三角函数恒等变换复习

专题02三角函数 三角恒等变换（难点）一、单选题1．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0>ω，||2πϕ≤)，满足06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭且对于任意的x ∈R 都有2()3f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为（ ） A ．5 B ．7C ．9D ．11【答案】C 2．设函数()cos (0)4f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[[0,2]π有且仅有4个零点，下述四个结论：①()1f x =在[0,2]π有且仅有2个零点；②()1f x =-在[0,2]π有且仅有2个零点；③ω的取值范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭；④()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其中正确个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【解析】 由[0,2]xπ时，得到,2444x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，根据()f x 在[[0,2]π有且仅有4个零点，则24ππω-在第4个零点和第5个零点之间，然后利用余弦函数的性质求解.当[0,2]xπ时，,2444x πππωπω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在[[0,2]π有且仅有4个零点， 所以24ππω-在第4个零点和第5个零点之间，所以792242ππππω≤-<， 解得151988ω<≤，故③正确； 当()1f x =时，2,4x k k Z πωπ-=∈，又924244x πππππωω-≤-≤-<，0,1,2k ∴=，结合cos y x =知()1f x =最多有3个零点，故①错误；当()1f x =-时，2,4x k k Z πωππ-=+∈，又924244xπππππωω-≤-≤-<， 0,1k ∴=，结合cos y x =()1f x =-有且仅有2个零点，故②正确；当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,44104x πππωπω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，因为151988ω<≤，所以,1041680πωπππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则0104πωπ-<，所以()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故④正确； 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用整体思想，根据()f x 在[[0,2]π有且仅有4个零点，确定792242ππππω≤-<，求得ω的范围，其他问题迎刃而解. 3．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，ϕπ<）的部分图像如图所示，若存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==，则()12cos x x -=（ ）A ．7B 7C ．34D ．34-【答案】C 【解析】根据图象求出函数的解析式，结合对称性求出2123x x π=-，然后利用三角函数的诱导公式进行转化，即可求解.由图象可得函数的周期为13762()2121212T ππππ=⨯-=⨯=，即2wππ=，解得2w =， 又由当7135121226x πππ+==时，函数55()sin(2)166f ππϕ=⨯+=-，即532,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=-∈， 当0k=时，6πϕ=-，即()sin(2)6f x x π=-，因为存在120x x π≤<≤，满足()()1234f x f x ==， 所以1112666x πππ-≤-≤，则11222,266x x ππθθ=-=-关于2π对称， 即12226622x x πππ-+-=，可得2123x x π=-，且13sin(2)64x π-=， 则()1212cos cos(2)3x x x π-=-， 设126x πα-=，则126x πα=+，即3sin 4α=，则()121223cos cos(2)cos()cos()sin 36324x x x ππππααα-=-=+-=-==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了三角函数值的计算，结合条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性以及三角函数的诱导公式进行转化是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m ，筒车的轴心O 到水面的距离为1m ，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即0P 时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M 从0P 运动到点P 时所用时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）.若以筒车的轴心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy （如图2），则h 与t 的函数关系式为（ ）A ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞B ．2sin 1156h t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞ C ．2sin 16h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞ D ．2sin 16h t ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，[)0,t ∈+∞ 【答案】A 【解析】首先先求以OP 为终边的角为156t ππ-，再根据三角函数的定义求点P 的纵坐标，以及根据图形表示()h t .06xOP π∠=，所以0OP 对应的角是6π-，由OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=， 可知以Ox 为始边，以OP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为2sin 156t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以点P 距水面的高度()h m 表示为()t s 的函数是2sin 1156h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以OP 在()t s 内转过的角为226015t t ππ⨯=，再求以OP 为终边的角为156t ππ-.5．已知函数()()x f x ωϕ=+（0>ω）的一个对称中心为,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且将()y f x =的图象向右平移6π个单位所得到的函数为偶函数.若对任意ω，不等式22226m fm πω⎡⎤⎛⎫+⋅-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．94,55⎛⎫-⎪⎝⎭B ．49,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．94,,55⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．49,,55⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由,04π⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，可得()4k k Z ωπϕπ+=∈，由平移后的函数为偶函数可得62()k Z k πωϕππ+-+=∈，可求得ω的关系式及min ω，由6f π⎛⎫-= ⎪⎭⎝22m m ω+>恒成立，转化为()22min m m ω-<恒成立，结合min ω可求得实数m 的取值范围.,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()()x f x ωϕ=+（0>ω）的一个对称中心， ()4k k Z ωπϕπ∴+=∈①()y f x =的图像向右平移6π个单位得到的函数为6x y ωωϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， in 62s x y ωωϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝π⎭为偶函数，62()k Z k ϕπωππ+∴-+=∈②由①②可知，1225()k k Z πω=ππ∈+-，解得：()1()25k k Z ω6-=∈又662f k ππϕπω⎛⎫⎛⎫+= π⎛⎫-=-=+ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以对任意ω，不等式22226m fm πω⎡⎤⎛⎫+⋅-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦恒成立，即22m m ω+>恒成立 即()22minm m ω-<恒成立，又()1()25k k Z ω6-=∈且0>ω，min 5ω∴=6 225m m 6⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，解得：455m 9-<<所以实数m 的取值范围是49,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图像在()y g x = 上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.6．设cos50cos127cos 40cos37a =︒⋅︒+︒⋅︒，)sin 56cos562b =︒-︒，221tan 391tan 39c -︒=+︒，()21cos802cos 5012d =︒-︒+，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ） A ．a b d c >>> B ．c a b d >>> C ．b a d c >>> D ．a c b d >>>【答案】D 【解析】化简得到cos77a =︒，cos 79b =︒，cos 78c =︒，cos80d =︒，得到答案.cos50cos127cos 40cos37sin 40sin 37cos 40cos37cos77a =︒⋅︒+︒⋅︒=-︒︒+︒⋅︒=︒；)sin 45sin sin 5566cos c 56os 45cos56cos101cos79b =︒︒-︒︒=-︒==︒-︒︒； 22221tan 39cos 39sin 39cos781tan 39c -︒==︒-︒=︒+︒； ()222cos 1cos 40cos 50cos80802cos 5012d =︒=︒--︒=︒+︒. 根据余弦函数的单调性知：a c b d >>>. 故选：D . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数的单调性，意在考查学生的综合应用能力. 7．将函数()3cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移3π个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()gx 的图象，若()()1216g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．133π B ．103π C ．52π D ．256π 【答案】A 【解析】根据三角函数平移变换,先求得()gx 的解析式.根据()()1216g x g x =,可知()()124g x g x ==-,即12cos 21,cos 2133x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.根据[]12,2,2x x ππ∈-可分别求得12x 的最大值和2x 的最小值,即可求得122x x -的最大值.根据平移变换将函数()3cos 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移3π个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度, 可得()3cos 213gx x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭由()()1216gx g x =,可知()()124g x g x ==- 即12cos 21,cos 2133x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]12,2,2x x ππ∈-所以12111311132,,2,333333x x ππππππ⎡⎤⎡⎤+∈-+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦123x π+的最大值为3π,223x π+的最小值为3π-则12x 的最大值为83π,2x 的最小值为53π- 所以122x x -的最大值为8513333πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭故选:A 【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题. 8．设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中m 、n 、α、β为已知实常数，x ∈R ，有下列四个命题：（1）若(0)02f f ⎛⎫==⎪⎝⎭π，则()0f x =对任意实数x 恒成立；（2）若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；（3）若02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，则函数()f x 为偶函数；（4）当22(0)02f f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭π时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-=（k Z ∈）；则上述命题中，正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】利用两角和的余弦公式化简()f x 表达式. 