非线性微分方程

２００２年５月　第ｌ８卷第２期　陕西教育学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａａｎｘｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｍａｙ．２００２　Ｖ０１．１８　Ｎｏ．２　

一类非线性偏微分方程的解　

姜根明　，王拉省２，常安定　

（１．长安大学基础部，陕西西安７１００５４；２．西北工程科技学院数理系，陕西西安７１００４８）　

摘要：文中通过分析一类函数族的正交性，采用分离变量法得到了一类非线性偏微分方程的解析解　关键词：正交；分离变量法；变系数；解析解　中图分类号：Ｏ１７５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８—５９８Ｘ（２００２｝０２—００６６—０５　

１问题的提出　

在地下水渗流研究中，常需要求解下列数学物理方程…　

＝￣（Ｔ　ａｌ１）＋ａ＠（Ｔ　ａｌ１）＋（Ｔ　Ｈ）ａ￣ｚ　（１）　

其中：Ｈ为潜水含水层的地下水水位，量纲［Ｌ］（注：以不透水底板上部作为基准面）；　Ｔ＝ＫＨ为含水层的导水系数，量纲［Ｌ　Ｔ－１］；　

Ｋ为渗透系数，量纲［ＬＴ　］；　

为给水度，无量纲；　

、　ｚ为笛卡尔直角坐标，量纲［Ｌ］；　

ｔ为时间，量纲［Ｔ］；　该方程是一个非线性偏微分方程，目前尚难精确求解，因此在实际应用时，除了用数值方法外，通常采用线性化方法近似　

地将它变成一个线性偏微分方程来求解。最常见的线性化方法是：在一定的时间和空间内取导水系数Ｔ的平均值，并把它视　

为常数，因而常说的Ｔ为常数，实际上便是把计算时段内的潜水含水层的厚度（此时，将水位与厚度看成一个概念）取平均值，　

并在计算时段内将其看成常数。设　

Ｔ　ＫＨｐ　，１、　

称为水位传导系数，量纲［Ｌ　Ｔ一　］；Ｈ尸为含水层平均厚度，量纲［Ｌ］；此时方程（１）变为　

ａＨ：ｄ（　ａ２Ｈ＋塑＋磐）　（３）　一３ｔ　＋一３ｙ２十　

地下水向井孔运动呈辐射状流，使用圆柱坐标更为方便，即对方程（３）采用坐标变换：　

ｒ　ｒｓｉｎ￣ｏｃｏｓ０　Ｙ＝ｒｓｉｎ￣ｏｓｉｎ０　（４）　

：　。ｏｓ∞　则方程（３）变为　

＊姆●　解题技巧与方法　缠瞧礅　程　鼷晌　诩　◎虞海磊　（杭州师范大学钱江学院数学与应用数学３１００１２）　【摘要】近几十年来，随着数学研究本身的发展和大型　计算机的出现及完善，各种非线性问题目益引起科学家和　工程技术人员的兴趣和重视．特别是在近代物理和科学工　程计算中的一些关键问题，归根结底都依赖于某些特定的　非线性方程的求解．所以无论在理论研究方面，还是在实际　应用中，非线性方程的求解都占有非常重要的地位．