数值分析总结计划实验一拉格朗日插值算法报告总结计划.doc

一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。

二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。

3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。

（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。

（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。

三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。

（2）计算插值多项式在未知点的函数值。

3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。

（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。

（3）迭代计算，直到满足精度要求。

4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。

（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。

（3）计算积分值。

四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。

（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。

2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。

（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。

（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。

3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。

数值分析实验报告
一、实验背景
本实验主要介绍了数值分析的各种方法。

在科学计算中，为了求解一
组常微分方程或一些极限问题，数值分析是一种有用的方法。

数值分析是
一种运用计算机技术对复杂模型的问题进行数学分析的重要手段，它利用
数学模型和计算机程序来解决复杂的数学和科学问题。

二、实验内容
本实验通过MATLAB软件，展示了以下几种数值分析方法：
（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日发
明的一种插值方法，它可以用来插值一组数据，我们使用拉格朗日插值法
对给定的点进行插值，得到相应的拉格朗日多项式，从而计算出任意一个
点的函数值。

（2）最小二乘法：最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以
用来拟合满足一定函数的点的数据，它的主要思想是使得数据点到拟合曲
线之间的距离的平方和最小。

（3）牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，它可以
用来插值一组数据，可以求得一组数据的插值函数。

（4）三次样条插值：三次样条插值是一种基于三次样条的插值方法，它可以用来对一组数据进行插值，可以求得一组数据的插值函数。

三、实验步骤
1．首先启动MATLAB软件。

第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。

通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。

以下是我对数值分析实验的心得体会。

一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。

2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。

3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。

4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。

二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。

（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。

最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。

2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。

（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。

最后，比较不同方法的收敛速度和精度。

3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。

（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。

最后，比较不同方法的计算量和精度。

4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。

（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。

第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。

2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。

3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。

4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。

二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。

它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。

常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。

1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。

2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。

其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。

三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。

引言概述：
拉格朗日插值是一种常用的数值分析方法，旨在通过已知的离散数据点来近似拟合出一个多项式函数，从而实现对未知数据点的预测和估计。

该方法在信号处理、图像处理、金融模型和机器学习等领域具有广泛的应用。

本实验报告将详细介绍拉格朗日插值的原理、算法和实验结果。

正文内容：
1.拉格朗日插值的原理
1.1多项式插值的概念
1.2拉格朗日插值多项式的形式
1.3拉格朗日插值多项式的唯一性证明
2.拉格朗日插值的算法
2.1插值多项式的计算方法
2.2插值多项式的复杂度分析
2.3多点插值方法的优缺点
3.拉格朗日插值的实验设计
3.1实验目的和步骤
3.2数据采集和预处理
3.3插值多项式的建模
3.4实验环境和工具选择
3.5实验结果分析和评估
4.拉格朗日插值的应用案例
4.1信号处理领域中的插值应用
4.2图像处理中的插值算法
4.3金融模型中的拉格朗日插值
4.4机器学习中的插值方法
5.拉格朗日插值的改进和发展
5.1经典拉格朗日插值的局限性
5.2最小二乘拉格朗日插值的改进
5.3多项式插值的其他方法
5.4拉格朗日插值在新领域的应用前景
总结：
拉格朗日插值作为一种经典的数值分析方法，在实际应用中具有广泛的用途。

本文通过介绍拉格朗日插值的原理和算法，以及实验设计和应用案例，全面展示了该方法的特点和优势。

同时，本文还指出了经典拉格朗日插值的局限性，并介绍了一些改进和发展的方向。

可以预见，拉格朗日插值在信号处理、图像处理、金融模型和机器学习等领域将继续发挥重要作用。

武汉理工大学学生实验报告书实验课程名称数值分析开课学院计算机科学与技术学院指导老师姓名学生姓名学生专业班级2010—2010学年第一学期实验课程名称：数值分析第二部分：实验调试与结果分析（可加页）一、调试过程（包括调试方法描述、实验数据记录，实验现象记录，实验过程发现的问题等）（1）用拉格朗日插值法计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（2）利用二次插值计算时，输入及运行结果如下：拉格朗日插值法牛顿插值法（3）用艾尔米特插值法计算时,f(x)的插值多项式H5(x)=(1+4*x)*(x-0.5)*(x-0.5)*(x-2)*(x-2)+(3.90807-6.03838*x)*(x-2)*(x-2)*x*x+(2.34573-4.16674*x)*x*x*(x-0.5)*(x-0.5)（4）各插值算法的精度差异比较经过比较，拉格朗日插值法要比牛顿插值法算法的计算量多一些，拉格朗日插值法后一次计算时用到了前一次计算的结果，提高了运算的效率，但拉格朗日插值法在构造艾尔米特插值法时很方便，将坐标点和对应的导数结合起来的精度比线性插值的精度又要高一些。

但从实验数据来看，在坐标不是很多的情况下，已知的点越多精度也就相对较高。

对于实验要求的第二组数据用拉格朗日插值法（或者牛顿插值法）实验结果如下：一下分别是二阶、三阶、四阶、五阶插值得到的结果以上只是实验结果的一部分，改变插值的位置时，得到的实验结果精度也是有所不同的。

由以上结果分析可知，插值次数并不是越多越好，多了反而会让结果更加偏离真实结果，这充分说明了高次插值存在“病态性质”，在已知点很多的情况下应该采用分段低次插值，将拉格朗日插值法和牛顿插值法运用到分段低次插值法当中，这样得到的结果可能胡更加精确。

数值分析插值实验报告引言插值是数值分析中常用的一种技术，通过已知点的函数值来推测未知点的函数值。

在实际应用中，我们经常需要根据有限的数据点来估计连续函数的值，这时插值就起到了关键作用。

本实验旨在通过插值方法来推测未知数据点的函数值，并对比不同插值方法的精度和效果。

实验目的1.了解插值的基本概念和方法；2.掌握常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等；3.对比不同插值方法的精度和效果，分析其优缺点。

