初中数学第二十七章相似知识点

知识点1.概念
把形状相同的图形叫做相似图形。

(即对应⾓相等、对应边的⽐也相等的图形)
解读：(1)两个图形相似，其中⼀个图形可以看做由另⼀个图形放⼤或缩⼩得到.
(2)全等形可以看成是⼀种特殊的相似，即不仅形状相同，⼤⼩也相同.
(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素⽆关.
知识点2.⽐例线段
对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的⽐与另两条线段的长度的⽐相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成⽐例线段，简称⽐例线段.
知识点3.相似多边形的性质
相似多边形的性质：相似多边形的'对应⾓相等，对应边的⽐相等.
解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.
(2)明确相似多边形的“对应”来⾃于书写，且要明确相似⽐具有顺序性.
知识点4.相似三⾓形的概念
对应⾓相等，对应边之⽐相等的三⾓形叫做相似三⾓形.
解读：(1)相似三⾓形是相似多边形中的⼀种;
(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三⾓形;
(3)相似三⾓形应满⾜形状⼀样，但⼤⼩可以不同;
(4)相似⽤“∽”表⽰，读作“相似于”;
(5)相似三⾓形的对应边之⽐叫做相似⽐.
【九年级下册数学第27章相似图形知识点归纳】。

第27章相似知识点梳理（一）姓名___________班级__________学号__________分数___________知识点1：比例性质与k换元1．若a︰b︰c＝2︰3︰7，且a－b＋3＝c－2b，则c值为何？A．7；B．63；C．221；D．421；2．已知513ba=，则a ba b-+的值是()A．23；B．32；C．94；D．49；3．已知ac＝bd，下列各式中，一定成立的是()A．a cb d=；B．a db cd c--=；C．ad bcd c=；D．ab acd d=；4．某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？( )A．舞蹈社不变，溜冰社减少；B．舞蹈社不变，溜冰社不变；C．舞蹈社增加，溜冰社减少；D．舞蹈社增加，溜冰社不变；5．若a∶b＝1∶2，则(a＋b)∶b＝.6．已知23a b=，则ab=．7．若12ab=，则a bb+＝____________．8．如果235x y z==，那么33x y zx y z+-=-+_____．※10．已知xxzy-+＝zzxy-+＝yyzx-+则xzzyyx）（）（+⨯+＝____________．知识点2：相似图形及其性质11．将下图中的箭头缩小到原来的12，得到的图形是( )A．；B．；C．；D．；12．小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是( )A．FG；B．FH；C．EH；D．EF；13．下列四组图形中，一定相似的是( )A．正方形与矩形；B．正方形与菱形；C．菱形与菱形；D．正五边形与正五边形；14．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为( )A．1：4；B．1：2；C．2：1；D．4：1；15．如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2︰1，则下列结论正确的是( )A．∠E＝2∠K；B．BC＝2HI；C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长；D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL；16．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EC，GD，(1)求证：EB＝GD；(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，AGGD的长．※17．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？(1)请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：(2)如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB ∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．知识点3：平行线分线段成比例定理18．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE ＝6，BD＝3，则BF＝( )A．7；B．7.5；C．8；D．8.5；A BC DE Fm nabc19．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是( )A．4.5；B．8；C．10.5；D．14；AB CDE F（第19题图）（第20题图）20．如图，EF∥BC，FD∥AB，BD＝53BC，则BE︰EA等于()A．3︰5；B．2︰5；C．2︰3；D．3︰2；21．已知：如图，12BDCD=，AE＝CE，则BGGE=()A．12；B．2；C．1；D．13；GAB CDE FECBA（第21题图）（第22题图）22．如图，E、F是△ABC两边的中点，若EF=3，则BC=_______．23．如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有____________对．AGEHFJIB C（第23题图）（第24题图）24．如图，AB∥CD，23AOBO=，则ACBD=________．25．如图，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥B C．(1)求∠EDB的度数；(2)求DE的长．AB CDE26．如图，AE∥HK∥DB，AG＝12，BG＝24，EF＝40，CD＝30，求CH、KF的长。