对于命题（1），将(0)0,02f f π⎛⎫==⎪⎝⎭化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出（1）选项的真假； 对于命题（2）选项，将(0)0f =化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为奇函数，由此判断出（2）选项的真假；对于命题（3）选项，将()02f π=化简得到的表达式代入上述()f x 表达式，可判断出()f x 为偶函数，由此判断出（3）选项的真假； 对于命题（4）选项，根据22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭、()()120f x f x ==，求得()f x 的零点的表达式，进而判断出（4）选项的真假.()(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )f x m x x n x x ααββ=-+-(cos cos )cos (sin sin )sin m n x m n x αβαβ=+-+不妨设()()11221122()cos cos cos sin sin sin f x k k x k k x αααα=+-+．1212,,,k k αα为已知实常数.若(0)0f =，则得1122cos cos 0k k αα+=；若()02f π=，则得1122sin sin 0k k αα+=．于是当(0)02f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭π时，()0f x =对任意实数x 恒成立，即命题（1）是真命题； 当(0)0f =时，()1122()sin sin sin f x k k x αα=-+，它为奇函数，即命题（2）是真命题； 当()02f π=时，()1122()cos cos cos f x k k x αα=+，它为偶函数，即命题（3）是真命题；当22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭时，令()0f x =，则()()11221122cos cos cos sin sin sin 0k k x k k x αααα+-+=，上述方程中，若cos 0x =，则sin 0x =，这与22cos sin 1x x +=矛盾，所以cos 0x ≠．将该方程的两边同除以cos x 得11221122cos cos tan sin sin k k x k k αααα+=+，令11221122cos cos sin sin k k t k k αααα+=+ （0t ≠），则 tan x t =，解得 arctan x k t π=+ （k Z ∈）．不妨取11arctan x k t π=+，22arctan x k t π=+ （1k Z ∈且2k Z ∈），则()1212x x k k π-=-，即12x x k π-= （k Z ∈），所以命题（4）是假命题．故选：C 【点睛】本题考查两角和差公式，三角函数零点，三角函数性质，重点考查读题，理解题和推理变形的能力，属于中档题型.二、多选题9．已知函数()|cos 2|cos ||f x x x =+，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）A ．()f x 在区间33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．π是()f x 的一个周期C ．()f x 的值域为2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．()f x 的图象关于y 轴对称【答案】CD 【解析】代入特殊值检验，可得A 错误；求得(+)f x π的表达式，即可判断B 的正误；分段讨论，根据x 的范围，求得cos x 的范围，利用二次函数的性质，即可求得()f x 的值域，即可判断C 的正误；根据奇偶性的定义，即可判断()f x 的奇偶性，即可判断D 的正误，即可得答案.对于A ：因为33,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，555()cos cos ()cos 2cos 04242f f ππππππ=+=-=+=， 所以5()()4f f ππ<，所以()f x 在区间33,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递增函数，故A 错误； 对于B ：|cos2(|cos ||cos2cos ||cos2cos ||())x x x f x x x x ππππ=++=++≠+++， 所以π不是()f x 的一个周期，故B 错误；对于C ：|cos2(|cos |2|cos2cos ||=((2)2))x x x f f x x x πππ=++=+++，所以()f x 的周期为2π，当[0,]4x π∈时，cos x ∈，2()|cos2|cos ||cos2cos 2cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+∈；当3[,]44x ππ∈时，cos [22x ∈-，2()|cos2|cos ||cos2cos 12cos cos f x x x x x x x =+=-+=-+9[]8∈；当35[,]44x ππ∈时，cos [1,x ∈-，2()|cos2|cos ||cos2cos 2cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+[2∈-；当57[,]44x ππ∈时，cos [22x ∈，2()|cos2|cos ||cos2cos 12cos cos f x x x x x x x =+=-+=-+9[]28∈-；当7[,2]4x ππ∈时，cos x ∈，2()|cos2|cos ||cos2cos 2cos 1cos f x x x x x x x =+=+=-+∈；综上：()f x 的值域为2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 正确； 对于D ：()|cos(2)|cos |()||cos 2|cos ||()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，即()f x 的图象关于y 轴对称，故D 正确， 故选：CD 【点睛】解题的关键是根据的()f x 解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题. 10．设函数()|cos ||cos2|f x x a x b =+++，,a b ∈R ，则（ ）A ．()f x 的最小正周期可能为2π B ．()f x 为偶函数C ．当0ab时，()f x 的最小值为2D ．存a ，b 使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD【解析】 A ．分析()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是否恒成立；B ．分析函数定义域，根据()(),f x f x -的关系判断是否为偶函数；C ．采用换元法，将()f x 写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D ．分析1a b ==-时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断.A ．因为cos cos 2sin cos 2222f x x a x b x a x b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()011,12f a b f a b π⎛⎫=+++=-+⎪⎝⎭，所以()02f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭不一定成立， 所以()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不恒成立，所以()f x 的最小正周期不可能为2π，故错误；B ．因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称；又因为()()()()cos cos 2cos cos 2f x x a x b x a x b f x -=-++-+=+++=， 所以()f x 为偶函数，故正确；C ．因为0ab，所以()cos cos2f x x x =+，所以()2cos 2cos 1f x x x =+-令[]cos 1,1x t =∈-，记[]221,1,1y t t t =+-∈-，所以222221,1,221,21,0,221,,12t t t t t t y t t t t t t ⎧⎡--∈--⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪--+∈⎪⎢⎪⎪⎪⎣⎭=⎨⎡⎪-++∈⎢⎪⎣⎭⎪⎪⎤⎪+-∈⎥⎪⎣⎦⎩，当1,t ⎡∈-⎢⎣⎭时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=--=-->---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当t ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，222191921224848y t t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-++≥-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2t ⎡∈⎢⎣⎭时，222191921224848y t t t ⎫⎛⎫=-++=--+>--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2t ⎤∈⎥⎣⎦时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上可知：()2cos 2cos 1f x x x =+-cos t x ==D ．取1a b ==-，所以()|cos 1||cos21|f x x x =-+-，所以()1cos 1cos2f x x x =-+-，所以()22cos cos 3f x x x =--+，所以()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，又因为cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0,1x ∈，且2125248y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()0,1t ∈时单调递减，根据复合函数的单调性判断方法可知：()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以存在1a b ==-使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故正确，故选：BCD. 【点睛】思路点睛：复合函数()()f g x 的单调性的判断方法：（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性； （2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数； （3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.11．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ≤）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，3OCB π∠=，||2OA =，3AD =.则下列说法正确的有（ ）.A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增【答案】ACD 【解析】3sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据221||AD =，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论．解：由题意可得：||3|OB OC =，∴3sin |2A πϕω=+，sin(2)0ωϕ+=，(2,0)A ，(2B πω+，0)，(0,sin )C A ϕ．(12D πω∴+，sin )2A ϕ， 221||AD =，∴22228(1)243A sin πϕω-+=， 把|sin |)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240ππωω-⨯-=，0>ω． 解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ωπ==．sin()03πϕ∴+=，||2πϕ，解得3πϕ=-．可知：B 不对．∴3sin()|263A π-=+，0A >，解得163A =．∴函数16()sin()363f x x ππ=-， 可知C 正确．(14,17)x ∈时，()(263x πππ-∈，5)2π，可得：函数()f x 在(14,17)x ∈单调递增． 综上可得：ACD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题． 12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（ ） A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数 B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD 【解析】根据3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到21k ω=+，根据单调区间得到3ω≤，得到1ω=或3ω=，故CD 正确，代入验证知()f x 不可能为偶函数，A 错误，计算得到B 正确，得到答案.08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ， 故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误； 当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭； 当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查了三角函数的性质和参数的计算，难度较大，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 三、填空题13．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号)①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈；④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.