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高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第3章三角函数、解三角形 3-3a Word版含解析

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[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0成中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案 A 解析依题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＋φ＝0，8π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－136π(k ∈Z )，因此|φ|的最小值是π6.故选A.2．(2017·长沙模拟)已知函数y ＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，则实数ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，0 B ．[－3,0)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 D ．(0,3]答案 C 解析由于y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，为保证y ＝sin ωx在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上是增函数，所以ω>0， 且π3ω≤π2，则0<ω≤32.故选C. 3．(2017·成都调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3答案 A解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤π6x －π3≤7π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. 所以y ∈[－3，2]，所以y max ＋y min ＝2－3.选A.4．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且是偶函数，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4内单调递增答案 A解析 由条件，知ω＝2.因为f (x )是偶函数，且|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x .因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内单调递减．故选A.5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0对称答案 D解析 由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，A 错误；它的周期为2π，B 错误；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，C 错误；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，D 正确．故选D.6．(2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，则函数f (x )的单调递减区间是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π8，2k π＋5π8(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )答案 D 解析由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，则2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝－3π4＋k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ＝π4，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则由π2＋2k π≤2x ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .故选D.7．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 C解析 由y ＝sin πx 3可得T ＝6，则由图象可知5T 4≤t ，即152≤t ，∴t min ＝8.故选C.8．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为()A ．－32B ．－12 C.12 D.32答案 A解析 将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象左移π6个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.选A. 9．若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取得最大值MD ．可以取得最小值－M答案 C 解析T ＝2πω，g (x )＝M cos(ωx ＋φ)＝M sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π2＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2ω＋φ，∴g (x )的图象是由f (x )的图象向左平移π2ω⎝ ⎛⎭⎪⎫即T 4得到的．由b －a ＝T 2，可知，g (x )的图象由f (x )的图象向左平移b －a2得到的．∴得到g (x )图象如图所示．选C.10．(2018·新疆质检)已知函数f (x )＝|sin x |cos x ，给出下列五个结论：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝－34； ②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称．其中正确的结论是( )A ．①⑤B ．①②⑤C ．②④D ．②⑤ 答案 A 解析①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018π3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2018π3cos 2018π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－34，∴①正确；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12sin2x 2，当x 1＝0，x 2＝π2时也成立，∴②不正确；③∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝|sin x |cos x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π4≤x <0，12sin2x ，0≤x ≤π4，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上不是单调函数，∴③不正确；④∵f (x ＋π)≠f (x )，∴函数f (x )的周期不是π，∴④不正确； ⑤∵f (x )＝|sin x |cos x＝⎩⎪⎨⎪⎧－12sin2x ，－π＋2k π<x <2k π，12sin2x ，2k π≤x <π＋2k π，k ∈Z ，∴结合图象可知f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称，∴⑤正确．故选A.二、填空题11．设函数f (x )＝sin(x ＋φ)(0<φ<π)，若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案 3π4解析 由题意得f (x )＝sin(x ＋φ)＝sin x cos φ＋cos x sin φ，f ′(x )＝cos(x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4是奇函数，因此φ＋π4＝k π(其中k ∈Z )，φ＝k π－π4.又0<φ<π，所以φ＝3π4.12．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<φ<π的图象，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π3，所得到的函数图象均关于原点对称，则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的两条相邻对称轴之间的距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.13．(2017·绵阳模拟)已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数， ∴φ＝π2，f (x )＝－4sin ωx .A (a,0)，B (b,0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则12·2πω＝1，∴ω＝π，f (x )＝－4sin πx ， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.14．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中： ①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数．所有正确结论的编号为________． 答案 ②④解析 ∵y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，∴ω＝2ππ＝2.又其图象关于直线x ＝π12对称，得π6＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )．令k ＝0，得φ＝π3.∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0，∴函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称．所以②正确．解不等式－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，所以④正确．三、解答题15．已知函数f (x )＝2sin x ＋1. (1)设ω为大于0的常数，若f (ωx )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，2π3上单调递增，求实数ω的取值范围；解16．(2017·洛阳校级月考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋a cosx ＋a ，a ∈R .(1)当a ＝1时，求函数f (x )的最大值；(2)如果对于区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的任意一个x ，都有f (x )≤1成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－cos 2x ＋cos x ＋2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋94， ∵cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝12，即x ＝2k π±π3(k ∈Z )时， f (x )max ＝94. (2)依题意sin 2x ＋a cos x ＋a ≤1，即sin 2x ＋a (cos x ＋1)≤1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立． 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，0≤cos x ≤1， 则1≤cos x ＋1≤2，∴a ≤ cos 2xcos x ＋1对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2恒成立． 令t ＝cos x ＋1，则1≤t ≤2，∴a ≤t －12t ＝t 2－2t ＋1t ＝t ＋1t－2对任意1≤t ≤2恒成立，于是a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t －2min . 又∵t ＋1t －2≥0，当且仅当t ＝1，即x ＝π2时取等号， ∴a ≤0.。

