2020-2021学年天津市天津一中高一上学期期末考试数学试题 Word版

天津市部分区2020～2021学年度第一学期期末练习高一数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案DBCABCDBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．2π12．113．214．24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．①③三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 1cos 3α=，由22sin cos 1αα+=得，………………………………1分228sin 1cos 9αα=-=，……………………………………………2分又 α是第四象限角，∴sin 3α==-，…………………………………………4分∴sin 22sin cos ααα=，……………………………………………………5分9=-，…………………………………………………………6分22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………7分79=-.……………………………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin tan cos ααα==-，…………………………9分∴tan()4πα-tan tan 41tan tan 4παπα-=+⋅，……………………………………11分97+==.…………………………………12分Oxy 864235302520151051017．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由502x ->，得52x <，……………………………………………1分所以函数()f x 的定义域为5(,)2-∞.…………………………………………3分（Ⅱ）令()0f x =，即log (52)0a x -=，………………………………………5分则521x -=，所以2x =，…………………………………………6分所以函数()f x 的零点为2.……………………………………………7分（Ⅲ）(1)log (75(2))log a a f -=--=，(1)log (52)log 3a a f =-=，…………………………………………………8分当1a >时，函数log a y x =是增函数，所以log 7log 3a a >，即(1)(1)f f ->.…………………………………………………………………10分当01a <<时，函数log a y x =是减函数，所以log 7log 3a a <，即(1)(1)f f -<……………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意，可得函数的解析式为：0,010,0.2,1020,0.44,20.x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩……………………………………………6分………………………………9分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当1020x <≤时，24y <≤，………………………10分因为164y =>，∴20x >，令0.4416x -=，解得，50x =，…………………………………………11分故此销售人员为公司创造50万元的销售利润.……………………………12分19．（本小题满分12分）解：2()cos 2cossin 2sin 66f x x x x ππ=++-…………………1分31cos 2sin 2cos 2)22x x x =++--………………………2分13sin 2cos 222x x =-sin(23x π=-………………………………………………………3分(Ⅰ)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π.………………………………4分由2[2,2322x k k πππππ-∈-+，k Z ∈……………………………5分可得5[,]1212x k k ππππ∈-+，k Z ∈()f x ∴的单调递增区间为5[,)1212k k k Z ππππ-+∈；…………………………7分(Ⅱ)因为()f x 在区间[,]412ππ--上单调递减，…………………………………8分在区间[,]124ππ-上单调递增，…………………………………9分又1(42f π-=-，()112f π-=-，1(42f π=.所以()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为1-.………………12分20．（本小题满分12分）解：因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-即：112222xx x x m m ----⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得，11(1)2222x xx x m m ---+=-+解得，2m =.………………………………………………………………………3分(Ⅱ)12,x x ∀∈R ，且12x x <，则12121211()()2222x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………4分()1212112222x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()1212122122x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⋅⎝⎭…………………………5分由12,x x ∈R ，得1220,20xx >>，所以1211022x x +>⋅，………………………………………………………6分又由12x x <，得1222x x<，所以，12220xx -<.……………………………………………7分于是12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <所以()f x 在R 上单调递增.……………………………………8分（Ⅲ）因为()f x 是奇函数，由22(31)()0f x f kx x ++-≥得，22(31)()f x f x kx +≥-，由(Ⅱ)可知，函数()f x 在[]1,1-上单调递增，所以，对任意[]1,1x ∈-，不等式22(31)()f x f x kx +≥-恒成立，等价于2210x kx ++≥在[]1,1x ∈-上恒成立，………………………………………9分设2()21g x x kx =++，[]1,1x ∈-，即：min()0g x ≥，()g x 的对称轴为4kx =-.①当14k-≤-时，即4k ≥时，则()()min 130g x g k =-=-≥，无解.②当114k -<-<时，即44k -<<时，则()2min 1048k k g x g ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭，得，k -≤≤③当14k-≥时，即4k ≤-时，则()()min 130g x g k ==+≥，无解.综上，实数k 的取值范围是⎡-⎣.…………………………………12分。

天津市六校2020-2021学年高一上学期期末考试联考试卷一､选择题(本题共9小题，每题4分，共36分) 1. 设集合{}2540A x x x =-+≤∣，{2}∣=∈≤B x x N ，则A B =（ ）A. {12}xx <≤∣ B. {}1,2C.{}0,1D.{}0,1,2『答案』B 『解析』{}{}2540|14A x x x x x =-+≤=≤≤∣， {}{2}0,1,2∣=∈≤=B x x N ，所以{}1,2A B =，故选：B.2. 已知命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，则p ⌝为（ ）A.00x ∃≤，使得()0011x x e +≤ B.00x ∃>，使得()0011x x e +≤C. 0x ∀>，总有()11x x e +≤D. 0x ∀≤，使得()11x x e +≤『答案』B『解析』因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，所以p ⌝：00x ∃>，使得()0011x x e +≤，故选：B.3. 设α∈R ，则“π2π3α=+k ，∈k Z ”是“1cos 2α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』由1cos 2α=可得：π2π3α=+k 或5π2π3α=+k ，可得π2π,|3αα=+∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭k k Z π|2π3αα⎧=+⎨⎩k 或5π2π3，α⎫=+∈⎬⎭k k Z ，所以“π2π3α=+k ，∈k Z ”是“1cos 2α=”的充分不必要条件，故选：A.4. 函数()1cos f x x xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ππ-≤≤x 且0x ≠）的图象可能为（ ）A. B.C. D.『答案』D『解析』因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取π=x ，则11(π)(π)cos π(π)0ππ=-=--<f ，故选D. 5. 设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D. b c a <<『答案』B 『解析』0.5.50.5log 1log 0.6log 0.5<<，即01a <<，0.60.6log 1.2log 10b =<=，0.601.21.21c =>=，因此，b a c <<.故选：B. 6. 已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],4-∞B.()4,-+∞ C. []4,4- D.(]4,4-『答案』C『解析』因为()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，所以有23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数， 且230=-+>y x ax a 在()2,+∞上恒成立； 因此，只需2222230aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得44a -≤≤.故选C7. 若π02＜＜α，π02-＜＜β，π1cos()43α+=，πcos()42β-=，则cos()2βα+=（ ）A.B.3-C.D.9-『答案』C『解析』ππcos()cos[()()]2442ββαα+=+-- ππcos()cos()442βα=+-ππsin()sin()442βα++-，因为π02＜＜α，π02-＜＜β，所以ππ3π(,)444α+∈，πππ(,)4242β-∈，因为π1cos()43α+=，πcos()42β-，所以πsin()43α+=，πsin()42β-，则1cos()233339βα+=⨯+=．故选：C8. 已知函数π()sin()0,0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭f x A x A 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）①函数()y f x =的图象关于点π-,06⎛⎫⎪⎝⎭对称②函数()y f x =的图象关于直线5π12=-x 对称③函数()y f x =在2ππ-,-36⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④『答案』A『解析』由函数的图象可得2A =，周期ππ4-π312⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭T 所以2π2π2πω===T ， 当π12=x 时函数取得最大值，即ππ2sin 221212ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ， 所以ππ22π+()122ϕ⨯+=∈k k Z ，则π2π+3ϕ=k ， 又||2ϕπ<，得 π=3ϕ，故函数π()2sin(2)3=+f x x ，对于①，当π6=-x 时，πππ()2sin(2()+)0663-=⨯-=f ，正确； 对于②，当5π12=-x 时，π()2sin(2(5π))235π1212=⨯+--=-f ，正确；对于③，令ππ3π2π+22π+()232≤+≤∈k x k k Z 得π7ππ+π+()1212≤≤∈k x k k Z ， 所以函数的单调递减区间为π7ππ+,π+()1212⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， 2πππ7π,π+,π+()361212⎡⎤⎡⎤--⊄∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k k k Z ，所以不正确；对于④，向右平移π3个单位，ππππ()2sin(2())2sin(2)3333-=-+=-f x x x ，所以不正确； 故选：A.9. 设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是（ ） A.()8,9B.()65,129C.()64,128D.()66,130『答案』D『解析』画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221ab-=-，则222ab+=．结合图象可得67c <<，故67222c<<．∴66222130a b c<++<．故选：D ．二､填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)10. 已知扇形的圆心角为2π3，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 『答案』2π『解析』由于扇形的圆心角为2π3α=，扇形的面积为3π，则扇形的面积22112π3π223α==⨯⨯=S r r ，解得：3r =， 此扇形所含的弧长2π32π3α==⨯=l r . 故『答案』为：2π. 11. 已知函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为__________.『答案』3 『解析』由函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，则A 点坐标为(2,6)，由点A 在角α的终边上，可得6tan 32y x α===，故『答案』为：3.12. 设函数()2010x bx c x f x x ⎧++≥=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是__________.『答案』2『解析』因为(4)(0)f f =，所以当0x ≥时，函数图象关于2x =对称，所以22b=-，解得4b =-，又(2)482f c =-+=，解得6c =，所以()246010x x x f x x ⎧-+≥=⎨<⎩， 令()()0g x f x x =-=，即()f x x =，在同一坐标系中作出(),y f x y x ==的图象，如图所示：由图象知，函数(),y f x y x ==的图象交点有2个， 所以()()g x f x x =-的零点的个数有2个， 故『答案』为：213. 对任意的π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________．『答案』[]4,5-『解析』()22222222221414cos 4sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭59+=，所以21x - 945x ≤∴-≤≤14. 已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦s ，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.『答案』(],2-∞『解析』对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， 由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x）=x +cos x +4＝2sin （x π+6）+4，∵s ∈[0，π2]，∴s π+6∈[π6，23π]，∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，π2]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，π2]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()maxmaxf t ag s +≤，∴a +4≤6，解得a ≤2，故『答案』为：(],2-∞三､解答题(本大题共5小题，共64分) 15.设函数y =的定义域为A ，集合{}220B x x x =-≤∣.（1）求集合A ，B ，并求A B R；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤+∣，且BC C =，求实数a 的取值范围.『解』（1）因为2102log (1)0x x x ->⎧⇒≥⎨-≥⎩，所以{2}A xx =≥∣， 又{}220{02}B x x x x x =-≤=≤≤∣∣，{0∣=<B x x R或2}x >，所以{2}∣=>A B x x R；（2）因为B C C =，所以C B ⊆，当C =∅时，21a a >+，解得1a >，符合题意；当C ≠∅时，则12200112a a a a a +≥⎧⎪≥⇒≤≤⎨⎪+≤⎩；综上：a 的取值范围是[0,)+∞.16. 已知πsin(2π)cos 2()πcos tan(π)2ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭f .（1）化简()f α，并求π3⎛⎫⎪⎝⎭f ；（2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；（3）求函数2π()2()12⎛⎫=-++⎪⎝⎭g x f x f x 的值域. 『解』（1）由题意可得πsin(2π)cos 2()πcos tan(π)2ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭f sin (sin )cos sin tan ααααα-⋅-==⋅，故ππ1cos 332⎛⎫==⎪⎝⎭f ； （2）∵tan 2α=，故224sin 3sin cos 5cos αααα--22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+ 224tan 3tan 51tan 1ααα--==+；（3）因为()cos f αα=， 所以22π()2cos cos 12cos sin 12⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭g x x x x x 22sin sin 3x x =-++21252sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 因为sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 4x =时，max 25()8g x =，当sin 1x =-时，min ()0g x =所以()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩x x x x x x x x N N 假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润. 『解』（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭ 综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩x x x x g x x x x x N N （2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625， 且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x =-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.18.已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是π2. （1）求()f x 的『解析』式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若π2π63≤≤x 时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围.『解』（1）2()cos cos f x x x x ωωω=-12(cos 21)22x x ωω=-+1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由2ππ22ω==T ，解得2ω= 所以，π1()sin 462⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ∵πππ2π-4-2π+262≤≤k x k ，∴π2π2π-42π+33≤≤k x k ∴ππππ21226-≤≤+k k x ， ∴()f x 的单调递增区间为ππππ,21226⎡⎤⎢⎥⎣-+⎦k k ，∈k Z （2）依题意得π()sin 216⎛⎫=++ ⎪⎝⎭g x x 因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+ 因为当π2π,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()2()2g x m g x -<<+恒成立 所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值 当π2π,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()y g x =单调减函数 所以max π()1126⎛⎫==+= ⎪⎝⎭g x g ，()min 2π1103⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭g x g ， 从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m <<.所以m 的取值范围是()0,2.19. 已知函数()ln()()=+∈f x x a a R 的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的『解析』式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值； （3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.『解』（1）函数()ln()()=+∈f x x a a R 的图像过点()1,0， 所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的『解析』式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈， 令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=， 设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点， 等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<， 因为k Z ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m >，所以1m 且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--， 所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭ 所以2max ()()2g x g m m m ==-， 只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--， 设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增， 又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<， 所以m 的取值范围是()1,2.。