【答案】②④⑤ 【解析】由题设新定义知：1sec cos αα=，1csc sin αα=，1cot tan αα=，由31cot 34tan 4ππ=、1sin csc sin sin αααα⋅=⋅、1sec =cos y x x =、2224sec csc sin 2ααα+=以及正切二倍角公式，即可判断各项的正误.①31cot134tan4ππ==-，故错误； ②1sin csc sin =1sin αααα⋅=⋅，故正确； ③1sec =cos y x x =，即cos 0x ≠，有|,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故错误； ④22222221114seccsc 4cos sin cos sin sin 2ααααααα+=+==≥，故正确；⑤212tan cot2,tan 2tan 21tan ααααα==-，所以221tan cot 1cos 22tan 2cot ααααα--==，故正确. 故答案为：②④⑤ 【点睛】关键点点睛：新定义有1sec cos αα=，1csc sin αα=，1cot tan αα=，结合三角恒等变换判断各项的正误.14．已知2()sin ||sin ||f x x x ππ=-，()|ln |g x x =，若对于121,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，122,x e e -⎡⎤∃∈⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是_________．【答案】2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭【解析】先分析题意即()()12min min f x g x ≥，再利用单调性求解()f x 的最小值和()g x 的最小值，解不等式即得结果.依题意，对于121,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦，122,x e e -⎡⎤∃∈⎣⎦使得()()12f x g x ≥，只需()()12min min f x g x ≥. 21,36x ⎡⎤∀∈--⎢⎥⎣⎦时()sin sin sin y x x x πππ==-=-，2,36x πππ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦，0y <，故当232,x πππ⎡⎤--⎢⎣∈⎥⎦，即212,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，sin y x π=单调递增， 当2,6x πππ⎡-∈⎤-⎢⎥⎣⎦，即1261,x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，sin y x π=单调递减. 而函数2()f x x x=-，显然在(),0x ∈-∞单调递减. 故根据复合函数单调性可知，2()sin ||sin ||f x x x ππ=-在212,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递减，在1261,x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，故min 122()sin 11221sin 2f x f ππ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭. 对于12,x e e -⎡⎤∈⎣⎦，()|ln |g x x =，当1,1x e -⎡⎤∈⎣⎦时ln 0x ≤，故()ln g x x =-是单调递减的，当(21,x e ⎤∈⎦时ln 0x >，故()ln g x x =是单调递增的，故min()(1)|ln1|g x g ===.故依题意知，1≥，即2m ≥-.所以实数m的取值范围是2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x >成立，故()()12a min m x f x g x >； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x >成立，故()()12min min f x g x >；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x >成立，故()()12max min f x g x >； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集.15．关于函数()sin cos |sin cos |f x x x x x =++-，下列说法正确．．的是___________（将正确的序号写在横线上）（1）()f x 是以2π为周期的函数； （2）当且仅当52,4x k k Z ππ=+∈时，函数取得最小值 （3）()f x 图像的对称轴为直线,4x k k Z ππ=+∈；（4）当且仅当322,2k x k k Z ππππ+<<+∈时，()0f x <. 【答案】(1)(2)(4) 【解析】由函数解析式，转化为分段函数的形式，并画出其函数图象，结合各分段的函数性质，判断它的周期、最小值及对应的自变量值、对称轴、以及()0f x ≤<对应的区间，即可判断各项的正误.由题设，52sin ,2244()592cos ,2244x k x k f x x k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪=⎨⎪+≤≤+⎪⎩，k Z ∈，∴(2)sin(2)cos(2)|sin(2)cos(2)|sin cos |sin cos |()f x x x x x x x x x f x πππππ+=+++++-+=++-=，所以()f x 周期为2π.由解析式可得()f x 的图象如下：由图知：当且仅当52,4x k k Z ππ=+∈时，函数取得最小值2-()f x 图像的对称轴为直线2,4x k k Z ππ=+∈；当且仅当322,2k x k k Z ππππ+<<+∈时，2()0f x -<. 故答案为：(1)(2)(4).【点睛】关键点点睛：分类讨论并求出()f x 的分段函数形式，进而画出函数图象，应用数形结合的方法判断各项的正误. 16．给出以下命题：①若α、β是第一象限角且αβ<，则tan tan αβ<；②函数sin ,22y x x x ππ⎛⎛⎫=-∈- ⎪ ⎝⎭⎝有三个零点；③函数2sin sin sin 1x xy x +=+是奇函数；④函数1sin 2y x =-的周期是2π；⑤函数2()4sin4cos 1f x x x a =-++-，当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时()0f x =恒有解，则a 的范围是[4,5]-.其中正确命题的序号为____________. 【答案】④⑤ 【解析】根据正切周期性，对①举反例；根据sin x 与x 关系，可解()f x 零点；根据奇函数定义域，判断2sin sin sin 1x xy +=+是非奇非偶函数.对于①，令60,390αβ==，3tan 3,tan tan 303αβ===则①错；对于②，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有sin x x <恒成立，则0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭无零点；又sin y x x =-为奇函数，,02x π⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭，sin y x x =-也无零点；则sin y x x =-只有0x =一个零点，则②错；对于③，求2sin sin sin 1x xy x +=+定义域，sin 1x ≠-则定义域为2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，则③错误； 对于④，函数1sin 2y x =-是函数sin y x =向下平移12个单位，再沿x 轴将下方图像翻折到x 轴上方，故2T π=，则④正确对于⑤，222()4sin 4cos 14cos 4cos 3(2cos 1)4f x x x a x x a x a =-++-=+--=+--当2,43x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，1cos ,12x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦，[]2cos 10,3x ∴+∈，[]2(2cos 1)0,9x ∴+∈使()0f x =恒有解，则2(2cos 1)4x a +=+恒有根[]40,9a ∴+∈，[]4,5a ∴∈-，则⑤正确故答案为：④⑤ 【点睛】本题考查，正切函数周期性、奇偶性定义、翻折变换、三角函数有界性，综合性较强，考查计算能力，有一定难度.四、解答题 17．已知函数()sin cos cos sin f x x x αα=+，()cos cos sin sin g x x x ββ=⋅-⋅，,αβ是参数，x ∈R ，(,)22ππα∈-，(,)22ππβ∈-.（1）若,44ππαβ==，判别()()()h x f x g x =+的奇偶性，若,44ππαβ=-=，判别22()()()h x f x g x =+的奇偶性； （2）若3πα=，()()()t x f x g x =是偶函数，求β；（3）请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例.（不必证明命题）将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）6π；（3）答案见解析. 【解析】化简()f x 和()g x ，（1）化简()h x 的解析式，根据奇偶函数的定义可判断出结果； （2）由()()33t t ππ=-求出6πβ=，再验证()t x 为偶函数； （3）根据（1）或（2）中α和β的值，猜αβ+与αβ-的值与和函数、积函数的奇偶性的关系可得解.()sin cos cos sin f x x x αα=⋅+⋅，()cos cos sin sin g x x x ββ=⋅-⋅ ，()sin()f x x α=+， ()cos()g x x β=+，（1）当,44ππαβ==，所以()sin()cos()sin cos cos sin cos cos sin sin 444444h x x x x x x x ππππππ=+++=++-x =，所以()h x 是偶函数；当,44ππαβ=-=时，221cos(2)1cos(2)22()sin ()cos ()4422x x h x x x ππππ--++=-++=+ 1sin 21sin 21sin 22x x x -+-==-，所以()1sin(2)1sin 2h x x x -=--=+， 因为()()2044h h ππ-+=≠，所以()h x 不是奇函数， 因为()()2sin20442h h πππ--=-=-≠，所以()h x 不是偶函数所以()h x 是非奇非偶函数；（2）因为()()()t x f x g x =⋅为偶函数，所以()()t x t x =-对一切x ∈R 恒成立，所以()()33t t ππ=-，所以()()()()3333f g f g ππππ=--，所以sin()cos()sin()cos()333333ππππππββ++=-+-+，所以cos()03πβ+=，因为(,)22ππβ∈-，所以6πβ=， 当6πβ=时，()sin()cos()36t x x x ππ=++，()sin()cos()36t x x x ππ-=-+-+cos[()]sin[()]2326x x ππππ=--+--+cos()sin()()63x x t x ππ=++=，所以()t x 为偶函数， 综上所述：6πβ=. （3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1、,()()2f xg x παβ+=+是偶函数；2、,()()2f xg x παβ+=-+是奇函数；3、,()()2f xg x παβ-=+是非奇非偶函数；4、,()()2f xg x παβ-=-+是既奇又偶函数；第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1、33,()()2f xg x παβ+=+是偶函数（数字不分奇偶）；2、55,()()2f xg x παβ+=-+是奇函数；44,()()2f xg x παβ+=-+是偶函数（数字只能同奇数）；3、55,()()2f xg x παβ-=+是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）；4、33,()()2f xg x παβ-=-+是既奇又偶函数（数字只能奇数；22,()()2f xg x παβ-=-+是非奇非偶函数；第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 1、33()()f x g x +是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则2παβ+=；2、55()()f x g x +是奇函数（数字只能正奇数），则 2παβ+=-；22()()f x g x +是偶函数（数字只能正偶数），则 2παβ+=- ；3、33()()f x g x +是偶函数（数字只能正奇数），则2παβ-=-；第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，1、2παβ+=的充要条件是()()f x g x +是偶函数，2、55()()f x g x +是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是2παβ+=-；22()()f x g x +是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是2παβ+=-；3、33()()f x g x +是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是 则2παβ-=-；第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以）， 1、*,2n N παβ+=∈时，()()n n f x g x +都是偶函数；2、*,2n N παβ+=-∈时，n 是正奇数，()()n n f x g x +是奇函数；*,2n N παβ+=-∈时，n 是正偶数，()()n n f x g x +是偶函数；3、*,2n N παβ-=-∈，n 奇数，()()n n f x g x +既奇又偶函数； 4、*,2n N παβ-=-∈，n 偶数，()()n n f x g x +是非奇非偶函数.【点睛】关键点点睛：掌握三角恒等变换公式与三角函数的奇偶性是解题关键. 18．