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近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业文(20

近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业文(20

2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．给出下列四个命题：①－错误!是第二象限角；②错误!是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析①中－错误!是第三象限角，故①错．②中错误!＝π＋错误!，从而错误!是第三象限角,故②正确．③中－400°＝－360°－40°,从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.2．sin2·cos3·tan4的值（）A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在答案A解析∵错误!〈2〈3<π<4〈错误!，∴sin2〉0，cos3〈0，tan4〉0。

∴sin2·cos3·tan4〈0.故选A.3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（)A．1 B．4 C．1或4 D．2或4答案C解析设此扇形的半径为r，弧长是l，则错误!解得错误!或错误!从而α＝错误!＝错误!＝4或α＝错误!＝错误!＝1.故选C.4．若错误!〈θ〈错误!，则下列不等式成立的是( )A．sinθ>cosθ〉tanθB．cosθ〉tanθ〉sinθC．sinθ>tanθ〉cosθD．tanθ〉sinθ〉cosθ答案D解析∵错误!〈θ〈错误!，∴tanθ>1，sinθ－cosθ＝错误!sin错误!.∵错误!〈θ〈错误!，∴0<θ－错误!〈错误!，∴sin错误!>0，∴sinθ>cosθ.故选D.5．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C〈0，则△ABC的形状是（) A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定答案B解析∵△ABC中每个角都在（0，π)内,∴sin A>0.∵sin A·cos B·tan C<0，∴cos B·tan C<0.若B，C同为锐角，则cos B·tan C〉0.∴B，C中必定有一个钝角．∴△ABC是钝角三角形．故选B.6．（2018·永昌县期末）已知角α的终边经过点(3a,4a)(a≠0）,则sinα＋cosα的值为（）A。

2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第3章三角函数、解三角形 3.6 正弦定理和余弦定理 Word版

2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第3章三角函数、解三角形 3.6 正弦定理和余弦定理 Word版