2020-2021高一年级第一学期期末考试数学试卷一、选择题：每小题4分，共28分.1.巳知集合A = {0,m,m2-3m + 2},且2eA，则实数m的值为（）A. 3B. 2C. 0 或3D. 0 或2 或3--------- A分析：根据元素与集合的关系，分类讨论，并验证集合元素的互异性，即可求解.解答：由题意，知2eA，可得（1）当m = 2时，m2-3m + 2 = 0,不满足集合元素的互异性，舍去；（2）当m2—3m + 2 = 2 > 解得m = 3或m = 0,①当m = O是不满足元素的互异性，舍去，②当m = 3时，此时集合A = {0,2,3},符合题意.故选A.点拨：本题主要考查了元素与集合的关系的应用，以及集合中元素的性质的应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题.2.设xeR，贝U "x>2"是"|x —3|<1 ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件--------- B分析：先把棚-31< 1化简，再利用充分条件和必要条件的定义域进行判断即可解答：解：由k-3|<l,得2<x<4,因为当x>2时，2<x<4不一定成立，当2<x<4时，x>2一定成立，所以“x>2”是" |x —3|<1”的必要不充分条件,故选：B3,已知角a 的终边经过点P (3,4),则cos^2a + ^ =()A 31V2R 31V2 「 17A /2 5050 50 --------- A 分析: 根据角a 的终边经过点P (3,4),利用三角函数的定义可求出a 的正弦和余弦，进而利用二倍 角公式，两角和的余弦公式即可求解.解答：解：•.•角a 的终边经过点P (3,4),一 3 4由三角函数的定义知：cosa=- , sina=— •••c°s2"2c°*l = 2xE 二 l5j 254 3 24 sin 2a = 2sinacosa = 2x —x —=——5 5 25.•.cos (2a +牛海2〃海岩52而町=(一导季_||'寺=—憧故选：A.4.已知函数y = log fl (x+3)-l (。

天津市六校2020-2021学年高一上学期期末考试联考试卷一､选择题(本题共9小题，每题4分，共36分) 1. 设集合{}2540A x x x =-+≤∣，{2}∣=∈≤B x x N ，则A B =（ ）A. {12}xx <≤∣ B. {}1,2C.{}0,1D.{}0,1,2『答案』B 『解析』{}{}2540|14A x x x x x =-+≤=≤≤∣， {}{2}0,1,2∣=∈≤=B x x N ，所以{}1,2A B =，故选：B.2. 已知命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，则p ⌝为（ ）A.00x ∃≤，使得()0011x x e +≤ B.00x ∃>，使得()0011x x e +≤C. 0x ∀>，总有()11x x e +≤D. 0x ∀≤，使得()11x x e +≤『答案』B『解析』因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，所以p ⌝：00x ∃>，使得()0011x x e +≤，故选：B.3. 设α∈R ，则“π2π3α=+k ，∈k Z ”是“1cos 2α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』由1cos 2α=可得：π2π3α=+k 或5π2π3α=+k ，可得π2π,|3αα=+∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭k k Z π|2π3αα⎧=+⎨⎩k 或5π2π3，α⎫=+∈⎬⎭k k Z ，所以“π2π3α=+k ，∈k Z ”是“1cos 2α=”的充分不必要条件，故选：A.4. 函数()1cos f x x xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ππ-≤≤x 且0x ≠）的图象可能为（ ）A. B.C. D.『答案』D『解析』因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取π=x ，则11(π)(π)cos π(π)0ππ=-=--<f ，故选D. 5. 设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D. b c a <<『答案』B 『解析』0.5.50.5log 1log 0.6log 0.5<<，即01a <<，0.60.6log 1.2log 10b =<=，0.601.21.21c =>=，因此，b a c <<.故选：B. 6. 已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],4-∞B.()4,-+∞ C. []4,4- D.(]4,4-『答案』C『解析』因为()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，所以有23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数， 且230=-+>y x ax a 在()2,+∞上恒成立； 因此，只需2222230aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得44a -≤≤.故选C7. 若π02＜＜α，π02-＜＜β，π1cos()43α+=，πcos()42β-=，则cos()2βα+=（ ）A.B.3-C.D.9-『答案』C『解析』ππcos()cos[()()]2442ββαα+=+-- ππcos()cos()442βα=+-ππsin()sin()442βα++-，因为π02＜＜α，π02-＜＜β，所以ππ3π(,)444α+∈，πππ(,)4242β-∈，因为π1cos()43α+=，πcos()42β-，所以πsin()43α+=，πsin()42β-，则1cos()233339βα+=⨯+=．故选：C8. 已知函数π()sin()0,0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭f x A x A 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）①函数()y f x =的图象关于点π-,06⎛⎫⎪⎝⎭对称②函数()y f x =的图象关于直线5π12=-x 对称③函数()y f x =在2ππ-,-36⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④『答案』A『解析』由函数的图象可得2A =，周期ππ4-π312⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭T 所以2π2π2πω===T ， 当π12=x 时函数取得最大值，即ππ2sin 221212ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ， 所以ππ22π+()122ϕ⨯+=∈k k Z ，则π2π+3ϕ=k ， 又||2ϕπ<，得 π=3ϕ，故函数π()2sin(2)3=+f x x ，对于①，当π6=-x 时，πππ()2sin(2()+)0663-=⨯-=f ，正确； 对于②，当5π12=-x 时，π()2sin(2(5π))235π1212=⨯+--=-f ，正确；对于③，令ππ3π2π+22π+()232≤+≤∈k x k k Z 得π7ππ+π+()1212≤≤∈k x k k Z ， 所以函数的单调递减区间为π7ππ+,π+()1212⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， 2πππ7π,π+,π+()361212⎡⎤⎡⎤--⊄∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k k k Z ，所以不正确；对于④，向右平移π3个单位，ππππ()2sin(2())2sin(2)3333-=-+=-f x x x ，所以不正确； 故选：A.9. 设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是（ ） A.()8,9B.()65,129C.()64,128D.()66,130『答案』D『解析』画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221ab-=-，则222ab+=．结合图象可得67c <<，故67222c<<．∴66222130a b c<++<．故选：D ．二､填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)10. 已知扇形的圆心角为2π3，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 『答案』2π『解析』由于扇形的圆心角为2π3α=，扇形的面积为3π，则扇形的面积22112π3π223α==⨯⨯=S r r ，解得：3r =， 此扇形所含的弧长2π32π3α==⨯=l r . 故『答案』为：2π. 11. 已知函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为__________.『答案』3 『解析』由函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，则A 点坐标为(2,6)，由点A 在角α的终边上，可得6tan 32y x α===，故『答案』为：3.12. 设函数()2010x bx c x f x x ⎧++≥=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是__________.『答案』2『解析』因为(4)(0)f f =，所以当0x ≥时，函数图象关于2x =对称，所以22b=-，解得4b =-，又(2)482f c =-+=，解得6c =，所以()246010x x x f x x ⎧-+≥=⎨<⎩， 令()()0g x f x x =-=，即()f x x =，在同一坐标系中作出(),y f x y x ==的图象，如图所示：由图象知，函数(),y f x y x ==的图象交点有2个， 所以()()g x f x x =-的零点的个数有2个， 故『答案』为：213. 对任意的π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________．『答案』[]4,5-『解析』()22222222221414cos 4sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭59+=，所以21x - 945x ≤∴-≤≤14. 已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦s ，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.『答案』(],2-∞『解析』对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， 由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x）=x +cos x +4＝2sin （x π+6）+4，∵s ∈[0，π2]，∴s π+6∈[π6，23π]，∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，π2]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，π2]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()maxmaxf t ag s +≤，∴a +4≤6，解得a ≤2，故『答案』为：(],2-∞三､解答题(本大题共5小题，共64分) 15.设函数y =的定义域为A ，集合{}220B x x x =-≤∣.（1）求集合A ，B ，并求A B R；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤+∣，且BC C =，求实数a 的取值范围.『解』（1）因为2102log (1)0x x x ->⎧⇒≥⎨-≥⎩，所以{2}A xx =≥∣， 又{}220{02}B x x x x x =-≤=≤≤∣∣，{0∣=<B x x R或2}x >，所以{2}∣=>A B x x R；（2）因为B C C =，所以C B ⊆，当C =∅时，21a a >+，解得1a >，符合题意；当C ≠∅时，则12200112a a a a a +≥⎧⎪≥⇒≤≤⎨⎪+≤⎩；综上：a 的取值范围是[0,)+∞.16. 已知πsin(2π)cos 2()πcos tan(π)2ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭f .（1）化简()f α，并求π3⎛⎫⎪⎝⎭f ；（2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；（3）求函数2π()2()12⎛⎫=-++⎪⎝⎭g x f x f x 的值域. 『解』（1）由题意可得πsin(2π)cos 2()πcos tan(π)2ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭f sin (sin )cos sin tan ααααα-⋅-==⋅，故ππ1cos 332⎛⎫==⎪⎝⎭f ； （2）∵tan 2α=，故224sin 3sin cos 5cos αααα--22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+ 224tan 3tan 51tan 1ααα--==+；（3）因为()cos f αα=， 所以22π()2cos cos 12cos sin 12⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭g x x x x x 22sin sin 3x x =-++21252sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 因为sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 4x =时，max 25()8g x =，当sin 1x =-时，min ()0g x =所以()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩x x x x x x x x N N 假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润. 『解』（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭ 综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩x x x x g x x x x x N N （2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625， 且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x =-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.18.已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是π2. （1）求()f x 的『解析』式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若π2π63≤≤x 时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围.『解』（1）2()cos cos f x x x x ωωω=-12(cos 21)22x x ωω=-+1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由2ππ22ω==T ，解得2ω= 所以，π1()sin 462⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ∵πππ2π-4-2π+262≤≤k x k ，∴π2π2π-42π+33≤≤k x k ∴ππππ21226-≤≤+k k x ， ∴()f x 的单调递增区间为ππππ,21226⎡⎤⎢⎥⎣-+⎦k k ，∈k Z （2）依题意得π()sin 216⎛⎫=++ ⎪⎝⎭g x x 因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+ 因为当π2π,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()2()2g x m g x -<<+恒成立 所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值 当π2π,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()y g x =单调减函数 所以max π()1126⎛⎫==+= ⎪⎝⎭g x g ，()min 2π1103⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭g x g ， 从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m <<.所以m 的取值范围是()0,2.19. 已知函数()ln()()=+∈f x x a a R 的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的『解析』式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值； （3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.『解』（1）函数()ln()()=+∈f x x a a R 的图像过点()1,0， 所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的『解析』式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈， 令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=， 设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点， 等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<， 因为k Z ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m >，所以1m 且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--， 所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭ 所以2max ()()2g x g m m m ==-， 只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--， 设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增， 又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<， 所以m 的取值范围是()1,2.。