已知函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><，()f x 图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差2π，______； （1）①()f x 的一条对称轴3x π=-且()16f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭； ②()f x 的一个对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，且在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；③()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称且(0)0f >从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式； （2）在（1）的情况下，令()()1cos 22h x f x x =-，()()g x h h x =⎡⎤⎣⎦，若存在,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()()()2230g g x a x a +-+-≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）选①②③，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）)⎡+∞⎣. 【解析】（1）根据题意可得出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，根据所选的条件得出关于ϕ的表达式，然后结合所选条件进行检验，求出ϕ的值，综合可得出函数()f x 的解析式；（2）求得()sin 26h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可计算得出()[]0,1h x ∈，进而可得出()1,sin 226g x π⎡⎤⎛⎫∈-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由参变量分离法得出()()211a g x g x ≥+++，利用基本不等式求得()()211g x g x +++的最小值，由此可得出实数a 的取值范围.（1）由题意可知，函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⨯=，22Tπω∴==. 选①，因为函数()f x 的一条对称轴3x π=-，则()232k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-+=+∈ ⎪⎝⎭， 解得()76k k Z πϕπ=+∈， ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π. 若56π=-ϕ，则()52sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()2sin 2162f f ππ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不合乎题意； 若6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2sin 2162f f ππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，合乎题意.所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；选②，因为函数()f x 的一个对称中心5,012π⎛⎫⎪⎝⎭，则()5212k k Z πϕπ⨯+=∈，解得()56k k Z πϕπ=-∈， ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π. 若56π=-ϕ，则()52sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,622x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时，函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，不合乎题意；若6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，532,622x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 此时，函数()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，合乎题意；所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； 选③，将函数()f x 向左平移6π个单位得到的图象关于y 轴对称，所得函数为2sin 22sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于函数2sin 23y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，可得()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，ϕπ<，所以，ϕ的可能取值为56π-、6π. 若56π=-ϕ，则()52sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()502sin 16f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，不合乎题意； 若6π=ϕ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()02sin 16f π==，合乎题意.所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （2）由（1）可知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以，()()11cos 2sin 2cos 22cos 2cos 2262h x f x x x x x x x π⎛⎫=-=+-=+- ⎪⎝⎭12cos 2sin 226x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0262x ππ≤-≤，()01h x ∴≤≤，所以，()22666h x πππ-≤-≤-，所以，()()()1sin 2,sin 2626g x h h x h x ππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫==-∈--⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦， ()11,1sin 226g x π⎡⎤⎛⎫∴+∈+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，2223ππ<<，2362πππ∴<-<sin 216π⎛⎫<-< ⎪⎝⎭， 由()()()2230gg x a x a +-+-≤可得()()()2231g x g x a g x ++≤+⎡⎤⎣⎦，所以，()()()()()()()22122321111g x g x g x a g x g x g x g x ++⎡⎤++⎣⎦≥==+++++， 由基本不等式可得()()211g x g x ++≥=+当且仅当()11,1sin 226g x π⎡⎤⎛⎫+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，等号成立，所以，a ≥【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.19．已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x πωϕωϕωϕ+⎛⎫++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2. （1）求()f x 的解析式.（2）求()()sin cos h x f x x x =++的最大值. （3）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12(纵坐标变)，得到函数()y g x =的图象，当[,]126ππx ∈-时，求函数()g x 的值域. （4）对于第（3）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4[,]63ππx ∈上的根从小到依次为1x ，2x ，n x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值.【答案】（1）()2sin 2f x x =（2）2+3）[-（4）203π【解析】（1）利用三角恒等变换的公式，化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式；（2）令sin cos t x x =+，利用换元法转化为222y t t =+-，[t ∈求最大值即可；（3）利用函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象变换规律，求得函数()g x 的解析式，进而求得函数的值域；（4）由方程4()3g x =，得到2sin(4)33x π-=，根据4[,]63ππx ∈，求得4[,5]33πx ππ-∈，设43x πθ=-，转化为2sin 3θ=，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.（1）由题意，函数2())2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫++- ⎪⎝⎭)cos()2sin()6x x x πωϕωϕωϕ=+-+=+-因为函数()f x 图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以T π=，可得2ω=，又由函数()f x 为奇函数，可得()02sin()06f πϕ=-=，所以,6k k Z πϕπ-=∈，因为0πϕ<<，所以6π=ϕ，所以函数()2sin 2f x x =.（2）()()sin cos 2sin 2sin cos h x f x x x x x x =++=++，令sin cos )[4t x x x π=+=+∈，则212sin cos t x x =+，所以222y t t =+-，[t ∈，因为对称轴14t =-， 所以当2t=时，max 22y =+，即()h x 的最大值为22+.（3）将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度，可得2sin(2)3y x π=-的图象，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin(4)3y g x x π==-的图象，当[,]126ππx ∈-时，24[,]333x πππ-∈-， 当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x 取得最大值，最小值为3，故函数()g x 的值域[2,3]-. （4）由方程4()3g x =，即42sin(4)33x π-=，即2sin(4)33x π-=， 因为4[,]63ππx ∈，可得4[,5]33πx ππ-∈， 设43x πθ=-，其中[,5]3πθπ∈，即2sin 3θ=， 结合正弦函数sin y θ=的图象，如图可得方程2sin 3θ=在区间[,5]3ππ有5个解，即5n =，其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=，即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-= 解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+=所以122331443552420()()()()2223x x x x x x x x x x x x x π=+++++++=+++++. 【点睛】关键点点睛：解决三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先正确的将已知条件转化为三角函数解析式和图象，然后再根据数形结合思想研究函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界函数等概念.20．已知向量3sin π2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππsin ,cos 22b x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数3()f x a b =⋅-.（1）求()f x 的最小正周期及()f x 图象的对称轴方程；（2）若先将()f x 的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，求函数()15y g x =-在区间[]π,3π-内的所有零点之和.【答案】（1）最小正周期为π，对称轴方程为5ππ,122k x k =+∈Z ；（2）6π. 【解析】（1）结合向量的数量积的坐标运算，化简求得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据三角函数的图象变换，求得()sin gx x =，结合函数的零点的概念和正弦函数的图象的性质，即可求解.（1）由题意，向量3sin π2a x x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππsin ,cos 22b x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3()f x a b =⋅-π3ππsin sin cos 2222x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos sin )(sin )x x x x =⋅+-⋅-1sin 2cos 2)2x x =+-πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 可得22ππ2T w π===，即函数的最小正周期为π， 令ππ2π,32x k k -=+∈Z ，解得5ππ,122k x k =+∈Z所以函数()f x 的最小正周期为π，对称轴方程为5ππ,122k x k =+∈Z . （2）由（1）知()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 将()f x 的图象上每个点横坐标变为原来的2倍，可得πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后将πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭向左平移π3个单位长度得到函数()sin g x x =，令1()05g x -=，即1sin 5x =， 由图可知，1sin 5x =在[π,3π]-上有4个零点：1x ，2x ，3x ，4x ，根据对称性有12π22x x +=，345π22x x +=， 所以所有零点和为12346πx x x x +++=.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，三角函数的图象变换，以及向量的数量积运算，函数与方程等知识点的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 21．已知向量33cos,sin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数()1f x a b m a b =⋅-++，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，m R ∈.（1）当0m =时，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）若()f x 的最小值为1-，求实数m 的值；（3）是否存在实数m ，使函数()()22449g x f x m =+，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有四个不同的零点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.。

