5-例题与习题

第五章 相似矩阵和二次型• 要点和公式 •1 向量的内积[定义] n 维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n b b b a a a M M 2121 ,βα的内积为[]αββαβαT T ==,n n b a b a b a +++=Λ2211向量内积的性质（设α,β,γ是n 维向量，k 为实数） ①[][]αββα,,=②[][] ,,βαβαk k = ③[][][]γβγαγβα,,,+=+④0],[≥αα，等号成立当且仅当0=α. []],[],[,2ββααβα⋅≤ (Cauchy-Schwarz 不等式)2 向量的长度[定义] n 维向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a M 21α的长度(范数)为22221],[nT a a a +++===Λααααα 向量长度的性质①0≥α，等号成立当且仅当0=α ② αα⋅=k k③βαβα+≤+ (三角不等式)3 正交向量非零向量βα,正交的充要条件是：0],[=βα 零向量与任何向量正交 非零正交向量组是线性无关的齐次线性方程组Ax =O 的解集(解空间)是由与A 的行向量都正交的全部向量构成的集合一组两两正交的单位向量r ααα,,,21Λ称为正交单位向量组，即[] ,0 ,1 ⎩⎨⎧≠==ji ji j i 若若，αα若正交单位向量组r ααα,,,21Λ是向量空间的基，则称之为规范正交基。

4 正交矩阵[定义] 若A 为方阵，且E A A =T(或E AA =T，或TA A =-1)，则称A 为正交矩阵.正交矩阵的性质：若A , B 是正交矩阵，则①)(1T A A =-也是正交矩阵； ②AB 也是正交矩阵； ③1=A 或－1n 阶方阵A 是正交矩阵的充要条件： A 的n 个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即R n 的一个规范正交基).4 矩阵的特征值和特征向量[定义] 设A 是方阵，若Ax =λx (其中λ是数，x 是非零向量)，则称数λ是A 的特征值，非零向量x 是A 的对应于(或属于)特征值λ的特征向量.凡是使得0=-E A λ的λ值都是矩阵 A 的特征值； A 的属于特征值λ0的全体特征向量是O x E A =-)(0λ的解集合中除零向量外的全体解向量，其最大无关组含有)(0E A λ--R n 个线性无关的特征向量.n 阶对角阵或上(下)三角阵的特征值就是其n 个主对角元. 设n 阶方阵A 的全部特征值为n λλλ,,,21Λ，则①)(tr 21A =+++n λλλΛ[tr(A )是A 的n 个主对角元之和，称为A 的迹]②A =n λλλΛ21若21,ξξ都是A 的属于特征值λ0的特征向量，则2211ξξk k +(其中k 1, k 2为任意常数，但O ξξ≠+2211k k )也是A 的属于特征值λ0的特征向量.设λ0是方阵A 的一个特征值，ξ是对应于特征值λ0的特征向量， 则，① k λ0是k A 的一个特征值；②m0λ是m A 的一个特征值；③)(0λϕ是)(A ϕ的一个特征值；[其中， 0111)(c x c x c x c x k k k k ++++=--Λϕ是关于变量x 的k 次多项式，E A A A A 0111)(c c c c k k k k ++++=--Λϕ]④若A 可逆，则10-λ是1-A 的一个特征值.并且ξ仍是以上各矩阵分别属于k λ0,m 0λ,)(0λϕ,10-λ的特征向量.A 和A T 有特征值相同(特征多项式相同)，但特征向量不一定相同。

如果λ0是n 阶方阵A 的一个k 重特征值，则k ≥ n -R (A -λ0E )，即，k ≥ 属于λ0的线性无关的特征向量的最大个数. 方阵A 的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.设A 有m 个不同的特征值:m λλλ , , ,21Λ，属于λi 的线性无关的特征向量有r i 个(i =1,2,…,m )，则所有这些向量(共m r r r +++Λ21个)构成的向量组是线性无关的.5 相似矩阵[定义] 若P -1AP =B (其中P 是可逆矩阵)，则称A 和B 相似. 矩阵的相似关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性若存在可逆矩阵P ，使得P -1AP =B (即A 和B 相似)，则 ① P -1(k A )P =k B (即k A 和k B 相似) ② P -1A m P =B m (即A m 和B m 相似)； ③ P -1ϕ(A )P =ϕ(B ) [即ϕ(A )和ϕ(B )相似]④ 若A 可逆，则B 也可逆，且P -1A -1P =B -1 (即A -1和B -1相似) 相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。

