2020年高三数学一模试卷_普陀区含答案

2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。

1,2上有解，则实数a 的取值范围是普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研考生注意：1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选 择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的 条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名、填空题（本大题共有 12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分211 •若抛物线ymx 的焦点坐标为（一,0），则实数m 的值为 .2n 1 n..3 2limR n313. 不等式 1的解集为 .x14. 已知i 为虚数单位，若复数 zmi 是实数，则实数 m 的值为 .1 i5. 设函数f （x ） log a （x 4）（ a 0且a 1），若其反函数的零点为 2，则a ___________ .1 6 26. （1 —）（1 x ）展开式中含x 项的系数为 _____________ （结果用数值表示）.x7. 各项都不为零的等差数列 a n （ n N *）满足a 2 2a *2 3內。

0,数列b n 是等比数列，且a *b 8,则 b 4b 9b 11 _ .2x 28. 设椭圆：-7 y 2 1 a 1 ,直线I 过 的左顶点A 交y 轴于点P ，交 于点Q ，若 AOP 是等腰a uur uuu三角形（O 为坐标原点），且PQ 2QA ，贝U 的长轴长等于 ______________ .9.记a,b,c,d,e, f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，贝Ua b c d e f 为偶数的排列的个数共有2019.122.10.已知函数f x x2+8x 15 ax2bx c a,b, c R是偶函数，若方程ax2 bx c 1在区间2,2上有解，则实数a的取值范围是611.设P 是边长为2、2的正六边形AA 2A 3A 4A 5A 6的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形umu uuur外接圆的一条动弦，则 PM PN 的取值范围为 ______________ .12. 若M 、N 两点分别在函数 y f x 与y g x 的图像上，且关于直线x 1对称，则称My f x 与y g x 的一对“伴点” (M 、N 与N 、M 视为相同的一对)•J2 x x 2已知 f x , --------------------- ， g x x a 1，若 y fx 与 y g x 存在两对"伴点'(4x4x2实数a 的取值范围为二、选择题(本大题共有 4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分•13. “ m 1,2 ”是 “ Inm 1 ” 成立的 ....................... ()(A)充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件14. 设集合Ax|x a 1 , B 1, 3,b ，若A? B ，则对应的实数对(a,b)有•••()(A) 1对B 2对C 3对D 4对15. 已知两个不同平面， 和三条不重合的直线 a , b , c ,则下列命题中正确的是……((A)若 a// , I b ，则 a//bB 若a , b 在平面 内，且c a , c b ，则cC 若a , b , c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与 a , b , c 都相交D 若，分别经过两异面直线 a , b ，且I c ,则c 必与a 或b 相交16. 若直线I : —y1经过第一象限内的点 P(1,1)，则ab 的最大值为……()2b a a ba b(A)7B 4 2,2C 5 2.3D 6 3 2，则、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内6某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地 形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路 OA 和道路OB 上，且OA=60米，AOB=60，设 POB .(1)求停车场面积 S 关于 的函数关系式，并指出的取值范围；写出必要的步骤17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图所示的三棱锥 P ABC 的三条棱PA , AB , AC 两两互相垂直，AB AC2PA 2,点D 在棱AC 上，且uuur UULTAD = AC (0).(1)当=1 时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小；(2)当三棱锥D PBC 的体积为-时，求 的值.918.(本题满分14分)本题共有 2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分设函数2X a(1)当a4时，解不等式f x 5 ； (2)若函数x 在区间2,+上是增函数，求实数 a 的取值范围19.(本题满分14分)本题共有 2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分AOB 进行改建•如图所示，平行四边2P2（2）当 为何值时，停车场面积 S 最大，并求出最大值（精确到 0.1平方米）20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知双曲线 X 2 y 2 :—2 1(a 0,b 0)的焦距为4，直线l : x my 4 ° ( m R )与交」两a b个不同的点D 、E ，且m 0时直线l 与 的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形（1）求双曲线 的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数 m 的取值范围；（3）设A 、B 分别是 的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线 BD 于点P ，交直线AD 于点Q ， 求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.数列a n 与b n 满足3 a ，b na n 1a n ， S n 是数列a n 的前n 项和（n N ）.1（1） 设数列 b n 是首项和公比都为 -的等比数列，且数列a n 也是等比数列，求 a 的值；3（2） 设b n 1 b n 2 1，若a 3且a .对n N 恒成立，求a ?的取值范围；S 2 *（3） 设 a 4，b n 2，C n nn （ nN , 2），若存在整数 k ，l ，且 k l 1，使得 C k G成立，求 的所有可能值说明：利用空间向量求解请相应评分即Ox 2，则所求的不等式的解为(0,2).(2)任取2 X 1 X 2，因为函数f(x) 2x 2 x a 在区间2,+ 上单调递增, 所以f(xd f (x 2) 0在2,+ 上恒成立,1 2 3 45 6 2 3 (0,1) 1 22 9 7 r 89 10 :11 12 丁 82亦4321 1 8 36 4屈,8+8血3 2^2,1+2721314 15 16 ADDB117.( 1)当 二一时，AD DC ，取棱AB 的中点E ,连接ED 、EP ，2则ED//BC ，即 PDE 是异面直线PD 与BC 所成角或其补角， ................. 2分又PA , AB , AC 两两互相垂直，则 PD DE EP 1,即 PDE 是正三角形，则异面直线PD 与BC 所成角的大小为-3(2)因为 所以ABPA , AB , AC 两两互相垂直, 平面PAC ,则 V D PBC V B PDC3 AB S PDC-PA DC 21DC即DCUULT 又AD = 3uur AC0), AC 2 ,18. (1)当a 4时，由2x5 得 2x 4 2 x 5 0,2x, 2则 t 2 5t 4 0,普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准(参考)一、填空题、选择题三、解答题分C则 2X1 2 "a 2X2 +2 X2a 0恒成立, 即 ON 40、3S in (60o) , PN=40、.3si n , ......................... 4 分则停车场面积 S ON PN sin ONP 2400.3 sin sin(60o ),即 S 2400 .,3sin sin(60o )，其中 0o60o . ................... 6 分(2)由(1)得 S 2400、「3sin sin(60。

