五年级奥数：数列的分组(A)(含答案)

数列计算从第二项起，后一项与前一项的比值是同一个数，这样的数叫做等比数列。

从1的立方开始的自然数的立方之和等于这些和的平方。

例题精讲例1 计算:0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+…+0.97+0.99。

【思路点拨】在计算时如果把所有的数看成是一个等差数列,那就错了,因为前几个数相邻两数之间相差0.2,而后面的数相邻两数的差是0.02,所以在求和时要分开考虑,从0.1到0.9是一个等差数列,而从0.11到0.99又是一个等差数列。

【详细解答】0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+…+0.97+0.99(0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2=2.5+49.5÷2=2.5+24.75=27.25【题后反思】首先观察时应该把小数分为两类:一位小数、两位小数。

再分别求和,注意要理解并牢记等差数列求和公式。

例2计算:1+3+9+27+81+243+729+2187。

【思路点拨】加法算式中的数后一项总是前一项的3倍,构成一个等比数列。

在求和时要根据等比数列的特点来做。

把这些数的和用S来表示,如果把每项扩大3倍,则3S=3+9+27+81+243+729+2187+6561。

把3S的每项与原来等比数列的每项比较,很多项是相同的,3S比S多的就是6561-1=6560,3s是S的3倍,比S多2倍,所以S=6560÷2=3280。

【详细解答】设S=1+3+9+27+81+243+729+2187,则3S=3+9+27+81+243+729+2187+65613S-S=6561-1,2S=6560S=6560÷2=3280【题后反思】扩倍法、缩倍法是等比数列求和的基本方法,扩的倍数就是公比。

这远远比中学的公式法好理解。

同步练习1.计算下列一组数的和：105，110，115，120…，195，2002.有一列数:2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,…它的第2005项是几?前2005项的和是多少?3.计算:1+216+64+256+1024+40964.计算:100+20+4+0.8+0.16+0.032+0.00645.计算:13+23+33+43+…+10036.计算:103+113+123+…+3037.找出下面数列的生成规律并填空1,2,4,8,16,□，□，128，2568.找出下面数列的生成规律,并填空。

奥数五年级上一、数列规律的应用--找规律(四) (1)二、等差数列求和的应用--数列(二) (7)三、包含与排除(二) (14)四、小数的巧算--巧算(四) (19)五、行程问题(三) (25)六、行程问题(四) (31)七、牛吃草问题 (36)八、平面图形的面积(二) (39)九、计数问题 (45)十、数的进位制(二) (50)十一、简单抽屉原理(一) (54)十二、简单的统筹规划问题 (60)部分答案 (68)二、等差数列求和的应用--数列（二）对等差数列a1,a2,a3,…,a n,…,如果公差是d,第n项是a n,前n 项的和是s n(n=1,2,3,……)那么:a n=a1+(n-1)d即: 第n项=首项+公差的(n-1)倍n=( a n-a1)÷d+1即: 项数=(末项-首项)÷公差+1s n=(a1+a n)×n÷2即: 前n项和=(首项+末项)×项数÷2前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=n2前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=n2+n例18、有一列数:5,8,11,14,……。

①求它的第100项；②求前100项的和。

例19、有一串数：1,4,7,10,……,298。

求这串数的和。

例20、1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195例21、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183例22、写出数列：1,2,3,4,5,6, ……中，第n个偶数和第n 个奇数。

例23、分别求自然数列中前n个奇数之和，以及前n个偶数(不包括0)的和。

例24、1+3+5+7+…+99例25、2+4+6+8+…+100例26、21+23+25+27+…+99例27、已知一串数1,5,9,13,17,…,问这串数中第100个数是多少?例28、1971,1981,1991,2001,2011,…,2091,这几个数的和是多少?例29、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1例30、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99例31、在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少? 例32、从一点o引出20条不重复的射线共形成多少个锐角?例33、求所有比11的倍少5的三位数的和?例34、下图有中的30个方格中各有一个数,每个格子中的数等于同一横行最左边一格和同一竖列最上面一格的数之和(如a=14+17=31)。

