动点直角三角形问题的解法

§1. 三角形、四边形中的动点问题【解题思路与方法】1.关注变化因素和不变因素以及图形的特殊性，寻找常量和变量；2.化动为静 (由一般到特殊)，以静制动；3.数学建模：确定图形运动中的变量关系时常常建立函数模型，确定图形运动中的特殊位置关系 时常常建立方程模型；4.关注运动问题的三个要素：运动方向、速度、范围（直线、射线、线段、折线）；5.注重分类讨论，通过分别画图与分离图形使问题简单化；6.根据运动元素的不同分为动点问题、动线问题、动图问题三大类型（包括点、线、图同时运动）.◆典例解析一、三角形中的动点问题例1. 已知，如图△ABC 是边长3cm 的等边三角形.动点P 以1cm/s 的速度从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动.设运动时间为t （s ），（1）如图1，当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？（2）如图2，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D. 如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发.那么 当t 为何值时，△DCQ 是等腰三角形?（3）如图3，若另一动点Q 从点C 出发，沿射线BC 方向运动. 连接PQ 交AC 于D ，连接PC.如果动点P 、Q 都以1cm/s 的速度同时出发. 请探究：在点P 、Q 的运动过程中△PCD 和 △QCD 的面积是否相等？BCPA QDBCPAQDBCPA已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC 的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由。

例2.如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A 点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？如图（1）△ABC 为等边三角形，动点D 在边CA 上，动点P 边BC 上，若这两点分别从C 、B 点同时出发，以相同的速度由C 向A 和由B 向C 运动，连接AP ，BD 交于点Q ，两点运动过程中AP=BD 。

动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP图（3）B图（1）B图（2） 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60° 当△BCPQ 的面积最小。

勾股定理动点问题的解题技巧包括以下几种：
配方法。

将一个二次式通过配方转化为几个完全平方式，再利用平方式的非负性进行计算。

等面积法。

把同一个图形的面积用不同的方法表示出来，最后再利用同一个图形的面积不变，得到等式。

这种方法在几何中，通常用于求垂线段的长度以及证明垂线段之间的关系。

分类讨论思路。

在运用勾股定理时，当斜边或直角未定时，需要分类讨论。

例如，在解决有关高线的问题中，当三角形的形状未定时，需要注意分类讨论，一般分为锐角三角形（高在三角形内部）和钝角三角形（高在三角形外部）两种情况，分别画图计算即可。

在一些几何综合探究题和存在性问题中也经常需要应用分类讨论思路。

整体转化思路。

在解题中，当需要的数据或关系式不能直接得出时，可以考虑整体替换思路。

方程思想。

当题目中的未知量较多或给定的条件不能直接利用，如已知两线段之间的和、差、倍、分、比关系，但两线段长度均未知时，可以考虑利用方程来解题。

在直角三角形中，由于“知二可推一”，可以设其中一条未知线段长度为x，再用含有x的代数式表示出相关线段的长度，再利用勾股定理列写等式方程，将求解边长转化为解方程。

动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．提示：第（2）问按点P到拐点B所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP为边、OQ为边，②OP为边、OQ为对角线，③OP为对角线、OQ为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3）B图（1）B图（2）2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º． （1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的运动．面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

2023年中考数学重难点复习：三角形中的“动”问题
例题
如图，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E 运动的过程中，存在EB+EF的最小值，则这个最小值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【参考答案】D
【试题解析】如图，连接CF，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴EB=EC，
当B、F、E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF，
∵等边△ABC中，F是AB边的中点，∴AD=CF=6，
∴EF+BE的最小值为6，故选D．
【方法点拨】点的运动会引起距离的变化，距离最大或最小的问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键．
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三角形与动点问题在数学的世界里，三角形一直是一个重要且基础的几何图形，而当三角形与动点结合起来时，就形成了一类充满挑战和趣味的问题。