2020-2021天津市第一中学高中必修一数学上期末模拟试卷(含答案)一、选择题1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( )A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能 2．已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 3．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12 BC．2 D ．24．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为 （ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1）A ．1B ．3C ．5D ．76．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的“上界值”，则函数33()33x x f x -=+的“上界值”为（ ） A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－17．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1()21f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010B ．2020C ．1011D ．20229．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( ) A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃10．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,611．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数f (x )＝12log ,1,24,1,x x x x >⎧⎪⎨⎪+≤⎩则1(())2f f )等于( ) A ．4B ．－2C ．2D ．1二、填空题13．若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m 的取值范围是__________．14．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．15．已知常数a R ∈，函数()21x a f x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.16．0.11.1a =，122log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 17．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是 小时. 18．已知35m n k ==，且112m n+=，则k =__________ 19．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 20．已知函数()232,11,1x x f x x ax x ⎧+<=⎨-+≥⎩，若()()02f f a =，则实数a =________________.三、解答题21．已知函数()f x 对任意实数x ，y 都满足()()()f xy f x f y =，且()11f -=-，()1279f =，当1x >时，()()0,1f x ∈. (1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并给出证明；(3)若()319f a +≤-，求实数a 的取值范围. 22．已知函数22()log (3)log (1)f x x x =-++.（1）求该函数的定义域；（2）若函数()y f x m =-仅存在两个零点12,x x ，试比较12x x +与m 的大小关系.23．已知集合，，.（1）若，求的值； （2）若，求的取值范围. 24．已知函数()f x x =（1）判断函数()f x 在区间[0,)+∞上的单调性，并用定义证明；（2）函数2()()log 2g x f x x =+-在区间(1,2)内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确到0.3）；若没有零点，说明理由.1.25 1.118≈， 1.5 1.225≈ 1.75 1.323≈，2log 1.250.322≈，2log 1.50.585≈，2log 1.750.807≈）25．已知函数()log (1)2a f x x =-+（0a >，且1a ≠），过点(3,3).（1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()123122x x f f +-<-.26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x =+.（1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+>同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+>即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行2．C解析：C【解析】【分析】利用指数函数2xy =与对数函数3log y x =的性质即可比较a ，b ，c 的大小．【详解】 1.30.7 1.4382242c log a b =<<===<Q ，c a b ∴<<．故选：C ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．A解析：A【解析】【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1， 当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ． 本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.4．B解析：B【解析】【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3x y =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<， 即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===， 且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ． 【点睛】本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系． 5．C解析：C【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解.因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL ,x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，所以()3002%1.x -<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ， 所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.6．C解析：C【解析】【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”.【详解】令3,0xt t => 则 361133t y t t -==-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1；故选C【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域. 7．B解析：B【解析】【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x .【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点，易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->，即()()230f f <n所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题． 8．C解析：C【解析】【分析】函数()f x 和121=-y x 都关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】()()10f x f x ++-=Q ，()f x ∴关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， 而函数121=-y x 也关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， ()121f x x ∴=-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称， 122022...101111011x x x ∴+++=⨯=.故选：C【点睛】本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.9．C解析：C【解析】【分析】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 10．D解析：D【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．C【解析】【分析】【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B , 故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 12．B解析：B【解析】121242242f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则()1214log 422f f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B. 二、填空题13．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根 解析：(0,3]【解析】【分析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围．【详解】∵函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增， ∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数，∴001212m m >⎧⎨-≤+=⎩，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]．故答案为(0,3]．解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．14．【解析】【分析】【详解】故答案为 解析：【解析】【分析】【详解】故答案为.15．【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别为依题意得解得故答案为:【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的 解析：3【解析】【分析】将()f x 化简为关于x a +的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解.【详解】当x a =-时，()0f x =，当x a ?时，()222111[()]1()2x a x a f x a x x a a x a a x a ++===+++-+++-+，x a >-时，21()22ax a a ax a+++-≥+当且仅当x a=时，等号成立，0()2af x∴<≤=同理x a<-时，()02af x∴≤<，()22a af x∴≤≤，即()f x的最小值和最大值分别为,22a a，2=，解得a=.故答案为:【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题.16．【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质分别求得实数的取值范围即可求解得到答案【详解】由题意根据指数函数的性质可得由对数函数的运算公式及性质可得且所以abc从小到大的关系是故答案为：【点睛解析：b c a<<【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质，分别求得实数,,a b c的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.101.111.1a>==，由对数函数的运算公式及性质，可得12112211log log()222b===，1ln2ln2c=>=，且ln2ln1c e=<=，所以a，b，c从小到大的关系是b c a<<.故答案为：b c a<<.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，求得实数,,a b c的取值范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用【解析】由题意得：2211221924811{,,1924248b k k k be e e e +=∴====，所以33x =时，331131()192248k b k b y e e e +==⋅=⨯=.考点：函数及其应用.18．【解析】因为所以所以故填【解析】因为35mnk ==，所以3log m k =，5log n k =，11lg5lg3lg152lg lg lg m n k k k+=+==，所以1lg lg152k ==k =19．【解析】试题分析：设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析：42【解析】试题分析：设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=， 因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒== 【考点】指数运算，对数运算． 【易错点睛】在解方程5log log 2a b b a +=时，要注意log 1b a >，若没注意到log 1b a >，方程5log log 2a b b a +=的根有两个，由于增根导致错误 20．2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2 【解析】 【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a 的值. 【详解】由题意得：()00323f =+=，()23331103f a a =-+=-，所以由()()01032ff a a =-=， 解得2a =.故答案为：2.本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题.三、解答题21．(1)()f x 为奇函数；(2)()f x 在(),0-∞上单调递减，证明见解析；(3)[)4,1--. 【解析】 【分析】（1）令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）先证明当0x >时，()0f x >，再利用已知和单调函数的定义，证明函数()f x 在()0,∞+上的单调性，根据函数的奇偶性，即可得到函数()f x 在(),0-∞上的单调性；（3）先利用赋值法求得()3f -=再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：（1）令1y =-，则()()()1f x f x f -=-. ∵()11f -=-，∴()()f x f x -=- ∴函数()f x 为奇函数；(2)函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 证明如下：由函数()f x 为奇函数得()()111f f =--=当()0,1x ∈时，11x >，()10,1f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()111f x f x =>⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当0x >时，()0f x >，设120x x <<，则211x x >，∴2101x f x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭， 于是()()()22211111x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.∵函数()f x 为奇函数，∴函数()f x 在(),0-∞上单调递减. (3)∵()1279f =，且()()()()327393f f f f ==⎡⎤⎣⎦，∴()3f = 又∵函数()f x 为奇函数，∴()3f -=∵()319f a +≤-，∴()()13f a f +≤-，函数()f x 在(),0-∞上单调递减. 又当0x ≥时，()0f x ≥.∴310a -≤+<，即41a -≤<-， 故a 的取值范围为[)4,1--. 【点睛】本题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法 22．（1）(1,3)- （2）12x x m +> 【解析】 【分析】（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）化简()f x 表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得12x x +以及m 的取值范围，从而比较出12x x +与m 的大小关系.【详解】（1）依题意可知301310x x x ->⎧⇒-<<⎨+>⎩，故该函数的定义域为(1,3)-； （2）2222()log (23)log ((1)4)f x x x x =-++=--+，故函数关于直线1x =成轴对称且最大值为2log 42=， ∴122x x +=，2m <，∴12x x m +>． 【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题. 23．(1) 或；(2) .【解析】 试题分析：(1)由题意结合集合相等的定义分类讨论可得：的值为或. (2)由题意得到关于实数a 的不等式组，求解不等式组可得 .试题解析： （1）若，则，∴. 若，则，，∴.综上，的值为或. （2）∵，∴∴. 24．（1）见解析；（2）有，1.5【解析】（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f （x ）在区间[)0,+∞上的单调性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）. 【详解】（1）函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数， 设[)12,0,x x ∈+∞，且12x x <， 则()()120f x f x -===<，所以()()12f x f x <，故函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数. （2）()2log 2g x x =-是增函数，又因为()21log 1210g =-=-<，()22log 2210g =-=>， 所以连续函数()g x 在区间()1,2上有且仅有一个零点0x因为()21.5log 1.52 1.2250.58520.190g -≈+-=-<， 所以()0 1.5,2x ∈又因为()21.75log 1.752 1.3230.80720.130g =-≈+-=->， 所以()0 1.5,1.75x ∈又1.75 1.50.250.3-=<，所以()g x 零点的近似值为1.5. 【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题.25．（1）2（2）{}2log 5x|2<x < 【解析】 【分析】（1）将点(3,3)代入函数计算得到答案.（2）根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-，解得答案. 【详解】（1）()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. （2）()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >，并在其定义域内单调递增， ∴()()1123122,123122xx xx f f ++-<-∴<-<-，不等式的解集为{}22<log 5x x <.本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.26．（1）证明见解析（2）4a = 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。

天津一中2020-2021-2高一年级数学学科期末质量调查试卷本试卷分为第I 卷(选择题)､第II 卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时90分钟.第Ⅰ卷为第I 页，第Ⅰ卷为第2-3页.考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷一、选择题：(每小题4分，共32分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足112i i z-=-+，则z =（ ）A.25 2.已知向量()()1,,3,2a m b ==-，且()a b b +⊥，则m =（ ）A.8-B.8C.6D.6-3.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0，10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位和平区居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的80%分位数是（ ）A.7.5B.8C.8.5D.94.在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案.该方案中“2”指的是从政治､地理､化学､生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么化学和生物至多有一门被选中的概率是（ ） A.16 B.12 C.23 D.565.为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干"朗读亭".如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与正六棱，则正六棱锥与正六棱柱的高的比值为（ ）B.23 D.12 6.2021年是中国共产党建党100周年，为全面贯彻党的教育方针，提高学生的审美水平和人文素养，促进学生全面发展.某学校高一年级举办了班级合唱活动.现从全校学生中随机抽取部分学生，并邀请他们为此次活动评分(单位：分，满分100分)，对评分进行整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ）A.0.028a =B.若该学校有3000名学生参与了评分，则估计评分超过90分的学生人数为600C.学生评分的众数的估计值为85D.学生评分的中位数的估计值为837.ABC 的内角A,,B C 的对边分别为,,,a b c 则下列说法正确的个数是（ ）①若A B >，则sin sin A B >①若30,4,3A b a ===，则ABC 有两解①若ABC 为钝角三角形，则222a b c +>①若60,2A a ==，则ABC A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.ABC 中，E 为AC 上一点，3,AC AE P =为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（ ） A.9 B.10 C.11 D.12第Ⅰ卷二、填空题：(每小题4分，共24分)9.某高校甲､乙､丙､丁四个专业分别有150，150，400，300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________人.10.某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别11,,32p ，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为718，则p 的值为__________. 11.已知某6个数据的平均数为4，方差为8，现加入2和6两个新数据，此时8个数据的方差为__________. 12.已知边长为4的正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点E ，且F G ､分别是线段EC 和线段EB 的中点，则()FD EA AG +⋅=__________.13.如图在三棱锥A BCD -中，3,2,AB AC BD CD AD BC M N ======分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN 与CM 所成角的余弦值为__________.14.如图三棱锥P ABC -，平面PBC ⊥平面ABC ，已知ΔPBC 是等腰三角形，ABC 是等腰直角三角形，若2,AB BC PB PC ====，球O 是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的表面积是__________.三.解答题：(本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin 0.a b c A C +-=（1）求C 的值；（2）若2c b a ==，求ABC 的面积S .16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足,//AB AD BC AD ⊥，2AD BC =，且M 为PA 的中点.（1）求证：//BM 平面PCD ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且DP DA =，求证：平面BDM ⊥平面PAB .17.天津市某中学高三年级有1000名学生参加学情调研测试，用简单随机抽样的方法抽取了一个容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图如图所示：（1）求第四个小矩形的高，并估计本校在这次统测中数学成绩不低于120分的人数和这1000名学生的数学平均分.（2）已知样本中成绩在[140，150]内的学生中有两名女生，现从成绩在这个分数段的学生中随机抽取2人做学习交流，①写出这个试验的样本空间；(用恰当的符号表达)②设事件A ：”选取的两人中至少有一名女生”，写出事件A 的样本点，并求事件A 发生的概率.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,2,90,,ABC AA AC BC ACB D E ∠====分别是111,A B CC 的中点（1）求证：1//C D 平面1A BE ；（2）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值；（3）在棱1CC 上是否存在一点P ，使得平面PAB 与平面1A BE 的夹角为60？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1.【答案】B【分析】根据复数除法的运算性质以及复数模长的计算公式代入化简求解.【详解】 由题意，()()()()221211123122121415i i i i i i z i i i i -+-+-+====-+-+--，则z == 故选：B.2.【答案】B【解析】因为向量()()1,,3,2a m b ==-，所以()4,2a b m +=-，又()a b b +⊥，所以()12220m --=，所以8m =.故选B.3.C4.【答案】D【分析】采用列举法得到所有可能的情况，根据古典概型概率计算公式得到结果.【详解】从4门学科中任选2门共有：政治+地理､政治+化学､政治+生物､地理+化学､地理+生物､化学+生物，共6种情况，其中满足化学和生物至少有一门被选中的有5种情况，所以其概率为56. 故选：D5.【答案】D【解析】设正六棱柱底面边长为a ，由题意可知正六棱柱的高为2a ，则可知正六棱柱的侧面积为26212a a a ⨯⨯=.设正六棱锥的高为h ，可知正六棱锥侧面的一个三角形的边为a，所以正六棱锥的侧面积为1632a ⨯⨯=h a =⇒=，所以六棱锥与正六棱柱的高的比值为122a a =. 故选D.6.【答案】D【分析】对A ，由频率之和为1可得；对B ，根据频率分布直方图直接计算；对C ，由最高长方形底边中点对应的横坐标是样本数据的众数可得；对D ，先判断出中位数在[80,90)内，列出式子可求.【详解】对于A ，由频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，知0.060.06100.40.21a ++++=，解得0.028a =，A 正确；对于B ，由频率分布直方图易知，估计参与评分的3000名学生中，评分超过90分的人数为3000(0.0210)600⨯⨯=，B 正确；对于C ，由频率分布直方图可知，众数的估计值为85，C 正确；对于D ，前三组频率之和为(0.0060.0060.028)100.4++⨯=，前四组频率之和为0.40.04100.8+⨯=，则中位数在[80,90)内，设学生评分的中位数的估计值为x ，则0.4(80)0.040.5x +-⨯=，解得82.5,x =，D 错误.故选：D.【点睛】频率分布直方图中的常用结论：（1）频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1；（2）频率分布直方图中最高长方形底边中点对应的横坐标是样本数据的众数；（3）平分频率分布直方图中小矩形的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是样本数据的中位数；（4）频率分布直方图中每个小长方形的面积与对应小长方形底边中点的横坐标的乘积之和是样本数据的平均数.7.【答案】C【分析】利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A 选项的正误；利用正弦定理可判断B 选项的正误；利用余弦定理可判断C 选项的正误；利用基本不等式､余弦定理结合三角形的面积公式可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若A B >，则a b >，由正弦定理可得sin sin a b A B=，所以，sin sin ,A A B >选项正确； 对于B 选项，sin 4sin302b A ==，则sin b A a b <<，所以，ABC 有两解，B 选项正确；对于C 选项，若ABC 为钝角三角形且C 为钝角，则222cos 02a b c C ab+-=<，可得 222,C a b c +<选项错误对于D 选项，由余弦定理与基本不等式可得2222242cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以，1sin 2ABC Sbc A ==≤D 选项正确. 故选：C.【点睛】方法点睛：求三角形面积的最值是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.8.【答案】D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定m ，n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知:3AP mAB nAC mAB nAE =+=+， ,,P B E 三点共线，则:31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭ 当且仅当11,26m n ==时等号成立.综上可得31:m n+的最小值是12 本题选择D 选项.9.【答案】16【解析】因为高校甲乙丙丁四个专业分别有150，150，400，300名学生，所以本校共有学生1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个 体被抽到的概率是401100025=，因为丙专业有400人，所以要抽取14001625⨯=人. 10.【答案】23【分析】在甲､乙､丙处投中分别记为事件,,A B C ，恰好投中两次为事件,ABC ABC ，ABC 发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果.【详解】在甲､乙､丙处投中分别记为事件,,A B C ， 恰好投中两次为事件,,ABC ABC ABC 发生，故恰好投中两次的概率()111111711132323218P p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23p =. 故答案为2:3 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 11.【答案】7【分析】利用方差公式可求得结果.【详解】设原数据为123456,,,,,a a a a a a ，则()6621116424,486i i i i a a ===⨯=-=∑∑ 加入2和6两个新数据后，所得8个数据的平均数为612648ii a =++=∑，所得8个数据的方差为()6222214(24)(64)4844788i i a s =-+-+-++===∑. 故选：7.12.【答案】16-以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建系，则()()()()()3,3,0,4,2,2,3,1F D E G FD EA AG ∴+⋅= ()()()()()()3,12,23,15,13,116-+--⋅=--⋅=- 13.7814.C15.【答案】（1）3π；（2）【解析】【分析】（1）在ABC中，由正弦定理化简得sin sin cos sin 0A A C A C +=，又由sin 0A >，化简得1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可求得C 的值；（2）在ABC 中，由余弦定理，列出关于a 方程，求得2,4a b ==，再利用三角形的面积公式，即可求解【详解】（1）由题意，知cos sin 0a b c A C +-=，由正弦定理可得sin sin sin cos sin 0A B C A A C +-=，整理得()sin sin sin cos sin 0A A C C A A C ++-=，即sin sin cos sin 0A A C A C +=，又因为()0,A π∈，则sin 0A >cos 2sin 16C C C π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭， 即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又因为5666C πππ-<-<，所以66C ππ-=，解得3C π=. （2）在ABC 中，由余弦定理可得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-，因为2c b a ==，所以122222423a a a a =+-=，解得2a =，所以24b a ==，则三角形的面积11sin 2422S ab C ==⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了正弦定理､余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理李额方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）取PD 的中点N ，连结,MN CN ，推导出四边形BMNC 是平行四边形，得到//BM CN ，由线面平行的判定定理，即可证明//BM 平面PCD .（2）由面面垂直的性质定理可证AB ⊥平面,,PAD AB DM DM PA ⊥⊥，得到DM ⊥平面PAB ，由面面垂直的判定定理，可证明平面BDM ⊥平面PAB .【详解】证明:（1）取PD 的中点N ，连接,MN CN .因为M 是PA 的中点，所以MN 为PAD 的中位线， 所以1//2MN AD .又因为BC /1//2AD ， 所以//MN BC所以四边形BMNC 为平行四边形，所以//BM CN .又BM ⊄平面,PCD CN ⊂平面PCD ，所以BM //平面PCD .（2）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面,ABCD AD AB AD =⊥，AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD .DM ⊂平面,PAD AB DM ∴⊥.又因为,DP DA M =为PA 的中点，所以DM PA ⊥，PA ⊂平面,PAB AB ⊂平面PAB ，且PA AB A ⋂=，所以DM ⊥平面PAB .又DM ⊂平面BDM ，所以平面BDM ⊥平面PAB .【点睛】本题考查线面平行､面面垂直的证明，考查空间中线线､线面､面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.17.（1）由频率分布直方图可知，第四个矩形的高为：()0.10.0100.0200.0300.0120.028-+++=，成绩不低于120分的频率为：()0.0300.0280.012100.7++⨯=；所以高三年级不低于120分的人数为： 0.71000700⨯=人.1050.11150.21250.31350.281450.12x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯126.2=（2）由频率分布直方图知，成绩在[140，150]的人数是6，记女生为A ，B ，男生为,,,c d e f ，从这6人中抽取2人的情况有,,,,,,,AB Ac Ad Ae Af Bc Bd Be ，,,,,,,Bf cd ce cf de df ef ，共15种.其中至少有一名女生的情况有9种，故至少有一名女生的概率为93155=. 18.（1）证明：取AB 的中点F ，连接DF ，交1A B 于点M ，可知M 为DF 的中点， 连接EM ，易知四边形1C DME 为平行四边形，所以1//C D EM ， 又1C D ⊂平面1,A BE EM ⊂平面1A BE ，所以1//C D 平面1A BE . （2）分别以1,,CA CB CC 所在的直线为x 轴､y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 可得11(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1),(2,0,2)B C E A ，则1(0,2,2)BC =-，1(2,0,1)EA =，(0,2,1)EB =-， 设平面1A BE 的法向量为(,,)n x y z =，则100n EA n EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x z y z +=⎧⎨-=⎩，令1x =，可得1,2y z =-=-，即(1,1,2)n =--， 所以1113cos ,6BC nBC n BC n ⋅<>==-⋅， 所以直线1BC 与平面1A BE （3）假设在棱1CC 是存在一点P ，设,(02)CP a a =<<，可得(0,0,)P a ， 由(2,0,0),(0,2,0)A B ，可得(2,0,)PA a =-，(0,2,)PB a =-， 设平面PAB 的法向量为111(,,)m x y z =，则00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即122020x az y az -=⎧⎨-=⎩，令2z =，可得11,x a y a ==，即(,,2)m a a =， 又由平面1A BE 的一个法向量为(1,1,2)n =--， 所以2cos ,m nm n a m n ⋅<>==，因为平面PAB 与平面1A BE 所成二面角为60， 1cos602==，解得2103a =，此时a 所以在棱1CC 上存在一点P ，使得平面PAB 与平面1A BE 所成二面角为60.。

