三角形中的几个特殊点：旁心、费马点和欧拉线-高中数学知识点讲解

三角形“五心”的完美统一数学的诱惑力就在于对一个问题的研究，越研究越觉得有味道，越琢磨越觉得数学美的存在，就拿三角形“五心”来说吧，有不少人如文[1],[2],[3]做过类似研究.现在伴随新课程的改革和教学理念的更新,结合本人先前做过的一些粗浅的研究，对其又有了新的收获，它们完全可以达到数和形的完美统一，而这些都来自于课堂上学生对问题的积极思考和发问，让我不得不放弃原来的教学计划和学生一起探究与发现.也正如一位大家所说“教学是一门奇缺的艺术，数学美的东西就在你身边，关键看你有没有发现美的眼睛”.下面就把我的教学片段展示出来，与大家共勉.“问题是数学的心脏”，笔者在复习平面向量这部分内容时，只想简单的涉及一道有关三角形中常见的“心”的高考题目让学生见识一下，但谁知学生课上突然发问，三角形的其它心——垂心、外心、重心、旁心，应该有怎样的向量表达式，学生也曾通过我推荐阅读的文[1]了解了三角形的重心、内心、垂心、外心的坐标形式，使我不得不在新课程的一个基本理念“倡导积极主动、勇于探索的学习方式——学生的数学学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程同时，高中数学课程应设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”,问题提出（2003年新课程高考理4）：点O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心问题解决：学生利用向量加法的几何意义及单位向量的概念不难得出正确答案B.本打算再让学生看下面的题目若将上题中的条件“[),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪”改为“()[),0,OP OA AB AC λλ=++∈+∞”则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A 外心B 重心C 垂心D 内心 答案B谁知一学生突然站起来提出以下问题S1：老师,若点G 是ABC ∆的重心，则有=++，从而有()13OG OA OB OC =++，可知点G 的坐标为)3,3(C B A C B A y y y x x x ++++， 那么根据ABC ∆的重心G 的坐标形式与向量表示的这种关系，由△ABC 内心I 的坐标为),(c b a cy by ay c b a cx bx ax C B A C B A ++++++++，（,,a b c 为三角形的三边长），于是我猜想出ABC ∆的内心I 的向量形式是aOA bOB cOC OI a b c++=++，这种猜想对吗?我们能证明吗？ T:你的想法太好了，猜想是正确的,我们能证明,我们是否下课再证呢?这时有的同学喊道还是当堂证一下吧，也包括刚才站起来的那位同学，我只好和学生一块证明起来（也许有些学生故意要将老师的军，看你临场反应如何？）命题1 若点I是ABC ∆的内心，则0aOA bOB cOC aIA bIB cIC OI a b c ++++=⇔=++. 反之，也成立.证明：如图1 设,AI u AD BI BE λ==因为AD 是角平分线 所以bAB c AC AD b c +=+ 同理 aBA cBC BE a c +=+ a AB cBC BI a c λλ+∴=+ ()(1)a c AB cAC AB BI AI a c λλ+-+∴+==+ 又ubAB uc AC AI b c +=+ 1ub b c c uc a c b c λλ-=+=++⎧∴⎨⎩()1u a c ub b c b c +∴-=++ ()b c u a b c ∴+=++ B 图1b c u a b c +∴=++ 1()AI bAB cAC a b c∴=+++ ()()a b c IA bAB cAC O ∴++++=aIA bIB cIC O ∴++=，从而 aOA bOB cOC OI a b c ++=++ 反之，也成立，因为以上证明的后三步是可逆的.T:我们可以到此收兵了吗？S2:老师，其它心——垂心,外心,旁心的向量形式是什么呢?那只好再研究下去.T:现在我给你们时间自己证一下，看谁能快速证出.不料5分钟过后，有的学生就有了下面的答案.命题2 若点H 是ABC ∆的垂心，则0cos cos cos a b c HA HB HC A B C ++=. 反之，也成立. 证明:如图2,设,AH u AD BH BE λ==,因为AD 是BC 边上的高线,所以:BD DC =cos :cos c B b C 所以cos cos cos cos b cAB AC b C AD b c B C +=+ 同理 cos cos cos cos a c BA BC A C BE a c A C +=+ 同命题1的证明方法可证得 0cos cos cos a b c HA HB HC A B C++=. 同理可证明以下命题(由学生课下完成)命题3点O 是ABC ∆的外心02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A命题4点I '是ABC ∆的旁心0'''=++⇔C I c B I b A I a (C ∠作为一内角)通过以上的探究锻炼了学生发现问题和解决问题的能力.也由此得到了三角形的“五心”数和形结合的完美统一.由以上可知三角形各心的坐标如下：（1） 若BE 、CF 为△ABC 边的中线,则△ABC 重心G 的坐标为)3,3(CB AC B A y y y x x x ++++ C 图2（2） 若BE 、CF 为△ABC 的内角平分线,则△ABC 内心I 的坐标 为),(cb a cy by ayc b a cx bx ax C B A C B A ++++++++ （3） 若BE 、CF 为△ABC 的高,则△ABC 垂心H 的坐标 为)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (C c B b A a y C c y B b y Aa C c Bb A a x Cc x B b x A a CB AC B A ++++++++ （4） 若BE 、CF 的交点为△ABC 的外心,则△ABC 外心O 的坐标 为)2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (CB AC y B y A y C B A C x B x A x C B A C B A ++++++++ （5） 若BE 、AF 为△ABC 的外角平分线,则△ABC 旁心I '的坐标 为(,)A B C A B C ax bx cx ay by cy a b c a b c+-+-+-+-(C ∠作为一内角) 由此顺藤摸瓜将“五心”推广到一般形式：（证法由学生提供）命题5在ABC ∆内任取一点O ，用,,A B C S S S 分别表示,,BOC COA AOB ∆∆∆的面积，求证:0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.