(完整word版)垂径定理典型例题及练习

垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。

2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。

3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。

三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。

如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。

2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。

已知AB=6cm，求BC的长度。

四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。

2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。

答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。

2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。

圆的垂径定理习题一.选择题?1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（????）?A．4???????B．6????????C．7????????D．8?2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（??）??A．2??????B．3??????C．4??????D．5?3.过⊙0内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（??）?A．12个单位?????B．10个单位??????????C．1个单位??????D．15个单位? 5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD?，则直径AB的长是（???）? 6．下列命题中，正确的是（?????）?A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径???B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦?C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心???D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为(?????) 8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为(?????)?A．??1?cm????B．?7cm??????C．?3?cm或4?cm????D．?1cm?或7cm?9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为(?????)?A．2??????B．8??????C．2或8?????D．3二、填空题1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为???????cm?2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为?????????cm3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于?????????4.已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为????????cm?5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝????厘米? 6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为???????????cm7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于cm8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为?????????m11.如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)?和A(2，0)，则点B的坐标是????????12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD=??????cm13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30o,则AB=?????????cm15．⊙O的半径为13?cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是?????????Cm 16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为????????米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19.如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个?隧道所在圆的半径OA是___________米20．如图，AB为半圆直径，O?为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。

典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。

例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业： 一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。

初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。

A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。

A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。

A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。

答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。

答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。

答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。

7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。

答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。

根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。

四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。

答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。

要证明CM=MD。

由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。

根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。

典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。

例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。

《垂径定理》典型例题例1. 选择题：（1）下列说法中，正确的是（）A. 长度相等的弧是等弧B. 两个半圆是等弧C. 半径相等的弧是等弧D. 直径是圆中最长的弦答案：D（2）下列说法错误的是（）A. 圆上的点到圆心的距离相等B. 过圆心的线段是直径C. 直径是圆中最长的弦D. 半径相等的圆是等圆答案：B例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。

分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。

证明：连结OC、OD∵M、N分别是OA、OB的中点∵OA＝OB，∴OM＝ON又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD∴Rt△OMC≌Rt△OND∴∠AOC＝∠BOD例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB 的度数和圆的半径。

分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。

解：过O点作OE⊥AB于E∵AB＝12由垂径定理知：∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。

例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA 为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。

求AB、AD的长。

分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。

解：过点C作CF⊥AB于F∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB∴△AFC∽△ACB例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。

分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。

解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M∵点P在AB上，PA＝4cm即⊙O的半径为7cm。

例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。

圆的垂径定理习题一 . 选择题1．如图 1，⊙ O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，那么弦 AB 的长是（ ）2．如图，⊙O 的半径为 5，弦AB 的长为 8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段 OM 长的最小值为（ ）3.过⊙ 0内一点 M 的最长弦为 10cm ，最短弦长为 8cm ，则 OM 的长为（ ）4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 O A 、OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， OF=6个单位，则圆的直位 D ． 15 个单位5．如图，O ⊙的直径 AB 垂直弦 CD 于P ，且P 是半径 OB 的中点，6cmCD ，则直径 AB 的长是（ ）6．下列命题中，正确的是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为A ．4B ．6C ．7D ．8B ．3C ．4D ． 5B ． 10 个单位C ． 1 个单A ． 212 个单位8．⊙ O 的半径为 5cm ，弦 AB//CD ，且 AB=8cm,CD=6cm 则, AB 与 CD 之间的距离为 ( )A ． 1 cmB ． 7cmC ． 3 cm 或 4 cmD ． 1cm 或 7cm 9．已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为 5 的⊙ O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为 ( ) A ．2 B ．8 C ．2或 8 D ．3二、填空题1．已知 AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与 C ，OC=3cm ，则⊙ O 的半径为 cm 2．在直径为 10cm 的圆中，弦 AB 的长为 8cm ，则它的弦心距为 cm3．在半径为 10的圆中有一条长为 16 的弦，那么这条弦的弦心距等于4. 已知 AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与 C ，OC=3cm ，则⊙ O 的半径为 cm 5．如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD ，垂足为 E ，若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米，则 CD ＝ 厘 6．半径为 6cm 的圆中，垂直平分半径 OA 的弦长为 cm7．过⊙ O 内一点 M 的最长的弦长为 6cm ，最短的弦长为 4cm ，则 OM 的长等于 cm8．已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥ AB ，E 为垂足， CD=8，OE=1，则 AB=9．如图， AB 为⊙O 的弦，⊙ O 的半径为 5，OC ⊥AB 于点 D ，交⊙ O 于点 C ，且 CD ＝l ，则弦 AB 的长11. 如图，在直角坐标系中，以点 P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知 P(4，2) 和A(2，0) ， 则点 B 的坐标是12．如图， AB 是⊙ O 的直径， OD ⊥AC 于点 D ，BC=6cm ，则 OD= cm10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB ＝16m ，半径 OA ＝ 10m ，则中间柱CD 13．如图，矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的圆 O 交于点 G 、B 、 F 、E ，GB=10， EF=8，那么 AD=的高度为14．如图，⊙ O 的半径是 5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30o, 则 AB= cm是 Cm16．已知 AB 是圆 O 的弦，半径 OC 垂直 AB ，交 AB 于 D ，若 AB=8， CD=2，则圆的半径为 17．一个圆弧形门拱的拱高为 1 米，跨度为 4 米，那么这个门拱的半径为 米 18．在直径为 10厘米的圆中 ,两条分别为 6厘米和 8厘米的平行弦之间的距离是 厘米19. 如图，是一个隧道的截面， 如果路面 AB 宽为 8米，净高 CD 为 8米，那么这个 隧道所在圆的20．如图， AB 为半圆直径， O 为圆心， C 为半圆上一点， E 是弧 AC 的中点， OE 交弦 AC 于点 D 。

垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8答案：D★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（ ）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41 答案：C★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位答案：B★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（ ）A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A．5米 B．8米 C．7米 D．53米答案：B★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( ) A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm答案：5 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm 答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD ＝厘米O图 4E DCBA答案：63 cm★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.答案：63 cm★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm 答案：5★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：217★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm PBAO答案：6★★★15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是 Cm答案：7cm 或17cm★★★16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米答案：52★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米BAPOyx答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA 是___________米答案：5★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

垂径定理副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则A. 5B. 7C. 9D.11【答案】A【解析】解：由题意可得，，，，，，故选A．根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．2.如图，AB是的直径，弦于点E，，的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为A.B. 3cmC.D. 6cm【答案】A【解析】解：连接CB．是的直径，弦于点E，圆心O到弦CD的距离为OE；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，，；在中，，，．故选A．根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知，已知半径OC的长，即可在中求OE的长度．本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．3.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，，则的半径为A. 5B.C.D. 4【答案】C【解析】解：连结OA，如图，设的半径为r，，，在中，，，，，解得．故选C．连结OA，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．本题考查了的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.如图，线段AB是的直径，弦CD丄AB，，则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】解：线段AB是的直径，弦CD丄AB，，，，．故选：C．利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．二、解答题（本大题共2小题，共16.0分）5.如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．求证：四边形AECD为平行四边形；连接CO，求证：CO平分．【答案】证明：由圆周角定理得，，又，，，，，，四边形AECD为平行四边形；作于M，于N，四边形AECD为平行四边形，，又，，，又，，平分．【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定和性质定理得到，证明结论；作于M，于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．6.如图，AB为直径，C为上一点，点D是的中点，于E，于F．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；若，求AC的长度．【答案】解：与相切．证明：连接OD、AD，点D是的中点，，，，，，，，，与相切．连接BC交OD于H，延长DF交于G，由垂径定理可得：，，，，弦心距，是直径，，，是的中位线，．【解析】先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出DE与相切；先连接BC交OD于H，延长DF交于G，根据垂径定理推导可得，再根据AB是直径，推出OH是的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似，求得AC的长．。