本文所　提出的主要基于ＭＡＴＬＡＢ程序设计教程，介绍了非线性代　数方程和非线性微分方程求解的几种方法．　【关键词】非线性微分；符号方程；积分因子；ｏｄｅ２３　一、非线性方程求解的作用　非线性方程组的求解乃是非线性科学的核心；很多来　自工程、机械、科学研究等的实际问题最终都化为求解一个　非线性方程组；而非线性方程组的求解，是一个至今没有彻　底解决的数学问题；特别地，来自工程、机械等的几何约束　问题，最终都将产生一个非线性方程组，且该方程组中方程　和未知量的个数都非常多，且往往其中的未知量的次数还　非常高．因此，解决这些几何约束问题极其困难．　二、微分方程　微分方程指含有一次、二次乃至高次微分未知数的方　程，是解决偏微分方程、数理方程的基础．微分方程的表达　通式是ｆ（　，　ｄ￣ｙ，　，…，　，　）＝ｏ．　三、微分方程的线性化　大部分非线性微分方程，都不能得出通解．但是，可以　，，２　对其在一定范围之内进行线性化求出近似解．例如，　＋　ｄ　ｓｉｎｙ：３ｘ．在ｙ一０的情况下，ｓｉｎｙ—Ｙ，我们得到近似线性微　２　，　分方程　Ｙ：３ｘ，它是可解的．　ｄ　一　有许多函数都是为了无法得出多项函数或超越函数形　式的解析解的微分方程而定义出来．这些特殊函数之所以　重要，是因为它们描述了自然界中的某些现象，例如，电子　的活动、鼓皮的振动、钟摆的摆动，等等．　四、常微分方程初值问题的数值解法　考虑常微分方程的初值问题Ｙ　＝－厂（ｔ，Ｙ），Ｙｏ≤ｔ≤Ｔ，　Ｙ（ｔ０）＝Ｙｏ．　所谓其数值解法就是求它的解，，（￡）在节点ｔ。＜ｔｌ＜…＜ｔ　处的近似值Ｙｏ，Ｙ　一，ｙ　的方法．所求的Ｙｏ，Ｙ　一，ｙｍ的方法．　所以求得的Ｙｏ，Ｙ　一，Ｙ　称为常微分方程初值问题的数值解．　一般采用等距节点ｔ　＝ｔ。＋ｎｈ（ｎ＝０，１，…，ｍ），其中ｈ为相邻两　个节点间的距离，叫做步长．　常微分方程初值问题的数值解法多种多样，比较常用　的有欧拉（Ｅｕｌｅｒ）法、龙格一库塔（Ｒｕｎｇｅ—Ｋｕｔｔａ）法、线性多　步法、预报校正法等．　五、龙格一库塔（Ｒｕｎｇｅ，Ｋｕｔｔａ）法　对于一阶常微分方程的初值问题，在求解未知函数Ｙ　时，Ｙ在ｔ。点的值Ｙ（ｔ。）＝Ｙ。是已知的，并根据高等数学中的　中值定理，应有Ｙ（ｔｏ＋ｈ）ｙ　Ｙ。＋　ｔ。，Ｙ。），ｈ＞０，称为步长，　Ｙ（ｔ０＋２＾）＝Ｙ２　Ｙｌ＋　ｔ１，Ｙ。）．一般地，在任何点ｔ　＝ｔｏ＋访，　有Ｙ（ｔ０＋　＾）＝Ｙ　Ｙ；一１＋　厂（ｔ　一１，Ｙ。～１）（ｉ＝１，２，…，ｎ）．　当（ｔ。，Ｙ。）确定后，根据上述递推式能计算出未知函数　Ｙ在点ｔ。＝ｔ。＋ｉｈ（ｉ＝０，ｌ，…，１７，）的一例数值解Ｙ　＝Ｙ。，Ｙ　，　Ｙ２，…，Ｙ　，（ｉ＝０，１，…，ｎ）．　●　・　・　●　当然，递推过程中有一个误差累计的问题．