线性代数-行列式(完整版)解析

行列式知识点行列式是线性代数中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理、工程和计算机科学等领域。

本文将介绍行列式的基本概念、性质和计算方法，帮助读者更好地理解和应用行列式知识。

一、行列式的定义行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为det(A)，其中n表示方阵的阶数。

行列式的计算涉及到矩阵的元素和排列的概念，下面将详细介绍。

二、行列式的性质1. 行列式的对角线规则：对于一个n阶方阵A，行列式det(A)等于主对角线元素相乘的积减去次对角线元素相乘的积。

2. 行列式的性质之一：交换行（列）位置，行列式的值不变。

3. 行列式的性质之二：若行（列）中有两行（列）元素成比例，行列式的值为0。

4. 行列式的性质之三：行列式的某一行（列）乘以一个数k，等于行列式的值乘以k。

三、行列式的计算方法1. 二阶和三阶行列式的计算：对于二阶行列式A，可以用交叉相乘法计算，即ad-bc。

对于三阶行列式A，可以用Sarrus法则计算。

2. 高阶行列式的计算：对于n阶行列式A，可以利用拉普拉斯展开定理进行计算。

具体步骤是选择一行（列）作为展开行（列），将行列式展开为以该行（列）元素为首的n个代数余子式的乘积之和。

四、行列式的应用1. 线性方程组的解：行列式可以用于求解线性方程组的解。

若系数矩阵的行列式不为0，则方程组有唯一解；若行列式为0，则方程组无解或有无穷解。

2. 矩阵的逆：若一个n阶方阵A的行列式不为0，则矩阵A可逆，且其逆矩阵A^{-1}的元素可以用A的伴随矩阵元素和行列式的倒数表示。

3. 坐标变换：在几何学中，行列式可以用于坐标变换。

例如，二维平面上坐标变换时，坐标的旋转、平移和缩放可以用行列式进行表示。

五、总结本文介绍了行列式的基本概念、性质和计算方法，并提供了行列式在线性方程组、矩阵逆和坐标变换中的应用。

行列式作为线性代数中的基础知识，对于深入理解和应用相关领域的知识具有重要作用。

通过学习和掌握行列式的知识点，读者可以更好地理解相关的数学和科学问题，并灵活运用行列式进行问题求解和分析。

行列式大一知识点总结归纳行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解决方程组、计算矩阵的逆、求解线性方程等方面有着广泛的应用。

在大一的线性代数学习中，行列式是必不可少的一部分。

本文将对大一学习中的行列式知识点进行总结和归纳。

一、行列式的定义行列式是一个实数或复数的方阵所特有的一个标量。

对于一个n阶的方阵A = [a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，行列式的定义如下：det(A) = ∑(-1)^(i+j) * a_ij * det(A_ij)其中，(-1)^(i+j)是一个符号项，a_ij表示A的第i行第j列的元素，det(A_ij)为去掉第i行和第j列后的(n-1)阶方阵的行列式。

二、行列式的性质1. 行列式的转置等于其本身的行列式：det(A^T) = det(A)2. 互换行列式的两行（列）则行列式变号：若交换行列式A的第i行和第j行（列），则有：det(A) = -det(A')3. 行列式的某一行（列）的公因子可以提出：若A的第i行（列）的所有元素都乘以k，则有：det(A) = k * det(A')4. 行列式有一个相同的行（列）或有一个行（列）全为0，则行列式为0：若A的某一行（列）全为0，或A的某两行（列）相同，则det(A) = 0。

5. 行列式的两行（列）对换后不变：若交换A的某两行（列）位置，行列式不变：det(A) = det(A')三、行列式的计算方法1. 二阶行列式：对于二阶行列式A = [a11 a12; a21 a22]，其行列式的值为： det(A) = a11 * a22 - a12 * a212. 三阶行列式：对于三阶行列式A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]，其行列式的值为：det(A) = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a12 * a21 * a33 - a11 * a23 * a323. 多阶行列式：对于n阶行列式，可以利用代数余子式与余因子展开法进行计算。

