第六章习题解答1、设函数01(),(),,()n x x x φφφ 在[,]a b 上带权()x ρ正交，试证明{}()nj j x φ=是线性无关组。
证明：设0()nj jj l x φ==∑，两端与01()(,,,)kx k n φ= 作内积，由()jx φ的正交性可知，200(),()((),())((),())()()n n b k j j j k j k k k k k a j j x l x l x x l x x l x x dx φφφφφφρφ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑⎰， 于是有001(,,,)k l k n == ，即{}()nj j x φ=是线性无关组。
2、试确定系数,a b 的值使22(()cos )ax b x dx π+-⎰达到最小。
解：定义02,[,]f g C π∈上的内积为20fgdx π⎰，取011(),()x x x ϕϕ==，()s x ax b =+，()cos f x x =，则法方程为0001010111(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中()2000112,dx ππϕϕ=⨯=⎰，()2201018,xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()3211024,x xdx ππϕϕ=⨯=⎰，()2001,cos f xdx πϕ==⎰，()21012,cos f x xdx ππϕ==-⎰，于是方程组为22312812824a b πππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得1158506644.,.a b ==-。
3、已知函数11()(,)f x x =∈-，试用二类Chebyshev 多项式()n U x 构造此函数的二次最佳平方逼近元。
解：法一、取20121(),(),(),x x x x x ϕϕϕ===()()()00112222235,,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，()()()011202203,,,,ϕϕϕϕϕϕ===，同时由二类Chebyshev 多项式的性质知 ()()()11101211028,,,,,f f f x ππϕϕϕ---======⎰⎰⎰于是可得法方程为0122203220003220835c c c ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，解之得0121.0308,0,0.7363c c c ===-， 于是()f x 的二次最佳逼近元是2001122() 1.03080.7363x c c c x ϕϕϕϕ=++=-法一、二类Chebyshev 多项式2012()1,()2,()41U x U x x U x x ===-，取内积权函数()()x f x ρ==，于是11200114(,)(1)3f U fU dx x dx ρ--==-=⎰⎰，1121111(,)2(1)0f U fU dx x x dx ρ--==-=⎰⎰，112222114(,)(41)(1)15f U fU dx x x dx ρ--==--=-⎰⎰ 由()n U x 正交性及(,)2n n U U π=可得0000(,)8(,)3f U c U U π==，1111(,)0(,)f U c U U ==，2222(,)8(,)15f U c U U π==-， 于是()f x 的二次最佳逼近元为001122()x c U c U c U ϕ=++=21632515x ππ- 4、设012{(),(),()}L x L x L x 是定义于[0,)+∞上关于权函数()xx eρ-=的首项系数为1的正交多项式组，若已知01()1,()1L x L x x ==-，试求出二次多项式2()L x 。
数值逼近知识点总结一、基本概念1.1 逼近误差在数值逼近中，我们通常会用逼近值来代替某个函数的真实值。
这个逼近值和真实值之间的差称为逼近误差，通常表示为ε。