若A 和B 相似，则①R (A )=R (B )；②B A =6 矩阵可对角化的条件矩阵A 可对角化是指：存在可逆矩阵P ，使得A 和对角阵Λ相似，即P -1AP =Λn 阶方阵A 可对角化的条件：① A 有n 个线性无关的特征向量(充分必要条件)；② 每个特征值的重数=对应于该特征值的线性无关的特征向量的最大个数(充分必要条件)；③ n 阶方阵A 有n 个互异的特征值(充分条件)； ④ n 阶方阵A 是实对称矩阵(充分条件).若n 阶方阵A 可对角化(P -1AP =Λ)，则对角阵),,,(11n diag λλλΛ=Λ的主对角元就是A 的n 个特征值；可逆阵P 的n 个列向量是对应于各特征值的线性无关的特征向量.7 实对称矩阵实对称矩阵的特征值都是实数.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交. 对于n 阶实对称矩阵A ，必存在正交矩阵Q ，使得),,,(111n T diag λλλΛ===-ΛAQ Q AQ Q其中对角阵),,,(11n diag λλλΛ=Λ的主对角元就是A 的n 个特征值；正交阵Q 的n 个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量.8 合同矩阵[定义] 若B AC C =T (其中C 是可逆矩阵)，则称A 和B 合同. 矩阵的合同关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性.若矩阵A 和B 合同，则)()(B A R R =.9 化二次型为标准形[定义] n 元二次型是n 元二次齐次多项式∑∑===ni nj j i ij n x a x x x f 1121),,,(x Λ (双重连加号表示法，其中a ij =a ji )Ax x T = [矩阵表示法，其中T n x x x ),,(11Λ=x ，n n ij a ⨯=)(A 是n 阶实对称矩阵]化二次型为标准形是指：寻找可逆的线性变换x =Cy (C 为n 阶可逆矩阵)，使一般的n 元二次型成为纯平方项之和：2222211)(n n T T T y d y d y d +++==Λy AC C y Ax x或者说，对n 阶实对称矩阵A ，寻找可逆矩阵C ，使得C TAC 成为对角阵：C T AC =diag (d 1, d 2,…, d n ).对于任一n 元二次型Ax x Tn x x x f =),,,(21Λ，存在正交变换x =Qy (Q 为n 阶正交矩阵)，使得2222211)(n n T T T y y y λλλ+++==Λy AQ Q y Ax x或者说，对任一n 阶实对称矩阵A ，存在正交阵Q ，使得),,(21n T diag λλλΛ=AQ Q其中对角阵),,,(11n diag λλλΛ=Λ的主对角元就是A 的n 个特征值；正交阵Q 的n 个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量.对于任一n 元二次型Ax x T n x x x f =),,,(21Λ，存在可逆的线性变换x =Cy (C 为n 阶可逆矩阵)，使得2222211)(n n T T T y d y d y d +++==Λy AC C y Ax x或者说，对任一n 阶实对称矩阵A ，存在可逆阵C ，使得),,(21n T d d d diag Λ=AC C(注：用不同的可逆线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的)10 惯性定理惯性定理：对于一个二次型，不论作怎样的可逆线性变换使之化为标准形，其中正平方项的项数p (正惯性指数)和负平方项的项数q (负惯性指数)都是唯一的.对于 n 元二次型 x T Ax ，若正、负惯性指数分别为p 和q ，则存在可逆的线性变换x =Cy ，使得221221)(q p p p T T T y y y y ++-+-++==ΛΛy AC C y Ax x (*)或者说，对任一n 阶实对称矩阵A ，存在可逆阵C ，使得{)0,,0,1,,1 ,1,1()(321Λ43421ΛΛ个个个q p n q p T diag +---=AC C (*)式称为二次型的规范形，即标准形的系数只在1, -1, 0三个数中取值.11 正定二次型的判定条件[定义] 如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax >0，则称x T Ax 是正定二次型，A 是正定矩阵； 对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是正定二次型 (或A 是正定矩阵)；②x T Ax 的标准形的 n 个系数全大于零 (或A 的正惯性指数为n ，亦即A 合同于E )； ③存在可逆矩阵P ，使得A =P T P ； ④A 的n 个特征值全大于零.⑤A 的n 个顺序主子式的值全大于零.附：其它的有定二次型 [定义]如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax ≥0，但至少存在一个非零向量x 0，使得x 0T Ax 0=0，则称x T Ax 是半正定二次型，A 是半正定矩阵；如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax <0，则称x T Ax 是负定二次型，A 是负定矩阵；如果对任意的非零向量x ，恒有二次型x T Ax ≤0，但至少存在一个非零向量x 0，使得x 0T Ax 0=0，则称x T Ax 是半负定二次型，A 是半负定矩阵.