《垂径定理》精编测试题及参考答案测试题一1.如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=2,DE=8,求AB的长.2.如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠OAC=22.5°,OC=6,求CD 的长.2.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后,截面如图所示,若油面的宽AB=160cm,求油的最大深度.4.已知如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,CD=6,AE=1,求⊙O的直径.5.如图,“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何.”用几何语言可表述为:CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.̂,点O是这段弧所在圆的圆6.如图,一条公路的转弯处是一段圆AB̂的中点,CD⊥AB且CD=10m,求这段弯路所在圆的心,AB=40m,点C是AB半径.7.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM:MD=5:8,求⊙O的周长.测试题二8.如图,MN是⊙O的直径,矩形ABCD的顶点A、D在MN上,顶点B、C 在⊙O上,若⊙O的半径为5,AB=4,求AD边的长.9.如图,在△ABC中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点C为圆心,CB为半径的圆交AB于点D,求BD的长.10.如图,AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC.若∠CAB=22.5º,CD=8cm,求⊙O的半径.11.如图,已知⊙O的半径是5,弦AB与弦CD平行,它们之间距离为5,AB=6,求弦CD的长.12.AB是⊙O的直径,弦CD垂直平分半径OA,若CD长为6,求⊙O的半径.13.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.(1)求此下水管横截面的半径;(2)随着污水量的增加,水位又被抬升了0.7米,求此时水面的宽度增加了多少?参考答案1.82.√23. 40cm4. 55.136.257.1328.69.2√310.4√211.4√612.2√3 12.0.5 0.2。

2017年01月07日圆心角，垂径定理一.选择题（共50小题）1.如图，O O的直径BD=4 , / A=60 °则BC的长度为（)/ BAD的度数是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°3 .如图，A , B, P是半径为2的O O上的三点,A . 2B ./ APB=45 °则弦AB 的长为（4.如图，OA . 4B .5.如图，△A. 100°B.6.如图，△4 C.血D. 2\/2O是^ ABC的外接圆，弦AC的长为3, sinB^，则O O的半径为43ABC130ABCC . 2 D.为O O的内接三角形，/ AOB=100。

，则/ ACB的度数为（C . 150° D. 160°内接于O O,若/ AOB=100 °则/ ACB的度数是（BCADacA)OA . 40°B .C . 60 ° D. 80°7.如图，已知点A, B, C在O O上，且/ BAC=25 °则/ OCB的度数是（)A . 70°B .C . 55 ° D. 50°，则/ D为（）&如图,A . 40°9.如图,AB 是O O 直径，/ AOC=140B . 30 边长为210.如图，在OA. 25° B . 30C. 20 °D. 70°1的小正方形网格中，OC亜D也C . 5D .苛O中，弦AC与半径OBC . 50 °D . 60°O的圆心在格点上，则/ AED的正弦值是（平行，若/ BOC=50 °则/ B的大小为（11.如图，AB是O O的直径，C, D为圆上两点，若/ AOC=130 °则/ D等于（A . 2012.如图，OB. 25°C. 35O中，劣弧占A . 60D . 50°AB所对的圆心角/ AOB=120 °点C在劣弧AB上，则圆周角/B . 120° C. 135° D.150ACB=( )13 .如图，AB 是O O 的直径，弦 CD 垂直平分 OB ,则/ ACD 等于（-- C _A . 30°B . 45°C . 60°D . 70° 14 .如图，A , B , C 是O O 上三点，/ ACB=25 ° 则/ BAO A . 50° B . 55° C . 60° D . 65° 15 .如图，AB 是半圆的直径，D 是弧AC 的中点，/ ABC=50 °则/ DAB 等于（ C . 65° D . 70° 的度数是 A . 55° B . 60° 16 .如图，在O O A . 2 B . 4 17 .如图，半径为 中，弦AC=2{1，点B 是圆上一点，且/ ABC=45 °则O O 的半径是（ C .體D .蚯 5的O A 中，弦BC , ED 所对的圆心角分别是/ ） BAC , / EAD ，已知 DE=6 , / BAC + / EAD=180 ° 则弦BC 的长等于（ A . B . C . 8 D . 618 .如图，AB 是O O 的直径，点C 在圆周上，连结BC 、OC ,过点 的度数是（ ） A . 25° B . 30° C . 40 ° D . 50° 19 .如图，O O 的直径 CD 垂直于弦 AB , / AOC=40 °则/ CDB A 作 AD // OC 交O O 于点 D ,若/ B=25 ° 则/ BAD的度数为（ )O'CDPA . 40°B . 30°C . 20°D . 10°20 .如图，已知 A , B , C 在O O 上,/ ACB=30 ° 则/ AOB 等于( A . 60° B . 50° C . 45° D . 30° 21.如图，O O 经过A , B , C 三点，/ BOC=60 °贝U si nA 等于( <2 2 22 .如图，AB 是O O 的直径，/ BAD=70 °则/ ACD 的度数是( A . 20° B . 15° C . 35° D . 70° 23 .如图，若 AB 为O O 的直径，CD 是O O 的弦，/ ABD=65 °则/ A . 25° B . 45° C . 55° D . 75° 24 .如图，O O 的半径是5, AB 是O O 的直径，弦 CD 丄AB ，垂足为 A . 16 B . 24 C . 32 D . 48/ ACB=20。

