福建省厦门第一中学2021届高三12月月考数学试题-无答案

2020-2021学年福建省厦门第一中学高一上学期入学测试数学试题一、单选题1．32263x y x y -分解因式时，应提取的公因式是（ ）A ．3xyB ．23x yC ．233x yD ．223x y【答案】B【解析】根据提公因式的原则可得选项.【详解】 32263x y x y -分解因式时，应提取的公因式是23x y ，故选：B.【点睛】本题考查因式分解的方法之提公因式法，属于基础题.2．下列计算正确的是（ ）A ．()3473=a b a bB ．2(41)82b a ab b --=--C ．()23242a a a a ⨯+=D ．22(1)1a a -=- 【答案】C 【解析】由幂的运算性质逐一判断选项可得答案.【详解】对于A 选项：()43343312a b a b a b ⨯==，故A 错误； 对于B 选项：()2(41)8218+2b a ab b ab b --=--⨯-=-，故B 错误； 对于C 选项：()23244222+a a aa a a ⨯+==⨯，故C 正确； 对于D 选项：22(1)2+1a a a -=-，故D 错误，故选：C.【点睛】本题考查幂的运算性质，属于基础题.3．有两个事件，事件:A 抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数；事件:367B 人中至少有2人生日相同.下列说法正确的是（ ）A．事件A、B都是随机事件B．事件A、B都是必然事件C．事件A是随机事件，事件B是必然事件D．事件A是必然事件，事件B是随机事件【答案】C【解析】判断事件A、B的类型，由此可得出结论.【详解】对于事件A，抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数可能是奇数，也可能是偶数，则事件A为随机事件；对于事件B，一年有365天或366天，由抽屉原理可知，367人中至少有2人生日相同，事件B为必然事件.故选：C.【点睛】本题考查事件类型的判断，属于基础题.4．如图，ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan A∠的值是（）A．65B．56C．210D．310【答案】A【解析】作出A∠所在直角三角形，根据定义求解. 【详解】如图，根据正切的定义可知，6tan 5BD A AD ==, 故选：A【点睛】本题主要考查了在直角三角形中正切函数的定义，属于容易题.5．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分，平均分为x ；去掉一个最低分，平均分为y ；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z ，则（ ）A ．y z x >>B ．x z y >>C ．y x z >>D ．z y x >> 【答案】A【解析】根据算术平均数的含义求解.【详解】由题意得：若去掉一个最高分，平均分为x ，则此时的x 一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z ，去掉一个最低分，平均分为y ，则此时的y 一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z ，所以y z x >>故选：A【点睛】本题主要考查算术平均数的含义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，5MC MA ==，则ABC 的面积是（ ）A ．24B ．20C ．15D ．不确定【答案】A【解析】由直角三角形的判定得ABC 是直角三角形，再由勾股定理求得两直角边的乘积，从而求得三角形的面积.【详解】由已知得5MC MA MB ===，所以90ACB ∠=，又ABC 的周长是24，10AB =， 所以222+14,10+AC BC AC BC ==，所以()()222222++496110AC BC AC BC AC BC -⨯-===， 所以ABC 的面积1242AC BC ⨯⨯=， 故选：A .【点睛】本题考查直角三角形的判定，勾股定理的运用，以及三角形的面积的计算，属于基础题. 7．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP x =，APQ 的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先过点C 作CD AB ⊥于点D ，由ABC 中，90ACB ∠=，30A ∠=，可求得B 的度数与AD 的长度，再分别从当012AD ≤≤与当1216x <≤时，去分析求解即可求得y 与x 之间的函数关系式，进一步选出图象.【详解】过点C 作CD AB ⊥于点D ，因为90ACB ∠=，30A ∠=，16AB =，所以60B ∠=，142BD BC ==，12AD AB BD =-=.如图1，当012AD ≤≤时，AP x =，3tan 303PQ AP x =⋅=， 所以2133236y x x x =⋅=， 如图2：当1216x <≤时，16BP AB AP x =-=-，所以)tan60316PQ BP x =⋅=-，所以()2133168322y x x x x =⋅-=-+， 故选：D【点睛】此题考查了动点问题，注意掌握含30直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题.8．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC AC ⊥于点C ，DF EB ⊥于点F ，若26BC DF ==，则O 的半径为（ ）A ．3.5B ．4C ．23D ．3.75【答案】D 【解析】根据图形，连接OD ，作OH BC ⊥于点H ，由AC 切半圆O 于点D ，得到OD AC ⊥，又BC AC ⊥，则//OD BC ，易证DOF OBH ≅，得到3OH DF ==，设OB OD r ==，然后在Rt ABC 中，利用勾股定理求解.【详解】如图所示：连接OD ，作OH BC ⊥于点H ，因为AC 切半圆O 于点D ，所以OD AC ⊥，又BC AC ⊥，所以//OD BC ，所以DOF OBH ∠=∠，又OD OB =，所以DOF OBH ≅，所以3OH DF ==，设OB OD r ==，则6BH r =-，在Rt ABC 中，由勾股定理得()22263r r =-+，解得15 3.754r ==， 故选：D【点睛】本题主要考查圆的切线的性质，切割线定理，勾股定理等面积法以及平行线段成比例定理，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.9．如图，正三角形ABC 的边长为4，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC 与A B C '''关于直线l 对称，D 为线段BC '上一动点，则AD CD +的最小值是（ ）A ．3B ．62C ．8D ．423+【答案】C 【解析】连接A D '，先根据轴对称性得出A B C '''也是边长为4的等边三角形，再根据等边三角形的性质，三角形全等的判定定理和性质得出CD A D '=，然后根据三角形的三边关系定理、两点之间线段最短找出AD A D +'取得最小值时点D 的位置，由此可以得出答案.【详解】如图，连接A D '，正ABC 的边长为4，4,60AB BC ABC ∴==∠=，ABC 与A B C '''关于直线l 对称，∴A B C '''也是边长为4的等边三角形，4,60A B A BC '''∴=∠=，18060CBD ABC A BC ∴∠=-'∠'∠-=，在BCD 和BA D '中，4BC BA ='=，60CBD A BD '∠=∠=，BD BD =，()BCD BA D SAS ∴'≅，CD A D '∴=，AD CD A D AD ∴+='+，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可知，当点D 与点B 重合，即点,,A D A '共线时，AD A D +'取得最小值，最小值为448A AB A B A ''=+=+=.故选：C.【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短等知识点，属于基础题.10．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =.下列结论：①0abc <；②30a c +>；③22()0a c b +-<；④()a b m am b +≤+（m 为实数）.其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.【详解】由图象得：图像的开口向上，所以>0a ，图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <，又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <，所以>0abc ，故①错误；从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -，又12b a-=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-，又+>a c b ，所以()22+0a c b -<，故③正确；对称轴是1x =，当1x =时，有最小值++a b c ，所以2++++m a b c a bm c ≤，所以()a b m am b +≤+，故④正确，综上得结论正确的是②③④，故选：C .【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.二、填空题11．如图，在ABC 中，40A ∠=︒，B C ∠=∠，BP CE =，BD CP =，则DPE ∠=________.【答案】70°【解析】由DBP PCE ≅△△，可得BDP EPC ∠=∠，再结合等腰三角形及内角和为180的条件可得解.【详解】,40AB AC =∠︒,70DBP ECP ∴∠=∠=︒,又BP CE =，BD CP =，DBP PCE ∴≅△△BDP EPC ∴∠=∠,70DBP ∠=︒,110DPB BDP ∴∠+∠=︒,180()70DPE DPB EPC ∴∠=︒-∠+∠=︒,故答案为：70°【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;利用题目中隐含的条件平角解题是解决本题得到关键.12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 在反比例函数()0,0k y k x x=>>的图象上，已知A 、B 的横坐标分别为1、4，且对角线//BD x 轴，若菱形ABCD 的面积为30，则k 的值为_________.【答案】203【解析】利用菱形对角线垂直且互相平分，结合A ，B 点的坐标可求对角线的长，根据面积求解即可.【详解】由题意知A y k =，4B k y =， 在菱形中//BD x 轴，所以AC x ⊥轴， 所以32()2A B AC y y k =-=，2()6B A BD x x =-=, 由菱形ABCD 的面积为30可得，1363022S k =⨯⨯=， 解得203k =， 故答案为：203 【点睛】本题主要考查了菱形对角线互相平分且垂直的性质，考查了菱形的面积公式，属于中档题.13．平面直角坐标系xOy 中，已知点(),a b 在直线222(0)y cx c c =++>上，且满足2222(12)40a b bc c b +-+++=，则c =________.1【解析】将点(),a b 代入222y cx c =++，得222b ac c =++，再代入 2222(12)40a b bc c b +-+++=，利用非负数的性质，求出a 、b 用c 表示，再代入 222b ac c =++解方程即可解决问题.【详解】将点(),a b 代入222y cx c =++得：222b ac c =++①， 将222b ac c =++代入2222(12)40a b bc c b +-+++=得： 22222(12)422a b bc c ac c +-+++++2222=24422a b bc c ac c +--++++2222=24+42+2a ac c b bc c ++--+()()22=+20a c b c +-= ，所以2a c b c =-⎧⎨=⎩②③， 将②③代入222b ac c =++得：22222c c c =-++，即2220c c +-=，解得：1c =或1c =（舍）1【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的特征，非负数的性质，完全平方公式等知识，属于中考填空题中的压轴题.