线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和nnn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ〔奇偶〕排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

〔转置行列式〕TD D =②行列式中*两行〔列〕互换，行列式变号。

推论：假设行列式中*两行〔列〕对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的*一行〔列〕，等于k 乘以此行列式。

推论：假设行列式中两行〔列〕成比例，则行列式值为零；推论：行列式中*一行〔列〕元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行〔列〕可加性⑤将行列式*一行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕上，值不变行列式依行〔列〕展开：余子式、代数余子式ij M ijji ij M A +-=)1( 定理：行列式中*一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式时，有唯一解：0≠D )21(n j DD x j j ⋯⋯==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式时，则只有零解01≠=D 逆否：假设方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a →②对称行列式:jiij a a =③反对称行列式:奇数阶的反对称行列式值为零ji ij a a -=④三线性行列式: 方法：用把化为零，。

化为三角形行列式333122211312110a a a a a a a 221a k 21a ⑤上〔下〕三角形行列式:行列式运算常用方法〔主要〕行列式定义法〔二三阶或零元素多的〕化零法〔比例〕化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵矩阵的概念：〔零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵)n m A * 矩阵的运算：加法〔同型矩阵〕---------交换、结合律数乘---------分配、结合律n m ij ka kA *)(= 乘法注意什么时候有意义nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑== 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0转置A A TT =)(TTTBA B A +=+)((反序定理)T T kA kA =)(T T T A B AB =)(方幂：2121k k k kA AA += 几种特殊的矩阵：对角矩阵：假设AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、AB 都是n 阶对角阵数量矩阵：相当于一个数〔假设……〕 单位矩阵、上〔下〕三角形矩阵〔假设……〕对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：类似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A 是N 阶方阵，假设存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，(非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵)B A =-1 初等变换1、交换两行〔列〕2.、非零k 乘*一行〔列〕3、将*行〔列〕的K 倍加到另一行〔列〕初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的〔对换阵 倍乘阵 倍加阵〕等价标准形矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 假设A 可逆，则满秩假设A 是非奇异矩阵，则r 〔AB 〕=r 〔B 〕初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵，行列式n ij n ij a k ka )()(=nijn nij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④假设A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

