中考复习专题之三因动点问题产生的直角三角形问题

2020年中考数学压轴题精讲：动点产生的直角三角形问题例1：如图1，在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式； （3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得313EF CE AF BA ==． 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形， 所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ． 图2 由CM //AB ，得2CM CGAB BG==．所以CM ＝2AB ＝26． 由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ． 所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3 图4（3）在R t △ABC 中， AB ＝13，AC ＝5，所以BC ＝12．①如图 4，当∠AGE ＝90°时，延长EG 交AB 于N ，那么△AGE ≌△AGN ． 所以G 是EN 的中点． 所以G 是BC 的中点，BG ＝6．②如图5，当∠AEG ＝90°时，由△CAF ∽△EGF ，得FC FAFE FG=． 由CE //AB ，得FC FBFE FA=．所以FA FBFG FA=．又因为∠AFG ＝∠BF A ，所以△AFG ∽△BF A ． 所以∠F AG ＝∠B ．所以∠GAB ＝∠B ．所以GA ＝GB ．作GH ⊥AH ，那么BH ＝AH ＝132． 在R t △GBH 中，由c os ∠B ＝BH BG ，得BG ＝132÷1213＝16924．图5 图6例2：如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）用含m 的式子表示a ；（2）求证：ADAE为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1满分解答（1）将C (0,－3)代入y ＝a (x 2－2mx －3m 2)，得－3＝－3am 2．因此21a m =． （2）由y ＝a (x 2－2mx －3m 2)＝a (x ＋m )(x －3m )＝a (x －m )2－4axm 2＝a (x －m )2－4， 得A (－m , 0)，B (3m , 0)，F (m , －4)，对称轴为直线x ＝m ．所以点D 的坐标为(2m ,－3)．设点E 的坐标为(x , a (x ＋m )(x －3m ))．如图2，过点D 、E 分别作x 轴的垂线，垂足分别为D ′、E ′．由于∠EAE ′＝∠DAD ′，所以''''EE DD AE AD =．因此()(3)33a x m x m x m m+-=+． 所以am (x －3m )＝1．结合21a m =，于是得到x ＝4m ． 当x ＝4m 时，y ＝a (x ＋m )(x －3m )＝5am 2＝5．所以点E 的坐标为(4m , 5)． 所以'3'5AD DD AE EE ==．图2 图3（3）如图3，由E (4m , 5)、D (2m ,－3)、F (m ,－4)， 可知点E 、D 、F 到x 轴的距离分别为5、4、3．那么过点F 作AD 的平行线与x 轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G ．证明如下：作FF ′⊥x 轴于F ′，那么'4'3GF FF AD DD ==． 因此534AE AD GF==．所以线段GF 、AD 、AE 的长围成一个直角三角形． 此时GF ′＝4m ．所以GO ＝3m ，点G 的坐标为(－3m , 0)．例3：如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1（1）由21314(2)(8)424y x x x x =--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为142y x =-+．由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m --，213(,4)42Q m m m --．所以MQ ＝221131(4)(4)82424m m m m m -+---=-++．当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程21884m m -++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）． 此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)．所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分． 所以四边形CQBM 是平行四边形．图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)．例4：如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E(4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．图1（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-．因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在R t △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在R t △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6． 所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+．根据对称性，直线l 还可以是334y x =+．例5：在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-．所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大． （3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1233k =（如图2），2233k =-（如图3）．图2 图3例6：设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1 图1答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例7：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1满分解答(1) 因为抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3例8：如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22．。