这类问题常常出现在中学数学的学习中，不仅考验着我们对三角形知识的掌握程度，还锻炼着我们的思维能力和空间想象力。

让我们先来了解一下什么是动点。

动点，顾名思义，就是在平面或空间中不断运动的点。

在三角形中，动点的位置可能会随着时间、条件或者其他因素的变化而改变，从而导致三角形的形状、大小或者某些性质也随之发生变化。

比如，在一个直角三角形中，有一个动点在斜边或者直角边上运动。

那么，随着这个动点的移动，三角形的周长、面积或者某些角度的大小可能会发生改变。

我们需要根据已知条件，找出这些变化中的规律，从而解决相关的问题。

为了更好地理解三角形与动点问题，我们来看一个具体的例子。

假设有一个等腰三角形 ABC，AB ＝ AC ＝ 5，BC ＝ 6。

点 P 从点B 出发，沿着 BC 边以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动，与此同时，点 Q 从点 C 出发，沿着 CA 边以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动。

当点 P 到达点 C 时，两点均停止运动。

设运动时间为 t 秒。

首先，我们需要分析在运动过程中，三角形的哪些量会发生变化。

很明显，BP 的长度会随着时间 t 的增加而增加，CP 的长度则会相应减少。

同时，CQ 的长度也会随着时间增加。

那么，我们可以先表示出 BP ＝ t，CP ＝ 6 t，CQ ＝ 2t。

接下来，考虑三角形的面积。

由于三角形 ABC 的面积是固定的，但是随着动点 P 和 Q 的运动，三角形 BPQ 的面积会发生变化。

三角形 BPQ 的面积可以用 BP 乘以三角形 BPQ 在 BP 边上的高再除以 2 来计算。

而这个高可以通过三角形的相似关系求得。

通过相似三角形的性质，我们可以得到三角形 BPQ 在 BP 边上的高为 4 ／ 5 t。

所以三角形 BPQ 的面积 S ＝ 1 ／ 2 t 4 ／ 5 t ＝ 2 ／ 5 t²。

《三角形动点问题》教学设计1.如图，已知在 Rt ∆ACB 中，∠C = 90︒，AC = 8 cm，BC = 6 cm，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2 cm/s；连接PQ 。

若设运动的时间为t（s）（0<t≤4），解答下列问题：（1）当t = 时，PQ ∥CB ；（2）当t = 时，PQ ⊥AB ；（3）当t = 时，∆APQ 为直角三角形；【方法点拨】1.利用“路程=速度×时间”的关系式表示图中相关线段的长度；2.化“动”为“静”，研究基本图形，利用平行、三角形相似建模.教学过程教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图初探动点【参考答案】在Rt ∆ABC 中，由勾股定理得，AC 2 +BC 2 =AB2即82 +62 =AB2 ，所以AB =10 .由题意可知，BP =t ，AQ = 2t ，则AP =AB -BP =10 -t ，QC =AC -AQ = 8 - 2t .（1）如右图所示， PQ ∥CB∴Rt ∆AQP ~Rt ∆ACB∴AP : AB =AQ : AC 即(10 -t) :10 = 2t : 8解得t =207（2）如右图所示， PQ ⊥AB∴Rt ∆APQ ~Rt ∆ACB∴A P : AC =AQ : AB 即(10 -t) : 8 = 2t :10解得t =5013（3）由（1）（2）可知，当PQ ∥CB或PQ⊥AB时，∆APQ 均为直角三角形.所以当t =20或50时，∆APQ7 13为直角三角形.动点构成特殊图形解题方法：1、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含t 的代数式表示出来；2、确定特定图形中动点的位置，画出符合题意的图形——化动为静；3、根据所求，利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动点问题。