五年级奥数：数列的分组(A)（含答案）一、填空题1. 在下面的一列数中,只有一个九位数,它是______.1234,5678,9101112,13141516,……2. 把自然数按下表的规律排列,其中12在8的正下方,在88正下方的数是______.12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 1516 × × × × ×× × × × × × ×3. 计算:1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+…+4+3-2-1,结果是____.4. 下面是一列有规律排列的数组:(1,21,31);(31,41,51),(51,61,71);……;第100个数组内三个分数分母的和是______.5. 把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内的各数之和为______.6. 一列数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,其中自然数n 出现n 次.那么,这列数中的第1999个数除以5的余数是______.7. 如数表:第1行 1 2 3 4 5 … … 14 15第2行 30 29 28 27 26 … … 17 16第3行 31 32 33 34 35 … … 44 45… … … … … … … … …第n 行 … … … … … … A … …第n +1行 … … … … … … B … …第n 行有一个数A ,它的下一行(第n +1行)有一个数B ,且A 和B 在同一竖列.如果A +B =391,那么n =______.8. 有一串数,第100行的第四个数是______.1, 23, 4, 5, 67, 8, 9,10,11,1213,14,15,16,17,18,19,209. 观察下列“数阵”的规律,判断:9921出现在第______行,第______列.数阵中有______个数分母和整数部分均不超过它(即整数部分不超过9,分母部分不超过92). 121,131,132,141,143,151,154,… 341,343,351,354,361,365,371,… 561,565,571,576,581,587,591,… … … … …10. 有这样一列数:123,654,789,121110,131415,181716,192021,…….还有另一列数:1,2,3,6,5,4,7,8,9,1,2,1,1,1,0,1,3,1,4,1,5,1,8,1,7,1,6,1,9,2,0,2,1,……,第一列数中出现的第一个九位数是______,第二列数的第1994个数在一列数中的第______个数的______位上.11. 假设将自然数如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13, 14,15),(16,17,18,19,20,21),……再将顺序数为偶数的数组去掉,则剩下的前k 个数组之和恒为k 4,如:(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)=34.今有从第一组开始的前19个数组,求其中顺序数为偶数的数组中所有数的和.12. 1,1,2,2,3,3,1,1,2,2,3,3,1,1,…其中1,1,2,2,3,3这六个数字按此规律重复出现,问:(1)第100个数是什么数?(2)把第一个数至第52个数全部加起来,和是多少?(3)从第一个数起,顺次加起来,如果和为304,那么共有多少个数字相加?13. 右图是一个向右和向下方可以无限延伸的棋盘,横排为行,竖排为列,将自然数按已填好的4×4个方格中的数字显现的规律填入方格中.(1)求位于第3行、第8列的方格内的数;(2)写出位于从左上角向右下角的对角线上的方格内的数组成的数列的第10个数;(3)数321在哪一个方格内?14. 数1,2,3,4,…,10000按下列方式排列:1 2 3 (100)101 102 103 (200)……………9901 9902 9903 (10000)任取其中一数,并划去该数所在的行与列.这样做了100次以后,求所取出的100个数的和.———————————————答 案——————————————————————答 案:1. 979899100按照自然数从小到大的顺序,每四个数构成一数.九位数只能由三个两位数和一个三位数构成,所以这个九位数是979899100.2. 101由12=8+4,4正好是8所在的行数值,则必须求出88所在行数值.根据每行尾数的排列规律1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,…,可知88所在行数应是第13行.因此,在88的正下方的数是88+13=101.3. 1996提示: 从左至右每四个数运算的结果都是4.4. 600提示: 第n 组中间的分数的分母是2n ,则第n 组内三个分数分母之和是(2n -1)+2n +(2n +1)=6n .5. 1992每4个括号为一个大组,前100个括号共25个大组,包含25×(1+2+3+4)=250个数,正好是从3开始的250个连续奇数.因此第100个括号内的最后一个数是2×250+1=501,故第100个括号内的各数之和为501+499+497+495=1992.6. 3自然数n 出现了n 次,这n 个n 中的最后一个数n 位于这列数中的第(1+2+…+n =21n (n +1)个数.又 646321201619991953636221⨯⨯=<<=⨯⨯.因此,这列数中的第1999个数是63,它除以5的余数是3.7. 13观察数表排列规律知,相邻两行(第n行与第n+1行)十五组相应两数的和值均相等,其和为30n+1.由30n+1=391得n=13.8. 9904第99行的最后一个数是2+4+6+…+198=9900,所以第100行的第4个数是9904.9. 5,165,869.观察“数阵”的规律,每行分数的整数部分均相同为连续的奇数,所以9921位于第5行.观察第5行各数规律知9921位于第(92-9)×2-1=165列.整数部分不超过9的分数只能位于前5行,第一行分母不超过92的分数有(92-1)×2-1=181个,第二、三、四、五行分母不超过92的分数分别有(92-3)×2=178个,(92-5)×2=174个,(92-7)×2=170个,(92-9)×2=166个,故数阵中分母和整数部分均不超过9921的分数共有181+178+174+170+166=869个.10. 102101100;234,万.第一列数中每个数都是由连续的三个自然数构成.自然数中一位数和两位数共有99个,构成第一列数的前33个,第34个就是第一个九位数,由100,101和102构成.又因为34是偶数,所以第34个数按从大到小排列是102101100.第一列数的前33个数构成第二列数的前189个数,从第一列的第34个数开始,每个数构成第二列的9个数.因为(1994-189)÷9=200……5,33+200+1=234.所以第二列数的第1994个数在第一列中的第234个数的万位上.11. 从第一组开始的前19个数组,共包含1+2+3+ (19)22019⨯=190个数,这些数的和为1+2+3+ (190)2191190⨯=18145.其中顺序数为奇数的数组有[219]+1=10组,这10个数组所有数的和为104=10000,因此其中顺序数为偶数的数组中所有数的和为18145-10000=8145.12. (1)因为100÷6=16……4,所以第100个数与第4个数相同,为2.(2)因为52÷6=8……4,所以第1个数至第52个数的和为(1+1+2+2+3+3)×8+(1+1+2+2)=102.(3)因为1+1+2+2+3+3=12,304÷12=25……4,又1+1+2=4,所以从第一个数起,顺次相切,共加到第25×6+3=153个数,其总和才恰为304.13. (1)在第3行中,由左向右的数字依次是:1a =6, 2a =9=1a +3,3a =13=2a +4,4a =18=3a +5, ……)1(1++=∴-n a a n n .48301898769894678=+=++++==++=+=∴a a a a .即位于第3行、第8列的方格内的数是48.(2)位于从左上角到或下角的对角线上的方格内的数字依次是:11=b ,14512⨯+==b b ,241323⨯+==b b ,342534⨯+==b b ,…n b b n n 41+=∴+.=⨯+⨯+=⨯+=∴9484948910b b b=9484746454444⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+b=25+4)987654(+++++⨯=181.即第10个数为181.(3)为求数321在哪个方格内,可将棋盘上的数按从右上到左下的对角线方向排列如下: 第1组 1第2组 2,3第3组 4,5,6第4组 7,8,9,10 …………显然,从第1组到第n组共包含1+2+3+…+n=2)1(+nn个数,故第n组中最大数是2)1(+nn. 321是第321个数,∴ 321所在“组”的行号是满足2)1(+nn≥321的最小自然数n,试算从22524⋅=300和22625⋅=325,可得n=25.前24组共有1+2+3+…+24=300个数,因而321是第25组中第321-300=21个数.∴ 321位于第21行,第5列的方格内.14. 将第2行的每个数减去100,第3行每个数减去200,…,第100行每个数减去9900,我们就得到一个各行都是1,2,…,100的数表.在后一个数表按规定方法取出的各数之和是1+2+…+100=5050.于是在原表中所求各数之和为:5050+(100+200+…+9900)=5050+495000=500050.。