三、双空题14．已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，则实数A =________B =_________. 【答案】1 2【解析】将方程的右边通分运算后，对照系数建立方程组，求解方程组可得答案.【详解】 因为()()()()2+1+2+12(1)(2)(1)(2)A xB x A B x A B A B x x x x x x ---+==------， 所以+32+4A B A B =⎧⎨=⎩，解得12A B =⎧⎨=⎩， 故答案为：1；2.【点睛】本题考查分式的加减运算和恒等式的思想的运用，属于基础题.四、解答题15．为了解某县建档立卡贫困户对准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A 级：非常满意；B 级：满意；C 级：基本满意；D 级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户户数是_______________；（2）图1中，α∠的度数是______________，并把图2条形图补充完整；（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请你估计满意（B 级）人数约为多少户？（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为a ，b ，c ，d ，e ）中随机选取两户，调查它们对扶贫政策的满意度，请用列表或树状图的方法求出选中贫困户e 的概率.【答案】（1）60 ；（2）54°，条形图见解析；（3）3500；（4）25. 【解析】（1）利用图1中B 级占35%，图2中B 级有21户，即可求解.（2）图1中，A 级、B 级共占50%，所以A 级占180的15%，即可求出α∠的度数；计算出C 级户数，即可补全图形；（3）用样本估计总体，按照样本中B 级人数的概率即可求出结果；（4）根据题意列出树状图，再根据概率公式进行计算即可.【详解】（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数为2135%60÷=（户）（2）15%36054α∠=⨯=C 级户数为60921921---=（户），条形图如下：（3）样本中B 级人数的概率为35% ，所以某县建档立卡贫困户有10000户，B 级人数有1000035%3500⨯=，所以有3500人.（4）根据题意画出树状图如下：由树状图可以看出，所有可能的结果共有20种，选中贫困户e 的结果有8种， 所以选中贫困户e 的概率为82205=. 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，用样本估计总计、频数、频率、总数之间的关系，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.属于中档题.16．已知关于x ，y 的方程组325233x y a x y a -=-⎧⎨+=+⎩的解都为正数. （1）当2a =时，解此方程组；（2）求a 的取值范围；（3）已知4a b +=，且0b >，23z a b =-，求z 的取值范围.【答案】（1）14x y =⎧⎨=⎩；（2）1a >；（3）78z -<<. 【解析】(1）利用加减消元法求解即可;(2）先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a 的不等式组解出即可;(3）根据题意得出b =4-a >0，即可得到1<a<4，代入z =2a -3b 得到z =5a -12，根据a 的取值可得结论.【详解】（1）当2a =时，方程组为3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②， ①2⨯+②得77x =，即1x =，把1x =代入①得，31y -=-，即4y =，此方程的解为14x y =⎧⎨=⎩； （2）解这个方程组的解为：12x a y a =-⎧⎨=+⎩， 由题意，得1020a a ->⎧⎨+>⎩， 则原不等式组的解集为1a >；（3）∵4a b +=，0b >，∴40b a =->，∵1a >，∴14a <<，∵2323(4)512,23a b a a a z a b -=--=-=-，故78z -<<.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程.17．已知E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，4CD CE =，EFB FBC ∠=∠，求tan ABF ∠.【答案】35【解析】延长EF 交BC 的延长线于T ，设FB 的中点为O ，连TO ，则OT BF ⊥，四边形ABCD 是正方形，不妨设其边长为4，由BAF TOB ∽，得到AF BF OB BT = ，变形为22BF AF BT =⋅，设CT k =，再由DEF CET ∽，解得815k =，然后由tan ∠=AF ABF AB 求解. 【详解】如图，延长EF 交BC 的延长线于T ，设FB 的中点为O ，连TO ，则OT BF ⊥，∵四边形ABCD 是正方形，不妨设其边长为4，∴//,90AD BC A BOT ∠=∠=︒，∴AFB OBT ∠=∠，∴BAF TOB ∽，∴AF BF OB BT= ， ∵12OB BF =， ∴22BF AF BT =⋅，设CT k =，易证DEF CET ∽，∴3DF k =，43AF k =-，4BT k =+ ，∴224(43)2(43)(4)k k k ++=⨯-+， 21580k k -=，∴815k =或0（舍去）， ∴433tan 45AF k ABF AB -∠===， 【点睛】本题主要考查三角形相似以及比例性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．如图1，AB 是O 的直径，E 是AB 延长线上一点，EC 切O 于点C ，OP AO ⊥交AC 于点P ，交EC 的延长线于点D .（1）求证：PCD 是等腰三角形；（2）CG AB ⊥于H 点，交O 于G 点，过B 点作//BF EC ，交O 于点F ，交CG于Q 点，连接AF ，如图2，若3sin 5E =，5CQ =，求AF 值. 【答案】（1）证明见解析；（2）12.【解析】（1）连接OC ，根据EC 切O 于点C ，得到OC DE ⊥，则1390∠+∠=︒，同理2490∠+∠=︒，再由12∠=∠，34∠=∠，45∠=∠证明.（2）由图2，连接OC 、BC ，根据DE 与O 相切于点E ，得到90OCB BCE ∠+∠=︒，同理有90OBC BCE ∠+∠=︒，90OBC BCG ∠+∠=︒，得到BCE BCG ∠=∠，再由//BF DE ，得到BCE QBC ∠=∠，则5QC QB ==，由//BF DE ，得到ABF E ∠=∠，设O 的半径为r ，在OCH △中，由2228(4)r r =+-，解得r ，再由3sin 5ABF ∠=求解. 【详解】（1）连接OC ，∵EC 切O 于点C ，∴OC DE ⊥，∴1390∠+∠=︒，又∵OP OA ⊥，∴2490∠+∠=︒，∵OA OC =，∴12∠=∠，∴34∠=∠，又∵45∠=∠，∴35∠=∠，∴DP DC =，即PCD 为等腰三角形.（2）如图2，连接OC 、BC ，∴DE 与O 相切于点E ，∴90OCB BCE ∠+∠=︒，∵OC OB =，∴OCB OBC ∠=∠，∴90OBC BCE ∠+∠=︒，又∵CG AB ⊥，∴90OBC BCG ∠+∠=︒，∴BCE BCG ∠=∠，∵//BF DE ，∴BCE QBC ∠=∠，∴BCG QBC ∠=∠，∴5QC QB ==，∵//BF DE ，∴ABF E ∠=∠， ∵3sin 5E =， ∴3sin 5ABF ∠=， ∴3OH =、4BH =，设O 的半径为r ，∴在OCH △中，2228(4)r r =+-，解得：10r =，又∵90AFB ∠=︒，3sin 5ABF ∠=， ∴12AF =.【点睛】本题主要考查平面几何的直线与直线，直线与圆的位置关系，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.19．已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点(1,),(2,10)P a Q a .（1）如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC 的面积.【答案】（1）2,15,14a b c ===；（2）1.【解析】（1）由点在二次函数上得出93b a =-，82c a =-，根据已知条件建立不等式组，解之可得答案；（2）设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得到方程()986mn m n -+=-， 由已知可求得m ，n .得到二次函数的解析式.可求得ABC 的面积.【详解】点(1,)P a 、(2,10)Q a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上， 故1b c a +-=，4210b c a +-=，解得93b a =-，82c a =-；（1）由8c b a <<得8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，解得13a <<， 又a 为整数，所以2,9315,8214a b a c a ==-==-=； （2）设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-， 消去a ，得()986mn m n -+=-，两边同时乘以9，得()817254mn m n -+=-，分解因式，得()()989810m n --=. 所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩或982985m n -=⎧⎨-=⎩， 解得12m n =⎧⎨=⎩或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 又∵m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =. 因此，()3,2b m n c mn =-+=-=-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.所以点A 、B 的坐标为()1,0和()2,0，点C 的坐标为()0,2， 所以ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，韦达定理的运用，属于中档题.。