3．6正弦定理和余弦定理[知识梳理]1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)． (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 4．在△ABC 中，常有的结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )(2)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( )(3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )(4)在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则此三角形是钝角三角形．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(必修A5P 10A 组T 4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2Asin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×46×34＝1.(2)(必修A5P 20A 组T 11)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．答案 7解析 因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8sin A ，解得sin A ＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.3．小题热身(1)(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝ 120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 在△ABC 中，设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1.故选A.(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.答案 2113解析 由已知可得sin A ＝35，sin C ＝1213，则sin B ＝sin(A ＋C )＝35×513＋45×1213＝6365，再由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ⇒b ＝1×636535＝2113.题型1 利用正、余弦定理解三角形 典例1 (2018·郑州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A ，则cos B ＝( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32边角互化法．答案 B解析 由正弦定理知sin B 3cos B ＝sin Asin A ＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12.故选B.典例2(2018·重庆期末)在△ABC 中，已知AB ＝43，AC ＝4，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．43或8 3 D. 3注意本题的多解性．答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝42＝(43)2＋BC 2－2×43BC cos30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，AC ＝BC ，∠B ＝∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∠C ＝120°，△ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×4×12＝4 3.当BC ＝8时，△ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×8×12＝8 3.故选C.方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 能够实现边角互化．见典例1.2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.冲关针对训练1．(2017·河西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a )sin A ＝(b －c )·(sin B ＋sin C )，则角C 等于( )A.π3B.π6C.π4D.2π3 答案 A解析 由题意，得(b －a )a ＝(b －c )(b ＋c )，∴ab ＝a 2＋b 2－c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.故选A.2．(2018·山东师大附中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C .(1)求a 的值；(2)若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，c ＝3，sin A ＝6sin C ，由正弦定理asin A ＝csin C ，得a ＝6c ＝6×3＝3 2.(2)由cos2A ＝1－2sin 2A ＝－13得，sin 2A ＝23，由0<A <π2，得sin A＝63，则cos A ＝1－sin 2A ＝33.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 化简，得b 2－2b －15＝0， 解得b ＝5(b ＝－3舍去)．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×63＝522.题型2 利用正、余弦定理判断三角形的形状典例(2017·陕西模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定用边角互化法．答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B.[条件探究1] 将本典例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 解法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B .故选B. 解法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .故选B. [条件探究2] 将本典例条件变为“若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13”，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k2＝－23110<0， 又∵C ∈(0，π)，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴△ABC 为钝角三角形．故选C.[条件探究3] 将本典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状．解 由已知得b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 22bc ， ∴b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(a 2＋b 2－c 2)＝a 2(b 2＋c 2－a 2)． ∴(a 2＋c 2－b 2)(b 2＋a 2－c 2)＝0.∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2，即B ＝π2或C ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． 方法技巧判定三角形形状的两种常用途径提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．冲关针对训练在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 及正弦定理，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ∈(0，π)， ∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形. 题型3 与三角形有关的最值角度1 与三角形边长有关的最值典例(2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cos C ＋33c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求ac 的最大值．本题采用转化法．解 (1)在△ABC 中，∵a ＝b cos C ＋33c sin B ，∴sin A ＝sin B cos C ＋33sin C sin B ，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋33sin C sin B ， 化为cos B sin C ＝33sin C sin B ，sin C ≠0， 可得tan B ＝3，B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)由正弦定理得b sin B ＝2R ＝43，令y ＝ac ＝2R sin A ·2R sin C ＝163sin A sin C ＝163sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝83sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋43. ∵0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2. 故π6<2A －π6<5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4.∴ac 的最大值为4. 角度2 与三角形内角有关的最值典例(2017·庄河市期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2.(1)若f (1)＝0，且B －C ＝π3，求角C 的大小； (2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．本题采用放缩法．解 (1)由f (1)＝0，得a 2－a 2＋b 2－4c 2＝0， ∴b ＝2c ，又由正弦定理，得sin B ＝2sin C ， ∵B －C ＝π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ＝2sin C ，整理得3sin C ＝cos C ，∴tan C ＝33. ∵角C 是三角形的内角，∴C ＝π6. (2)∵f (2)＝0，∴4a 2－2a 2＋2b 2－4c 2＝0， 即a 2＋b 2－2c 2＝0，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)．又∵余弦函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，C 是锐角，∴0<C ≤π3. 方法技巧求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．冲关针对训练(2018·绵阳检测)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. 因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12，B ＝π3，所以0<A <2π3，所以π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1，又因为f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，所以f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 B解析 因为a ＝2，c ＝2， 所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ， 故sin A ＝2sin C .又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4. 从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6. 故选B.2．(2018·南阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.答案 π6解析 由正弦定理，得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，即sin B sin(A ＋C )＝12sin B ，因为sin B ≠0，所以sin B ＝12，所以B ＝π6或5π6，又因为a >b ，故B ＝π6.3．