分列组合常识构造一、分列问题在现实生涯中经常会碰到如许的问题,就是要把一些事物排在一路,构成一列,盘算有若干种排法,就是分列问题．在排的进程中,不但与介入分列的事物有关,并且与各事物地点的先后次序有关．一般地,从个不合的元素中掏出()个元素,按照必定的次序排成一列,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个分列．依据分列的界说,两个分列雷同,指的是两个分列的元素完整雷同,并且元素的分列次序也雷同．假如两个分列中,元素不完整雷同,它们是不合的分列;假如两个分列中,固然元素完整雷同,但元素的分列次序不合,它们也是不合的分列．分列的根本问题是盘算分列的总个数．从个不合的元素中掏出()个元素的所有分列的个数,叫做从个不合的元素的分列中掏出个元素的分列数,我们把它记做．依据分列的界说,做一个元素的分列由个步调完成：步调：从个不合的元素中任取一个元素排在第一位,有种办法;步调：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位,有()种办法;……步调：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个地位,有(种)办法;由乘法道理,从个不合元素中掏出个元素的分列数是,即,这里,,且等号右边从开端,后面每个因数比前一个因数小,共有个因数相乘．二、分列数一般地,对于的情形,分列数公式变成．暗示从个不合元素中取个元素排成一列所构成分列的分列数．这种个分列全体掏出的分列,叫做个不合元素的全分列．式子右边是从开端,后面每一个因数比前一个因数小,一向乘到的乘积,记为,读做的阶乘,则还可以写为：,个中．在分列问题中,有时刻会请求某些物体或元素必须相邻;求某些物体必须相邻的办法数量,可以将这些物体当作一个整体绑缚在一路进行盘算．三、组合问题日常生涯中有许多“分组”问题．如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同窗中选出几人介入某项运动等等．这种“分组”问题,就是我们将要评论辩论的组合问题,这里,我们将侧重研讨有若干种分组办法的问题．一般地,从个不合元素中掏出个()元素构成一组不计较组内各元素的次序,叫做从个不合元素中掏出个元素的一个组合．从分列和组合的界说可以知道,分列与元素的次序有关,而组合与次序无关．假如两个组合中的元素完整雷同,那么不管元素的次序若何,都是雷同的组合,只有当两个组合中的元素不完整雷同时,才是不合的组合．从个不合元素中掏出个元素()的所有组合的个数,叫做从个不合元素中掏出个不合元素的组合数．记作．一般地,求从个不合元素中掏出的个元素的分列数可分成以下两步：第一步：从个不合元素中掏出个元素构成一组,共有种办法;第二步：将每一个组合中的个元素进行全分列,共有种排法．依据乘法道理,得到．是以,组合数．这个公式就是组合数公式．四、组合数的主要性质一般地,组合数有下面的主要性质：()这个公式的直不雅意义是：暗示从个元素中掏出个元素构成一组的所有分组办法．暗示从个元素中掏出()个元素构成一组的所有分组办法．显然,从个元素中选出个元素的分组办法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组办法．例如,从人中选人开会的办法和从人中选出人不去开会的办法是一样多的,即．划定,．五、插板法一般用来解决求分化必定命量的无不同物体的办法的总数,应用插板法一般有三个请求：①所要分化的物体一般是雷同的：②所要分化的物体必须全体分完：③介入分物体的组至少都分到1个物体,不克不及有没分到物体的组消失．在有些标题中,已知前提与上面的三个请求其实不必定完整相符,对此应该对已知前提进行恰当的变形,使得它与一般的请求相符,再实用插板法．六、应用插板法一般有如下三种类型：⑴小我分个器械,请求每小我至少有一个．这个时刻我们只须要把所有的器械排成一排,在个中的个闲暇中放上个插板,所以分法的数量为．⑵小我分个器械,请求每小我至少有个．这个时刻,我们先发给每小我个,还剩下个器械,这个时刻,我们把剩下的器械按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数量为．⑶小我分个器械,许可有人没有分到．这个时刻,我们无妨先借来个器械,每小我多发1个,如许就和类型⑴一样了,不过这时刻物品总数变成了个,是以分法的数量为．例题精讲【例 1】4个男生2个女生6人站成一排合影留念,有若干种排法？假如请求2个女生紧挨着排在正中央有若干种不合的排法？【巩固】4男2女6小我站成一排合影留念,请求2个女的紧挨着有若干种不合的排法？【例 2】将A.B.C.D.E.F.G七位同窗在操场排成一列,个中学生B与C必须相邻．请问共有若干种不合的分列办法？【巩固】6名小同伙站成一排,若两人必须相邻,一共有若干种不合的站法？若两人不克不及相邻,一共有若干种不合的站法？【例 3】书架上有4本不合的漫画书,5本不合的童话书,3本不合的故事书,全体竖起排成一排,假如同类型的书不要离开,一共有若干种排法？假如只请求童话书和漫画书不要离开有若干种排法？【巩固】四年级三班举办六一儿童节联欢运动．全部运动由2个跳舞.2个演唱和3个小品构成．请问：假如请求同类型的节目持续表演,那么共有若干种不合的出场次序？【例 4】8人围圆桌会餐,甲.乙两人必须相邻,而乙.丙两人不得相邻,有几种坐法？【巩固】a,b,c,d,e五小我排成一排,a与b不相邻,共有若干种不合的排法？【例 5】一台晚会上有个演唱节目和个跳舞节目．求：⑴当个跳舞节目要排在一路时,有若干不合的安插节目标次序？⑵当请求每个跳舞节目之间至少安插个演唱节目时,一共有若干不合的安插节目标次序？【巩固】由个不合的独唱节目和个不合的合唱节目构成一台晚会,请求随意率性两个合唱节目不相邻,开端和最后一个节目必须是合唱,则这台晚会节目标编排办法共有若干种？【例 6】有10粒糖,分三天吃完,天天至少吃一粒,共有若干种不合的吃法？【巩固】小红有10块糖,天天至少吃1块,7天吃完,她共有若干种不合的吃法？【巩固】有12块糖,小光要6天吃完,天天至少要吃一块,问共有种吃法．【例 7】10只无差此外橘子放到3个不合的盘子里,许可有的盘子空着．请问一共有若干种不合的放法？【巩固】将个雷同的苹果放到个不合的盘子里,许可有盘子空着.一共有种不合的放法.【例 8】把20个苹果分给3个小同伙,每人起码分3个,可以有若干种不合的分法？【巩固】三所黉舍组织一次联欢晚会,共表演14个节目,假如每校至少表演3个节目,那么这三所黉舍表演节目数的不合情形共有若干种？【例 9】(1)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天吃完,共有若干种不合吃法?(2)小明有10块糖,天天至少吃1块,8天或8天之内吃完,共有若干种吃法?【巩固】有10粒糖,天天至少吃一粒,吃完为止,共有若干种不合的吃法？【例 10】马路上有编号为,,,…,的十只路灯,为勤俭用电又能看清路面,可以把个中的三只灯关失落,但又不克不及同时关失落相邻的两只,在两头的灯也不克不及关失落的情形下,求知足前提的关灯办法有若干种？【巩固】黉舍新建筑的一条道路上有盏路灯,为了节俭用电而又不影响正常的照明,可以熄灭个中盏灯,但两头的灯不克不及熄灭,也不克不及熄灭相邻的盏灯,那么熄灯的办法共有若干种？【例 11】在四位数中,列位数字之和是4的四位数有若干？【巩固】大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有若干个？【例 12】所有三位数中,与456相加产生进位的数有若干个？【巩固】从1到2004这2004个正整数中,共有几个数与四位数8866相加时,至少产生一次进位？教室检测【随练1】某小组有12个同窗,个中男少先队员有3人,女少先队员有人,全组同窗站成一排,请求女少先队员都排一路,而男少先队员不排在一路,如许的排法有若干种？【随练2】把7支完整雷同的铅笔分给甲.乙.丙3小我,每人至少1支,问有若干种办法？【随练3】在三位数中,至少消失一个6的偶数有若干个？家庭功课【作业1】将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排,请求三盆红花互不相邻,共有种不合的放法.【作业2】黉舍合唱团要从个班中填补名同窗,每个班至少名,共有若干种抽调办法？【作业3】能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有个.【作业4】黉舍乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排拍照,请问：（1）假如请求男生不克不及相邻,一共有若干不合的站法？（2）假如请求女生都站在一路,一共有若干种不合的站法？【作业5】由0,1,2,3,4,5构成的没有反复数字的六位数中,百位不是2的奇数有个．【作业6】泊车站划出一排个泊车地位,今有辆不合的车须要停放,若请求残剩的个空车位连在一路,一共有若干种不合的泊车计划?教授教养反馈学生对本次课的评价○特殊知足○知足○一般家长看法及建议家长签字：。