2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，△ABD旋转后与△BCD重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．一个B．两个C．三个D．四个3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°5．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．6．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．57．已知点A（4，4）和点O（0，0），将点A绕点O逆时针旋转90°后，得到点A'，则点A'的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，2）D．（﹣4，﹣4）8．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②9．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8二、填空题（每小题4分，共24分）11．如果x：y＝1：2，那么＝．12．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为时，使得△BOC∽△AOB．13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝°．14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为．15．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝4，则OP的长为．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．三、解答题（9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解）18．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．20．（8分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字外都相同，将小球搅匀．（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是；（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的3个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率．21．（10分）如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连结BE、CF相交于点D．（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．22．（10分）已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．23．（10分）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一所抽查的鱼的总重量m（公斤）100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价（元/公斤）5051525354该品种活鱼的日销售量（公斤）40036032028024024．（10分）如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．2020-2021学年福建省厦门市思明区莲花中学九年级（上）第二次月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．已知点A与点B关于原点对称，若点A的坐标为（﹣2，3），则点B的坐标是（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）【解答】解：∵点A与点B关于原点对称，点A的坐标为（﹣2，3），∴点B的坐标是（2，﹣3）．故选：D．2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，△ABD旋转后与△BCD重合，则可以作为旋转中心的点有（）A．一个B．两个C．三个D．四个【分析】根据等边三角形的性质得AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD ＝∠CDB＝60°，则可利用旋转的定义，要把△ABD旋转后与△BCD重合，可选择B点或D点或BD的中点为旋转中心．【解答】解：∵△ABD和△BCD都是等边三角形，∴AD＝AB＝BD＝BC＝CD，∠ABD＝∠ADB＝∠CBD＝∠CDB＝60°，∴将△ABD绕点B顺时针旋转60°可得到△DBC或将△ABD绕点D逆时针旋转60°可得到△BCD或将△ABD绕BD的中点旋转180°可得到△CDB．故选：C．3．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．2cm、3cm、4cm、5cmB．1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cmC．0.5cm、2.5cm、3cm、5cmD．1cm、2cm、2cm、4cm【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．【解答】解：A、2×5≠3×4，故四条线段不成比例；B、4.4×1.1≠3.3×2.2，故四条线段不成比例；C、0.5×5≠2.5×3，故四条线段不成比例；D、2×2＝4×1，故四条线段成比例．故选：D．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝45°，∵∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．故选：B．5．在一个不透明的袋子中有3个白球、4个红球，这些球除颜色不同外其他完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．【解答】解：根据题意可得：袋子中有3个白球，4个红球，共7个，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率．故选：D．6．若正多边形的中心角为72°，则该正多边形的边数为（）A．8B．7C．6D．5【分析】根据正多边形的中心角＝，求出n即可．【解答】解：由题意，＝72°，∴n＝5，故选：D．7．已知点A（4，4）和点O（0，0），将点A绕点O逆时针旋转90°后，得到点A'，则点A'的坐标是（）A．（4，﹣4）B．（﹣4，4）C．（﹣2，2）D．（﹣4，﹣4）【分析】如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：如图作A′H⊥x轴于H，AE⊥x轴于E．∵A（4，4），∴OE＝4，AE＝4，∵∠A′HO＝∠AEO＝∠A′OA＝90°，∴∠A′OH+∠AOE＝90°，∠AOE+∠A＝90°，∴∠A′OH＝∠A，∵OA′＝OA，∴△A′OH≌△OAH（AAS），∴OH＝AE＝4，A′H＝OE＝4，∴A′（﹣4，4），故选：B．8．已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾．②因此假设不成立．∴∠B＜90°．③假设在△ABC中，∠B≥90°．④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：假设∠B≥90°；那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；因此假设不成立．∴∠B＜90°；原题正确顺序为：③④①②．故选：A．9．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】直接利用切线的性质得出∠OBM＝90°，求出∠AOB的度数，进而利用圆周角定理可得出答案．【解答】解：如图，连接OA，OB，∵BM为⊙O的切线，∴∠OBM＝90°，∵∠MBA＝130°，∴∠ABO＝40°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝40°，∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°，故选：B．10．如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（）A．5B．6C．7D．8【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD 为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．如果x：y＝1：2，那么＝．【分析】根据合比性质，可得答案．【解答】解：+1＝+1，即＝．故答案为：．12．在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为（﹣1，0）或者（1，0）时，使得△BOC∽△AOB．【分析】根据相似三角形的性质列方程即可得到结论．【解答】解：∵点A为（4，0），∴AO＝4；∵点B为（0，2），∴OB＝2．若△BOC∽△AOB．则：＝．即：＝，∴OC＝1．故点C为（﹣1，0）或者（1，0）．故答案为：（﹣1，0）或者（1，0）．13．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝32°，则∠B+∠E＝212°．【分析】连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED＝∠CAD＝32°，然后求解即可．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝32°，∴∠B+∠E＝180°+32°＝212°．故答案为：212．14．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC＝12，将ABC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为42．【分析】由旋转的性质可得出BD＝BC，结合∠CBD＝60°可得出△BCD为等边三角形，进而可得出CD的长度，再根据三角形的周长公式即可求出△ACF与△BDF的周长之和．【解答】解：∵△BDE由△BCA旋转得出，∴BD＝BC＝12．∵∠CBD＝60°，∴△BCD为等边三角形，∴CD＝BC＝12．∴C△ACF+C△BDF＝AC+CF+AF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42．故答案为：42．15．如图，在半径为的⊙O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD ＝4，则OP的长为．【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，根据勾股定理计算出OE＝1，同理可得OF＝1，证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP＝OE＝．【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，则AE＝BE＝AB＝2，DF＝CF＝CD＝2，在Rt△OBE中，OB＝，BE＝2，∴OE＝＝1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∵OE＝OF＝1，∴四边形OEPF为正方形，∴OP＝OE＝，故答案为：．16．如图，半径为2cm的⊙O与边长为2cm的正方形ABCD的边AB相切于E，点F为正方形的中心，直线OE过F点．当正方形ABCD沿直线OF以每秒（2﹣）cm的速度向左运动1或（11+6）秒时，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2．【分析】分两种情形：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，如图2中，当点C，D落在⊙O上时，分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当点A，B落在⊙O上时，由题意，△AOB是等边三角形，⊙O 与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝（2﹣）÷（2﹣）＝1（秒）如图2中，当点C，D落在⊙O上时，由题意，△OCD是等边三角形，⊙O与正方形重叠部分的面积为（π﹣）cm2此时，运动时间t＝[4+2﹣（2﹣）]÷（2﹣）＝（11+6）（秒），综上所述，满足条件的t的值为1秒或（11+6）秒．故答案为1或（11+6）．三、解答题（9小题，共86分）17．（10分）解方程：（1）3（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0；（2）x2﹣2x﹣3＝0（用配方法解）【分析】（1）把x﹣3看成整体，提公因式分解因式求解；（2）用配方法解，移项使方程的右边是常数，在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可使方程左边是完全平方式，右边是常数，再开平方即可求解．【解答】解：（1）（x﹣3）（3x﹣9+x）＝0；（2）配方得x2﹣2x+1＝4即（x﹣1）2＝4x﹣1＝±2x1＝3，x2＝﹣1．18．（8分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．（1）以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（﹣3，1），则点A的坐标为（﹣2，﹣3）；（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1．【分析】（1）利用B点坐标作出直角坐标系，从而得到A点坐标；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A1、B1即可．