实验步骤1.数据采集：选取一组已知数据点，作为插值的基础。

这些数据点可以是从实际场景中测量得到的，也可以是人为设定的。

2.插值方法选择：根据实验要求和数据特点，选择适合的插值方法。

常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值等。

3.插值计算：根据选定的插值方法，利用已知数据点进行计算，并得到插值结果。

4.结果分析：比较插值结果与实际数据的差异，并评估插值方法的精度和效果。

可以使用误差分析等方法进行评估。

5.优化调整：根据实验结果和需求，对插值方法进行优化调整，以提高插值的准确性和可靠性。

实验结果与讨论通过实验，我们得到了不同插值方法的结果，并进行了对比和分析。

根据实验数据和误差分析，我们可以得出以下结论：1.拉格朗日插值方法具有较高的插值精度，在一定程度上能够准确地模拟实际数据。

2.牛顿插值方法相对于拉格朗日插值方法而言，对于大量数据点的计算速度更快，但在少量数据点的情况下，两者的精度差异较小。

3.分段线性插值方法适用于数据点较为离散的情况，能够提供较为平滑的插值结果。

4.插值方法的选择应根据具体需求和数据特点进行，没有一种插值方法适用于所有情况。

实验总结通过本次实验，我们对插值方法有了更深入的了解，并掌握了常见的插值方法的原理和应用。

实验结果表明，插值方法在数值分析中起到了重要的作用，能够准确地推测未知点的函数值。

然而，在实际应用中，我们还需要考虑数据的特点、插值方法的适用性以及计算效率等因素。

计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题一、方法原理n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1)二、主要思路使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。

对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x)上式表明：n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。

可求得lk三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n2.输入各个节点的横纵坐标3.输入插值点4.调用函数，返回z函数语句与形参说明程序源代码如下：形参与函数类型参数意义intn节点的个数doublex[n]（double*x）存放n个节点的值doubley[n]（double*y）存放n个节点相对应的函数值doublep指定插值点的值doublefun()函数返回一个双精度实型函数值，即插值点p处的近似函数值#include<iostream>#include<math.h>usingnamespacestd;#defineN100doublefun(double*x,double*y,intn,doublep);voidmain(){inti,n;cout<<"输入节点的个数n：";cin>>n;doublex[N],y[N],p;cout<<"pleaseinputxiangliangx="<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>x[i];cout<<"pleaseinputxiangliangy="<<endl;for(i=0;i<n;i++)cin>>y[i];cout<<"pleaseinputLagelangrichazhiJieDianp="<<endl;cin>>p;cout<<"TheAnswer="<<fun(x,y,n,p)<<endl;system("pause");}doublefun(doublex[],doubley[],intn,doublep){doublez=0,s=1.0;intk=0,i=0;doubleL[N];while(k<n){if(k==0){for(i=1;i<n;i++)s=s*(p-x[i])/(x[0]-x[i]);L[0]=s*y[0];k=k+1;}else{s=1.0;for(i=0;i<=k-1;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));for(i=k+1;i<n;i++)s=s*((p-x[i])/(x[k]-x[i]));L[k]=s*y[k];k++;}}for(i=0;i<n;i++)z=z+L[i];returnz;}四．运行结果测试：五．实验分析n=2时，为一次插值，即线性插值n=3时，为二次插值，即抛物线插值n=1，此时只有一个节点，插值点的值就是该节点的函数值n<1时，结果都是返回0的；这里做了n=0和n=-7两种情况3<n<100时，也都有相应的答案常用的是线性插值和抛物线插值，显然，抛物线精度相对高些n次插值多项式Ln（x）通常是次数为n的多项式，特殊情况可能次数小于n.例如：通过三点的二次插值多项式L2(x),如果三点共线，则y=L2(x)就是一条直线，而不是抛物线，这时L2(x)是一次式。

拉格朗日插值实验报告一、实验目的本实验旨在通过实际实验，深入理解拉格朗日插值法的原理和应用，掌握其计算过程和相关技巧。

二、实验原理Pn(x) = ∑ [yi * li(x)]其中，li(x)称为拉格朗日基函数，具体的计算公式如下：li(x) = ∏ [(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j)利用拉格朗日插值法可以对数据进行插值计算，从而得到原函数未知的点的函数值。

三、实验步骤1.根据实验要求，选择一组离散的数据点，确保它们在横坐标轴上不共线。

2. 使用拉格朗日插值法计算插值多项式的各个基函数li(x)。

3.对插值多项式进行求和，得到最终的插值多项式Pn(x)。

4.在给定的范围内选择一些未知数据点，利用插值多项式Pn(x)计算其函数值。

5.将实际计算的函数值与原函数值进行对比，评估插值方法的准确性和精确度。

四、实验结果以实验要求给定的数据点为例，具体数据如下：x:1,2,3,4,5,6y:5,19,43,79,127,187根据拉格朗日插值法的计算公式，可以得到以下结果：l0(x)=(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/(-120)l1(x)=(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)/120l2(x)=(x-1)(x-2)(x-4)(x-5)(x-6)/(-48)l3(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)(x-6)/48l4(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-6)/(-20)l5(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/20插值多项式Pn(x)=5*l0(x)+19*l1(x)+43*l2(x)+79*l3(x)+127*l4(x)+187*l5(x)综合以上计算结果，可以对给定范围内的未知数据点进行插值计算，从而得到相应的函数值。

五、实验分析与结论在实际实验中，我们可以利用拉格朗日插值法对任意给定的函数进行逼近计算，从而得到函数在离散数据点之间的近似值。