根据第（4）题的题意可画出如下两个静态图：提醒学生抓住等腰三角形“三线合一”这一性质，把问题转化为第一环节的内容。

三角形全等之动点问题（框架）（北师版）（专题）一、单选题(共11道，每道9分)1.已知：如图，AB=16cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向点B运动．设点P 运动的时间为t秒，请解答下列问题：（1）运动状态分析图如下：空缺处依次所填正确的是( )A.①1cm/s；②A；③BB.①2cm/s；②B；③AC.①2cm/s；②A；③BD.①2cm/s；②A；③P答案：C解题思路：点A速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：①研究基本图形，标注：②研究动点运动状态，包括起点，终点，状态转折点，速度，时间范围，如图：③表达线段长，建等式．根据运动状态分析，选C．试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）用含t的式子表达线段AP，PB长分别为( )cm．A.t；16-tB.t；16-2tC.2t；16-tD.2t；16-2t答案：D解题思路：由1题可知，线段AP为已走路程，故AP=2t，PB为未走路程，故BP=16-2t．故选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第1，2题）（3）点P出发____秒到达AB的中点．( )A.2B.4C.5D.8答案：B解题思路：点P到达AB中点，即AP=8建等式得，2t=8解得t=4故选B．试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，AB=18cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向点B运动，动点Q 从点B出发，沿BA以1cm/s的速度向点A运动．P，Q两点同时出发，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动．设点P运动的时间为ts，请解答下列问题：（1）运动状态分析图如下空缺处依次所填正确的是( )A.①9s；②18s；③0≤t≤9B.①9s；②9s；③0≤t≤18C.①9s；②18s；③0≤t≤18D.①18s；②9s；③0≤t≤9答案：A解题思路：点P，Q的速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：①研究基本图形，标注：②研究动点运动状态，包括起点，终点，状态转折点，速度，时间范围，如图：③表达线段长，建等式．根据运动状态分析，选A．试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（2）用含t的式子表达线段AP，QB长分别为( )cm．A.18-2t；2tB.t；18-tC.t；2tD.2t；t答案：D解题思路：由4题可知，线段AP为点P已走路程，故AP=2t，BQ为点Q已走路程，故BQ=t．故选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第4，5题）（3）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6cm，则此时t的值为( )A.4B.6C.8D.9答案：A解题思路：由4，5题可知，当P，Q相遇时，AB+BQ=AB，即：2t+t=18，解得t=6，因此，在P，Q相遇之前，即：0≤t<6，PQ=6，即：2t+t=18-6，解得t=4．(符合题意)故选A．试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在直角三角形ABC中，AB=6 cm，BC=4 cm．点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB-BC向点C运动，设点P运动的时间为ts，请回答下列问题：（1）运动状态分析图如下：空缺处依次所填正确的是( )A.①6s；②4s；③0≤t≤10B.①3s；②2s；③0≤t≤3C.①3s；②2s；③0≤t≤5D.①3s；②5s；③0≤t≤5答案：C解题思路：点P速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：①研究基本图形，标注：②研究动点运动状态，包括起点，终点，状态转折点，速度，时间范围，如图：③表达线段长，建等式．根据运动状态分析，选C．试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）在点P运动的过程中，当△BCP的面积为时，对应的t的值为( )A.2sB.1sC.sD.s答案：A解题思路：有状态转折，根据状态转折点进行分类：（1）点P在AB上时，即：0≤t≤3，画图，可得：AP=2t，BP=6-2t，当△BCP的面积为时，即：，解得：t=2；（2）点P在BC上时，不符合题意，舍去．故选A．试题难度：三颗星知识点：动点问题9.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=6厘米，BC=9厘米．点P从点A出发，沿AB边向终点B以1厘米/秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向终点C以2厘米/秒的速度移动，连接PQ．如果P，Q两点同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）运动状态分析图如下：空缺处依次所填正确的是( )A.①6s；②9s；③0≤t≤6B.①6s；②4.5s；③0≤t≤6C.①3s；②4.5s；③0≤t≤4.5D.①6s；②4.5s；③0≤t≤4.5答案：D解题思路：点P，Q速度已知，可判断此题为动点问题，按照动点问题的解决方法解决：①研究基本图形，标注：②研究动点运动状态，包括起点，终点，状态转折点，速度，时间范围，如图：③表达线段长，建等式．根据运动状态分析，选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题10.（上接第9题）（2）用含t的式子表达线段BP，BQ的长分别为( )厘米．A.t；9-2tB.t；2tC.6-t；2tD.6-t；9-2t答案：C解题思路：由9题可知，AP为点P已走路程，故AP=t，∴BP=6-tBQ为点Q已走路程，故BQ=2t．故选C．试题难度：三颗星知识点：动点问题11.（上接第9，10题）（3）当△BPQ为等腰直角三角形时，t=( )A.1秒B.2秒C.3秒D.4秒答案：B解题思路：由9，10题可知，△BPQ为等腰直角三角形，∠B=90°，只需BP=BQ，即6-t=2t，解得t=2．故选B．试题难度：三颗星知识点：动点问题。