【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，点A的坐标为（﹣2，3）；故答案为（﹣2，3）；（2）如图，△OA1B1为所作．19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DF A；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DF A；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DF A，∴，∴．20．（8分）在一个不透明的盒子中装有4个小球，4个小球上分别标有数字1，2，3，4，这些小球除数字外都相同，将小球搅匀．（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率是；（2）先从盒子中随机摸出一个小球，再从余下的3个小球中随机摸出一个小球，请用列表法或树状图法求两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率．【分析】（1）直接利用概率公式计算；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数，然后根据概率公式计算．【解答】解：（1）从盒子中任意摸出一个小球，恰好摸出奇数号小球的概率＝＝；故答案为；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中两次摸出的小球标注数字之和大于4的结果数为8，所以两次摸出的小球标注数字之和大于4的概率＝＝．21．（10分）如图△ABC，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）得到△AEF，点B、C的对应点分别是E、F．连结BE、CF相交于点D．（1）当CF恰好垂直AE时，求∠CFE的大小；（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝30°，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解；（2）由菱形的性质可得DF＝AF＝2，DF∥AB，由等腰三角形的性质和锐角三角函数可求解．【解答】解：（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝30°，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，又∵CF⊥AE，∴∠AFC＝90°﹣∠EAF＝60°，∴∠CFE＝∠AFE﹣∠AFC＝75°﹣60°＝15°；（2）∵四边形ABDF为菱形，∴DF＝AF＝2，DF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC＝30°，∴△ACF为等腰三角形，且∠CAF＝120°，∴∠ACF＝30°，∴CF＝2cos∠ACF•AC＝，∴CD＝CF﹣DF＝．22．（10分）已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质求出∠A、∠B的度数；（2）连接AC，根据勾股定理求出AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到AD＝CD，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，解得，x＝30°，∴∠A、∠B分别为60°、90°；（2）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，∵点D为的中点，∴AD＝CD＝AC＝，∴△ADC的面积＝××＝，∴四边形ABCD的面积＝6+＝．23．（10分）小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一．由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录．（1）请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；（直接写出答案）（2）按此市场调节的观律，①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由；②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼（只卖活鱼），且售价保持不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由．表一所抽查的鱼的总重量m（公斤）100150200250350450500存活的鱼的重量与m的比值0.8850.8760.8740.8780.8710.8800.880表二该品种活鱼的售价（元/公斤）5051525354该品种活鱼的日销售量（公斤）400360320280240【分析】（1）用总质量乘以0.880可得；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，据此求解可得；②由售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，根据总利润＝每公斤的利润×销售量列出函数解析式，在根据题意求出增加的单价的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量为2000×0.880＝1760公斤；（2）①由表知，售价每增加1元，日销售量就减少40公斤，所以估计日销售量400﹣40×（52.5﹣50）＝300（公斤）．②若活鱼的售价再50元/公斤的基础上，售价每增加x元/公斤，可估计日销售量在400公斤的基础上减少40x公斤，设批发店每日卖鱼的利润为w，则w＝（50+x﹣）（400﹣40x）＝﹣40x2+400x＝﹣40（x﹣5）2+1000，由“8天内卖完这批活鱼”可得8（400﹣40x）≥1760，解得x≤4.5，根据实际意义有400﹣40x≥0，解得x≤10，∴x≤4.5，∵﹣40＜0，∴当x＜5时，w随x的增大而增大，∴当售价定为54.5元/公斤，每日卖鱼可能达到的最大利润为990元．24．（10分）如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义求出∠DFE＝∠OFE，根据等腰三角形的性质得出∠OEF＝∠OFE，求出∠DFE＝∠OEF，求出OE⊥AD，根据切线的判定得出即可；（2）连接BE，证△DEF∽△ABE，根据相似三角形的性质得出比例式，代入即可求出DE．【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE∥CD，∴∠OED+∠D＝180°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥AD，∵OE过O，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OF，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BF为⊙O直径，∴∠BEF＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，即得：x＝2，即DE＝2．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F点，连接PF．（1）若∠POC＝60°，AC＝12，求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求证：OD＝OE；（3）求证：PF是⊙O的切线．【分析】（1）根据弧长计算公式l＝进行计算即可；（2）证明△POE≌△ADO可得DO＝EO；（3）方法1、连接AP，PC，证出PC为EF的中垂线，再利用△CEP∽△CAP找出角的关系求解．方法2、先计算判断出PD＝BF，进而判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论；方法3、利用三个内角是90度的四边形是矩形判断出四边形PDBF是矩形即可得出结论．【解答】（1）解：∵AC＝12，∴CO＝6，∴＝＝2π；答：劣弧PC的长为：2π．（2）证明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，∠PEA＝90°，∠ADO＝90°在△ADO和△PEO中，，∴△POE≌△AOD（AAS），∴OD＝EO；（3）证明：法一：如图，连接AP，PC，∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OP A，由（2）得OD＝EO，∴∠ODE＝∠OED，又∵∠AOP＝∠EOD，∴∠OP A＝∠ODE，∴AP∥DF，∵AC是直径，∴∠APC＝90°，∴∠PQE＝90°∴PC⊥EF，又∵DP∥BF，∴∠ODE＝∠EFC，∵∠OED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠EFC，∴CE＝CF，∴PC为EF的中垂线，∴∠EPQ＝∠QPF，∵△CEP∽△CAP∴∠EPQ＝∠EAP，∴∠QPF＝∠EAP，∴∠QPF＝∠OP A，∵∠OP A+∠OPC＝90°，∴∠QPF+∠OPC＝90°，∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．法二：设⊙O的半径为r．∵OD⊥AB，∠ABC＝90°，∴OD∥BF，∴△ODE∽△CFE又∵OD＝OE，∴FC＝EC＝r﹣OE＝r﹣OD＝r﹣BC ∴BF＝BC+FC＝r+BC∵PD＝r+OD＝r+BC∴PD＝BF又∵PD∥BF，且∠DBF＝90°，∴四边形DBFP是矩形∴∠OPF＝90°∴OP⊥PF，∴PF是⊙O的切线．方法3、∵AC为直径，∴∠ABC＝90°又∵∠ADO＝90°，∴PD∥BF∴∠PCF＝∠OPC∵OP＝OC，∴∠OCP＝∠OPC∴∠OCP＝∠PCF，即∠ECP＝∠FCP∵PD∥BF，∴∠ODE＝∠EFC∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED又∵∠OED＝∠FEC，∴∠FEC＝∠EFC∴EC＝FC在△PEC与△PFC中∴△PEC≌△PFC（SAS）∴∠PFC＝∠PEC＝90°∴四边形PDBF为矩形∠DPF＝90°，即PF为圆的切线．。

厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。

2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三（上）期中数学试卷一、单选题1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的真子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个2．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．[﹣2．+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，﹣2]3．若“x−1x−3＜0”是“|x ﹣a |＜2”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ≤3C ．﹣1＜a ≤3D ．﹣1≤a ≤34．已知焦距为4的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 2=1B ．x 22−y 26=1C ．x 2−y 23=1D ．x 26−y 22=15．已知函数y ＝f （x ）在[﹣π，π]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（ ）A ．y =cosxe x −e −xB ．y =cosxe x +e −xC ．y =sinxe x −e−xD ．y =e x −e −xsinx6．已知sin （π2−θ）﹣cos （π+θ）＝6sin （2π﹣θ），则sin θcos θ+cos 2θ等于（ ）A ．35B ．25C ．−35D ．−257．设a ＝0.01，b ＝ln 1.01，c ＝log 30.01，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x +2）＝f （x ）：（2）f （x ﹣2）为奇函数：（3）当x ∈[0，1)时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，(x 1≠x 2)恒成立，则f(−152)，f(4)，f(112)的大小关系正确的为（ ）A ．