线性代数讲义-01行列式第一章行列式第一节行列式的定义.一排列的逆序数将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列.按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列.定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数.在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n .定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列).例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列.定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换.定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性.证如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变.考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性.如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数.例1.1 求排列32514的逆序数.解按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++.例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半.证将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等.二行列式定义以前学过二阶与三阶行列式:2112221122211211a a a a a a a a -=;333231232221131211a a a a a a a a a 322113312312332211a a a a a a a a a ++=312213332112322311a a a a a a a a a ---. 为了将他们推广, 首先研究三阶行列式的结构. 行列式中的数ij a 称为它的元素. 其中元素321,,i i i a a a 组成行列式的第i 行, 元素j j j a a a 321,,组成行列式的第j 列, 元素332211,,a a a 组成行列式的主对角线. 每个元素有两个下标. 第一个是行标i , 表示该元素属于第i 行. 第二个是列标j , 表示该元素属于第j 列.在形式上, 三阶行列式是一个数表. 而实质是其元素的一个多项式. 这个多项式由六项组成, 每项包含三个元素的乘积. 这三个元素分别属于不同的行, 不同的列. 现在每一项中元素的行标组成标准排列, 则其列标恰组成所有的三阶排列. 而且, 如果列标排列是奇排列, 则前面是负号. 如果列标排列是偶排列, 则前面是正号. 于是, 可以将三阶行列式写作333231232221131211a a a a a a a a a ∑-=321321)1(p p p t a a a , 其中t 是列标排列321p p p 的逆序数, 求和遍及所有三阶排列.按照三阶行列式的结构进行推广, 得到n 阶行列式的定义. 定义1.4 称111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(为n 阶行列式, 其中t 是列标排列n p p p 21的逆序数, 而求和遍及所有n 阶排列.常将行列式简记作D . 如果需要明确行列式的阶, 则将n 阶行列式记作n D .一个n 阶行列式有!n 项. 当1>n 时, 其中正项与负项各占一半.与三阶行列式类似，n 阶行列式也是其元素的多项式. 因此, 如果行列式的元素都是数, 则行列式也是数. 如果行列式的元素是某些字母的多项式, 则行列式也是这些字母的多项式.注意一阶行列式||11a 与数的绝对值的符号相同, 但意义不同. 作为行列式2|2|-=-,而作为数的绝对值2|2|=-. 因此必须用文字严格区分这两种不同对象.例1.3 求四阶行列式中包含元素23a 的所有负项.解在四阶排列中, 数3在第二个位置的共有6个. 其中的奇排列为1324, 2341与4312. 于是, 四阶行列式中包含元素23a 的负项为44322311a a a a -, 41342312a a a a -, 42312314a a a a -.当n 较大时, n 阶行列式中的项很难一一列举. 不过, 如果一个行列式的许多元素等于0, 则不等于0的项数将大大减少.例1.4 求证：行列式1112122200n n nna a a a a a nn a a a 2211=.证为了得到非零项, 在第n 行中只能取nn a . 此后不能再取第n 列的其他元素. 因此,在第1-n 行只能取1,1--n n a . 继续这个讨论可得: 行列式只有一个正项nn a a a 2211.在这个行列式中, 主对角线下面的元素都等于0, 称为上三角行列式. 类似定义下三角行列式, 且有相同结果.例1.5 求证: 行列式12,1100000n n n a a a -11,212/)1()1(n n n n n a a a ---=.证仿照例1.4的推理, 这个行列式也只有一个非零项. 当该项的行标组成标准排列时, 它的列标排列为1)1( -n n . 逆序数为2/)1(1)2()1(-=++-+-n n n n .例1.6 求证：行列式000000044434241343332312111=a a a a a a a a a a .