(2018·沈阳模拟)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C .若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是________．答案 5<b 2＋c 2≤6解析 由正弦定理可得，(a －b )·(a ＋b )＝(c －b )·c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.∵b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos2B 2＋1－cos2(A ＋B )2＝3sin2B －cos2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4. ∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，即2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，∴5<b 2＋c 2≤6.4．(2015·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 C解析 a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－6c cos60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A.3．(2017·湖南长郡中学六模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 答案 A解析 由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴ab ＝2.故选A.4．(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin Bsin2C ＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.12答案 B解析 不妨设a ＝2，b ＝3，c ＝4，故cos C ＝4＋9－162×2×3＝－14，故sin A －2sin B sin2C ＝a －2b 2c cos C ＝2－68×⎝⎛⎭⎪⎫－14＝2.故选B.5．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a ，b ，c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .若sin B sin C ＝34，△ABC 的形状( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由已知，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.∵0<A <π，故A ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π3－B .由sin B sin C ＝34，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝34.即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝34. 32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34，32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1. 又∵－π6<2B －π6<7π6，∴2B －π6＝π2，即B ＝π3.∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形．故选A.6．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3 答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.故选C. 7．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2) 答案 A解析 由a sin A ＝b sin B ＝bsin2A ，得b ＝2cos A . π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3. 又2A <π2，所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.故选A.8．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.9．(2018·辽宁五校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形 答案 C解析 由两直线平行可得b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin2A ＝12sin2B ，又A ，B ∈(0，π)，且A ＋B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A ＋B ＝π2，则△ABC 是直角三角形．故选C.10．(2017·武昌调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3 答案 C解析 a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C，即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C )⇒tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2m －2(tan A ＝m )，令m －2＝t ⇒(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．故选C.二、填空题11．(2015·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4.12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－B 2. ∴2sin B ＝2cos B 2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B2. ∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.13．(2018·沈阳监测)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．答案 8解析 由题意得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ， 即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1， 又0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4， ∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ， 当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16， ∴S 的最大值为8.14．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则cos ∠ABC ＝14，sin ∠ABC ＝154.所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD22BD ·BC＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.B 级三、解答题15．(2018·郑州质检)已知△ABC 的外接圆直径为433，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°.(1)求a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝433， 所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，c ＝433sin C . 所以a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝433(sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C ＝433.(2)由c ＝433sin C ，得c ＝433×32＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.16．(2017·湖北四校联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0.(1)求ab 的值；(2)若cos C ＝34，求sin B 的值．解 (1)因为sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0，sin B ≠0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A sin B 2＋sin A sin B －6＝0，得sin A sin B ＝2或sin A sin B ＝－3(舍去)． 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝2.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34.① 将ab ＝2，即a ＝2b 代入①， 得5b 2－c 2＝3b 2，得c ＝2b . 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得 cos B ＝(2b )2＋(2b )2－b 22×2b ×2b ＝528，则sin B ＝1－cos 2B ＝148.17．(2018·海淀区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .满足2a cos C ＋c cos A ＝b .(1)求角C 的大小；(2)求sin A cos B ＋sin B 的最大值．解 (1)由正弦定理及2a cos C ＋c cos A ＝b ， 得2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋C ＝π－B ，即sin(A ＋C )＝sin B .∴2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＋sin A cos C ＝sin B ＋sin A cos C ＝sin B ，∴sin A cos C ＝0，又∵0<A <π，0<C <π，∴sin A >0. ∴cos C ＝0，∴C ＝π2. (2)由(1)得C ＝π2， ∴A ＋B ＝π2，即A ＝π2－B .∵sin A cos B ＋sin B ＝cos 2B ＋sin B ＝－sin 2B ＋sin B ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin B －122＋54.∵0<B <π2，∴当sin B ＝12，即B ＝π6时， sin A cos B ＋sin B 取得最大值54.18．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD .(1)求tan ∠ADB 的值； (2)若CD ＝33，求S △ABC .解 (1)如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB 得，BC ＝233a .在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫23a 32－a 22a ·233a＝33，∴∠ABC 是锐角，则sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63.在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ， 得b 2＝a 2＋b 2－233ab ，解得a ＝233b . 由正弦定理AD sin ∠ABD ＝ABsin ∠ADB ，得b 63＝a sin ∠ADB ，解得sin ∠ADB ＝223，又2b 2>a 2，∴∠ADB 为锐角，∴cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝13，tan ∠ADB ＝2 2.(2)由已知可得3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋33＝2a ，①由(1)可知a ＝233b ，② 联立①②得a ＝2，b ＝ 3.过A 作AH ⊥BC 于H ，则H 为BC 的中点，易求得DH ＝33. 则tan ∠ADB ＝AH33＝2 2. ∴AH ＝263，∴S △ABC ＝12×433×263＝423.海阔天空专业文档。