九年级数学下册第二十七章【相似】重要知识点总结27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。

（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。

3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。

相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形的周长比等于相似比。

相似多边形的面积比等于相似比的平方。

27.2相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。

2.相似三角形周长的比等于相似比。

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。

27.3位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

（2）位似多边形的对应边平行或共线。

（3）位似可以将一个图形放大或缩小。

（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。

（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。

★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。

第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义，领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．四、中考所占分数及题型分布本章会出1-2道选择、填空题，简答题必有一道三角形和相似形的综合题，本章约占15-20分.第二十七章相似图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像，是否相似2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像，是否相似6.相似多边形对应角相等，对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例2：在比例尺为1：的地图上，量的A 、B 两地的距离为10cm ，求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的，因此地图中的1cm 相当于实际cm ，即100km.A 、B 两地相距10cm ，相当于1000km.例3：如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α、β的大小和EH 的长度x.图解：四边形ABCD 和EFGH 相似，他们的对应角相等，因此可得83o C α∠=∠=，118o A E ∠=∠=在四边形ABCD 中，()360788311881o o o o o β∠=-++=四边形ABCD 和EFGH 相似，他们的对应边相等，由此可得EH EF AD AB =，即242118x = 解得28x cm =相似三角形相似三角形的判定在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中，如果''',,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠，''''''=AB BC AC k A B B C AC==，我们就说△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似，记作△ABC ∽△A ‘B ‘C ’，k 就是他们的相似比.对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a =c b d（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 例1.如图，在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE A A∠=∠,ADE B AED C ∴∠=∠∠=∠在□BFED 中，DE=BF ，DB=EF 12AD DB AB == AD EF ∴=又1,2A C ∠=∠∠=∠∴△ADE ∽△EFC AE=EC=11,22AE EC AC DE FC BF BC ∴=====∵△ADE 和△ABC 的对应角相等，对应边的比相等 ∴△ADE ∽△ABC1.平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.例2.如图，在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中，''''''AB BC AC A B B C AC ∴==，求证△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似.图 证明：在线段A ’B ’（或它的延长线）上截取A ‘D=AB ，过点D 做DE ''''''''A D DE A E A B B C AC ∴==''''''AB BC AC A B B C AC =='''''A E AC AC AC =果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 例 在△ABC 和△A ‘B ‘C ’中，已知AB=6CM ，BC=8CM ，AC=10CM ，A ‘B ’=18CM ，B ‘C ’=24CM ，A ‘C ’=30CM ，试证明△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似. 证明：''''''6181101,,,183243303AB BC AC A B B C AC ====== ''''''AB BC AC A B B C AC ∴== 故△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似.