2020-2021学年天津市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）1．（4分）设集合2{|540}A x x x =-+，{|2}B x N x =∈，则(A B = )A ．{|12}x x <B ．{1，2}C ．{0，1}D ．{0，1，2}2．（4分）已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为( ) A ．00x ∃，使得00(1)1x x e + B ．00x ∃>，使得00(1)1x x e +C ．0x ∀>，总有(1)1x x e +D ．0x ∀，总有(1)1x x e +3．（4分）设R α∈，则“23παπ=+，Z ∈”是“1cos 2α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（4分）函数1()()cos (f x x x x xππ=--且0)x ≠的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<6．（4分）已知212()log (3)f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，4]B ．(,4)-∞C ．(4-，4]D ．[4-，4]7．（4分）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-，则cos()(2βα+= ) A 3B ．3C 53D ．68．（4分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x Ax A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )①函数()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称； ②函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称； ③函数()y f x =在2[,]36ππ--单调递减； ④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④9．（4分）设函数|21|,2()7,2x x f x x x ⎧-=⎨-+>⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f （a ）f =（b ）f =（c ），则222a b c ++的取值范围是( ) A ．(8,9)B ．(65,129)C ．(64,128)D ．(66,130)二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）10．（4分）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为 ．11．（4分）已知函数log (1)6(0a y x a =-+>，1)a ≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为 ．12．（4分）设函数2,0()1,0x bx c x f x x ⎧++=⎨<⎩，若f （4）(0)f =，f （2）2=，则函数()()g x f x x =-的零点的个数是 ．13．（4分）对任意的(0,)2πθ∈，不等式2214|21|x sin cos θθ+-恒成立，则实数x 的取值范围是 ．14．（4分）已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪-++>⎩，()3cos 4g x x x =++，若对任意[3t ∈-，3]，总存在[0,]2s π∈，使得()()(0)f t a g s a +>成立，则实数a 的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，共64分）15．（12分）设函数y =A ，集合2{|20}B x x x =-． （Ⅰ）求集合A ，B ，并求RAB ；（Ⅱ）若集合{|21}C x a x a =+，且BC C =，求实数a 的取值范围．16．（12分）已知sin(2)cos()2()cos()tan()2f ππαααπαπα-+=-++．（Ⅰ）化简()f α，并求()3f π；（Ⅱ）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值； （Ⅲ）求函数2()2()()12g x f x f x π=-++的值域．17．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本()f x 万元，2550500,040,100()25003013000,40,100x x x x Nf x x x x N x ⎧++<<∈⎪=⎨+-∈⎪⎩．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润()g x （万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润． 18．（14分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π． （Ⅰ）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）将()f x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数()g x 的图象，若263x ππ时，|()|2g x m -<恒成立，求m 得取值范围．19．（14分）已知函数()()()f x ln x a a R =+∈的图象过点(1,0)，2()()2f x g x x e =-． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()(2)y f x ln x =+-在区间(1,2)上有零点，求整数的值；（Ⅲ）设0m >，若对于任意1[,]x m m ∈，都有()(1)g x ln m <--，求m 的取值范围．2020-2021学年天津市六校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）1．（4分）设集合2{|540}A x x x =-+，{|2}B x N x =∈，则(A B = )A ．{|12}x x <B ．{1，2}C ．{0，1}D ．{0，1，2}【解答】解：集合2{|540}{|14}A x x x x x =-+=， {|2}{0B x N x =∈=，1，2}， {1AB ∴=，2}．故选：B ．2．（4分）已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为( ) A ．00x ∃，使得00(1)1x x e + B ．00x ∃>，使得00(1)1x x e +C ．0x ∀>，总有(1)1x x e +D ．0x ∀，总有(1)1x x e +【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，p ⌝为00x ∃>，使得00(1)1x x e +， 故选：B ．3．（4分）设R α∈，则“23παπ=+，Z ∈”是“1cos 2α=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解答】解：当“23παπ=+，Z ∈”时，“1cos 2α=”， 当“1cos 2α=”时，“23παπ=±，Z ∈”， 则“23παπ=+，Z ∈”是“1cos 2α=”的充分不必要条件； 故选：A ．4．（4分）函数1()()cos (f x x x x xππ=--且0)x ≠的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：对于函数1()()cos (f x x x x x ππ=--且0)x ≠，由于它的定义域关于原点对称，且满足1()()cos ()f x x x f x x -=-+=-，故函数()f x 为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A 、B ．当x π=，()0f x <，故排除C ， 但是当x 趋向于0时，()0f x <， 故选：D ．5．（4分）设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【解答】解：0.50.50log 0.6log 0.51a <=<=，0.6log 1.20b =<，0.61.21c =>， 则a ，b ，c 的大小关系为b a c <<． 故选：B ．6．（4分）已知212()log (3)f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(-∞，4]B ．(,4)-∞C ．(4-，4]D ．[4-，4]【解答】解：令23t x ax a =-+，则由题意可得函数t 在区间(2,)+∞上是增函数，且0t >， ∴22(2)40at a ⎧⎪⎨⎪=+⎩，求得44a -， 故选：D ． 7．（4分）若02πα<<，02πβ-<<，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-，则cos()(2βα+= ) A 3B ．3C 53D ．6 【解答】解：02πα<<，02πβ-<<，∴3444πππα<+<，4422ππβπ<-< 122sin()149πα∴+=-=，16sin()1423πβ-=-= 53cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()2442442442βππβππβππβαααα∴+=+--=+-++-=故选：C ．8．（4分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )①函数()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称； ②函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称； ③函数()y f x =在2[,]36ππ--单调递减； ④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象．A ．①②B ．①③C ．①②③D ．①②④【解答】解：根据函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象，可得2A =，124312πππω⋅=-，2ω∴=．再根据五点法作图，可得23πϕπ⋅+=，3πϕ∴=，()2sin(2)3f x x π=+． 当6x π=-时，()0f x =，故()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称，故①正确；当512x π=-时，()2f x =-，是最值，故函数()f x 的图象关于直线512x π=-对称，故②正确； 2[,]36x ππ∈--时，2[3x ππ+∈-，0]，故函数()y f x =在2[,]36ππ--不单调，故③错误； 函数()2sin(2)3f x x π=+的图象向右平移3π个单位得到22sin(2)2sin(2)333y x x πππ=--=-，故④错误．故选：A ．9．（4分）设函数|21|,2()7,2x x f x x x ⎧-=⎨-+>⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足f （a ）f =（b ）f =（c ），则222a b c ++的取值范围是( ) A ．(8,9)B ．(65,129)C ．(64,128)D ．(66,130)【解答】解：作出函数|21|,2()7,2x x f x x x ⎧-=⎨-+>⎩的图象如图，不妨设a b c <<，由f （a ）f =（b ），得1221a b -=-，则222a b +=． 由()6(0f c c --+∈，1)，得(6,7)c ∈，则642128c <<． 66222130a b c ∴<++<，即222a b c ++的取值范围是(66,130)． 故选：D ．二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）10．（4分）已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为 2π ．【解答】解：由扇形的面积2211233223S r r r παπ==⨯⨯=⇒=．此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=， 故答案为：2π．11．（4分）已知函数log (1)6(0a y x a =-+>，1)a ≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为 3 ．【解答】解：函数log (1)6(0a y x a =-+>，1)a ≠，令11x -=得：2x =，此时6y =， 所以点(2,6)A ， 所以6tan 32α==， 故答案为：3．12．（4分）设函数2,0()1,0x bx c x f x x ⎧++=⎨<⎩，若f （4）(0)f =，f （2）2=，则函数()()g x f x x =-的零点的个数是 2 ．【解答】解：由f （4）(0)f =可得二次函数的对称轴为2x =，即：22b-=，4b ∴=-，且f （2）22(4)22c =+-⨯+=，6c ∴=， 据此可得246,0()1,0x x x f x x ⎧-+=⎨<⎩，函数()g x 零点的个数即函数()f x 与函数y x =交点的个数， 绘制函数图象如图所示，观察可得，交点个数为2，故函数()g x 零点的个数为2． 故答案为：2．13．（4分）对任意的(0,)2πθ∈，不等式2214|21|x sin cos θθ+-恒成立，则实数x 的取值范围是 [4-，5] ．【解答】解：(0,)2πθ∈∴2222222214141(sin cos )()5(4tan )5249tan sin cos sincos tan θθθθθθθθ+=++=+++=，当且仅当tan θ时取等号． 对任意的(0,)2πθ∈，不等式2214|21|x sin cos θθ+-恒成立，2214|21|()9min x sin cos θθ∴-+=． 9219x ∴--，解得45x -．∴实数x 的取值范围是[4-，5]．故答案为：[4-，5]．14．（4分）已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3t ∈-，3]，总存在[0,]2s π∈，使得()()(0)f t a g s a +>成立，则实数a 的取值范围为 (0，2] ．【解答】解：对于函数()f x ，当0x 时，7()33f x x =+，由30x -，可得()[4f t ∈-，3]， 当0x >时，22()23(1)4f x x x x =-++=--+，由03x <，可得()[0f x ∈，4]， ∴对任意[3t ∈-，3]，()[4f t ∈-，4]，对于函数()cos 42sin()46g x x x x π++=++，[0x ∈，]2π，[66x ππ∴+∈，2]3π，()[5g x ∴∈，6]， ∴对于[0s ∈，]2π，使得()[5g s ∈，6]，对任意[3t ∈-，3]，总存在[0s ∈，]2π，使得()()(0)f t a g s a +>成立，46a ∴+，解得02a <， 故答案为：(0，2]三、解答题（本大题共5小题，共64分）15．（12分）设函数y =A ，集合2{|20}B x x x =-．（Ⅰ）求集合A ，B ，并求R A B ；（Ⅱ）若集合{|21}C x a x a =+，且BC C =，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）2{|log (1)0}{|2}A x x x x =-=，{|02}B x x =，{|0R B x x ∴=<或2}x >，{|2}R A B x x =>；（Ⅱ）B C C =，C B ∴⊆，当C =∅时，21a a >+，解得1a >，当C ≠∅时，12012a a a ⎧⎪⎨⎪+⎩，解得01a ，综上：a 的取值范围是[0，)+∞．16．（12分）已知sin(2)cos()2()cos()tan()2f ππαααπαπα-+=-++． （Ⅰ）化简()f α，并求()3f π； （Ⅱ）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值； （Ⅲ）求函数2()2()()12g x f x f x π=-++的值域． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得sin(2)cos()sin (sin )2()cos sin tan cos()tan()2f ππααααααπαααπα-+-⋅-===⋅-++， 故1()cos 332f ππ==． （Ⅱ）tan 2α=， 故222222224sin 3sin cos 5cos 4tan 3tan 54sin 3sin cos 5cos 1sin cos tan 1ααααααααααααα------===++． （Ⅲ）因为()cos f αα=， 所以222125()2cos sin 12sin sin 32(sin )48g x x x x x x =++=-++=--+， 因为sin [1x ∈-，1]，所以1sin 4x =时，25()8max g x =，()0min g x =， 所以()g x 的值域为25[0,]8． 17．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本()f x 万元，2550500,040,100()25003013000,40,100x x x x N f x x x x N x ⎧++<<∈⎪=⎨+-∈⎪⎩．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润()g x （万元）关于产量x （百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．【解答】解：（1）由题意知，当040x <<，100x N ∈时，22()300550500100052501500g x x x x x x =----=-+-， 当40x ，100x N ∈时，25002500()300301300010002000()g x x x x x x=--+-=-+， 综上，252501500,040,100()25002000(),40,100x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+∈⎪⎩． （2）当040x <<，100x N ∈时，22()525015005(25)1625g x x x x =-+-=--+， 所以当25x =时，()g x 取得最大值1625，当40x ，100x N ∈时，2500()2000()1900g x x x=-+， 当且仅当50x =时，()g x 取得最大值1900，综上，当50x =，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元．18．（14分）已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π． （Ⅰ）求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）将()f x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数()g x 的图象，若263x ππ时，|()|2g x m -<恒成立，求m 得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）21()cos cos 2(cos21)2f x x x x x x ωωωωω-=-+1sin(2)62x πω=--， 由222T ππω==，解得2ω=， 所以，1()sin(4)62f x x π=--． 242262x πππππ--+， ∴224233x ππππ-+， ∴21226x ππππ-+， ()f x ∴的单调递增区间为[,]21226ππππ-+，Z ∈． （Ⅱ）将()f x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，可得1sin(2)62y x π=--的图象； 再向左平移6π个单位，可得1sin(2)62y x π=+-的图象 最后将整个函数图象向上平移32个单位后得到函数()g x 的图象， ∴()sin(2)16g x x π=++． 因为|()|2g x m -<恒成立，所以，()2()2g x m g x -<<+．因为当2[,]63x ππ∈时，()2()2g x m g x -<<+恒成立， 所以，只需[()2][()2]max min g x m g x -<<+．当2[,]63x ππ∈时，()y g x =为单调减函数， 所以，()()1126max g x g π==+=，2()()1103min g x g π==-=， 从而[()2]0max g x -=，[()2]2min g x +=，即02m <<，所以，m 的取值范围是(0,2)．19．（14分）已知函数()()()f x ln x a a R =+∈的图象过点(1,0)，2()()2f x g x x e =-． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若函数()(2)y f x ln x =+-在区间(1,2)上有零点，求整数的值；（Ⅲ）设0m >，若对于任意1[,]x m m∈，都有()(1)g x ln m <--，求m 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数()()()f x ln x a a R =+∈的图象过点(1,0)，(1)0ln a ∴+=，解得0a =，∴函数()f x 的解析式为()f x lnx =；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2(2)(2)y lnx ln x ln x x =+-=-，(1,2)x ∈，令2(2)0ln x x -=，得2210x x --=，①对称轴24x =即8时，()h x 在(1,2)递减，故只需(1)10(2)720h h =->⎧⎨=-<⎩，无解， ②若124<<即48<<时，函数在(1,2)先递减再递增，故只需()()104min h x h ==-<恒成立， ③若14即4时，()h x 在(1,2)递增，∴(1)10(2)720h h =-<⎧⎨=->⎩，解得：712<<， 综上：18<<，Z ∈，∴的取值为2或3，4，5，6，7．（Ⅲ）0m >且1m m >，1m ∴>且101m<<， 2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，()g x ∴的最大值可能是()g m 或1()g m， 2222211212111(1)()()2()(2)()(2)()0m g m g m m m m m m m m m m m m m m m m--=---=---=-+-=-⋅>∴2()()2max g x g m m m ==-，只需()(1)max g x ln m <--，即22(1)m m ln m -<--，设2()2(1)(1)h m m m ln m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，又h （2）0=，22(1)0m m ln m ∴-+-<，即()h m h <（2），12m ∴<<，所以m 的取值范围是(1,2)．。

