下载文档原格式
*点击以上标题可直接前往对应内容定义1设(,)f x y 为定义在无界区域D 上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线,γ(,)f x y γE γ在曲线所围的有界区域与D 的交集E D D γγ= (图21-42)上二重可积.{}22min(,).d x yx y γγ=+∈若存在有限极限:xy2142-图γOE γDDγ令定义1lim (,)d ,d D f x y γγσ→∞⎰⎰γ且与的取法无关, 重积分收敛, (,)d lim (,)d ;(1)d DD f x y f x y γγσσ→∞=⎰⎰⎰⎰否则称(,)f x y 在D 上的反常二重积分发散, 或简(,)d Df x y σ⎰⎰发散.称(,)f x y 在D 上的反常二则称并记定理21.17为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,{}22(i)inf(,)();n n d x yx y n γ=+∈→+∞→∞(ii)sup (,)d ,nnD I f x y σ=<+∞⎰⎰,n n DE D = n γn E 其中为所围的有界区域.常二重积分(1) 必定收敛, (,)d .Df x y I σ=⎰⎰设在无界区域D 上(,)0,f x y ≥12,,,γγ ,n γ 满足这时反并且,E '的区域记为.D E D ''= 并记→∞=+∞lim ,n x d 因为.n D D D '⊂⊂因此存在n , 使得≥(,)0,f x y 由于所以有(,)d (,)d .nD D f x y f x y I σσ'≤≤⎰⎰⎰⎰另一方面，因为sup (,)d ,nnD I f x y σ=⎰⎰0,ε>0,n 故对任给的总有证设'γ为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成使得(,)d .nD f x y I σε>-⎰⎰(,)d .D f x y I σε'>-⎰⎰再由(,)d ,D I f x y I εσ'-<≤⎰⎰由定理21.17 的证明容易看到有以下定理:0,n D D '⊃因而对于充分大的有可知反常二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰存在, 且等于I .定理21.18若在无界区域D 上(,)0,f x y ≥则反常二重积分(1) 收敛的充要条件是：上(,)f x y 可积，且积分值有上界.例1证明反常二重积分22()e d x y Dσ-+⎰⎰收敛,=+∞⨯+∞[0,)[0,).D 部分. 证设是以原点为圆心R 为半径的圆在第一象限R D 在D 的任何有界子区域其中D 为第一象限部分, 即22()e0,x y -+>所以二重积分因为22()e d Rx y D σ-+⎰⎰的值随着R 的增大而增大.22()ed Rx y D σ-+⎰⎰所以22()lim ed Rx y R D σ-+→∞⎰⎰显然对D 的任何有界子区域,D '总存在足够大的R , 使得,R D D '⊂于是22()ed x y D σ-+'⎰⎰又因2220πd e d (1e ),4Rr R r r θπ--==-⎰⎰2lim (1e ).44R R ππ-→∞=-=22()ed Rx y D σ-+≤⎰⎰π.2≤2ed .x σ+∞-⎰的值为此, 考察=⨯[0,][0,]a S a a 上的积分22()ed .a x y S σ-+⎰⎰因为-+⎰⎰22()e d ax y S σ--=⎰⎰22ed ed aax y x y ()22e d ,axx -=⎰因此由定理21.17, 反常二重积分22()e d x y Dσ-+⎰⎰收敛，并且由定理21.16有22()πe d .(2)4x y Dσ-+=⎰⎰由(2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分故得2ed .2x x π+∞-=⎰下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有例2 证明: 若0,0,p q >>则()()(,).