高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第3章 三角函数、解三角形3-7aWord版含解析

[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12.故选A.2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( )A ．－32B ．－12 C.12 D.32答案 C 解析sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°，∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.3．已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )A ．－73 B.73 C.57 D ．1答案 D解析 由题意知tan α＝2，tan β＝－13.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＝1.故选D.4．(2017·云南一检)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π9＝( ) A ．－18 B ．－116 C.116 D.18答案 A解析 cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23π9 ＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80° ＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.故选A.5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案 D解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin 10°－30° 12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4.故选D.6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛ π4－⎭⎪⎪⎫β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2， 由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π4，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝223. 由－π2<β<0，得π4<π4－β2<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－β2＝63，代入上式，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋β2＝539，故选C. 7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2的值为( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 答案 A解析 sin2αsin2β＝sin[ α＋β ＋ α－β ]sin[ α＋β － α－β ]＝sin α＋β cos α－β ＋cos α＋β sin α－β sin α＋β cos α－β －cos α＋β sin α－β ＝tan α＋β ＋tan α－β tan α＋β －tan α－β ＝13.故选A. 8．(2017·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π6上的最小值是( )A ．－12B ．－32 C.22 D.12答案 D解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π6，k ∈Z .∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6， ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π3，π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1， 则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π2，π6上的最小值是12.故选D. 9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 答案 A解析 由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π4.故选A.10．(2018·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ等于( ) A.23 B.43 C.34 D.32 答案 D解析 由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，∴π4－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝34， ∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－θ＝32.故选D. 二、填空题11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．答案 －3π4解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β ＋tan β1－tan α－β tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2.又∵tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.13．(2017·江苏模拟)已知α、β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.答案 π3解析 因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由π3<α<π2，知2π3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β ＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝12，又0<β<π，所以β＝π3.14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4的值为________．答案 －142解析 ∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝12，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋34＝72， ∴cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α－π4＝ cos α＋sin α cos α－sin α 22 sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－142.B 级三、解答题15．(2017·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)若方程f (x )＝13在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋32＝sin x ·cos x －3cos 2x ＋32＝12sin2x －32cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－π3＝13>0，设x 1<x 2，则0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π6，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 1－π3＝13.16．(2017·黄冈质检)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －7π6. (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －7π6 ＝(1＋cos2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫sin2x cos 7π6－cos2x sin 7π6 ＝1＋32sin2x ＋12cos2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数f (x )的最大值为2时x 的取值集合为 x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6＋1＝32， 化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据余弦定理， 得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1. ∴当且仅当b ＝c ＝1时，取等号．又由b ＋c >a 得a <2.所以a 的取值范围是[1,2)．17．(2017·青岛诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋3a cos B ＝3c .(1)求角A 的大小；(2)已知函数f (x )＝λcos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋A 2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y＝f (x )的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的32倍后便得到函数y＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的最小正周期为π.当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵a sin B ＋3a cos B ＝3c ， ∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin C . ∵C ＝π－(A ＋B )，∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋cos A sin B )． 即sin A sin B ＝3cos A sin B .∵sin B ≠0，∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由A ＝π3，得f (x )＝λcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6－3＝λ·1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π32－3＝λ2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π3＋λ2－3， ∴λ－3＝2，λ＝5.∴f (x )＝5cos 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π6－3＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ωx ＋π3－12，从而g (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43ωx ＋π3－12，∴2π43ω＝π，得ω＝32， ∴f (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π3－12. 当x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2时，π3≤3x ＋π3≤11π6， ∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π3≤32， 从而－3≤f (x )≤53－24，∴f (x )的值域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3，53－24. 18．(2017·江西南昌三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3的最小值是－32，求实数λ的值．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋3π4＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6. ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x －π3 ＝－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6－⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6 ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2. ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2，∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6≤1. ①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝12；③当λ>1时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1矛盾．综上所述，λ＝12.。