2019-2020学年天津一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）1. 函数f(x)=ln (x +1)−2x 的零点所在的大致区间是( )A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, 4)2. 设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 23π，则（ ） A.c <b <a B.c <a <b C.a <b <c D.b <c <a3. 若θ∈[π4, π2]，cos 2θ=−18则sin θ＝（ ） A.35B.34C.√74D.454. 下列函数中，以π2为最小正周期的偶函数是（ ）A.y ＝sin 2x +cos 2xB.y ＝sin 2x cos 2xC.y ＝cos (4x +π2)D.y ＝sin 22x −cos 22x5. 在△ABC 中，满足tan A ⋅tan B >1，则这个三角形是（ ） A.正三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形6. 已知tan (α+β)=25，tan (β−π4)=14，则tan (α+π4)的值等于（ ） A.1318 B.322C.1322D.3187. 将函数y =√3cos x +sin x(x ∈R)的图象向左平移m(m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.π6 B.π12C.π3D.5π68. 函数y ＝A sin (ωx +φ)在一个周期内的图象如图，此函数的解析式（ ）A.y ＝2sin (2x +2π3) B.y ＝2sin (2x +π3) C.y ＝2sin (x2−π3) D.y ＝2sin (2x −π3)9. 对于函数f(x)＝sin (2x +π6)的图象，①关于直线x =−π12对称；②关于点(5π12, 0)对称；③可看作是把y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位而得到；④可看作是把y ＝sin (x +π6)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍而得到．以上叙述正确的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10. 已知函数f(x)＝sin 2ωx 2+12sin ωx −12(ω>0)，x ∈R ，若f(x)在区间(π, 2π)内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A.(0, 18]B.(0, 14]∪[58, 1)C.(0, 58]D.(0, 18]∪[14, 58]二.填空题（共6小题）已知点P(x, 3)是角θ终边上一点，且cos θ=−45，则x 的值为________．已知π2<α<π，且cos (α−π6)=−45，则cos α的值为________．已知一个扇形的弧长为πcm ，其圆心角为π4，则这扇形的面积为 2π cm 2．已知函数f(x)＝a sin x +b tan x −1(a, b ∈R)，若f(−2)＝2018，则f(2)＝________．定义在R上的奇函数f(x)满足：对于任意x∈R有f(x+3)＝−f(x)．若tanα＝2，则f(15sinαcosα)的值为________．己知函数f(x)={73x+3(x≤0)−x2+2x+3(x>0)，g(x)=√3sin x+cos x+4，若对任意t∈[−3, 3]，总存在s∈[0,π2]，使得f(t)+a≤g(s)(a>0)成立，则实数a的取值范围为________．三、简答题（共4小题）已知0<α<π2，sinα=45．（1）求tanα的值；（2）求cos(2α+π4)的值；（3）若0<β<π2且cos(α+β)=−12，求sinβ的值．已知−π2<x<0,sin x+cos x=15．(Ⅰ)求sin x−cos x的值．(Ⅱ)求3sin 2x2−2sin x2cos x2+cos2x2tan x+cot x的值．已知函数f(x)=4tan x sin(π2−x)cos(x−π3)−√3；（1）求f(x)的定义域与最小正周期；（2）求f(x)在区间[−π4,π4]上的单调性与最值．已知函数f(x)=m−22x+1是定义在R上的奇函数，（1）求实数m的值；（2）如果对任意x∈R，不等式f(2a+cos2x)+f(4sin x−√2a−1−7)<0恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2019-2020学年天津一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】D二.填空题（共6小题）【答案】−4【答案】−3−4√310【答案】2π【答案】−2020 【答案】 0【答案】 (0, 2]三、简答题（共4小题） 【答案】∵ 0<α<π2，sin α=45， ∴ cos α=√1−sin 2α=35，∴ tan α=sin αcos α=43， ∵ sin 2α＝2sin αcos α=2425，cos 2α＝cos 2α−sin 2α=−725∴ cos (2α+π4)=√22(cos 2α−sin 2α)=√22(−725−2425)=−31√250，∵ 0<α<π2，0<β<π2， ∴ 0<α+β<π， ∵ cos (α+β)=−12， ∴ sin (α+β)=√32， ∴ sin β＝sin [(α+β)−α]＝sin (α+β)cos α−cos (α+β)sin α=4+3√310【答案】（1）∵ −π2<x <0，∴ sin x <0，cos x >0，则sin x −cos x <0， 又sin x +cos x =15，平方后得到 1+sin 2x =125， ∴ sin 2x =−2425∴ (sin x −cos x )2＝1−sin 2x =4925，又∵ sin x −cos x <0， ∴ sin x −cos x =−75．(2)3sin 2x 2−2sin x 2cos x 2+cos 2x2tan x +cot x =2sin 2x2−1−2sin x +21sin x cos x＝(−cos x −sin x +2)sin x cos x =(2−15)(−1225)=−108125 【答案】由tan x有意义得x≠π2+kπ，k∈Z．∴f(x)的定义域是{x|x≠kπ+π2,k∈Z}，f(x)＝4tan x cos x cos(x−π3)−√3=4sin x cos(x−π3)−√3=2sin x cos x+2√3sin2x−√3＝sin2x+√3(1−cos2x)−√3=sin2x−√3cos2x＝2sin(2x−π3)．∴f(x)的最小正周期T=2π2=π．令−π2+2kπ≤2x−π3≤π2+2kπ，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z．令π2+2kπ≤2x−π3≤3π2+2kπ，解得5π12+kπ≤x≤11π12+kπ，k∈Z．[−π12+kπ, 5π12+kπ]∩[−π4, π4]＝[−π12, π4]，[5π12+kπ, 11π12+kπ]∩[−π4, π4]＝[−π4, −π12]，∴f(x)在[−π12,π4]上单调递增，在[−π4,−π12]上单调递减，∴f(x)的最小值为f(−π12)＝−2，又f(−π4)＝−1，f(π4)＝1，∴f(x)的最大值为f(π4)＝1．【答案】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(−x)＝−f(x)，即m−22x+1+m−22−x+1=0，即2m−2＝0，即m＝1．f(x)=1−22x+1，任取x1<x2，则f(x1)−f(x2)=21+2x2−21+2x1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)，因为x1<x2，所以2x1<2x2，所以f(x1)−f(x2)<0，所以函数f(x)在R上是增函数．因为f(2a+cos2x)+f(4sin x−√2a−1−7)<0，且f(x)是奇函数．所以f(2a+cos2x)<−f(4sin x−√2a−1−7)=f(√2a−1−4sin x+7)，因为f(x)在R上单调递增，所以2a+cos2x<√2a−1−4sin x+7，即2a−√2a−1<−cos2x−4sin x+7对任意x∈R都成立，由于−cos2x−4sin x+7＝(sin x−2)2+2，其中−1≤sin x≤1，所以(sin x−2)2+2≥3，即最小值为3．所以2a−√2a−1<3，即2a−1−√2a−1−2<0，解得−1<√2a−1<2，由0≤√2a−1<2，得12≤a<52．故实数a的取值范围12≤a<52．。

