }是等差数列，满足充分性，故②不正确；对于③，记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则A ＝B ⇔a ＝b ，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，则a ＝b ⇔sin A ＝sin B ，所以A ＝B ⇔sin A ＝sin B ，故③正确；对于④，例如：x 2＋x ＋5>0与x 2＋x ＋2>0的解集都是R ，但是11＝11≠52，故不满足必要性，故④不正确．答案：①③2．(2015·南京三模)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，又由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以(－3,2)⊆(a ，＋∞)，故a ≤－3.答案：(－∞，－3]3．已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若命题“A ∩B ＝∅”是假命题，求实数m 的取值范围．解：因为“A ∩B ＝∅”是假命题，所以A ∩B ≠∅. 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}，则U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≤－1或m ≥32.假设方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均非负，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2≥0，x 1x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，4m ≥0，2m ＋6≥0解得m ≥32.又集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m | m ≥32关于全集U 的补集是{m |m ≤－1}，所以实数m 的取值范围是(－∞，－1]．。

课时跟踪检测(三)集合间的基本关系一、选择题1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是()A．A⊆B B．A⊇BC．A B D．A B2．已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为() A．6 B．5C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么()A．P M B．M PC．M＝P D．M P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．答案课时跟踪检测(三)1．选D显然B是A的真子集，因为A中元素是3的整数倍，而B的元素是3的偶数倍．2．选D先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M ，且S M .故选D.3．选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1.4．选A 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.5．选C ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y <0，xy >0，∴⎩⎨⎧ x <0，y <0. ∴M ＝P .6．解析：∵y ＝(x －1)2－2≥－2，∴M ＝{y |y ≥－2}．∴NM .答案：N M7．解析：由Venn 图可得A B ，C D B ， A 与D 之间无包含关系，A 与C 之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A 为小说，B 为文学作品，C 为叙事散文，D 为散文．答案：小说 文学作品 叙事散文 散文8．解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时，方程化为2x ＝0，∴x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．当a ≠0时，Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1，∴a ＝±1.此时A ＝{－1}，或A ＝{1}，符合题意．∴a ＝0或a ＝±1.答案：{0,1，－1}9．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1，或x ＝2.∴A ＝{1,2}．∵B ⊆A ，∴对B 分类讨论如下：(1)若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0.(2)若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}．当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2；当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}．10．解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m ≤－2时，B ＝∅⊆A ；②当m >－2时，B ＝{x |m －1<x <2m ＋1}，因此，要B ⊆A ，则只要⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2. 综上所述，知m 的取值范围是：{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．。

高考真题备选题库第1章集合与常用逻辑用语第1节集合考点一集合的含义与表示1．(2013江西，5分)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝A．4B．2C．0 D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A2．(2013山东，5分)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是A．1 B．3C．5 D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x－y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C3．(2012新课标全国，5分)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为A．3 B．6C．8 D．10解析：列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．答案：D4．(2012江西，5分)若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为A．5 B．4C．3 D．2解析：当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z ＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共3个元素．答案：C5．(2009广东，5分)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k ＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：由M＝{x|－2≤x－1≤2}得－1≤x≤3，则M∩N＝{1,3}，有2个．答案：B考点二集合的基本关系1．(2013新课标全国Ⅰ，5分)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：本题考查一元二次不等式的解法和集合的运算，意在考查考生运用数轴进行集合运算的能力．解题时，先通过解一元二次不等式求出集合A，再借助数轴求解集合的运算．