三角恒等变换专题复习教学目标：1、能利用单位圆中的三角函数线推导出 απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式；2、理解同角三角函数的基本关系式：；3、可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题; 教学重难点：可熟练运用三角函数见的基本关系式解决各种问题 基础知识一、同角的三大关系：① 倒数关系 tan α•cot α=1 ② 商数关系 sin cos αα= tan α ； cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=温馨提示：1求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解;来源:学+科+网2利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号;二、诱导公式口诀：奇变偶不变,符号看象限用诱导公式化简,一般先把角化成,2k z α+∈的形式,然后利用诱导公式的口诀化简如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”；符号看象限是,把α看作是锐角,判断角2k πα+在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面;用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间0(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算;三、和角与差角公式 ：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=变 用 tan α±tan β=tan α±β1 tan αtan β四、二倍角公式：sin 2α= 2sin cos αα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-五、注意这些公式的来弄去脉这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=推导出来;六、注意公式的顺用、逆用、变用;如：逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=± 1sin cos sin 22ααα=变用22cos 1cos 2αα+=22cos 1sin 2αα-= 21cos 4cos 22αα+= 七、合一变形辅助角公式把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式;()22sin cos αααϕA +B =A +B +,其中tan ϕB=A． 八、万能公式ααα2tan 1tan 22sin += ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=九、用αsin ,αcos 表示2tanααααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=十、积化和差与和差化积积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=； )]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=； )]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.和差化积 2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθ-+=+2sin 2cos 2sin sin ϕθϕθϕθ-+=- 2cos 2cos 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=+ 2sin 2sin 2cos cos ϕθϕθϕθ-+=-十一、方法总结1、三角恒等变换方法观察角、名、式→三变变角、变名、变式1 “变角”主要指把未知的角向已知的角转化,是变换的主线,如α=α+β－β=α－β+β, 2α=α+β+ α－β, 2α=β+α－β－α,α+β=2·错误! , 错误! = α－错误!－错误!－β等.2“变名”指的是切化弦正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα==, 3“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂,利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等; 2、恒等式的证明方法灵活多样①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子. ③比较法, 即设法证明: "左边－右边=0" 或" 错误! =1";④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.例题精讲例1 已知α为第四象限角,化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++-解：1因为α为第四象限角所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-=例2 已知360270<<α,化简α2cos 21212121++ 解：360270<<α,02cos,0cos <>∴αα所以原式2111cos211cos 22222αα++=+21cos cos cos 222ααα+===- 例3 tan20°+4sin20°解：tan20°+4sin20°=0020cos 40sin 220sin +=0sin(6040)2sin 40cos 20-+00003340sin 403cos 20223cos 20+=== 例4 05天津已知727sin()2425παα-==,求sin α及tan()3πα+．解：解法一：由题设条件,应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=,即57cos sin =-αα ①由题设条件,应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ② 由①和②式得53sin =α,54cos -=α因此,43tan -=α,由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 解法二：由题设条件,应用二倍角余弦公式得αα2sin 212cos 257-==, 解得 259sin 2=α,即53sin ±=α 由1027)4sin(=-πα可得57cos sin =-αα由于0cos 57sin >+=αα,且057sin cos <-=αα,故α在第二象限于是53sin =α,从而5457sin cos -=-=αα 以下同解法一小结：1、本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系均含α进行转换得到．2、在求三角函数值时,必须灵活应用公式,注意隐含条件的使用,以防出现多解或漏解的情形． 例 5 已知,,A B C 为锐角ABC ∆的三个内角,两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+,(sin cos ,q A A =-1sin )A +,若p 与q 是共线向量.1求A 的大小；2求函数232sin cos()2C By B -=+取最大值时,B 的大小. 解：122// 2(1)(1+)- p q sinA sinA sin A cos A ∴-=22220 120cos A cos A cos A ∴+=∴+= 1cos 2A 2∴=-0<2A<π,002A 120 A=60∴=∴200A=60 B+C=120∴ 2013y=2sin B+cos(602B)1cos 2B+cos 2B sin 2B 22-=-+31 =sin 2B cos 2B+1=sin(2B )1226π--+ , 2B B 623πππ-=当时，即=． 小结：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意例6 设关于x 的方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解α、β.1求α的取值范围; 2求tan α＋β的值. 解: 1∵sinx ＋3cosx ＝221sinx ＋23cosx ＝2 sinx ＋3π, ∴方程化为sinx ＋3π＝－2a.∵方程sinx ＋3cosx ＋a ＝0在0, 2π内有相异二解, ∴sinx ＋3π≠sin 3π＝23 .又sinx ＋3π≠±1 ∵当等于23和±1时仅有一解, ∴|－2a |<1 . 且－2a≠23. 即|a |<2且a ≠－3.∴ a 的取值范围是－2, －3∪－3, 2.2 ∵α、 β是方程的相异解, ∴sin α＋3cos α＋a ＝0 ①. sin β＋3cos β＋a ＝0 ②. ①－②得sin α－ sin β＋3 cos α－ cos β＝0. ∴ 2sin2βα-cos2βα+－23sin2βα+sin2βα-＝0, 又sin2βα+≠0, ∴tan2βα+＝33.∴tan α＋β＝2tan22tan22βαβα+-+＝3.小结：要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记0, 2π这一条件. 例7 已知函数()x x m x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递减,试求实数m 的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上恒成立的不等式． 任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2,0π,且21x x <,则不等式()()21x f x f >恒成立,即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立．化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2021π<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ,所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<20cos cos sin 21221πx x x x m . 由于()2sin 2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121x x x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=且当2021π<<<x x 时,42,2021π<<x x ,所以 12tan ,2tan 021<<x x , 从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有 22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故 m 的取值范围为]2,(-∞.基础精练1．已知α是锐角,且sin 错误!＝错误!,则sin 错误!的值等于A.错误! B ．－错误! C.错误! D ．－错误!2．若－2π＜α＜－错误!,则 错误!的值是A ．sin 错误!B ．cos 错误!C ．－sin 错误!D ．－cos 错误!3.错误!·错误!等于A.－sinαB.－cosαC.sinαD.cosα4.已知角α在第一象限且cosα＝错误!,则错误!等于A.错误!B.错误!C.错误!D.－错误!5.定义运算错误!＝ad －bc.若cosα＝错误!,错误!＝错误!,0<β<α<错误!,则β等于A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!6.已知tanα和tan 错误!－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根,则a 、b 、c 的关系是A.b ＝a ＋cB.2b ＝a ＋cC.c ＝b ＋aD.c ＝ab7.设a ＝错误!sin56°－cos56°,b ＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°,c ＝错误!,d ＝错误!cos80°－2cos 250°＋1,则a,b,c,d 的大小关系为A.a ＞b ＞d ＞cB.b ＞a ＞d ＞cC.d ＞a ＞b ＞cD.c ＞a ＞d ＞b8．函数y ＝错误!sin2x ＋sin 2x,x ∈R 的值域是A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!9.若锐角α、β满足1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,则α＋β＝ .10.设α是第二象限的角,tanα＝－错误!,且sin 错误!<cos 错误!,则cos 错误!＝ .11.已知sin-4πx=135,0<x<4π,求)4cos(2cos x x +π的值;12.若),0(,πβα∈,31tan ,507cos -=-=βα,求α+2β;拓展提高1、设函数fx ＝sin 错误!－错误!－2cos 2错误!＋11求fx 的最小正周期.2若函数y ＝gx 与y ＝fx 的图像关于直线x ＝1对称,求当x ∈0,错误!时y ＝gx 的最大值2.已知向量a ＝cosα,sinα,b ＝cosβ,sinβ,|a －b|＝错误!1求cosα－β的值；2若0<α<错误!,－错误!<β<0,且sinβ＝－错误!,求sinα.3、求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos α+β=αβsin sin .