“动点直角三角形问题”的三种解法李永红中考数学压轴题中常会出现“动点直角三角形问题”，如2013年山西、成都、攀枝花、长春、济宁、绵阳、襄阳等省市中考数学试卷中均出现了“动点直角三角形问题”，对于这类问题的解决，即使是数学尖子生也感到很棘手.其实，解决“动点直角三角形问题”有“法”可循，并不算“难”.一、例题分析例1 在直角坐标系中，已知点)0,1(A ，)2,0(-B ，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转090至AC ，如图1.（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2212++-=ax x y 经过点C .①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P （点C 除外）使ABP ∆是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由.分析（1）构造三垂图可求得点C 的坐标为)1,3(-C .（2）①将点C 的坐标代入2212++-=ax x y 可求得抛物线的解析式为221212++-=x x y . ②法1（利用数形结合）：如图2，易求得直线AC 的解析式为2121+-=x y . 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=2212121212x x y x y 解得⎩⎨⎧=-=11y x 或⎩⎨⎧-==13y x （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-.设过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为b x y +-=21，将点)2,0(-B 代入，得2-=b ，所以过点B 且与直线AC 平行的直线的解析式为221--=x y .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=221212212x x y x y 解得⎩⎨⎧-=-=12y x 或⎩⎨⎧-==44y x .此时点P 的坐标为)1,2(--或)4,4(-.综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法2（构造三垂图）：如图3，延长CA 交抛物线于点),(1n m P ，过点1P 作x D P ⊥1轴于点D ，易证DA P 1∆∽AOB ∆，∴OBAD OA D P =1.∵1=OA ，2=OB ，m AD -=1，n D P =1，∴211m n -=，即m n 2121-=.∵点),(1n m P 在抛物线上，∴221212++-=m m n .由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=2212121212m m n m n 解得⎩⎨⎧=-=11n m 或⎩⎨⎧-==13n m （舍去）.此时点P 的坐标为)1,1(-.过点B 作直线AC 的平行线，交抛物线于点2P ，3P .过点2P 作y E P ⊥2轴于点E ，易证2BEP ∆∽AOB ∆，可求得点2P 的坐标为)1,2(--；过点3P 作y F P ⊥3轴于点F ，易证3BFP ∆∽AOB ∆，可求得点3P 的坐标为)4,4(-；综上，存在符合条件的点P ，其坐标为)1,1(-或)1,2(--或)4,4(-. 法3（利用勾股定理）： 设抛物线上存在点)22121,(2++-m m m P ，使ABP ∆是以AB 为直角边的直角三角形.分别利用勾股定理可得52=AB ，,)22121()1(2222++-+-=m m m AP 2222)42121(++-+=m m m BP . 当点A 、B 分别为直角顶点时，分别由+2AB =2AP 2BP 、+2AB 2BP 2AP =得到关于m 的一元四次方程，用已学知识难以求解.例2 已知抛物线32++=bx ax y 与x 轴交于点)0,3(-A ，)0,1(B ，与y 轴交于点C ，如图4. （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）在抛物线的对称轴l 上存在点Q ，使ACQ ∆为直角三角形，请求出点Q 的坐标.分析（1）易求得抛物线的解析式为322+--=x x y ，顶点坐标为)4,1(-.（2）法1（利用数形结合）：由于不易求直线AQ 或CQ 的解析式，所以本题不适合利用数形结合来解决. 法2（构造三垂图）：如图5，在对称轴l 上存在四个符合条件的点Q ，分别构造三垂图并利用三角形相似可求得)4,1(1-Q ，)2,1(2--Q ，)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 法3（利用勾股定理）：设点Q 的坐标为),1(n -，分别利用勾股定理可得182=AC ，,422n AQ +=22)3(1-+=n CQ .当090=∠ACQ 时，由+2AC =2CQ 2AQ 得224)3(118n n +=-++，解得4=n ，所以)4,1(1-Q .当090=∠CAQ 时，由+2AC =2AQ 2CQ 得22)3(1418-+=++n n ，解得2-=n ，所以)2,1(2--Q .当090=∠AQC 时，由+2AQ =2CQ 2AC 得18)3(1422=-+++n n ，解得2173±=n ，所以)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 综上，符合条件的点Q 有四个，分别为)4,1(1-Q ，)2,1(2--Q ，)2173,1(3+-Q ，)2173,1(4--Q . 二、方法比较利用数形结合：该方法并不是对每一个题都适用，当相应的直线方程能较容易求出时，可以使用该方法，而且解法比较简捷.构造三垂图：该方法对每一个题都适用，但解法较繁，当考虑情况不周时容易漏解.利用勾股定理：当动点在曲线上时，利用勾股定理得到的方程是一元四次方程，用已学知识难以求解，该方法不适用；当动点在直线上时，利用勾股定理得到的三个方程是一元一次方程或一元二次方程，容易求解而且不易漏解.通过上述分析和比较可以看到，解“动点直角三角形问题”通常有三种解法，解题时应根据题设条件选择恰当的解法，才能使问题快速地得以解决.。

