《空间直角坐标系》典型例题解析
例1：在空间直角坐标系中，作出点M(6，－2, 4)。
点拨点M的位置可按如下步骤作出：先在x轴上作出横坐标是6的点1M，再将1M沿与y轴平行的方向向左移动2个单位得到点2M，然后将2M沿与z轴平行的方向向上移动4个单位即得点M。
解答M点的位置如图所示。
总结对给出空间直角坐标系中的坐标作出这个点、给出具体的点写出它的空间直角坐标系中的坐标这两类题目，要引起足够的重视，它不仅可以加深对空间直角坐标系的认识，而且有利于进一步培养空间想象能力。
变式题演练
在空间直角坐标系中，作出下列各点：A(-2,3，3)；B(3，-4,2)；C(4,0，-3)。
答案：略
例2：已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。
点拨先由条件求出正四棱锥的高，再根据正四棱锥的对称性，建立适当的空间直角坐标系。
解答正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
∴正四棱锥的高为232。
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB、BC所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，-2,0)、B(2,2，0)、C(-2,2，0)、D(-2，-2,0)、P(0,0，232)。
总结在求解此类问题时，关键是能根据已知图形，建立适当的空间直角坐标系，从而便于计算所需确定的点的坐标。
变式题演练 1M 2M M（6，-2,4）
O
x y z
6
2 4
O A B C D P
x y z 在长方体1111DCBAABCD中，AB=12，AD=8，1AA=5，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标。
答案：以A为原点，射线AB、AD、1AA分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)、B(12,0，0)、C(12,8，0)、D(0,8，0)、1A(0,0，5)、1B(12,0，5)、1C(12,8，5)、1D(0,8，5)。
平面直角坐标系
1、定义：平面上两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系
①两条数轴 ②互相垂直 ③公共原点
笛卡尔发明了平面直角坐标系，又称笛卡尔坐标系。
第一象限
X轴（或横轴）
第二象限
2、构成：（1）象限 （2）坐标轴
第三象限
第四象限 y轴（或纵轴）
注意:坐标轴上的点不属于任何象限
3、点的坐标：对于坐标平面内的任意一点，都可以找到一个有序实数对（x,y)和它对应。这个有序实数对（x,y) 就是这个点的坐标。
（规定：横坐标在前, 纵坐标在后）
（平面直角坐标系上的点和有序实数对 一 一 对应）
过点Ａ作x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数，就是点Ａ的横坐标．
过点Ａ作y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数，就是点Ａ的纵坐标．
由坐标找点的方法：先找到表示横坐标与纵坐标的点，然后过
这两点分别作x轴与y轴的垂线，垂线的交点就是该坐标对应的点。
4、坐标系中点的坐标
（1）各象限点坐标的符号
若点P（x，y）在第一象限，则 x ＞ 0，y ＞ 0
若点P（x，y）在第二象限，则 x ＜ 0，y ＞ 0
若点P（x，y）在第三象限，则 x ＜ 0，y ＜ 0
若点P（x，y）在第四象限，则 x ＞ 0，y ＜ 0
（2）坐标轴上点的坐标
x 轴上的点,纵坐标为0. 记（ X, 0 ）
y轴上的点,横坐标为0. 记（ 0, y ）
原点O ( 0 , 0 )
5、特殊位置点的特殊坐标：
（1）平行直线上的点的坐标特征：
1 第三讲 空间向量的坐标运算
【基础知识】
一、空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i, j,k},以点O为原点,分别以i, j,k的方向为正方向,以它们的长为单位长度 建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴 .这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i, j,k都叫做坐标向量 ,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八 个部分.
二、空间点的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,i, j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点A的位置由向量OA 唯一确定 ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA =xi+yj+zk .在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.
三、空间向量的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a.作OA=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=(x,y,z) .
四、空间向量常用结论的坐标表示
设a＝(a1,a2,a3),b＝(b1,b2,b3).
向量表示 坐标表示
数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3
共线 a＝λb(b≠0,λ∈R) a1＝λb1,a2＝λb2,a3＝λb3
垂直 a·b＝0(a≠0,b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模 |a| a21＋a22＋a23
夹角 〈a,b〉(a≠0,b≠0) cos〈a,b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23
五、 证明两直线平行的步骤:
书 山 有 路 勤 为 径
学 海 无 涯
苦 作 舟
05-1
即墨实验高中高三数学理倾导学案
第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 编41
编写人：张素兰
【课前预习导读】
一、学习目标
1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示
2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直
二 .知识梳理
1.空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系:
定义 以空间一点O为原点,具有相同的单位长度,给定正方向,建立两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴,建立了一个空间直角坐标
系_____ 坐标原点 点O
坐标轴 ___________
坐标平面 通过每两个坐标轴
的平面
(2)空间一点M的坐标:
①空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的_______,y叫做点M的_______,z叫做点M的_______;
②建立了空间直角坐标系,空间中的点M与有序实数组(x,y,z)
可建立_________的关系.
2.空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式:
①设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|= ___________________________;
②设点P(x,y,z),则与坐标原点O之间的距离为|OP|=___________.
(2)中点公式:
设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则_______
4.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要
条件是存在实数λ,使得______.
(2)共面向量定理:如果两个向量a,b_______,那么向量p与向量
a,b共面的充要条件是存在_____的有序实数对(x,y),使
________.
(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c_______,那么对空