f(112)＞f(4)＞f(−152) B ．f(4)＞f(112)＞f(−152)C ．f(−152)＞f(4)＞f(112)D ．f(−152)＞f(112)＞f(4) 二、多选题9．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”的有（ ）A ．f （x ）＝﹣3x +1B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣x C ．f （x ）＝x 2+4x +3 D ．f(x)=2x10．已知复数z =−50i3+4i，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 B ．复数z 的虚部为﹣6 C ．复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6iD ．复数z 的模|z |＝1011．设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图像关于直线x =8π3对称C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在(π2，π)单调递减12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，则（ ） A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{S n }是递增数列C ．S n 的最小值是S 2021D ．使得S n 取得最小正数的n ＝4042三、填空题13．若θ∈（0，π2），tan θ=13，则sin θ﹣cos θ＝ ．14．若直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切，则k 的值为 ．15．记函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T ．若f （T ）=√32，x =π9为f （x ）的零点，则ω的最小值为 ．16．已知函数f （x ）＝ln （x +a ）+x 2存在极值，则实数a 的取值范围是 ． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2+b 2＝c 2+√2ab ． （1）求C ；（2）若tanB tanC =2a−cc，求A ．18．（12分）设各项非负的数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=a n+12−n（n∈N*），且a2，a3，a5成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+12a n，数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB＝AD=12BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为60°，求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知P为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上任一点，F1，F2为椭圆的焦点，|PF1|+|PF2|＝4，离心率为√2 2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：y＝kx+m（m≠0）与椭圆的两交点为A，B，线段AB的中点C在直线y=12x上，O为坐标原点，当三角形OAB的面积等于√2时，求直线l的方程．21．（12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p1，p2．（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果|p 1−p 2|≥√2|p 12−p 22|5+0.1，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望． 22．（12分）已知函数f(x)=kx ，g(x)=lnxx． （1）若不等式f （x ）≥g （x ）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k 的取值范围； （2）求证：ln224+ln334+...+lnn n 4＜12e．（n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）2023-2024学年福建省厦门市湖滨中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．已知集合M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的真子集共有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．8个解：∵M ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，∴P ＝{1，3}， 故P 的真子集是{1}，{3}，∅共3个． 故选：B ．2．若函数f （x ）＝x 2﹣mx +10在（﹣2，﹣1）上是减函数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[2，+∞）B ．[﹣2．+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（﹣∞，﹣2]解：由题意可知f （x ）＝x 2﹣mx +10的对称轴为：x =m2， 故f （x ）的单调递减区间为（﹣∞，m2]，又函数f （x ）在（﹣2，﹣1）上是减函数， 所有﹣1≤m2，得m ≥﹣2， 故选：B ．3．若“x−1x−3＜0”是“|x ﹣a |＜2”的充分而不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1＜a ≤3B ．1≤a ≤3C ．﹣1＜a ≤3D ．﹣1≤a ≤3解：因为x−1x−3＜0，所以（x ﹣1）（x ﹣3）＜0⇒1＜x ＜3，因为|x ﹣a |＜2，则﹣2＜x ﹣a ＜2⇒a ﹣2＜x ＜a +2， 即1＜x ＜3是a ﹣2＜x ＜a +2的充分而不必要条件， 所以{a −2≤1a +2≥3⇒1≤a ≤3．故选：B ．4．已知焦距为4的双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直，则该双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 2=1B ．x 22−y 26=1C ．x 2−y 23=1D ．x 26−y 22=1解：∵双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为4，2c ＝4，即c ＝2，双曲线的一条渐近线与直线x −√3y =0垂直， ∴b a=√3，∴b =√3a ， ∵c 2＝a 2+b 2， ∴a ＝1，b =√3， ∴双曲线的方程为：x 2−y 23=1． 故选：C ．5．已知函数y ＝f （x ）在[﹣π，π]上的图象如图所示，则与之大致匹配的函数是（ ）A ．y =cosxe x −e −xB ．y =cosxe x +e −xC ．y =sinxe x −e −x D ．y =e x −e −xsinx解：由函数的图象可知，f(π2)＞0，对于选项A ，B 中的函数，当x =π2时，函数值均为0，故选项A 错误，选项B 错误；由图可知，f （π）＝0，对于选项D 中的函数，定义域中取不到x ＝π， 故选项D 错误，选项C 正确． 故选：C ．6．已知sin （π2−θ）﹣cos （π+θ）＝6sin （2π﹣θ），则sin θcos θ+cos 2θ等于（ ）A ．35B ．25C ．−35D ．−25解：由已知得cos θ+cos θ＝﹣6sin θ，则tanθ=−13，可得sinθcosθ+cos 2θ=sinθcosθ+cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tanθ+1tan 2θ+1=23109=35． 故选：A ．7．设a ＝0.01，b ＝ln 1.01，c ＝log 30.01，则（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a解：b ＝ln 1.01∈（0，1），令f （x ）＝ln （x +1）﹣x ，则f ′（x ）=−xx+1， 当f ′（x ）＞0时，即﹣1＜x ＜0，f （x ）单调递增，f ′（x ）＜0时，x ＞0，f （x ）单调递减， 则f （x ）≤f （0）＝0，故f （0.01）＝ln 1.01﹣0.01＜0，故0＜b ＜a ， 又log 30.01＜0， 则c ＜b ＜a ， 故选：D ．8．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：（1）f （x +2）＝f （x ）：（2）f （x ﹣2）为奇函数：（3）当x ∈[0，1)时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0，(x 1≠x 2)恒成立，则f(−152)，f(4)，f(112)的大小关系正确的为（ ）A ．f(112)＞f(4)＞f(−152) B ．f(4)＞f(112)＞f(−152)C ．f(−152)＞f(4)＞f(112)D ．f(−152)＞f(112)＞f(4) 解：根据（1）知f （x ）的周期为2，根据（2）知f （x ）为奇函数，根据（3）知f （x ）在[0，1）上单调递增，∴f （x ）在（﹣1，1）上单调递增， ∴f(−152)=f(12−2×8)=f(12)，f(4)=f(0)，f(112)=f(−12+2×6)=f(−12)， ∴f(−152)＞f(4)＞f(112)． 故选：C ． 二、多选题9．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”的有（ ）A ．f （x ）＝﹣3x +1B ．f （x ）＝e x ﹣e ﹣xC ．f （x ）＝x 2+4x +3D ．f(x)=2x解：由∀x 1，x 2∈（0，+∞），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，可知函数f （x ）在x ∈（0，+∞）时减函数．函数f （x ）＝﹣3x +1在x ∈（0，+∞）时为减函数，符合题意，故A 正确；函数y =−e −x =−(1e)x 在x ∈（0，+∞）时为增函数，所以f （x ）＝e x ﹣e ﹣x 在x ∈（0，+∞）时为增函数，故B 错误；函数f （x ）＝x 2+4x +3图象的对称轴为x ＝﹣2，故在x ∈（0，+∞）时f （x ）＝x 2+4x +3为增函数，故C 错误；函数f(x)=2x在x ∈（0，+∞）时单调递减，符合题意，故D 正确．故选：AD ． 10．已知复数z =−50i3+4i，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限 B ．复数z 的虚部为﹣6 C ．复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6iD ．复数z 的模|z |＝10解：因为z =−50i 3+4i =−50i(3−4i)(3+4i)(3−4i)=−50i(3−4i)25=−8−6i ， 所以复数z 在复平面内对应的点（﹣8，﹣6）在第三象限，故A 错误； 虚部为﹣6，故B 正确；复数z 的共轭复数z ＝﹣8+6i ，故C 正确；复数z 的模|z|=√(−8)2+(−6)2=10，故D 正确； 故选：BCD ．11．设函数f(x)=cos(x +π3)，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的一个周期为﹣2πB ．y ＝f （x ）的图像关于直线x =8π3对称C ．f （x +π）的一个零点为x =π6D ．f （x ）在(π2，π)单调递减解：函数f （x ﹣2π）＝cos （x +π3−2π）＝cos （x +π3）＝f （x ），故它的一个周期T ＝﹣2π，故A 正确；令x =8π3，求得f （x ）＝﹣1，为最小值，故f （x ）的图像关于直线x =8π3对称，故B 正确； 对于y ＝f （x +π）＝cos （x +π+π3）＝﹣cos （x +π3），令x =π6，可得f （x +π）＝0，故f （x +π） 的一个零点为x =π6，故C 正确；当x ∈（π2，π），x +π3∈（5π6，4π3），函数f （x ）不单调，故D 错误，故选：ABC ．