中考二轮复习第3讲 因动点产生的直角三角形一、专题精讲1、直角三角形的勾股定理以及它的逆定理是解这部分题目的重要依据．三角形的存在性，即两边之和大于第三边，是解这部分题目的首要条件．一个三角形有三个角，这三个角都有可能成为直角，所以在做这类题目时要分类讨论．例1 已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN =4，MA =1，MB >1．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设AB =x ．(1)求x 的取值范围；(2)若△ABC 为直角三角形，求x 的值 分析1．根据三角形两边之和大于第三边，得到两个不等式，组成不等式组解之，得到z 的取值范围， 2.若△ABC 为直角三角形，则有可能是∠ACB =90°，或∠CAB =90°，或∠ABC =90°，所以要分三种情况讨论，解(1)在△ABC 中，AC =MA =1，AB =x ，MN =4，所以BC =BN =3-x ．由三角形两边之和大于第三边得不等式组：⎩⎨⎧>-+->+,31,31x x x x 解得1<x <2．(2)△ABC 为直角三角形，分三种情况讨论：①如图(1)，∠ACB =90°，AB 为斜边，则2221)3(+-=x x 解得⋅=35x ②如图(2)，∠CAB =90°，BC 为斜边，则,1)3(222+=-x x 解得⋅=34x③∠ABC =90°，AC 为斜边，则,0,043,)3(12222<∆=+--+=x x x x无实数根，这种情况不存在． 综上所述，当35=x 或34=x 时，△ABC 为直角三角形．2、坐标轴上的点，正、反比例函数上的点都可能构成等腰直角三角形，要分类讨论． 例2 如图(1)，一次函数的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，且A 点的坐标为(2，0)，点C ，D 分别在第一、三象限，且此一次函数与反比例函数图象交于C 、D 两点，又OA =OB =AC =BD ．(1)求一次函数与反比例函数的解析式．(2)在y 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的P 点的坐标（不用写出计算过程）；若不存在，请说明理由，分析1．数形结合，根据线段之间的等量关系表示出点B 、点C 的坐标．2．待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式．3．分类讨论，按直角顶点分类，△BCP 为等腰直角三角形分两种情况，不存在点B 为直角顶点的情况．解(1)作CE ⊥x 轴，垂足为E 因为),0,2(,2A AC OB OA ===所以),2,0(-B 1,1).E设一次函数的解析式为y = kx +b ，因为点A 、点B 在直线上，所以⎪⎩⎪⎨⎧-==+.2,02b b k 解得.2,1-==b k所以一次函数的解析式为.2-=x y设反比例函数的解析式为,xmy =因为点)1,12(+C 在双曲线上，所以12)12(1+=+⨯=m即反比例函数的解析式为y =(2)存在．如图(2)，图(3)，点P 的坐标分别是(0，1)或).22,0(+3、用字母代替数，是初中数学的一个重要思想．一次函数的图象经讨某个定点A ．而动点B 坐标不固定，就形成了一条动态的直线AB ，在变化的过程中，有可能产生直角三角形．例3如图(1)，在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为(0，b )(b >0)．P 是直线AB 上的一个动点，作PC ⊥x 轴，垂足为C 记点P 关于y 轴的对称点为P ′（点P ′不在y 轴上），连结PP ′、P ′A 、P ′C ，设点P 的横坐标为a ．(1)当b =3时：①求直线AB 的解析式；②若点P ′的坐标是(-1，m )，求m 的值；(2)是否同时存在a 、b ，使△P ′CA 为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a 、b 的值；若不存在，请说明理由，分析1．由A 、B 两点的坐标确定直线的解析式并求出m 的值．2．数形结合，考虑到b >0就可以直观的得出解．以定点A 、C 为直角边在z 轴的上方可以画两个等腰直角三角形，其中一个不合题意舍去；以定点A 、C 为斜边在z 轴的上方可以画一个等腰直角三角形．解(1)①设直线AB 的解析式为y =kx +b ，代入点A (-4，0)和点B (0，3)，得⎩⎨⎧==+-,3,04b b k 解得.3,43==b k 因此直线AB 的解析式为.343+=x y ②因为点P 与点P ′关于y 轴对称，所以点P 的坐标为(1，m )，代人,343+=x y 解得⋅=415m (2)①如图(2)，当∠P ′AC =90°时，四边形P ′ACP 是正方形，因此OA =OC =OB =4，点P 的坐标为(4，8)，此时a =4，6=4．②如图(3)，当∠P ′CA =90°时，B 、P 、P ′三点重合，P '在y 轴上，与条件点P ′不在y 轴上不符，故舍去，③如图(4)，当∠AP ′C =90。