证因为行列式的每一项需要在前两行取不同列的元素，所以行列式的每一项都至少包含一个等于0的元素. 因此该行列式等于0.前面将行列式中每项的行标组成标准排列, 由列标排列的逆序数决定符号. 现在考虑列标组成标准排列时的情形.定理 1.2 行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n p p p s n a a a 2121)1(. 其中s 是行标排列n p p p 21的逆序数.证行列式定义中的一般项为n np p p ta a a 2121)1(-. 对换它的两个元素, 该项中的元素乘积n np p p a a a 2121不变. 考虑该项前面的符号. 原来的符号是t)1(-, 其中t 是行标组成标准排列时, 列标排列的逆序数. 经过对换两个元素, 根据定理 1.1, 其行标排列与列标排列同时改变奇偶性. 然而, 行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性. 继续这个过程, 使列标组成标准排列. 由于标准排列的逆序数等于0, 此时行标排列的奇偶性与原来列标排列的奇偶性相同. 即=-s)1(t)1(-.定理1.2说明行标排列与列标排列的地位是相同的. 从定理1.2的证明中还可以看到: 当行标排列与列标排列都不是标准排列时, 行列式的项的符号可以由行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性决定.习题1-11. 求下列九阶排列的逆序数，从而确定其奇偶性. (1) 135792468;(2) 219786354.2. 选择i 与k 使下列九阶排列(1) 9561274k i 为偶排列; (2) 4897251k i 为奇排列.3. 求证: 用对换将奇(偶)排列变成标准排列的对换次数为奇(偶)数.4. 已知排列n p p p 21的逆序数为k ，求排列11n n p p p - 的逆序数.5. 在六阶行列式中, 确定下列项的符号.(1) 233146521465a a a a a a ; (2) 256651144332a a a a a a .6. 计算下列行列式.(1) 613322131; (2) 0551111115----. 7. 计算下列行列式.(1)00000012,11,11,2222111,11211n n n n n n a a a a a a a a a a ----; (2)nn 0000100200100-.8. 求证: 0000000052514241323125242322211514131211=a a a a a a a a a a a a a a a a . 9. 设一个n 阶行列式至少有12+-n n 个元素等于0，求证：这个行列式等于0.第二节行列式的性质用行列式定义计算一般的高阶行列式非常困难. 而计算三角行列式特别简单. 本节研究行列式的性质, 以寻找简单的计算方法.定义1.5 将行列式D 的行列互换, 而不改变行与列的先后顺序(第一行变成第一列, 第二行变成第二列等等), 所得到的行列式称为原行列式的转置, 记作D '.例如, 行列式613322131的转置是631123321. 性质1.1 行列式的转置与原行列式相等. 即D D ='.证设行列式D 的元素为ij a , 转置D '的元素为ij b , 则有ji ij a b =. 根据定理1.2, 有D '∑-=n np p p t b b b 2121)1(D a a a n p p p t n =-=∑ 2121)1(.注意在行列式中, 行与列的地位是相同的. 因此, 对行列式的行成立的命题, 对列也同样成立.性质1.2 交换行列式的两行(列), 行列式改变符号.证交换D 的第h 行与第k 行产生的新行列式记作hk D . 设hk D 的元素为ij b , 则有kj hj a b =, hj kj a b =,n j ,,2,1 =, 而hk D 的其他行的元素与D 相同. 设n 阶行列式D 的一般项为n k h np kp hp p ta a a a 11)1(-, 其中t 是列标排列n k h p p p p 1的逆序数. 在hk D 的定义中与上面D 的一般项具有相同元素的项为11(1)h k n s p kp hp np b b b b -= 11(1)k h n s p hp kp np b b b b - ,其中s 是列标排列n h k p p p p 1的逆序数. 根据定理 1.1, 这两个排列的奇偶性不同, 因此相应的两项符号相反. 因为hk D 与D 的具有相同元素的项符号都相反, 所以D D hk -=. 推论1.1 如果行列式D 中有两行的元素对应相等, 则0=D .证设行列式D 的第h 行与第k 行相同, 交换这两行产生的行列式记作hk D , 则D D hk =. 然而根据性质1.2, 又有D D hk -=. 于是0=D .性质1.3 用数k 乘以行列式的一行的每个元素，相当于用k 乘以原行列式. 即有111111j n i ij in n njnn a a a ka ka ka a a a111111j ni ij in n nj nna a a a a a k a a a =. 证设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a a aD 11)1(, 用数k 乘以其第i 行的每个元素产生的新行列式记作)(k D i , 根据定义, 有)(k D i ∑-=n i np ip p t a ka a )()1(11kD a a a k n i np ip p t =-=∑ 11)1(.