高考数学复习：把握三角函数与解三角形中的最值问题

数学

高考大题专项练二 高考中的三角函数与解三角形

1.(2017山师大附中一模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A=acos B.

(1)求角B的大小;

(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.

(1)证明:A=2B;

(2)若cos B=,求cos C的值.

数学

3.在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC面积的2倍.

(1)求;

(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.

数学

4.(2017湖北武汉五月调考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足.

(1)求角A的大小;

(2)若D为BC上一点,且=2,b=3,|AD|=,求a.

5.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a+b=c,2sin2C=3sin Asin B.

(1)求角C;

(2)若S△ABC=,求c.

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 专题03 解三角形中的最值、范围问题

高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换、不等式、导数等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．本专题围绕解三角形中的最值、范围问题精选例题，并给出针对性练习，以期求得热点难点的突破.

【热点难点突破】

例1.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．

【答案】9

【解析】 由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为. 例2.【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.

【答案】 【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.

详解：，，即，， 则，为钝角，， ，故.

例3.锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 （1）求角的大小；

（2）若，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）当为正三角形时，周长的最大值为6.

【解析】

（1）由正弦定理，得， 再结合，得， 解得，由为锐角三角形，得.

（2）由、及余弦定理，得， 即， 结合，得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故当为正三角形时，周长的最大值为6.

例4. 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2a，242cossin25BCA.

（1）若满足条件的ABC有且只有一个，求b的取值范围；

三角函数最值问题的几种解法

三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：

一 配方法

若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。

例1 函数3cos3sin2xxy的最小值为（ ）.

A． 2 B . 0 C . 41 D . 6

[分析]本题可通过公式xx22cos1sin将函数表达式化为2cos3cos2xxy，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则,23,112ttyt配方，得41232ty, ,11t当t=1时,即cosx=1时，0miny,选B.

例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值

[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。

48331612,,221sin683316812,,22,1sin,1sin183345sin21sin5sin2sin21sin5maxmin222yzkkxxyzkkxxxxxxxxy

二 引入辅助角法

例3已知函数Rxxxxy1cossin23cos212当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解。

1三角函数

ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题

命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择

题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．

高频考法(1)ω取值与范围问题

(2)面积与周长的最值与范围问题

(3)长度的范围与最值问题

01ω取值与范围问题

1、f(x)=Asin(ωx+φ)在f(x)=Asin(ωx+φ)区间(a，b)内没有零点⇒b-a≤T

2

kπ≤aω+ϕ

kπ





⇒

b-a≤T

2

a≥kπ-ϕ

ω

b≤π+kπ-ϕ

ω











同理，f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内没有零点

⇒b-a≤T

2

kπ

kπ





⇒b-a

2

a>kπ-ϕ

ω

b

ω











2、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有3个零点

⇒T

kπ≤aω+ϕ

3π+kπ

⇒T

kπ-φ

ω≤a<(k+1)π-φ

ω

(k+3)π-φ

ω

ω











同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有2个零点

⇒T

2≤b-a<3T

2

kπ

2π+kπ≤bω+ϕ<3π+kπ





⇒T

2≤b-a<3T

2

kπ-φ

ω

ω

(k+2)π-φ

ω≤b<(k+3)π-φ

ω











3、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有n个零点

2⇒(n-1)T

2≤b-a<(n+1)T

2kπ-φ

ω≤a

ω

(k+n)π-φ

ω

ω







同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点

⇒(n-1)T

2≤b-a<(n+1)T

2kπ-φ

ω

ω

(k+n)π-φ

ω≤b<(k+n+1)π-φ

ω







4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+1

4T，则2n+1

4T=

(2n+1)π

2ω=b-a．

5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T

2.

1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π