12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，则（ ） A ．数列{a n }是递增数列 B ．数列{S n }是递增数列C ．S n 的最小值是S 2021D ．使得S n 取得最小正数的n ＝4042解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2022＞0，a 2021+a 2022＜0，对于A ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，即公差d ＞0，所以数列{a n }是递增数列，故A 正确； 对于B ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，所以数列{S n }是先减后增数列，故B 错误； 对于C ，由题意a 2022＞0，a 2021＜0，所以S n 的最小值是S 2021，故C 正确；对于D ，由S 4043=12（a 1+a 4043）×4043＝4043a 2022＞0，S 4042=12（a 1+a 4042）×4042＝2021（a 2021+a 2022）＜0，使得S n 取得最小正数的n ＝4043，故D 错误． 故选：AC ． 三、填空题13．若θ∈（0，π2），tan θ=13，则sin θ﹣cos θ＝ −√105 ．解：∵θ∈（0，π2），tan θ=13=yx ，∴令x ＝3，y ＝1，设θ终边上一点的坐标P （3，1）， 则r ＝|OP |=√32+12=√10， 则sin θ﹣cos θ=√10−√10=√10=−√105．故答案为：−√105．14．若直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切，则k 的值为 e 2 ． 解：直线y ＝k （x ﹣1）过点（1，0），设直线y ＝k （x ﹣1）与曲线y ＝e x 相切于（t ，e t ），由y ＝e x ，得y ′＝e x ，则过切点的切线方程为y ﹣e t ＝e t （x ﹣t ）， 把（1，0）代入，可得﹣e t ＝e t （1﹣t ），解得t ＝2． ∴k ＝e t ＝e 2． 故答案为：e 2．15．记函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T ．若f （T ）=√32，x =π9为f （x ）的零点，则ω的最小值为 3 ．解：函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T =2πω， 若f （T ）＝cos （ω×2πω+φ）＝cos φ=√32，0＜φ＜π，则φ=π6， 所以f （x ）＝cos （ωx +π6）．因为x =π9为f （x ）的零点，所以cos （ωπ9+π6）＝0，故ωπ9+π6=k π+π2，k ∈Z ，所以ω＝9k +3，k ∈Z ，因为ω＞0，则ω的最小值为3． 故答案为：3．16．已知函数f （x ）＝ln （x +a ）+x 2存在极值，则实数a 的取值范围是 （√2，+∞） ． 解：f （x ）的定义域为（﹣a ，+∞）， f ′（x ）=2x 2+2ax+1x+a，方程2x 2+2ax +1＝0的判别式Δ＝4a 2﹣8， （ⅰ）若Δ＜0，即−√2＜a ＜√2，在f （x ）的定义域内f '（x ）＞0，故f （x ）无极值； （ⅱ）若Δ＝0，则a =√2或a =−√2，若a =√2，x ∈（−√2，+∞），f ′（x ）=(2−1)2x+√2，当x =−√22时，f '（x ）＝0，当x ∈（−√2，−√22）∪（−√22，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）无极值，若a =−√2，x ∈（√2，+∞），f ′（x ）=(√2x−1)2x−20，f （x ）也无极值，（ⅲ）若Δ＞0，即a ＞√2或a ＜−√2，则2x 2+2ax +1＝0有两个不同的实根x 1=−a−√a 2−22，x 2=−a+√a 2−22，当a ＜−√2时，x 1＜﹣a ，x 2＜﹣a ，从而f '（x ）在f （x ）的定义域内没有零点，故f （x ）无极值， 当a ＞√2时，x 1＞﹣a ，x 2＞﹣a ，f '（x ）在f （x ）的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知f （x ）在x ＝x 1，x ＝x 2取得极值． 综上，f （x ）存在极值时，a 的取值范围为（√2，+∞）．故答案为：（√2，+∞）． 四、解答题17．（10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a 2+b 2＝c 2+√2ab ． （1）求C ；（2）若tanB tanC =2a−c c，求A ．解：（1）∵a 2+b 2＝c 2+√2ab ，∴a 2+b 2−c 22ab=√22， ∴cos C =√22，∴C ＝45°． （2）由正弦定理可得tanB tanC=2a−c c=2sinA−sinCsinC，∴sinBcosC cosBsinC=2sinA−sinCsinC∴sin B cos C ＝2sin A cos B ﹣sin C cos B ，∴sin B cos C +sin C cos B ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∴sin A ＝2sin A cos B ． ∵sin A ≠0，∴cos B =12，∴B ＝60°，A ＝180°﹣45°﹣60°＝75°．18．（12分）设各项非负的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =a n+12−n （n ∈N *），且a 2，a 3，a 5成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若b n =a n +12a n，数列{b n }的前n 项和T n ． 解：（Ⅰ）当n ＝1时，2a 1=a 22−1， 当n ≥2时，2S n =a n+12−n ，① 2S n ﹣1=a n 2−（n ﹣1），②．①﹣②得2a n =a n+12−a n 2−1，即a n+12=a n 2+2a n +1=(a n +1)2，∵a n ≥0，∴a n +1＝a n +1，∴数列{a n }从第2项起是公差为1的等差数列， ∴a n ＝a 2+n ﹣2（n ≥2）又a 2，a 3，a 5成等比数列，∴a 32=a 2a 5，即(a2+1)2=a2(a2+3)，解得a2＝1，∴a n＝1+n﹣2＝n﹣1（n≥2），∵2a1=a22−1，∴a1＝0，适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝n﹣1．（Ⅱ）∵b n=n2n−1，∴数列{b n}的前n项的和为：T n=120+221+322+⋯+n−12n−2+n2n−1，③1 2T n=121+222+323+⋯+n−12n−1+n2n，④③﹣④得，1 2T n=1+12+122+⋯+12n−1−n2n=1−(12)n1−12−n2n=2−12n−1−n2n=2−n+22n，∴T n=4−n+22n−1．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB＝AD=12BC＝2，且E，F分别为PC，CD的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）若直线PF与平面P AB所成的角为60°，求平面P AB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．证明：（1）取PB中点M，连接AM，EM，∵E为PC的中点，∴ME∥BC，ME=12BC，又∵AD∥BC，AD=12BC，∴ME∥AD，ME＝AD，∴四边形ADEM为平行四边形：∴DE∥AM，∵DE ⊄平面P AB ，AM ⊂平面P AB ， ∴DE ∥平面P AB ；解：（2）∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面P AB ，取AB 中点G ，连接FG ，∴FG ∥AD ，FG ⊥平面P AB ，∴∠GPF ＝60°，GF ＝3， ∴tan60°=3PG⇒PG =√3，∴AG ＝GB ＝1，AB ＝2， 如图建系，∴P(0，0，√3)，C （1，4，0），D （﹣1，2，0），∴PC →=(1，4，−√3)，CD →=(−2，−2，0)，设平面PCD 的一个法向量n 1→=(x ，y ，z)，∴{n 1→⋅PC →=0n 1→⋅CD →=0⇒{x +4y −√3z =0−2x −2y =0⇒n 1→=(−1，1，√3)，平面P AB 的一个法向量n 2→=(0，1，0)，设平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角为θ， ∴cosθ=|n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→||=15=√55． 20．（12分）已知P 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上任一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，|PF 1|+|PF 2|＝4，离心率为√22． （1）求椭圆的方程；（2）若直线l ：y ＝kx +m （m ≠0）与椭圆的两交点为A ，B ，线段AB 的中点C 在直线y =12x 上，O 为坐标原点，当三角形OAB 的面积等于√2时，求直线l 的方程．解：（1）由椭圆定义得2a ＝4，a ＝2，所以c =ae =√2，故b =√2， 所以椭圆的方程为x 24+y 22=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y ＝kx +m 代入方程x 24+y 22=1，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣4＝0．（*） 所以x C =x 1+x 22=−2km 1+2k 2，y C =kx C +m =m1+2k2， 所以m 1+2k 2=12⋅−2km1+2k 2，解得k ＝﹣1，则（*）式变为3x 2﹣4mx +2m 2﹣4＝0，则|AB|=√2|x 1−x 2|=4√6−m 23，△OAB 底边AB 上的距离ℎ=|m|√2，所以△OAB 的面形S =√2√(6−m 2)m 23，令√2√(6−m 2)m 23=√2，解得m =±√3，把k ＝﹣1，m =±√3代入（*）式，经检验，均满足Δ＞0， 此时直线l 的方程为x +y −√3=0或x +y +√3=0．21．（12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛．经多轮比赛后，由教师甲、乙作为代表进行决赛．决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得﹣5分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军．已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立．甲、乙获得冠军的概率分别记为p 1，p 2．（1）判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果|p 1−p 2|≥√2|p 12−p 22|5+0.1，那么认为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）； （2）用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望．