这个性质可以看作提取行列式的一行(或一列)元素的公因数.推论1.2 如果行列式D 的某两行的元素对应成比例, 则0=D .证设行列式第h 行的每个元素是第i 行的对应元素的k 倍, 提取第h 行元素的公因数k , 根据性质 1.3, 原行列式等于数k 乘以一个新行列式. 由于这个新行列式中有两行相同, 根据推论1.1, 有0=D .性质1.4 如果行列式的一行的每个元素都是两个数的和，则原行列式等于两个行列式的和. 即有1111111j n i i ij ij in in n njnna a abc b c b c a a a +++111111j n i ij in n nj nna a ab b b a a a =111111j n i ij in n nj nna a a c c c a a a +. 证设n 阶行列式∑-=n i np ip p t a b aD 111)1(,∑-=n i np ip p t a c a D 112)1(,其中只有第i 行不同. 将两个行列式的第i 行求和, 其他行不变产生的新行列式记作)(+i D ,根据行列式定义, 有)(+i D ∑+-=n i i np ip ip p t a c b a )()1(11∑-=n i np ip p t a b a 11)1(∑-+n i np ip p t a c a 11)1(21D D +=.可以将性质1.3看作行列式的数乘运算, 而将性质1.4看作行列式的加法. 行列式的加法与数乘都是对一行进行, 而不是对整个行列式. 此外, 性质 1.4可以推广为: 如果行列式的一行中所有元素都是k 个数的和, 则它等于k 个行列式的和.性质1.5 将行列式的某一行的每个元素加上另一行对应元素的k 倍, 行列式不变. 证设n 阶行列式∑-=n h i np hp ip p ta a a aD 11)1(, 将第i 行的元素加上第h 行的对应元素的k 倍产生的新行列式记作)(k D ih , 根据性质1.4与推论1.2, 有)(k D ih ∑+-=n h h i np hp hp ip p t a a ka a a )()1(11∑-=n h i np hp ip p t a a a a 11)1(∑-+n h h np hp hp p t a a ka a )()1(11D a a a a n h i np hp ip p t =-=∑ 11)1(.例1.7 求证: 行列式h g i g ih e d f d fe b a c a cb +++++++++i h g f e dc b a 2=. 证先用性质1.4将等式左边分成两个行列式, 再用性质1.5, 得h g i g i h e d f d f e b a c a c b +++++++++h g i g h e d f d e b a c a b ++++++=h g i g i e d f d fb ac a c +++++++ gi g hd fd e a c a b +++=hg gi e d d fb a ac ++++gihd fe a c b =hgie df b a c +ihgf e dc b a 2=. 例1.8 计算行列式4321651005311021.解用性质1.5, 得43216510053110213300651015101021-=3300700015101021-=21700330015101021-=--=.注意用性质将行列式变成三角行列式, 再用定义计算. 这种方法称为消元法.例1.9 计算行列式3111131111311113.解先将下面各行加到第一行, 提取第一行的公因数6，再用下面各行分别减去第一行. 得31111311113111133111131111316666=31111311113111116=4820000200002011116==.注意如果行列式的列和(或行和)相等, 常使用上述技巧.例1.10 计算行列式yyx x-+-+1111111111111111.解用第一列减第二列, 提取x ; 第三列减第四列, 提取y . 再用第二列, 第四列分别减第一列与第三列, 得yy x x -+-+1111111111111111yy y xx x --=110110101101y x xy--=111111010111011yx xy--=1000100001000122y x =.有时需要仔细观察行列式的结构, 才能找到最简捷的方法. 计算行列式时, 往往有多种方法. 应该考察各种路线, 从中选择最佳方案.习题1-21. 求证: bzay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++yxzx z y z y x b a )(33+=. 2. 计算行列式efcfbfde cd bdae ac ab---. 3. 计算下列行列式.(1)2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a ; (2) n222232222222221.4. 求t 的值, 使得行列式226332111=tt .5. 计算下列行列式(1)3214214314324321; (2)121212n n n x mx x x x m x x x x m---.6. 计算行列式01211111001na a a a, 其中021≠n a a a .7. 用两种方法计算行列式ab cc abbc a，从而证明因式分解: ))((3222333bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++.8. 计算行列式111212122212n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------, 其中2>n .9. 