2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第3章三角函数、解三角形 3-4a

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[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2018·合肥质检)要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度 答案 B解析 先将函数y ＝cos2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象．故选B.2．(2017·福建质检)若将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0 答案 A解析 将函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0.故选A. 3．将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π6C ．x ＝πD ．x ＝π2 答案 D 解析4．(2018·广州模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6 答案 B解析 因为函数f (x )的图象过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.又函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3的图象，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32，所以φ可以为5π6.故选B.5．(2018·湖北调研)如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象，则这段曲线的函数解析式可以为( )A ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] B ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π4＋20，x ∈[6,14]C ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4＋20，x ∈[6,14]D ．y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋5π8＋20，x ∈[6,14]答案 A解析 由三角函数的图象可知，b ＝10＋302＝20，A ＝30－102＝10，T 2＝14－6＝8⇒T ＝16＝2πω⇒ω＝π8，则y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ＋20，将(6,10)代入得10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π8＋φ＋20＝10⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1⇒φ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．取k ＝0，得φ＝3π4.故选A.6．(2015·安徽高考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)答案 A解析 ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，且x ＝2π3是经过函数f (x )最小值点的一条对称轴，∴x ＝2π3－π2＝π6是经过函数f (x )最大值点的一条对称轴．∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－π6＝12－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪(π－2)－π6＝5π－126，⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－π6＝π6，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－π6>⎪⎪⎪⎪⎪⎪(π－2)－π6>⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－π6，且－π3<2<2π3，－π3<π－2<2π3，－π3<0<2π3，∴f (2)<f (π－2)<f (0)，即f (2)<f (－2)<f (0)．故选A.7．(2018·安阳检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则∑2018n ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＝( )A ．－1B ．0 C.32 D ．1 答案 C解析 易得ω＝2，由五点法作图可知2×π6＋φ＝π2，得φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π6＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π6＝12，故∑2018n ＝1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6＝336×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－12－1－12＋12＋1＋12＝32.故选C.8．(2017·河北二模)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( ) A ．向左平移π2个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 答案 C解析 f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，故把g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位，即得函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3的图象，即得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．故选C. 9．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，|φ|≤π2的部分图象与坐标轴的三个交点P ，Q ，R 满足P (1，0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为( )A ．2 3 B.733 C.833 D ．4 3 答案 C解析 依题意得，点Q 的横坐标是4，点R 的纵坐标是－4，∴T＝2πω＝2|PQ |＝6，A sin φ＝－4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋42＝A ，∴ω＝π3，A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1. 又|φ|≤π2，∴π3≤5π6＋φ≤4π3， ∴5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，∴A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833.故选C. 10．(2015·湖南高考)将函数f (x )＝sin2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6 答案 D解析 g (x )＝sin[2(x －φ)]＝sin(2x －2φ)． ∵|f (x )|≤1，|g (x )|≤1， ∴|f (x 1)－g (x 2)|≤2，当且仅当f (x 1)＝1，g (x 2)＝－1或f (x 1)＝－1，g (x 2)＝1时，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2.不妨设A (x 1，－1)是函数f (x )图象的一个最低点，B (x 2，1)是函数g (x )图象的一个最高点，于是x 1＝k 1π＋3π4(k 1∈Z )，x 2＝k 2π＋π4＋φ(k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ. ∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴|x 1－x 2|≥π2－φ.