动点引起的等腰直角三角形存在性问题△ABP 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置.【一题多解·典例剖析】例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<c<4；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或312⎛⎫⎪⎪⎝⎭或31,2⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】解：（1）联立4yxy x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得：22xy=⎧⎨=⎩或22xy=-⎧⎨=-⎩即：函数4yx=上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）．（2）①联立25y xy ax x c=⎧⎨=++⎩得ax2+4x+c=0∵这样的雁点E只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴△=16－4ac=0，即ac=4∵a>1∴a=4c>1，即4c－1>0，4cc->0，解得：0<c<4.②由①知，E点坐标为：x=422a a-=-，即E22,a a⎛⎫--⎪⎝⎭在y=ax2+5x+4a中，当y=0时，得：x=－4a，x=－1a即M点坐标为（－4a，0），N点坐标为（－1a，0）过E点向x轴作垂线，垂足为H点，EH=2a，MH=242()a a a---=∴EH=MH即△EMH为等腰直角三角形，∠EMN=45°.（3）存在，理由如下：①如图所示：过P作直线l垂直于x轴于点k，过C作CH⊥PK于点H方法一设C（m，m），P（x，y）∵△CPB为等腰三角形，∴PC=PB，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH =PK ，HP =KB ，即3m x y m y x -=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即P （32，154）.方法二设P （m ，－m 2+2m+3），同理，CH =PK ，HP =KB ，则C （m －m 2+2m+3，－m 2+2m+3+3－m ）∵C 为雁点∴m －m 2+2m+3=－m 2+2m+3+3－m ，解得：m=32，即P （32，154）.②如图所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴KP =JB ，KC =JP方法一设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP =x －m ，KC =y －m ，JB =y ，JP =3－x ，即3x m y y m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则P 23(,)22或23(,)22方法二设P （m ，－m 2+2m+3），则C （m －（－m 2+2m+3），－m 2+2m+3－（3－m ））∴m －（－m 2+2m+3）=－m 2+2m+3－（3－m ），解得：③如图所示，此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为（32，154）或3()22，或23()22，.【一题多解·对标练习】练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在，13313322Q⎫++⎪⎪⎝⎭或34141322Q⎛⎫⎪⎪⎝⎭．【解析】解：（1）∵OA=2，OB=4，OC=8，∴A（－2，0），B（4,0），C（0,8），设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x－4)，将（0,8）代入得：a=－1即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+8；（2）存在以点Q为直角顶点的等腰直角△CQR，理由如下：①当点Q在第二象限时，如图所示过点Q作QL⊥x轴于点L，过点C作CK⊥QL，交其延长线于点K，∴∠CKQ=∠QLR=∠COL=90°，∴四边形COLK是矩形，∴CK=OL，∵CQR为等腰直角三角形，∴CQ=QR，∠CQR=90°，∴∠KCQ=∠LQR∴△KCQ ≌△LQR∴RL=QK ，QL=CK ，设R （m ，0），Q （x ，y ）则m －x=8－y－x=y即－x=－x 2+2x+8，解得：x=32-或x=32+（舍）则Q （32-，32）②当点Q 在第一象限时，如图所示同理可得：x=－x 2+2x+8，解得：x=12或x=12-（舍），∴Q ⎫⎪⎝⎭.综上所述，满足题意的Q 点坐标为1122⎛⎫ ⎪⎝⎭或3322⎛⎫- ⎪⎝⎭．【多题一解·典例剖析】例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3）【解析】解：（1）∵抛物线y =－x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （－1，0），则09301b c b c =-++⎧⎨=--+⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：抛物线表达式为y =－x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE =PE t ，即E （3－t ，0），又Q （－1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC －S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦=21262t t -+∴当t =2时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4.（3）如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∠MPQ =90°，∴∠MPF +∠QPE =90°，又∠MPF +∠PMF =90°，∴∠PMF =∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFM ≌△QEP ，∴MF =PE =t ，PF =QE =4－2t ，∴EF =4－2t +t =4－t ，又OE =3－t ，∴点M 的坐标为（3－2t ，4－t ），∴4－t =－（3－2t ）2+2（3－2t ）+3，解得：t，∴M．【多题一解·对标练习】练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线132y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线213y x bx c =++经过坐标原点和点A ，顶点为点M ．（1）求抛物线的关系式及点M 的坐标；（2）将直线AB 向下平移，得到过点M 的直线y mx n =+，且与x 轴负半轴交于点C ，取点()2,0D ，连接DM ，求证：45ADM ACM ∠-∠=︒．【答案】（1）y=13x2－2x，M（3，－3）；（2）见解析．【解析】解：（1）∵直线AB：y=－12x+3交坐标轴与A、B∴A（6,0），B（0,3）将（6,0），（0，0）代入y=13x2+bx+cx得：1260b cc++=⎧⎨=⎩，解得：2bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的关系式为y=13x2－2x，顶点M的坐标为（3，－3）；（2）由题意得：m=1 2-，将点(3,－3)代入y=12-x+n得：n=32-，则直线CM的解析式为y=12-x32-，如图，过点D作DH⊥CM于H，设直线DM的解析式为y=2x+k，将点（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4，则直线DH的解析式为：y=2x－4，联立132224y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即H （1，－2），∴=，=即DH=MH ，又DH ⊥CM ，即三角形DHM 是等腰直角三角形，∠DMH=45°，∴∠ADM=∠ACM+45°即∠ADM －∠ACM=45°．练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF的面积．【答案】（1）y=－x 2+6x －3；（2）4.【解析】解：（1）由抛物线与y 轴相交于点(0,－3)，得b=－3，∵抛物线的对称轴为x=3，即232b a--=，解得：a=－1∴抛物线的解析式为y=－x 2+6x －3.（2）过点E 作EM ⊥AB 于点M ，过点F 作FN ⊥AB 于N ，∵△DEF是等腰直角三角形∴DE=DF，∠FED=∠EFD=45°∵EF∥x轴∴∠EDM=45°∴△EMD为等腰直角三角形∴EM=DM设E（m，－m2+6m－3），则M(m，0)，DM=3－m，EM=－m2+6m－3，∴3－m=－m2+6m－3解得：m=1或m=6当m=1时，E（1,2），符合题意，DM=EM=2，MN=4，△DEF的面积为4当m=6时，E（6，－3），舍去，综上所述：△DEF的面积为4．。