计算行列式1231110000220000020011n n nn n------.10. 计算行列式aba ba b b a b a ba D n=2，其中未写出的元素都等于0.第三节行列式的展开在本节中研究行列式按照一行或一列展开的公式, 从而可以将一个高阶行列式的计算转化为若干低阶行列式的计算.定义1.6 考虑n 阶行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a∑-=n np p p t a a a 2121)1(. 将行列式的元素ij a 所在的行与列删除(其余元素保持原来的相对位置), 得到的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式, 记作ij M . 而称ij j i ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式.例如，行列式333231232221131211a a a a a a a a a 中元素12a 的余子式为2123123133aa M a a =，而代数余子式为212312123133(1)a a A a a +=-.注意左上角元素11a 的代数余子式11A 取正号, 其余正负相间. 特别, 主对角元素iia 的代数余子式ii A 全取正号.引理1.1 如果一个n 阶行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0, 则这个行列式等于ij a 与其代数余子式ij A 的乘积. 即ij ij A a D =.证先考虑n j i ==的特殊情况. 根据定义, 为了产生非零项, 在行列式D 的第n 行只能取nn a . 于是, 有∑---=nn p n p p t a a a a D n 121)1(21)1( ∑---=121)1(21)1(n p n p p t nn a a a a ,其中t 是列标排列n p p p n 121- 的逆序数, 求和遍及1,,2,1-n 的所有排列121-n p p p . 然而排列n p p p n 121- 与排列121-n p p p 的逆序数相等, 因此, 上式右边的和式为nn p n p p tM a a an =-∑--121)1(21)1( nn nn n n A M =-=+)1(.于是, 有nn nn A a D =.现在考虑一般情况, 设行列式D 的第i 行中只有ij a 不等于0. 将D 的第i 行与第1+i 行交换, 再将所得行列式的第1+i 行与第2+i 行交换, 继续进行, 直到D 的第i 行移到最后一行, 而其他行的上下顺序不变. 在这个过程中, 共进行i n -次交换行. 用同样的方法, 将所得的行列式的第j 列逐步移到最后一列, 而其他列的左右顺序不变. 在这个过程中, 共进行j n -次交换列. 最后得到的行列式记作B , 则在B 的最后一行中只有最后一个元素ij a 不等于0, 而且ij a 在B 中的代数余子式就是ij a 在D 中的余子式ij M . 由前面证明的特殊情况, 有ij ij M a B =. 另一方面, 根据性质1.2, 有D B j n i n )()()1(-+--=, 即B D j i +-=)1(. 于是,有ij ij ij ij ji A a M a D =-=+)1(.定理1.3 对于n 阶行列式D , 有in in i i i i A a A a A a D +++= 2211; nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211.证将行列式D 的第i 行的每个元素改写成n 个数的和, 其中由ij a 改写成的和中的第j 个加数等于ij a , 其他元素等于0. 用性质1.4的推广, 则D 等于n 个行列式的和. 在第j 个行列式的第i 行中, 只有属于第j 列的元素等于ij a , 其他元素等于0.对这n 个行列式分别用引理1.1, 得in in ij ij i i A a A a A a D ++++= 11.注意用定理 1.3, 可以将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1-n 阶行列式的计算. 不过, 当行列式的阶数较大时, 计算量仍然相当大. 除非在行列式中有很多元素等于0. 联合使用消元与按照一行(列)展开, 常能得到最简捷的计算路线.例1.11 计算行列式500134267002430.解先按照第四行展开, 得50013426700243043032(1)5006241+=-321018006=-=-.有时用数学归纳法计算n 阶行列式是比较方便的. 不过此时需要行列式n D 与1-n D ,2-n D 之间的关系.例1.12 求证: 000100010000001n a b ab a b ab a b D a b ab a b+++=++b a b a n n --=++11. 证计算可得ba b a b a D --=+=221, b a b a b ab a D --=++=33222. 设命题对于1-n 阶与2-n 阶行列式成立.考虑n 阶行列式, 按第一行展开, 得0001000100000001n a b ab a b ab a b D a bab a b +++=++00100()0001a baba b a b a b ab a b++=+++1000000001ab a b ab a bab a b+-++21)(---+=n n abD D b a b a b a n n --=++1 1.例1.13 求证: 123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=∏<-=ji i j x x )(. 