第十章工程力学

第十章压杆稳定§10−1 压杆稳定的概念一、压杆稳定性的概念1、下面先以小球为例介绍平衡的的三种状态：如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它能够回到原有的平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡状态，如图10–1a所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不能够回到原有的平衡位置，但能够在附近新的位置维持平衡，原有的平衡状态称为随遇平衡状态，如图10–1b所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位不稳定平衡状态，如图10–1c所示。

2、压杆稳定性的概念杆件处于直线形状下的平衡。

为判断平衡的稳定性，可以加一横向干扰力，使杆件发生微小的弯曲变形（图10–2a），然后撤消此横向干扰力。

当轴向压力较小时，撤消横向干扰力后杆件能够恢复到原来的直线平衡状态（图10–2b），则原有的平衡状态是稳定平衡状态；当轴向压力增大到一定值时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到原来的直线平衡状态（图10–2c），则原有的平衡状态是不稳定平衡状态。

压杆由稳定平衡过度到不稳定平衡时所受轴向压力的临界值称为临界压力，或简称临界力，用F c r表示。

当F=F c r时，压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态，称为临界平衡状态，这种状态的特点是：不受横向干扰时，压杆可在直线位置保持平衡；若受微小横向干扰并将干扰撤消后，压杆又可在微弯位置维持平衡，因此临界平衡状态具有两重性。

压杆处于不稳定平衡状态时，称为丧失稳定性，简称为失稳。

显然结构中的受压杆件绝不允许失稳。

F1(a)F<F crF<F cr(b)>F crF cr(c)图10−1(b)除压杆外，还有很多其它形式的工程构件同样存在稳定性问题，例如薄壁杆件的扭转与弯曲、薄壁容器承受外压以及薄拱等问题都存在稳定性问题，在图10−3中列举了几种薄壁结构的失稳现象。

本章只讨论压杆的稳定性问题。

§10−2两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式下面以两端球形铰支、长度为l的等截面细长压杆为例，推导其临界力的计算公式。

选取坐标系如图10−4a所示，当轴向压力达到临界力F c r时，压杆既可保持直线形态的平衡，又可保持微弯形态的平衡。

假设压杆处于微弯状态的平衡，在临界力F c r作用下压杆件的轴线如图所示。

此时压杆距原点为x的任一截面m-m的挠度为y=f(x)，取隔离体如图10–4b 所示，截面m-m上的轴力为F c r，弯矩为M(x)= F c r y（a）弯矩的正负号仍按§9-2的规定，F c r取正值，挠度以y轴正方向为正。

将弯矩方程(a)代入挠曲线的近似微分方程yEIFEIxMdxydcr22)(-=-=(b)mcryy y图10−4(a) (b)(c)(b)(a)图10−3令2rc k EIF = (c)则式(b)可写成0222=+y k dx y d(d) 这是一个二阶常系数线性微分方程，其通解为y =A sin kx +B cos kx(e)式中A 和B 是积分常数，可由压杆两端的边界条件确定。

此杆的边界条件为在x =0处，y =0 在x =l 处，y =0 由边界条件的第一式得 B =0 于是式(e)成为 y = A sin kx (f)由边界条件的第二式得 A sin kl =0 由于压杆处于微弯状态的平衡，因此A ≠0，所以 sin kl =0 由此得 kl =n π (n =0,1,2,3，···) 所以2222l n k π= 将上式代入式(c)，得),3,2,1,0(222cr ==n l EIn F π由于临界力是使压杆失稳的最小压力，因此n 应取不为零的最小值，即取n =1，所以22cr l EIF π=(10–1)上式即为两端球形铰支（简称两端铰支）细长压杆临界力F c r 的计算公式，由欧拉（L.Euler ）于1744年首先导出，所以通常称为欧拉公式。

应该注意，压杆的弯曲在其最小的刚度平面内发生，因此欧拉公式中的I 应该是截面的最小形心主惯性矩。

在临界荷载F c r 作用下，l k π=，因此式(f)可写成 l xA y πsin=由此可以看出，在临界荷载F c r 作用下，杆的挠曲线是一条半个波长的正弦曲线。

在x =l /2处，挠度达最大值，即A y =max因此积分常数A 即为杆中点处的挠度，以δ表示，则杆的挠曲线方程为l xy πδsin=(g)此处挠曲线中点处的挠度δ是个无法确定的值，即无论δ为任何微小值，上述平衡条件都能成立，似乎压杆受临界力作用时可以处于微弯的随遇平衡状态。

实际上这种随遇平衡状态是不成立的，之所以δ值无法确定，是因为在推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程。

如果采用挠曲线的精确微分方程进行推导，所得到的F –δ曲线如图10–5 a 所示，当F ≥F c r 时，压杆在微弯平衡状态下，压力F 与挠度δ间为一一对应的关系，所谓的δ不确定性并不存在；而由挠曲线近似微分方程得到的F –δ曲线如图10–5 b 所示，当F =F c r 时，压杆在微弯状态下呈随遇平衡状态。

§10−3 不同支承条件下细长压杆临界力的欧拉公式对于杆端支承为其它形式的细长压杆，也可以用类似的方法推导其临界力的计算公式。

这里不一一推导，只介绍其结果。

对于各种支承情况的压杆，其临界力的欧拉公式可写成统一的形式：22cr )(l EI F μπ=(10–2)式中μ称为长度系数，与杆端的约束情况有关，μl 称为压杆的计算长度，其物理意义可从细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明：由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零，故可设想拐点处有一铰，而将压杆挠曲线上两拐点之间的一段看作为两端铰支压杆，并利用两端铰支压杆的欧拉公式（10–1）得到原支承条件下压杆的临界力F c r 。