又∵|x 1－x 2|min ＝π3， ∴π2－φ＝π3，即φ＝π6.故选D. 二、填空题11．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图象如图所示，要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象，则需将函数y ＝sin ωx 的图象向________平移________个单位长度．答案 左 π6解析 由图象知函数y ＝sin ωx 的周期为T ＝4π， ∴ω＝2πT ＝12，故y ＝sin 12x .又y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12＝sin 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6， ∴将函数y ＝sin 12x 的图象向左平移π6个单位长度，即可得到函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π12的图象．12．(2017·河南一模)将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π6个单位后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2解析 将函数f (x )＝2cos2x 的图象向右平移π6个单位后得到函数g (x )的图象，得g (x )＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由－π＋2k π≤2x －π3≤2k π，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，当k ＝1时，函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.要使函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，7π6上均单调递增， 则⎩⎪⎨⎪⎧0<a 3≤π6，2π3≤2a <7π6，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2.13．(2017·三明一模) 已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M >0， ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．答案 －12解析 依题意，知△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，k ∈Z . 由0<φ<π，得φ＝π2，故f (x )＝－12sinπx ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12sin π2＝－12.14．(2017·烟台二模)已知函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位得到一个偶函数的图象，则实数m 的最小值为________．答案 π12解析 ∵函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，∴2×2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π－5π6，k ∈Z . ∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋k π－5π6，k ∈Z . ∵f (x )的图象向右平移m 个单位得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2m ＋k π－5π6(k ∈Z )为偶函数，∴x ＝0为其对称轴，即－2m ＋k π－5π6＝k 1π(k ∈Z ，k 1∈Z )，m ＝(k －k 1)π2－5π12(k ∈Z ，k 1∈Z )，∵m >0，∴m 的最小正值为π12，此时k －k 1＝1，k ∈Z ，k 1∈Z . 三、解答题15．(2017·九原期末)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋3.(1)指出f (x )的最小正周期，并用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)求f(x)在[0,4π]上的单调区间；并求出f(x)在[0,4π]上最大值及其对应x的取值集合；(3)说明此函数图象是由y＝sin x在[0,2π]上的图象经怎样的变换得到的．解(1)f(x)的最小正周期为周期T＝4π，列表如下(2)增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤8π3，4π；减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，8π3；f (x )在[0,4π]上的最大值为6，此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π3； (3)①由y ＝sin x 的图象上各点向左平移φ＝π6个长度单位，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象； ②由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象； ③由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象上各点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象； ④由y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象上各点向上平移3个长度单位，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋3的图象． 16．(2018·绵阳模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2相邻两对称轴间的距离为π2，若将f (x )的图象先向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g (x )的为奇函数．(1)求f (x )的解析式，并求f (x )的对称中心；(2)若关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得T 2＝πω＝π2，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，∴g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＋b －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ＋b －1.再结合函数g (x )的为奇函数，可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，且b －1＝0，再根据－π2<φ<π2，可得φ＝－π6，b ＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，g (x )＝sin2x . 令2x －π6＝n π，n ∈Z ，可得x ＝n π2＋π12，∴f (x )的对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫n π2＋π12，1. (2)由(1)可得g (x )＝sin2x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，2x ∈[0，π]， 令t ＝g (x )，则t ∈[0,1]．由关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，可得关于t 的方程3t 2＋m ·t ＋2＝0在区间(0,1)上有唯一解． 令h (t )＝3t 2＋m ·t ＋2，∵h (0)＝2>0，则满足h (1)＝3＋m ＋2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－24＝0，0<－m 6<1，求得m <－5或m ＝－2 6.。