对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是半正定二次型 (或A 是半正定矩阵)；② A 的正惯性指数=R (A )=r <n ，即A 合同于{)0,,0 ,1,1(321ΛΛ个个r n r diag -； ③存在降秩矩阵P ，使得A =P T P ；④A 的n 个特征值≥0，但至少有一个等于零； ⑤A 的n 个顺序主子式的值≥0，但至少有一个等于零. 对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是负定二次型 (或A 是负定矩阵)；②x T Ax 的标准形的 n 个系数全小于零 (或A 的负惯性指数为n ，亦即A 合同于－E )； ③存在可逆矩阵P ，使得A =－P T P ； ④A 的n 个特征值全小于零.⑤A 的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零. 对于n 阶实对称矩阵A ，以下命题等价： ① x T Ax 是半负定二次型 (或A 是负正定矩阵)；② A 的负惯性指数=R (A )=r <n ，即A 合同于)0,,0 ,1,1(321Λ43421Λ个个r n r diag ---； ③存在降秩矩阵P ，使得A =-P T P ；④A 的n 个特征值≤0，但至少有一个等于零；⑤A 的奇数阶顺序主子式≤0，偶数阶顺序主子式≥0，但至少有一个等于零.• 典型题型 •1 向量的内积、长度、正交性 ⑴ 内积的运算[练习1] 设α =(1, -2, 3)T , β =(2, -1, 0)T ，求实数λ，使得α+λβ与β 正交. [答案] 由[α+λβ, β]=0，得λ = -4/5⑵ 施密特正交化方法施密特正交化方法是指：将一组线性无关的向量r ααα , 21Λ，，，作特定的线性运算，构造出与原向量组等价的正交单位向量组. 其步骤如下：①将r ααα , 21Λ，，正交化：取 11αβ=； [][]1111222,,ββββααβ-= [][][][]222231111333,,,,ββββαβββααβ--=β … … … … … … … … … …[][][][][][]111122221111,,,,,,--------=r r r r r r r r r ββββαβββαβββααβΛββ 以上所得向量r βββ , 21Λ，，是两两正交的； ②再将rβββ , 21Λ，，单位化：111ββη=, 222ββη=, …, r r r ββη=于是，r ηηη , 21Λ，，是与r ααα , 21Λ，，等价的正交单位向量组. 利用施密特正交化方法，可将向量空间的一组基规范正交化(即构造出一个规范正交基)[练习2] 把，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10012α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01013α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11114α正交单位化.[答案] ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002/12/1，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-6/206/16/1，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12/112/312/112/1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2/12/12/12/1⑶ 求非零向量，与已知的向量组m ααα , 21Λ，，正交 [问] 设m ααα , 21Λ，，是一组n 维列向量，如何求与它们正交的非零向量？[答] 根据“齐次线性方程组Ax =O 的解集合是与A 的行向量都正交的全部向量”，以T m T T ααα , 21Λ，，为行向量构造矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯T m T T nm αααA M 21然后解齐次线性方程组Ax =O ，可得基础解系，则基础解系的任意非零线性组合都是与m ααα , 21Λ，，正交的非零向量.[练习3] 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11112α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31123α,求与321,,ααα正交的单位向量.[答案] T )3 ,1 ,0 ,4(261--±2 正交矩阵以下命题互为充分必要条件： ① A 是正交矩阵② A 是方阵，且A TA =E (或者AA T=E ) ③ A 可逆，且A -1=A T④ A 的列向量组(或行向量组)是正交单位向量组(即R n的规范正交基) 于是，可以根据②,③或④验证A 是否为正交矩阵.