逼近误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指逼近值与真实值之间的差值，表示为|f(x)-Pn(x)|。
相对误差是指绝对误差与真实值的比值，表示为|f(x)-Pn(x)|/|f(x)|。
通常情况下，我们希望逼近误差越小越好。
1.2 逼近多项式在数值逼近中，我们通常会用一个多项式来逼近某个函数。
这个多项式通常称为逼近多项式，记为Pn(x)，其中n表示多项式的次数。
逼近方法的目的就是找到一个逼近多项式，使得它可以尽可能地接近原函数。
1.3 逼近点在进行数值逼近的过程中，逼近点的选择对逼近结果有很大的影响。
通常情况下，我们会选择一些离散的点，然后通过这些点来构造逼近多项式。
这些点通常称为逼近点，记为(xi, yi)。
1.4 逼近方法数值逼近的方法有很多种，常见的包括插值法、最小二乘法、迭代法等。
这些方法各有特点，适用于不同的逼近问题。
在接下来的篇幅中，我将详细介绍这些方法的原理和应用。
二、插值法2.1 基本概念插值法是数值逼近中常用的一种方法，它的基本思想是通过已知的数据点来构造一个插值多项式，然后用这个多项式来逼近原函数。
插值法的优点是可以通过已知的数据点来精确地确定逼近多项式。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种通过拉格朗日基函数来构造插值多项式的方法。
假设给定n+1个互不相同的插值点(xi, yi)，我们要求一个n次多项式Pn(x)，满足条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)。
那么Pn(x)的表达式为：\[Pn(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+...+ynLn(x)\]其中Li(x)为拉格朗日基函数，表达式为：\[Li(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n\frac{x-xi}{xi-xj}\]拉格朗日插值法的优点是简单易懂，容易编程实现。
数值计算中的逼近理论-教案一、引言1.1数值计算与逼近理论的关系1.1.1数值计算在科学研究和工程应用中的重要性1.1.2逼近理论在数值计算中的核心地位1.1.3数值计算与逼近理论的相互促进与发展1.2逼近理论的基本概念1.2.1逼近理论的定义及其数学表述1.2.2逼近理论的主要研究内容和方法1.2.3逼近理论在数值分析中的应用领域1.3教学目标和意义1.3.1培养学生理解和掌握逼近理论的基本概念和方法1.3.2培养学生运用逼近理论解决实际问题的能力1.3.3提高学生对数值计算的兴趣和科学素养二、知识点讲解2.1函数逼近的基本概念2.1.1函数逼近的定义和分类2.1.2函数逼近的主要方法和技术2.1.3函数逼近在数值计算中的应用2.2最佳逼近理论2.2.1最佳逼近的定义和数学表述2.2.2最佳逼近的存在性和唯一性2.2.3最佳逼近的计算方法和应用2.3等价逼近和插值逼近2.3.1等价逼近的定义和性质2.3.2插值逼近的定义和性质2.3.3等价逼近和插值逼近的比较和应用三、教学内容3.1函数逼近的基本方法3.1.1代数多项式逼近3.1.2三角多项式逼近3.1.3有理函数逼近3.1.4小波逼近3.2最佳逼近理论的应用3.2.1数据拟合与回归分析3.2.2信号处理与图像重建3.2.3最优化问题与数值求解3.2.4工程问题中的应用案例3.3插值逼近与数值微分和积分3.3.1插值逼近的基本方法和原理3.3.2数值微分和积分的概念和方法3.3.3插值逼近在数值微分和积分中的应用3.3.4数值微分和积分的计算误差分析四、教学目标1.1知识与技能目标1.1.1使学生理解逼近理论的基本概念和方法1.1.2培养学生运用逼近理论解决实际问题的能力1.1.3使学生掌握数值计算中的逼近算法和技巧1.1.4培养学生的数学思维和科学素养1.2过程与方法目标1.2.1通过实例分析，让学生体会逼近理论在实际中的应用1.2.2通过小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力1.2.3通过上机实践，提高学生的计算机操作能力和编程能力1.2.