全等三角形动点问题解题技巧在解决全等三角形动点问题时，需要灵活运用几何知识、函数图象性质、特殊位置规律、分类讨论思想、数形结合思想和整体思想等技巧，以便快速找到问题的突破口。

一、把握动点轨迹，运用几何知识求解最值动点轨迹是求解全等三角形动点问题的基础。

在解决此类问题时，需要先确定动点的运动轨迹，然后运用几何知识求解最值。

例如，在求解动点A在直线l上移动，求A点到定点B的距离最短值时，可以运用抛物线的定义，将AB沿直线l的投影作为A点的轨迹，然后根据抛物线的性质求解最值。

二、利用函数的图象性质求最值利用函数的图象性质求解全等三角形动点问题，主要是通过建立坐标系，确定动点的坐标，然后利用函数的图象性质求解最值。

例如，在求解一个直角三角形中的动点C，使得AC和BC的长度之和最小值时，可以建立直角坐标系，设A、B两点的坐标分别为(0,0)和(1,0)，然后设C点的坐标为(x,y)，最后利用函数的图象性质求出AC和BC 的长度之和的最小值。

三、借助特殊位置，寻找动点规律全等三角形动点问题中，常常涉及到动点的特殊位置。

借助这些特殊位置，可以寻找动点的规律，从而快速解决问题。

例如，在求解一个等边三角形中的动点D，使得AD和BD的长度之和最小值时，可以借助等边三角形的三条边的中垂线交点为D的特殊位置，然后根据中位线的性质求出AD和BD的长度之和的最小值。

四、运用分类讨论思想求解动点问题分类讨论思想是求解全等三角形动点问题的重要技巧之一。

在解决此类问题时，需要根据题目中给出的条件，将问题分成不同的情况进行讨论，然后分别求解。

例如，在求解一个矩形中的动点E，使得AE和BE的长度之和最小值时，需要考虑E点在矩形的边和角上两种情况分别进行讨论，然后分别求出最小值。

五、运用数形结合思想求解动点问题数形结合思想是求解全等三角形动点问题的常用技巧之一。

在解决此类问题时，需要根据题目中给出的条件，将问题转换成图形问题进行分析和求解。

1.3 因动点产生的直角三角形问题例1 2011年沈阳市中考第25题如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB=时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1思路点拨1．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n=-+，代入点C(0，－3)，得4n=-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x=--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x=--=+-，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC的函数表达式为y kx b=+，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得30,3.k bb+=⎧⎨=-⎩解得1k=，3b=-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）． 过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==． ②1(12,2)P --，265(1,)22P --．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．例2 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1答案（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么BC PO CP OA =，即273POPO =-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6． 如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例3 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1思路点拨1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t 的式子表示这些线段的长． 3．点C 的坐标始终可以表示为(3t ,2t )，代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP 的长． 4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t 的方程就可以求解了．满分解答(1) 因为抛物线22153244m my x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t OP ==． ②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =． 如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =．如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值． 如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =． 如图6，当两圆外切时，30202t =-．图4 图5 图6例4 2009年嘉兴市中考第24题如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1思路点拨1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x 的不等式组，可以求得x 的取值范围．2．分类讨论直角三角形ABC ，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．3．把△ABC 的面积S 的问题，转化为S 2的问题．AB 边上的高CD 要根据位置关系分类讨论，分CD 在三角形内部和外部两种情况．满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ． 因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形． （3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xh S 21=． ①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(h x h x --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （423x <≤）． 当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x x h x S 21)23(22+--=x （413x <≤）． 易知此时22<S ． 综合①②得，△ABC 的最大面积为22 考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =， 例如在图2中，由2222BD BC AD AC -=-列方程222)()3(1a x x a ---=-． 整理，得xx a 43-=．所以 21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S ．。

BB动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间 的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