在实际计算　过程中，使用的递推公式一般进行改造，著名的龙格一库塔　公式是Ｙ（　＋ｉｈ）＝Ｙ　Ｙ　一ｌ十÷（ｋｌ＋２ｋ２＋２ｋ３＋ｋ４）．　其中，ｋ，＝　０　一，），　。＝　０　＋—争，ｙ　一，＋—争　１，　ｋ３：　０。＋÷，ｙ　一，＋÷　２１，　＝，（０．＋　，ｙ　一。＋　３）．　六、龙格一库塔法的实现　基于龙格一库塔法，ＭＡＴＬＡＢ提供了求常微分方程值　解的函数，一般调用格式为：　［ｔ，Ｙ］＝ｏｄｅ２３（‘ｎａｍｅ’，ｔｅｓｐａｎ，Ｙ０），　［ｔ，Ｙ］＝ｏｄｅ４５（‘ｎａｍｅ’，ｔｅｓｐａｎ，Ｙ０）．　其中，ｆｎａｍｅ是定义＿厂（ｔ，Ｙ）的函数文件名，该函数文件必须　返回一个列向量．Ｔｅｓｐａｎ形式为［ｔ。，　，表示求解区间．Ｙ。是初　始状态列向量．ｔ和，，分别给出时间向量和相应的状态向量．　这两个函数分别采用了二阶、三阶龙格一库塔法和四阶、　五阶龙格一库塔法，并采用自适应变步长的求解方法，即当解　的变化较慢时采用较大的步长，从而使得计算速度很快，当解　的变化较快时步长会自动变小，从而使得计算精度很高．　七、符号常微分方程求解　在ＭＡＴＬＡＢ中，用大写字母Ｄ表示导数．例如，Ｄｙ表示　Ｙ　，Ｄ２ｙ表示Ｙ　，Ｄｙ（０）＝５表示，，　（０）＝５．Ｄ３ｙ＋Ｄ２ｙ＋Ｄｙ—　＋５＝０表示微分方程　Ｙ　＋Ｙ　一　＋５＝０．符号常微分方　程求解可以通过函数ｄｓｏｌｖｅ来实现，其调用格式为：　ｄｓｏｌｖｅ（ｅ，ｃ，　）．　该函数求解常微分方程ｅ在初值条件ｃ下的特解．参数　描述方程中的自变量，省略时按缺省原则处理，若没有给　出初值条件ｃ，则求方程的通解．　ｄｓｏｌｖｅ在求常微分方程组时的调用格式为：　ｄｓｏｌｖｅ（ｅｌ，ｅ２，…，ｅ　，ｃｌ，…，ｃ　，口ｌ，…，　）．　该函数求解常微分方程组ｅ　一，ｅ　在初值条件下ｃ　一，　ｃ　下的特解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，　一，ｃ　给出求解变量．　八、积分因子解非线性微分方程的一般应用　积分影子也可以用来解非线性微分方程．例如，考虑以　，４２　，　２　下的非线性二阶微分方程：　＝ＡｙＴ．　可以看到，　是一个积分因子：　。　＝Ａ，，手‘　．　利用复合函数求导法则，可得　ｄ【［２ｌ　Ｉ｛ｄ　ｙ，￣　］＝詈（　）．因此（鲁）　＝　＋ｃｏ．　利用分离变量法，可得Ｉ—＝＝＝二兰　＝＝ｔ＋Ｃ。．　ｊ　产　５　。　【参考文献】　［１］刘卫国．ＭＡＴＬＡＢ程序设计教程．北京：中国水利水　电出版社．　［２］何汉林，梅家斌．数值分析．北京：科学出版社．　［３］王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松．常微分方程（第三　版）．北京：高等教育出版社．　［４］吉米・威尔士．维基百科．　数学学习与研究