典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.A BD CEO作 业： 一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。

垂径定理练习题及答案垂径定理练习题及答案垂径定理是几何学中的一个重要定理，它解决了关于圆的切线和半径之间的关系问题。

在学习和应用垂径定理时，我们需要通过大量的练习题来巩固理论知识，并提高解题能力。

下面将给出一些垂径定理的练习题，并附上详细的解答，希望能对大家的学习有所帮助。

练习题一：在一个圆中，直径为10厘米，且过圆心的直径AC与切线BD相交于点E。

若AC=8厘米，求BE的长度。

解答：根据垂径定理，切线BD与半径AC垂直，所以∠BAC=90°。

由此可知，三角形BAC是一个直角三角形。

根据勾股定理可得：BA²+AC²=BC²代入已知条件，得：BA²+8²=10²化简得：BA²+64=100移项得：BA²=36开方得：BA=6由于∠BAC=90°，所以BE也是直径，即BE=10厘米。

练习题二：在一个圆中，直径为16厘米，切线AB与半径CD相交于点E。

若AE=3厘米，求BE的长度。

解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。

由此可知，三角形CAD是一个直角三角形。

根据勾股定理可得：CA²+AD²=CD²代入已知条件，得：CA²+16²=CD²化简得：CA²+256=CD²移项得：CA²=CD²-256开方得：CA=√(CD²-256)根据垂径定理，AE是半径CD的垂直平分线，所以AE=DE。

又已知AE=3厘米，所以DE=3厘米。

由于∠CAD=90°，所以BE也是直径，即BE=16厘米。

练习题三：在一个圆中，直径为12厘米，切线AB与半径CD相交于点E。

若AE=5厘米，求BE的长度。

解答：同样地，根据垂径定理，切线AB与半径CD垂直，所以∠CAD=90°。

典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.例题3、度数问题1、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。

例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.例题5、平行问题在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.B作 业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。