证法1:如图3以,,αβγ分别表示,,BOC COA AOB ∠∠∠,以123,,e e e 分别表示,,OA OB OC 单位向量,则111sin sin 22A S OA OB OC OA OB OC OA e αα⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ 同理可得, 21sin 2B S OB OA OB OC e β⋅=⋅⋅⋅⋅ 31sin 2C S OC OA OB OC e γ⋅=⋅⋅⋅⋅, 即证:123sin sin sin 0e e e αβγ⋅+⋅+⋅=. 如上图, 在OA 上取点D,使1sin OD e α=⋅,作//DE OB 交CO 的延长线于E点,在EOD ∆中,由正弦定理可知sin DE β=,即2sin DE e β=⋅,3sin EO e γ=⋅,由于,,OD DE EO 构成三角形,所以123sin sin sin 0e e e αβγ⋅+⋅+⋅=证法2: 设点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ,则()()()()33221132321131213231213201110,,,222001A x y S OA x y x y x y y x x y x x y x y x x y y y y x ⋅=⋅=-⋅=-- 同理: ()()1133221232311231230110,,B x y S OB x y x y x x y x x y x y y y y x ⋅=⋅=--图3()2313122132311,2C S OC x x y x x y x y y y y x ⋅=--, 所以0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=证法3 实际上我们知道若点G 是ABC ∆的重心，则0GA GB GC ++=，且GAB GAC GBC S S S ∆∆∆==，于是根据这个知识点可以如下证明.证明:设,,A B C S S S 分别为,,x y z ，'xOA OA =,'yOB OB =,'zOC OC =,则'''0OA OB OC ++=,所以O 是'''A B C ∆的重心如图4,且OA B OA C OB C S S S ''''''∆∆∆==, 由此得到:1sin 121sin 2OBC OB C OB OC BPC OB OC S S yz OB OC OB OC BPC ∆''∆∠===''''∠, 所以1OBC OB C S S yz ''∆∆=, 同理: 1OAC OA C S S xz ''∆∆=,1OAB OA B S S xy ''∆∆=.所以111::::::OBC OAC OAB S S S x y z yz xz xy ∆∆∆== 从而 0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=. 证法3显然优美简洁，这是学生课下研究出来的.配套练习题.⒈(2005年全国卷Ⅰ文) 点O 是ABC ∆所在平面内的一点，满足OA OB ⋅=OB OC OC OA ⋅=⋅,则点O 是ABC ∆的( )A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点 答案D⒉已知O 是ABC ∆所在平面上一点，若0aOA bOB cOC ++=，则点O 是ABC ∆( )A ．外心B ．内心C ．重心D 垂心 答案B⒊已知O 是ABC ∆所在平面上一点，满足222222OA BC OB CA OC AB +=+=+，则点O 是ABC ∆的( )图4A.外心B.内心C.重心D.垂心 答案D⒋已知点O 是ABC ∆所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则点O 是ABC ∆的（ ）A.外心B.内心C.重心D.垂心 答案A⒌(2005年高考湖南理科第10题) 设P 是ABC ∆内任意一点，ABC S ∆表示ABC ∆的面积，123,,PBC PCA PAB ABC ABC ABC S S S S S S λλλ∆∆∆∆∆∆===,定义()()123,,f P λλλ=,若G 是ABC ∆的重心，()111,,236f Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则 A ．点Q 在GAB ∆内 B ．点Q 在GBC ∆内 C ．点Q 在GCA ∆内 D ．点Q 与G 重合 答案A⒍(2005全国卷Ⅰ理15) ABC ∆的外接圆圆心为O ，两条边上的高交点为H ，()m ++=，则实数m =___________. 法1因在三角形中，外心、重心、垂心三点共线，这条线为欧拉线，重心G 分外心O 和垂心H 的比为1:2，()13OG OA OB OC =++ 又1,2:1:==m 故法2或者特殊值验证,或者证明OH ++=⒎（2004年全国数学联赛）设O 是ABC ∆内一点，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为A.2B.32C. 3D.53答案C⒏若点O 是在ABC ∆内部一点，且有()0(,0)mOA nOB m n OC m n +++=>，则::()::AOB BOC AOC S S S m n m n ∆∆∆=+思考：⒈题目形式由特殊到一般，给学生提供了一种解决问题的思路和方法，从而教师变成了学生数学活动的激励者、合作者，使学生和教师均能获益匪浅，增强了对教材的处理能力.⒉虽说没有按教学计划完成任务，但满足了学生的求知欲望，使他们的思路得到了极大的开阔，培养了学生的钻研精神，配套练习训练了学生灵活运用知识解决问题的能力，激发了学生学习数学的极大兴趣.⒊探究由学生发现，并当堂和学生一起解决，教师敢于暴露自己的解法和思路，使学生领略了教师的解题过程，从而也锻炼了学生的解题思维.⒋教师一定要有足够的知识灵活应变学生突然反问的能力，以及灵活驾驭课堂的能力，一定要相信自己的学生，只要正确引导，他们的潜力是巨大的，命题5的三种证法就足够说明这一点.这也论证了新课程的教学理念.。