奥数五年级上一、数列规律地应用--找规律(四> (1)二、等差数列求和地应用--数列(二> (7)三、包含与排除(二> (14)四、小数地巧算--巧算(四> (19)五、行程问题(三> (25)六、行程问题(四> (31)七、牛吃草问题 (36)八、平面图形地面积(二> (39)九、计数问题 (45)十、数地进位制(二> (50)十一、简单抽屉原理(一> (54)十二、简单地统筹规划问题 (60)部分答案 (68)一、数列规律地应用--找规律(四>按一定地顺序排列地一串数,叫做数列,每一个数是数列地一项,排在第几个位置就叫第几项.要找到数列地规律,必须善于观察,一般可以从以下几方面去观察数列：①数列地每一项怎样随项数变化而变化；②后面地项与前面地项有什么关系；③数列分组后有什么规律.注意：同一个数列,从不同地方面去观察,可以有不同地规律性.如数列：1,4,9,16,25,36,……规律1：从第2项起每一项比前一项依次大3,5,7,9,11,……规律2：每一项=它地项数地平方.把这个数列看作：12,22,32,42,52,62,……例1、准备题,按规律填数.(1> 2,9,16,23,,。

(2> 1,2,4,7,11,,。

(3> ,,,,,。

(4> 2,4,5,10,11,22,23,,。

例2、把自然数中地偶数：2,4,6,8,……依次排成5列<如图）从上到下为列,从左到右为行,最左边地一列叫第一列,最上面一行叫第一行,那么数1994出现在第几行第几列？2 4 6 816 14 12 1018 20 22 2432 30 28 26例3、把自然数如右图排列, ①第10行正中地数是哪个？ ②1999在第几行左起第几个 数？例4、自然数如右图排列：①第一行中自左至右第8个数是几？ ②自上至下第10行中第8个数是几？ 例5、把所有自然数按下图规律排列后,从上到下分成A,B,C,D,E 五类,问1991在哪一类?例6、所有自然数如右图排列, ①300应位于哪个字母下面? ②字母F 下面,从上往下数 第6个数是多少?例7、有列数:2,3,6,8,8,…,从第3个数起,每个数都是前两个数乘积地个位数字,那么这一列数地第80个数是多少?例8、有一列数:1,1989,1988,1,1987,…,从第3个数起,每一个数都是前两个数中大数减小数地差,那么第1989个数是多少?例9、如数表,第n 行有一个数A,它地下一行(第n+1行>有一个数B,且A 和B 在同一竖列,如果A+B=394,那么n 是多少?例10、右图是一个由数字组成地三角形.试研究它地组成规律,从而确定其中地x.34 36 38 40… … … … 第一行 1 第二行 2 3 4 第三行 5 6 7 8 9 第四行 10 11 12 13 14 15 16…1 3 6 10 15 21 …2 5 914 20 …4 813 19 …712 18 …11 17 … 16 …A BC D E 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 17 … … …… … … … A B CD E F G 1 2 3 47 6 5 8 9 10 11 14 13 12 15 16 …………第1行 12345… 14 15第2行 30 29 28 27 26 … 17 16 第3行 31 32 33 34 35 … 44 45 ……………………………………………………第n 行 ………………………A……第n+1行 ……………………… B ……11例11、把自然数如图排列：①第8行左起第8个数是多少？②97位于第几行第几列？例12、在1997后面写一串数字,写下地每个数字都是它前面两个数字乘积地个位数.这样得到地一串数是199731……,问这串数字从1开始往右第2002个数字是几？例13、求2000个333…3,除以7地余数. 例14、1998个47地乘积地个位数字是几？ 例15、a n ,如果a 是整数,填表后解答: ①a n 地个位数有什么规律?②根据规律求下面计算结果地个位数字(尾数>.19915+19925+19935+19946+19956+19967+19977+19988+19998填表：a n 地尾数例16、在一张足够长地纸条上从左到右依次写上1到1999这1999个自然数,然后从左到右每隔三位点一个逗号：1 10 1 2 2 5 5 42 0 0 5 10 14 1616 61 61 56 46 32 16· · · x · ·· ·1 2 510 174 3 6 11 18 … 9 8 7 12 19 …1615 14 13 20 … 25 24 23 22 21 … ……123,456,789,101,112,……,那么第100个逗号前地那个数字是多少？例17、把自然数依次写下来得到一个数：1234567891……问这个数从左边第一位起第1999个数字是几？。