天津市第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知点落在角的终边上，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】确定点P所在象限，求出值．【详解】由题意，∴P点在第四象限，又，∴．故选C．【点睛】本题考查已知角终边上一点坐标，求角问题．解题关键是掌握三角函数的定义．可以先确定点所在象限（即角的象限），然后由三角函数定义求出一个三角函数值，注意角的象限结合三角函数的定义可求角．2．已知，则的值是（）A．B．C．-2 D．2【答案】A【解析】试题分析：由已知可得,故.应选A.【考点】同角三角函数的关系及运用.3．已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由条件利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果．【详解】∵cos（），则sin（）＝sin[（）-]＝-cos（），故选：A．【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，关键是建立所求角与已知角的关系，属于基础题．4．已知，点为角的终边上一点，且，则角（）A．B．C．D．【答案】D5．在中，三内角的对边分别为，若的面积为，且，则（）A．B．C．D．【答案】B6．要得到函数的图像，只需将函数的图像上所有的点的（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【答案】C【解析】∵y＝cos x＝sin(x＋)，∴将y＝sin(2x＋)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝sin(x＋)的图象，再向左平移个单位即可得到y ＝sin(x＋)的图象．故选C.7．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】试题分析：由于函数与函数均关于点成中心对称，结合图形以点为中心两函数共有个交点，则有，同理有，所以所有交点的横坐标之和为.故正确答案为D.【考点】1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.8．已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】C9．定义在上的函数满足，当时，，则（）A．B．C．D．【答案】B10．（2016新课标全国I理科）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为A．11 B．9C．7 D．5【答案】B二、填空题11．已知，且，则的值为_____．【答案】【解析】由θ的范围，得到cosθ＜sinθ，进而得到所求式子的值为负数，然后把所求式子平方，利用同角三角函数间的基本关系化简后，将sinθcosθ的值代入，开方即可得到值．【详解】由θ，根据函数正弦及余弦函数图象得到cosθ＜sinθ，即cosθ﹣sinθ＜0，∵sinθcosθ，∴（cosθ﹣sinθ）2＝cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ＝1﹣2sinθcosθ＝1﹣2，则cosθ﹣sinθ．故答案为.【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，同时注意根据θ的范围判断所求式子的正负，开方得到满足题意的解．12．已知函数，若，则_____．【答案】-202013．在中，角的对边分别为，已知，，，若，则_____．【答案】14．将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为_____．【答案】【解析】试题分析：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinωx，y=g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．【考点】本题考查了图象的变换及周期的运用点评：熟练掌握三角函数图象变换及性质是解决此类问题的关键，属基础题15．已知在上有两个不同的零点，则的取值范围是___．【答案】[1，2）【解析】试题分析：因为函数在区间上增，上减，根据题意结合零点存在性定理可知且，且，解得，故答案为[1，2）．【考点】函数的性质与零点存在性定理16．关于下列命题：①若是第一象限角，且，则；②函数是偶函数；③函数的一个对称中心是；④函数在上是增函数，所有正确命题的序号是_____．【答案】②③【解析】结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．【详解】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；对于②，函数y=sin=-cos πx，f(x)=-cos(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．综上，命题②③正确．【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．三、解答题17．已知函数，.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为，最小值为-1【解析】试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为，利用周期公式即可求得函数的最小正周期；（2）可分析得到函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，从而可求得在区间上的最大值和最小值.试题解析：(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin.所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1.18．在中，角的对边分别为，已知.（1）若，求的值；（2）若，的面积为，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】(1)先利用正弦定理化简得，再根据和正弦定理求出a的值.(2)因为的面积为得，由余弦定理可得,所以．【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，则，因为，所以由正弦定理可得．（2）因为的面积为，所以，得，因为，所以由余弦定理可得，所以，即，因为，所以．【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19．设函数的图像过点.（1）求的解析式；（2）已知，，求的值；（3）若函数的图像与的图像关于轴对称，求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）；（3）单减区间为，单增区间为.【解析】(1)将P点坐标代入求A，即得结果，(2)先代入得，利用平方关系得，再根据诱导公式化简式子，最后代入求结果，(3)先根据对称性得解析式，在根据正弦函数性质求单调区间.【详解】（1）因为，所以；（2）,所以, =;（3）因为函数的图象与图象关于轴对称，所以，由得单减区间为，由得单增区间为。

2020-2021学年天津市六校高一（上）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤13．设α∈R，则“，k∈Z”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．5．设a＝log0.50.6，b＝log0.61.2，c＝1.20.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a6．已知f（x）＝（x2﹣ax+3a）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，4]7．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）＝，cos（﹣）＝，则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣8．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）①函数y＝f（x）的图象关于点对称；②函数y＝f（x）的图象关于直线对称；③函数y＝f（x）在单调递减；④该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象．A．①②B．①③C．①②③D．①②④9．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（8，9）B．（65，129）C．（64，128）D．（66，130）二、填空题（共5小题）.10．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为．11．已知函数y＝log a（x﹣1）+6（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，且点A在角α的终边上，则tanα的值为．12．设函数，若f（4）＝f（0），f（2）＝2，则函数g（x）＝f （x）﹣x的零点的个数是．13．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是．14．已知函数，g（x）＝sin x+cos x+4，若对任意t∈[﹣3，3]，总存在，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共64分）15．（12分）设函数的定义域为A，集合B＝{x|x2﹣2x≤0}．（Ⅰ）求集合A，B，并求A∩∁R B；（Ⅱ）若集合C＝{x|2a≤x≤a+1}，且B∩C＝C，求实数a的取值范围．16．（12分）已知．（Ⅰ）化简f（α），并求；（Ⅱ）若tanα＝2，求4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α的值；（Ⅲ）求函数的值域．17．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f（x）万元，f（x）＝．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润g（x）（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣cos2ωx（ω＞0）周期是．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数g（x）的图象，若时，g（x）﹣|m|＜2恒成立，求m得取值范围．19．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2e f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）+ln（2x﹣k）在区间（1，2）上有零点，求整数k的值；（Ⅲ）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．参考答案一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）1．设集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}，B＝{x∈N|x≤2}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{1，2}C．{0，1}D．{0，1，2}解：∵集合A＝{x|x2﹣5x+4≤0}＝{x|1≤x≤4}，B＝{x∈N|x≤2}＝{0，1，2}，∴A∩B＝{1，2}．故选：B．2．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p为（）A．∃x0≤0，使得（x0+1）≤1B．∃x0＞0，使得（x0+1）≤1C．∀x＞0，总有（x+1）e x≤1D．∀x≤0，总有（x+1）e x≤1解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）≤1，故选：B．3．设α∈R，则“，k∈Z”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当“，k∈Z”时，“”，当“”时，“，k∈Z”，则“，k∈Z”是“”的充分不必要条件；故选：A．4．函数f（x）＝（x﹣）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．解：对于函数f（x）＝（﹣x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝（﹣+x）cos x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x＝π，f（x）＜0，故排除C，但是当x趋向于0时，f（x）＜0，故选：D．5．设a＝log0.50.6，b＝log0.61.2，c＝1.20.6，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a解：0＜a＝log0.50.6＜log0.50.5＝1，b＝log0.61.2＜0，c＝1.20.6＞1，则a，b，c的大小关系为b＜a＜c．故选：B．6．已知f（x）＝（x2﹣ax+3a）在区间（2，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，4）C．（﹣4，4]D．[﹣4，4]解：令t＝x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间（2，+∞）上是增函数，且t＞0，∴，求得﹣4≤a≤4，故选：D．7．若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos（+α）＝，cos（﹣）＝，则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵0＜α＜，﹣＜β＜0，∴＜+α＜，＜﹣＜∴sin（+α）＝＝，sin（﹣）＝＝∴cos（α+）＝cos[（+α）﹣（﹣）]＝cos（+α）cos（﹣）+sin （+α）sin（﹣）＝故选：C．8．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）①函数y＝f（x）的图象关于点对称；②函数y＝f（x）的图象关于直线对称；③函数y＝f（x）在单调递减；④该图象向右平移个单位可得y＝2sin2x的图象．A．①②B．①③C．①②③D．①②④解：根据函数的部分图象，可得A＝2，•＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2•+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝2sin（2x+）．当x＝﹣时，f（x）＝0，故y＝f（x）的图象关于点对称，故①正确；当时，f（x）＝﹣2，是最值，故函数f（x）的图象关于直线对称，故②正确；x∈时，2x+∈[﹣π，0]，故函数y＝f（x）在不单调，故③错误；函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移个单位得到y＝2sin（2x﹣﹣）＝2sin（2x﹣），故④错误．故选：A．9．设函数f（x）＝，若互不相等的实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则2a+2b+2c的取值范围是（）A．（8，9）B．（65，129）C．（64，128）D．（66，130）解：作出函数f（x）＝的图象如图，不妨设a＜b＜c，由f（a）＝f（b），得1﹣2a＝2b﹣1，则2a+2b＝2．由f（﹣c）﹣c+6∈（0，1），得c∈（6，7），则64＜2c＜128．∴66＜2a+2b+2c＜130，即2a+2b+2c的取值范围是（66，130）．故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）10．已知扇形的圆心角为，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为2π．解：由扇形的面积S＝＝××r2＝3π⇒r＝3．此扇形所含的弧长l＝αr＝×3＝2π，故答案为：2π．11．已知函数y＝log a（x﹣1）+6（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，且点A在角α的终边上，则tanα的值为3．解：函数y＝log a（x﹣1）+6（a＞0，a≠1），令x﹣1＝1得：x＝2，此时y＝6，所以点A（2，6），所以tanα＝＝3，故答案为：3．12．设函数，若f（4）＝f（0），f（2）＝2，则函数g（x）＝f （x）﹣x的零点的个数是2．解：由f（4）＝f（0）可得二次函数的对称轴为x＝2，即：，∴b＝﹣4，且f（2）＝22+（﹣4）×2+c＝2，∴c＝6，据此可得，函数g（x）零点的个数即函数f（x）与函数y＝x交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可得，交点个数为2，故函数g（x）零点的个数为2．故答案为：2．13．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣4，5]．解：∵θ∈（0，）∴+＝（sin2θ+cos2θ）（+）＝5+（4tan2θ+）≥5+2＝9，当且仅当tanθ＝时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤（+）min＝9．∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．14．已知函数，g（x）＝sin x+cos x+4，若对任意t∈[﹣3，3]，总存在，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，则实数a的取值范围为（0，2]．解：对于函数f（x），当x≤0时，f（x）＝，由﹣3≤x≤0，可得f（t）∈[﹣4，3]，当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，由0＜x≤3，可得f（x）∈[0，4]，∴对任意t∈[﹣3，3]，f（t）∈[﹣4，4]，对于函数g（x）＝sin x+cos x+4＝2sin（x+）+4，∵x∈[0，]，∴x+∈[，π]，∴g（x）∈[5，6]，∴对于s∈[0，]，使得g（s）∈[5，6]，∵对任意t∈[﹣3，3]，总存在s∈[0，]，使得f（t）+a≤g（s）（a＞0）成立，∴a+4≤6，解得0＜a≤2，故答案为：（0，2]三、解答题（本大题共5小题，共64分）15．（12分）设函数的定义域为A，集合B＝{x|x2﹣2x≤0}．（Ⅰ）求集合A，B，并求A∩∁R B；（Ⅱ）若集合C＝{x|2a≤x≤a+1}，且B∩C＝C，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）A＝{x|log2（x﹣1）≥0}＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x≤2}，∴∁R B＝{x|x＜0或x＞2}，A∩∁R B＝{x|x＞2}；（Ⅱ）∵B∩C＝C，∴C⊆B，当C＝∅时，2a＞a+1，解得a＞1，当C≠∅时，，解得0≤a≤1，综上：a的取值范围是[0，+∞）．16．（12分）已知．（Ⅰ）化简f（α），并求；（Ⅱ）若tanα＝2，求4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α的值；（Ⅲ）求函数的值域．解：（Ⅰ）由题意可得＝，故．（Ⅱ）∵tanα＝2，故4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α＝＝．（Ⅲ）因为f（α）＝cosα，所以g（x）＝2cos2x+sin x+1＝﹣2sin2x+sin x+3＝，因为sin x∈[﹣1，1]，所以时，，g（x）min＝0，所以g（x）的值域为．17．（12分）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f（x）万元，f（x）＝．假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元．（1）求出利润g（x）（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润．解：（1）由题意知，当0＜x＜40，100x∈N时，g（x）＝300x﹣5x2﹣50x﹣500﹣1000＝﹣5x2+250x﹣1500，当x≥40，100x∈N时，，综上，．（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g（x）＝﹣5x2+250x﹣1500＝﹣5（x﹣25）2+1625，所以当x＝25时，g（x）取得最大值1625，当x≥40，100x∈N时，，当且仅当x＝50时，g（x）取得最大值1900，综上，当x＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元．18．（14分）已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣cos2ωx（ω＞0）周期是．（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数g（x）的图象，若时，g（x）﹣|m|＜2恒成立，求m得取值范围．解：（Ⅰ）∵＝＝，由，解得ω＝2，所以，．∵，∴，∴，∴f（x）的单调递增区间为，k∈Z．（Ⅱ）将f（x）图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，可得y＝sin（2x﹣）﹣的图象；再向左平移个单位，可得y＝sin（2x+）﹣的图象最后将整个函数图象向上平移个单位后得到函数g（x）的图象，∴．因为|g（x）﹣m|＜2恒成立，所以，g（x）﹣2＜m＜g（x）+2．因为当时，g（x）﹣2＜m＜g（x）+2恒成立，所以，只需[g（x）﹣2]max＜m＜[g（x）+2]min．当时，y＝g（x）为单调减函数，所以，，，从而[g（x）﹣2]max＝0，[g（x）+2]min＝2，即0＜m＜2，所以，m的取值范围是（0，2）．19．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），g（x）＝x2﹣2e f （x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数y＝f（x）+ln（2x﹣k）在区间（1，2）上有零点，求整数k的值；（Ⅲ）设m＞0，若对于任意，都有g（x）＜﹣ln（m﹣1），求m的取值范围．解：（Ⅰ）函数f（x）＝ln（x+a）（a∈R）的图象过点（1，0），∴ln（1+a）＝0，解得a＝0，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝lnx；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y＝lnx+ln（2x﹣k）＝ln（2x2﹣kx），x∈（1，2），令ln（2x2﹣kx）＝0，得2x2﹣kx﹣1＝0，设h（x）＝2x2﹣kx﹣1，则函数y＝f（x）+ln（2x﹣k）在区间（1，2）上有零点，等价于函数y＝h（x）在（1，2）上有零点∴，∴，∵k∈Z，∴k的取值为2或3．（Ⅲ）∵m＞0且，∴m＞1且，∵g（x）＝x2﹣2e f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴g（x）的最大值可能是g（m）或，∵＝＝＝，∴，只需g（x）max＜﹣ln（m﹣1），即m2﹣2m＜﹣ln（m﹣1），设h（m）＝m2﹣2m+ln（m﹣1）（m＞1），h（m）在（1，+∞）上单调递增，又h（2）＝0，∴m2﹣2m+ln（m﹣1）＜0，即h（m）＜h（2），∴1＜m＜2，所以m的取值范围是（1，2）．。