[练习4] 设A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，A －B 可逆，且AB =BA ，证明：1))((--+B A B A 是正交矩阵. [提示] A 是对称矩阵 ⇔ A A =TB 是反对称矩阵 ⇔ B B -=TAB =BA ⇔ ))(())((B A B A B A B A +-=-+利用以上条件证明E B A B A B A B A =-+-+--]))([(]))([(11T 成立[练习5] 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=313232323132323231A ，验证A 是对称阵、正交阵、对合阵.(注：若矩阵A 满足A 2=E ，则称A 为对合矩阵).[提示] (1)需验证A =A T ；(2)需验证列向量组(或行向量组)是正交单位向量组；(3)若A 是对称的正交矩阵，则必有A 2=A T A =E ，即A 是对合阵3 矩阵的特征值和特征向量⑴ 求“数值”矩阵的特征值和特征向量对于“数值”型的n 阶方阵A ，求特征值和特征向量的步骤如下： ①解特征方程0=-E A λ，得A 的全部特征值(包括重根共n 个)； ②将A 的每个特征值λi 代入齐次线性方程组O x E A =-)(λ，求基础解系，则，基础解系的所有非零．．线性组合(即解集合中除零向．．．量外．．的全体解向量)就是A 的属于特征值λi 的全体特征向量.[练习6] 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212044010A 的特征值和特征向量.[答案] A 的特征值为2 321===λλλ (三重特征值)，属于该特征值的全部特征向量是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012/121k k (k 1,k 2不全为零)⑵ 求“抽象”矩阵的特征值和特征向量 对于“抽象”的n 阶方阵，常用方法是：方法一 根据定义式x Ax λ=(x 是非零向量)，满足该式的λ是A 的特征值，非零向量x 是相应的特征向量；方法二 凡是能使0=-E A λ成立的λ都是特征值；凡是满足(A -λ0E )x =O 的非零向量x 都是属于λ0的特征向量.[练习7] 设AB =BA ，x 是A 的对应于特征值λ0的特征向量，B 可逆，证明：Bx 也是A 的对应于特征值λ0的特征向量. [提示] Ax =λ0x ，AB =BA ⇒ A (Bx )=B (Ax )=B (λ0x )=λ0(Bx ) 再根据已知条件“B 可逆”，用反证法证明Bx ≠O .[练习8] 设有三个非零的n 阶方阵A 1, A 2, A 3，满足A i 2=A i (i =1,2,3)，且A i A j =O (i ≠j ; i ,j =1,2,3)，证明：① A i (i =1,2,3)的特征值有且仅有0和1；② A i 对应于特征值1的特征向量是A j 的对应于特征值0的特征向量；③若α1, α2, α3分别为A 1, A 2, A 3的对应于特征值1的特征向量，则向量组α1, α2, α3线性无关.[提示] ①参见例12；②对A i ξ=ξ 左乘A j (j ≠i )，可得A j ξ=O =0ξ； ③设k 1α1+ k 2α2+ k 3α3=O ，左乘A 1，并利用②的结论，可得k 1α1=0，又因为特征向量α1≠O ，故k 1=0. 用类似的方式还可证k 2= k 3=0.[练习9] 设A 是m ⨯n 矩阵，B 是n ⨯m 矩阵， ①证明：AB 的非零特征值都是BA 的特征值. ②AB 的特征值都是BA 的特征值吗？说明理由.[答案] ①同例12；②不一定，因为AB 是m 阶方阵，BA 是n 阶方阵，若m ≠n ，则AB 和BA 的特征值个数不同. [注] 练习9的一个实例如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000020001020001001001的特征值为-1, 2, 0. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2001001001020001的特征值为-1, 2.⑶ 特征值和特征向量的性质[练习9] 设A 是n 阶矩阵，则以下结论正确的是：(A) 若A 可逆，则A 的对应于特征值λ的特征向量也是A -1的对应于特征值λ-1的特征向量；(B) A 的特征向量的任一线性组合仍是A 的特征向量； (C) A 和A T 有相同的特征向量；(D) A 的特征向量为Οx E A =-)(λ的全部解向量； [答案] (A)正确(B)错误，正确说法：A 的属于同一特征值λ0的特征向量的任一非零线性组合仍是A 的属于λ0的特征向量；(C)错误，正确的说法：A 和A T 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；(D)错误，正确说法：A 的特征向量为Οx E A =-)(λ的全部非零解向量.