[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·合肥质检)要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 B解析 先将函数y ＝cos2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2．(2017·福建质检)若将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0 答案 A解析 将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，故选A. 3．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2 答案 D解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3向左平移π6个单位y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3，即y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4.令12x －π4＝k π，k ∈Z ，求得x ＝π2＋2k π，取k ＝0，则x ＝π2.故选D.4．(2018·广州模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6 答案 B解析 因为函数f (x )的图象过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.又函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3的图象，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32，所以φ可以为5π6，故选B.5．(2018·湖北调研)如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] B ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π4＋20，x ∈[6,14]C ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4＋20，x ∈[6,14]D ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π8＋20，x ∈[6,14]答案 A解析 由三角函数的图象可知，b ＝10＋302＝20，A ＝30－102＝10，T 2＝14－6＝8⇒T ＝16＝2πω⇒ω＝π8，则y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20，将(6,10)代入得10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π8＋φ＋20＝10⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1⇒φ＝3π4＋2k π(k ∈Z )，取k ＝0，φ＝3π4，故选A.6．(2015·安徽高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )。

(时间：40分钟)1．海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝( )A ．10 3 n mile B.1063n mile C ．5 2 n mile D ．5 6 n mile答案 D解析 由题意可知，∠CAB ＝60°，∠CBA ＝75°，所以∠C ＝45°，由正弦定理得10sin45°＝BCsin60°，所以BC ＝5 6.2. 如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km答案 B解析 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2a 2cos120°＝3a 2，故|AB |＝3a .3．某工程中要将一坡长为100 m ，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高度不变，则坡底需加长( )A ．100 2 mB ．100 3 mC ．50(2＋6) mD ．200 m答案 A解析 设坡底需加长x m ，由正弦定理得100sin30°＝xsin45°，解得x ＝100 2.4．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°、60°，则塔高为( ) A.4003m B.40033 m C.200 33m D.2003 m答案 A解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°，∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°，又AB ＝200，∴AC ＝4003 3.在△ACD 中，由正弦定理，得ACsin120°＝DC sin30°，即DC ＝AC ·sin30°sin120°＝4003(m)．5. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h答案 B解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.6．甲船在A 处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里的B 处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东________(填角度)的方向前进．答案 30°解析 设两船在C 处相遇，则由题意∠ABC ＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3，由正弦定理得AC BC ＝sin120°sin ∠BAC ＝3⇒sin ∠BAC ＝12.又0°<∠BAC <60°，所以∠BAC ＝30°，60°－30°＝30°.7．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°方向，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为______米．答案 700解析 由题意，△ABC 中，AC ＝300，BC ＝500，∠ACB ＝120°，利用余弦定理可得，AB 2＝ 3002＋5002－2×300×500×cos120°，∴AB ＝700.8．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)答案 60解析 AC ＝2×46＝92，AB ＝46sin67°，在△ABC 中，由正弦定理可知：AB sin30°＝BCsin37°，∴BC ＝AB sin37°sin30°≈60.9．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，AB ＝120米，求河的宽度．解 在△ABC 中，∵∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝60°.由正弦定理可得AC ＝AB sin Bsin ∠ACB，∴AC ＝120sin75°sin60°＝20(32＋6)．设C 到AB 的距离为CD ，则CD ＝AC sin ∠CAB ＝22AC ＝20(3＋3)． ∴河的宽度为20(3＋3)米．10． 如图，点A ，B ，C 在同一水平面上，AC ＝4，CB ＝6.现要在点C 处搭建一个观测站CD ，点D 在顶端．(1)原计划CD 为铅垂线方向，α＝45°，求CD 的长；(2)搭建完成后，发现CD 与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD 2.(结果精确到1)(本题参考数据：sin97°≈1，cos53°≈0.6) 解 (1)∵CD 为铅垂线方向，点D 在顶端，∴CD ⊥AB . 又∵α＝45°，∴CD ＝AC ＝4.(2)在△ABD 中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB ＝AC ＋CB ＝4＋6＝10，∴∠ADB ＝180°－83°＝97°，∴由AD sin β＝AB sin ∠ADB 得AD ＝AB sin βsin ∠ADB ＝10sin30°sin97°＝5sin97°≈5.在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos α＝52＋42－2×5×4×cos53°≈17.(时间：20分钟)11．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里答案 A解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin30°＝ABsin45°，解得BC ＝102(海里)．12. 某观察站B 在A 城的南偏西20°的方向，由A 出发的一条公路的走向是南偏东25°.现在B 处测得此公路上距B 处30 km 的C 处有一人正沿此公路骑车以40 km/h 的速度向A 城驶去，行驶了15 min 后到达D 处，此时测得B 与D 之间的距离为810 km ，则此人到达A 城还需要( )A ．40 minB ．42 minC ．48 minD ．60 min 答案 C解析 由题意可知，CD ＝40×1560＝10.cos ∠BDC ＝102＋102－3022×10×810＝－1010，∴cos ∠ADB ＝cos(π－∠BDC )＝1010， ∴sin ∠ABD ＝sin ＝255.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin ∠ABD ＝BDsin ∠BAD ，∴AD255＝81022， ∴AD ＝32，∴所需时间t ＝3240＝0.8 h ，∴此人还需要0.8 h 即48 min 到达A 城．13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为______m ．(取2＝1.4，3＝1.7)答案 2650解析 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21000(m)． 又在△ABC 中，BC sin A ＝ABsin ∠ACB， ∴BC ＝2100012×sin15°＝10500(6－2)(m)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10500(6－2)×22＝10500(3－1)＝7350(m)． 故山顶的海拔高度h ＝10000－7350＝2650(m)．14．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇， 则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°. 根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20.根据正弦定理，得BC sin α＝AC sin120°，解得sin α＝20sin120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.。