动点之直角三角形问题【例2】(模型建立)(1)如图1，等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=，CB CA =，直线ED 经过点C ，过A 作AD ED ⊥于点D ，过B 作BE ED ⊥于点E .求证：BEC CDA ∆≅∆；(模型应用)(2)已知直线1l ：443y x =+与坐标轴交于点A 、B ，将直线1l 绕点A 逆时针旋转45至直线2l ，如图2，求直线2l 的函数表达式；(3)如图3，长方形ABCO ，O 为坐标原点，点B 的坐标为()8,6-，点A 、C 分别在坐标轴上，点P 是线段BC 上的动点，点D 是直线26y x =-+上的动点且在第四象限.若APD ∆是以点D 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接．．写出点D 的坐标.【答案】(1)见解析；(2)y ＝−7x−21；(3)D(4，−2)或(203，223-). 【解析】(1)根据△ABC 为等腰直角三角形，AD ⊥ED ，BE ⊥ED ，可判定BEC CDA ∆≅∆；(2)①过点B 作BC ⊥AB ，交l 2于C ，过C 作CD ⊥y 轴于D ，根据△CBD ≌△BAO ，得出BD ＝AO ＝3，CD ＝OB ＝4，求得C(−4，7)，最后运用待定系数法求直线l 2的函数表达式；(3)根据△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，当点D在矩形AOCB的外部时，设D(x，−2x＋6)，分别根据△ADE≌△DPF，得出AE＝DF，据此列出方程进行求解即可．【详解】解：(1)证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，∠ACD＋∠BCE＝90°，又∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠D＝∠E＝90°，∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，D EACD EBC CA CB∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴BEC CDA∆≅∆(AAS)；(2)①如图2，过点B作BC⊥AB，交l2于C，过C作CD⊥y轴于D，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，由(1)可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝43x＋4中，若y＝0，则x＝−3；若x＝0，则y＝4，∴A(−3，0)，B(0，4)，∴BD＝AO＝3，CD＝OB＝4，∴OD＝4＋3＝7，∴C(−4，7)，设l2的解析式为y＝kx＋b，则7403k bk b=-+⎧⎨=-+⎩，解得：721 kb=-⎧⎨=-⎩，∴l2的解析式为：y＝−7x−21；(3)D(4，−2)或(203，223-)．理由：当点D是直线y＝−2x＋6上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交BC于F，设D(x，−2x＋6)，则OE＝2x−6，AE＝6−(2x−6)＝12−2x，DF＝EF−DE＝8−x，由(1)可得，△ADE≌△DPF，则DF＝AE，即：12−2x＝8−x，解得x＝4，∴−2x＋6＝−2，∴D(4，−2)，此时，PF＝ED＝4，CP＝6＝CB，符合题意；当点D在矩形AOCB的外部时，如图，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D(x，−2x＋6)，则OE＝2x−6，AE＝OE−OA＝2x−6−6＝2x−12，DF＝EF−DE＝8−x，同理可得：△ADE≌△DPF，则AE＝DF，即：2x−12＝8−x，解得x＝203，∴−2x＋6＝223 -，∴D(203，223-)，此时，ED＝PF＝203，AE＝BF＝43，BP＝PF−BF＝163＜6，符合题意，综上所述，D点坐标为：(4，−2)或(203，223-)【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．【变式2-1】(2019·辽宁中考模拟)如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(4，0)和点D(﹣1，0)，与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC(1)求这个二次函数的表达式；(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ.①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t 为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)①S=-t2+t+2；0≤t≤2；t＝12时，S最大值＝94；②存在，点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．【解析】(1)由待定系数法将AD两点代入即可求解．(2)①分别用t表示出AM、PQ，由三角形面积公式直接写出含有t的二次函数关系式，由二次函数的最大值可得答案；②分类讨论直角三角形的直角顶点，然后解出t，求得M坐标．【详解】(1)∵二次函数的图象经过A(4，0)和点D(﹣1，0)，∴1644040a ba b++=⎧⎨-+=⎩，解得13ab=-⎧⎨=⎩，所以，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．(2)①延长NQ交x轴于点P，∵BC平行于x轴，C(0，4)∴B(3，4)，NP⊥OA．根据题意，经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，∴QN＝CN＝3﹣t，∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t，∴S△AMQ=12AM×PQ=12(4-2t)(1+t)＝﹣t2+t+2．∴S=-t2+t+2=-(t-12)2+94．∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．当t＝12时，S最大值＝94．②存在点M，使得△AQM为直角三角形．设经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．Ⅰ．若∠AQM＝90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高．∴PQ是底边MA的中线，∴PQ＝AP＝12 MA，∴1+t＝12(4﹣2t)，解得，t＝12，∴M的坐标为(1，0)．Ⅱ．若∠QMA＝90°，此时QM与QP重合．∴QM＝QP＝MA，∴1+t＝4﹣2t，∴t＝1，∴点M的坐标为(2，0)．所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为(1，0)和(2，0)．【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系还要注意求最大值可以借助于二次函数．【变式2-2】如图，四边形ABCD是正方形，以DC为边向外作等边△DCE，连接AE交BD于点F，交CD于点G，点P是线段AE上一动点，连接DP、BP．(1)求∠AFB的度数；(2)在点P从A到E的运动过程中，若DP平分∠CDE，求证：AG•DP＝DG•BD；(3)已知AD＝6，在点P从A到E的运动过程中，若△DBP是直角三角形，请求DP 的长．【答案】(1) 60°；(2)见解析；(3) DP=6或DP＝－3或DP＝时，△DBP是直角三角形【解析】(1)根据正方形的性质、等边三角形的性质解答；(2)连接AC，证明△DGP∽△AGC，根据相似三角形的对应边的比相等证明；(3)根据正方形的性质、勾股定理分别求出BD、OD，根据直角三角形的性质求出DF，分∠BPD＝90°、∠BDP＝90°两种情况，根据相似三角形的性质计算．【详解】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ADC＝90°，又∵△DCE是等边三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴DA＝DE，∠ADE＝150°，∴∠DAE＝15°，又∠ADB＝45°，∴∠AFB＝∠DAF+∠ADF＝15°+45°＝60°；(2)连接AC，∠CAG＝∠CAD﹣∠DAG＝45°﹣15°＝30°，∵DP平分∠CDE，∴1302GDP EDC︒∠=∠=，∴∠PDG＝∠CAG，又∠DGP＝∠AGC，∴△DGP∽△AGC，∴DG DPAG AC=，即AG•DP＝DG•AC，∵AC＝DB，∴AG•DP＝DG•BD；(3)连接AC交BD于点O，则∠AOF＝90°，∵AD＝6，∴0A 0D ==在Rt △AOF 中，∠OAF ＝30°，∴OF AF ==，∴FD =由图可知：0°＜∠DBP ≤45°，则△DBP 是直角三角形只有∠BPD ＝90°和∠BDP ＝90°两种情形：①当∠BPD ＝90°时，I 、若点P 与点A 重合，∠BPD ＝90°，∴DP ＝DA ＝6；II 、当点P 在线段AE 上时，∠BPD ＝90°，连接OP ，12OP OA BD === ∴∠OPA ＝∠OAP ＝30°，∴∠AOP ＝120°，∴∠FOP ＝∠AOP ﹣∠AOF ＝30°，∴∠DBP ＝∠OPB ＝15°，∴∠FDP ＝75°，又∠BAF ＝∠BAD ﹣∠DAF ＝75°，∴∠BAF ＝∠PDF ，又∠AFB ＝∠DFP ，∴△BAF ∽△PDF ，∴DP DF AB AF =，即6DP =解得，3DP =；②当∠BDP ＝90°时，∠DFP ＝∠AFB ＝60°，∴DP ＝DF ×tan ∠DFP -=综上，DP=6或DP ＝3或DP ＝ 时，△DBP 是直角三角形．【点睛】本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质、直角三角形的性质，掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。