小学数学奥林匹克辅导及练习找出数列的排列规律二含答案Happy First, written on the morning of August 16, 2022找出数列的排列规律二这一讲我们利用前面学习的等差数列有关知识和找规律的思想方法;解决数学问题..一例题指导例1. 如果按一定规律排出的加法算式是3+4;5+9;7+14;9+19;11+24;……;那么第10个算式是 + ；第80个算式中两个数的和是多少分析与解：第一个加数如下排列：3;5;7;9;11……;这是一个等差数列;公差是2;第二个加数排列如下：4;9;14;19;24;……;这也是一个等差数列;公差是5..根据等差数列的通项公式可以分别求出第10个算式的两个加数..所以第10个算式是2149..要求第80个算式的和;只要求出第80个算式的两个加数;再相加即可;当然也可以找一找和的规律..想一想：第几个加法算式中两个数的和是707例2. 有一列数：1;2;3;5;8;13;……;这列数中的第200个数是奇数还是偶数分析与解：要想判断这列数中第200个数是奇还是偶;必须找出这列数中奇、偶数的排列规律..不难看出;这列数是按照“奇偶奇”的顺序循环重复排列的;即每过3个数循环一次..那么到第200个数一次循环了66次还余2..这说明到第200个数时;已做了66次“奇偶奇”的循环;还余下2个数..也就是说余下的两个数依次为“奇偶”;所以第200个数是偶数..例3. 下面的算式是按某种规律排列的：1+1;2+3;3+5;4+7;1+9;2+11;3+13;4+15;1+17;……问：1第1998个算式是 + ；2第个算式的和是2000..分析与解：1第1个加数依次为1、2、3、4;1、2、3、4……每4个数循环一次;重复出现..199844992÷=……;所以第1998个算式的第1个加数是2..第二个加数依次为1;3;5;7;9;11……是公差为2的等差数列..根据等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第2个加数为()11998123995+-⨯=;所以第1998个算式是23995+..2由于每个算式的第二个加数都是奇数;所以和是2000的算式的第1个加数一定是奇数;不会是2和4..只有12000x..其+=x或32000+=中x是1、3、5、7、9……中的某个数..若12000+=x ;则x =1999..根据等差数列的项数公式得：()199********-÷+=;这说明1999是数列1、3、5、7、9……中的第1000个数;因为10004250÷=;说明第1000个算式的第1个加数是4;与假设12000+=x 矛盾;所以x ≠1999；若32000+=x ;则x =1997..与上同理;()1997121999-÷+=;说明1997是等差数列1、3、5、7、9……中的第999个数;由于99942493÷=……;说明第999个算式的第一个加数是3;所以;第999个算式为319972000+=..例4. 将1到200的自然数;分成A 、B 、C 三组：A 组：1 6 7 12 13 18……B 组：2 5 8 11 14 17……C 组：3 4 9 10 15 16……根据分组的规律;请回答：1B 组中一共有 个自然数；2A 组中第24个数是 ；3178是 组里的第 个数..分析与解：1B 组中的数成等差数列;其首项是2;公差是3;从整个数表看;竖着数是每3个数一组;因为2003662÷=……;所以200是B 组中的最后一个数;根据等差数列的项数公式..()-÷+=..所以;B20023167组中一共有67个自然数..2观察A组中数的排列规律;由于24是偶数;所以应特别注意偶数位置上的数的排列规律..第几个数就是3的几倍;第24个数就是3的24倍;所以A组第24个数是32472⨯=..3观察A、B、C三组数竖看;每2列为一组6个数;178629÷=……4;说明重复29次;还剩下4个数;这4个数重新排列一下可知;178排在C 组..每一组含有C组的2个数..最后余下的4个数;在C组又排了2个;所以178在C组中是第292260⨯+=个数..答题时间：40分钟二尝试体验1. 如下图所示;黑珠、白珠共102个;穿成一串;这串珠子中;最后一个珠子是颜色的;这种颜色的珠子共有个..○●○○○●○○○●○○○……2. 有红、白、黑三种纸牌共158张;按5张红色;后3张白色;再4张黑色的次序排列下去;最后一张是色;第140张是色..3. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯;小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯;小明想;第73盏一定是色灯..4. 下面的算式是按一定的规律排列的：4+2;5+8;6+14;7+20……;那么;第100个算式的得数是 ..5. 找规律;按规律填数..6. 自然数按一定规律排成下表形式;问：第10行第5个数是多少试题答案二尝试体验1. 如下图所示;黑珠、白珠共102个;穿成一串;这串珠子中;最后一个珠子是颜色的;这种颜色的珠子共有个..○●○○○●○○○●○○○……除去第一个珠子;剩下的()-=棵珠子是按照“一黑三白”的1021101次序循环重复的..说明循环了25次后还多出一个黑珠子;所以最后一个珠子是黑色的;黑色的珠子共有26个..2. 有红、白、黑三种纸牌共158张;按5张红色;后3张白色;再4张黑色的次序排列下去;最后一张是色;第140张是色..这是按“5红3白4黑”循环排列的;它的循环周期是12..所以最后一张是红色;第140张是白色..3. 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯;小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯;小明想;第73盏一定是色灯..把排列的顺序写出来是：白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、……是按“白、红、黄、绿”循环排列的..所以第73盏灯一定是白色的..4. 下面的算式是按一定的规律排列的：4+2;5+8;6+14;7+20……;那么;第100个算式的得数是 ..第一个加数这样排列：4;5;6;7;……公差是1的等差数列第二个加数这样排列：2;8;14;20;……公差是6的等差数列根据等差数列的通项公式得：所以;第100个算式的得数是103596699+=5. 找规律;按规律填数..第一个等号前的两个因数是两个相邻的奇数;第二个等号后面的因数介于前面两个奇数之间..如第3式：5和7之间只有一个自然数6..除此之外;第一个等式的第一个因数是一个公差为2的等差数列1;3;5;7……根据以上规律可得：第60式中未知数较多;只要求出第一个等号前的第一个因数就好填了..根据等差数列的通项公式可得：()+-⨯=16012119所以第60式为：()()()()()⨯+==⨯1191211144001201206. 自然数按一定规律排成下表形式;问：第10行第5个数是多少第一行1个数;第二行2个数;第3行有3个数……;第几行就有几个数;我们先求出到第九行结束一共有多少个数;然后再继续数出5个就可以了..所以;第10行的第5个数是50..。

一、 排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L （）（）（），即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．二、 排列数一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L （）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅L L （）（）　．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．三、 组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有mn C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mmn nm mP n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯L L （）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、 组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n mn n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n mn C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =． 规定1n nC =，01n C =． 五、 插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．六、 使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】 把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