天津一中2０15－２016-1高一年级数学学科期末考试试卷本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)、第Ⅱ卷（非选择题)两部分,共100分，考试用时90分钟。

第Ⅰ卷第1页，第Ⅱ卷第2页至第3页。

考生务必将答案涂写规定的位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷一.选择题:(每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．１． 22(1tan 15)cos 15+︒︒的值等于（ )A ﻩB ．1 Ｃ.－12ﻩ Ｄ．122． 已知(,3)a x =,(3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( ) Ａ．-9 ﻩﻩ B.９ ﻩ Ｃ.－1D ．13.要得到函数3cos(2)4y x π=-的图象,可以将函数3sin 2y x =的图象( )A.沿x 轴向左平移π８个单位B ．沿x 轴向右平移＼f(π，8)个单位C ．沿x 轴向左平移π4个单位D.沿x 轴向右平移π4个单位４.已知sin()sin 3παα++=，则7sin()6πα+的值是( )A ． C.45 ﻩﻩ D ．45-5.已知函数()()x x x x f cos cos sin +=,则下列说法正确的为( ) A.函数()x f 的最小正周期为2πB ．函数()x fC.函数()x f 的图象关于直线8x π=-对称D ．将()x f 图像向右平移8π个单位长度，再向下平移21个单位长度后会得到一个奇函数图像6.已知向量b a,的夹角为60°,且2,1==b a ,则=+b a 2（ )A.3 B ．5 ﻩC ．22 Ｄ．32７．在△AB Ｃ中，若2sin sin cos 2AB C ⋅=，则此三角形为( ) Ａ．等边三角形 ﻩﻩ ﻩ ﻩＢ.等腰三角形 C ．直角三角形ﻩD ．等腰直角三角形8.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为（ ）Ａ.＼f (3π，4) B.错误! C ．0 ﻩ D ．－错误! ９.在ABC △中，AB AC AB AC +=-，21AB AC ==，,E F ，为BC 的三等分点,则AEAF •=( )Aﻩﻩﻩﻩﻩ１0．已知函数sin()10,()2log (0,1)0a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩，且，的图像上关于y 轴对称的点至少有3对,则实数a 的取值范围是（) A ．⎛⎝ﻩB ．⎫⎪⎪⎭ﻩＣ.⎫⎪⎪⎭ﻩﻩ Ｄ．⎛ ⎝天津一中2０15—20１6—1高一年级数学学科期末考试试卷答题纸第Ⅱ卷二．填空题:（本大题共6小题,每小题４分,共24分）１1.函数2sin()63x y ππ=-(09x ≤≤)的最大值与最小值之和为 ．23- １2.设a 3(,sin )2α=，b 1(cos ,)3α=，且a b ∥，则锐角α为 ．045１3.已知sin co 43s θθ+=,⎪⎭⎫⎝⎛∈40πθ，，则sin cos θθ-的值为 ．23-14.若a b ， 均为非零向量,且(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a b ， 的夹角为 ．3π1５．函数()cos()f x A x ωϕ=+(00A ω>>，）的部分图象如图所示，则 (1)(2)(3)(2011)(2012)f f f f f +++++的值为 .16.给出下列五个命题:①函数2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512x π=；②函数tan y x =的图象关于点(2π,0）对称；③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44x x ππ-=-，则12x x k π-=，其中k ∈Z ；()sin 2|sin |,[0,2](1,3).f x x x x y k k π=+∈=⑤函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围为以上五个命题中正确的有 （填写所有正确命题的序号)①② 三．解答题:本大题共4小题，共4６分。

2020~2021学年度第一学期期末六校联考高一数学一､选择题(本题共9小题，每题4分，共36分)1. 设集合{}2540A xx x =-+≤∣，{2}B x N x =∈≤∣，则A B =（ ）A. {12}xx <≤∣ B. {}1,2 C. {}0,1D. {}0,1,2【答案】B 【分析】分别求出集合A 和B 的范围，直接求交集即可得解.【详解】{}{}2540|14A xx x x x =-+≤=≤≤∣， {}{2}0,1,2B x N x =∈≤=∣，所以{}1,2AB =，故选：B.2. 已知命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，则p ⌝为（ ）A. 00x ∃≤，使得()0011xx e +≤B. 00x ∃>，使得()0011xx e +≤C. 0x ∀>，总有()11x x e +≤D. 0x ∀≤，使得()11xx e +≤【答案】B 【分析】本题可直接利用全称命题的否定是特称命题来得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，所以p ⌝：00x ∃>，使得()0011xx e +≤，故选：B .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，考查推理能力，是简单题.3. 设α∈R ，则“23k παπ=+，k Z ∈”是“1cos 2α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】 根据1cos 2α=可得：23k παπ=+或523k παπ=+（k Z ∈），利用集合语言和命题语言的对应关系，即可得解. 【详解】由1cos 2α=可得：23k παπ=+或523k παπ=+， 可得2,3|k k Z παπα=+∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭ |23k πααπ⎧=+⎨⎩或523k k Z παπ⎫=+∈⎬⎭，， 所以“23k παπ=+，k Z ∈”是“1cos 2α=”的充分不必要条件， 故选：A.4. 函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.D.【答案】D因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.5. 设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，进而可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】0.5.50.5log 1log 0.6log 0.5<<，即01a <<，0.60.6log 1.2log 10b =<=，0.601.2 1.21c =>=，因此，b a c <<. 故选：B.6. 已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],4-∞B. ()4,-+∞C. []4,4-D. (]4,4-【答案】C 【分析】先由题意，得到23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且230=-+>y x ax a 在()2,+∞上恒成立；根据二次函数性质，列出不等式求解，即可求出结果.【详解】因为()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，所以有23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且230=-+>y x ax a 在()2,+∞上恒成立；因此，只需2222230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得44a -≤≤.故选C【点睛】本题主要考查由复函数函数单调性求参数的问题，熟记对数函数以及二次函数的单调性即可，属于常考题型. 7. 若02＜＜πα，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()42πβ-，则cos()2βα+=（ ）A.B.C.D. -【答案】C 【分析】 由于cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-，所以先由已知条件求出sin()4πα+，sin()42πβ-的值，从而可求出答案【详解】cos()cos[()()]2442βππβαα+=+--cos()cos()442ππβα=+-sin()sin()442ππβα++-，因为02＜＜πα，02πβ-＜＜，所以3(,)444πππα+∈，(,)4242πβππ-∈， 因为1cos()43πα+=，cos()42πβ-，所以sin()43πα+=，sin()42πβ-=，则1cos()23βα+==． 故选：C【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.8. 已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）①函数()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 ②函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 ③函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 ④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象 A. ①② B. ①③C. ①②③D. ①②④【答案】A 【分析】根据()f x 的图象及三角函数图像和性质，解得函数()f x 的解+析式，得到()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.【详解】由函数的图象可得2A =，周期4312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭所以222T ππωπ===， 当12x π=时函数取得最大值，即2sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以22()122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，则23k πϕπ=+，又||2ϕπ<，得 3πϕ=，故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于①，当6x π=-时，()2sin(2())0663f πππ-=⨯-+=，正确；对于②，当512x π=-时，()2sin 551212(2())23f πππ=⨯+-=--，正确； 对于③，令3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以函数的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，27,,()361212k k k Z ππππππ⎡⎤⎡⎤--⊄++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以不正确； 对于④，向右平移3π个单位，()2sin(2())2sin(2)3333f x x x ππππ-=-+=-，所以不正确； 故选：A.【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.9. 设函数21,2()7,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ）A. ()8,9B. ()65,129C. ()64,128D.()66,130【答案】D【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得67c <<，从而可得结果．【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=． 结合图象可得67c <<，故67222c <<． ∴66222130a b c <++<． 故选：D ．【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有： 1、确定方程根的个数； 2、求参数的取值范围； 3、求不等式的解集； 4、研究函数性质．二､填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)10. 已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________.【答案】2π 【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π， 则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =， 此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.11. 已知函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为__________.【答案】3 【分析】求出函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠过的定点坐标，再由tan yxα=即可得解. 【详解】由函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ， 则A 点坐标为(2,6)， 由点A 在角α的终边上， 可得6tan 32y x α===， 故答案为：3.12. 设函数()2010x bx c x f x x ⎧++≥=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是__________. 【答案】2 【分析】根据(4)(0)f f =，(2)2f =，利用二次函数性质求得()f x ，再将()g x 的零点问题转化为函数(),y f x y x ==的图象交点问题，利用数形结合法求解. 【详解】因为(4)(0)f f =，所以当0x ≥时，函数图象关于2x =对称， 所以22b=-，解得4b =-， 又(2)482f c =-+=， 解得6c =，所以()246010x x x f x x ⎧-+≥=⎨<⎩，令()()0g x f x x =-=，即()f x x =，在同一坐标系中作出(),y f x y x ==的图象，如图所示：由图象知，函数(),y f x y x ==的图象交点有2个， 所以()()g x f x x =-的零点的个数有2个，故答案为：2 13. 对任意的0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________． 【答案】[]4,5-()22222222221414cos 4sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭59+=，所以21x - 945x ≤∴-≤≤ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在0,2s π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.【答案】(],2-∞ 【分析】求出f （t ）和g （s ）的值域，根据存在性和恒成立问题，转化为()()()max maxf t ag s +≤求出a 的范围．【详解】对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]， 对于函数g （x）=x +cos x +4＝2sin （x 6π+）+4， ∵s ∈[0，2π]，∴s 6π+∈[6π，23π]， ∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，2π]，使得g （s ）∈[5，6]， ∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，2π]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()max max f t a g s +≤∴a +4≤6， 解得a ≤2， 故答案为：(],2-∞【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．三､解答题(本大题共5小题，共64分)15.设函数y 的定义域为A ，集合{}220B xx x =-≤∣. （1）求集合A ，B ，并求RAB ；（2）若集合{}21C xa x a =≤≤+∣，且B C C =，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{2}A xx =≥∣，{02}B x x =≤≤∣，{2}RA B x x =>∣；（2）[0,)+∞.【分析】（1）由对数函数的性质可得{2}A xx =≥∣，由二次不等式可得{02}B x x =≤≤∣，再由集合的交集、补集的概念即可得解；（2）转化条件为C B ⊆，按照C =∅、C ≠∅分类，运算即可得解. 【详解】（1）因为2102log (1)0x x x ->⎧⇒≥⎨-≥⎩，所以{2}A x x =≥∣，又{}220{02}B xx x x x =-≤=≤≤∣∣，{0RB x x =<∣或2}x >，所以{2}RAB x x =>∣；（2）因为B C C =，所以C B ⊆，当C =∅时，21a a >+，解得1a >，符合题意；当C ≠∅时，则12200112a a a a a +≥⎧⎪≥⇒≤≤⎨⎪+≤⎩；综上：a 的取值范围是[0,)+∞.16. 已知sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭. （1）化简()f α，并求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；（3）求函数2()2()12g x f x f x π⎛⎫=-++⎪⎝⎭的值域. 【答案】（1）()cos f αα=，π132f ；（2）1；（3）250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由诱导公式化简可得()cos f αα=，进而可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）由平方关系和商数关系可转化条件为224tan 3tan 5tan 1ααα--+，即可得解； （3）转化条件为()21252sin 48g x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意可得sin(2)cos 2()cos tan()2f ππαααπαπα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭sin (sin )cos sin tan ααααα-⋅-==⋅， 故1cos 332f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭； （2）∵tan 2α=，故224sin 3sin cos 5cos αααα--22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+224tan 3tan 51tan 1ααα--==+；（3）因为()cos f αα=， 所以22()2cos cos 12cos sin 12g x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭22sin sin 3x x =-++21252sin 48x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭， 因为sin [1,1]x ∈-， 所以当1sin 4x =时，max 25()8g x =，当sin 1x =-时，min ()0g x =所以()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用诱导公式、同角三角函数的关系对原式进行合理变形.17. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.x x x x N x x x N x ⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩；（2）产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元. 【分析】（1）依题意求出各段的函数解+析式，再写成分段函数即可； （2）根据解+析式求出各段函数的最大值，再取最大的即可；【详解】解：（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.x x x x N g x x x x N x ⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩（2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625，且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x=-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.【点睛】(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 18.已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是2π. （1）求()f x 的解+析式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移6π个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若263x ππ≤≤时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围. 【答案】（1）1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）()0,2.【分析】（1）根据正弦和余弦二倍角公式化简可得1()sin 262f x x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由222T ππω==，解得2ω=，带入正弦函数的递增区间242262k x k πππππ-≤-≤+，化简即可得解；（2）根据三角函数的平移和伸缩变换可得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据题意只需要max min [()2][()2]g x m g x -<<+，分别在263x ππ≤≤范围内求出()g x 的最值即可得解.【详解】（1）2()cos cos f x x x x ωωω=-12(cos 21)22x x ωω=-+ 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由222T ππω==，解得2ω= 所以，1()sin 462f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∵242262k x k πππππ-≤-≤+∴224233k x k ππππ-≤≤+∴21226k k x ππππ-≤≤+ ∴()f x 的单调递增区间为,21226k k ππππ-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ （2）依题意得()sin 216g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+因为当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2()2g x m g x -<<+恒成立所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()y g x =单调减函数所以max ()1126g x g π⎛⎫==+=⎪⎝⎭，()min21103g x g π⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭， 从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m <<所以m 的取值范围是()0,2.【点睛】本题考查了三角函数的单调性和最值，考查了三角函数的辅助角公式和平移伸缩变换，有一定的计算量，属于中档题.本题关键点有： （1）三角函数基本量的理解应用； （2）三角函数图像平移伸缩变换的方法； （3）恒成立思想的理解及转化.19. 已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-. （1）求函数()f x 的解+析式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值； （3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围. 【答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2. 【分析】（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；（2）由（1）可得()2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =， 所以函数()f x 的解+析式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈， 令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为k Z ∈，所以k 的取值为2或3. （3）因为0m >且1m m >，所以1m 且101m <<， 因为2()22()22(1)1f x g x x ex x x =-=-=--，所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭所以2max ()()2g x g m m m ==-，只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增， 又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<， 所以m 的取值范围是()1,2.【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。