解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为A ，B ，C ， 则教师甲获得冠军的概率p 1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)＝0.4×0.5×0.75+0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.15+0.225+0.15+0.05＝0.575，则教室以获得冠军的概率p 2＝1﹣p 1＝0.425， 因为√2|p 12−p 22|5+0.1=√0.16=0.4，解得|p 1﹣p 2|＝0.15，又|p 1−p 2|＜√2|p 12−p 22|5+0.1， 所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别； （2）已知X 的所有取值为﹣15，0，15，30，此时P （X ＝﹣15）＝0.4×0.5×0.75＝0.15，P （X ＝0）＝0.6×0.5×0.75+0.4×0.5×0.75+0.4×0.5×0.25＝0.425，P （X ＝15）＝0.4×0.5×0.25+0.6×0.5×0.25+0.6×0.5×0.75＝0.35，P （X ＝30）＝0.6×0.5×0.25＝0.075， 则X 的分布列为：所以E （X ）＝﹣15×0.15+0×0.425+15×0.35+30×0.075＝5.25． 22．（12分）已知函数f(x)=kx ，g(x)=lnxx． （1）若不等式f （x ）≥g （x ）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k 的取值范围； （2）求证：ln224+ln334+...+lnn n 4＜12e．（n ≥2，n ∈N *，e 为自然对数的底数）解：（1）因为x ＞0，kx ≥lnx x ，所以k ≥lnxx2， 令ℎ(x)=lnx x 2，又ℎ′(x)=1−2lnxx 3，令h ′（x ）＝0，解得x =√e ， 0＜x ＜√e 时，h ′（x ）＞0，h （x ）递增，x ＞√e 时，h '（x ）＜0，h （x ）递减， 所以当x =√e 时函数h （x ）有最大值，且最大值为12e，所以k ≥12e， 即k 的取值范围是[12e，+∞）．（2）证明：由（1）知lnx x 2≤12e ，所以lnx x 4≤12e ⋅1x 2，所以ln224+ln334+...+lnnn 4＜12e (122+132+...+1n2)， 又122+132+⋯+1n 2＜11×2+12×3+⋯+1(n−1)n=(1−12)+(12−13)+...+(1n−1−1n )=1−1n＜1，所以ln224+ln334+...+lnnn4＜12e(122+132+...+1n2)＜12e，即ln224+ln334+...+lnnn4＜12e．。

厦门一中2020-2021学年度第学期高三年12月月考试卷一．选择题（共8小题）1．如果集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{2，4，8}，B ＝{1，3，4，7}，那么(∁U A )∪B 等于（）A ．{4}B ．{1，3，4，5，6，7}C ．{1，3，7}D ．(2，8}2．已知复数z 满足z (1+i )＝3+5i ，则z 的共轭复数z ＝（）A ．4﹣iB ．4+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i 3．等差数列{a n }中，a 1+a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αB ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βC ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βD ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂α且a ∥β，b ∥β5．小闽、小夏、小萌报名参加校园文化活动，活动共有四个项目，每入限报其中一项，则小闽所报活动与小夏、小萌都不同的概率等于（）A ．43B ．169C ．8132D ．836．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，tmin 后物体的温度θ℃可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e t 24.0 求得．把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却t min 后，物体的温度是40℃，那么t 的值约等于（）（参考数据：ln 3取1.099，ln 2取0.693）A ．6.61B ．4.58C ．2.89D ．1.697．已知O 为△ABC 的外心，OA +2OB 0，则∠ACB 的正弦值为（）A ．22B ．21C ．83D ．468．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于点A ，B ，与圆x 2+y 2﹣4x +3＝0交于点P ，Q ，其中点A ，P 在第一象限，则2|AP |+|QB |的最小值为（）A ．22＋3B ．22＋5C ．42＋5D ．42＋319．在(x －x1)6的展开式中，下列说法正确的有（）A ．所有项的二项式系数和为64B ．所有项的系数和为0C ．常数项为20D ．二项式系数最大的项为第4项10．已知函数f (x )＝3sin2x ﹣2cos 2x +1，将f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图象．若g (x 1)•g (x 2)＝－4，则|x 1﹣x 2|的值可能为（）A ．45πB ．43πC ．2πD ．4π11．已知F 1，F 2是双曲线E ：22a x －22by ＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1作倾斜角为3π的直线分别交y 轴与双曲线右支于点M ，P ，|PM |＝|MF 1|，下列判断正确的是（）A ．∠PF 2F 1＝6πB ．|MF 2|＝21|PF 1|C ．E 的离心率等于2＋3D ．E 的渐近线方程为y ＝±2x12．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则下列关于该多面体的说法中正确的是（）A ．多面体有有12个顶点，14个面B ．多面体的表面积为3C ．多面体的体积为65D ．多面体没有外接球(即经过多面体所有顶点的球)三．填空题（共4小题）13．某学校的高三年段有三个班级，人数分别为1班40人、2班45人、3班50人，在一次考试中，三个班级的平均分数分别为81分、86分、90分，则这次考试该年段学生的平均分数为．14．已知α，β为锐角，tan α，tan β是方程x 2﹣6x +7＝0的两根，则α+β＝．15．已知定义在R 上的偶函数f (x )在x ∈[0，+∞）上单调递减，且f (2)＝0，则不等式xf (x －1)＞0的解集为．16．已知正项等比数列{a n }中，a 4﹣a 2＝6，a 5﹣a 1＝15，则a n ＝，又数列{b n }满足b 1＝21，b n ＋1＝nb -11；若S n 为数列{a n +1b n }的前n 项和，那么S 3n ＝．17．在△ABC 中，∠C 为钝角，sin(A ＋B )＝53，sin(A －B )＝51．（1）求证：tan A ＝2tan B ；（2）设AB ＝6，求AB 边上的高．18．厦门市为创建全国文明城市，推出“行人闯红灯系统建设项目”，将针对闯红灯行为进行曝光．交警部门根据某十字路口以往的监测数据，从穿越该路口的行人中随机抽查了200人，得到如图示的列联表：闯红灯不闯红灯合计年龄不超过45岁67480年龄超过45岁2496120（1）能否有97.5%的把握认为闯红灯行为与年龄有关？（2）如图是某路口监控设备抓拍的5个月内市民闯红灯人数的统计图．请建立y 与x 的回归方程a xb yˆˆˆ+=，并估计该路口6月份闯红灯人数．附：K 2＝))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n ++++-，bˆ＝∑∑==--ni ini i i x n xy x n yx 1221，aˆ＝y －x b ˆP (K 2≥k )0.0500.0250.00100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828参考数据：∑=512i i y ＝685，∑=51i ii y x ＝1966福州李乘组录19．如图所示，在三棱锥P ﹣ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝2π，D 、E 分别为线段AB 、BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2．（1）证明：DE ⊥平面PCD ；（2）求二面角A ﹣PD ﹣C 的余弦值．20．在①n S n ＝21+n a ；②a n +1a n ＝2S n ；③a 12＋a 22＋a 32＋…＋a n 2＝6)12)(1(++n n n 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，满足．（1）求{a n }的通项公式；（2）若T n 为数列{2n a }的前n 项和，记b n ＝12+⋅+n n n T T T ，求证：b 1＋b 2＋…＋b n ＜21.21．已知椭圆Γ：22a x ＋22b y ＝1(a ＞0，b ＞0)在右、上顶点分别为A ，B ，F 是椭圆Γ的左焦点，P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2322，是椭圆Γ上的点，且|OB |＝|OF |(O 是坐标原点)．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线l 与椭圆Γ相切于点M (M 在第二象限)，过O 作直线l 的平行线与直线MF 相交于点N ，问：线段MN 的长是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．22．已知函数f (x )＝ln x －ax ．（1）讨论f (x )的单调性；（2）若x 1，x 2(x 1＜x 2)是f (x )的两个零点.证明：①x 1＋x 2＞a2②x 2－x 1＞aea-12．。

2021-2022学年下学期高一第一次月考数学试卷（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）班级 姓名 考号一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量2,3=(3,2)a b =()，，则||a b −=（ ） AB ．2C．D ．502．在下列各组向量中，能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ） A ．12(0,0),(1,2)e e ==− B ．12(1,2),(5,7)e e =−= C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),(,)24e e =−=−3．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知34a b c ＝，＝，，则△ABC 的最大内角为( ) A ．120° B ．90° C ．150°D ．60° 4. △ABC 中，13AD AB =,点E 是CD 的中点，设,,AB a AC b ==则AE =（ ） A ．1126a b + B ．1263a b + C ．1123a b + D ．1162a b + 5．在ABC ∆中，若0AC BC ⋅=，且22||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC ∆为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形6．边长为1的正方形ABCD 上有一动点P ，则向量AB AP ⋅的范围是（） A ．[0，1]B ．C ．D ．{1}7. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，B =60°，2b ac =，则△ABC 一定是（ ）A ．底边和腰不相等的等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形8．奔驰定理：已知O 是ABC ∆内的一点，BOC ∆、AOC ∆、AOB ∆的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．设O 为三角形ABC 内一点，且满足2332OA OB OC AB BC CA ++=++，则(AOB ABCSS ∆∆= )A ．12B ．25C ．13D ．