()p q p q p q ΓΓB Γ=+Γ=2,x u d 2d ,x u u =证对于函数, 令则于是21210()e d 2e d .p xp u p xx uu Γ+∞+∞----==⎰⎰从而2221210()()4ed ed p xq y p q xx yyΓΓ+∞+∞----=⋅⎰⎰关函数与Γ函数的联系公式.B 2221210lim4ed e d .RR p x q y R xx yy ----→∞=⋅⎰⎰令=⨯[0,][0,],R D R R 由二重积分化为累次积分的计算公式, 222121()ed Rp q x y D xyσ---+⎰⎰所以222121()()()lim 4ed Rp q x y R D p q xyσΓΓ---+→∞=⎰⎰222121()4ed ,(4)p q x y Dxyσ---+=⎰⎰式右边的反常二重积分,记这里为平面上第一象限.D {}222(,)|,0,0.r D x y x y r x y =+≤≥≥有2221210ed e d .RRp x q y xx yy ----=⋅⎰⎰和例1 一样,下面讨论(4)于是有222121()()()4ed ,p q x y Dp q xyσΓΓ---+=⎰⎰222121()lim4ed .rp q x y r D xyσ---+→∞=⎰⎰对上式积分应用极坐标变换，+----→∞=⎰⎰22()22121200()()lim4d (cos )(sin )e d .rp q p q r r p q rr r πθθθΓΓ221212()120lim 2(cos )(sin )d 2e d rp q p q r r rrπθθθ--+--→∞=⋅⎰⎰2121202(cos )(sin )d ().p q p q πθθθΓ--=⋅+⎰再由第十九章§3 的(10) 式就得到()()(,)().p q p q p q ΓΓB Γ=+则得定理21.19(,)f x y D 设在无界区域的任何有界子区域上证(只证充分性) 设⎰⎰|(,)|d Df x y σ收敛于M .作辅|(,)|(,)(,),2f x y f x y f x y ++=|(,)|(,)(,).2f x y f x y f x y --=可积. 要条件是:助函数:|(,)|d D f x y σ⎰⎰收敛.反常二重积分收敛的充则反常二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰显然有0(,)|(,)|,0(,)|(,)|,f x y f x y f x y f x y +-≤≤≤≤因而任给有界区域,D σ⊂恒有(,)d |(,)|d ,f x y f x y M σσσσ+≤=⎰⎰⎰⎰(,)d |(,)|d .f x y f x y M σσσσ-≤=⎰⎰⎰⎰+(,)f x y -(,)f x y 所以与在D 上的反常二重积分都收敛.+-=-(,)(,)(,),f x y f x y f x y 所以(,)f x y 在D 上的反常二重积分也收敛.又因关于必要性的证明, 有兴趣的读者可参阅菲赫金哥尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册.注对于反常定积分, 绝对收敛的反常积分一定收敛,反之不然.分一定收敛, 反之亦然.为直线上的点是有序的, 而在平面上的点是无序的.而在反常二重积分中, 绝对收敛的反常积出现这种区别的原因, 是因定理21.20 (柯西判别法)=+22.r x y (i)若当r 足够大时, |(,)|(),p cf x y c r≤为正常数2p >⎰⎰(,)d Df x y σ则当时, 反常二重积分收敛；(,)f x y |(,)|,p cf x y r≥(ii) 若在D 上满足其中D 包含有以原点为顶点的无限扇形区域,反常二重积分⎰⎰(,)d Df x y σ发散.(,)f x y 设在无界区域D 的任何有界子区域上可积,D 中的点(,)x y 到原点的距离为2p ≤则当时定义2设P 为有界区域D 的一个聚点，(,)f x y 在D 上除(,)f x y D -∆在上可积, →-⎰⎰0lim (,)d d D f x y σ∆若极限∆存在且有限, 并与的取法无关, 无界函数的二重积分点外皆有定义, 且在的任何空心邻域内无界,P P 为D 中任何含有P 的小区域，∆∆的直径. 又设d 表示上的反常二重积分收敛,0(,)d lim(,)d ;d DD f x y f x y σσ∆→-=⎰⎰⎰⎰(,)f x y 在D 则称记作(,)d Df x y σ⎰⎰否则称反常积分发散.与无界区域上的反常重积分一样，常重积分也可建立相应的收敛性定理.也与定理21.20类同, 请读者自证.对无界函数的反其证明方法定理21.21 (柯西判别法)定义, 则下面两个结论成立:(i) 若在点P 的附近有(,),cf x y r α≤其中c 为常数，2200()(),r x x y y =-+-则当<2α(,)d D f x y σ⎰⎰时, 反常二重积分收敛;设在有界区域D 上除点00(,)P x y 外处处有(,)f x y P 是它的瑕点, 点(,),cf x y rα≥且D 含有以点P 为顶点的角形区域, 反常二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰发散.(ii)若在点P 的附近有≥2α时, 则当复习思考题总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同之处.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社。