2020-2021学年天津市和平区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1. sin 5π6=( ) A. 12 B. −12 C. √32 D. −√322. 已知集合A ={x|3x−1<1}，B ={x|2x −x 2≤0}，则A ∪(∁R B)=( )A. {x|0<x <1}B. {x|1<x <2}C. {x|x <1}D. {x|x <2}3. 已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充分必要条件是( )A. 2x >2yB. lgx >lgyC. 1x >1yD. x 2>y 2 4. 已知函数f(x)=lnx −3e ，则其零点在的大致区间为( )A. (1e ,1)B. (1,e)C. (e,e 2)D. (e 2,e 3)5. 函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+m−1是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数，则实数m 为( ) A. 1 B. −1 C. 2 D. −1或26. 已知a =log 2√5，b =log 5√2，c =3−0.5，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <c <a 7. 如图是函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，则ω和φ的值分别为( )A. 2,π6B. 2,−π3C. 1,π6D. 1,−π38. 若不等式(12)x 2−2ax <23x+a 2恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (34,+∞) C. (0,34) D. (−∞,34) 9. 已知f(x)={2x ,x ≤0log 2x,x >0，g(x)=f(x)+x +m ，若g(x)存在两个零点，则m 的取值范围是( ) A. [−1,+∞) B. [−1,0) C. [0,+∞) D. [1,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共24.0分）10. 命题：∃x ∈R ，x 2−x +1=0的否定是______．11. 化简lg1000+813−3log 34= ______ ．12. 已知角α是第四象限角，且满足3cos(−α)−sin(π2+α)=1，则tanα= ______ ．13. 若a >−2，则a +16a+2的最小值为______．14. 函数f(x)=a x +log a (x +1)(a >0且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为______ ．15. 已知f(x)={a x ,x ≥1(4−a 2)x +2,x <1，若对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0成立，则实数a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16. 已知tan(α+π4)=2+√3．(1)求tanα的值；(2)求sin 2α−2cos 2α2sin 2α+cos 2α的值．17. 已知α，β为锐角，cosα=17，cos(α+β)=−1114．(1)求sin(α+β)的值；(2)求cosβ的值．18. 已知定义在[−3,3]上的函数y =f(x)是增函数．(1)若f(m +1)>f(2m −1)，求m 的取值范围；(2)若函数f(x)是奇函数，且f(2)=1，解不等式f(x +1)+1>0．19.已知函数f(x)=sinxcosx−√3cos2x+√32，x∈R．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)求f(x)图象的对称轴方程和对称中心的坐标．20.已知函数f(x)=4cosxsin(x−π6)+1(x∈R)，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，得到函数y=g(x)的图象．(1)求f(π3)的值；(2)求函数y=g(x)的解析式；(3)若f(x02)=√3，求g(x0).答案和解析1.【答案】A【解析】解：sin5π6=sinπ6=12，故选：A．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式化简三角函数式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|3x−1<1}={x|x<1}，B={x|2x−x2≤0}={x|x≤0或x≥2}，∴∁R B={x|0<x<2}，则A∪(∁R B)={x|x<2}．故选：D．求出集合A，B，从而求出∁R B，由此能求出A∪(∁R B)．本题考查补集、并集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由2x>2y⇔x>y，故“x>y”的充分必要条件是：2x>2y，故选：A．根据充分必要条件的定义结合指数函数的性质判断即可．本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：函数f(x)=lnx−3e，是单调连续增函数，f(e)=1−3e <0，f(e2)=2−3e>0，f(e)f(e2)<0，所以函数的零点在(e,e2)内．故选：C．利用零点判定定理，判断求解即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基础知识的考查．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查幂函数的表达形式以及幂函数的单调性，属于基础题．根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m 的值，再根据单调性进行排除，可得答案．【解答】解：∵函数y =(m 2−m −1)x m 2+m−1是幂函数．∴可得m 2−m −1=1，解得m =−1或2．当m =−1时，函数为y =x −1在区间(0,+∞)上递减，满足题意，当m =2时，函数为y =x 5在(0,+∞)上递增，不满足条件．故选B ．6.【答案】D【解析】解：∵a =log 2√5>log 2√4=1，b =log 5√2<log 5√5=12，1>c =3−0.5=√3>12，∴b <c <a ，故选：D ．利用指数与对数函数的单调性即可比较出大小关系．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，属于基础题．根据图象求出周期T ，即可求得ω，再利用五点作图法即可求得φ．【解答】解：由图象可知T 2=2π3−π6=π2，所以T =π，所以ω2πT =2，所以f(x)=2sin(2x +φ)，由五点法作图结合可得2×π6+φ=π2，解得φ=π6．故选：A ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．不等式恒成立化为x 2−2ax >−(3x +a 2)恒成立，即△<0，从而求出a 的取值范围．【解答】 解：不等式(12)x2−2ax <23x+a 2恒成立， 即(12)x 2−2ax <(12)−(3x+a 2)恒成立， 即x 2−2ax >−(3x +a 2)恒成立，即x 2−(2a −3)x +a 2>0恒成立，∴△=(2a −3)2−4a 2<0，即(2a −3+2a)(2a −3−2a)<0，解得a >34；∴实数a 的取值范围是(34,+∞)．故选：B ． 9.【答案】A【解析】解：g(x)=f(x)+x +m ，若g(x)存在两个零点，可得g(x)=0，即f(x)=−x −m 有两个不等实根，即有函数y =f(x)和直线y =−x −m 有两个交点，作出y =f(x)的图象和直线y =−x −m ，当−m ≤1，即m ≥−1时，y =f(x)和y =−x −m 有两个交点，故选：A ．由题意可得g(x)=0，即f(x)=−x −m 有两个不等实根，即有函数y =f(x)和直线y =−x −m 有两个交点，作出y =f(x)的图象和直线y =−x −m ，平移直线即可得到所求范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想，考查指数函数、对数函数的图象和运用，属于中档题．10.【答案】∀x ∈R ，x 2−x +1≠0【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x ∈R ，x 2−x +1=0的否定是：∀x ∈R ，x 2−x +1≠0．故答案为：∀x ∈R ，x 2−x +1≠0．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用．11.【答案】1【解析】解：原式=lg103+23×13−4=3+2−4=1，故答案为：1．根据指数幂的运算性质以及对数函数的性质计算即可．本题考查了指数幂以及对数函数的运算性质，是一道基础题． 12.【答案】−√3【解析】解：∵角α是第四象限角，且满足3cos(−α)−sin(π2+α)=1=3cosα−cosα=2cosα，∴cosα=12，∴sinα=−√1−cos 2α=−√32，∴tanα=sinαcosα=−√3． 故答案为：−√3．由题意利用诱导公式求得cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα，可得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．13.【答案】6【解析】解：∵a >−2，∴a +2>0∴a +16a+2=(a +2)+16a+2−2≥2√(a +2)×16a+2−2=6(当且仅当a =2时，等号成立)．故答案为：6由已知结合基本不等式即可求解最小值．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题． 14.【答案】12【解析】解：无论a >1，还是0<a <1时，则函数f(x)在[0,1]上单调，由题意可得：a 0+log a 1+a +log a 2=a ，解得a =12，故答案为：12．无论a >1，还是0<a <1时，则函数f(x)在[0,1]上单调，由题意可得：a 0+log a 1+a +log a 2=a ，解得a ，即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15.【答案】[4,8)【解析】解：由题意，可知f(x)={a x ,x ≥1(4−a 2)x +2,x <1为R 上的增函数， 则{a >14−a 2>04−a 2+2≤a，解得4≤a <8．∴实数a 的取值范围是[4,8)．故答案为：[4,8)．由题意可得，函数f(x)为R 上的单调增函数，由此可得关于a 的不等式组求解．本题考查分段函数的单调性及应用，考查化归与转化思想，是中档题．16.【答案】解：(1)∵tan(α+π4)=2+√3=tanα+11−tanα，解得tanα=√33． (2)由(1)可得：tan 2α=13．sin 2α−2cos 2α2sin 2α+cos 2α=tan 2α−22tan 2α+1=13−22×13+1=−1．【解析】(1)利用“和差公式”展开tan(α+π4)=2+√3，即可解得tanα．(2)由(1)可得：tan 2α.利用“弦化切”即可得出．本题考查了同角三角函数基本关系式、“和差公式“、“弦化切”，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 17.【答案】解：(1)∵α，β为锐角，cos(α+β)=−1114．∴π2<α+β<π，∴sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=√1−(−1114)2=5√314． (2)∵α为锐角，cosα=17，∴sinα=√1−cos 2α=√1−(17)2=4√37． ∴cosβ=cos[α−(α+β)]=cosα⋅cos(α+β)+sinα⋅sin(α+β)=17×(−1114)+4√37×5√314=12．【解析】(1)根据α，β为锐角，cos(α+β)=−1114，可得π2<α+β<π，再得出sin(α+β)．(2)由α为锐角，cosα=17，可得sinα的值，再利用cosβ=cos[α−(α+β)]，求出cosβ的值．本题考查了同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：(1)由题意可得：{−3≤m +1≤3−3≤2m −1≤3m +1>2m −1, 解得−1≤m <2，即m 的范围是[−1,2)．(2)∵函数f(x)是奇函数，且f(2)=1，∴f(−2)=−f(2)=−1，∵f(x +1)+1>0，∴f(x +1)>−1，∴f(x +1)>f(−2)，∴{x +1>−2−3≤x +1≤3,∴−3<x ≤2． ∴不等式的解集为{x|−3<x ≤2}．【解析】本题主要考查函数的单调性的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键，属于中档题．(1)由题意可得，{−3≤m +1≤3−3≤2m −1≤3m +1>2m −1，由此解不等式组求得m 的范围．(2)由题意可得f(x +1)>f(−2)，所以{x +1>−2−3≤x +1≤3，即可得出结论． 19.【答案】解：(1)f(x)=sinxcosx −√3cos 2x +√32=12sin2x −√32cos2x =sin(2x −π3)， 所以f(x)的最小正周期T =2π2=π． (2)令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得kπ−π12≤x ≤kπ+5π12，k ∈Z ，所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z ．(3)令2x −π3=kπ+π2，k ∈Z ，解得x =kπ2+5π12，k ∈Z ， 即f(x)图象的对称轴方程为x =kπ2+5π12，k ∈Z ．令2x −π3=kπ，k ∈Z ，解得x =kπ2+π6，k ∈Z ，所以f(x)图象的对称中心的坐标为(kπ2+π6,0)，k∈Z．【解析】(1)利用三角恒等变换将函数f(x)化简，利用三角函数周期公式即可求解；(2)利用正弦函数的单调性即可求解；(3)利用三角函数的对称性即可求解．本题主要考查三角恒等变换，三角函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=4cosxsin(x−π6)+1=2√3sinxcosx−2cos2x+1=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，故f(π3)=2sinπ2=2．(2)将函数y=f(x)=2sin(2x−π6)的图象向左平移π6个单位，得到函数y=g(x)=2sin(2x+π6)的图象，(3)若f(x02)=√3=2sin(x0−π6)，则sin(x−π6)=√32，∴g(x0)=2sin(2x0+π6)=2cos(π3−2x0)=2cos(2x0−π3)=2×[1−2sin2(x0−π6)]=2[1−2×34]=−1．【解析】(1)由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，可得f(π3)的值．(2)由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．(3)由题意求得sin(x0−π6)的值，再利用诱导公式、二倍角公式，求得g(x0)的值．本题主要考查三角恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．。