小学奥数举一反三（六年级）

⼩学奥数举⼀反三（六年级）

- 1 - 第1讲 定义新运算

⼀、知识要点

定义新运算是指运⽤某种特殊符号来表⽰特定的意义，从⽽解答某些算式的⼀种运算。

解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代⼊，转化为常规的四则运算算式进⾏计算。

定义新运算是⼀种⼈为的、临时性的运算形式，它使⽤的是⼀些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。

新定义的算式中有括号的，要先算括号⾥⾯的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。

⼆、精讲精练

【例题1】假设a*b=(a+b)+(a-b)，求13*5和13*（5*4）。

【思路导航】这题的新运算被定义为：a*b 等于a 和b 两数之和加上两数之差。这⾥的“*”就代表⼀种新运算。在定义

新运算中同样规定了要先算⼩括号

⾥的。因此，在13*（5*4）中，就

要先算⼩括号⾥的（5*4）。

练习1：1.将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).。求27*9。

2.设a*b=a2+2b ，那么求10*6和5*（2*8）。

3.设a*b=3a －b ×1/2，求（25*12）*（10*5）。

【例题2】设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6)。

【思路导航】根据定义先算4△6。在这⾥“△”

是新的运算符号。

练习2：1．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。

2．设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p2+（p －q ）×2。求30△（5△3）。

3．设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M/N+N/M ，求10*20－1/4。

【例题3】如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44，那么7*4=________；210*2=________。

【思路导航】经过观察，可以发现本题的新运算“*”被定义为。因此

- 2 -

练习3：1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么4*4=________。

2．规定， 那么8*5=________。

3．如果2*1=1/2，3*2=1/33，4*3=1/444，那么（6*3）÷（2*6）=________。

【例题4】规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果1/⑥－1/⑦ =1/⑦×A ，那么，A 是⼏？

【思路导航】这题的新运算被定义为：@ = （a

－1）×a ×（a ＋1），据此，可以求出1/⑥－1/

⑦ =1/（5×6×7）－1/（6×7×8），这⾥的分母

都⽐较⼤，不易直接求出结果。根据1/⑥－1/⑦=1/⑦×A ，可得出A = (1/⑥－1/⑦)÷1/⑦ = （1/

⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥ －1。即

练习4：1．规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……如果1/⑧－1/⑨＝1/⑨×A ，那么A=________。

2．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，……如果1/⑩+1/⑾＝1/⑾×□，那么□＝________。

3．如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，……5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x ※3＝54中，x ＝________。

【例题5】设a ⊙b=4a －2b+1/2ab,求z ⊙（4

⊙1）＝34中的未知数x 。

【思路导航】先求出⼩括号中的4⊙1=4×4-2×1+1/2×4×1＝16，再根据x ⊙16＝4x －2×

16+1/2×x ×16 = 12x －32，然后解⽅程12x －32 =

34，求出x 的值。列算式为

练习5：1．设a ⊙b=3a －2b ，已知x ⊙（4⊙1）＝7

求x 。2．对两个整数a 和b 定义新运算“△”：a △b=

，求6△4+9△8。 3．对任意两个整数x 和y 定于新运算，“*”：x*y ＝

（其中m 是⼀个确定的整数）。如果1*2＝1，那么3*12＝________。

A =（1/⑥－1/⑦）÷1/⑦ =（1/⑥－1/⑦）×⑦ = ⑦/⑥－1 =（6×7×8）/（5×6×7）－1 = 1⼜3/5－1 = 3/5

4⊙1＝4×4-2×1+1/2×4×1＝16 x ⊙16＝4x －2×16+1/2×x ×16 ＝12x －32 12x －32 = 34 12x= 66 x ＝5.5

第2讲简便运算（⼀）

⼀、知识要点

根据算式的结构和数的特征，灵活运⽤运算法则、定律、性质和某些公式，可以把⼀些较复杂的四则混合运算化繁为简，化难为易。

⼆、精讲精练

【例题1】计算4.75-9.63+（8.25-1.37）

【思路导航】先去掉⼩括号，使4.75和8.25相加凑整，再运⽤减法的性质：a－b－c = a－（b＋c），使运算过程简便。所以原式＝4.75+8.25－9.63－1.37