教学过程一、课堂导入1、在平面直角坐标系中，已知点A（4，4）、B（-4，4），试在x轴上找出点P，使△APB为直角三角形，请直接写出所有符合条件的P点的坐标2、在平面直角坐标系中找出所有的点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，且C点的横坐标与纵坐标为自然数．画出C点的位置并写出C点的坐标．问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得三角形是等腰三角形（等边三角形、直角三角形等）并求出该点坐标时,又该如何解答呢？二、复习预习根据实际问题列二次函数关系式：1、列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．2、常见题目类型(1)几何类(三角形、四边形、圆等)一般问题是求图形的面积，首先可以根据特殊图形的面积公式来求解，这时关键是表示出公式里各个部分的代数式；其次，如果不是特殊的图形，可以通过特殊图形的面积相加减来表示；最后，还可以通过构造特殊图形来进行表示求解；总之，要根据题目给的条件实际运用。

(2)桥梁问题这类题型是出现较多的类型，首先应该建立适当的直角坐标系，将桥梁的拱形转化为二次函数来进行求解，强调的是特殊点的表示与运用。

(3)销售问题这类题型会在考试中频繁出现，解题的方法就是：围绕总利润=（售价-进价）×数量这个公式去进行，难度大一点的就是会涉及提价跟降价两种情况，关键是要根据题意分别表示出降价或者提价后商品的售价、数量（进价一般不变），然后再通过公式将各个部分组合在一起就可以了。