2020届上海市普陀区高考一模数学试题一、单选题1．“{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论． 【详解】解：1lnm <Q ，0m e ∴<< {1Q ，2}(0,)e Ü，∴“{}1,2m ∈”是“1lnm <”成立的充分非必要条件，故选：A ． 【点睛】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．2．设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对【答案】D【解析】先解出A ，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对． 【详解】解：因为集合{|||1}A x x a =-=， 所以{1A a =-，1}a +， 因为{1B =，3-，}b ，A B ⊆，所以11a -=，或13a -=-，或1a b -=，①当11a -=时，即2a =，{1A =，3}，此时可知{1B =，3-，3}，成立，即2a =，3b =；②当13a -=-时，即2a =-，{3A =-，1}-，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即2a =-，1b =-；③当1a b -=时，则11a +=或3:-当11a +=时，即0a =，{1A =-，1}，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即0a =，当13a +=-时，即4a =-，{5A =-，3}-，此时可知{1B =，3-，5}-，成立，即4a =-，5b =-；综上所述：2a =，3b =，或2a =-，1b =-，或0a =，1b =-，或4a =-，5b =-，共4对． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．3．已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//a α，b αβ=I ，则//a bB ．若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥C ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交 【答案】D【解析】直接利用定义和判定定理的应用求出结果． 【详解】解：对于选项A ：若//a α，b αβ=I ，则直线a 也可能与直线b 异面，故错误． 对于选项B ：只有直线a 和b 为相交直线时，若c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥．故错误 对于选项C ：若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a ，b ，c 都相交．故错误对于选项D ：若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交，正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：立体几何中的定义和判定的定理的应用，主要考查学生对定义的理解能力，属于基础题． 4．若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为（ ）A ．76B ．4-C ．5-D ．6-【解析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b b a b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0b t a=>，21()121t g t t t=+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得． 【详解】解：直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+． 令0bt a=>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++ 22214231t tt t ++=++ 21231tt t =+++11312t t=+++．因为12333t t ++≥=+12t t =即t =时取最小值；1141213t t∴+≤=-++即()max 4g t g ==-⎝⎭故选：B ． 【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题5．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为________. 【答案】2【解析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m 的值． 【详解】解：由抛物线方程得：焦点坐标,04m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴142m =，2m ∴=，故答案为：2． 【点睛】本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题．6．132lim 31n nn n +→∞+=+________.【答案】3【解析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可． 【详解】解：123()32303lim lim 3131101()3nn nn n n n +→∞→∞+++===+++． 故答案为：3． 【点睛】本题考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题． 7．不等式11x>的解集是 【答案】(0,1)【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式来求解. 【详解】 依题意110x->，()1010xx x x ->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 8．设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】将z 化简为x yi +的形式，根据z 为实数，求得a 的值. 【详解】 依题意()()11111112222i z ai i ai a i i i -⎛⎫=+=-+=+- ⎪+-⎝⎭，由于z 为实数，故110,22a a -==. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数为实数的条件，属于基础题.9．设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 【答案】2【解析】根据反函数的性质可得，函数()f x 过(0,2)代入求出即可． 【详解】解：函数()log (4)(0a f x x a =+>且1)a ≠，若其反函数的零点为2， 即函数()f x 过(0,2)，代入2log (04)a =+，24a ∴=解得2(0)a a =>， 故答案为：2． 【点睛】考查函数与反函数的关系，对数的运算，属于基础题． 10．631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 【答案】9【解析】求出6(1)x -展开式中的常数项和含2x 项，利用多项式乘多项式得答案． 【详解】 解：6663311(1)(1)(1)(1)x x x x x+-=-+-Q 二项式6(1)x -的展开式中，通项公式为166()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-g g g ， 分别取2r =，5，可得631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为：225566(1)(1)9C C -+-=g g ．故答案为：9． 【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，属于基础题．11．各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =________. 【答案】8【解析】由已知等式结合等差数列的通项公式求得8a ，再由等比数列的通项公式结合88a b =求解4911b b b 的值．【详解】解：各项均不为0的等差数列{}n a 满足22810230a a a -+=， ∴21112(7)3(9)0a d a d a d +-+++=，化为：1872a d a +==， Q 数列{}n b 是等比数列，且882b a ==，3491188b b b b ∴==． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设椭圆Γ：()22211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =uu u r uu r，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】如图所示，设0(Q x ，0)y ．由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ．根据2PQ QA =uu u r uu r，可得0x ，0y ．代入椭圆Γ方程解得a ，即可得出． 【详解】解：如图所示，设0(Q x ，0)y ，由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ．Q 2PQ QA =uu u r uu r，0(x ∴，00)2(y a a x -=--，0)y -，023a x ∴=-，03ay =．代入椭圆Γ方程可得：24199a +=，解得5a =． ∴Γ的长轴长25=．故答案为：25．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________. 【答案】432【解析】若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”，即()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有66A 种，进而可得所求．【详解】解：根据题意，a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有66720A =个排列，若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”，()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，有634221288⨯⨯⨯⨯⨯=，故则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有720288432-=． 故答案为：432． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．14．已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1183⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，根据方程的根与系数关系可求得a ，b ，c 的关系，然后结合二次函数的性质可求a 的范围．【详解】解：22()(815)()f x x x ax bx c =++++Q 是偶函数，图象关于y 轴对称， 令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，815b aca ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴158c a b a =⎧⎨=-⎩， 由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=，[]1,2x ∈Q 时，[]28153,8x x -+∈，2111,81583a x x ⎡⎤∴=∈⎢⎥-+⎣⎦故答案为：11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．15．设P是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.【答案】6⎡-⎣【解析】关键把PM PN u u u u r u u u rg 转化为含定值的形式，取MN 的中点，再由Q 的轨迹，可求得PQ uuu r的最大值与最小值，进而可求得取值范围．【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O ，正六边形123456A A A A A A 的边长为22，所以半径为22，设MN 的中点为Q ，则2()()()PM PN PQ QM PQ QN PQ PQ QM QN QM QN =++=+++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g g g ，因为QM u u u u r 与QN uuu r 为相反向量，所以()0PQ QM QN +=u u u r u u u u r u u u r g ，4QM QN =-u u u u r u u u rg， 所以24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g ，因为()22||2222OQ =-=，所以Q 在以O 为圆心，以2为半径的圆上，||22max PQ =，||62min PQ =，24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g 的最大值为882+642-所以PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围为642,882⎡-+⎣． 故答案为：642,882⎡-+⎣【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．16．若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）.已知()()())222442x x f x x x ⎧--<=⎨--≥⎪⎩，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为________.【答案】(3221+22-，【解析】求出()f x 关于直线1x =的对称图象所对应的函数解析式()h x ，画出图形，再由函数图象的平移结合新定义求解实数a 的取值范围．【详解】解：设曲线()y f x =关于1x =的对称图象上的点为(,)x y ，(,)x y 关于1x =的对称点为(,)x y ''，则2x x '=-，y y '=，代入22(2)()4(4)(2)x x f x x x ⎧--<⎪=⎨--⎪⎩…，得2(0)()4(2)(0)x x h x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩„．作出函数2(0)()4(2)(0)x x h x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩„的图象如图，函数()||1g x x a =++的图象是把||1y x =+向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位得到的．由图可知，要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，需要把()||1g x x a =++向左平移．则0a >，设直线()1y x a =-++，即10x y a ++-=， 由圆心(2,0)-到直线的距离为2，22=，解得322a =-322a =+（舍)；设直线()1y x a =++，即10x y a -++=， 由圆心(2,0)-到直线的距离为2，22=，解得122a =+122a =-（舍)．∴要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为(3221+22-，故答案为：(3222-，【点睛】本题主要考查对新定义函数的图象和性质应用，考查数形结合和转化的数学思想，属于中档题．三、解答题17．如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值. 【答案】（1）3PDE π∠=（2）23λ=【解析】（1）作//DE CB ，交AB 于E ，连结PE ，则异面直线PD 与BC 所成角为PDE ∠，由此能求出当12λ=时，异面直线PD 与BC 所成角的大小． （2）由13D PBC P DBC DBC V V S h --∆==⨯⨯，能求出结果．【详解】 解：（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角， 又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则2PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=.则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直，PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =I所以AB ⊥平面PAC ,则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18．设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(0,2) （2）[16,)-+∞【解析】（1）直接利用换元法的应用求出不等式的解集．（2）利用函数的单调性的证明过程，设任取122x x ≤<．所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立，则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，参变分离即可求解.【详解】（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<， 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).（2）任取122x x ≤<，因为函数()22x xf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增， 所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， 则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x xa +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，又12x x <，则1222x x <，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立， 又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞. 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，换元法的应用，函数的性质单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60∠︒AOB ，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）. 【答案】（1）24003sin(60)S θθ=-o ， 060θ<<o o （2）当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米【解析】（1）由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； （2）化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 【详解】解：（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o ,60OPN θ∠=-o , 则sin sin sin ON OP PNOPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-o o， 即3)ON θ=-o ，=403PN θ，则停车场面积sin 3sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o ，即sin(60)S θθ=-o ，其中060θ<<o o .（2）由（1）得1sin(60)(cos sin )22S θθθθθ=-=-o ，即23600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-则30)S θ=+-o 因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o ，则23090θ+=o o 时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米. 【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．20．已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围； （3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【答案】（1）2213x y -=（2）((33-U （3）证明见解析【解析】（1）求得双曲线的2c =，由等边三角形的性质可得a ，b 的方程，结合a ，b ，c 的关系求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，联立直线40x my --=和2233x y -=，应用韦达定理和弦长公式，设DE 的中点为F ，求得F 的坐标，由题意可得1||||2OF DE <，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得A ，B 的坐标和P 的坐标，求得BD 的垂直平分线方程和AD 的方程，联立解得Q 的坐标，求出||P Q x x -，即可得证． 【详解】解：（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o ，又焦距为4，则224a b +=，解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， 又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， 即223503m m -<-，则m <<m <<，即实数m的取值范围((33-U . （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD的中点，则点00(,)22x y P ， 直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥， 则直线PQ的方程为002y y x -=，即20000322x y y x y -=++， 又直线AD的方程为y x =+，联立方程200000322x x y y x y y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又220013x y =-， 代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=，即1(3x x -+=，则x =， 即点Q则4p q x x -==. 故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. 【点睛】本题考查双曲线的方程和应用，考查直线方程和双曲线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及直线方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．21．数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）. （1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值；（2）设121nn n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n nS C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k l C C =成立，求λ的所有可能值.【答案】（1）14（2）281a -≤≤- （3）1-和2-【解析】（1）直接利用等比数列的定义和等比中项的应用求出结果． （2）利用累加法和恒成立问题的应用和赋值法的应用求出结果． （3）利用存在性问题的应用和赋值法的应用求出结果． 【详解】解：（1） 由条件得1()3nn b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-， 则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ，则322113a a q a a -==--，又11(1)3a q -=-，则114a =.当114a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n n n n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意， 故所求的a 的值为14.（2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ，又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--，即224n n b n a =-+-. 由1210nn n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-.（3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n nS n n C λλ+++==. 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=， 当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾.又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=. 当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<，即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522kk k λλ+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-； 当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-. 【点睛】本题考查的知识要点：递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，累加法的应用，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。