小学奥数练习卷（知识点：数列分组）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．填空题（共11小题）1．表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组，如第一组是（数，我），第二组是（学，们）．那么第2005组是．2．将下列10个数分成两组，每组5个，要求两组中各数的乘积相等：6，8，9，13，21，26，35，44，50，55请在下面写出你的思考过程．．3．把自然数1、2、3、4、…按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第行第列．4．一列数，前3个是1，9，9，以后的每个数都是它前面相邻3个数的和除以3所得的余数，这列数中的第2005个数是．5．右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：则排在由上而下的第10行中从右边数第三个位置的数是．6．观察三角形数阵：那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是，2010是第行第个数．7．自然数列1，2，3，…，n，…，它的第n组含有2n﹣1个数，第10组中各数的和是．8．设自然数按下图的格式排列：1 2 5 10 17 …4 3 6 11 18 …9 8 7 12 19 …16 15 14 13 20 …25 24 23 22 21 ……（1）200所在的位置是第行，第列；（2）第10行第10个数是．9．将奇数按下列方式分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…．（1）第15组中第一个数是；（2）第15组中所有数的和是；（3）999位于第组第号．10．给定以下数列：，，，，，，，，，，…，（1）是第项；（2）第244项是；（3）前30项之和是．11．将自然数按下面的规律分组：（1，2），（3，4，5，6），（7，8，9，10，11，12），（13，14，15，16，17，18，19，20），…，第1991组的第一个数和最后一个数各是．第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共13小题）12．在下面的一列数中，只有一个九位数，它是．1234，5678，9101112，13141516，…13．甲、乙两包糖的重量比是4：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7：8，那么两包糖的总重量是多少克？14．将偶数排成下表：A B C D E2 4 6 816 14 12 1018 20 22 2432 30 28 26…那么，1998这个数在哪个字母下面？15．在下面的数表中，第100行左边的第一个数是什么？5 4 3 26 7 8 913 12 11 1014 15 16 1721 20 19 18…16．把自然数1～200按下面的方法分成A、B、C三组．试问：（1）每组各有多少个数？最后一个数各是多少？（2）C组的第56个数是几？（3）172在哪一组的第几个数？17．自然数按下图所示的方法排列．问：（l）射线b上第1995个数是几？（2）数1995在哪条射线上？18．有一数列：101，203，105，207，109，211，…求这数列的前20项的和．19．根据下图回答：（1）第一行的第8个数是几？（2）第五行第六列上的数是几？（3）200的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？20．一列数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…，其中自然数n出现n次．那么，这列数中的第1999个数除以5的余数是．21．有这样一列数：123，654，789，121110，131415，181716，192021，…．还有另一列数：1，2，3，6，5，4，7，8，9，1，2，1，1，1，0，1，3，1，4，1，5，1，8，1，7，1，6，1，9，2，0，2，1，…，第一列数中出现的第一个九位数是，第二列数的第1994个数在一列数中的第个数的位上．22．1，1，2，2，3，3，1，1，2，2，3，3，1，1，…其中1，1，2，2，3，3这六个数字按此规律重复出现，问：（1）第100个数是什么数？（2）把第一个数至第52个数全部加起来，和是多少？（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为304，那么共有多少个数字相加？23．把由1开始的自然数依次写下来：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…．重新分组，按三个数字为一组：123，456，789，101，112，131，…，问第10个数是几？24．有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到1993个数这1993个数之和．参考答案与试题解析一．填空题（共11小题）1．表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组，如第一组是（数，我），第二组是（学，们）．那么第2005组是（维，杯）．【分析】分别观察上下二行，上一行8个字是按顺序重复的，下一行的9个字也是按顺序重复出现的，然后分别找出每一行第2005组中是规律的第几个字．【解答】解：2005÷8=250（组）…5（个），在第一行规律中第5个字是：维；2005÷9=222（组）…7（个），在第二行的规律中第7个字：杯；所以第2005组是：（维，杯）．【点评】先观察找出规律，然后找出第2005组中的是规律中的第几个字即可．2．将下列10个数分成两组，每组5个，要求两组中各数的乘积相等：6，8，9，13，21，26，35，44，50，55请在下面写出你的思考过程．44×13×21×50×6=55×26×35×8×9．【分析】将这些数分解质因数，然后根据质因数的个数进行分组．【解答】解：6=2×38=2×2×29=3×313=1321=3×726=2×1335=5×744=2×2×1150=2×5×555=5×11从上面可以看出44和55肯定分在不同组，13和26分在不同组，顺着这个思路不难得出下面的两组44×13×21×50×6=55×26×35×8×9【点评】此题只要保证两组算式中的相同质因数的个数相同即可．3．把自然数1、2、3、4、…按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第五百七十行第二列．【分析】把7个连续的数看成一组，每组中前三个数是一行，这三个数是从左到右增大的，后4个数在一行，这4个数按照从右到左增大的；先求出1995里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数进行推算．【解答】解：1995÷7=285；没有余数，1995里面正好有中285组，是第285组的最后一个数，在第二列；285×2=570；所以1995是第五百七十行，第二列．故答案为：五百七十，二．【点评】先找出这个数阵周期性的规律，再根据规律求解．4．一列数，前3个是1，9，9，以后的每个数都是它前面相邻3个数的和除以3所得的余数，这列数中的第2005个数是0．【分析】根据题意，列出这个数列：1、9、9、1、1、2、1、1、1、0、2、0、2、1、0、0、1、1、2、1…易见，从第四个数开始每十三个数一个循环．由于前面还有三个数，所以需用2005减去3得再除以13，即可得出答案．【解答】解：（2005﹣3）÷13=154，2005为循环节中的最后一个，即0；答：这列数中的第2005个数是0．故答案为：0．【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出规律，再根据规律，列式解答即可．5．右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：则排在由上而下的第10行中从右边数第三个位置的数是．【分析】通过对已知数据进行观察分析可发现各行的前后两个数分别为行数的倒数，倒数第二个数等于前一行的最后一个数与本行的最后一个数的差，倒数第三个数等于前一行的倒数第二个数与本行的倒数第二个数的差，根据此规律解题即可．【解答】解：因为第10行最后一个数是，第9行最后一个数是，第8行最后一个数是，所以第9行倒数第二个数是﹣=，第十行倒数第二个数是﹣=，所以，第10行右数第三个数是﹣=．故答案为：．【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，做此类题的关键是观察分析发现规律，根据规律解题．6．观察三角形数阵：那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是462，2010是第45行第74个数．【分析】（1）仔细观察：从左到右，第几个数上的数就是几，而且第一行1个数，第二行3个数，第三5个数…，所以行数×2﹣1=个数，则第二十一行有：21×2﹣1=41个数，到这一行为止，共有：1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．（2）2010应该是第2010个数，那么1+3+5+…加到多少大概在2010左右呢？由（1）可知，第22行有22×2﹣1=43个数字，第这一行为止，共有1+3+5+…+43=484个数字，离2010个数字很远，试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．