(完整版)三角函数恒等变换高一

三角函数cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβsin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβtan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）二倍角sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）]cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）]tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）]三倍角sin3α=3sinα-4sin^3（α）cos3α=4cos^3（α）-3cosαtan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α））sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α）cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α)tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α）半角公式sin^2（α/2）=（1-cosα）/2cos^2（α/2）=（1+cosα）/2tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα半角变形sin^2（α/2）=（1-cosα）/2sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限=-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限cos^2（α/2）=（1+cosα）/2cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限=-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα）tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限=-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限恒等变形tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana)tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana)asinx+b cosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√（a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a万能代换半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）]cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）]积和化差sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）和差化积sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]内角公式sinA+sinB+sinC=4cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）cosA+cosB+cosC=1+4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCcot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1证明方法首先，在三角形ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c若A,B均为锐角，则在三角形ABC中，过C作AB边垂线交AB于D 由CD=asinB=bsinA（做另两边的垂线，同理）可证明正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC于是有：AD+BD=cAD=bcosA,BD=acosB AD+BD=c代入正弦定理，可得sinC=sin（180-C)=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA 即在A,B均为锐角的情况下，可证明正弦和的公式。

定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上 的积分值，表示了函数图像与x轴
围成的面积。
定积分的性质
定积分具有可加性、保号性、绝对 值不等式性质等，为积分计算和证 明提供了依据。
定积分的求解方法
通过牛顿-莱布尼兹公式、换元法、 分部积分等方法求解定积分。
三角恒等变换在积分计算中的应用举例
• 积化和差与和差化积公式：$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$，$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$， $\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha \beta)]$等。
拓展延伸相关知识点
三角函数的诱导公式
介绍了利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数的诱导公式，拓展了三角函数的应 用范围。
三角函数的和差化积与积化和差公式的推导
详细推导了和差化积与积化和差公式的来源，加深了学生对这些公式的理解和记忆。
三角函数的倍角与半角公式的应用
通过举例说明了倍角与半角公式在解三角形、求三角函数值等问题中的应用，提高了学 生的解题能力。
02
利用勾股定理
在直角三角形中，已知两条直角边，可以求出斜边。
03
利用特殊角的三角函数值
对于30°、45°、60°等特殊角，可以直接利用已知的三角函数值进行计
算。

1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝sin 16°，
＝( )
∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin
A．
3 2
C．－
3 2
B．12 D．－12
76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60° ＝12.]
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2．cos(－15°)的值是( )
A.
6－ 2
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2．已知 α 为锐角，β 为第三象限 角，且 cos α＝1123，sin β＝－35，则 cos(α －β)的值为( )
A [∵α为锐角，cos α＝1123， ∴sin α＝ 1－cos2α＝153，
A．－6635
B．－6353
∵β为第三象限角，sin β＝－35，
C.6635
D.6353
12
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③12cos
15°＋
3 2 sin
15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝ 22.
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1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构 形式，然后逆用公式求值． 2．两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加．
系和公式 C(α－β)求 cos(α－β)． (2)由已知角π3＋α 与所求角 α 的关系即 α＝π3＋α－π3寻找解题思路．
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(1)D [因为sin α－sin β＝1－ 23，

高一数学三角恒等变换知识点介绍在高一学生学习的知识点是比较的多，学生需要学好，否则高三的时候会很吃力，下面是店铺给大家带来的有关于高一数学关于三角恒等变化知识点的介绍，希望能够帮助到大家。

高一数学三角恒等变换知识点三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果.化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值;(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少;(3)分式中的分母尽量不含根式等.1.求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.2.三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等.(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β，α=(α-β)+β，α+β2=α-β2+β-α2，α2是α4的二倍角等.(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式.(4)消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异.高一数学期末综合复习题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。