例.设△ABC 与△DEF 中，AB:DE=AC:DF ，∠A=∠D ，△ABC 与△DEF 有什么关系解：把△DEF 放到△ABC 中与之重合.∵AB:DE=AC:DF ，∴EF ∴两个三角形三个角对应相等，故两个三角形相似.3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；例.根据下列条件判断△ABC 和△A ‘B ‘C ’是否相似，并说明理由. （1）120o A ∠=，AB=7cm ，AC=14cm ，'120o A ∠=，AB=3cm ，AC=6cm （2）AB=4cm ，BC=6cm ，AC=8cm ，A ‘B ’=12cm ，B ‘C ’=18cm ，A ‘C ’=21cm解：（1）''''77,33AB AC A B AC ==，''''AB AC A B AC∴= 又A A ∠=∠∴△ABC ∽△A ’B ’C ’（2）''''''41618,,12318321AB BC AC A B B C AC ===== ''''''AB BC AC A B B C AC ∴=≠ △ABC 和△A ‘B ‘C ’的三组对应边的比不等，它们不相似.例. 假设两个三角形的两组对应边的比相等，并且有一组角相等（不是这两边所夹的角），那么这两个三角形相似 解：情形一：当两个三角形同为锐角三角形时，可以推出它们相似.这个结论必须用正弦定理才好证明.（高中学习） 情形二：当两个三角形同为直角三角形时，它们也相似.因为由勾股定理马上知道，两边对应成比例的直角三角形的第三边也必定成比例，于是由两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 .情形三：当两个三角形同为钝角三角形时，它们不一定相似.如图，△ABC 和△ADC 中，AB=AD ，AC 是两个三角形的公共边，∠C 是两个三角形的公共角.但是二者显然不相似.4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；例.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ．相似三角形应用举例相似三角形的周长和面积相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法还可得出相似多边形的周长比等于相似比. 相似三角形面积比等于相似比的平方.相似多边形面积的比等于相似比的平方如果△ABC 和△A ‘B ‘C ’相似，相似比为k ，那么''''''AB BC AC k A B B C AC=== 因此'''''',,AB kA B BC kB C AC kAC ===从而''''''''''''''''''AB BC AC kA B kB C kAC k A B B C AC A B B C AC ++++==++++由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法，还可得出：相似多边形的周长比等于相似比.例.如图 △ABC ∽△A ’B ’C ’，相似比为k ，他们的面积比为多少分别作△ABC 和△A ’B ’C ‘的高AD 和A ’D ’.∵△ABD 和△A ’B ‘D ’都是直角三角形，并且'B B ∠=∠ ∴△ABD ∽△A ‘B ‘D ‘ ''''AD AB k A D A B∴== '''''''2''''''''11221122ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D ⋅⋅⋅⋅∴===⋅⋅△△ 相似三角形面积比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，用类似的方法，能把他们分成若干个相似的三角形，因此可以得到相似多边形面积的比等于相似比的平方例 在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=9，BAD ∠的平分线交BC 于E ，交DC 的延长线于F ，BG ⊥AE 于G，BG =则△EFC 的周长为解：在平行四边形ABCD 中，∵AB BAE EFC ∠=∠BAE DAF ∠=∠EFC DAF ∴∠=∠EAB EFC ∠=∠AEB FEC∠=∠623AB EA BE FC EF CE ∴====在Rt △BGE 中，由勾股定理得，2GE ==，∵AB=BE=6，BG ⊥AE ，∴AG=GE=2，则EA=AG+GE=4，22EA EF ==， 故CF+CE+EF=3+3+2=8所以△EFC 的周长为8.例 在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，AED B ∠=∠，如果AE=2，△ADE 的面积为4，四边形BCED 的面积为5，那么AB 的长为多少解：AED B ∠=∠，DAE CAB ∠=∠，∴△ADE ∽△ACB ，∵S △ADE =4，S 四边形BCED =5，∴S △ACB =4+5=9，S △ADE ：S △ACB =4：9，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得相似比为2：3，即AE:AB=2:3，故AB=3.例 如图 在□ABCD 中，AE:EB=2:3，DE 交AC 于点F.（1） 求△AEF 与△CDF 的周长比；（2） 如果S △CDF =20cm 2，求S △AEF .解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ,EAF DCF AEF CDF ∠=∠∠=∠2=5AEF AE CDF CD ∴=△的周长△的周长224525AEF CDF S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△CDF S △165AEF S =△例. 如图，四边形ABCD 的坐标分别为A （-6，6），B （-8，2），C （-4，0），D （-2，4），画出它的一个以原点O 为位似中心，相似比为12的位似图形. 例.。

