二次函数

上海求实进修学校教师教学设计方案

Shanghai Qiu Shi Continuation School

- 1 -

英才乐园

学生编号 学生姓名 授课教师 刘军军

辅导学科 九年级数学 教材版本 沪教版

课题名称

二次函数概念 课时进度 授课时间 8月14日

教学目标 掌握二次函数的相关概念

重点难点 二次函数

二次函数的概念

【学习目标】

1、知道二次函数的一般表达式；

2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式；

3、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量 的取值范围。

【主要概念】

1、二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（

abc，，是常数，

0a）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数

0a，而

bc，可以为零．

二次函数的定义域是全体实数。

2、 二次函数2yaxbxc的结构特征：

（1）等号左边是函数，右边是关于自变量

x的二次式，

x的最高次数是2；

（2）

abc，，是常数，

a是二次项系数，

b是一次项系数，

c是常数项。

3、在实际问题中抽象出二次函数模型的步骤

（1） 审清题意，找出实际问题中的已知量与未知量，并分析它们之间的关系，将文字或图形语言转

化成数学符号语言

（2） 根据实际问题中存在的等量关系建立二次函数解析式；应注意将解析式整理为：

2

(0)yaxbxca

的形式；

（3） 根据实际意义，明确自变量的取值范围。

注意点：（1）列二次函数解析式的基本思路和列方程解应用题的思路是一样的。

（2）注意自变量的范围

4、用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤

（1） 设出二次函数解析式2

yaxbxc

（2） 把已知x，y的对应值代入所设解析式，得到关于a，b，c的方程组；

（3） 解方程组，求出系数a，b，c的值

（4） 代入所求系数得到二次函数解析式

注意点：（1）有几个未知数列几个方程组

（2）代入时，注意对应代入

上海求实进修学校教师教学设计方案

Shanghai Qiu Shi Continuation School

- 2 -

英才乐园

【知识点填空】

一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是

__________，b是___________，c是_____________．

【经典例题】

【例1】观察：①y＝6x2；②y＝－3

2 x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一

项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、

b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．

【例2】函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）．

（1）当m__________时，该函数为二次函数；

（2）当m__________时，该函数为一次函数．

【例3】下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．

（1）y＝1－3x2 （2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2

（4）y＝3x3＋2x2 （5）y＝x＋1

x (6)y=5x＋1

(7)y=4x2－1 (8)y=2x3－3x2 (9)y=5x4－3x＋1

【例4】m取何值时函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数？

【例5】n支球队参加比赛，没两队之间进行一场比赛。写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系

【例6】下列表达式中，一定是二次函数的是_________________(只填序号即可)

① 51yx

；②27

23

2stt

③

22

5yxz

④2

V

m

⑤2

(,,yaxbxcabc是常数）

⑥

2

6(3)sx

;⑦2

5wt

⑧27

yx

x

⑨2

22yx

【例7】写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项

（1）2

32yxx

；（2）2

yx

；（3）2

45yx

（4）21

(5)4

2yx

上海求实进修学校教师教学设计方案

Shanghai Qiu Shi Continuation School

- 3 -

英才乐园

【例8】李师傅在如图的一张长、宽分别为50cm和30cm的矩形铁皮的四个角上，各剪取一个大小相

同的小正方形，用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子，小正方形的边长为xcm，长方体铁皮箱底

面积为y2

cm

。

（1） 求y与x之间的函数关系式；

（2） 写出自变量x的取值范围；

（3） 当x=5cm，铁皮箱的底面积是多少？

【例9】已知二次函数2

yaxbxc

。当x=1时，y=- 4；当x= - 2时，y= - 19，且常数项为-5，

求这个二次函数的解析式。

【例10】从半径为4cm的圆中挖去一个半径为x（cm）的同心圆，剩下的圆环的面积为y（2

cm

）。求

y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并填写下表：

X 0.5 1 1.5 2 3 3.5

Y 15

【例11】指出下列函数中，哪些不是二次函数？

（1）22

(2)yxx

;(2) 2

(6)

3yxx

;(3) 52yx

(4)

21

34yx

x

;(5) 2

6yxx

(6) 2

5

31

2x

yx

上海求实进修学校教师教学设计方案

Shanghai Qiu Shi Continuation School

- 4 -

英才乐园

【例12】当m为何值时，2

2

(4)2mm

ymxmx



是二次函数？

【例13】如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用墙，其余各面用木棍围成栅栏，该

农场计划用木棍围出总长为36m的栅栏，设每间羊圈的长为x（m），三间羊圈的总面积为S，则S与x

的函数关系式为多少？自变量的范围？

【例14】二次函数2

yax

的自变量x由2增加到3时，函数值随之减少25个单位，求这个二次函数

的解析式。

【例15】某食品零售店为食品厂代销一种面包，未售出的面包可以退回厂家，经统计销售情况发现，

当这种面包的单价为7角时，每天能卖出160个，在此基础上，这种面包每提高1角，该零售店每天

就会少卖出20个，已知这种面包的综合成本价为5角，设这种面包的单价为x（角），零售店每天售

出这种面包的利润为y角

（1） 用含x的代数式分别表示出每一个面包的利润与卖出面包的个数。

（2） 求y与x之间的解析式

（3） 零售店准备定价为8角、10角、12角中的一种，请你帮零售店出主意。

上海求实进修学校教师教学设计方案

Shanghai Qiu Shi Continuation School

- 5 -

英才乐园

【例16】

1、若圆的半径为x厘米，圆的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解式；

2、甲、乙两数的和为20，设甲数为x，甲、乙两数的积为y，试写出y关于x的函数解析式；

3、矩形的长为4厘米，宽为3厘米，如果将它的长与宽都增加x厘米，记现在的矩形面积为y平方

厘米，试写出y关于x的函数解析式；

4、汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加. 据统计，2009年我市某种品牌汽车的年产

量为6.4万辆，到2011年，该品牌汽车的年产量达到y万辆. 若该品牌汽车年产量的年增

长率从2009年开始五年内保持不变，均为x，试写出y关于x的函数解析式；

5、把一根长40厘米的铁丝剪成两段，再分别把每一段弯折成一个正方形（不计接头处的损耗）．设

其中一段铁丝长x厘米，两个正方形的面积和等于y平方厘米，求y关于x的函数解析式.

【例17】下列关于x的函数，是不是二次函数?

（1）13xy； （2）2

5xy；

（3）

xxy



21

； （4）

132xxy；

（5）1423

xxy； （6）

22

124xxy；

（7）322

xxy； （8）322

xxy.

【例18】已知关于 x 的函数y=(m2-2m-3)x2+(m+1)x+m2.

（1）若它是关于x的二次函数，m要满足的条件是 ；

（2）若它是关于x的一次函数，m要满足的条件是 .

【例19】心理学家研究发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受程度y与提出概念所用的时间

x(分钟)之间满足函数关系式：

y的值越大，表示接受程度越高.

（1）若用10分钟提出概念，学生的接受程度y的值是多少?

（2）如果分别用5分钟、10分钟或20分钟来提出这一概念，那么三者相比，用哪种方式，学生的

接受程度更高?

【例20】如图，用长为20米的篱笆，一面靠墙（墙长度为10米），围成一个矩形的花圃. 设AB边的

长为x米，花圃的面积为 y平方米.

（1）求y关于x的函数解析式及函数的定义域；

（2）花圃的面积是否可能等于48平方米?为什么?



300436.21.02

xxxy

BCDA