⾼⼀数学三⾓函数基本公式 三⾓函数是⾼中的⼀个重要知识点，是经常要考察的内容，下⾯百分⽹店铺为⼤家整理了⾼⼀数学三⾓函数的基本公式，希望能对⼤家有帮助，更多内容欢迎关注应届毕业⽣⽹！ 公式⼀： 设α为任意⾓，终边相同的⾓的同⼀三⾓函数的值相等： sin（2kπ+α）= sinα cos（2kπ+α）= cosα tan（2kπ+α）= tanα cot（2kπ+α）= cotα 公式⼆： 设α为任意⾓，π+α的三⾓函数值与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π+α）= —sinα cos（π+α）= —cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα 公式三： 任意⾓α与 —α的三⾓函数值之间的关系： sin（—α）= —sinα cos（—α）= cosα tan（—α）= —tanα cot（—α）= —cotα 公式四： 利⽤公式⼆和公式三可以得到π—α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π—α）= sinα cos（π—α）= —cosα tan（π—α）= —tanα cot（π—α）= —cotα 公式五： 利⽤公式—和公式三可以得到2π—α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（2π—α）= —sinα cos（2π—α）= cosα tan（2π—α）= —tanα cot（2π—α）= —cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三⾓函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= —sinα tan（π/2+α）= —cotα cot（π/2+α）= —tanα sin（π/2—α）= cosα cos（π/2—α）= sinα tan（π/2—α）= cotα cot（π/2—α）= tanα sin（3π/2+α）= —cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= —cotα cot（3π/2+α）= —tanα sin（3π/2—α）= —cosα cos（3π/2—α）= —sinα tan（3π/2—α）= cotα cot（3π/2—α）= tanα （以上k∈Z） 【拓展】⾼⼀数学三⾓函数的解题思路 第⼀：三⾓函数的重要性，即使你⾼⼀勉强过了，我希望你能在暑假好好学习三⾓函数知识。

三角函数的恒等变换公式三角函数是数学中一个重要的分支，它在几何、物理以及工程等领域有着广泛的应用。

而恒等变换公式则是在三角函数中非常重要的一种工具和概念，它们可以用来简化复杂的三角函数表达式，提供了计算和推导的便捷方法。

首先，让我们来看一下最基本的恒等变换公式：1. 正弦函数：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这是正弦函数和余弦函数最基本的恒等变换，它表明在任意角度x下，正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1、这个公式是三角函数最基本的性质之一，也被称为“单位圆上的三角恒等式”，其几何意义是：一个点在单位圆上的x坐标的平方加上y坐标的平方等于1利用这个基本的恒等式，我们可以推导出其他的一些恒等变换公式：2. 余弦函数：1 + tan^2(x) = sec^2(x)1 + cot^2(x) = csc^2(x)这两个公式是针对余弦函数的恒等变换，第一个公式表明在任意角度x下，正切函数的平方加上1等于正割函数的平方，第二个公式表明在任意角度x下，余切函数的平方加上1等于余割函数的平方。

这两个公式与第一个公式的推导思路相同，都是通过将正弦函数和余弦函数转化为正切函数和余切函数，然后利用基本的恒等式得出的。

除了以上的一些基本的恒等变换公式外，还有许多其他的恒等变换公式，包括：3. 正弦函数的偶函数性质：sin(-x) = -sin(x)这个公式表明正弦函数是一个偶函数，即在任意角度x和-x下，正弦函数的值相等，且符号相反。

这个公式可以通过正弦函数定义的三角形来解释，当角度x和-x的终边相对于x轴的位置镜像对称时，正弦函数的值相等，符号相反。

4. 余弦函数的偶函数性质：cos(-x) = cos(x)这个公式表明余弦函数也是一个偶函数，即在任意角度x和-x下，余弦函数的值相等。

这个公式也可以通过余弦函数定义的三角形来解释，当角度x和-x的终边相对于y轴的位置镜像对称时，余弦函数的值相等。

5. 正弦函数的奇函数性质：sin(pi - x) = sin(x)这个公式表明正弦函数是一个奇函数，即在任意角度x和pi-x下，正弦函数的值相等，且符号相反。

《三角函数恒等变换》知识归纳与整理一、 基本公式1、必须掌握的基本公式（1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±)( 同名乘积的和与差S C C S S βαβαβα±=±)( 异名乘积的和与差T T T T T βαβαβα1)(±=±（2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22=S C S C C 222222112ααααα-=-=-= 差点等于1T T T2212ααα-=（3） 半角的三角函数212C Sαα-±=212C C αα+±=C C Tααα+-±=112θθθθθs i n c o s1c o s 1s i n 2-=+=T2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差][21)()(C C C C βαβαβα-++= =S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-=（2） 和差化积][222C S S S βαβαβα-+=+][222C S S S βαβαβα+-=-][222C C C C βαβαβα-+=+][222S S C C βαβαβα-+-=-（3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式）T T S 22212ααα+=T T C 222211ααα+-=T T T 22212ααα-=（4） 辅助角公式)s i n (c o s s i n22ϕ++=+x x b x a b a其中：ab=ϕtan常见的几种特殊辅助角公式：① )4sin(2cos sin π+=+x x x ② )3sin(2cos 3sin π+=+x x x③)6sin(2cos sin 3π+=+x x x ④ )4s i n (2c o s s i nπ-=-x x x⑤ )3s i n (2c o s 3s i nπ-=-x x x ⑥ )6s i n (2c o s s i n 3π-=-x x x二、 理解证明1、两个基本公式的证明①S S C C C βαβαβα-=+)(的证明方法：在单位圆内利用两点间的距离公式证明。