基础精练参考答案4．C 解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝2×cosα＋sinα＝2×错误!＋错误!＝错误!. 5.D 解析依题设得：sinα·cosβ－cosα·sinβ＝sin α－β＝错误!.∵0<β<α<错误!,∴cosα－β＝错误!. 又∵cosα＝错误!,∴sinα＝错误!.sinβ＝sinα－α－β＝sinα·cosα－β－cosα·sinα－β ＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!,∴β＝错误!.6.C 解析tan tan()4,tan tan(),4b a c a πααπαα⎧+-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴tan 错误!＝tan 错误!－α＋α＝错误!＝1,∴－错误!＝1－错误!,∴－b ＝a －c,∴c ＝a ＋b.7.B 解析a ＝sin56°－45°＝sin11°,b ＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin52°－40°＝sin12°,c ＝错误!＝cos81°＝sin9°,d ＝错误!2cos 240°－2sin 240°＝cos80°＝sin10°∴b ＞a ＞d ＞c.8.C 解析y ＝错误!sin2x ＋sin 2x ＝错误!sin2x －错误!cos2x ＋错误!＝错误!sin 错误!＋错误!,故选择C. 9. 错误!解析由1＋错误!tanα1＋错误!tanβ＝4,可得错误!＝错误!,即tanα＋β＝错误!. 又α＋β∈0,π,∴α＋β＝错误!.10. －错误!解析：∵α是第二象限的角,∴错误!可能在第一或第三象限,又sin 错误!<cos 错误!,∴错误!为第三象限的角, ∴cos 错误!<0.∵tanα＝－错误!,∴cosα＝－错误!,∴cos 错误!＝－ 错误!＝－错误!.12.解析∵),0(,πβα∈,507cos -=α∴),0,33(71tan -∈-=α),0,33(31tan -∈-=β∴),65(,ππβα∈,α+2β)3,25(ππ∈,又tan2β=43tan 1tan 22-=-ββ,12tan tan 12tan tan )2tan(-=-+=+βαβαβα,来源:Zxxk ∴α+2β=411π拓展提高参考答案1、解析 1fx ＝sin 错误!cos 错误!－cos 错误!sin 错误!－cos 错误!x ＝错误!sin 错误!x －错误!cos 错误!x＝错误!sin 错误!x －错误!,故fx 的最小正周期为T ＝错误!＝82法一：在y ＝g x 的图象上任取一点 x,gx,它关于x ＝1的对称点2－x,gx.由题设条件,点2－x ,gx 在y ＝fx 的图象上,从而gx ＝f2－x ＝错误!sin 错误!2－x －错误! ＝错误!sin 错误!－错误!x －错误!＝错误!cos 错误!x ＋错误!,当0≤x≤错误!时, 错误!≤错误!x ＋错误!≤错误!,因此y ＝gx 在区间0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!cos 错误!＝错误!.法二：因区间0,错误!关于x ＝1的对称区间为错误!,2,且y ＝gx 与y ＝fx 的图象关于x ＝1对称,故y ＝gx 在0,错误!上的最大值为y ＝fx 在错误!,2上的最大值,由1知fx ＝错误!sin 错误!x －错误!, 当错误!≤x ≤2时,－错误!≤错误!x －错误!≤错误!,因此y ＝gx 在0,错误!上的最大值为gx max ＝错误!sin 错误!＝错误!.2、解析1∵a ＝cos α,sinα,b ＝cosβ,sinβ, ∴a －b ＝cosα－cosβ,sinα－sinβ. ∵|a －b|＝错误!,∴错误!＝错误!, 即2－2cosα－β＝错误!,∴cosα－β＝错误!.2∵0<α<错误!,－错误!<β<0,∴0<α－β<π,∵cosα－β＝错误!,∴sinα－β＝错误! ∵sin β＝－错误!,∴cosβ＝错误!,∴sinα＝sinα－β＋β＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ＝错误!·错误!＋错误!·－错误!＝错误!。

知识点总结 51 三角函数概念及三角恒等变换一．角的概念的推广：1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．2.角的分类：{按旋转方向的不同分类{正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：没有旋转；按终边位置不同分类{象限角：角的终边在第几象限，就是第几象限的角；轴线角：角的终边在坐标轴上。

3.终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 4.几种特殊位置的角的集合 (1)象限角的集合：①第一象限角：{α|2kπ<α<2kπ+π2 ,k ∈Z}；②第二象限角：{α|2kπ+π2<α<2kπ+π ,k ∈Z}； ③第三象限角：{α|2kπ+π<α<2kπ+3π2,k ∈Z}；④第四象限角：{α|2kπ+3π2<α<2kπ+2π ,k ∈Z}；(2)轴线角的集合:①终边在x 轴非负半轴上的角的集合：{α|α=2kπ ,k ∈Z }. ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合：{α|α=2kπ+π ,k ∈Z }. ③终边在x 轴上的角的集合：{α|α=kπ ,k ∈Z }. ④终边在y 轴上的角的集合：{α|α=kπ+π2 ,k ∈Z}.⑤终边在坐标轴上的角的集合：{α|α=k ∙π2 ,k ∈Z}. (3)终边在特殊直线上：①终边在y ＝x 上的角的集合：{α|α=kπ+π4 ,k ∈Z}.②终边在y ＝－x 上的角的集合：{α|α=kπ−π4 ,k ∈Z}.③终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：{α|α=k ∙π4 ,k ∈Z}. 二．弧度制：1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示.2.正角、负角和零角的弧度数一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 3.角度制与弧度制的换算(1)1°＝π180 rad. (2)1 rad ＝(180π)°4.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr 相关公式：(1)扇形的弧长公式：l ＝nπr180＝|α|r . (2)扇形的面积公式：S ＝12lr ＝nπr 2360＝12|α|r 2. 三．三角函数概念(1)利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： sin α＝y . cos α＝x . tan α＝yx (x ≠0).(2)利用终边上的点定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边过点P (x ，y )，|OP |=r 那么： sin α＝yr. cos α＝xr. tan α＝yx(x ≠0).(3)符号法则：一全二正三切四余 (4)特殊角的三角函数值四．三角恒等变形 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：sinαcosα＝tan α(α≠kπ+π2,k ∈Z)． 变形：(1)(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α=1±sin2α，(2)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； (3)cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (4)sin α＝tan αcos α(α≠kπ+π2,k ∈Z)．2.正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

知识点一．两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式①sin22sin cos ααα=；②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-；补充：2倍角公式变形（扩角降幂）221cos 21cos 2sin cos 22αααα-+==；；知识点三．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中a bb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）．【常见式子变形】①2221cos 22cos 1cos 22sin 1sin 2(sin cos )ααααααα+=-=±=±；；②sin cos cos cos cos 22p p αβααβæöæö=Þ-=-=ç÷ç÷èøèø，具体是选2p α-还是2p α-要看题目给出的范围③sin cos tan 1tan sin cos tan 14βββp ββββ--æöÞ=+ç÷++èø高考数学复习：三角函数恒等变换求值2023新高考二卷T7：配完全平方公式【详解】因为cos 1α=-α为锐角，解得：sin2α==2023·新高考I 卷T8——和差公式+二倍角公式【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12(39αβαβαβ+=+=-+=-´=.2022·新高考II 卷T6——和差公式【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2pα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4p，排除D ；选C.[方法三])cos()]44cos sin sin 444p pβαβαβαβp p pαβαβαβ+++++++=++++（）（）（（cos sin 44p pαβαβ+=+（）（）sin cos cos sin =044p p αβαβ+-+（）（）即sin =04pαβ+-（）sin =sin cos cos sin =0444p p p αβαβαβαβαβ\-+-+---（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ\----（）（）即t an(）=-1,2018全国II 卷（理）T15——一题多解【答案】12-【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．【详解】［方法一］：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1αβ++=，1in()s 2αβ+=-．［方法二］： 利用方程思想直接解出sin 1αα=-=-1cos 2β=，则1sin 2α=．又cos sin αβìïïíïïîcos sin αβì=ïïíï=ïî，所以1in()s 2αβ+=-．［方法三］： 诱导公式+二倍角公式由cos sin 0αβ+=，可得3sin cos sin 2p βααæö=-=+ç÷èø，则322k pβp α=++或32()2k k p βp p αæö=+-+Îç÷èøZ ．若32()2k k pβp α=++ÎZ ，代入得sin cos 2sin 1αβα+==，即2131sin ,sin()sin 22cos22sin 1222k p ααβp αααæö=+=++=-=-=-ç÷èø．若2()2k k pβp α=--ÎZ ，代入得sin cos 0αβ+=，与题设矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．［方法四］：平方关系＋诱导公式由2222cos sin (1sin )(cos )22sin 1ββααα+=-+-=-=，得1sin 2α=．又sin 1cos tan tan tan cos sin 22αβββααβ-æö===-=-ç÷-èø，()2k k βαp =-ÎZ ，即22k αp β=-，则2()k k αβp α+=-ÎZ ．从而1sin()sin(2)sin 2k αβp αα+=-=-=-．［方法五］：和差化积公式的应用由已知得1(sin cos )(cos sin )(sin 2sin 2)cos()2αβαβαβαβ++=++-sin()cos()cos()0αβαβαβ=+-+-=，则cos()0αβ-=或sin()1αβ+=-．若cos()0αβ-=，则()2k k pαβp -=+ÎZ ，即()2k k pαβp =++ÎZ ．当k为偶数时，sin cos αβ=，由sin cos 1αβ+=，得1sin cos 2αβ==，又23cos sin 0,cos sin sin 4αβαββ+==-=-，所以131sin()sin cos cos sin 442αβαβαβ+=+=-=-．当k 为奇数时，sin cos αβ=-，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．若sin()1αβ+=-，则2()2k k pαβp +=-ÎZ ．则sin sin 2cos 2k p αp ββæö=--=-ç÷èø，得sin cos 0αβ+=，这与已知矛盾．综上所述，1in()s 2αβ+=-．【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．题型一 知1求2长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T8【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52ααæö=Îç÷èø，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin sin cos cos sin 34sin cos tan tan 4cos cos 55αβαβαβααββββ++==+=-=g ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ--++===-æöæö--´-ç÷ç÷èøèø.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考T15，【答案】4p【分析】根据已知得4sin 5α=，sin ββ==且π02αβ<-<，应用差角正弦公式求角的大小.【详解】由题设4sin 5α=，sin ββ==π0,2βæöÎç÷èø，而sin sin αβ>，故π02βα<<<，则π02αβ<-<，所以sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-=，则π4αβ-=题型二 结合平方公式sin cos q q ±，2sin 2q ±2024届·湖南长郡中学阶段考T73．已知π0,2αæöÎç÷èøπ2sin 4ααæö=+ç÷èø，则sin 2α=（ ）A ．34-B ．34C ．1-D ．1【答案】B【分析】法1：展开，结合平方公式；法2：换元+诱导公式.