五年级奥数第09讲-数阵(教)

第7讲有趣的数阵图（一）【知识导航】1、认真分析数阵图中隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口。

通常选择使用次数多的数作为关键数。

2、依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，一般采用试验的方法，确定关键数的数值及相等的和。

3、数字比较复杂的图形，可采用化简数据，消去公共部分，设立未知量等方法。

基本训练1、把1—7这七个数分别填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等。

2、把1--11这11个数，分别填入下图的辐射型数阵图中，使每条线上三个○内数的和相等。

3、将1--9这9个数分别填入下图中，使每条线段上五个○内数的和相等。

4、把1—7这七个数分别填入圆圈内，使图中每个圆和每条直线上的三个数和都相等。

5、把1—9这九个数填入圆圈内，使每条对角线五数之和相等，大小正方形四角上四数之和也相等。

拓展提高6、下图中四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或2，使得各圆内三个数字之和互不相同。

7、把1--10这10个数分别填入下图复合型数阵图中，使每条线上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内的和边相等。

8、把4—9分别填入下图中的圈内，使每个圆周上四个数的和尽可能最大。

9、下图的六条线分别连着九个圆圈，其中一个圆圈里的数是6，请选出九个连续自然数（包括6在内），填入圈内，使每条线上各数的和都等于23。

10、把1-10这十个自然数填入图中的10个方格中，要求图中3个2×2的正方形中四数之和相等，那么这个和的最小值是几？想一想，算一算下图像十字路口的红绿灯吗？请你在每盏灯处分别填入1～9中的任何一个数字，让相连的每三个数相乘的得数都相同。

你能行吗？。

课时3 数阵问题（一）一．数阵填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，主要讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二．例题精析例1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D ＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

小试牛刀把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

例2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。

在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。

小试牛刀1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

学科教师辅导讲义知识梳理一、数阵图把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。

数阵是一种由幻方演变而来的数字图。

二、数阵图的分类封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。

三、数阵图的解法（1）辐射型数阵图主意一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数；主意二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1（2）封闭型数阵图公式：线和×线数=数字和+重叠数之和（3）复合型数阵图综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要详细情况详细分析。

第 1 页/共11 页典例分析考点一：辐射型数阵图例1、把1～5这五个数分离填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

【解析】中间方格中的数很异常，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，惟独重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2、将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

【解析】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。

因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。

于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。

由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。

剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。

可得右上图的填法。

倘若把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么模仿例3，重叠数可能等于几？怎样填？考点二：封闭型数阵图例1、将1~6六个天然数分离填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11.【解析】此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11⨯=，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12 333的数，且其中随意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经实验，填法如图。

数阵问题（一）把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在规定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图。

传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。

有一天，从河里浮出其不意一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”，书上有一幅奇特的图案（见下左图）。

这幅图用现在的数字表示，即为1到9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。

多么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”可“九宫图”，国外称它为“魔方”或“幻方”。

我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。

数阵问题的题型主要有三种：（1）辐射型；（2）封闭型；（3）综合型。

这一讲我们学习三阶幻方和辐射型数阵图。

例题与方法例1．将1～9九个数字填在右图正方形的九个方格中，使得每个横行、竖列和对角线上三个数的和都相等。

例2．用7、9、11、13、15、17、19、21、23构制一个三阶幻方。

例3．下面是一个九宫图，第一行第三列上的数是6，第二行第一列上的数是7，请你在其他位置上填上适当的数，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和为30。

例4．把3、4、5、6、7这五个数分别填入下图中的五个方格里，使横行、竖列三个数的和都是14。

例5．将1～7分别填入右图中的○内，使每条线段上三个○内数的和相等。

例6．把1～9九个数填入“七一”内，使每一横行、竖行的数字和是13。

练习与思考1．按四个填数步骤把4～12这9个数填在右图3×3的格内，制成三阶幻方。

2．用“杨辉法”，将9～17这9个数制成三阶幻方。

3．用11，13，15…，25，27这9个数制一个三阶幻方。

4.用 4,6,8,14,16,18,24,26,28制一个三阶幻方。

5．在图中空格内填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的数的和都为27。

第5题 第6题6．将图中的数重新排列，使每行、每列以及每条对角线上三个数的和相等。

7．将5，6，7，8，9五个数分别填入图中，使横行、竖行三个数的和都是21。

小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

课时3 数阵问题（一）一．数阵填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，主要讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二．例题精析例1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A ＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

小试牛刀把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

例2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。

在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。

小试牛刀1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

【小学五年级奥数讲义】数阵一、知识重点填“幻方”是同学们比较熟习的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常有的填数问题。

这里，和同学们议论一些数阵的填法。

解答数阵问题往常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示知足条件的数，经过剖析、计算来确立这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题供给方向。

试验法就是依据题中所给条件选准打破口，确立填数的可能范围。

把剖析推理和试验法联合起来，再由填数的可能状况，确立应填的数。

二、精讲精练【例题 1】把 5、6、7、8、9 五个数分别填入下列图的五个方格里，如图 a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是 21。

练习 1：1.把 1—— 10 各数填入“六一”的 10 个空格里，使在同向来线上的各数的和都是 12。

2. 把 1—9 各数填入“七一”的 9 个空格里，使在同向来线上的各数的和都是13。

3.将 1—— 7 七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

【例题 2】将 1—— 10 这十个数填入下列图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

练习 2：1.把 1—— 8 八个数分别填入下列图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2.把 1—— 10 这十个数分别填入下列图的○内，使每个四边形极点的○内四个数的和都相等，且和最大。

3.将 1—— 8 八个数填入下列图方格里，使上边四格、下边四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是 18。

【例题 3】将 1—— 6 这六个数分别填入下列图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。

练习 3：1.将 1—— 6 六个数分别填入下列图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。

2. 将 1—— 9 九个数分别填入下列图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

3.将 1—— 8 八个数分别填入下列图的○内，使每条安上三个数的和相等。

第1题第二题第三题【例题 4】将 1—— 7 分别填入下列图的7 个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。