人教版九年级数学上册知识点总结第二十七章、相似知识点一：比例线段1.比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a cb d=，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ad＝bc；（b、d≠0）(2)合比性质：a cb d=⇔a bb±＝c dd±；（b、d≠0）(3)等比性质：a cb d=＝…＝mn＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k.（b、d、···、n≠0）3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3∥l4∥l5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB∥CD，则OA OBOD OC=.（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB＝=5－12≈0.618，那么线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．例：把长为10cm的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cmFEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBA知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A＝∠D，AC ABDF DE=，则△ABC∽△DEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.FEDCBAFEDCBAFEDCBA。

第二十七章相似一、目标与要求1．掌握相似多边形的定义、表示法，并能根据定义判断两个多边形是否相似.2．能根据相似比进行计算.3．通过与相似多边形有关概念的类比，得出相似三角形的定义，领会特殊与一般的关系.4．能根据定义判断两个多边形是否相似，训练学生的判断能力.5．能根据相似比求长度和角度，培养学生的运用能力.6．通过与相似多边形有关概念的类比，渗透类比的教学思想，并领会特殊与一般的关系.二、知识框架三、重点、难点1 ．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3 ．利用位似将一个图形放大或缩小．4 ．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5 ．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．四、中考所占分数及题型分布本章会出1-2 道选择、填空题，简答题必有一道三角形和相似形的综合题，本章约占15-20 分 .第二十七章相似27.1 图形的相似1.每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形.2.相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关.3.相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况.4.我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．5.若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形.例1：1.从哈哈镜和平面镜中看见不同的镜像，是否相似？2.从放大镜或者望远镜中看见不同的镜像，是否相似？6.相似多边形对应角相等，对应边的比相等.对应边的比称为相似比.例 2：在比例尺为1：10000000 的地图上，量的A、 B 两地的距离为10cm，求两地的实际距离.解：地图与实际的环境是相似的，因此地图中的1cm 相当于实际10000000cm ，即 100km.A、 B 两地相距10cm，相当于1000km.例 3：如图 27.1-1，四边形ABCD和 EFGH相似，求角α、β的大小和EH的长度 x.图 27.1-1解：四边形ABCD和 EFGH相似，他们的对应角相等，因此可得C 83o，A E118o在四边形ABCD中，360o 78o 83o 118o 81o四边形 ABCD和 EFGH相似，他们的对应边相等，由此可得EH EF ，即 x 24AD AB 21 18解得 x 28cm27.2 相似三角形27.2.1 相似三角形的判定‘ ‘’', B ', C'，ABBCAC‘ ‘’在△ ABC 和△ A B C 中，如果 AAB C 'B ''C '' ' =k ，我们就说△ ABC 和△ A B CABAC‘ ‘ ’就是他们的相似比 .相似，记作△ ABC ∽△ A B C ， k 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.成比例线段（简称比例线段）：对于四条线段 a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a = c（或 a ： b=c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.b d例 1.如图 27.2-1，在△ ABC 中，点 D 是边 AB 的中点， DE//BC ， DE 交 AC 于点 E ，△ ADE 与△ ABC 有什么关系？解：在△ ADE 与△ ABC 中，A AQ DE//BCADE B, AED C过点 E 作 EF//AB ， EF 交 BC 于点 F.在 □BFED 中， DE=BF ， DB=EF1Q AD DB ABAD EF又A 1, 2 C∴△ ADE ∽△ EFCAE=EC=∴△ ADE ∽△ ABCAE EC1AC , DE FC BF 1 BC22∵△ ADE 和△ ABC 的对应角相等，对应边的比相等1.平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.‘ ‘’ABBCAC‘ ‘ ’例 2.如图 27.2-1，在△ ABC 和△ A B C 中，'B ''C '' ' ，求证△ ABC 和△ A B C 相似 .A B AC图 27.2-1证明：在线段 ’ ’‘’’’ ’’A B （或它的延长线）上截取 A D=AB ，过点 D 做 DE//B C ，交 A C 于点 E ，根据前面的结论可得△ A DE∽△ A ’B ’C ’A ' DDEA ' E'B ''C '' 'A B AC又ABBCAC ’A 'B '''' ' ， A D=AB ，B C AC∴ A ' EAC’''' ' ，∴ A E=ACAC AC同理 DE=BC’∴△ A DE ≌△ ABC’’ ’’∴△ A DE ∽△ A B C2.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.‘‘ ’‘ ’‘ ’‘ ’例 在△ ABC 和△ A B C 中，已知AB=6CM ， BC=8CM ， AC=10CM ， A B =18CM ，B C=24CM ， A C=30CM ，试证明△ ABC‘ ‘ ’和△ A BC 相似 .