因动点产生的直角三角形问题例1（2011年沈阳市中考第25题）如图1，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34P Q A B =时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标． 温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334P Q A B ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344F C O C O F =-=-=，522E CF C ==．进而得到51322O E O C E C =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH O H O E =-=-=，所以tan ∠CED 23D HE H==．②1(12,2)P --，265(1,)22P --．图2 图3 图4考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．例2（2011年浙江省中考第23题）设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1满分解答（1）直线①和③是点C 的直角线．（2）当∠APB ＝90°时，△BCP ∽△POA ．那么B C P O C PO A=，即273P O P O=-．解得OP ＝6或OP ＝1．如图2，当OP ＝6时，l 1：162y x =+， l 2：y ＝－2x ＋6．如图3，当OP ＝1时，l 1：y ＝3x ＋1， l 2：113y x =-+．图2 图3例3（2010年北京市中考第24题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上． （1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1满分解答(1) 因为抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+经过原点，所以2320m m -+=． 解得12m =，21m =（舍去）．因此21542y x x =-+．所以点B 的坐标为（2，4）．(2) ①如图4，设OP 的长为t ，那么PE ＝2t ，EC ＝2t ，点C 的坐标为(3t , 2t )．当点C 落在抛物线上时，2152(3)342t t t =-⨯+⨯．解得229t O P ==．②如图1，当两条斜边PD 与QM 在同一条直线上时，点P 、Q 重合．此时3t ＝10．解得103t =．如图2，当两条直角边PC 与MN 在同一条直线上，△PQN 是等腰直角三角形，PQ ＝PE ．此时1032t t -=．解得2t =． 如图3，当两条直角边DC 与QN 在同一条直线上，△PQC 是等腰直角三角形，PQ ＝PD ．此时1034t t -=．解得107t =．图1 图2 图3考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值．如图5，当P 、Q 重合时，两圆内切，103t =．如图6，当两圆外切时，30202t =-．图4 图5 图6例4（2009年嘉兴市中考第24题）如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？图1满分解答（1）在△ABC 中，1=AC ，x AB =，x BC -=3，所以⎩⎨⎧>-+->+.31,31x x x x 解得21<<x ．（2）①若AC 为斜边，则22)3(1x x -+=，即0432=+-x x ，此方程无实根． ②若AB 为斜边，则1)3(22+-=x x ，解得35=x ，满足21<<x ． ③若BC 为斜边，则221)3(x x +=-，解得34=x ，满足21<<x ．因此当35=x 或34=x 时，△ABC 是直角三角形．（3）在△ABC 中，作AB CD ⊥于D ，设h CD =，△ABC 的面积为S ，则xhS 21=．①如图2，若点D 在线段AB 上，则x h x h =--+-222)3(1．移项，得2221)3(hx hx --=--．两边平方，得22222112)3(h h x x h x -+--=--．整理，得4312-=-x h x ．两边平方，得16249)1(222+-=-x x h x ．整理，得16248222-+-=x x h x所以462412222-+-==x xhx S 21)23(22+--=x （423x <≤）．当23=x 时（满足423x <≤），2S 取最大值21，从而S 取最大值22．图2 图3②如图3，若点D 在线段MA 上，则x h h x =----2221)3(． 同理可得，462412222-+-==x xhx S 21)23(22+--=x （413x <≤）．易知此时22<S ．综合①②得，△ABC 的最大面积为22．考点伸展第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：设a AD =， 例如在图2中，由2222BD BCADAC -=-列方程222)()3(1a x x a---=-．整理，得xx a 43-=．所以21a -22216248431x x x x x -+-=⎪⎭⎫⎝⎛--=． 因此462)1(412222-+-=-=x x a x S．例5（2008年河南省中考第23题）如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由； ③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图1满分解答（1）直线434+-=x y 与x 轴的交点为B （3，0）、与y 轴的交点C （0，4）．Rt △BOC 中，OB ＝3，OC ＝4，所以BC ＝5．点A 的坐标是（-2，0），所以BA ＝5．因此BC ＝BA ，所以△ABC 是等腰三角形．（2）①如图2，图3，过点N 作NH ⊥AB ，垂足为H ．在Rt △BNH 中，BN ＝t ，4sin 5B =，所以45N H t =．如图2，当M 在AO 上时，OM ＝2－t ，此时211424(2)22555S O M N H t t t t =⋅⋅=-⨯=-+．定义域为0＜t ≤2．如图3，当M 在OB 上时，OM ＝t －2，此时211424(2)22555S O M N H t t t t =⋅⋅=-⨯=-．定义域为2＜t ≤5．图2 图3②把S ＝4代入22455S t t =-，得224455t t -=．解得1211t =+，2211t =-（舍去负值）．因此，当点M 在线段OB 上运动时，存在S ＝4的情形，此时211t =+．③如图4，当∠OMN ＝90°时，在Rt △BNM 中，BN ＝t ，BM 5t =-，3cos 5B =，所以535t t-=．解得258t =．如图5，当∠OMN ＝90°时，N 与C 重合，5t =．不存在∠ONM ＝90°的可能． 所以，当258t =或者5t =时，△MON 为直角三角形．图4 图5考点伸展在本题情景下，如果△MON 的边与AC 平行，求t 的值．如图6，当ON //AC 时，t ＝3；如图7，当MN //AC 时，t ＝2.5．图6 图7例6（2008年天津市中考第25题）已知Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，CB CA =，有一个圆心角为︒45，半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，且直线CE ，CF 分别与直线AB 交于点M ，N ．（1）当扇形CEF 绕点C 在ACB ∠的内部旋转时，如图1，求证：222BNAMMN +=；（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时，关系式222BNAMMN +=是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1 图2满分解答（1）如图3，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ．因此CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，A CDM ∠=∠．又由CBCA =，得 CBCD =．由D CD C ME CF D C N ∠-︒=∠-∠=∠45，ACM ECF ACB BCN ∠-∠-∠=∠ACM ACM ∠-︒=∠-︒-︒=454590，得BCN DCN ∠=∠．又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN =，B CDN ∠=∠．所以︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ． 在Rt △MDN 中，由勾股定理，得222DNDMMN+=．即222BNAMMN+=．图3 图4（2）关系式222BNAMMN+=仍然成立．如图4，将△ACM 沿直线CE 对折，得△DCM ，连DN ，则△DCM ≌△ACM ． 所以CA CD =，AM DM =，ACM DCM ∠=∠，CAM CDM ∠=∠． 又由CBCA =，得 CB CD =．由︒+∠=∠+∠=∠45DCM ECF DCM DCN ，ACM ACM ECF ACN ACB BCN ∠+︒=∠-∠-︒=∠-∠=∠45)(90，得BCN DCN ∠=∠．又CN CN =，所以△CDN ≌△CBN ．因此BN DN =，45=∠=∠B CDN ． 又由于︒=∠-︒=∠=∠135180CAB CAM CDM ，所以9045135=-=∠-∠=∠CDN CDM MDN ．在Rt △MDN 中，由勾股定理，得222DNDMMN +=．即222BNAMMN+=．考点伸展当扇形CEF 绕点C 旋转至图5，图6，图7的位置时，关系式222BNAMMN +=仍然成立．图5 图6 图7。