2020中考动点构成直角三角形专题例1.如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4, 0)，并且OA＝OC＝4OB，动点P 在过A、B、C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F．连结EF，当线段EF最短时，求点P的坐标．图1例2.如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图象上，CD//AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的式子表示a；（2）求证：ADAE为定值；（3）设该二次函数的图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．图1例3.如图1，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结BC．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），P M∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得△CNQ 为直角三角形，求点Q的坐标．图1例4.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），连结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G．（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；（3）当AC＝5时，连结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．图1例5.如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A(－1,0)、B(4, 0)、C(0, 2)．点D是点C关于原点的对称点，连结BD，点E是x轴上的一个动点，设点E的坐标为(m, 0)，过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P．（1）求这个二次函数的解析式；（2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点Q，当四边形CDQP是平行四边形时，求m的值；（3）是否存在点P，使△BDP是不以BD为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．图1 备用图。

因动点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．思路点拨1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．3．灵活应用相似比解题比较简便．满分解答（1）由23333(4)(2)848y x x x x =--+=-+-，得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以34DG CO BG AO ==．所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9(1,)4-． 因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27(1,)4．图2 图3（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．联结GM ，那么GM ⊥l ．在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △EM 1A 中，AE ＝8，113tan 4M A M EA AE ∠==，所以M 1A ＝6．所以点M 1的坐标为(－4, 6)，过M 1、E 的直线l 为334y x =-+． 根据对称性，直线l 还可以是334y x =+． 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4． 在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．例2 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值．动感体验请打开几何画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．请打开超级画板文件名“12杭州22”，拖动表示实数k 的点在y 轴上运动，可以体验到，当k ＜0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．观察抛物线的顶点Q 与⊙O 的位置关系，可以体验到，点Q 有两次可以落在圆上．思路点拨1．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是ky x=．题目中的k 都是一致的．2．由点A (1,k )或点B (－1,－k )的坐标还可以知道，A 、B 关于原点O 对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O ．3．根据直径所对的圆周角是直角，当Q 落在⊙O 上是，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．满分解答（1）因为反比例函数的图象过点A (1,k )，所以反比例函数的解析式是k y x=． 当k ＝－2时，反比例函数的解析式是2y x=-．（2）在反比例函数ky x=中，如果y 随x 增大而增大，那么k ＜0．当k ＜0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．抛物线y ＝k (x 2＋x ＋1)＝215()24k x k +-的对称轴是直线12x =-． 图1 所以当k ＜0且12x <-时，反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大．（3）抛物线的顶点Q 的坐标是15(,)24k --，A 、B 关于原点O 中心对称，当OQ ＝OA ＝OB 时，△ABQ 是以AB 为直径的直角三角形．由OQ 2＝OA 2，得222215()()124k k -+-=+．解得1k =2），2k =3）．图2 图3考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线ky x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5例3 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1动感体验请打开几何画板文件名“11沈阳25”，拖动点E 或F 在y 轴上运动，可以体验到，△CDE 有两次机会成为等腰直角三角形．双击按钮“PQ ＝3”可以准确显示34PQ AB =时的位置．思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．例4 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“11浙江23”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，∠APB 有两个时刻可以成为直角，此时△BCP ∽△POA ．答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6．如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P 从O 向A 运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长． 3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =．如图6，当两圆外切时，30t =-图4 图5 图6例6 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1动感体验请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B 在AN 上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；∠CAB 和∠ACB 可以成为直角，∠CBA 不可能成为直角；观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U ”形，当AB 等于1.5时，面积达到最大值．思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22．考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =，例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-． 整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ． 例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．思路点拨1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+． 定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-． 定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =22t =去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t =．③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5 考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7 例8 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“08河南23”，拖动点M 从A 向B 运动，观察S 随t 变化的图象，可以体验到，当M 在AO 上时，图象是开口向下的抛物线的一部分；当M 在OB 上时，S 随t 的增大而增大．观察S 的度量值，可以看到，S 的值可以等于4．观察△MON 的形状，可以体验到，△MON 可以两次成为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．思路点拨1．第（1）题说明△ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点M 、N 同时出发，同时到达终点．2．不论M 在AO 上还是在OB 上，用含有t 的式子表示OM 边上的高都是相同的，用含有t 的式子表示OM 要分类讨论．3．将S ＝4代入对应的函数解析式，解关于t 的方程．4．分类讨论△MON 为直角三角形，不存在∠ONM ＝90°的可能．满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）． Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45NH t =． 如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2． 如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S OM NH t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得12t =，22t =．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时2t =． ③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =， 所以535t t -=．解得258t =． 如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5 考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7。

一、动点产生的相似三角形问题1、 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ． 设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6,2、 满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =． 由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BCBE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+考点伸展第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．二、因动点产生的等腰三角形问题 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)， 代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ． 由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =此时点M 的坐标为或(1,．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6． 当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图54.思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ． 满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ． 三、①因动点产生的直角三角形问题5、满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4②动点产生的平行四边形问题 2 满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-．①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得2x =-±此时点Q 的坐标为(2-+-（如图3），或(2--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=． 解得4x=-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．。

动点之直角三角形问题动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。

解决方法：1.解直角三角形：一般需要重新作辅助线勾股三角形。

2.相似：两个角相等的比较常见。

1.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4cm，点D以1个单位从C出发，沿着C—B —C方向运动，若动点E同时以2cm/s的速度从B点出发，沿着B→A→B的方向运动，至B点结束，设E点的运动时间为t秒，连接DE，（1）当t为何值时，△BDE是直角三角形？（2）思考，当t为何值时，△BDE是相似三角形？当t为何值时，△BDE是等腰三角形？2.在ABC ∆中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。

过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ 。

设动点运动时间为x 秒。

（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ∆的面积为2()y cm ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）当x 为何值时，EDQ ∆为直角三角形。

参考答案：2.（2）（3）综上所述，当x 为2.5秒或3.1秒时，EDQ ∆为直角三角形直角三角形练习题（2）如下图，点D关于A的的对称点是D',是否存在m，使得D∆是直角三DE'角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

