高中数学讲义
1 思维的发掘 能力的飞跃
【例1】 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosB （ ）
A．14 B．34 C．24 D．23
【例2】 在ABC中，下列等式总能成立的是 （ ）
()AcoscosaCcA ()B sinsinbCcA
()CsinsinabCbcB ()DsinsinaCcA
【例3】 在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是 （ ）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
【例4】 △ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为23，那么b等于 （ ）
A.231 B.1+3 C.232 D.2+3
【例5】 若ABC的内角A满足2sin23A，则sincosAA ( )
A.153 B．153 C．53 D．53
【例6】 在△ABC中，“sinsinAB”是“AB”的 （ ）
A 充分不必要条件 B必要不充分条件 典例分析
板块一. 三角形中的
有关问题 高中数学讲义
2 思维的发掘 能力的飞跃 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
【例7】 在△ABC中，若2222()sin()()sinabABabC，则△ABC是（ ）
A 等腰三角形 B直角三角形
C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形
1三角函数
ω的取值范围及解三角形中的范围与最值问题
命题预测三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择
题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
高频考法(1)ω取值与范围问题
(2)面积与周长的最值与范围问题
(3)长度的范围与最值问题
01ω取值与范围问题
1、f(x)=Asin(ωx+φ)在f(x)=Asin(ωx+φ)区间(a，b)内没有零点⇒b-a≤T
2
kπ≤aω+ϕ
kπ
⇒
b-a≤T
2
a≥kπ-ϕ
ω
b≤π+kπ-ϕ
ω
同理，f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内没有零点
⇒b-a≤T
2
kπ
kπ
⇒b-a
2
a>kπ-ϕ
ω
b
ω
2、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有3个零点
⇒T
kπ≤aω+ϕ
3π+kπ
⇒T
kπ-φ
ω≤a<(k+1)π-φ
ω
(k+3)π-φ
ω
ω
同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有2个零点
⇒T
2≤b-a<3T
2
kπ
2π+kπ≤bω+ϕ<3π+kπ
⇒T
2≤b-a<3T
2
kπ-φ
ω
ω
(k+2)π-φ
ω≤b<(k+3)π-φ
ω
3、f(x)=Asin(ωx+φ)在区间(a，b)内有n个零点
2⇒(n-1)T
2≤b-a<(n+1)T
2kπ-φ
ω≤a
ω
(k+n)π-φ
ω
ω
同理f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a，b]内有n个零点
⇒(n-1)T
2≤b-a<(n+1)T
2kπ-φ
ω
ω
(k+n)π-φ
ω≤b<(k+n+1)π-φ
ω
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为2n+1
4T，则2n+1
4T=
(2n+1)π
2ω=b-a．
5、已知单调区间(a,b)，则a-b≤T
2.
1(2024·江苏南通·二模)已知函数y=3sinωx+cosωx(ω>0)在区间-π
专题25 解三角形中的最值、范围问题
近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,acacac三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.
【重点知识回眸】
（一） 余弦定理变形应用：
变式2221cosabcbcA在已知,aA的情况下，配合均值不等式可得到bc和bc的最值
（二）三角形中的不等关系
（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少
（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：
sinsincoscosabABABAB
其中由coscosABAB利用的是余弦函数单调性，而sinsinABAB仅在一个三角形内有效.
（三）解三角形中处理不等关系的几种方法
1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）
完整版)解三角形中的最值问题
解三角形中的最值问题
1.在三角形ABC中，已知角A,B,C所对边长分别为a,b,c，且a²+b²=2c²，求cosC的最小值。
解析：由余弦定理知cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)，代入已知条件得cosC≥-1/2.因此cosC的最小值为-1/2.
2.在三角形ABC中，已知角B=60°，AC=3，求AB+2BC的最大值。
解析：根据余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC·BCcosB，代入已知条件得AB²=9+BC²-6BC·1/2，即AB²=BC²-3BC+9.由于AB+2BC=AB+BC+BC，因此可将其转化为求AB+BC的最大值。设x=BC，则AB²=x²-3x+9，求导得x=3/2时，AB+BC取得最大值，即AB+2BC的最大值为9/2.
3.在三角形ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a≥b，sinA+3cosA=2sinB。（1）求角C的大小；（2）求(a+b)/c的最大值。
解析：（1）由sinA+3cosA=2sinB得2sin(A+π/3)=2sinBsinA/3，因此sin(A+π/3)=sinB/3.由于a≥b，因此A≥B，所以A+π/3=B/3，即A=π/3-B/3.由正弦定理得c/sinC=2b/sinB，代入已知条件得c=2b(sinA+3cosA)/sinB=6b/√3=2√3b，因此角C的大小为π/3.
2）由正弦定理得(a+b)/c=sinA+sinB/sinC，代入已知条件得(a+b)/c=2sinB/sinC，即sinC=2sinB(a+b)/c。由于sinC≤1，因此(a+b)/c≤1/2.当且仅当A=π/2时，(a+b)/c取得最大值1/2.
4.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a=___。（1）求B的大小；（2）若b=2，求三角形ABC面积的最大值。
解析：（1）由正弦定理得a/___，代入已知条件得___，即___。由于a²=b²+c²-2bc·cosA，代入已知条件得b²+c²-2bc·cosA=2bcsinB+2ccosBsinA，即b²+c²-2bc·cosA=2bc·sinB+2c·cosB·b/sinA。由于b/sinA=c/sinB，代入上式得b²+c²-2bc·cosA=2bc·sinB+2c·cosB·c/sinB，即b²+c²-2bc·cosA=2c²(sinB+cosB·c/b)。由正弦定理得sinB=c·sinA/a，代入上式得b²+c²-2bc·cosA=2c²(c/b·sinA+cosB)。因此cosB=(b²+c²-a²)/(2bc)，代入已知条件得sinB=b/(2c)。由正弦定理得B=arcsin(b/(2c))。