【详解】π2sin()4αα=+Q ，)22cos )cos sin αααα=+-Q ,1(cos sin )(cos sin )02αααα\+--=，又π0,2αæöÎç÷èø，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2αæöÎç÷èø，所以2(0,π)αÎ，sin20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考·T7【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.πcos 2sin 4αααæö===-=-ç÷èø，且π3π,24αæöÎç÷èø，则π2π4π,4αæö-Îç÷èø，可得πsin 04αæö->ç÷èø，)π2sin sin cos 4αααæö=--ç÷èø；cos α=，且π3π,24αæöÎç÷，可得cos 0α<，α=；)sin cos αααα=-=.5．已知22ppαβ-<-<，sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=sin(3pβ+=A B C D 【答案】A【分析】先由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=αβ、的关系式，代入sin 3p βæö+ç÷èø，即可求出结果.【详解】由sin 2cos 1αβ+=，cos 2sin αβ-=将两个等式两边平方相加，得()543sin αβ+-=，()12sin αβ-=-，22p p αβ-<-<Q ，6pαβ\-=-，即6p αβ=-，代入sin 2cos 1αβ+=，得13p βæö+=ç÷èø，即sin 3p βæö+ç÷èø故选A 2023·浙江杭州二模T15【分析】将sin cos 2sin q q α+=平方，结合2sin cos sin q q β=可得22124sin 0sin βα+=-，利用二倍角余弦公式将224cos 2cos 2αβ-化简求值，可得答案.【详解】将sin cos 2sin q q α+=平方得212sin cos 4sin q q α+=，结合2sin cos sin q q β=可得221i s n 2i 4s n αβ+=，即22124sin 0sin βα+=-，则224cos 2cos 2(2cos 2cos 2)(2cos 2cos 2)αβαβαβ-=-+()()2214sin 2sin 2cos 2cos 20αβαβ=-++=2024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题T7【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.【详解】将1sin cos 5αα-=平方得112sin cos 25αα-=，所以242sin cos 25αα=，则π0,2αæöÎç÷èø．所以()22449sin cos 12sin cos 12525αααα+=+=+=，从而7sin cos 5αα+=．联立1sin cos 57sin cos 5ααααì-=ïïíï+=ïî，得4sin 53cos 5ααì=ïïíï=ïî．所以24sin 22sin cos 25ααα==，2222347cos 2cos sin5525αααæöæö=-=-=-ç÷ç÷èø．故)π247sin 2sin 2cos 242525éùæöæö-=---=ç÷ç÷êúèøèøëûααα题型三 和差公式2024届·长沙一中校月考（三）T78．已知角(),0,παβÎ，且()()sin cos 0,sin sin 3cos cos 0αβαβαβαβ++-=-=，则()tan αβ+=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】D【分析】由两角和与差公式化简后求解．【详解】由()()sin cos 0αβαβ++-=，可得sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ+++=，即sin cos cos sin 1cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-+，故tan tan 11tan tan αβαβ+=-+.又sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，故sin sin αβ3cos cos αβ=，即tan tan 3αβ=，代入tan tan 11tan tan αβαβ+=-+可得tan tan 4αβ+=-.故()tan tan tan 21tan tan αβαβαβ++==-云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题T7A ．()sin 31αβ-=B ．()sin 31αβ+=-C ．()sin 21αβ-=D ．()sin 21αβ+=-【答案】C【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到π22αβ-=，进一步即可判断正确答案.【详解】tan cos 1sin ,αββ×=+Q sin cos 1sin ,cos αββα\×=+即sin cos cos sin cos ,αβαβα×=+×sin cos sin cos cos ,αββαα×-×=即πsin()cos sin(),2αβαα-==-又0,2p αæöÎç÷èø，0,2p βæöÎç÷èø，则ππππ,0,2222αβα-<-<<-<所以π2,sin(2)1,2αβαβ-=\-=，故C 正确.2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考T7【分析】根据题意，由同角的平方关系可得()cos αβ+，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.【详解】因为(),0,παβÎ，且1cos 7α=，所以sin α因为()sin αβ+=，所以()sin sin ααβ>+，所以()αβ+为钝角，所以()11cos 14αβ+==-，则()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++=éùû11111472-´+=，且()0,βp Î，则π3β=2024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）T7【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到sin 1sin tan βαα=，得到πsin sin()2βα=-，再由π,0,2αβæöÎç÷èø，结合正弦函数的性质，即可求解【详解】由()()()sin 2sin[()]2cos 2cos sin sin αβααβαβαβαα+++-+=-+()sin cos()cos sin()2cos sin ααβααβαβα+++=-+cos sin()cos sin()sin cos()cos()sin sin ααβααβααβαβαα++-+=-+=sin[()]sin sin sin αβαβαα+-==，所以sin 1sin tan βαα=，可得sin cos sin sin βααα=，即sin cos βα=，即πsin sin()2βα=-，因为π,0,2αβæöÎç÷èø，可得ππ0,22αæö-Îç÷èø，所以π2βα=-，所以π2αβ+=【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.【详解】法1：()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--Q .tan tan tan tan 1αβαβ\+=-，()()()()cos sin 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 2cos cos βααβαβαβαβαβαβ--+\=-++=--+=.2=èø题型四 2倍角公式2023届广州市一模T7【分析】由,2p αp æöÎç÷èø及二倍角的余弦公式可得()sin 1sin cos cos αβαβ+=，根据两角和的余弦公式可得()sin cos ααβ=+，由诱导公式及,αβ的范围即可求解.【详解】,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，sin 0α\¹.由()()1cos 21sin sin 2cos αβαβ-+=，可得()22sin 1sin 2sin cos cos αβααβ+=，即()sin 1sin cos cos αβαβ+=.()sin cos cos sin sin cos ααβαβαβ\=-=+，()cos cos 2p αβαæö\+=-ç÷èø，,,2p αβp æöÎç÷èøQ ，2p αβp \<+<，且022pp α-<-<，根据函数cos y x =易知：22pαβαp +=-+，即得：522pαβ+=.【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.【详解】221cos 21cos 222cos sin 4422x x x x p p p p æöæö++--ç÷ç÷æöæöèøèø++-=+ç÷ç÷èøèø1111sin 2sin 21sin 22222x x x =-+-=-【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角x 为2x，然后再由正切的二倍角公式求tan x ．【详解】2222112sin 2sin cos 2sin 2sin cos 1cos sin 22222221cos sin 2cos 2sin cos 12cos 12sin cos222222x x x x x x x x x x x x x x x x æö--++ç÷-+èø-===++æö++-+ç÷èø2sin (sin cos )222tan 22cos (cos sin )222x x x x x x x +==+，∴222tan2(2)42tan 1(2)31tan 2xx x ´-===---．2024届广东实验中学校考T1516．若两个锐角α，β满足1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，则cos 23p αβæö++=ç÷èø.【答案】【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角α，β的关系，代入cos 23p αβæö++ç÷èø即可求解.【详解】因为1cos21cos22cos sin2sin2αβααβ+-=+，所以()22112sin 12cos 12cos 2sin cos 2sin cos βααααββ--+-=+所以22cos sin cos sin cos sin cos αβαααββ=+，因为α，β为锐角，所以有cos sin 1sin cos αβαβ=+，所以()cos cos sin 1sin αββα=+，即cos cos sin sin sin αβββα=+，所以cos cos cos cos sin αβαββ-=，即()cos +sin αββ=，因为α，β为锐角，所以有+2pαββ+=，即+22pαβ=，所以cos 2cos sin 3233p p p p αβæöæö++=+=-=ç÷ç÷èøèø2024届·广州市越秀区高三月考（十月）T7【分析】由倍角余弦公式并整理得23sin 2sin 10αα+-=，结合角的范围得1sin 3α=，进而求tan α，应用倍角正切公式求值即可.【详解】由23cos24sin 36sin 4sin 1αααα-=--=，即23sin 2sin 1(3sin 1)(sin 1)0αααα+-=-+=，所以1sin 3α=或sin 1α=-，又π,π2αæöÎç÷èø，则1sin 3α=，所以cos α=，则tanα=由22tan tan 21tan ααα==-2024届·广州市天河区高三综合测试（一）T7【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为ππtan 2tan 34αβæöæö-=-ç÷ç÷èøèø，得出ππ2π34k αβ-=-+，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】由πtan tanπsin cos tan 1π4tan 2tan π3sin cos tan 141tan tan 4ββββαβββββ---æöæö-====-ç÷ç÷++èøèø+，所以ππ2π34k αβ-=-+，即π2π,Z 12k k αβ=++Î，()()2π12cos 2cos 22cos 2π12k αβαβββæö--=--=-++-ç÷èøπππcos 2πcos 2πcos 1266k k æöæö=-+=-+=-=ç÷ç÷èøèø武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15【答案】9798【分析】根据辅助角公式可得π1 sin614qæö-=ç÷èø，再根据二倍角与诱导公式求解即可.【详解】17cosq q=+即114cos12q qö-=÷÷ø，故π1sin614qæö-=ç÷èø.故2ππ97cos212sin3698q qæöæö-=--=ç÷ç÷èøèø.则97sin2sin2cos2632398p p p pq q qæöæöæö+=-+=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.题型五统一角度化简2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考·T15【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【详解】πtan9α=，7π7ππππcos cos sin sin cos sin sin cos tan tan1818999πππππsin cos cos sin sin cos cos sin tan tan99999αααααααααα---==+++3=.2023届·江苏省七市三模·T7【分析】利用和差角公式展开，得到2cos40cos cos80cos sin80sin0q q q°+°+°=，即可得到2cos40cos80tansin80q°+°=-°，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos40cos40cos800q q q°-+°++°-=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0q q q q q q °+°+°-°+°+°=，所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0q q q °+°+°=，所以2cos 40cos80sin80tan 0q °+°+°=，所以2cos 40cos80tan sin 80q °+°=-°()2cos 12080cos80sin 80°-°+°=-°()2cos120cos80sin120sin 80cos80sin 80°°+°°+°=-==°2022届·广东省汕头二模·T7【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】因为sin160tan 20cos 70l ++=o o o 即()(sin 18020tan 20cos 9020l -++-o o o o o所以sin 20sin 20sin 20cos 20l ++=ooo o所以sin 20cos 20sin 20sin 20cos 20l ++=o o o o o o ，所以()11sin 20cos 2020sin 20220sin 202l ö+-=-÷÷øo o o oo o ，所以()()1sin 402sin 60cos 20cos 60sin 202sin 60202sin 402l +=-=-=o o o o o o o o ，所以122l +=，所以3l =题型六 和差公式+倍角公式2023湖南省五市十校高二下期末·T15【答案】19-【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得1cos cos 2αβ=，再利用两角和与差的余弦公式求得()2cos 3αβ-=，根据二倍角公式即可得结果.