三角函数恒等变换以下是一些常见的三角函数恒等变换：1.倍角恒等变换：- $sin(2\theta) = 2sin(\theta)cos(\theta)$- $cos(2\theta) = cos^2(\theta) - sin^2(\theta)$- $tan(2\theta) = \dfrac{2tan(\theta)}{1 - tan^2(\theta)}$ 2.二倍角恒等变换：- $sin^2(\theta) = \dfrac{1 - cos(2\theta)}{2}$- $cos^2(\theta) = \dfrac{1 + cos(2\theta)}{2}$- $tan^2(\theta) = \dfrac{1 - cos(2\theta)}{1 +cos(2\theta)}$3.半角恒等变换：- $sin(\dfrac{\theta}{2}) = \sqrt{\dfrac{1 -cos(\theta)}{2}}$- $cos(\dfrac{\theta}{2}) = \sqrt{\dfrac{1 +cos(\theta)}{2}}$- $tan(\dfrac{\theta}{2}) = \sqrt{\dfrac{1 - cos(\theta)}{1 + cos(\theta)}}$4.和差恒等变换：- $sin(\alpha \pm \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) \pmcos(\alpha)sin(\beta)$- $cos(\alpha \pm \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) \mpsin(\alpha)sin(\beta)$- $tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{tan(\alpha) \pmtan(\beta)}{1 \mp tan(\alpha)tan(\beta)}$5.三角函数的互换恒等变换：- $sin(\theta) = \dfrac{1}{csc(\theta)}$- $cos(\theta) = \dfrac{1}{sec(\theta)}$- $tan(\theta) = \dfrac{1}{cot(\theta)}$6.倒角恒等变换：- $sin(\dfrac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\dfrac{1 -cos(\theta)}{2}}$- $cos(\dfrac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\dfrac{1 +cos(\theta)}{2}}$- $tan(\dfrac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\dfrac{1 -cos(\theta)}{1 + cos(\theta)}}$这些恒等变换是通过三角函数的周期性和基本关系，以及三角函数的平方和差关系等性质推导得到的。

高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而三角恒等变换则是在解决三角函数方程和简化三角函数式子时经常用到的重要工具。

本文将总结常用的三角恒等变换公式，并介绍其应用技巧。

一、基本恒等变换公式1. 余弦函数的基本恒等变换(1) 余弦函数的平方形式：cos²θ + sin²θ = 1(2) 二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ(3) 余弦函数的和差角公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ2. 正弦函数的基本恒等变换(1) 正弦函数的平方形式：sin²θ + cos²θ = 1(2) 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ(3) 正弦函数的和差角公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ3. 正切函数的基本恒等变换(1) 正切函数的平方形式：tan²θ + 1 = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ(2) 二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、常用恒等变换公式1. 互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθ2. 余角公式：sin(π - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθtan(π - θ) = -tanθ3. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 积化和差公式：sinθsinφ = (1/2)[cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]cosθcosφ = (1/2)[cos(θ - φ) + cos(θ + φ)]sinθcosφ = (1/2)[sin(θ + φ) + sin(θ - φ)]三、恒等变换的应用技巧1. 解三角函数方程：利用恒等变换可以将复杂的三角函数方程转化为简单的等式，从而更容易求解。

三角函数恒等变换公式在数学中，三角函数恒等变换公式是十分重要的内容，它可以帮助我们更好地理解三角函数的变换原理，从而为我们解决更复杂的数学问题提供依据。

本文简要介绍三角函数恒等变换公式的原理，并举例说明恒等变换公式的应用。

一、什么是三角函数恒等变换公式三角函数恒等变换公式是一种将三角函数表达式按照一定规则变换后得到另一个三角函数表达式的公式。

其基本原理是，当一个三角函数表达式中的函数值保持不变而只是变换其中变量的取值时，所得到的新的三角函数表达式的函数值也一定不变。

其具体的恒等变换公式可以概括为：A sin(Bx+C)+D=sin(Ex+F)+GA cos(Bx+C)+D=cos(Ex+F)+G其中，A，B，C，D，E，F，G为常数。

在此公式中，将上面的变量取指定值后，右边的函数值等于左边的函数值，即两边函数表达式的函数值相等，达到了恒等变换的目的。

二、恒等变换公式的应用三角函数恒等变换公式具有重要的数学意义，它可以让我们将一个非常复杂的函数表达式转换成另一个更为简单的函数表达式，这在很多实际的数学问题中可以减少我们的计算工作量，也可以提高计算的准确性和精确性。