4通过课后练习，巩固学生对逼近理论知识的理解和应用1.3情感态度与价值观目标1.3.1培养学生对数值计算和逼近理论的兴趣和热情1.3.2培养学生的科学精神和创新意识1.3.3培养学生的团队合作精神和责任感1.3.4培养学生的批判性思维和自主学习能力五、教学难点与重点2.1教学难点2.1.1逼近理论的基本概念和方法的理解2.1.2最佳逼近的存在性和唯一性的证明2.1.3数值计算中逼近算法的实现和优化2.1.4逼近理论的数学表述和逻辑推理2.2教学重点2.2.1函数逼近的基本方法和原理2.2.2最佳逼近的计算方法和应用2.2.3插值逼近与数值微分和积分的关系和应用2.2.4逼近理论在实际问题中的应用案例2.3教学难点与重点的关系2.3.1教学难点是学生在学习过程中可能遇到的困难和挑战2.3.2教学重点是学生在学习过程中需要重点掌握的知识和技能2.3.3教学难点与重点相互关联，教学难点的突破有助于学生对教学重点的理解和应用2.3.4教学难点与重点的把握和处理好坏，直接影响到教学效果和学生的学习效果六、教具与学具准备3.1教具准备3.1.1多媒体设备（电脑、投影仪、音响等）3.1.2教学课件（PPT或PDF）3.1.3黑板和粉笔（或白板和白板笔）3.1.4教学视频和动画（可选）3.2学具准备3.2.1笔记本和笔3.2.2数值计算相关的教材和参考书3.2.3计算器和计算机（用于上机实践）3.2.4小组讨论材料（如问题案例、数据集等）3.3教具与学具的管理和使用3.3.1教师应提前检查和准备好教具3.3.2学生应提前准备好学具，并保持整洁3.3.3教具和学具的使用应结合教学内容和教学方法3.3.4教具和学具的使用应有助于提高教学效果和学生的学习效果七、教学过程4.1导入新课4.1.1通过实例引入逼近理论的概念和应用4.1.2提出问题，激发学生的兴趣和思考4.1.3引导学生回顾相关的知识和方法4.1.4明确教学目标和要求4.2讲解新课4.2.1讲解逼近理论的基本概念和方法4.2.2通过实例演示逼近算法的实现和应用4.2.3讲解最佳逼近的存在性和唯一性4.2.4讲解插值逼近与数值微分和积分的关系和应用4.3练习与应用4.3.1布置课后练习，巩固学生对知识的理解和应用4.3.2提供实际问题案例，让学生运用逼近理论解决4.3.3安排上机实践，让学生动手实现逼近算法4.3.4组织小组讨论，让学生分享问题和经验4.4.2对教学效果进行反思和改进4.4.3收集学生的反馈意见和建议4.4.4为下一节课的教学做好准备八、板书设计1.1板书内容1.1.1逼近理论的基本概念和方法1.1.2最佳逼近的存在性和唯一性1.1.3插值逼近与数值微分和积分的关系和应用1.2板书结构1.2.1采用总分结构，先总体介绍逼近理论，再详细讲解各个部分1.2.2使用图表和公式，直观展示逼近算法的实现和应用1.2.3通过案例和实例，引导学生理解和掌握逼近理论1.3板书设计原则1.3.1突出教学重点和难点1.3.2逻辑清晰，条理分明1.3.3简洁明了，易于理解1.3.4与教学内容和教学方法相匹配九、作业设计2.1作业内容2.1.1基本概念和方法的理解和应用2.1.2最佳逼近的计算方法和应用2.1.3插值逼近与数值微分和积分的关系和应用2.1.4实际问题案例的解决2.2作业形式2.2.1选择题和填空题（用于巩固基本概念和方法）2.2.2计算题和应用题（用于提高计算能力和应用能力）2.2.3论述题和拓展题（用于培养学生的思维能力和创新能力）2.2.4小组讨论和报告（用于培养学生的合作能力和表达能力）2.3作业评价2.3.1作业的难易程度和量要适中2.3.2作业要能够反映学生的学习情况和掌握程度2.3.3教师要及时批改和反馈作业情况2.3.4学生要认真完成作业，及时改正错误十、课后反思及拓展延伸3.1课后反思3.1.2对学生的学习情况进行评价和分析3.1.3对教学效果进行评估和改进3.1.4对教学内容和方法进行反思和调整3.2拓展延伸3.2.1引导学生阅读相关的文献和资料3.2.2提供实际问题案例，让学生进行深入研究和探索3.2.3安排上机实践，让学生动手实现逼近算法3.2.4组织小组讨论，让学生分享问题和经验重点关注环节的补充和说明：2.教具与学具准备：教具与学具的准备是教学过程中的重要环节，要结合教学内容和教学方法进行选择和使用。