【详解】()()sin sin cos sin cos 2sin tan tan cos cos cos cos αβαββααβαβαβαβ+++=+==，因为()1cos 3αβ+=，则()sin 0αβ+¹，因此1cos cos 2αβ=，而()1cos cos cos sin sin 3αβαβαβ+=-=，从而111sin sin 236αβ=-=，因此()112cos cos cos sin sin 263αβαβαβ-=+=+=，则()()21cos22cos 19αβαβ-=--=-.故答案为：19-.2024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）·T11【分析】根据3cos25α=-，判断α的范围，再根据cos 2α，求出tan α，再由cos()αβ+=sin()αβ+，tan()βα-，cos()βα-，从而得出答案.【详解】因为0πα<<，所以022πα<<，又3cos 205α=-<，所以π3π222α<<，π3π44<<α，由3cos25α=-，得tan 2α=±.对于A 选项，若tan 2α=-，则π3π24α<<，又3ππ2β<<，所以3π9π24αβ<+<，而cos()0αβ+=<矛盾，所以tan 2α¹-.故A 错误；对于B 选项，根据A 选项知， tan 2α=，则ππ42α<<，又3ππ2β<<，所以5π2π4αβ<+<，而cos()0αβ+=<，所以5π3π42αβ<+<，这样sin()αβ+=B 正确；对于C 选项，根据A 2=，再根据B 选项中sin()αβ+=cos()αβ+=知tan()7αβ+=，从而tan()tan 1tan tan()1tan()tan 3αβαβαβααβα+-=+-==++，则tan tan tan()11tan tan βαβαβα--==-+，又3ππ2β<<，ππ24α-<-<-，π5π24βα<-<，所以3π4βα-=，故C 正确；对于D 选项，根据C 选项知3π4βα-=，所以cos()cos cos sin sinβαβααβ-=+=又cos()cos cos sinsin αβαβαβ+=-=解得cos cos αβ=D 错误2024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考·T6A ．53-B ．【答案】C【分析】根据三角函数的定义可得πtan 4,4q æö+=-ç÷èø进而又和差角公式得5tan θ3=，又二倍角和齐次式即可求解.【详解】由图可知πtan 4,4q æö+=-ç÷èø所以ππtan tan544tan ππ31tan tan44q q q æö+-ç÷èø==æö++ç÷èø，则()()()2sin cos 1sin 2sin cos tan 14cos 2cos sin cos sin cos sin 1tan q q q q q q q q q q q q q q++++====-+---【分析】注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，后结合()0,πα，ππ,22βæöÎ-ç÷èø，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.【详解】因()0,παÎ，则4333πππ，αæö+Îç÷è，又π1πsin sin 333æö+=<=ç÷èøα，则3πα+Îπ,π2æöç÷èø，得3πcos αæö+=ç÷èø.因πcos 6βæö-=ç÷èø22221663ππcos cosββéùæöæö-=--=-êúç÷ç÷èøèøëû.又ππ,22βæöÎ-ç÷èø，则π2ππ,633æö-Î-ç÷èøβ，结合π1πcos cos 623æö-=<=ç÷èøβ，则ππ,062æö-Î-ç÷èøβ，得6πsi n βæö-=-ç÷èø则22666πππsi n cos si n βββéùæöæöæö-=--=-êúç÷ç÷ç÷èøèøèøëû又注意到2236ππαβαβæö+=++-ç÷èø，则()ππππsin 2sin cos 2cos sin 23636éùéùæöæöæöæö+=+-++-ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúøøèøëûαβαβαβ1233ææö=´-+´-=çç÷çèøè.。

三角函数与三角恒等变换（知识点）1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=o ，1180π=o 弧度，1弧度180()π=o '5718≈o .⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211||22S R Rl α==. 2．三角函数定义：⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的余弦，记作cos α；yx叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则：sin ,cos ,y x r r αα==tan yxα=.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线：正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4．诱导公式：六组诱导公式统一为“()2k Z α±∈”，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos ααα=（商数关系）.6．两角和与差的正弦、余弦、正切：①sin()sin coscos sin αβαβαβ±=±；② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； ③ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=；② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； ③ 22tan tan 21tan ααα=-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2αα+=. （降次公式）8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ϕ+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ωϕ=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T πω=，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ωπ==，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ωϕ+为相位；ϕ为初相.11. 正弦型函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的性质及研究思路：① 最小正周期2T πω=，值域为[,]A A -.② 五点法图：把“x ωϕ+”看成一个整体，取30,,,,222x ππωϕππ+=时的五个自变量值，相应的函数值为0,,0,,0A A -，描出五个关键点，得到一个周期内的图象.③ 三角函数图象变换路线：sin y x =ϕ−−−−−→左移个单位sin()y x ϕ=+ ω−−−−−→1横坐标变为倍sin()y x ωϕ=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. 或：sin y x = ω−−−−−→1横坐标变为倍sin y x ω=ϕω−−−−−→左移个单位sin ()y x ϕωω=+A −−−−−→纵坐标变为倍sin()y A x ωϕ=+. ④ 单调性：sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的增区间，把“x ωϕ+”代入到sin y x =增区间[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈，即求解22()22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈.⑤ 整体思想：把“x ωϕ+”看成一个整体，代入sin y x =与tan y x =的性质中进行求解. 这种整体思想的运用，主要体现在求单调区间时，或取最大值与最小值时的自变量取值.。

三角恒等变换专题复习一、 两角和与差的三角函数公式：⑴ sin()_____________________αβ±= ⑵ cos()____________________αβ±=⑶ tan()_____________αβ±=1、sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21 B.21 C.－23 D.23 2、sin15______o =；1tan15______1tan15o o+=- 1tan 751tan 75+- ＝ 3．在△ABC 中，如果4sin A ＋2cos B ＝1，2sin B ＋4cos A ＝33，求sin C 的值． 例1、若sinA=55，sinB=1010，且A ，B 均为钝角，求A+B 的值。

1、已知sin 2α=35,cos 2α= -45,则角α终边所在的象限是例2、求值0000tan35tan 25tan 25+⋅1、求(1tan 22)(1tan 23)_______o o ++=。

2、求(1tan1)(1tan 2)(1tan3)(1tan 44)_______o o o o ++++=3．已知tan α ，tan β 是方程6x 2－5x ＋1＝0的两个根，且0＜α ＜2π，π23π<<β，求α ＋β 的值．4．已知：tan α ＋tan β ＝2，tan(α ＋β )＝4，tan α ＜tan β ．求tan α 、tan β ．5、一元二次方程mx 2+(2m -3)x +m -2=0的两根为tan α,tan β，则tan(α+β)的最小值为______. 6是否存在锐角α和β,使得(1)322πβα=+;(2)32tan 2tan -=⋅βα同时成立,若存在,求出α、β的值,若不存在,说明理由．例3． 设1sin()9αβ-=-，cos 2α=13，且0＜α＜2π，0＜β＜2π，求cos （α+β） 1、已知α∈(4π，43π)，β∈(0，4π),cos (α－4π)＝53，sin(4π＋β)＝135，求sin(α＋β)的值． 2、已知1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈ ，(,)2παβπ+∈求β的值． 3．已知⎪⎭⎫⎝⎛∈π,π43βα、，53)sin(-=+βα，13124πsin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-β，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πcos α的值为多少？ 4．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.5．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。

三角函数知识整合⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z =22,2k k k παπαπ⎧⎫<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z =22,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =322,2k k k παππαπ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z =3222,2k k k παπαππ⎧⎫+<<+∈Z ⎨⎬⎩⎭终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z ={},k k ααπ=∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z =,2k k πααπ⎧⎫=+∈Z ⎨⎬⎩⎭终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z =,2k k παα⎧⎫=∈Z ⎨⎬⎩⎭3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z ={}2,k k ββπα=+∈Z 已知α角终边所在象限，求2α终边所在象限方法：由“两等分各象限、一二三四”确定4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=， 180π= 1180π=，180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、任意角三角函数的定义（1）α是一任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是，(),x y 它与原点的距离是(r r =则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． （2）设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x ，y ）， 则sin y α=，cos x α=，()tan 0yx xα=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．填表：特殊角的三角函数值：11、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= s i n s i n t a n c o s,c o st a n αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．R R{|,}2x x k k Z ππ=+∈[][]R()(). y=f(x)=Asin x+f(x)=cos y A x ωϕωϕ=+⎡⎤⎣⎦二正弦型函数的图象和性质要熟记。