初中垂径定理试题及答案1. 题目：在三角形ABC中，AD是角A的平分线，DE垂直于AB，DF垂直于AC，垂足分别为E、F。

求证：AE=AF。

答案：证明：由于AD是角A的平分线，根据角平分线的性质，有∠BAD=∠DAC。

又因为DE垂直于AB，DF垂直于AC，所以∠AED=∠AFD=90°。

在三角形AED和三角形AFD中，∠AED=∠AFD，∠BAD=∠DAC，AD公共，根据AAS（角角边）判定，三角形AED≌三角形AFD。

因此，AE=AF。

2. 题目：在三角形ABC中，AD是BC边上的高，E是AC上的一点，且AE=EB。

求证：DE=DC。

答案：证明：由于AD是BC边上的高，所以∠ADC=∠ADB=90°。

又因为AE=EB，所以三角形ABE是等腰三角形，∠BAE=∠AEB。

在三角形ADC和三角形ADB中，∠ADC=∠ADB，∠CAD=∠ABD，AD公共，根据AAS 判定，三角形ADC≌三角形ADB。

因此，DE=DC。

3. 题目：在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB上的一点，且AE=EC。

求证：DE=DC。

答案：证明：由于AD是BC边上的中线，所以BD=DC。

又因为AE=EC，所以三角形AEC是等腰三角形，∠EAC=∠ECA。

在三角形ADE和三角形CDE中，∠ADE=∠CDE，∠DAE=∠DCE，DE公共，根据ASA判定，三角形ADE≌三角形CDE。

因此，DE=DC。

4. 题目：在三角形ABC中，AD是角A的平分线，E是BC上的一点，且BE=EC。

求证：DE=DF。

答案：证明：由于AD是角A的平分线，根据角平分线的性质，有∠BAD=∠DAC。

又因为BE=EC，所以三角形BEC是等腰三角形，∠EBC=∠ECB。

在三角形ABD和三角形ACD中，∠BAD=∠DAC，∠ABD=∠ACD，AD公共，根据ASA判定，三角形ABD≌三角形ACD。

因此，DE=DF。

5. 题目：在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AC上的一点，且AE=EB。

典型例题分析：例题1、 基本概念1.下面四个命题中正确的一个是（ )A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦Ｃ.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 Ｄ.在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）.A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 Ｂ．过弦的中点的直线必过圆心 Ｃ.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D.弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是______＿_cm.2、在直径为52c ｍ的圆柱形油槽内装入一些油后,,如果油面宽度是４８cm ，那么油的最大深度为＿___＿＿__ｃm.3、如图,已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1)求证：四边形OEHF 是正方形.ﻩ(2)若3=CH ,9=DH ,求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.４、已知:△A ＢＣ内接于⊙O,ＡB=AC,半径O Ｂ=５cm,圆心Ｏ到BC 的距离为3ｃm,求AB 的长．5、如图,F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点，A Ｄ⊥BC 于Ｄ,求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知:在⊙O 中，弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求:AOB ∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O 的半径1=OA ,弦ＡB 、AC 的长分别是2、3．求BAC ∠的度数。

例题4、相交问题如图,已知⊙O 的直径A Ｂ和弦ＣD 相交于点Ｅ,AE=６cm ，EB=２ｃm ，∠ＢED=３0°，求C Ｄ的长.例题５、平行问题在直径为5０c ｍ的⊙Ｏ中,弦AB=40cm ，弦ＣD=48ｃｍ,且A Ｂ∥CD ，求:AB 与ＣD 之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中,大圆的弦AB ，交小圆于Ｃ、D 两点,设大圆和小圆的半径分别为b a ,．求证:22b a BD AD -=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证:FD EC =.A B DCE O作 业：一、概念题１.下列命题中错误的有(）(１)弦的垂直平分线经过圆心（2)平分弦的直径垂直于弦（3)梯形的对角线互相平分(4)圆的对称轴是直径Ａ.1个 ﻩB ．2个 C ．3个 ﻩD ．４个2、⊙O 的直径为１0,弦ＡB 的长为8,M 是弦AB 上的动点,则OM 的长的取值范围是（ )(A)5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C)5OM 3<< (D ）5OM 4<<3.如图,如果AB 为⊙O 直径,弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是( )A.DE CE = Ｂ. Ｃ．BAD BAC ∠=∠ﻩD ．AD AC >4.如图,AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有( )对。

圆的垂径定理习题一.选择题1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53.过⊙0内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，则直径AB的长是（）6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B．7cm C． 3 cm或4 cm D．1cm 或7cm 9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3二、填空题1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于4. 已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD 的高度为m11. 如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。

2022届中考知识点强化练习：垂径定理（解答题篇）一、解答题（共11小题；共143分）1. ____________________________ 垂径定理：垂直于弦的直径_________ 弦，并且平分弦所对的两条__________________________________几何语言（如图）：•.•直径CD LAB,2.如图，刀B是。

的一条弦，CD经过圆心。

且与刀8交于点E,若AE = BE, AB = 2^7, ED =1,求CD的长.3.如图，48是O0的直径，交弦CZ）于点E,点E是CD的中点.（1）__________________________________________ 若 O0 的半径为 5, CD = 8,则 OE = , BE =；（2）___________________________________ 若 C D = 16, BE = 4,则 CE= ， O。

的半径为.4.如图，有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB为7.2 m,拱顶高出水面的最大高度CD的长为2.4 m,现有一艘宽 3 m,船舱顶部为长方形并且高出水面 2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？则点P坐标为(4,2)或(-4,2).②当匕PBG = 90°时，PB lx轴，则 PC 是直径，PC = 8, FC=4A/3得 PB = 4,点 P 坐标为(-2,75,4).③当匕BPG = 90。

,则是直径，这时有PC Lx轴得PC = 4，点P坐标为(2\/5,4).符合条件的点P坐标为(4,2)或(-4,2)或(-2西4)或(2V3,4).5.如图，AB是。

的弦，D为0。

上不与A, B重合的一点，DC 1 AB于点C,® = O,连接DM.求证："DM = 3DM.6.如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，己知弓形的跨度/!B = 3m,弓形的高EF=lm,现计划安装玻璃，请帮工程师求出徐所在。