集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，选择B.答案：B2．(2010浙江，5分)设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：集合Q＝{x|－2＜x＜2}，所以Q⊆P.答案：B3．(2010湖南，5分)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则A．M⊆N B．N⊆MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝{1,4}解析：由已知得M∩N＝{2,3}，故选C.答案：C4．(2009江苏，5分)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝______.解析：可知A＝(0,4]，若A⊆B即(0,4]⊆(－∞，a)，则a>4，而a的取值范围为(c，＋∞)，∴c＝4.答案：4考点三 集合的基本运算1．(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}解析：本题主要涉及简单不等式的解法以及集合的运算，属于基本题，考查考生的基本运算能力．不等式(x －1)2＜4等价于－2＜x －1＜2，得－1＜x ＜3，故集合M ＝{x |－1＜x ＜3}，则M ∩N ＝{0,1,2}，故选A.答案：A2．(2013浙江，5分)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝ A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：本题考查无限元素集合间的交、并、补运算以及简单的一元二次不等式的解法．浙江省每年都会有一道涉及集合的客观题，主要考查对集合语言 的理解以及简单的集合运算．T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.答案：C3．(2013陕西，5分)设全集为R ，函数f (x )＝ 1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：本题考查集合的概念和运算，涉及函数的定义域与不等式的求解．本题抓住集合元素是函数自变量，构建不等式并解一元二次不等式得到集合，然后利用补集的意义求解，使集合与函数有机结合，体现了转化化归思想的具体应用．从函数定义域切入，∵1－x 2≥0，∴－1≤x ≤1，依据补集的运算知所求集合为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.答案：D4．(2013湖北，5分)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎝⎛⎭⎫12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}解析：本题主要考查集合的基本运算和不等式的求解，意在考查考生的运算求解能力．由题意可知，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，此时A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}，故选C.答案：C5．(2013辽宁，5分)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝C ．(1,2)D ．(1,2]解析：本题考查集合的运算，同时考查对数不等式的解法．求解对数不等式时注意将常数转化为对应的对数，而后准确应用对数函数的单调性进行求解．0<log 4x <1，即log 41<log 4x <log 44，故1<x <4， ∴集合A ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D6．(2013四川，5分)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝ A ．{－2} B ．{2} C ．{－2,2}D ．∅解析：本题考查集合的基本运算，意在考查考生对集合概念的掌握．由x 2－4＝0，解得x ＝±2，所以B ＝{2，－2}，又A ＝{－2}，所以A ∩B ＝{－2}，故选A.答案：A7．(2012山东，5分)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(∁U A )∪B 为A ．{1,2,4}B ．{2,3,4}C ．{0,2,4}D ．{0,2,3,4}解析：因为∁U A ＝{0,4}，所以(∁U A )∪B ＝{0,2,4}． 答案：C8．(2012浙江，5分)设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析：因为∁R B ＝{x |x ＞3或x ＜－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3＜x ＜4}． 答案：B9．(2012北京，5分)已知集合A ＝{x ∈R |3x ＋2＞0}，B ＝{x ∈R |(x ＋1)(x －3)＞0}，则A ∩B ＝A ．(－∞，－1)B ．(－1，－23)C ．(－23，3)D ．(3，＋∞)解析：集合A ＝(－23，＋∞)，集合B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故A ∩B ＝(3，＋∞)．答案：D10．(2012陕西，5分)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝C ．(1,2]D ．[1,2]解析：由题意得M ＝(1，＋∞)，N ＝[－2,2]，故M ∩N ＝(1,2]． 答案：C11．(2011辽宁，5分)已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩∁I M ＝∅，则M ∪N ＝A ．MB ．NC ．ID ．∅解析：本小题利用韦恩图解决，根据题意，N 是M 的真子集，所以M ∪N ＝M ，选A. 答案：A12．(2011北京，5分)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．答案：C13．(2011陕西，5分)设集合M ＝{y |y ＝|cos 2x －sin 2x |，x ∈R }，N ＝{x ||x －1i |＜2，i 为虚数单位，x ∈R }，则M ∩N 为A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]解析：对于集合M ，函数y ＝|cos2x |，其值域为[0,1]，所以M ＝[0,1]．根据复数模的计算方法得不等式 x 2＋1＜2，即x 2＜1，所以N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．正确选项为C.答案：C14．(2011江西，5分)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x ≤0}，则A ∩B ＝A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}． 答案：B15．(2010新课标全国，5分)已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝C ．{0,2}D ．{0,1,2}解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤2，x ∈R }，B ＝{x |0≤x ≤16，x ∈Z }， ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2，x ∈Z }＝{0,1,2}． 答案：D16．(2010安徽，5分)若集合A ＝{x |log 12x ≥12}，则∁R A ＝A ．(－∞，0]∪(22，＋∞) B ．(22，＋∞) C ．(－∞，0]∪[22，＋∞)D ．