高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3-3三角函数的图象和性质模拟演练理

高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3-3三角函数的图象和性质模拟演练理

【2019最新】精选高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3-3三角函数的图象和性质模拟演练理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( )A ．y ＝sinB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝sinD ．y ＝sin|x|答案 B解析 注意到函数y ＝sin 的最小正周期T ＝＝π，当x ＝时，y ＝sin ＝1，因此该函数同时具有性质①②.2．[2017·衡阳模拟]函数y ＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－B ．0C ．－1D ．－1－3答案 A解析 ∵0≤x≤9，∴－≤x－≤， ∴sin ∈.∴y ∈[－，2]，∴ymax ＋ymin ＝2－.3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为，则f 的值是( )A ．0B ．33C ．1D ．3答案 D解析 由条件可知，f(x)的周期是.由＝，得ω＝4，所以f ＝tan ＝tan ＝.4．[2017·南昌模拟]函数y ＝的定义域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B.(k∈Z) C ．(k∈Z) D ．R 答案 C解析 ∵cosx－≥0, 得cosx≥，∴2k π－≤x≤2k π＋，k∈Z. 5．函数y ＝2sin(x∈[0，π])的递增区间是( ) A ． B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，πC ．D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 答案 A解析 首先将函数化为y ＝－2sin(x∈[0，π])，令t ＝2x －，x 增大，t 增大，所以为求函数的增区间，须研究y ＝2sint 的减区间．由＋2k π≤2x－≤＋2k π，k∈Z 得＋k π≤x≤＋k π，k∈Z，所以k ＝0时得，故选A.6．函数y ＝3－2cos 的最大值为________，此时x ＝________. 答案 5 ＋2k π(k∈Z)解析 函数y ＝3－2cos 的最大值为3＋2＝5，此时x ＋＝π＋2k π(k∈Z)，即x ＝＋2k π(k∈Z)．7．若函数y ＝cos(ω∈N*)的一个对称中心是，则ω的最小值是________．答案 2解析 由题意得ω×＋＝＋k π(k∈Z)，ω＝6k ＋2(k∈Z)，∵ω∈N*，所以ω的最小值是2.8．[2017·郑州模拟]已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上的最小值是－2，则ω的最小值为________．答案32解析 因为f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值为－2，所以≤，即≤.所以ω≥，即ω的最小值为.9．设函数f(x)＝tan.(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集．解 (1)由－≠＋k π(k∈Z)，得x≠＋2k π(k∈Z)， 所以函数f(x)的定义域是. 因为ω＝，所以周期T ＝＝2π. 由－＋k π<－<＋k π(k∈Z)， 得－＋2k π<x<＋2k π(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π (k∈Z)．(2)由－1≤tan≤，得－＋k π≤－≤＋k π(k∈Z)． 解得＋2k π≤x≤＋2k π(k∈Z)． 所以不等式－1≤f(x)≤的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x≤4π3＋2k π，k∈Z. 10．已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π. (1)求当f(x)为偶函数时φ的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间． 解 ∵由f(x)的最小正周期为π，则T ＝＝π， ∴ω＝2，∴f(x)＝sin(2x ＋φ)． (1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)， ∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin2xcos φ＝0， 由已知上式对∀x∈R 都成立， ∴cos φ＝0.∵0<φ<，∴φ＝. (2)f(x)的图象过点时， sin ＝，即sin ＝.又∵0<φ<，∴<＋φ<π， ∴＋φ＝，φ＝， ∴f(x)＝sin.令2k π－≤2x＋≤2k π＋，k∈Z， 得k π－≤x≤k π＋，k∈Z. ∴f(x)的递增区间为，k ∈Z.[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝对称，则|φ|的最小值是( )A ．B ．π3C ．D ．π2答案 A解析 由题意可知，＋φ＝k π，k∈Z，故φ＝k π－，k∈Z.当k ＝0时，φ＝－，此时|φ|＝为最小值，选A.12．[2017·石家庄模拟]若f(x)＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34解析 由2k π－≤ωx≤2k π＋，k∈Z， 得f(x)的增区间是，k∈Z . 因为f(x)在上是增函数， 所以⊆.所以－≥－且≤，所以ω∈.13．已知x∈(0，π]，关于x 的方程2sin ＝a 有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．答案 (，2)解析 令y1＝2sin ，x∈(0，π]，y2＝a ，作出y1的图象如图所示．若2sinx ＋＝a 在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2应有两个不同的交点，所以<a<2.14．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称．(1)求φ，ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)x∈，求f(x)的最大值与最小值．解(1)因为f(x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f(x)＝cosωx.因为图象关于点M对称，所以ω×π＝＋kπ，k∈Z，且0<ω<1，所以ω＝.(2)由(1)得f(x)＝cosx，由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，所以函数f(x)的递增区间是，k∈Z.(3)因为x∈，所以x∈，当x＝0时，即x＝0，函数f(x)的最大值为1，当x＝－时，即x＝－，函数f(x)的最小值为0.。