三角函数恒等变换

三角函数恒等变换一、三角函数的诱导公式1、下列各角的终边与角α的终边的关系角2k π+α(k ∈Z)π+α-α图示与α角终边的关系相同 关于原点对称关于x 轴对称角π-α2π-α 2π+α 图示与α角终边的关系 关于y 轴对称关于直线y=x 对称2、六组诱导公式 组数 一 二三四五六角2k π+α(k ∈Z)π+α-απ-α2π-α 2π+α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切tan αtan α- tan α- tan α口诀函数名不变符号看象限函数名改变 符号看象限注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。

记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限。

其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。

二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.sinα=22tan21tan2αα+, cosα=221tan21tan2αα-+3、形如asinα+bcosα的化简asinα+bcosα22a b+α+β).其中cosβ22a b+,sinβ22a b+三、简单的三角恒等变换1、用cos α表示sin22α,cos 22α,tan 22α sin22α=1cos 2α-; cos 22α=1cos 2α+;tan 22α=1cos 1cos αα-+ 注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。

2、用cos α表示sin2α,cos 2α,tan 2αsin2α=cos2α=tan2α= 3、用sin α,cos α表示tan2αtan 2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 四、常用数据: 30456090o o o o、、、的三角函数值sin15cos 75=o o ,42615cos 75sin +==οο3275cot 15tan -==οο ,3215cot 75tan +==οο注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+221cos 1cos cos,sin 2222αααα+-==等. 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。

①常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

②项的分拆与角的配凑。

如分拆项：222222sin 2cos (sin cos )cos 1cos x x x x x x +=++=+; 配凑角(常用角变换):2()()ααβαβ=++-、2()()βαβαβ=+--、22αβαβα+-=+、22αβαββ+-=-、()ααββ=+-等.③降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

④化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

⑤引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

1、三角函数式的化简※相关链接※（1）2()k k Z απ+∈，α-，πα±，2πα±的三角函数值是化简的主要工具。

使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；（2）不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：52()22ππαπα+=++等。

注：若k πα+出现时，要分k 为奇数和偶数讨论。

（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了。

特殊角能求值则求值；（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等。

※例题解析※ 〖例〗化简：sin()cos[(1)]()sin[(1)]cos()k k k Z k k παπαπαπα---∈+++思路分析：化简时注意观察题设中的角出现了k π，需讨论k 是奇数还是偶数。

2、三角函数的求值 ※相关链接※（1）六个诱导公式和同角三角函数的关系是求值的基础；（2）已知一个角的三角函数值，求其他角三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值。

※例题解析※〖例〗已知cos()2sin()22ππαα+=-，求3sin ()cos()575cos()3sin()22πααπππαα-++-+-的值。

思路解析：化简已知条件→化简所求三角函数式，用已知表示→代入已知求解3、诱导公式在三角形中的应用〖例1〗在ΔABC 中，若sin(2π-A)=2-sin(π-β)，3cosA=2-cos(π-β)求ΔABC 的三内角。

思路分析：本题首先利用诱导公式把所给两个等式化简，然后利用，求出cosA 的值，再利用A+B+C=π进行计算。

注：在ΔABC 中常用的变形结论有：∵A+B+C=π，2A+2B+2C=2π，2222A B C π++=， ∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC; cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC; tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC; sin(2A+2B)=sin(2π-2C)=-sin2C; cos(2A+2B)= cos(2π-2C)=cos2C; tan(2A+2B)=tan(2π-2C)=-tan2C;sin(22A B +)=sin(22C π-)=cos 2C ; cos(22A B +)=cos(22C π-)=sin 2C .以上结论应在熟练应用的基础上加强记忆。

〖例2〗是否存在α∈（2π-，2π），β∈（0，π），使等式sin(3π-αcos(2π-β),cos(-α)= cos(π+β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由。

思路分析：要想求出α，β的值，必须知道α，β的某一个三角函数值，因此，解决本题的关键是由两个等式消去α或β的同名三角函数值。

注：已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：（1）由三角函数值的符号确定角α所在的象限； （2）据角α所在的象限求出角α的最小正角； （3）最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式。

※相关链接※（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们打到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等。

（2）根式的化简常常需要升幂去根号，在化简中注意角的范围以确定三角函数值的正负号；（3）对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ①化为特殊角的三角函数值； ②化为正、负相消的项，消去求值； ③化分子、分母出现公约数进行约分求值。

※例题解析※〖例〗（1(1sin cos )(sincos ))θθθθθπ++-<<（2）求值000001cos 201sin10(tan 5)2sin 20tan 5+-- 思路解析：（1）从把角θ变为2θ入手，合理使用公式； （2）应用公式把非10o角转化为10o的角，切化弦。

※相关链接※三角函数的给值求值问题解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示。

（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”。

（3）常见的配角技巧22()()1[()()]21[()()]2()424ααααββαββαααβαββαβαβπππαα=⋅=+-=--=++-=+--+=-- ※例题解析※〖例〗已知33350,cos(),sin()4445413ππβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。

思路解析：比较题设中的角与待求式中的角，不难发现3()()()442πππβααβ+--=++或将cos()4πα-变化为sin()4πα+，再由()3()44ππαβπαβ⎛⎫+++=++ ⎪⎝⎭求解。

※相关链接※（1）通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数。

若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是()0,π，选余弦较好；若角的范围为(,)22ππ-，选正弦较好。

（2）解给值求角问题的一般步骤为： ①求角的某一个三角函数值； ②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角。

※例题解析※〖例1〗如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 的横坐标分别为10（1）求tan(α+β)的值； （2）求的α+2β值。

思路解析：由已知得cos α,cos β→求tan α,tan β→求tan(α+β) →求tan(α+2β) →求α+2β的范围→求α+2β的值。

〖例2〗20,0,3sin sin(2),4tan1tan ,2222ππαααββαβαβ<<<<=+=-+已知且求的值.思路解析：2,2,ααβαβαβαβαβαβαβ+++++由的关系可求出的正切值，再据已知与构造出从而可求出的一个三角函数值再据、的范围求的范围从而确定角。

4、三角函数的综合应用〖例〗已知α、β为锐角，向量11(cos ,sin ),(cos ,sin ),(,).22a b c αβββ===-r r r（1）若1,24a b a c ⋅=⋅=r r r r ，求角2βα-的值； （2） 若a b c =+r r r，求tan α的值。

思路解析：（1）由124a b a c ⋅=⋅=r rr r ，及b a c r r r 、、的坐标，可求出关于α、β的三角函数值，进而求出角；（2）由a b c =+r r r可求出关于α、β的三角恒等式，利用方程的思想解决问题同角三角函数的基本关系已知sin cos 2x x +=，求44sin cos x x +．变式1：已知4423sin cos 32x x +=，2π<x<π，求sin cos x x -的值．变式2、化简：ο440sin 12-两角和与差及二倍角的三角函数 已知3cos 5ϕ=，(0,)2πϕ∈，求sin()6πϕ-，tan()4πϕ+的值．变式 1.已知tanα，tanβ是方程240x ++=两根，且α，β)2,2(ππ-∈，则α+β=变式2. ︒+︒15cot 15tan 的值是变式3. 设)2,0(πα∈,若,53sin =α则)4cos(2πα+=变式4.sin163sin 223+o o sin 253sin313=o o变式5：在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-． （Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值．变式6：在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长．变式7：已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<, (Ⅰ)求α2tan 的值；-（Ⅱ）求β.。