[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 C解析 a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－6c cos60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A.3．(2017·湖南长郡中学六模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 答案 A解析 由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴ab ＝2.故选A.4．(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin Bsin2C ＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.12 答案 B解析 不妨设a ＝2，b ＝3，c ＝4，故cos C ＝4＋9－162×2×3＝－14，故sin A －2sin B sin2C ＝a －2b 2c cos C ＝2－68×⎝⎛⎭⎪⎫－14＝2，故选B.5．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a ，b ，c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .若sin B sin C ＝34，△ABC 的形状( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由已知，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.∵0<A <π，故A ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π3－B .由sin B sin C ＝34，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝34.即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝34. 32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34，32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1. 又∵－π6<2B －π6<7π6， ∴2B －π6＝π2，即B ＝π3.∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形．故选A.6．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3 答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332， 故选C.7．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2) 答案 A解析 由a sin A ＝b sin B ＝bsin2A ，得b ＝2cos A .π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3. 又2A <π2，所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.故选A.8．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.9．(2018·辽宁五校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形 答案 C解析 由两直线平行可得b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin2A ＝12sin2B ，又A 、B ∈(0，π)，且A ＋B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A ＋B ＝π2，则△ABC 是直角三角形，故选C.10．(2017·武昌调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3 答案 C解析 a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C， 即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C )⇒tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan Atan A －2＝m 2m －2(tan A ＝m )，令m －2＝t ⇒(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．故选C.二、填空题11．(2015·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4.12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－B 2. ∴2sin B ＝2cos B 2. ∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2. ∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.13．(2018·沈阳监测)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．答案 8解析 由题意得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc .又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1， 又0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4， ∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ， 当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16， ∴S 的最大值为8.14．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则cos ∠ABC ＝14，sin ∠ABC ＝154. 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD22BD ·BC＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.B 级三、解答题15．(2018·郑州质检)已知△ABC 的外接圆直径为433，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°.(1)求a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝433， 所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，c ＝433sin C . 所以a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝433(sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C ＝433.(2)由c ＝433sin C ，得c ＝433×32＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)，所以S △ABC＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.16．(2017·湖北四校联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0.(1)求ab 的值；(2)若cos C ＝34，求sin B 的值．解 (1)因为sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0，sin B ≠0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A sin B 2＋sin A sin B －6＝0，得sin A sin B ＝2或sin A sin B ＝－3(舍去)． 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝2.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34.① 将ab ＝2，即a ＝2b 代入①，得5b 2－c 2＝3b 2， 得c ＝2b .由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得 cos B ＝(2b )2＋(2b )2－b 22×2b ×2b ＝528，则sin B ＝1－cos 2B ＝148.17．(2018·海淀区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .满足2a cos C ＋c cos A ＝b .(1)求角C 的大小；(2)求sin A cos B ＋sin B 的最大值．解 (1)由正弦定理及2a cos C ＋c cos A ＝b ， 得2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋C ＝π－B ，即sin(A ＋C )＝sin B .∴2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＋sin A cos C ＝sin B ＋sin A cos C ＝sin B ，∴sin A cos C ＝0， 又∵0<A <π，0<C <π， ∴sin A >0. ∴cos C ＝0， ∴C ＝π2.(2)由(1)得C ＝π2， ∴A ＋B ＝π2，即A ＝π2－B .∵sin A cos B ＋sin B ＝cos 2B ＋sin B ＝－sin 2B ＋sin B ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B －122＋54.∵0<B <π2，∴当sin B ＝12，即B ＝π6时， sin A cos B ＋sin B 取得最大值54.18．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD .(1)求tan ∠ADB 的值； (2)若CD ＝33，求S △ABC .解 (1)如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB 得，BC ＝233a .在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 32－a 22a ·233a＝33，∴∠ABC 是锐角，则sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ，得b 2＝a 2＋b 2－233ab ，解得a ＝233b . 由正弦定理AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ADB ，得b 63＝a sin ∠ADB ，解得sin ∠ADB ＝223，又2b 2>a 2，∴∠ADB 为锐角，∴cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝13，tan ∠ADB ＝2 2. (2)由已知可得3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋33＝2a ，① 由(1)可知a ＝233b ，② 联立①②得a ＝2，b ＝ 3.过A 作AH ⊥BC 于H ，则H 为BC 的中点，易求得DH ＝33.则tan ∠ADB ＝AH33＝2 2. ∴AH ＝263，∴S △ABC ＝12×433×263＝423.。