动点几何问题（三）--动点直角三角形这节课我们学什么1.动点直角三角形一线三直角问题2.动点直角三角形SAS问题3.动点直角三角形三角比问题4.动点直角三角形勾股定理问题知识点梳理动点直角三角形问题，一般都需要讨论哪个角是可能构成直角，然后根据题型，运用不同的方法．如下为总结的四种方法：1.先讨论哪个角是直角，然后第一类用一线三直角构造相似求解，分别用未知数的式子表示出一线三直角模型的边长；2.用边角边，即两边对应成比例夹角相等，一般是动点构成的直角三角形与已知的直角三角形相似，需要求出已知直角三角形的边长，以及用未知数的式子求出动点直角三角形的边长，通过对应边成比例建立等式；3.利用三角比来求解，实际上这个和上面一种情况类似，但是动点构成的直角三角形中，某个锐角的三角比已知，这样，直接在动点三角形中运用三角比直接可以建立等式；4.第四种方法就比较简单粗暴了，就是把动点直角三角形三边的长度用未知数的式子，或者直接是数字表示出来，用勾股定理建立等式，求解出未知数．典型例题分析1、动点直角三角形一线三直角问题； 例1.已知如图在平面直角坐标系xoy 中，抛物线与轴分别交于点(2,0)A 、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，1tan 2CBA ∠=． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ABCD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，BCE ∆是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．【答案：（1）∵当时，，∴(0,3)C在Rt COB ∆中，∵∴∴∴点(6,0)B把(2,0)A (6,0)B 分别代入，得：得解得：∴该抛物线表达式为（2）∵∴顶点41D -（，） ∴（3）点E 的坐标是108（，）或1635（，）】 2、动点直角三角形SAS 问题 例2.已知：如图，抛物线2445y x mx =-++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、B ，（点A 在点B 的左侧）且满足4OC OA =．设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ． （1）求抛物线的解析式及点M 的坐标；（2）联接CM ，点Q 是射线CM 上的一个动点，当QMB ∆与COM ∆相似时，求直线AQ 的解析式．【答案：（1）根据题意：04C （，）∵4OC OA = ∴0A （-1，） 把点A 代入得4045m =--+ 解得∴抛物线的解析式∴（2）根据题意得：3BM =，2tan CMO ∠=，直线CM ：4y x =+ （i ）当90COM MBQ ∠=∠=︒时，COM QBM ∆∆∽ ∴2BQtan BMQ BM∠==∴6BQ =即5,6Q -（）∴AQ ：（ii ）当90COM BQM ∠=∠=︒时，COM BQM ∆∆∽ 同理Q （） ∴AQ ：】例3.如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，5=AB ，43tan =B ，点D 是BC 的中点，点E 是AB 边上的动点，DE DF ⊥交射线AC 于点F ． （1）求AC 和BC 的长；（2）当EF BC //时，求BE 的长；（3）联结EF ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，求BE 的长．【答案：解：（1）在ABC Rt ∆中，∠C ∵43tan ==BC AC B ，∴设k AC 3=，k BC 4= AC∴55==k AB ，∴1=k ∴3=AC ，4=BC（2）过点E 作BC EH ⊥，垂足为H ． 易得EHB ACB ∆∆∽设k CF EH 3==，k BH 4=，k BE 5=∵EF BC //∴FDC EFD ∠=∠∵︒=∠=∠90C FDE ∴EFD FDC ∆∆∽ ∴CDFDFD EF =∴CD EF FD ⋅=2 即)44(2492k k -=+化简，得04892=-+k k 解得91324±-=k （负值舍去）∴92013105-==k BE（3）过点E 作BC EH ⊥，垂足为H ．易得EHB ACB ∆∆∽ 设k EH 3=，k BE 5=∵︒=∠+∠90HDE HED ︒=∠+∠90HDE FDC ∴FDC HED ∠=∠∵︒=∠=∠90C EHD ∴EHD DCF ∆∆∽∴DFDECD EH =当DEF ∆和ABC ∆相似时，有两种情况：①43==BC AC DF DE ；∴43=CD EH 即4323=k 解得21=k ∴255==k BE②34==AC BC DF DE ；∴34=CD EH 即3423=k 解得98=k∴9405==k BE综合①、②，当DEF ∆和ABC ∆相似时，BE 的长为25或940．】3、动点直角三角形三角比问题例4.已知：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，2BC =，4AC =，P 是斜边AB 上的一个动点，PD AB ⊥，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且EPD A ∠=∠．设A 、P 两点的距离为x ，BEP ∆的面积为y ． （1）求证：2AE PE =；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当BEP ∆与ABC ∆相似时，求BEP ∆的面积．【答案：（1）∵90APD C ∠=∠=︒，A A ∠=∠，∴ADP ABC ∆∆∽．∴21==AC BC AP PD ． ∵EPD A ∠=∠，PED AEP ∠=∠，∴EPD EAP ∆∆∽． ∴21==AP PD AE PE ． ∴2AE PE =．（2）由EPD EAP ∆∆∽，得21==AP PD PE DE ，∴2PE DE =． ∴24AE PE DE ==．作EH AB ⊥，垂足为点H ．∵AP x =，∴x PD 21=． ∵PD HE //，∴34==AD AE PD HE ．∴x HE 32=． 又∵52=AB ，∴x x y 32)52(21⋅-=，即x x y 352312+-=．定义域是5580<<x ．另解：由EPD EAP ∆∆∽，得21==AP PD PE DE ，∴2PE DE =． ABD E∴24AE PE DE ==． ∴x x AE 3522534=⨯=．∴12233ABE S x x ∆⋅⨯==．∴AB BP S S ABE BEP =∆∆，即5252352x xy-=．∴x x y 352312+-=．定义域是5580<<x ． （3）由PEH BAC ∆∆∽，得AC AB HE PE =，∴x x PE 352532=⋅=．当BEP ∆与ABC ∆相似时，只有两种情形：90BEP C ∠=∠=︒或90EBP C ∠=∠=︒．（i ）当90BEP ∠=︒时，AB BC PB PE =，∴515235=-x x．解得453=x ． ∴1625453352516931=⨯+⨯⨯-=y ． （ii ）当90EBP ∠=︒时，同理可得253=x ，45=y ．】PGABCDFPGA CD例5.已知ABC ∆为等边三角形，6AB =，P 是AB 上的一个动点（与A 、B 不重合），过点P 作AB 的垂线与BC 相交于点D ，以点D 为正方形的一个顶点，在ABC ∆内作正方形DEFG ，其中D 、E 在BC 上，F 在AC 上，（1）设BP 的长为x ，正方形DEFG 的边长为y ，写出y 关于x 的函数解析式及定义域；（2）当2BP =时，求CF 的长；（3）GDP ∆是否可能成为直角三角形？