[22，＋∞) 解析：不等式log 12x ≥12⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0log 12x ≥log 12(12)12 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0x ≤22⇒0<x ≤22， 所以∁R A ＝(－∞，0]∪(22，＋∞)． 答案：A17．(2010辽宁，5分)已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：根据题意，画出韦恩图，得A ＝{3,9}． 答案：D18．(2010陕西，5分)集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，则A ∩(∁R B )＝ A ．{x |x >1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：A ∩(∁R B )＝[－1,2]∩[1，＋∞)＝[1,2]． 答案：D19．(2009山东，5分)集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，则A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的取值为A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 根据并集的概念，可知{a ，a 2}＝{4,16}，故只能是a ＝4.20．(2012江苏，5分)已知集合A ＝{1,2,4}，B ＝{2,4,6}，则A ∪B ＝________. 解析：集合A ，B 都是以列举法的形式给出，易得A ∪B ＝{1,2,4,6}． 答案：{1,2,4,6}21．(2011江苏，5分)设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|2m ≤x＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．解析：①若m ＜0，则符合题的条件是：直线x ＋y ＝2m ＋1与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，从而|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋22，与m ＜0矛盾；②若m ＝0，代入验证，可知不符合题意；③若m ＞0，则当m 2≤m 2，即m ≥12时，集合A 表示一个环形区域，集合B 表示一个带形区域，从而当直线x ＋y ＝2m ＋1与x ＋y ＝2m 中至少有一条与圆(x －2)2＋y 2＝m 2有交点，即符合题意，从而有|2－2m |2≤|m |或|2－2m －1|2≤|m |，解得2－22≤m ≤2＋2，由于12＞2－22，所以12≤m ≤2＋ 2.综上所述，m 的取值范围是12≤m ≤2＋ 2.答案：[12，2＋2]考点四 抽象集合与新定义集合1．(2013广东，5分)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }．令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉SB ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈SC ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈SD ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S解析：本题考查集合、推理与证明，考查考生接受、理解、运用和迁移新知识的能力，推理论证能力与创新意识．题目中x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立说明x ，y ，z 是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x ＝1，y ＝2，z ＝3，w ＝4满足题意，且(2,3,4)∈S ，(1,2,4)∈S ，从而(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S 成立．答案：B2．(2013重庆，12分)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，P n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”，求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解：本题主要考查集合运算，意在考查考生对新概念的理解能力． (1)对于集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 7，当k ＝1时与当k ＝4时该集合中都含有元素1,2,3，因此集合P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n ，不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B .同理6∈A,10∈B ，又由假设可得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求．当k ＝1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫m k m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，32，52，…，132，可分解为下面两稀疏集的并：A 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，52，92，112，B 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，72，132.当k ＝9时，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，43，53，…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，43，53，103，133，B 3＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，73，83，113，143.最后，集合C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数．因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上，所求n 的最大值为14. 注：对P 14的分拆方法不是唯一的．3．(2011广东，12分)设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T ，V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ；∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是A ．T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．T ，V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．T ，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．T ，V 中每一个关于乘法都是封闭的解析：取T ＝{x |x ∈(－∞，0)，且x ∈Z }，V ＝{x |x ∈(0，＋∞)，且x ∈Z }∪{0}，可得T 关于乘法不封闭，V 关于乘法封闭，又取T ＝{奇数}，V ＝{偶数}，可得T ，V 关于乘法均封闭，故排除B 、C 、D ，选A.答案：A。