解当2=n 时, 有122x x D -=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 从下边开始, 下面一行减去上面一行的1x 倍, 得123222212311111231111nn nn n n n nx x x x D x x x x x x x x ----=2131122133112222213311111100()()()0()()()n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ------=------232131122223111()()()n n n n n nx x x x x x x x x x x x ---=---111312)())((----=n n D x x x x x x ∏<-=ji i j x x )(.与前面的例题不同, 这里不是下面各行减去第一行, 而是下面一行减去其上面一行. 当然现在必须从第n 行开始, 逐行向上做.这个行列式称为范德蒙行列式. 易见, 当n x x x ,,,21 两两不同时, 范德蒙行列式不等于0. 这个性质产生了范德蒙行列式的许多应用.例1.14 求证: 211212212221212n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++=+)1(!12∑=+=nk kka n .解当1=n , 2111a D +=. 设命题对于1-n 阶行列式1-n D 成立. 考虑n 阶行列式n D , 按照最后一行分成两个行列式的和, 得21121221222121200n n n n n na a a a a a a a a a D a a a a n a ++= +++21121221221200n na a a a a a a a a a n++= 211212212221212n nn n na a a a a a a a a a a a a a a +++ 21121122122121112112(1)n n n n n a a a a a a a a a a n a a a a n a -----++=-+110002nn na a a a +=21)!1(nn a n nD -+-211[(1)!(1)]n k k a n n k -==-+∑2(1)!n n a +-)1(!12∑=+=nk k ka n .推论 1.3 行列式的任意一行(列)的元素与另一行的元素的代数余子式的乘积之和等于零. 即当j i ≠时, 有02211=+++nj ni j i j i A a A a A a ; 02211=+++jn in j i j i A a A a A a .证只证第一个等式. 反向用定理1,3, 则nj ni j i j i A a A a A a +++ 2211等于一个n 阶行列式. 这个行列式的第i 行与第j 行相同, 根据推论1.1, 该行列式等于0.习题1-31. 计算行列式11312111311021---=D 的第二行所有元素的余子式与代数余子式.2. 计算行列式0000000000000000n x y x y x D x y yx =.3. 求证: 11211000010000000001n nn n x x x D xa a a a a +----=-n n n n a x a x a x a ++++=--1110 .4. 求证: 210001 210001200100021012n D n ==+.5. 设常数c b a ,,两两不等, 解方程01111 )(33332222==x c b a x c b a x c b a x f .6. 求证: 12322221231231111nn n n n n nn n n nnx x x x D x x x x x x x x ----=∑∏=<-=nk k ij j i x x x 1)(.7. 求证: 1231111111111111111n na a D a a ++=+++=∑=ni i n aa a a 12111 , 其中021≠n a a a .补充材料一拉普拉斯展开前面是行列式按一行或一列展开. 这个结果可以推广为按若干行展开.行列式中任意k 行与k 列交叉处的元素, 按照原来相对位置组成的k 阶行列式称为原行列式的一个k 阶子式k D . 删除这k 行与k 列得到的k n -阶行列式k M 称为k 阶子式k D 的余子式，而=k A ∑-+hh h j i )()1(k M 称为k D 代数余子式. 其中h h j i ,是k D 所在的行标与列标. 命题设||A 是n 阶行列式, 任意取其中的k 行,n k <<0, 则行列式等于这k 行中所有k 阶子式与其代数余子式的乘积之和.证明略.注意这个命题称为行列式的拉普拉斯展开. 展开时有kn C 项, 每项是一个k 阶子式与其代数余子式的乘积.例1 求证：行列式aba ba b b a b a b a D n=2n n b a b a )()(-+=.证按照第一行与第n 2行展开，得)1(2222)(--=n n D b a D . 用这个递推式即可得到所需结果.例2 求证:nnk n nkn nk k k k k k kk k k a a a a a a a a a a a a1,1,11,1.11,111110000++++++kk k k a a a a 1111=nnk n n k k k a a a a 1,,11,1++++ 证按照前k 行展开.注意由于右上角的元素都等于0，左下角的元素对行列式没有贡献. 当然, 如果左下角的元素都等于0, 也有类似结果.。