一阶非线性微分方程的解法

微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述运动、生物、物理等领域的问题。微分方程的解法有很多种，其中一阶非线性微分方程的解法是常见的一种。

一阶非线性微分方程的一般形式是dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是x和y的函数。这种类型的微分方程通常不能用常规的解法来求解。但是，有些技巧可以帮助我们解决这类问题。

1. 变量分离法

变量分离法是一种常用的解法。对于方程dy/dx=f(x,g(x))，将f(x,g(x))写成f(g(x))和g'(x)的乘积形式，即dy/f(g(x))=g'(x)dx，然后将方程两边积分，得到解y=F(g(x))。最后将g(x)换成y，就可以得到y的解。

例如，对于方程dy/dx=2xy，将方程两边变形，得到dy/y=2xdx。将方程两边积分，得到ln|y|=x^2+C，其中C是常数。解y=e^(x^2+C)，再将C换成一个常数就可以得到方程的通解。

2. 齐次方程的解法

如果方程dy/dx=f(y/x)，可以使用齐次方程的解法来求解。将y/x=u代入到方程dy/dx=f(y/x)中，得到y=ux。然后将dy/dx=u+xdu/dx代入到方程中，得到du/(u+f(x))=dx，其中f(x)等于f(y/x)。将方程两边积分，得到ln|u+f(x)|=ln|Cx|，其中C是常数。解出u和x的关系，即u=Cx-f(x)，然后将u和x代回到y=ux中，得到y=Cx^2-F(x)。

例如，对于方程xy'+y^2=x，将y/x=u代入方程中，得到du/((u^2-1)+u)=dx/x。将方程两边积分，得到ln|u+1|=ln|x|+ln|C|，其中C是常数。解出u，即u=Cx-1，然后将u代回到y=ux中，得到y=Cx/(1-Cx)。这就是方程的通解。

3. 带入法

带入法是另一种常用的解法。对于方程dy/dx=f(x,y)，假设y=g(x)是方程的解，将y=g(x)代入方程中，得到dy/dx=f(x,g(x))。将方程两边进行变量分离，得到dy/f(x,g(x))=dx，然后将方程两边积分，得到F(x,g(x))=x+C，其中F是f的一个不定积分，C是常数。设y=h(x)+g(x)，则h'(x)=dy/dx-g'(x)，将h'(x)和g'(x)代入到F(x,g(x))=x+C中，得到F(x,h(x)+g(x))=x+C。这就是方程的通解。

非线性微分方程解的稳定性

非线性微分方程解的稳定性是数学物理等多个学科面对微分方程解时所要考虑

的重要问题。

一、非线性微分方程解的稳定性 1. 含有稳定性的概念

非线性微分方程求解的稳定性是指改变求解方法或迭代步长时，得到的求解结果的

差异是限定的范围，从而确定所使用的解法或迭代过程的可靠性。

2. 非线性微分方程求解的稳定性判断

求解非线性微分方程的稳定性主要判断其所使用的解法的收敛性以及使用的迭代步

长的可靠性。

二、影响非线性微分方程解稳定性的因素 1. 微分方程本身特征

由于求解非线性微分方程的过程是多参数的复杂迭代运算，它本身的复杂性也影响

了求解的稳定性。如方程的阶数较高、参数较多等，它们会加大求解过程的难度，

影响对结果的准确性及稳定性。

2. 求解方法的限制

由于当下的求解方法还不能充分支撑求解非线性微分方程解过程，因而会造成求解

结果的不稳定性。

3. 天气因素

除了方程本身及求解方法等原因之外，天气因素也会直接影响非线性微分方程求解

的稳定性，对天气变化的相关参数实时的监测和分析，及时调整迭代过程的参数设

置，也是影响求解稳定性的一个重要因素。

三、维持非线性微分方程解稳定性 1. 加强数值分析 求解非线性微分方程时可以使用更加先进、准确的数值分析技术，分析问题的不确

定性等，进行参数预估，从而可以稳定微分方程求解的结果。

2. 针对性修改求解方法

多种求解方法可以在一定程度上修正或调节求解结果的不稳定性，以及减轻重要的

误差，从而避免非线性微分方程求解的稳定性出现明显的变化。

3. 建立状态变化分析模型

根据各参数的变化和影响，建立状态变化分析模型，可以更好地把握系统的运行情

况变化，从而保证非线性微分方程解的稳定性。

四、总结

微分方程求解的稳定性是指求解结果随参数变化或求解方法变化的差异，其稳定性

的确定及提高是面对此类问题必须认真考虑的，应通过加强数值分析，针对性修改

求解方法，建立状态变化分析模型等多种方法，以确保非线性微分方程求解的稳定