2020年上海市普陀区高三一模数学试卷(含答案)(精校Word版)2020年上海市普陀区高三一模数学试卷（含答案）考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2.本考试分试卷和答题纸。

试卷包括试题与答题要求。

作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）1.若抛物线 $y^2=mx$ 的焦点坐标为$(0,0)$，则实数$m$的值为$\underline{\hspace{2cm}}$。

2.$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n+1+2n}{n+1}>1$的解集为$\underline{\hspace{2cm}}$。

3.不等式$\underline{\hspace{2cm}}$。

4.已知$i$为虚数单位，若复数$z=\frac{1+i}{1+mi}$是实数，则实数$m$的值为$\underline{\hspace{2cm}}$。

5.设函数$f(x)=\log_a(x+4)$（$a$为正实数且$a\neq1$），若其反函数的零点为2，则$a=$ $\underline{\hspace{2cm}}$。

6.$(1+\frac{1}{x})(1-x)^6$展开式中含$x^2$项的系数为$\underline{\hspace{2cm}}$（结果用数值表示）。

7.各项都不为零的等比数列$\{a_n\}$（$n\in\mathbb{N}$）满足$a_2-2a_8+3a_{10}=0$，数列$\{b_n\}$是等比数列，且$a_8=b_8$，则$b_4b_9b_{11}=$ $\underline{\hspace{2cm}}$。

8.设椭圆$\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>1$），直线$l$过$\Gamma$的左顶点$A$交$y$轴于点$P$，交$\Gamma$于点$Q$，若$\triangle AOP$是等腰三角形（$O$为坐标原点），且$PQ=2QA$，则$\Gamma$的长轴长等于$\underline{\hspace{2cm}}$。