16二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知()()()2,10,2(2,1)0,0A B C O ，，－，，则下列结论正确的是( ) A ．直线OC 与直线BA 平行 B ．AB →＋BC →＝CA → C ．OA OC OB += D ．AC →＝OB →－2OA →10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知503,150,30b c B ===，则边长a 的值为（ ） A．B．C．D ． 11．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且||1,||1,||3a b c ===，则||a b c ++=（ ） A ．1B ．2C ．4D ． 512．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若252cos cos22A C B −+=，且△ABC 2，则角B 不可能是（ ） A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π三、填空题：（共4小题，每题5分，共20分）已知平面向量a ＝，b ＝，且a ∥b ，则实数14. 已知(2,3),(4,3)A B −,点P 在线段AB 的延长线上，且3||||2AP PB =，则点P 的坐标是 ． 15．如图，设,Ox Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，12,e e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量.若向量12OP xe ye =+，则把有序实数对（x ,y ）叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标. 若1232a e e =+，则（1）||OP = ；（2）设122b te e =+，其中t R ∈，且,a b 的夹角为锐角，则t 的取值范围是 ．16．已知△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C =－－，若BC =3，则△ABC 周长的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分。

2021届福建省厦门市高考数学第三次质检试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，则能正确表示集合M={−1,0，1}和N={−1,1}关系的韦恩(Venn)图是()A. B. C. D.2.原命题：若双曲线方程是x2−y2=1，则其渐近线方程是y=±x.那么该原命题与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3.一等差数列的前n项和为210，其中前4项的和为40，后4项的和为80，则n的值为()A. 12B. 14C. 16D. 184.已知表面积为24π的球外接于三棱锥S−ABC，且∠BAC=π3，BC=4，则三棱锥S−ABC的体积最大值为()A. 8√23B. 16√23C. 163D. 3235.向量a⃗=(1,−√3)，若a⃗+b⃗ 在a⃗上的投影为1，则a⃗⋅b⃗ =()A. −2B. −1C. 1D. 26.已知以下列联表，且已知P(K2≥6.635)≈0.010，根据此列联表求得随机变量K2的观测值k≈16.373>6.635，那么以下说法正确的是()患心脏病患其它病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437A. 秃顶与患心脏病一定有关系B. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病有关系C. 我们有1%的把握认为秃顶与患心脏病有关系D. 在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为秃顶与患心脏病没有关系7.函数图象交点的横坐标所在区间是()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (1,5)8.已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于()A. 4B. 3C. 2D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优，据当地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图(一)与人均月收入绘制成如图(二)所示的不完整的条形统计图，现给出如下信息，其中正确的信息为()A. 10月份人均月收入增长率为2%B. 11月份人均月收入约为1442元C. 12月份人均月收入有所下降D. 从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，点E为底面ABCD的中心，点F为线段PA上的动点，则下列结论正确的是()A. AP⊥CDB. 存在点F ，使得CF ⊥PBC. 存在点F ，使得CF =2√23PBD. 存在点F ，使得直线CF 与直线PE 为异面直线11. 已知抛物线E ：x 2=4y 与圆C ：x 2+(y −1)2=16的公共点为A ，B ，点P 为圆C 的劣弧AB⏜上不同于A ，B 的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l 交抛物线E 于点N ，则下列四个命题中正确的是( )A. |AB|=2√3B. 点P 纵坐标的取值范围是(3,5]C. 点N 到圆心C 距离的最小值为1D. 若l 不经过原点，则△CPN 周长的取值范围是(8,10)12. 下列命题为真命题的是( )A. 若a >b >0，则1a <1b B. 若a >b >0，则ac 2>bc 2 C. 若aa <b <0，则1a <1bD. 若a <0<b ，则1a <1b三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=cox(ωx +π6)(ω>0)在区间[0,5π3]上的值域为[−1,√32]，则ω的取值范围为______． 14. 二项式(√x √x 3)5的展开式中常数项为______(用数字作答) 15. 设z −2i =1−i1+i ，则|z|=______．16. 已知函数f(x)={log a (x −2),x >3(5−a)x −3,x ≤3满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2>0成立，则实数a 的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在单调递增数列{a n }中，a 1=2，a 2=4，且a 2n−1，a 2n ，a 2n+1成等差数列，a 2n ，a 2n+1，a 2n+2成等比数列，n =1，2，3，…． (Ⅰ)(ⅰ)求证：数列{√a 2n }为等差数列； (ⅰ)求数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)设数列{1a n}的前n 项和为S n ，证明：S n >4n3(n+3)，n ∈N ∗．18. 在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且sin A =√1010，cos2B =35，(1)求A+B的值；(2)若b−a=2−√2，求a，b，c的值．19.已知AB是圆O的直径，且长为4，C是圆O上异于A，B的一点，点P到A，B，C的距离均为2√3.设二面角P−AC−B与二面角P−BC−A 的大小分别为α，β．(1)求1tan2α+1tan2β的值；(2)若tanβ=√3tanα，求二面角A−PC−B的余弦值．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆右顶点到直线x+y+√3=0的距离为√6，离心率e=√63(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知A为椭圆与y轴负半轴的交点，设直线l：y=x+m，是否存在实数m，使直线l与椭圆有两个不同的交点M、N，是|AM|=|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21.某校对学生的思想品德、学业成绩、社会实践能力进行综合评价，思想品德、学业成绩、社会实践能力评价指数分别记为x，y，z，每项评价指数都为1分、2分、3分、4分、5分五等，综合评价指标S=x+y+z，若S≥13，则该学生为优秀学生．现从该校学生中，随机抽取10名学生作为样本，分为A，B两组，其评价指数列表如下：A组学生编号A1A2A3A4A5评价指数(x,y，z)(3,4，3)(4,3，4)(4,4，2)(4,3，5)(4,5，4)B组学生编号B1B2B3B4B5评价指数(x,y，z)(3,5，3)(4,3，2)(5,4，4)(5,4，5)(4,5，3)(1)从A，B两组中各选一名学生，依次记为甲、乙，求乙的综合评价指标大于甲的综合评价指标的概率；(2)若该校共有1500名学生，估计该校有多少名优秀学生．22. 已知函数，．(1)若在上的最大值为，求实数的值；(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；。

福建省厦门第一中学2021-2022学年高一上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．B．C．D．x44415．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE V 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为.三、双空题16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫做图形C （注：不含AB 线段）．已知(1,0),(1,0)A B -，AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．①当一次函数y=x+b 的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，b 的取值范围为； ②已知平行四边形AMPQ （四个顶点A ，M ，P ，Q 按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C 上，且不都在两条射线上，则点M 的横坐标x 的取值范围为．四、解答题方案二：圆心O 1、O 2分别在CD 、AB 上，半径分别是O 1C 、O 2A ，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三： 沿对角线AC 将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆； 方案四：锯一块小矩形BCEF 拼到矩形AFED 下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．(1)写出方案一中圆的半径；(2)通过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？(3)在方案四中，设CE =x （0＜x ＜1），圆的半径为y ．①求y 关于x 的函数解析式；②当x 取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．21．已知：直角梯形OABC 中，BC ∥OA ，∠AOC =90°，以AB 为直径的圆M 交OC 于D ，E ，连结AD ，BD ，BE .(1)在不添加其他字母和线的前提下．．．．．．．．．．．．．．，直接．．写出图1中的两对相似三角形. (2)直角梯形OABC 中，以O 为坐标原点，A 在x 轴正半轴上建立直角坐标系（如图2）， 若抛物线223(0)y ax ax a a =--<经过点A ．B ．D ，且B 为抛物线的顶点.①求抛物线的解析式.②在x 轴下方的抛物线上是否存在这样的点P ：过点P 作PN ⊥x 轴于N ，使得△P AN 与△OAD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.22．如图，在矩形ABCD 中，46AB AD E ==，，是AD 边上的一个动点，将四边形BCDE 沿直线BE 折叠，得到四边形BC D E ''，连接AC AD ''，.。