课时跟踪检测(二) 集合的表示一、选择题1．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是( )A ．M ＝{π}，N ＝{3.141 59}B ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}C ． M ＝{x |－1<x ≤1，x ∈N }，N ＝{1}D ．M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M 3．集合{x ∈N *|x －3<2}的另一种表示法是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4．已知集合A ＝{x |x ＝2m －1，m ∈Z }，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，且x 1、x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q ，a ≠b }，则P *Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20二、填空题6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________.7．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．8．已知－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________．三、解答题9．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x .10．(1)已知集合M＝{x∈N|61＋x∈Z}，求M；(2)已知集合C＝{61＋x∈Z|x∈N}，求C.答案课时跟踪检测(二)1．选D 选项A中两个集合的元素互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的．2．选D 当x，y，z都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.3．选B ∵x－3<2，x∈N*，∴x<5，x∈N*，∴x＝1,2,3,4.故选B.4．选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1、x2是奇数，x3是偶数，∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．5．选C 由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a＝2,3时集合P*Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.6．解析：由集合相等的概念得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－3a ＝－2，解得a ＝1.答案：17．解析：∵1∉{x |2x ＋a >0}，∴2×1＋a ≤0，即a ≤－2.答案：a ≤－28．解析：由－5∈{x |x 2－ax －5＝0}得(－5)2－a ×(－5)－5＝0，所以a ＝－4，所以{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：29．解：当3x 2＋3x －4＝2时，即x 2＋x －2＝0，则x ＝－2或x ＝1.经检验，x ＝－2，x ＝1均不合题意．当x 2＋x －4＝2时，即x 2＋x －6＝0，则x ＝－3或2.经检验，x ＝－3或x ＝2均合题意．∴x ＝－3或x ＝2.10．解：(1)∵x ∈N ，61＋x ∈Z ，∴1＋x 应为6的正约数． ∴1＋x ＝1,2,3,6，即x ＝0,1,2,5.∴M ＝{0,1,2,5}．(2)∵61＋x∈Z ，且x ∈N ， ∴1＋x 应为6的正约数，∴1＋x ＝1,2,3,6，此时61＋x分别为6,3,2,1， ∴C ＝{6,3,2,1}．。

课时跟踪检测（一） 集合的含义层级一 学业水平达标1．下列说法正确的是( )A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B ．由1,2,3和 9，1，4组成的集合不相等C ．不超过20的非负数组成一个集合D ．方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素解析：选C A 项中元素不确定．B 项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D 项中方程的解分别是x 1＝1，x 2＝x 3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A 由x <1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∉A 解析：选C 很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．下面几个命题中正确命题的个数是( )①集合N *中最小的数是1；②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 最小值是2；④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，且a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：选B 若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .故选B.5．由实数－a ，a ，|a |，a 2所组成的集合最多含有的元素个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 当a ＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a ≠0时，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >0，－a ，a <0，所以一定与a 或－a 中的一个一致．故组成的集合中有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N 与集合N ＋是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填∈或∉)．解析：∵a 是偶数，b 是奇数，∴a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A .答案：∉ ∈8．已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：∵x ∈N,2<x <a ，且集合P 中恰有三个元素，∴结合数轴知a ＝6.答案：69．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 解：∵a ∈A 且3a ∈A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <6，3a <6，解得a <2.又a ∈N ， ∴a ＝0或1.10．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若A ＝B ，求实数x ，y 的值．解：因为集合A ，B 相等，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.层级二 应试能力达标1．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x ≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集解析：选A 由于A 中P ，Q 元素完全相同，所以P 与Q 表示同一个集合，而B 、C 、D 中元素不相同，所以P 与Q 不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A 的四个元素a ，b ，c ，d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形解析：选A 由于a ，b ，c ，d 四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．