【解答】解：（1）通过分析数阵可知：行数×2﹣1=该行数字个数，则第二十一行有：21×2﹣1=41个数．到这一行为止，共有：1+3+5+…+41=441个数，那第22行由左到右的第21个数是441+21=462．（2）从左到右，第几个数上的数就是几，2010应该是第2010个数；可先试下到44行共有多少个数字，第44行有44×2﹣1=87个数字，到这一行为止共有：1+3+5+…+87=（1+87）×44÷2=1936个数字，2010﹣1936=74，说明2010在第45行第74个数字．故答案为：462、45、74．【点评】完成此类题目的关健是认真分析数阵，找出其中数据的规律特点，从而据规律进行解答．7．自然数列1，2，3，…，n，…，它的第n组含有2n﹣1个数，第10组中各数的和是1729．【分析】此题关键是读懂题意：由题意知，第1组有2×1﹣1=1个数，即1．第2组有2×2﹣1=3个数，即1，2，3．以此类推．【解答】第1组到第9组共有自然数：1+3+5+…+（2×9﹣1）==81（个）．因此，第10组第1号数是82，第10组有2×10﹣1=19个数，所以第10组各数之和为．故答案为：1729．【点评】由简单到复杂，学会从最基本的入手．8．设自然数按下图的格式排列：1 2 5 10 17 …4 3 6 11 18 …9 8 7 12 19 …16 15 14 13 20 …25 24 23 22 21 ……（1）200所在的位置是第4行，第15列；（2）第10行第10个数是91．【分析】（1）我们看出：第一竖列都是行号的平方数．如4=22，9=32，25=52…其数列发展也是按正方形来排列的1→2→3→4，正好构成一个正方形，1→2→3→4→5→6→7→8→9又围成一个较大的正方形，其发展是按顺时针方向来旋转的．由此类推第14行第一列是142=196，此时也是此行最大．200只能在其外一圈的正方形上．200就出现在第15列第4行．（2）第2题也可以得出第10行第1列为102=100，第10个数就得减9即得到91．【解答】解：（1）注意到第一列是完全平方数：1，4，9，16，25，…按（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），分组，则200在196与225之间，属第15组，倒数第4个数，在第4行、第15列上．（2）第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91．【点评】数列题目需要看其数字发展的规律，往往从平方，加减，方形，斜线等角度来观察．9．将奇数按下列方式分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），…．（1）第15组中第一个数是211；（2）第15组中所有数的和是3375；（3）999位于第32组第4号．【分析】从分组情况看第几组就有几个奇数如第3组就有三个奇数，第一题先看从第1组到第14组的奇数有多少个，再看下一个奇数是几，第二题利用等差数列来解题比较容易．第三题先求出大致是第几组再利用等差数列求是第几个数．【解答】解：（1）从第1组到第14组的奇数有1+2+3+…+14==105（个）．因此，第15组最初一个数是第106个奇数：2×106﹣1=211．（2）在第15组中的数是以211为首项，公差为2，项数等于15的等差数列，其和是15×211+×2=3375．（3）设999位于第n组，因31×32=992，32×33=1056，所以n=32，第32组最初一个数是：[2×（1+2+…+31）﹣1]+2=993．因此，999是第32组的第4号数．【点评】此题是数列的题目的典型应用，需要熟练掌握其中的方法与技巧，要用试一试的办法找其规律．10．给定以下数列：，，，，，，，，，，…，（1）是第429项；（2）第244项是；（3）前30项之和是17．【分析】从给定的数列看数列中分母是几，以此为分母的数就有几个．比如：分母是4，则以4为分母的数便有4个．同理分母是7的得数有7个，所以第一题分母是29分子是23则前面有28组数加23个数．第二、三题需要试一试前多少组共多少个数．找到合适的组数在确定第几个数．【解答】（1）以分母相同的分数分组，并记分母为n的分数属于第n组，从而是第29组的第23号数，第n组由n个分数组成，从第1组到第28组有1+2+3++28==406个分数，因此位于第406+23=429项．（2）因21×20=420，22×21=462，23×22=506，故第244项在第22组，前21组有=231个分数，从而第244项是居于第22组中的第13号数，是．（3）前30项之和为1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+7）++=1+2++3++4+=10+=17．故答案为：429，，17．【点评】这类题目需要求前几项的和及其变形应用，是有一定难度的．11．将自然数按下面的规律分组：（1，2），（3，4，5，6），（7，8，9，10，11，12），（13，14，15，16，17，18，19，20），…，第1991组的第一个数和最后一个数各是39620913966072．【分析】每一组数的个数都在增加，第n组数的个数为2n个数，这组的第一个数就是前一组数的最后一个数+1，这个数是2+4+6+…+2（n﹣1）+1；当然，这组数的最后一个数是2+4+6+…+2n；当n=1991时，代入1991可得解．【解答】解：2+4+6+…+2（1991﹣1）+1=2（1+2+3+…+1990）+1=（1+1990）×1990+1=3962091；2+4+6+…+2×1991=2×（1+2+3+ (1991)=（1+1991）×1991=3966072；答：第1991组的第一个数和最后一个数各是3962091、3966072；故答案为：3962091，3966072．【点评】此题考查了数表中的规律，每一组数的个数为组数的2倍，正整数依次填入，发现规律，解决问题．二．解答题（共13小题）12．在下面的一列数中，只有一个九位数，它是979899100．1234，5678，9101112，13141516，…【分析】每4个相邻的正整数组成数列中的一个数，两位数中的前三个10、11、12已经和9组成了数列中的第三个数，余下的两位数还有99﹣9﹣3=87，87÷4=21…3，即有组成了21个8位数，余下的三个两位数是97、98、99和100组成第25个数列中的数979899100，刚好是一个九位数，从第26个数101102103104开始就至少是12位数，所以该数列只有一个九位数．【解答】解：99﹣9﹣3=87，87÷4=21…3，余下的三个两位数是97、98、99和100组成第25个数列中的数979899100，刚好是一个九位数，从第26个数101102103104开始就至少是12位数，所以该数列只有一个九位数．故答案为：979899100．【点评】此题考查了数列中的规律．13．甲、乙两包糖的重量比是4：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7：8，那么两包糖的总重量是多少克？【分析】把“甲、乙两包糖的重量比是4：1”理解为甲包糖是两包糖的总重量的，把后来“甲、乙两包糖的重量比变为7：8”理解为后来甲包糖是两包糖的总重量的，即两包糖总重的（﹣）是10克，把两包糖的总重量看作单位“1”，根据“对应数÷对应分率=单位“1”的量”进行解答即可．【解答】解：4+1=5，7+8=15，10÷（﹣），=10÷，=30（克）；答：两包糖的总重量是30克．【点评】解答此题的关键是抓住题中“两包糖的总重量”不变，判断出单位“1”，根据“对应数÷对应分率=单位“1”的量”进行解答即可．14．将偶数排成下表：A B C D E2 4 6 816 14 12 1018 20 22 2432 30 28 26…那么，1998这个数在哪个字母下面？【分析】由图表看出：偶数依次排列，每8个偶数一组依次按B、C、D、E、D、C、B、A列顺序排．看A列，E列得到排列顺序是以16为周期来循环的．求出1998里面有多少个这样的周期，还余几，再根据余数判断．【解答】解：1998÷16=124 (14)所以，1998与14同列在B列．【点评】本题关键找出这个数表中数字循环的周期性规律，再根据规律求解．15．在下面的数表中，第100行左边的第一个数是什么？5 4 3 26 7 8 913 12 11 1014 15 16 1721 20 19 18…【分析】因为每行有4个数，前99行共有99×4=396（个）数；这个数表中开始的最小的一个数为2，奇数行是从右到左的顺序依次增加的；偶数行的数是从左到右依次增加的；整个数表可以看成是以2开始的自然数列，第100行的第一个数是第397个数，由此求解．【解答】解：99×4=396（个）；又因为这个数表中开始的最小的一个数为2，所以，依数列的排列规律可知，第100行的左边第1个数为：396+1+1=398；答：第100行左边的第一个数是398．【点评】解决本题关键是找出这些数的排列规律，然后根据规律求解．16．把自然数1～200按下面的方法分成A、B、C三组．试问：（1）每组各有多少个数？最后一个数各是多少？（2）C组的第56个数是几？（3）172在哪一组的第几个数？【分析】完成本题目要根据数列的组数、数横排及竖排的排列特点及规律，结合高斯求和的有关知识进行解答．【解答】解：各组中偶数项中的数据及奇数项中的数据有以下特点：奇数项：A组：6n﹣5，B组：6n﹣4，C组：6n﹣3，按竖列递增k=2n﹣1，偶数项：A组：6n，B组：6n﹣1，C组：6n﹣2，按竖列递减k=2n；每一组的第k项k=2n﹣1，k=2n，n=1，2，3…据此可知：（1）200=6×33+2=6×34﹣4（属于B组奇数项），n=34，k=2n﹣1=67；所以：B组有67项最后一个数200，是B组的第67项；A组有67项，最后一个数199，是A组的第67项；C组有66项，最后一个数196，是C组的第66项．