上海市普陀区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= ． 2．（4分）若，则= ．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ．5．（4分）不等式的解集为 ．6．（4分）函数的值域为 ．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 象限．8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 ．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 ．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 ．12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点； 则其中所有真命题的序号为 ．祝您高考马到成功！二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 216．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点． （1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．祝您高考马到成功！18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式； （2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．祝您高考马到成功！20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程；（2）当时，求△F 1MN 的面积；（3）当时，求直线F 2N 的方程．21．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．祝您高考马到成功！上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5}，若集合A={3，4，5}，则∁U A= {1，2} ．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}， 集合A={3，4，5}， ∴∁U A={1，2}． 故答案为：{1，2}．2．（4分）若，则=．【解答】解：，∴=．故答案为：．3．（4分）方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212的解x= ﹣1 ．【解答】解：∵方程log 2（2﹣x ）+log 2（3﹣x ）=log 212，∴，即，解得x=﹣1．故答案为：﹣1．4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为 ﹣84 ．【解答】解：二项展开式的通项=，祝您高考马到成功！由，得r=3．∴的二项展开式中的常数项为．故答案为：﹣84．5．（4分）不等式的解集为 [0，1）∪（1，2] ．【解答】解：由题意得：，解得：0≤x ＜1或1＜x ≤2，故答案为：[0，1）∪（1，2]．6．（4分）函数的值域为 [﹣1，3] ． 【解答】解：∵=sinx +cosx +1=2sin （x +）+1，∵sin （x +）∈[﹣1，1]，∴f （x ）=2sin （x +）+1∈[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．7．（5分）已知i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数，若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第 一 象限．【解答】解：，设z=a +bi ，则z ×2i ﹣（1+i ）=0，即（a +bi ）×2i ﹣1﹣i=0，则2ai ﹣2b ﹣1﹣i=0，∴﹣2b ﹣1+（2a ﹣1）i=0，则，则，∴z=﹣i ，则=+i ，∴则在复平面内所对应的点位于第一象限， 故答案为：一．祝您高考马到成功！8．（5分）若数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），则= ﹣2 ．【解答】解：数列{a n }的前n 项和（n ∈N *），可得n=1时，a 1=S 1=﹣3+2+1=0；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣3n 2+2n +1+3（n ﹣1）2﹣2n +2﹣1=﹣6n +5，则==（﹣2+）=﹣2+0=﹣2．故答案为：﹣2．9．（5分）若直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则x 1y 2+x 2y 1的值为 16 ．【解答】解：直线l ：x +y=5与曲线C ：x 2+y 2=16交于两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则：，所以：2x 2﹣10x +9=0， 则：x 1+x 2=5，，则：x 1y 2+x 2y 1=x 1（5﹣x 2）+x 2（5﹣x 1），=5（x 1+x 2）﹣2x 1x 2，=25﹣9， =16．故答案为：16．10．（5分）设a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列，若至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 15 ． 【解答】解：根据题意，a 1、a 2、a 3、a 4是1，2，3，4的一个排列， 则所有的排列有A 44=24个，假设不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立，则a 1可以在第2、3、4位置，有3种情况，祝您高考马到成功！假设a 1在第二个位置，则a 1可以在第1、3、4位置，也有3种情况， 此时a 3、a 4只有1种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况，则不存在i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立的情况有3×3=9种， 则至少有一个i （i=1，2，3，4）使得a i =i 成立排列数有24﹣9=15个； 故答案为：15．11．（5分）已知正三角形ABC 的边长为，点M 是△ABC 所在平面内的任一动点，若，则的取值范围为 [0，6] ．【解答】解：以A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A （0，0），B （，0），C （，），∵，不妨设M （cosθ，sinθ）， ∴++=（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）+（﹣cosθ，﹣sinθ）=（﹣3cosθ，﹣3sinθ）， ∴|++|2=（﹣3cosθ）2+（﹣3sinθ）2=9（2﹣cosθ﹣sinθ）=18﹣18sin （θ+），∵﹣1≤sin （θ+）≤1，∴0≤18﹣18sin （θ+）≤36，∴的取值范围为[0，6]，故答案为：[0，6]祝您高考马到成功！12．（5分）双曲线绕坐标原点O 旋转适当角度可以成为函数f （x ）的图象，关于此函数f （x ）有如下四个命题： ①f （x ）是奇函数； ②f （x ）的图象过点或； ③f （x ）的值域是；④函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；则其中所有真命题的序号为 ①② ． 【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数f （x ）的图象关于原点对称， 即有f （x ）为奇函数，故①对； 由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x ，可得f （x ）的图象的渐近线为x=0和y=±x ，图象关于直线y=x 对称，可得f （x ）的图象过点，或，由对称性可得f （x ）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限； 按顺时针旋转60°位于二四象限；故②对；祝您高考马到成功！f （x ）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限， 由图象可得顶点为点，或，不是极值点，则f （x ）的值域不是；f （x ）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限， 由对称性可得f （x ）的值域也不是．故③不对；当f （x ）的图象位于一三象限时，f （x ）的图象与直线y=x 有两个交点， 函数y=f （x ）﹣x 有两个零点；当f （x ）的图象位于二四象限时，f （x ）的图象与直线y=x 没有交点，函数y=f （x ）﹣x 没有零点．故④错．故答案为：①②．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）若数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，则矩阵所表示方程组的解的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．不确定 【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为，又由数列{a n }（n ∈N *）是等比数列，祝您高考马到成功！则有===，则方程组的解有无数个；故选：C ．14．（5分）“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【解答】解：∵m ＞0，∴函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |，∵f （0）=0，∴f （x ）在区间（0，+∞）上为增函数”；∵函数f （x ）=|x （mx +2）|=|mx 2+2x |在区间（0，+∞）上为增函数，f （0）=0，∴m ∈R ，∴“m ＞0”是“函数f （x ）=|x （mx +2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件． 故选：A ．15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm ）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（ ）A ．258cm 2B ．414cm 2C ．416cm 2D ．