若集合A 中有三个元素1，a ＋b ，a ；集合B 中有三个元素0，b a ，b .若集合A 与集合B 相等，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 由题意可知a ＋b ＝0且a ≠0，∴a ＝－b ，∴b a＝－1.∴a ＝－1，b ＝1，故b －a ＝2. 4．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：选B 当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．5．不等式x －a ≥0的解集为A ，若3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：因为3∉A ，所以3是不等式x －a <0的解，所以3－a <0，解得a >3.答案：a >36．若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________． 解析：(1)若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a 2－4＝－3，则a ＝±1.当a ＝1时，A ＝{－2,1，－3}，满足题意；当a ＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a ＝0或a ＝1.答案：0或17．集合A 中共有3个元素－4,2a －1，a 2，集合B 中也共有3个元素9，a －5,1－a ，现知9∈A 且集合B 中再没有其他元素属于A ，能否根据上述条件求出实数a 的值？若能，则求出a 的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A ，∴2a －1＝9或a 2＝9，若2a －1＝9，则a ＝5，此时A 中的元素为－4,9,25；B 中的元素为9,0，－4，显然－4∈A 且－4∈B ，与已知矛盾，故舍去．若a 2＝9，则a ＝±3，当a ＝3时，A 中的元素为－4,5,9；B 中的元素为9，－2，－2，B 中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a ＝－3时，A 中的元素为－4，－7,9；B 中的元素为9，－8,4，符合题意． 综上所述，满足条件的a 存在，且a ＝－3.8．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)． 求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集． 证明：(1)若a ∈A ，则11－a∈A . 又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A . ∵－1∈A ，∴11－(－1)＝12∈A . ∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中必还有另外两个元素，且为－1，12. (2)若A 为单元素集，则a ＝11－a， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a，∴集合A 不可能是单元素集．。

阶段质量检测（一）集合与函数概念(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0} C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析：选C A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}， 解得A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．2．设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由已知条件，得U ＝A ∪B ＝{1,2,3,4,5}，A ∩B ＝{3,4}， ∴∁U (A ∩B )＝{1,2,5}，即集合∁U (A ∩B )的元素有3个，故选C.3．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 可以是( ) A ．{0,2,3} B ．{1,2,3} C ．{－3,5}D ．{－3,5,9}解析：选D 由对应关系可知，当x ＝－1时，2x －1＝－3；当x ＝3时，2x －1＝5；当x ＝5时，2x －1＝9.故B ＝{－3,5,9}．4．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为( ) A ．y ＝－|x |－1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝－|x |＋1D ．y ＝|x ＋1|解析：选C 对照题中的函数图象，当x ＝0时排除A ，当x ＝－1时排除B ，当x ＝1时排除D ，故选C.5．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2－12x ，则f (1)＝( )A ．－32B ．－12C.32D.12解析：选A 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－32.6．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．非单调函数D ．可能是增函数，也可能是减函数解析：选A ∵f (x )为偶函数，∴m ＝0，f (x )＝－x 2＋3，∴f (x )的对称轴为y 轴，故f (x )在(－5，－2)上是增函数．7．函数f (x )＝1＋x2＋x(x >0)的值域是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C ∵f (x )＝1＋x 2＋x ＝x ＋2－1x ＋2＝1－1x ＋2在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )∈⎝⎛⎭⎫12，1. 8．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28x D ．y ＝216x 解析：选C 正方形的对角线长为24x ，从而外接圆半径为y ＝12×24x ＝28x . 9．已知函数f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，那么f (2)等于( ) A ．10 B ．－10 C ．－18D ．－26解析：选D 令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，则g (x )是奇函数，f (x )＝g (x )－8， f (－2)＝g (－2)－8＝10， ∴g (－2)＝18，∴f (2)＝g (2)－8＝－g (－2)－8＝－26.10．已知集合A ＝{x |x 2＋mx ＋1＝0}，若A ∩R ＝∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(4，＋∞) C ．(0,4)D ．[0,4)解析：选D 因为A ∩R ＝∅，所以A ＝∅，即方程x 2＋mx ＋1＝0无解，所以Δ＝(m )2－4<0，所以m <4.又因为m ≥0，所以0≤m <4.11．若f (x )满足f (－x )＝f (x )在区间(－∞，－1]上是增函数，则( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)<f (2) B ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (2) C ．f (2)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫－32D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1) 解析：选D 由已知可得函数f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫32，f (－1)＝f (1)．