若能，求出BP 的长；若不能，请说明理由.【答案：（1）∵ABC ∆为等边三角形， ∴60B C ∠=∠=︒，6AB BC AC ===. ∵DP AB ⊥，BP x =，∴2BD x = 又∵四边形DEFG 是正方形， ∴EF BC ⊥，EF DE y ==，∴y EC 33=. ∴6332=++y y x ， ∴339)33(-+-=x y .（≤<3）（2）当2BP =时，A3392)33(-+⨯-=y 33-=.23232-==y CF .（3）GDP ∆能成为直角三角形. ①90PGD ∠=︒时，y y x +=-36，61)3)9x x -=⋅+-得到：113630-=x . ②90GPD ∠=︒时，y x x 234+=， ⋅+=234x x ]339)33[(-+-x ， 得到：336-=x .∴当GDP ∆为直角三角形时，BP 的长为113630-或者336-=x .】ABCGP EF4. 二动点直角三角形勾股定理问题例6.如图，AOB ∆的顶点A 、B 在二次函数21332y x bx =-++的图像上，又点A 、B 分别在y 轴和x 轴上，tan 1ABO ∠=． （1）求此二次函数的解析式；（2）过点A 作AC BO //交上述函数图像于点C ，点P 在上述函数图像上，当POC ∆与ABO ∆相似时，求点P【答案：（1）∵点A 在二次函数23312++-=bx x y 的图像上，)23,0(A在Rt AOB ∆中，︒=∠90AOB∵1tan ==∠BO AO ABO ，∵23==AO BO ，∴)0,23(-B ∵点B 在二次函数23312++-=bx x y 的图像上∴02323)23(312=+--⨯-b∴21=b∴2321312++-=x x y（2）∵AC BO //交上述函数图像于点C ，∴设)23,(x C∴232321312=++-x x ，解得23,021==x x ∵)23,23(C∴23==AO AC ，223=OC设抛物线2321312++-=x x y 与x 轴的另一交点为D可得，)0,3(D∴223)230()233(22=-+-=CD ，3=OD∴222OD CD OC =+，∴︒=∠90OCD易得，Rt OCA Rt ABO ∆∆∽，Rt ODC Rt ABO ∆∆∽ ∴)23,0(P 或)0,3(P 】课后练习练1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图像与x 轴交于A 、B两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C -，点P 是直线BC 下方抛物线上的任意一点；（1）求这个二次函数2y x bx c =++的解析式；（2）联结PO 、PC ，并将POC ∆沿y 轴对折，得到四边形POP C '，如果四边形POP C '为菱形，求点P 的坐标；（3）如果点P 在运动过程中，能使得以P 、C 、B 为顶点的三角形与AOC ∆相似，请求出此时点P 的坐标．【答案：】练2．如图，直角坐标平面内的梯形OABC ，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，//OA BC ，点E 在对角线OB 上，点D 在OC 上，直线DE 与x 轴交于点F ，已知2OE EB =，3CB =，6OA =，BA =5OD =．（1）求经过点A 、B 、C 三点的抛物线解析式： （2）求证：ODE OBC ∆∆∽：（3）在y 轴上找一点G ，使得OFG ODE ∆∆∽，直接写出点G 的坐标．【答案：（1）2163y x x =-++或者436)23(312+--=x y（2）24E （，），OE =，OB =OE OCOD OB==，DOE BOC ∠=∠ 故得证（3）05（，）、05-（，）、020（，）、020-（，）】练3．已知：如图，二次函数22416333y x x =--的图像与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），抛物线的顶点为Q ，直线QB 与y 轴交于点E ． （1）求点E 的坐标；（2）在x 轴上方找一点C ，使以点C 、O 、B 为顶点的三角形与BOE ∆相似，请直接写出点C 的坐标．【答案：（1）令0y =，得224160333x x --= 解方程得122,4x x =-=(4,0)B又22(1)63y x =-- ∴(1,6)Q -设直线BQ ：(0)y kx b k =+≠406k b k b +=⎧⎨+=-⎩解得28y x =-(0,8)E ∴-（2）12345616848(0,2),(0,8),(4,2),(4,8),(,),(,)5555C C C C C C 】练4．已知：正方形ABCD 的边长为4，点E 为BC 边的中点，点P 为AB 边上一动点长，沿PE 翻折BPE ∆得到FPE ∆，直线PF 交CD 边于点Q ，交直线AD 于点G ．（1）如图，当 1.5BP =时，求CQ 的长；（2）如图，当点G 在射线AD 上时，设BP x =，DG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）延长EF 交直线AD 于点H ，若CQE FHG ∆∆∽，求BP 的长．【答案：（1）由题意，得,90,BE EF PFE B BEP FEP =∠=∠=︒∠=∠ ∵点E 为BC 的中点22BE EC EF EC ∴==∴==又90,EFQ C EQ EQ∠=∠=︒=∴EFQ ECQ ∆∆≌,90FEQ CEQ BEP CEQ ∴∠=∠∴∠+∠=︒又90BPE BEP BPE CEQ ∠+∠=︒∴∠=∠90B C ∠=∠=︒∴BPE CEQ ∆∆∽ 1.522BP BEEC QCCQ ∴==即83CQ ∴= （2）由（1）知：BPE CEQ ∆∆∽，BP BEEC CQ∴=242x CQ CQx ∴=∴=44DQ x ∴=- ∵QD AP //4,4DG DQ AP x AG y AG AP∴==-=+又4444y x y x -∴=+-21616(12)4x y x x -∴=<<-（3）由题意知：90C GFH ∠︒∠＝＝①当点G 在线段AD 的延长线上时，由题意知：G CQE ∠∠＝ ∵CQE FQE ∠∠＝∴22DQC FQC CQE G ∠∠∠∠＝＝＝ ∴90DQG G ∠+∠︒＝∴30G ∠︒＝∴30BQP CQE G ∠∠∠︒＝＝＝tan30BP BE ∴=⋅︒=②当点G 在线段DA 的延长线上时，由题意知：G QCE ∠=∠ 同理可得：30G ∠=︒30BPE G ∴∠=∠=︒cot30BP BE ∴=⋅︒=综上所述，BP】课后小测验1.如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和点(2,0)A ，直线AB 与抛物线交于点B ，且45BAO ∠=︒．（1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标；（2）在直线AB 上是否存在点D ，使得BCD ∆为直角三角形．若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由．【答案：（1）（2）由可以知道直线AB 的一次项系数为-1,从而可求得直线AB 的解析式为.当时.根据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD 的解析式为,将与联立可求得点D 的坐标为;当时.将与联立得求得点B 的坐标为,然后根据待定系数法求得直线BC 的解析式为直线BC 的解析式为,根据相互垂直的两直线的一次项系数之积等于-1可求得直线CD 的解析式为,将与联立可求得点D 的坐标为.】本章小结。