418cm 2 【解答】解：设长方体的三条棱分别为a ，b ，c ，则长方体的表面积S=2（ab +bc +ac ）≤（a +b ）2+（b +c ）2+（a +c ）2， 当且仅当a=b=c 时上式“=”成立． 由题意可知，a ，b ，c 不可能相等，故考虑当a ，b ，c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，祝您高考马到成功！用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm 2）． 故选：C ．16．（5分）定义在R 上的函数f （x ）满足，且f （x ﹣1）=f （x +1），则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8【解答】解：∵函数，且f （x ﹣1）=f （x +1），函数的周期为2，函数，的零点，就是y=f （x ）与y=图象的交点的横坐标，∴y=f （x ）关于点（0，3）中心对称，将函数两次向右平移2个单位，得到函数y=f （x ）在[﹣1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图），去掉端点后关于（2，3）中心对称． 又∵y==3+关于（2，3）中心对称，故方程f （x ）=g （x ）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f （x ）和y=g （x ）的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x 1，x 2，x 3，其中x 1和x 3关于（2，3）中心对称，祝您高考马到成功！∴x 1+x 3=4，x 2=1， 故x 1+x 2+x 3=5． 故选：B ．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点． （1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小．【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，∴，解得PO=，∴PA==2， ∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π．（2）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2，点C 是弧的中点，点D 是母线PA 的中点．∴PO ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，∴以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴， 建立空间直角坐标系， 则A （0，﹣1，0），P （0，0，），D （0，﹣，），B （0，1，0），C （1，0，0）， =（0，1，﹣），=（﹣1，﹣，），祝您高考马到成功！设异面直线PB 与CD 所成角为θ， 则cosθ===，∴θ=．∴异面直线PB 与CD 所成角为．18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p （x ）=+x +150万元．（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？祝您高考马到成功！【解答】解：（1）由总成本p （x ）=+x +150万元，可得 每台机器人的平均成本y==2．当且仅当，即x=300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q （m ）=，当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m （60﹣m ）=﹣160m 2+9600m ，∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000． 当m ＞30时，日平均分拣量为480×300=144000． ∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少=75%．19．（14分）设函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点，当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．（1）求函数y=f （x ）的解析式；祝您高考马到成功！（2）已知△ABC 面积为，角C 所对的边，，求△ABC 的周长．【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，则：φ=﹣，点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是函数f （x ）图象上的任意两点， 当|f （x 1）﹣f （x 2）|=2时，|x 1﹣x 2|的最小值是．则：T=π， 所以：ω=，所以：； （2）由于：=sin （）=，且0＜C ＜π， 解得：C=，△ABC 面积为， 所以：，解得：ab=20．由于：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，c=2，所以：20=（a +b ）2﹣3ab ，解得：a +b=4，所以：．20．（16分）设点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，且椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且向量与向量平行．（1）求椭圆C 的方程； （2）当时，求△F 1MN 的面积；祝您高考马到成功！（3）当时，求直线F 2N 的方程．【解答】解：（1）点F 1、F 2分别是椭圆（t ＞0）的左、右焦点，∴a=t ，c=t ，∵椭圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为，∴a ﹣c=t ﹣t=2﹣2，解得t=2， ∴椭圆的方程为+=1，（2）由（1）可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0）， 点M 、N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点， 可设N （2cosθ，2sinθ）， ∴=（2cosθ+2，2sinθ），=（2cosθ﹣2，2sinθ），∵， ∴（2cosθ+2）（2cosθ﹣2）+4sin 2θ=0，解得cosθ=0，sinθ=1， ∴N （0，2）， ∴=（﹣2，2）， ∴k==﹣1， ∵向量与向量平行，∴直线F 1M 的斜率为﹣1， ∴直线方程为y=﹣x ﹣2， 联立方程组，解得x=0，y=﹣2（舍去），或x=﹣，y=，∴M （﹣，）， ∴|F 1M |==，祝您高考马到成功！点N 到直线直线y=﹣x ﹣2的距离为d==2， ∴△F 1MN 的面积=|F 1M |•d=××2=，（3）∵向量与向量平行，∴λ=，∴，∴（λ﹣1）||=，即λ＞1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， ∴λ（x 1+2）=x 2﹣2，y 2=λy 1， ∴x 2=λx 1+2（λ+1） ∵+=1，∴x 22+2y 22=8，∴[λx 1+2（λ+1）]2+2λ2y 12=12λ2+8λ+4+4λ（λ+1）x 1=8，∴4λ（λ+1）x 1=（1﹣3λ）（λ+1）， ∴x 1==﹣3，∴y 12=4﹣， ∴||2=（x 1+2）2+y 12=（﹣3+2）2+4﹣=，∴||=，∴（λ﹣1）•=，∴λ2﹣2λ﹣1=0 解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）∴x 1=﹣3=﹣3=﹣1﹣，∴y 12=4﹣=2﹣==，祝您高考马到成功！∴y 1=，∴k ==﹣，∴直线F 2N 的方程为y ﹣0=﹣（x ﹣2），即为x +y ﹣2=021．（18分）设d 为等差数列{a n }的公差，数列{b n }的前n 项和T n ，满足（n ∈N *），且d=a 5=b 2，若实数m ∈P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3），则称m 具有性质P k ．（1）请判断b 1、b 2是否具有性质P 6，并说明理由；（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列，求证：对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，求所有满足条件的k 的值．【解答】解：（1）（n ∈N *），可得n=1时，T 1+=﹣b 1=﹣T 1， 解得b 1=﹣，T 2+=b 2=﹣+b 2+=b 2，T 3+=﹣b 3=﹣+b 2+b 3+，即b 2+2b 3=，T 4+=b 4=﹣+b 2+b 3+b 4+，即b 2+b 3=，解得b 2=，b 3=﹣，同理可得b 4=，b 5=﹣，b 6=，b 7=﹣， …，b 2n ﹣1=﹣，d=a 5=b 2，可得d=a 1+4d=，祝您高考马到成功！解得a 1=﹣，d=，a n =，P 6={x |a 4＜x ＜a 9}（k ∈N *，k ≥3）={x |0＜x ＜}， 则b 1不具有性质P 6，b 2具有性质P 6；（2）证明：设S n 为数列{a n }的前n 项和，若{S n ﹣2λa n }是单调递增数列， 可得S n +1﹣2λa n +1≥S n ﹣2λa n ， 即为≥，化为4λ+6≤2n 对n 为一切自然数成立， 即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1，又P k ={x |a k ﹣2＜x ＜a k +3}（k ∈N *，k ≥3）， 且a 1=﹣，d ＞0，可得P k 中的元素大于﹣1，则对任意的k （k ∈N *，k ≥3），实数λ都不具有性质P k ；（3）设H n 是数列{T n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *，H 2n ﹣1都具有性质P k ，由于H 1=T 1=b 1=﹣，H 3=T 1+T 2+T 3=﹣，H 5=T 1+T 2+T 3+T 4+T 5=﹣，H 7=﹣+0﹣=﹣，…，H 2n ﹣1=H 2n ﹣3+b 2n ﹣1，（n ≥2），当k=3时，P 3={x |a 1＜x ＜a 6}={x |﹣＜x ＜}， 当k=4时，P 4={x |a 2＜x ＜a 7}={x |﹣＜x ＜}，当k=5时，P 5={x |a 3＜x ＜a 8}={x |﹣＜x ＜1}， 当k=6时，P 3={x |a 4＜x ＜a 9}={x |0＜x ＜}， 显然k=5，6不成立，故所有满足条件的k 的值为3，4．祝您高考马到成功！。