初数数学中的行列式公式详解行列式是初等数学中非常重要的概念之一，它在线性代数、线性方程组以及向量空间等领域具有广泛的应用。

本文将详细解析行列式的定义、性质和相关公式，帮助读者更好地理解和应用行列式。

一、行列式的定义行列式是一个方阵的标量量，它的值为一个数。

对于一个n阶方阵A=[a[i,j]]，它的行列式记为|A|或det(A)。

行列式的计算需要按照一定的规则进行，下面将介绍常用的行列式计算方法。

二、行列式的计算方法1. 一阶行列式对于一个1×1的行列式，例如A=[a]，它的值就是a。

2. 二阶行列式对于一个2×2的行列式，例如A=[a11,a12;a21,a22]，它的值可以通过交叉相乘再相减的方法进行计算：|A|=a11·a22-a12·a21。

3. 三阶及以上的行列式对于三阶及以上的方阵，可以使用拉普拉斯展开或三角形法则进行计算。

拉普拉斯展开的思想是：把一个n阶行列式按照某一行（或列）的元素展开，然后递归地计算这些元素的(n-1)阶行列式，直到计算到二阶行列式为止。

三、行列式的性质行列式具有多种重要的性质，下面将介绍几条常用的性质。

1. 行列互换性质行列式的值不变，当互换它的任意两行（或两列）时。

2. 行列式倍乘性质行列式中的一行（或一列）的每个元素都乘上同一个数k，行列式的值也同样乘以k。

3. 行列式的展开性质行列式可以按任意一行（或一列）展开，得到的结果相同。

4. 行列式的转置性质一个方阵与其转置阵的行列式相等。

5. 行列式的相似性质相似矩阵的行列式相等。

四、常见的行列式公式1. 三阶行列式的展开式对于一个三阶行列式A=[a[i,j]]，可以使用拉普拉斯展开进行计算：|A|=a11·a22·a33+a12·a23·a31+a13·a21·a32-a13·a22·a31-a12·a21·a33-a11·a23·a32。

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nn n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a bb D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

行列式性质详解及应用行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述矩阵的性质和解决线性方程组的问题。

本文将详细解析行列式的性质以及其在数学和实际问题中的应用。

一、行列式的定义与基本性质行列式是一个方阵所对应的一个数值，它由矩阵中的元素按照一定的规则组合而成。

设A为n阶矩阵，A的行列式记作|A|或det(A)。

根据定义，当n=1时，矩阵A的行列式即为该矩阵的唯一元素；当n>1时，A的行列式由以下公式计算：|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n其中，a11为A的元素，A11是删去第1行第1列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。

行列式具有以下基本性质：1. 行列式与转置矩阵：若A与A'是同阶矩阵，则|A'| = |A|2. 行列式与元素交换：若把方阵A的两列(两行)互换，行列式的值变号，即|A| = -|A'|3. 行列式的奇偶性：方阵A的行列式是其元素的排列的一个定义。

若有奇数对元素互换位置，行列式的值为负数；若有偶数对元素互换位置，行列式的值为正数。

二、行列式的求解方法1. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。

该方法通过选取某一行或某一列，构造与之对应的代数余子式，然后利用代数余子式的性质进行递归计算。

2. 三角矩阵法三角矩阵法是一种简化行列式计算的方法。

通过进行初等行变换，将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算对角线上元素的乘积即可。

三、行列式的性质及应用行列式除了在数学理论中的应用外，还广泛地应用于各个领域，包括物理、经济、计算机科学等。

1. 线性方程组的解行列式可以用于求解线性方程组的解。

对于n个未知数、n个线性方程的齐次线性方程组，当系数矩阵的行列式不为零时，方程组有唯一解；当行列式为零时，方程组有无穷多解或者无解。

2. 矩阵的可逆性对于n阶方阵A，当行列式|A|不等于零时，矩阵A可逆，即存在逆矩阵A-1，使得A·A-1 = A-1·A = I；当|A|等于零时，矩阵A不可逆。