举例来说，设有一个函数y=sin(2x+3)，根据恒等变换公式可知，将其中的2变为1/2，将3变为-π/2，可以将函数变为y=cos(x-π/2)，其中变量x是函数y所在的实域，显然，新函数比原来的函数简单多了。

此外，还有其他恒等变换公式，可以用来将某一三角函数表达式变换为另一个三角函数表达式，例如tan(A+B)=tanA+tanB，cot(A+B)=cotA-cotB等等，随着具体问题的不同，恒等变换公式也不尽相同。

三、总结三角函数恒等变换公式是数学中比较重要的内容，它可以帮助我们将一个复杂的函数表达式变换为另一个更为简单的函数表达式，从而大大简化我们解决数学问题的工作量，同时也可以提高计算的准确性和精确性。

因此，如果我们在解决数学问题的时候遇到三角函数的变换，就可以借助恒等变换公式来简化工作量，使得计算更加规范、精确。

三角恒等变换公式大全三角函数是数学中的重要概念，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

而三角恒等变换公式则是三角函数中的重要内容之一，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。

本文将为大家详细介绍三角恒等变换公式的相关知识，并列举一些常用的三角恒等变换公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。

首先，我们来了解一下什么是三角恒等变换公式。

三角恒等变换公式是指在三角函数中，存在一些等式关系，通过这些等式关系，我们可以将某个三角函数表达式变换成另一个等价的三角函数表达式。

这些等式关系通常是由三角函数的定义和性质推导出来的，它们可以帮助我们简化三角函数的计算和推导过程。

接下来，我们将介绍一些常用的三角恒等变换公式。

首先是正弦函数和余弦函数的恒等变换公式：\[。

\sin^2 x + \cos^2 x = 1。

\]这个公式被称为三角恒等式的基本恒等式，它是由正弦函数和余弦函数的定义推导出来的。

通过这个公式，我们可以将一个三角函数表达式中的正弦函数或余弦函数用另一个三角函数来表示，从而简化计算。

除了基本恒等式外，还有一些常用的三角恒等变换公式，如双角和半角公式、和差化积公式等。

这些公式在三角函数的计算和推导中都有着重要的应用，它们可以帮助我们解决一些复杂的三角函数表达式，加快计算速度，提高工作效率。

另外，三角恒等变换公式还可以帮助我们简化一些三角函数的积分和微分运算。

通过恒等变换，我们可以将一些复杂的三角函数积分或微分转化成更简单的形式，从而更方便地进行计算。

这对于一些需要频繁进行三角函数积分和微分运算的工程和科学问题来说，具有非常重要的意义。

总之，三角恒等变换公式是三角函数中的重要内容，它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，加快计算速度，提高工作效率。

通过学习和掌握三角恒等变换公式，我们可以更加轻松地解决一些三角函数相关的问题，为我们的工作和学习带来便利。

希望本文介绍的内容对大家有所帮助，也希望大家能够深入学习和应用三角恒等变换公式，发挥它们在实际问题中的作用。

三角恒等变换所有公式三角恒等变换是指三角函数之间相互转化的一系列公式，利用这些公式可以简化三角函数的计算与证明。

下面是一些常用的三角恒等变换公式（完整版）：1.倍角公式：- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta =2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$2.半角公式：- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}}$3.和差公式：- $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm\cos\alpha\sin\beta$- $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp\sin\alpha\sin\beta$- $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm\tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4.二倍角公式：- $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$- $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$- $\tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$5.和差化积公式：- $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))$- $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta))$- $\sin\alpha\cos\beta =\frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))$6.积化和差公式：- $\sin\alpha+\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\sin\alpha-\sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$7.和差化积与积化和差的关系：- $\sin\alpha\pm\sin\beta =2\sin\left(\frac{\alpha\pm\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha \mp\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha+\cos\beta =2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$- $\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$8.和差化积的平方形式：- $\sin^2\alpha+\sin^2\beta = 1 -\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$- $\cos^2\alpha+\cos^2\beta = 1 +\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$这些公式在解三角方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等方面有重要应用。