[练习10] 已知3阶矩阵A 的特征值为－1, 1, 2，设()E A B 28112*+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-, 求B 的全部特征值以及B .[答案] B 的特征值：4, 4, 10； 160=B[提示] 2211-=⨯⨯-=A ，故A 可逆，且11*2---==A A A A ，代入B 的表达式，得B =2A 2+2E ，于是，若A 的一个特征值为λ，则2A 2+2E 有一个特征值为222+λ.[练习11] 证明：例10中的3阶方阵βαT 的全部特征值为0, 0, 2. [提示] 根据βαT 的特点(任意2行或2列成比例) 得∣βαT ∣=0，即0是βαT 的特征值.又αT β=2，知α和β都是非零向量，于是βαT 是非零矩阵，且非零子式的最高阶数是1，即R (βαT )=1，从而0至少是二重的特征值.⑷ 已知矩阵A 的特征值或特征向量，反求矩阵A (或A 中的参数.)[练习12] 设n 阶矩阵A 有n 个两两正交的特征向量n ααα,,,21Λ，证明A 是对称矩阵.[提示] 设A αi =λi αi (i =1,2,…,n )，将各正交的特征向量单位化：),,2,1( n i ii i Λ==ααη则有A ηi =λi ηi (i =1,2,…,n )，即P ΛAP =，其中P =(η1, η2,…, ηn )为正交矩阵 (列向量组为正交单位向量组),),,,(21n diag λλλΛ=Λ. 于是，利用正交矩阵的性质P -1=P T ，有A =P ΛP -1=P ΛP T ，进而证明A T =A 即可.[练习13] 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量，试确定参数a ,b 以及特征向量ξ 所对应的特征值. [答案] a =-3, b =0, λ=-1.4 相似矩阵⑴ 相似矩阵的判别和证明根据定义，矩阵A 和B 相似 ⇔ 存在可逆阵P ，使得P -1AP =B . 另外，相似关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性和传递性，因此，若A 和B 相似，B 和C 相似，则A 和C 相似. [练习14] 设A 和B 相似，C 和D 相似，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C OO A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛D O O B 相似.[提示] 设P -1AP =B ，Q -1CQ =D ，其中P ,Q 是可逆阵，则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Q O O P C O O A Q O O P 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--CQ Q O O AP P 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D O O B⑵ 相似矩阵的性质[练习15] 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=b 00020001B已知A 和B 相似，求a ,b 的值. [答案] a =0, b =-2.5 矩阵可对角化的条件⑴矩阵可对角化的判定和证明矩阵可对角化是指：存在可逆矩阵P，使得A和对角阵Λ相似，即P-1AP=Λ.n阶矩阵A可对角化有如下判断条件：(I)A有n个线性无关的特征向量；(充分必要条件)(II)A的每个特征值的重数=属于该特征值的线性无关的特征向量的最大个数；(充分必要条件)(III)A有n个不同的特征值；(充分条件)(IV)A是实对称矩阵；(充分条件)[练习16]设A是3阶矩阵，且A-E, A+2E,5A-3E不可逆，证明A可对角化.[答案] ∣A-E∣=0, ∣ A+2E∣=0, ∣5A-3E∣=0⇒A有3个不同的特征值：1, -2, 3/5⇒A可对角化[练习17]已知n阶矩阵A满足A2-A =2E，证明A可对角化.[提示]A2-A =2E ⇒ (A+E)(A-2E)=O[练习18] 若A 是n 阶矩阵，A ≠ O 但O A =m (m 是大于1的整数)，证明A 不可对角化.[提示] 反证法，假设A 可对角化，即P -1AP =Λ，则有P -1A m P =Λm ，根据A m =O ，可得Λ =O ，从而A =P ΛP -1=O ，与题设条件矛盾.⑵ 当矩阵A 可对角化时，求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ (I) 若矩阵A 可对角化，即，存在可逆矩阵P 使得P -1AP =Λ，则对角阵Λ的主对角元就是A 的n 个特征值是λ1, λ2, …, λn ； 可逆阵),,,(21n ξξξP Λ=的列向量，就是对应于各特征值的线性无关的特征向量[O x E A =-)(i λ的基础解系].(II) 若A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q ，使得A 和对角阵Λ相似，即Q -1AQ =Q T AQ =Λ。