证明： QAB6 1 BC 8 1 AC 10 1'B '18 , ' C '24, ' ' 30 ,A3 B 3 AC3ABBC AC'B 'B 'C '' 'A AC‘ ‘ ’故△ ABC 和△ A B C 相似 .例 .设△ ABC 与△ DEF 中， AB:DE=AC:DF ，∠ A=∠ D ，△ ABC 与△ DEF 有什么关系？解：把△ DEF 放到△ ABC 中与之重合 .∵ AB:DE=AC:DF ，∴ EF//BC.∴两个三角形三个角对应相等，故两个三角形相似.3.如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；例 .根据下列条件判断△ ABC 和△ A ‘B ‘C ’是否相似，并说明理由 .（ 1） A 120o ， AB=7cm ， AC=14cm ， A '120o ，AB=3cm ， AC=6cm‘ ’‘ ’‘ ’（ 2） AB=4cm ， BC=6cm ，AC=8cm ， A B =12cm ， B C=18cm ， A C=21cm解：（ 1） Q AB 7 AC 7 AB AC' B ' , ' ' 3 ， 'B ' ' 'A 3 AC AAC 又 A A ∴△ ABC ∽△ A ’B ’C ’（ 2） QAB41 BC 6 1 AC8 'B ' 12 , ' '18 , ' ' 21A3 BC 3 ACABBC AC'B ''C '''ABAC‘‘ ’△ ABC 和△ A B C 的三组对应边的比不等，它们不相似 .例 . 假设两个三角形的两组对应边的比相等， 并且有一组角相等 （不是这两边所夹的角） ，那么这两个三角形相似？解：情形一：当两个三角形同为锐角三角形时，可以推出它们相似.这个结论必须用正弦定理才好证明.（高中学习）情形二： 当两个三角形同为直角三角形时，它们也相似 .因为由勾股定理马上知道， 两边对应成比例的直角三角形的第三边也必定成比例，于是由两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.情形三：当两个三角形同为钝角三角形时，它们不一定相似.如图，△ ABC 和△ ADC 中， AB=AD ，AC 是两个三角形的公共边，∠ C 是两个三角形的公共角 .但是二者显然不相似.4.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；例 .如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， EF ∥AB ，求证：△ ADE ∽△ EFC ．解：∵ DE ∥ BC ，∴ DE ∥ FC ，∴∠ AED=∠ C ．又∵ EF ∥ AB ，∴ EF ∥ AD ，∴∠ A=∠ FEC ．∴△ ADE ∽△ EFC ．27.2.2 相似三角形应用举例27.2.3 相似三角形的周长和面积相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法还可得出相似多边形的周长比等于相似比.相似三角形面积比等于相似比的平方.相似多边形面积的比等于相似比的平方‘ ‘ ’ABBCACk ，那么' 'k如果△ ABC 和△ A B C 相似，相似比为''' 'A BB CAC因此 AB'''' , AC ' 'kA B , BC kB C kACABBC AC' '' ' ''kA BkB CkACk从而 'B ''C ' ' '' B ''C '''AB AC A B AC由此我们得到：相似三角形周长的比等于相似比.用类似的方法，还可得出：相似多边形的周长比等于相似比.例 .如图 27.2 △ABC ∽△ A ’B ’C ’，相似比为 k ，他们的面积比为多少？分别作△’ ’ ‘ ’ ’ABC 和△ A B C 的高 AD 和 AD .’ ‘ ’'BB∵△ ABD 和△ A B D 都是直角三角形，并且‘‘ ‘∴△ ABD ∽△ A B DAD AB kA 'D'A 'B 'S△ABC1BC AD 1 k B 'C ' k A ' D '2 2 k 21 ' ' ' 1 ' ''' B' C '' 'S△ A B C2 BC A D 2 A D相似三角形面积比等于相似比的平方 .对于两个相似多边形，用类似的方法，能把他们分成若干个相似的三角形，因此可以得到相似多边形面积的比等于相似比的平方例 27.2 在平行四边形 ABCD 中， AB=6， AD=9， BAD 的平分线交 BC 于 E ，交 DC 的延长线于 F ， BG ⊥AE 于 G ，BG 4 2 ，则△ EFC 的周长为？解：在平行四边形 ABCD 中，∵ AB//CD ，∴BAE EFC ，又 Q BAE DAF ， EFC DAF ，故 AD=DF=9，则 CF=DF-DC=3EABEFC ， AEBFEC ，∴△ EAB ∽△ EFC ，AB EA BE 6 ，又∵ BC=BE+CE=9，∴ CE=3， BE=6.FCEF CE2 3在 Rt △ BGE 中，由勾股定理得，GEBE 2 BG 2 2 ，∵ AB=BE=6， BG ⊥AE ，∴ AG=GE=2，则 EA=AG+GE=4， EFEA 2 ，2故 CF+CE+EF=3+3+2=8所以△ EFC 的周长为 8.例 27.2 在△ ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、 AC 上， AED B ，如果 AE=2，△ ADE 的面积为 4，四边形 BCED的面积为 5，那么 AB 的长为多少？解： QAED B ， DAE CAB ，∴△ ADE ∽△ ACB ，∵ S △ ADE =4， S 四边形 BCED =5，∴ S △ACB =4+5=9，S △ ADE ：S △ACB =4： 9，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得相似比为2： 3，即 AE:AB=2:3，故 AB=3.例 如图 27.2 在 □ABCD 中， AE:EB=2:3， DE 交 AC 于点 F.（ 1） 求△ AEF 与△ CDF 的周长比；（ 2） 如果 S △ CDF =20cm 2，求 S △ AEF .解：（ 1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB=CD ， AB//CD ，EAFDCF ,AEFCDF ，∴△ AEF ∽△ CDF ，△ AEF 的周长 AE 2△ CDF 的周长=5CD2（ 2） S △AEF2 4， Q S △ CDF =20，Q S △AEF 16S △ CDF525527.3 位似（ 1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（ 3） 掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似.例 . 如图，四边形ABCD 的坐标分别为A（ -6， 6），B（-8， 2）， C（ -4，0）， D（-2， 4），画出它的一个以原点O 为位似中心，相似比为1的位似图形 . 2例.。