2 三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β)) 知识梳理tan(α＋β)＝ tan α＋tan β(T1－tan αtan β(α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S )tan α－tan β(α－β)tan(α－β)＝(T (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β)) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α (S 2α)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α (C 2α) 1＋tan αtan βtan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α(T 2α)3．公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下： 降幂公式：cos 2α 1＋cos 2α 21－cos 2α 正切和差公式变形： ＝ 2 ，sin α＝ 2 ，tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α tan αtan β＝1 tan α＋tan β tan α－tan β 1.αα － tan (α＋β) ＝ tan (α－β) － 1＋cos α＝2cos 2 ，1－cos α＝2sin 22. 配方变形：1＋sin α＝ αα 2， (sin 2＋cos 2) 1－sin α＝ α α 24．辅助角公式a sin α＋b cos α ＝ a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中 tan φb(sin 2－cos 2) . ＝a .典例剖析题型一 给角求值例 1 (1) 计算 cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值为 ．(2)计算 sin 110°sin 20° 的值为．cos 2155°－sin 2155° s in 47°－sin 17°cos 30°变式训练 cos 17°＝ ．解题要点 解题时先看角，观察是否有 30°、60°、90°等特殊角，或是观察能否通过变形凑配出这些特殊角.再看所求式结构，选用合适的三角恒等式对原式进行变形处理.在解题时还要注意对公式进行正用、逆用，要掌握常见的变式.＋6＝ －6 题型二 给值求值⎛π ⎫例 2 已知 α∈⎝2，π⎭，sin α＝5 (1)求 sin ⎛π＋α⎫的值；⎝4 ⎭ ⎛5π ⎫ (2)求 cos ⎝ 6 －2α⎭的值． 题型三 利用角的凑配求值2 ⎛βπ⎫ 1⎛ π⎫例 3 已知 tan(α＋β)＝5，tan ⎝ －4⎭＝4，那么 tan ⎝α＋4⎭等于．11⎛0 π⎫变式训练 已知 cos α＝3，cos(α＋β)＝－3，且 α，β∈⎝ ，2⎭，则 cos(α－β)的值等于．解题要点 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时， “所求角”一般凑配为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 2．常见的凑配技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，βα＋β α－β αα＋β α－β α－β (α β)－ αβ)题型四 辅助角公式＝ 2 －2 ， ＝ 2 ＋2 ， 2 ＝ ＋2(2＋例 4 (2015 安徽文)已知函数 f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求 f (x )的最小正周期；⎡0 π⎤(2)求 f (x )在区间⎣ ，2⎦上的最大值和最小值．变式训练 函数 f (x )＝ 3sin x ＋π x )的最大值为．cos(3＋解题要点 利用辅助角公式将 a sin x ＋b cos x 化为 A sin(ωx ＋φ)是常见的题型，转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．对于计算形如 y ＝sin(ωx ＋φ), x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，则务必注意角度范围，最好是画出函数图像，观察所给函数在指定范围内是否越过图像的“波峰”或“波谷”.练习题1．(2015 新课标Ⅰ理)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝ ．2 sin α＋cos α 1．若 ＝2，则 tan2α＝．sin α－cos α3. 已知 cos(α π) sin(2α π)的值为 ．4．若函数 f (x )＝sin 2(x π ＋cos 2(x π－1，则函数 f (x )是．＋4) －4) ① 周期为 π 的偶函数 ② 周期为 2π 的偶函数 ③ 周期为 2π 的奇函数④ 周期为 π 的奇函数 5．(2015 北京理)已知函数 f (x )＝xx －2x(1)求 f (x )的最小正周期；2sin2cos22sin 2.(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．。

三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。

来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。

高一数学三角函数三角恒等变换解三角形试题答案及解析1.(本小题满分12分)已知函数．(1)化简；(2)已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；(3)若方程有解，求实数a的取值范围．【答案】（1）f(x)（2）（3）【解析】(1)························· 4分(2) ∵由∴的递增区间为∵在上是增函数∴当k = 0时，有∴解得∴的取值范围是····················· 8分(3) 解一：方程即为从而问题转化为方程有解，只需a在函数的值域范围内∵当；当∴实数a的取值范围为················ 12分解二：原方程可化为令，则问题转化为方程在［– 1，1］内有一解或两解，设，若方程在［– 1，1］内有一个解，则解得若方程在［– 1，1］内有两个解，则解得∴实数a的取值范围是［– 2，］2.已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，A、B、C分别为三边所对的角，若a=f（A）=1，求的最大值．【答案】（1），单调增区间；（2）【解析】（1）首先借助于基本三角函数公式将函数式化简为的最简形式，周期由的系数求解，求增区间需令，解得的范围得到单调区间；（2）中由的值求得角，借助于三角形余弦定理可得到关于两边的关系式，进而结合不等式性质得到关于的不等式，求得范围试题解析：（1），所以函数的最小正周期为．由得所以函数的单调递增区间为．（2）由可得，又，所以。