＝13－（9.63+1.37）

＝13－11

＝2

练习1：计算下⾯各题。1． 6.73－2 ⼜8/17+（3.27－1⼜9/17）

2. 7⼜5/9－（

3.8+1⼜5/9）－1⼜1/5

3. 1

4.15－（7⼜7/8－6⼜17/20）－2.125

4. 13⼜7/13－（4⼜1/4+3⼜7/13）－0.75

【例题2】计算333387⼜1/2×79+790×66661⼜1/4

【思路导航】可把分数化成⼩数后，利⽤积的变化规律和乘法分配律使计算简便。所以：原式＝333387.5×79+790×66661.25

＝33338.75×790+790×66661.25

＝（33338.75+66661.25）×790

＝100000×790

＝79000000

练习2：计算下⾯各题：1. 3.5×1⼜1/4+125％+1⼜1/2÷4/5

2. 975×0.25+9⼜3/4×76－9.75

3. 9⼜2/5×425+

4.25÷1/60

4. 0.9999×0.7+0.1111×2.7

【例题3】计算：36×1.09+1.2×67.3

【思路导航】此题表⾯看没有什么简便算法，仔细观察数的特征后可知：36 = 1.2×30。这样⼀转化，就可以运⽤乘法分配律了。所以

原式＝1.2×30×1.09+1.2×67.3

＝1.2×（30×1.09+1.2×67.3）- 3 -

＝1.2×（32.7+67.3）

＝1.2×100

＝120

练习3：计算：1. 45×

2.08+1.5×37.6

2. 52×11.1+2.6×7783. 48×1.08+1.2×56.8

4. 72×2.09－1.8×73.6

【例题4】计算：3⼜3/5×25⼜2/5＋37.9×6⼜2/5

【思路导航】虽然3⼜3/5与6⼜2/5的和为10，但是与它们相乘的另⼀个因数不同，因此，我们不难想到把37.9分成25.4和12.5两部分。当出现12.5×6.4时，我们⼜可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。所以

原式＝3⼜3/5×25⼜2/5＋（25.4+12.5）×6.4

＝3⼜3/5×25⼜2/5＋25.4×6.4＋12.5×6.4

＝（3.6+6.4）×25.4＋12.5×8×0.8

＝254＋80

＝334

练习4：

计算下⾯各题：1．6.8×16.8＋19.3×3.2

2．139×137/138＋137×1/138

3．4.4×57.8＋45.3×5.6

【例题5】计算81.5×15.8＋81.5×51.8＋67.6×18.5

【思路导航】先分组提取公因数，再第⼆次提取公因数，使计算简便。所以

原式＝81.5×（15.8＋51.8）＋67.6×18.5

＝81.5×67.6＋67.6×18.5

＝（81.5＋18.5）×67.6

＝100×67.6

＝6760

练习5：1．53.5×35.3＋53.5×43.2＋78.5×46.5

2．235×12.1＋+235×42.2－135×54.3

3．3.75×735－3/8×5730＋16.2×62.5

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第3讲简便运算（⼆）

⼀、知识要点

计算过程中，我们先整体地分析算式的特点，然后进⾏⼀定的转化，创造条件运⽤乘法分配律来简算，这种思考⽅法在四则运算中⽤处很⼤。

⼆、精讲精练

【例题1】计算：1234＋2341＋3412＋4123

【思路导航】整体观察全式，可以发现题中的4个四位数均由数1，2，3，4组成，且4个数字在每个数位上各出现⼀次，于是有

原式＝1×1111＋2×1111＋3×1111＋4×1111

＝（1＋2＋3＋4）×1111＝10×1111

＝11110

练习1：1．23456＋34562＋45623＋56234＋62345

2．45678＋56784＋67845＋78456＋84567

3．124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68

【例题2】计算：2⼜4/5×23.4＋11.1×57.6＋6.54×28

【思路导航】我们可以先整体地分析算式的特点，然后进⾏⼀定的转化，创造条件运⽤乘法分配律来简算。所以

原式＝2.8×23.4＋2.8×65.4＋11.1×8×7.2

＝2.8×（23.4＋65.4）＋88.8× 7.2

＝2.8×88.8＋88.8×7.2

＝88.8×（2.8＋7.2）

＝88.8×10

＝888

练习2：计算下⾯各题：1．99999×77778＋33333×66666

2．34.5×76.5－345×6.42－123×1.45

3．77×13＋255×999＋510

【例题3】计算（1993×1994－1）/（1993＋1992×1994）

【思路导航】仔细观察分⼦、分母中各数的特点，就会发现分⼦中1993×1994可变形为1992＋1）×1994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1 = 1993，这样就可以把原式转化成分⼦与分母相同，从⽽简化运算。所以

原式＝【（1992＋1）×1994－1】/（1993＋1992×1994）- 5 -

＝（1992×1994＋1994－1）/（1993＋1992×1994）

＝1

练习3：计算下⾯各题：1．（362＋548×361）/（362×548－186）

2．（1988＋1989×1987）/（1988×1989－1）

3．（204＋584×1991）/（1992×584―380）―1/143

【例题4】有⼀串数1，4，9，16，25，36…….它们是按⼀定的规律排列的，那么其中第2000个数与2001个数相差多少？

【思路导航】这串数中第2000个数是20002，⽽第2001个数是20012，它们相差：20012－20002，即20012－20002

＝2001×2000－20002＋2001

＝2000×（2001－2000）＋2001

＝2000＋2001

＝4001