M平面几何竞赛讲座（三）三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心.内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：I到三角形三边的距离相等.性质2：设I是⊿ABC内一点，AI所在直线交⊿ABC 的外接圆于D，I为⊿ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC.性质3：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：∠BIC=900+21∠A，∠AIC=900+21∠B，∠AIB=900+21∠C.性质4：设I是⊿ABC内一点，I为⊿ABC内心的充要条件是：⊿IBC、⊿IAC、⊿IAB的外心均在⊿ABC的外接圆上.性质5：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，I在BC、AC、AB边上的射影分别为D、E、F，内切圆的半径为r，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r，S⊿ABC=pr=))()((cpbpapp---=xyzzyx)(++；(2)r=cbaSABC++∆2；(3)abc·r=p·AI·BI·CI.性质6：设I为⊿ABC内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的平分线交BC于K，交⊿ABC 的外接圆于D，则IKAI=DIAD=DKDI=acb+.〖例1〗如图，设⊿ABC的外接圆O的半径为R，内心为I，∠B=600，∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E，证明：(1)IO=AE,(2)2R<IO+IA+IC<(1+3)R. (1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A的平分线交⊿ABC的外接圆于K，O、I分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO⊥AK. (1982四川省数学竞赛题)2、外心：.外心是三角形三条边的垂直平分线的交点. 锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部.性质1：⊿ABC所在平面上一点是其外心的充要条件是：该点到三角形三顶点的距离相等.性质2：设O是⊿ABC所在平面内一点，则O为⊿ABC的外心的充要条件是：(1)∠BOC=2∠A，∠ACC=2∠B，∠AOB=2∠C.(2)OB=OC, 且∠BOC=2∠A.性质3：R=ABCSabc4或S⊿ABC=Rabc4.〖例3〗如图，设AD是⊿ABC的∠BAC的平分线，O是⊿ABC的外心，01是⊿ABD的外接圆的圆心，02是⊿ADC的外接圆的圆心.求证：OO1=OO2. (1990高中联赛)3、重心：三角形三条边中线的交点叫做此三角形的重心.重心在三角形内部.重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍（即：重心将每条中线分成1:2两部分）.重心有以下常用的性质：性质1：设G是⊿ABC的重心，连AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，AD2=21(AB2+AC2)-BC2,且AG:GD=2:1.性质2：设G是⊿ABC的重心，P为⊿ABC内任意一点，则(1)AP2+BP2+CP2=AG2+BG2+CG2+3PG2；(2)AG2+BG2+CG2=31(AB2+BC2+CA2).性质3：设G是⊿ABC内一点，G是⊿ABC的重心的充要条件是下列条件之一：(1)S⊿GBC=S⊿GCA=S⊿GAB=31S⊿ABC；(2)当AG、BG、CG的延长线交三边于D、E、F时，S⊿AFG=S⊿BDG=S⊿CEG.(3)当点G在三边BC、CA、AB上的射影分别为D、E、F时，GD·GE·GF值最大；H (4)过G 的直线交AB 于P ，交AC 于Q 时，AP AB +AQAC=3； (5)BC 2+3AG 2=CA 2+3GB 2=AB 2+3GC 2.4、垂心：三角形三条边高线的交点叫做此三角形的垂心。