这两拐点之间的长度即为原压杆的计算长度。

应该注意，利用欧拉公式计算细长压杆临界力时，如果杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I 应取最小的形心主惯性矩；如果杆端在不同方向的约束情况不同（如柱形铰等），则I 应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。

F c rδ(a)F c rδ(b)图10−5§10−4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图一、 欧拉公式的适用范围将压杆的临界力F c r 除以横截面面积A ，即得压杆的临界应力2222rc rc )(⎪⎭⎫ ⎝⎛===i l EA l EI A F μπμπσ (10–3)式中A Ii =为压杆横截面对中性轴的惯性半径。

令i l μλ=(10– 4) 这是一个无量纲的参数，称为压杆的长细比或柔度。

于是式（10–3）可写成22rc λπσE =（10–5） 上式是临界应力的计算公式，实际上是欧拉公式的另一种形式。

根据该式压杆的临界应力σc r 与柔度λ之间的关系可用曲线表示，如图10–6所示，称为欧拉临界应力曲线。

但是在推导欧拉公式过程中，曾用到了挠曲线的近似微分方程，而挠曲线的近似微分方程又是建立在胡克定律基础上的，因此只有材料在线弹性范围内工作时，即只有在σc r ≤σp 时，欧拉公式才能适用。

于是欧拉公式的适用范围为p 22r c σλπσ≤=EI或写成ppp 2λσπσπλ==≥E E(10–6)式中λp 为能够应用欧拉公式的压杆柔度界限值。

通常称λ≥λp 的压杆为大柔度杆，或细长压杆；而对于λ<λp 的压杆，就不能应用欧拉公式。

压杆的λp 值取决于材料的力学性能。

例如对于Q 235钢，E =206GPa ，σp =200MPa ，则由式(15–6)可得100102001020669pp ≈⨯⨯==πσπλE因而用Q235钢制成的压杆，只有当柔度λ≥100时才能应用欧拉公式计算临界力或临界应力。

一些常用材料的λp 值见表10–2。

例题10–1 图示各杆均为圆截面细长压杆(λ>λp )，已知各杆所用的材料和截面均相同，各杆的长度如图所示，问哪根杆能够承受的压力最大，哪根最小？图10−6σppσc r λ解：比较各杆的承载能力只需比较各杆的临界力，因为各杆均为细长杆，因此都都可以用欧拉公式计算临界力22cr )(l EI F μπ=由于各杆的材料和截面都相同，所以只需比较各杆的计算长度μl 即可 杆a ： μl =2×a =2a杆b ： μl =1×1.3a =1.3a 杆c ： μl =0.7×1.6a =1.12a 杆d ： μl =0.5×2a =a临界力与μl 的平方成反比，所以杆d 能够承受的压力最大，杆a 能够承受的压力最小。

例题10–2图示压杆用30×30×4等边角钢制成，已知杆长l =0.5m ，材料为Q235钢，试求该压杆的临界力。

解：首先计算压杆的柔度，要注意截面的最小惯性半径应取对y 0轴的惯性半径，即 i y 0=0.58cm ，由此可以算出其柔度1721058.05.022=⨯⨯==-ilμλ可见该压杆属于大柔度杆，可以使用欧拉公式计算其临界力，仍要注意截面的最小惯性矩应取对y 0轴的惯性矩，即I y 0=0.77cm 4，由此可以算出该压杆的临界力kN7.15N 107.15)5.02(1077.010206)(3289222r c =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==-πl μEIπF例题 10-3 图示一矩形截面的细长压杆，其两端用柱形铰与其它构件相连接。

压杆的材料为Q235钢，E =210GPa1. 若l =2.3m ，b =40mm ，h =60mm ，试求其临界力； 2. 试确定截面尺寸b 和h 的合理关系。

例题10−3图Fx例题10−2图x x 0解：1. 若压杆在xy 平面内失稳，则杆端约束条件为两端铰支，长度系数μ1=1，惯性半径mm3.1712601212/3=====h bh bh A I i z z133103.173.21311=⨯⨯==-z i l μλ若压杆在xz 平面内失稳，则杆端约束条件为两端固定，长度系数μ2=0.5，惯性半径mm 5.1112401212/3=====b bh hb A I i yy100105.113.25.0322=⨯⨯==-y i l μλ由于λ1>λ2，因此该杆失稳时将在xy 平面内弯曲。

该杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力kN 282N 10282)3.21(12/06.004.010210)(12/)(323922132212r c =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===πμπμπl Ebh l EI F z2. 若压杆在xy 平面内失稳，其临界力为23222r c 12l Ebh l EI F zππ=='若压杆在xz 平面内失稳，其临界力为23222r c 3)5.0(l Ehb l EI F yππ==''截面的合理尺寸应使压杆在xy 和xz 两个平面内具有相同的稳定性，即r c r c F F ''='232232312l Ehb lEbh ππ=由此可得h =2b二、中、小柔度杆的临界应力如果压杆的柔度λ<λp ,则临界应力σc r 就大于材料的比例极限σp ，这时欧拉公式已不适用。