1普陀区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2020.12.16考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.若集合{01},{(1)(2)0,R},A xx B x x x x =<≤=−−≤∈∣∣则 A B ⋃=_______;【答案】(]0,2【解析】(]0,1A =,[]1,2B =,则(]0,2A B ⋃=2.函数2(0)y x x =≥的反函数为_______;【答案】())10f x x −=≥【解析】2y x x y =→=→=第一步，())10f x x −∴=≥3.若2παπ<<且1cos ,3α=−则tan α=_______;【答案】【解析】1cos 3α=−代入到22sin cos 1αα+=当中，解得28sin 9α=,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 3α∴=，求得sin tan cos ααα==4.设无穷等比数列{}n a 的各项和为2,若该数列的公比为1,2则3a =_______; 【答案】14【解析】由题意得，11112211112a a a a q ===⇒=−−，23114a a q ∴=⋅= 5.在81x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的二项展开式中4x 项的系数为_______;【答案】28【解析】81x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭二项展开式是()88218811rr r r r r r T C x C x x −−+⎛⎫=⋅−=⋅− ⎪⎝⎭杨浦数学教研团队2令2r =，求得()224438128T C x x =−=6.若正方体的棱长为1，则该正方体的外接球的体积为_______;【答案】2【解析】=∴球的半径为2R =3344=3322V R ππ⎛⎫∴⋅⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭球 7.若圆C 以椭圆2211612x y +=的右焦点为圆心，长半轴为半径，则圆C 的方程为_______;【答案】()22216x y −+=【解析】由题意得，椭圆的右焦点为()2,0F ，半长轴为4a = 圆的方程为()22216x y −+=8.一个袋中装有同样大小质量的10 球，其中2个红色、三个蓝色、5个黑色。

2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题【题干序号】1若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】2【解析】由抛物线方程得：焦点坐标,04m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴142m =，2m ∴=，故答案为：2．【题干序号】2132lim 31n n n n +→∞+=+________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】3【解析】解：123()32303lim lim 3131101()3n n nn n n n +→∞→∞+++===+++． 故答案为：3．【题干序号】3 不等式11x>的解集是【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】(0,1) 【解析】依题意110x ->，()1010x x x x->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1.【题干序号】4 设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a =【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】12【解析】依题意()()11111112222i z ai i ai a i i i -⎛⎫=+=-+=+- ⎪+-⎝⎭，由于z 为实数，故110,22a a -==.【题干序号】5设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】2【解析】解：函数()log (4)(0a f x x a =+>且1)a ≠，若其反函数的零点为2， 即函数()f x 过(0,2)，代入2log (04)a =+，24a ∴=解得2(0)a a =>， 故答案为：2．【题干序号】6631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】9 【解析】6663311(1)(1)(1)(1)x x x x x+-=-+-Q 二项式6(1)x -的展开式中，通项公式为166()(1)r r rr r r T C x C x +=-=-gg g ， 分别取2r =，5，可得631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为：225566(1)(1)9C C -+-=g g ． 故答案为：9．【题干序号】7各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】8【解析】各项均不为0的等差数列{}n a 满足22810230a a a -+=， ∴21112(7)3(9)0a d a d a d +-+++=，化为：1872a d a +==，Q 数列{}n b 是等比数列，且882b a ==，3491188b b b b ∴==．故答案为：8．【题干序号】8设椭圆Γ：()22211x y a a+=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =uu u r uu r，则Γ的长轴长等于_________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题【答案】【解析】如图所示，设0(Q x ，0)y ，由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ． Q 2PQ QA =uu u r uu r ，0(x ∴，00)2(y a a x -=--，0)y -，023a x ∴=-，03ay =．代入椭圆Γ方程可得：24199a +=，解得a =∴Γ的长轴长=．故答案为：【题干序号】9记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】432【解析】解：根据题意，a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有66720A =个排列，若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”， ()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，有634221288⨯⨯⨯⨯⨯=， 故则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有720288432-=． 故答案为：432．【题干序号】10已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】1183⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】22()(815)()f x x x ax bx c =++++Q 是偶函数，图象关于y 轴对称， 令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，815b ac a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴158c a b a =⎧⎨=-⎩， 由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=， []1,2x ∈Q 时，[]28153,8x x -+∈，2111,81583a x x ⎡⎤∴=∈⎢⎥-+⎣⎦故答案为：11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【题干序号】11设P是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】6⎡-⎣【解析】设正六边形外接圆的圆心为O ，正六边形123456A A A A A A的边长为所以半径为设MN 的中点为Q ，则2()()()PM PN PQ QM PQ QN PQ PQ QM QN QM QN =++=+++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g g g ，因为QM u u u u r 与QN uuu r 为相反向量，所以()0PQ QM QN +=u u u r u u u u r u u u r g ，4QM QN =-u u u u r u u u rg， 所以24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g ，因为||2OQ ==，所以Q 在以O 为圆心，以2为半径的圆上，||2max PQ=，||2min PQ =， 24PM PN PQ =-u u u u r u u u rg 的最大值为8+6-所以PM PN u u u u r u u urg的取值范围为6⎡-+⎣．故答案为：6⎡-+⎣【题干序号】12若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）.已知()())22x f x x ⎧<=≥，()1g xx a =++，若2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为________.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】(3- 【解析】设曲线()y f x =关于1x =的对称图象上的点为(,)x y ，(,)x y 关于1x =的对称点为(,)x y ''，则2x x '=-，y y '=，代入2)()2)x f x x ⎧<⎪=…，得0)()0)x h x x ⎧>⎪=„．作出函数0)()0)x h x x ⎧>⎪=„的图象如图，函数()||1g x x a =++的图象是把||1y x =+向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位得到的．由图可知，要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，需要把()||1g x x a =++向左平移．则0a >，设直线()1y x a =-++，即10x y a ++-=，由圆心(2,0)-到直线的距离为22=，解得3a =-3a =+)；设直线()1y x a =++，即10x y a -++=，由圆心(2,0)-到直线的距离为22=，解得1a =+1a =-（舍)．∴要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a的取值范围为(3-故答案为：(3-【题干序号】13“{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】A【解析】解：1lnm <Q ，0m e ∴<< {1Q ，2}(0,)e Ü，∴“{}1,2m ∈”是“1lnm <”成立的充分非必要条件，故选：A ．【题干序号】14设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】D【解析】因为集合{|||1}A x x a =-=， 所以{1A a =-，1}a +，因为{1B =，3-，}b ，A B ⊆，所以11a -=，或13a -=-，或1a b -=，①当11a -=时，即2a =，{1A =，3}，此时可知{1B =，3-，3}，成立，即2a =，3b =；②当13a -=-时，即2a =-，{3A =-，1}-，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即2a =-，1b =-；③当1a b -=时，则11a +=或3:-当11a +=时，即0a =，{1A =-，1}，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即0a =，1b =-；当13a +=-时，即4a =-，{5A =-，3}-，此时可知{1B =，3-，5}-，成立，即4a =-，5b =-；综上所述：2a =，3b =，或2a =-，1b =-，或0a =，1b =-，或4a =-，5b =-，共4对． 故选：D ．【题干序号】15已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//a α，b αβ=I ，则//a bB ．若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥C ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】D【解析】对于选项A ：若//a α，b αβ=I ，则直线a 也可能与直线b 异面，故错误．对于选项B ：只有直线a 和b 为相交直线时，若c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥．故错误 对于选项C ：若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a ，b ，c 都相交．故错误对于选项D ：若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交，正确．2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题故选：D ．【题干序号】16 若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为（ ） A ．76B．4-C．5-D．6-【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】B【解析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b ， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121b b a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+． 令0bt a =>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++ 22214231t t t t ++=++21231t t t =+++11312t t=+++．因为12333t t ++≥=+12t t =即t =时取最小值；1141213t t∴+≤=-++即()max 42g t g ==-⎝⎭故选：B ．【题干序号】17如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】（1）3PDE π∠=（2）23λ=【解析】（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角，又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=.则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直，PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =I所以AB ⊥平面PAC ,则11112233239D PBC B PDC PDCV V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.【题干序号】18设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题 【答案】（1）(0,2) （2）[16,)-+∞【解析】（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<， 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).（2）任取122x x ≤<，因为函数()22x xf x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， 则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x xa +⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 又12x x <，则1222x x <，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立， 又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.【题干序号】19某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60∠︒AOB ，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】（1）sin(60)S θθ=-o ， 060θ<<o o（2）当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米 【解析】解：（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o ,60OPN θ∠=-o ,则sin sin sin ON OP PNOPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-o o ，即)ON θ=-o ，PN θ，则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o ，即sin(60)S θθ=-o ，其中060θ<<o o . （2）由（1）得1sin(60)(sin )22S θθθθθ=-=-o ，即23600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-则30)S θ=+-o . 因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o ，则23090θ+=o o 时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米.【题干序号】20已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围； （3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】（1）2213x y -=（2）(U（3）证明见解析【解析】（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o ，又焦距为4，则224a b +=，解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>，又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--， 即223503m m -<-，则m <<m <<，即实数m的取值范围()(33-U .（3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点B ，又点P 是线段BD的中点，则点0)2y P ， 直线BD，直线AD，又BD PQ ⊥， 则直线PQ的方程为0000(22y x x y x y -=-，即2020届上海市普陀区高考一模数学考试试题11 / 12试卷第11页，总12页200000322x x y y x y y -=++， 又直线AD的方程为y x =+，联立方程20000322x y y x y y x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 消去y化简整理，得2220003)22x y x x x -++=， 又220013x y =-， 代入消去20y，得20002(3)1)(33x x x x x -+=+，即02(1(33x x x +-+=+，则024x x +=， 即点Q的横坐标为024x +，则4p q x x -==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【题干序号】21数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）.（1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值；（2）设121n n n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围； （3）设4a =，2n b =，22n n n S C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k l C C =成立，求λ的所有可能值.【答案序号】【来源】2020届上海市普陀区高考一模数学试题【答案】（1）14（2）281a -≤≤-（3）1-和2- 【解析】解：（1） 由条件得1()3n n b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-， 则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a -==--，又11(1)3a q -=-，则114a =.试卷第12页，总12页 当114a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n n n n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意， 故所求的a 的值为14. （2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-， 以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ， 又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--， 即224n n b n a =-+-. 由1210n n n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列， 又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-. （3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+， 则223222n n n n S n n C λλ+++==. 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=， 当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾.又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=. 当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<， 即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522k k k λλ+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-； 当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-.。