三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是： 点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。

6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛〔一试〕所涉及的知识范围不超出教育部2000年【全日制普通高级中学数学教学大纲】中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试〔二试〕与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n 次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛根底知识第一章 集合与简易逻辑一、根底知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否那么称x 不属于A ，记作A x ∉。

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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。

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全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。

几何不等式。

几何极值问题。

几何中的变换：对称、平移、旋转。

圆的幂和根轴。

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2.代数周期函数，带绝对值的函数。

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。

第二数学归纳法。

平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。

多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。

函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。

组合计数，组合几何。

抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

图论问题。

集合的划分。

覆盖。

平面凸集、凸包及应用*。

注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。

三角形各个心的有关向量结论三角形是初中数学的重点之一，它们在几何的许多领域都有应用。

除了三条边之外，三角形还有很多其他有趣的属性和结论。

今天，我们将重点关注与三角形各个心的有关向量结论。

首先，让我们来介绍一下三角形的“心”。

一个三角形的“心”是它的重心、外心、内心、垂心和费马点。

这五个点都具有特殊的几何意义，它们与三角形的性质密切相关。

现在，我们来看一些关于这五个“心”的向量结论。

这些结论包括：1. 重心：三角形的三条中线的交点是三角形的重心。

向量表示为$$\overrightarrow{G}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A}+\overrigh tarrow{B}+\overrightarrow{C})$$其中，A、B、C分别是三角形的三个顶点的向量表示。

2. 外心：三角形外接圆的圆心是三角形的外心。

向量表示为$$\overrightarrow{O}=\frac{\overrightarrow{a}\times\overright arrow{b}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{c}+\overrigh tarrow{b}\times\overrightarrow{c}}{2\overrightarrow{a}\cdot\o verrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}}$$其中，a、b、c分别是三角形的三个边的向量表示。

3. 内心：三角形内切圆的圆心是三角形的内心。

向量表示为$$\overrightarrow{I}=\frac{a\overrightarrow{A}+b\overrightarr ow{B}+c\overrightarrow{C}}{a+b+c}$$其中，a、b、c分别是三角形的三个边的长度；A、B、C分别是三角形的三个顶点的向量表示。

4. 垂心：三角形的三条高线交于垂心，它与对应的顶点相连的线段垂直。

三角形的五心问题三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．一、重心(G)：三角形三条中线交点. 性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

即：:2:1AG GD =2.重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

即：ABC GACGAB GBC S S S S ∆∆∆∆===313.以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

即：0=++GC GB GA4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数. 即:重心坐标为)3y ,3(C B A c B A y y x x x ++++5.中线与三边的关系式：2222412121BC AC AB AD -+=推广：(1)2222221()3GA GB GC AB AC BC ++=++（2)2222222222333()3BC GA CA GB AB GC AB AC BC +=+=+=++6.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

即： 222GA GB GC ++最小。

性质证明：1.过点G 做GD 的延长线DH,使得DH=GD,连接BH=CHG DF EABCAGGD GHGD GHAG AH G AC E CH GE BGCH CDBD 2121//=∴==∴∴∴= 又中点。

即为中点为又为平行四边形四边形又2.ABC AGC AGC CGD AGC ABC ACD CGD AGC S S S S S S S S S DG AG ∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∴=+===∴=31232122 3.()()()031313132),(21=++∴+=+=+=∴=+=C G B G A G BC A C G C CB A B G B CA B A G A DA AG C AB A D A同理：由 4.)3,3(0=------∴=++c B A G c B A G y y y y x x x x C G B G A G∴)3y ,3CB A G c B A G y y y x x x x ++=++=5.()()22222222222222412121)21((241)))((2(4124121CB C A B A D A C B D A C A B A B D D A C D D A C A B A B A C A C A B A C A B A D A-+=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=++++=∙++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 2222412121BC AC AB AD -+=∴推广：.222222222222222222222222222222223911142242219992219992219991()32333()3GA AD AG AB AC BC AG AB AC BC AB BC AC CG AC BC AB AG BG CG AB BC CA BC GA CA GB AB GC AB BC CA =∴=+-∴=+-=+-=+-∴++=++∴+=+=+=++同理BG6.设三角形三个顶点为112233(,),(,),(,)x y x y x y 平面上任意一点为(),x y 则该点到三顶点距离平方和为：()()()()()()()()()()22222211223322222222123123123123222222221231231231232212312332()32()1133331133x x y y x x y y x x y y x x x x x y y y y y x x x y y y x x x x y y y y x x x y y y x x x y y y -+-+-+-+-+-=-+++-++++++++⎛⎫⎛⎫=-+++-++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-++-++显然当123123y ,)33x x x y y x y ++++==重心坐标）时上式取得最小值。