（2）C组k=56项n=28是：6×28﹣2=166．（3）172=6×28+4=6×29﹣2 （C组偶数项），C组偶数项，n=29，k=2×29=58，所以，172是C组的第58个数．【点评】完成此类题目要认真分析式中数据的排列特点，找出规律进行解答．17．自然数按下图所示的方法排列．问：（l）射线b上第1995个数是几？（2）数1995在哪条射线上？【分析】通过观察可知，射线b上的数列为等差数列，公差为3，根据高斯求和有关公式可知：末项=首项+（项数﹣1）×公差，所以射线b上第1995个数是2+（1995﹣1）×3；射线c上的数都为3的倍数，而1995÷3=665，1995为3的倍数，所以所以数1995在射线C上．【解答】解：（1）2+（1995﹣1）×3=2+1994×3，=5984；答：射线b上第1995个数是5984．（2）因为射线c上的数都为3的倍数，又1995÷3=665，所以数1995在射线C 上．答：数1995在射线C上．【点评】完成本题要认真分析射上数列上数据的特点，找出其内在规律，然后据规律进行解答．18．有一数列：101，203，105，207，109，211，…求这数列的前20项的和．【分析】把这列数字看成两列数，奇数项一列，偶数项一列；奇数列为：101，105，109，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；偶数项为：203，207，211，…可以看成是公差为4的等差数列，共10项；根据等差数量求和公式求解．【解答】解：（1）101+（10﹣1）×4=137，（101+137）×10÷2=1190，203+（10﹣1）×4=239，（203+239）×10÷2=2210，前20项的和是：1190+2210=3400．答：这数列的前20项的和是3400．【点评】本题先把数量根据特点分组，再给各组找到规律，根据规律计算．19．根据下图回答：（1）第一行的第8个数是几？（2）第五行第六列上的数是几？（3）200的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？【分析】按图斜线划分分组比较容易发现（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），…也就是每组的个数分别有1，2，3，4，5，…，第一行的第8个数是几即求前7个组共有多少数？我们还发现：自上而下第m行，自左而右第n列上的数在第（m+n﹣1）组中，照此可以解决第2题．先算出200在哪一组？再算出所在组的第一个数．【解答】解：（1）如图，所有自然数按自右上至左下以斜线分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），…第n组第1号数是第一行的第n个数．从第1组到第（n﹣1）组有：1+2+3++（n﹣1）=个数，从而第n组第1号数是+1．因此，第1行第8个数是+1=29．（2）一般地，自上至下第m行，自左至右第n列上的数在第（m+n﹣1）组中，第五行第六列上的数在第10组中，第10组第1号数是+1=46，第10组在第五行的数是46+5﹣1=50．（3）19×20=380，20×21=420，故200在第20组中，第20组第一个数是+1=191，因此数200在第10行第11列的位置上．【点评】解题关键在于斜线分组将题目化繁为简在解决比较简单．20．一列数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…，其中自然数n出现n次．那么，这列数中的第1999个数除以5的余数是3．【分析】自然数n出现了n次，这n个n中的第一个数位于这列数的n（n+1）﹣n+1=n（n﹣1）+1，最后一个数n位于这列数中的第（1+2+…+n）=n（n+1）个数．如：2，位于这列数的第2位和第三位；3，位于第四位和第六位之间；以此类推，可得出是哪个数是这列数中的第1999个数，n（n﹣1）+1≤1999≤n（n+1），又．因此，这列数中的第1999个数是63，它除以5的余数是3．【解答】解：自然数n出现了n次，这n个n中的最后一个数n位于这列数中的第（1+2++n=n（n+1）个数．又．因此，这列数中的第1999个数是63，它除以5的余数是3．故答案为：3．【点评】此题考查了数列中的规律，猜测法猜出这个数是解决问题的一个方法．21．有这样一列数：123，654，789，121110，131415，181716，192021，…．还有另一列数：1，2，3，6，5，4，7，8，9，1，2，1，1，1，0，1，3，1，4，1，5，1，8，1，7，1，6，1，9，2，0，2，1，…，第一列数中出现的第一个九位数是102101100，第二列数的第1994个数在一列数中的第234个数的万位上．【分析】第一列数中出现的第一个九位数时应该是最小的三位数100出现时，此数列每6个数一循环，前三个正整数正着数，后三个正整数倒着数，组成两个由连续的三个正整数构成的数，100÷6=16…4，前96个数构成16个循环，32个数字，第33个数是979899，则出现最小的三位数100时是100、101、102三个正整数倒数，即102101100；第二列数都是单个数，1﹣9占数列的前9个数，从10﹣99，把一个数10分成了1，0占2个数，这样10﹣99共占了（99﹣9）×2=180个数，从100开始，100﹣999是把如100分成1，0，0占3个数，999﹣99=900，900×3=2700，显然1994小于（2700+180+9）即第二列的第1994个数应该在100﹣999这些三位数中间，1994﹣9﹣180=1805，这1805个数那么在第一列数中组成的数都是9位数，1805÷9=200…5；说明第二列数的第1994个数在第一列数中九位数中的第201个数的第5位，如：702701700中的中间的第五位刚好是万位．这个数在第一列中是第几个数，应该再加上9个一位数组成的三位数3个、90个两位数组成的六位数30个．【解答】解：此数列每6个数一循环，前三个正整数正着数，后三个正整数倒着数，组成两个由连续的三个正整数构成的数，100÷6=16…4，前96个数构成16个循环，32个数字，第33个数是979899，则出现最小的三位数100时是100、101、102三个正整数倒数，即102101100；（1994﹣9﹣180）÷9=200…5，说明第二列数的第1994个数在第一列数中九位数中的第201个数的第5位，如：701702703中的中间的第五位刚好是万位．200+1+9÷3+90÷3=234，答：第一列数中出现的第一个九位数是102101100，第二列数的第1994个数在一列数中的第234个数的万位上．故答案为：102101100，234，万．【点评】此题考查了数列中的规律．理清思路是关键．22．1，1，2，2，3，3，1，1，2，2，3，3，1，1，…其中1，1，2，2，3，3这六个数字按此规律重复出现，问：（1）第100个数是什么数？（2）把第一个数至第52个数全部加起来，和是多少？（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为304，那么共有多少个数字相加？【分析】根据题意，可知，1，1，2，2，3，3这六个数字按此规律重复出现，可以根据有余数的除法中，余数的规律求解即可．【解答】解：（1）因为100÷6=16…4，所以第100个数与第4个数相同，为2．（2）因为52÷6=8…4，所以第1个数至第52个数的和为（1+1+2+2+3+3）×8+（1+1+2+2）=102．（3）因为1+1+2+2+3+3=12，304÷12=25…4，又1+1+2=4，所以从第一个数起，顺次相加，共加到第25×6+3=153个数，其总和才恰为304．答：（1）第100个数是2数；（2）把第一个数至第52个数全部加起来，和是102；（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为304，那么共有153个数字相加．【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．23．把由1开始的自然数依次写下来：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14…．重新分组，按三个数字为一组：123，456，789，101，112，131，…，问第10个数是几？【分析】重新分组的是一个三位数，要求第10个数是几，只要求出第28、29、30个数字是多少即可解决问题．【解答】解：从1到9有9个数字，10到19有20个数字，从1到19一共由29个数字，第28个数字是1，第29个数字是9，下一个数字应是20的第一个数字2，所以第10个三位数是192．【点评】此题主要利用数中所含数字的个数重新分组，算出数字的个数是关键，进一步找出分组的规律解决问题．24．有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到1993个数这1993个数之和．【分析】仔细观察这一数列，若把1抽出，则正好成为一个等差数列：1993，1992，1991，1990，…；在原数列中三个数一组出现一个1，则1993个数1993÷3=664…1．可分为664组，最后一个也是1，即665个1，其余是1993﹣665=1328个数，即除了1之外，最大是1993，最小应是1993﹣1328+1=666，首先算出这1328个数的和再加665个1即可．【解答】解：1×665+（666+1993）×1328÷2=665+2659×1328÷2=665+1765576=1766241；答：这1993个数的和为1766241．【点评】此题主要通过分组发现数里面隐含的等差数列，从而找到问题的突破口，更好的解决问题．。