上海市普陀区2023届高考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若()i 1i z =⋅-（其中i 表示虚数单位），则Im z =______．2．若正四棱柱的底面周长为4、高为2，则该正四棱柱的体积为______．3．设132y x x =-，则满足0y <的x 的取值范围为______．4．函数tan 2y x =在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点为______．5．函数212sin y x =-的最小正周期为______．6．在()()4511x x +++展开式中，含有2x 项的系数为______．7．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角为______.8．“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将6罐“绿水”装成一箱，且每箱均有2罐可以中奖．若从一箱中随机抽取2罐，则能中奖的概率为______．9．设m ∈R ．若直线:1l x =-与曲线()222:14m m C x y m ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭仅有一个公共点，则m =______．10．某地“小康果”大丰收，现抽取5个样本，其质量分别为125、a 、121、b 、127（单位：克）．若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为______（用数字作答）．11．设a 、b ∈R 且a b ≤．若函数()y f x =的表达式为()()1f x x x =-∈R ，且()()1f a f b =+，则()1a b ⋅+的最大值为______．12．设1a 、2a 、3a 均为正数且222123a a a +=，则使得不等式123123111k a a a a a a ++≥++总成立的k 的取值范围为______．二、单选题13．已知直线l 、m 和平面α、β，下列命题中的真命题是（）A ．若m l ⊥，//l α，则m α⊥B ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥C ．若l α⊥，//αβ，则l β⊥D ．若l α⊥，m β⊥，则//l m 14．设x ∈R ，则lg ln x x >的充要条件是（）A ．0x >B ．1x >C ．10x >D ．01x <<15．设0k >，若向量a 、b 、c满足::1::3a b c k = ，且()2b a c b -=- ，则满足条件的k 的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A 、2A 、3A 、L 、7A 是均含有2个元素的集合，且17A A ⋂=∅，()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ ，则B 中元素个数的最小值是（）A ．5B ．6C ．7D ．8三、解答题17．如图所示，BD 为四边形ABCD 的对角线，设AB ＝AD ＝1，△BCD 为等边三角形．记()0BAD θθπ∠=<<．(1)当BD =θ的值；(2)设S 为四边形ABCD 的面积，用含有θ的关系式表示S ，并求S 的最大值．18．设a 、b 均为正整数，{}n a 为首项为a 、公差为b 的等差数列，{}n b 为首项为b 、公比为a 的等比数列．(1)设t 为正整数，当3a =，1b =，779t a b a <<时，求()1ti i i a b =+∑的值；(2)若11223a b a b a <<<<，且对于某项m a ，存在k b ，使得1m k a b +=，试提出一个关于m 、k 的结论，并说明理由．19．如图，“复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环状的桥面．主梁在桥面上方相交于点S 且它们所在的平面互相垂直，S 在桥面上的射影为桥面的中心O ．主梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道．设CD 为其中的一根立柱，A 为主梁与桥面大圆的连接点．(1)求证：//CD 平面SOA ；(2)设AB 为经过A 的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°．桥面小圆与大圆的半径之比为4:5，当桥面大圆半径为20米时，求点C 到地面的距离．20．在xoy 坐标平面内，已知椭圆22:195x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线()110y k x k =≠与Γ相交于A 、B 两点．(1)记d 为A 到直线290x +=的距离，当1k 变化时，求证：1AF d为定值；(2)当2120AF B ∠=时，求22AF BF ⋅的值；(3)过B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，OM 的中点为N ，延长AN 交Γ于另一点P ，记直线PB 的斜率为2k ，当1k 取何值时，12k k -有最小值？并求出此最小值．21．若函数()()y f x x D =∈同时满足下列两个条件，则称()y f x =在D 上具有性质M ．①()y f x =在D 上的导数()f x '存在；②()y f x '=在D 上的导数()f x ''存在，且()0f x ''>（其中()()f x f x ''''=⎡⎤⎣⎦）恒成立．(1)判断函数1lgy x=在区间()0,∞+上是否具有性质M ？并说明理由．(2)设a 、b 均为实常数，若奇函数()322bg x x ax x=++在1x =处取得极值，是否存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ？若存在，求出c 的取值范围；若不存在，请说明理由．(3)设k ∈Z 且0k >，对于任意的()0,x ∈+∞，不等式()1ln 11x kx x ++>+成立，求k 的最大值．参考答案：1．1【分析】计算1i z =+，即可得到虚部.【详解】因为()i 1i 1i z =⋅-=+，根据复数的概念可知，虚部为1.故答案为：1.2．2【分析】根据正四棱柱的性质，求出底面边长，代入体积公式即可得到.【详解】设底面边长为a .根据正四棱柱的性质知，底面为正方形，则44a =，所以1a =.又高2h =，所以，正四棱柱的体积为22a h =.故答案为：2.3．()1,+∞【分析】结合指数运算法则解不等式即可.【详解】3521201y x x x -⇒=<>，解得1x >.故x 的取值范围为()1,+∞.故答案为：()1,+∞4．0【分析】令tan 20y x ==，在ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上求解即可.【详解】令tan 20y x ==，∵ππ,44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴ππ2,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴20x =，即0x =，∴函数tan 2y x =在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点为0.故答案为：0.5．π【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期.【详解】因为212sin cos 2y x x =-=，因此，该函数的最小正周期为2ππ2T ==.故答案为：π.6．16【分析】利用二项展开式可求得展开式中含有2x 项的系数.【详解】因为()1nx +的展开式通项为1C k kk n T x +=⋅，由题意可知，在()()4511x x +++展开式中，含有2x 项的系数为2245C C 61016+=+=.故答案为：16.7．60【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解.【详解】由题意，双曲线2213x y -=，可得两条渐近线方程为3y x =±，设直线y =的倾斜角为α，则tan ,[0,180)3αα=∈ ，解得30α= ，根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为260α= .故答案为60 .【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题.8．35##0.6【分析】记一箱中能中奖的“绿水”灌装饮料分别记为A 、B ，不能中奖的“绿水”灌装饮料分别记为a 、b 、c 、d ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】记一箱中能中奖的“绿水”灌装饮料分别记为A 、B ，不能中奖的“绿水”灌装饮料分别记为a 、b 、c 、d ，从一箱中随机抽取2罐，所有基本事件有：AB 、Aa 、Ab 、Ac 、Ad 、Ba 、Bb 、Bc 、Bd 、ab 、ac 、ad 、bc 、bd 、cd ，共15种，其中，事件“随机抽取的2罐能中奖”所包含的基本事件有：AB 、Aa 、Ab 、Ac 、Ad 、Ba 、Bb 、Bc 、Bd ，共9种，故所求概率为93155P ==.故答案为：35.9．0【分析】利用圆心到直线l 的距离等于圆m C 的半径可得出关于实数m 的等式，即可解得实数m 的值.【详解】圆m C 的圆心坐标为2,4m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为1，由题意可得2114m +=，解得0m =.故答案为：0.10．2【分析】设a b ≤，利用中位数定义和平均数公式可求得a 、b 的值，再利用标准差公式可求得该样本的标准差.【详解】不妨设a b ≤，因为该样本的中位数为124，则124b =，由平均数公式可得1251241211271245a ++++=，解得123a =，所以，该样本的标准差为2=.故答案为：2.11．34##0.75【分析】由()()1f a f b =+结合a b ≤可得出1a b =-，求出b 的取值范围，利用不等式的基本性质可求得()1a b ⋅+的最大值.【详解】因为()()1f a f b =+，则1a b -=，所以，1a b -=或1a b -=-，1a b ∴=+或1a b =-.因为a b ≤，所以，1a b =-，且1a b b =-≤，可得12b ≥，所以，()()()2311114a b b b b ⋅+=-+=-≤，当且仅当12b =时，等号成立，故()1a b ⋅+的最大值为34.故答案为：34.12．(,5-∞+【分析】由已知可得出2212331a a a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨设13cos a a θ=，23sin a a θ=，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得出()()()123123sin cos sin cos sin cos 11113sin cos a a a a a a θθθθθθθθ++++⎛⎫++++==+⎪⎝⎭，令(sin cos t θθ=+∈，可得出()123123111231a a a t a a a t ⎛⎫++++=++ ⎪-⎝⎭，利用导数求出函数()f t在(上的最小值，即可得出实数k 的取值范围.【详解】因为1a 、2a 、3a 均为正数且222123a a a +=，则2212331a a a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨设13cos a a θ=，23sin a a θ=，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，()3311221231233231121113a a a a a aa a a a a a a a a a a a ⎛⎫++++=++++++ ⎪⎝⎭cos sin 113cos sin sin cos cos sin θθθθθθθθ=++++++22sin cos sin cos sin cos 13sin cos θθθθθθθθ++++=+()()sin cos sin cos sin cos 13sin cos θθθθθθθθ++++=+，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ3π444θ<+<，令(πsin cos 1,4t θθθ⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t θθθθ=+=+，所以，21sin cos 2t θθ-=，所以，()()21232123111112233112t t t a a a t t a a a t -++⎛⎫++++=+=++ ⎪--⎝⎭，令()231f t t t =++-，其中(t ∈，则()()()2222211011t t f t t t --'=-=<--，所以，函数()f t在(上单调递减，所以，()min 35f t f ===+所以，()123123min 1115k a a a a a a ⎡⎤⎛⎫≤++++=+⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦故答案为：(,5-∞+.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤；（2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥；（3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤；（4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.13．C【分析】线面平行及线线垂直，线可以有无数种朝向；线面垂直，线只有一种朝向；面面平行，面只有一种朝向，逐个选项判断即可.