∵1<32<2，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫32>f (2)，即f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (－1)． 12．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列命题：①f (0)＝0；②若f (x )在[0，＋∞)上有最小值－1，则f (x )在(－∞，0]上有最大值1；③若f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则f (x )在(－∞，－1]上为减函数；④若x >0时，f (x )＝x 2－2x ，则x <0时，f (x )＝－x 2－2x .其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C f (x )为R 上的奇函数，则f (0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ，又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－x 2－2x ，即④正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13．用列举法表示集合：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪10m ＋1∈Z ，m ∈Z ＝________________.解析：由10m ＋1∈Z ，且m ∈Z ，知m ＋1是10的约数，故|m ＋1|＝1,2,5,10，从而m 的值为－11，－6，－3，－2,0,1,4,9.答案：{－11，－6，－3，－2,0,1,4,9}14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：若a >0，则2a ＋2＝0，得a ＝－1，与a >0矛盾，舍去；若a ≤0，则a ＋1＋2＝0，得a ＝－3，所以实数a 的值等于－3.答案：－315．已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a 的值为________． 解析：f (x )的对称轴为直线x ＝－1. 当a >0时，f (x )max ＝f (2)＝4，解得a ＝38；当a <0时，f (x )max ＝f (－1)＝4，解得a ＝－3. 综上，得a ＝38或a ＝－3.答案：－3或 3816．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)＝0，所以f (－2)＝0. 又f (x )在(－∞，0]上是减函数，故f (x )在[0，＋∞)上是增函数．故满足f (x )<0的x 的取值范围应为(－2,2)，即 f (x )<0的解集为{x |－2<x <2}． 答案：{x |－2<x <2}三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x ＋2x －6. (1)判断点(3,14)是否在f (x )的图象上； (2)当x ＝4时，求f (x )的值； (3)当f (x )＝2时，求x 的值．解：(1)因为f (x )＝x ＋2x －6，所以f (3)＝3＋23－6＝－53，所以点(3,14)不在f (x )的图象上． (2)f (4)＝4＋24－6＝－3. (3)令x ＋2x －6＝2，即x ＋2＝2x －12， 解得x ＝14.18．(本小题满分12分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．解：(1)由交集的概念易得2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{－5,2}．(2)由并集的概念易得U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2.由补集的概念易得∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即为集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，{－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.19．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1<x <6}，C ＝{x |x >a }，U ＝R.(1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1<x <6}＝{x |1<x ≤8}． ∵∁U A ＝{x |x <2或x >8}，∴(∁U A )∩B ＝{x |1<x <2}． (2)∵A ∩C ≠∅，如图易知，只要a 在8的左边即可， ∴a <8，即a 的取值范围为(－∞，8)．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值． 解：(1)因为f (x )＝2x ＋1x ＋1＝2－1x ＋1， 所以f (x )在[1，＋∞)上为增函数．任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1). 因为x 1－x 2<0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2) 所以函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数．(2)由(1)得，函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1,4]上是增函数． 最大值为f (4)＝2×4＋14＋1＝95，最小值为f (1)＝2×1＋11＋1＝32. 21．(本小题满分12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －2)2＋2. (1)求函数f (x )在R 上的解析式； (2)在直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)若方程f (x )－k ＝0有四个解，求实数k 的取值范围．解：(1)若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋2，x ≥0，－(x ＋2)2＋2，x <0.(2)图象如图所示，(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 的交点情况可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；(2)若f (x )在区间[2a ，a ＋1]上不单调，求实数a 的取值范围；(3)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2m ＋1图象的上方，试确定实数m 的取值范围．解：(1)由题意设f (x )＝a (x －1)2＋1， 将点(0,3)的坐标代入得a ＝2， 所以f (x )＝2(x －1)2＋1＝2x 2－4x ＋3. (2)由(1)知f (x )的对称轴为直线x ＝1， 所以2a <1<a ＋1， 所以0<a <12.即实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12. (3)f (x )－2x －2m －1＝2x 2－6x －2m ＋2，由题意得2x 2－6x －2m ＋2>0对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 所以x 2－3x ＋1>m 对于任意x ∈[－1,1]恒成立， 令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1,1]， 则g (x )min ＝g (1)＝－1，所以m <－1，故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．。