【详解】对A ，若m l ⊥，//l α，则可能有,//m m αα⊥，m 与α相交不垂直，A 错；对B ，若//l α，αβ⊥，则l β⊥，则可能有,//l l ββ⊥，l 与β相交不垂直，l β⊂，B 错；对C ，若l α⊥，//αβ，则l β⊥，C 对；对D ，若l α⊥，m β⊥，由于α与β关系不确定，故l 与m 关系也不确定，D 错.故选：C 14．D【分析】由已知可推出()lg ln1010x -<，则lg 0x <，解出即可得到答案.【详解】因为lg ln lg e x x =，lg10lg e ln10lg e 1lg e⋅=⋅=，则1ln10lg e=，所以ln ln10lg x x =⋅.则由lg ln x x >可得，lg ln10lg x x >⋅，则()lg ln1010x -<.因为ln10ln e 1>=，所以ln1010->，所以lg 0lg1x <=，因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，解得01x <<.故选：D.15．B【分析】根据题意可得222(3)44b c a c a =+⋅+ ，利用平面向量的数量积的定义和三角函数的性质可得293712cos ,[25,49]k a c =+∈ ，进而22549[,]99k ∈，结合选项即可求解.【详解】由2()b a c b -=- ，得32b c a =+，所以()()22223244bc ac a c a =+=+⋅+，又::1::3a b c k =，所以2229431431cos ,k a c =⨯++⨯⨯⨯ ，即293712cos ,[25,49]k a c =+∈ ，得22549[,]99k ∈，又0k >，所以57[,33k ∈，所以k 的取值可以是2.故选：B.16．A【分析】设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，分析可知4n ≥，然后对n 的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设1x 、2x 、L 、()4n x n ≥是集合B 互不相同的元素，若3n =，则12A A ⋂≠∅，不合乎题意.①假设集合B 中含有4个元素，可设{}112,A x x =，则{}24634,A A A x x ===，{}35712,A A A x x ===，这与17A A ⋂=∅矛盾；②假设集合B 中含有5个元素，可设{}1612,A A x x ==，{}2734,A A x x ==，{}351,A x x =，{}423,A x x =，{}545,A x x =，满足题意.综上所述，集合B 中元素个数最少为5.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.17．(1)2π3；(2)1【分析】（1）由余弦定理即可求；（2）由余弦定理得2BD ，ABD BCD S S S =+△△，结合三角形面积公式即可求.【详解】（1）由余弦定理得，2221cos 22AB AD BD AB AD θ+-==-⋅，()0,πθ∈，故2π3θ=；（2）由余弦定理得，2222cos 22cos BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-，211πsin sin cos sin 2422232ABD BCD S S S AB AD BD θθθθ⎛⎫=+=⋅+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，则当ππ5π326θθ-=⇒=时，S 的最大值为12+18．(1)58；(2)12k m -=，理由见解析.【分析】（1）结合通项公式，由779t a b a <<可解出t ，进而求值即可；（2）由11223a b a b a <<<<结合数列性质可解出2a =，2b >且*b ∈N ，由1m k a b +=得()1213k b m --+=，即可根据因式为整数解出b 及12k m -=.【详解】（1）()3112n a n n =+-⋅=+，17799,81,3t t a a b -===，由779t a b a <<得214333t -<<，t 为正整数，故134t t -=⇒=，()()41113345613927582t i iii i a b i -==+=+=++++++++=∑∑；（2）12k m -=，理由如下：由11223a b a b a <<<<得2a b a b ba a b <<+<<+，由1b ba a <⇒>，由222211b ba a b a b b <+⇒<=+--，又*a ∈N ，故2a =，2b >且*b ∈N ，由1m k a b +=得()111k a m b b a -+=⋅+-⋅，即()1213k b m --+=，∵121k m --+∈Z ，∴3b =，12k m -=.19．(1)证明过程见详解(2)18米【分析】(1)根据题意可知：CD SO ∥，利用线面平行的判定即可证明；(2)根据题意利用勾股定理先求出点C 到桥面的距离，再求出底面到桥面的距离，最后相加即可求解.【详解】（1）由题意可知：CD ⊥桥面，SO ⊥桥面，所以CD SO ∥，SO ⊂平面SOA ，CD ⊄平面SOA ，所以CD ∥平面SOA .（2）作出其中一个主梁的轴截面，连接,SO OC ，由题意可知：20SO =，因为桥面小圆与大圆的半径之比为4:5，也即:4:5OD SO =，所以16,20OD OC SO ===，在Rt OCD中，12CD ==，所以点C 到桥面的距离为12米，又因为AB 为经过A 的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°，所以地面到桥面的距离为12sin 306h =⨯︒=，故点C 到地面的距离为12618+=米.20．(1)答案见详解；(2)203；(3)答案见解析.【分析】（1）设()11,A x y ，求出192d x =+以及1AF =进而可推出21249AF d =，即可证明1AF d为定值；（2）由平行四边形12AF BF 可得1260F AF ∠=.根据椭圆的定义有126AF AF +=，根据余弦定理即可求出结果；（3）设()11,A x y ，()00,P x y ，则()11,B x y --.令直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为：12x y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，与椭圆方程联立，根据韦达定理得到坐标与k 的关系，进而表示出12,,k k k 之间的关系，推出2156k k =-，然后根据基本不等式即可得出结果.【详解】（1）证明：设点A 坐标为()11,A x y ，则有2211195x y +=，2211559x y =-.由已知可得，3a =，b =24c =，2c =，()12,0F -，()22,0F .则1AF =，()11,A x y 到直线290x +=的距离为192d x =+.则()222111221292AF x y d x ++=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()121212592592x x x ++-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭21211449992x x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭++212192499924x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，123AF =是个与1k 无关的定值，即当1k 变化时，1AF 为定值.（2）如图，连结11,AF BF ，根据椭圆的对称性，可得四边形12AF BF 为平行四边形.由椭圆的定义可得，126AF AF +=，所以有()2221212122·36AF AF AF AF AF AF +=++=.因为2120AF B ∠= ，所以1260F AF ∠=.在12AF F △中，由余弦定理可得，2221212122·cos 6016AF AF AF AF F F +-⋅== ，即221212·16AF AF AF AF +-=，又2212122·36AF AF AF AF ++=，两式作差可得123·20AF AF =，则1220·3AF AF =.（3）设()11,A x y ，则()11,B x y --，()00,P x y ，故()1,0M x -，1,02x N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为：12x y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程22195x y +=可得，()22221199594504k x k x x kx +++-=，根据韦达定理可得，21012995k x x x k +=-+，于是1110101252295x x kx y y k x k x k ⎛⎫⎛⎫+=+++=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.故0120159y y k x x k+==-+，又因为11111122332y y k k x x x ===+.故211552693k k k =-=-⨯.又因为10k ≠，所以10k >，110k >.于是根据基本不等式，可得1211115566k k k k k k -=+=+3≥，当且仅当1156k k =，即1k =.所以，当16k =±，12k k -有最小值3.【点睛】“设而不求”是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法.本题中，设出点的坐标较多，直线数量较多，需要转化的量也较多.引入直线PA 的斜率k ，通过k 表示出几个点之间的关系，以k 作为纽带，将1k 与2k 联系起来，最终求得2156k k =-，然后借助基本不等式求出结果.21．(1)函数1lgy x=在区间()0,∞+上具有性质M ；(2)存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ，c 的取值范围是()0,∞+；(3)k 的最大值为3.【分析】（1）令()1lg y f x x==，按照题目所给定义，求出()f x '和()f x ''，并判断()0f x ''>是否恒成立即可；（2）先利用()g x 为奇函数且在1x =处取得极值求出实数a ，b 的值，再按照题目所给定义，求出()g x ''，即可求出c 的取值范围；（3）分离参数得()()11ln 1x x k x+++⎡⎤⎣⎦<，构造函数()()()11ln 1x x F x x+++⎡⎤⎣⎦=，通过()F x 的最小值，即可确定正整数k 的最大值.【详解】（1）令()1lg y f x x==，()0,x ∈+∞，则()21111ln10ln10f x x x x⎛⎫'=⋅-=- ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，()211ln1ln100f x x x ⎛⎫- ⎪⎝'=⎭''=，()0,x ∈+∞，当()0,x ∈+∞时，()210ln10f x x ''=>恒成立，∴函数1lgy x=在区间()0,∞+上具有性质M ；（2）∵()322b g x x ax x=++，∴()2262b g x x ax x '=+-，∵()g x 在1x =处取得极值，且()g x 为奇函数，∴()g x 在=1x -处也取得极值，∴()()16201620g a b g a b ⎧=+-=⎪⎨-=--=''⎪⎩，解得06a b =⎧⎨=⎩，∴()362g x x x =+，()22226666g x x x x x-'=-=-，当0x >时，令()0g x '>，解得1x >；令()0g x '<，解得01x <<；故()g x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，满足()g x 在1x =处取得极值，∴()3312121212g x x xx x -''=+=+，当()0,x ∈+∞时，()312120g x x x ''=+>恒成立，∴存在实数()0,c ∈+∞，使()0g x ''>在区间[),c +∞上恒成立，∴存在实数c ，使得()y g x =在区间[),c +∞上具有性质M ，c 的取值范围是()0,∞+；（3）∵()0,x ∈+∞，∴()1ln 11x k x x ++>+⇒()()11ln 1x x k x +++⎡⎤⎣⎦<，令()()()11ln 1x x F x x+++⎡⎤⎣⎦=，则()()2ln 11x x F x x -+-='，令()()ln 11G x x x =-+-，则()1111x G x x x '=-=++，当()0,x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又∵()21ln 30G =-<，()32ln 40G =->，∴存在()02,3x ∈，使()()000ln 110G x x x =-+-=，∴当()00,x x ∈时，()0G x <，()0F x '<，()F x 在区间()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0G x >，()0F x '>，()F x 在区间()0,x +∞上单调递增，∴当()0,x ∈+∞时，()F x 的最小值为()()()000011ln 1x x F x x +++⎡⎤⎣⎦=，由()()000ln 110G x x x =-+-=，有()00ln 11x x +=-，∴()()()000001111x x F x x x ++-⎡⎤⎣⎦==+，∵()02,3x ∈，∴()()03,4F x ∈，又∵()()()11ln 1x x k F x x+++⎡⎤⎣⎦<=恒成立，∴()0k F x <，∵k ∈Z 且0k >，∴k 的最大值为3.【点睛】关键点点睛：本题中()()ln 11G x x x =-+-存在无法求解零点，使用了虚设零点0x 的方法，设()()000ln 110G x x x =-+-=，再通过()00ln 11x x +=-的代换，求得()F x 的最小值，这种方法，是解决“隐零点”的常用方法之一.。