二次函数

第页 1 二次函数

知识点一 二次函数的概念

例，下例函数中，y是x的二次函数的是（ )

A，22xy B，xxy12 C，22)2(xxy D，123xxy

举一反三：1、下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）

A：2681yx B；81yx C：8yx D：281yx

2、函数2()ymnxmxn是二次函数的条件是（ ）

A：mn、为常数，且m≠0。 B：mn、为常数，且m≠n .C：mn、为常数，且n≠0。 D：mn、可以为任何数。

3、函数2221()mmymmx是二次函数，那么m的值是（ ）

A：2 B：-1或3 C：3 D：±1

4、下列关系中，是二次函数关系的是（ ）

A：当距离S一定时，汽车行驶的时间t与速度v之间的关系。

B：在弹性限度时，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系。

C：圆的面积S与圆的半径r之间的关系。 D：正方形的周长C与边长a之间的关系。

5、已知x为矩形的一边长，其面积为y，且(4),yxx则自变量的取值范围是（ ）

A：0x B：04x C：0≤x≤4 D：4x

6、二次函数23yxx中，a______，b______，c______。

7、已知函数22()(1)1ymmxmxm。若这个函数是二次函数，求m的取值范围。

知识点二 二次函数的一般形式

例，把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项：

（1）22)1(xxy （2）5)1)(32(xxy （3）)1(1242xxxy （4）)1)(1(xxy

举一反三：函数cbxaxy2(a,b,c是常数)问当a,b,c满足什么条件时：

(l）它是二次函数 ；(2）它是一次函数 ； (3）它是正比例函数 ；

知识点三: y=ax2 常量a对二次函数的影响

1．函数y=ax2 （a≠0）的图象与a的符号有关的是（ ）

A.顶点坐标 B.开口方向 C.开口大小 D.对称轴

2、二次函数如右图所示，则它的关系式是________________。 第页 2 3、二次函数23yx的图像开口向____,顶点是（__，___），它是抛物线的最____点， 第2题

对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而________;在对称轴的右侧，y随x的增大而________;

4、二次函数23yx的图像开口向____,顶点是（__，___），它是抛物线的最____点，对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而________;在对称轴的右侧，y随x的增大而________;

5、已知关于x的二次函数||mymx中，当0x时，y随x的增大而增大，则m=_______.

6、已知抛物线212yx的图像经过点(,4.5)a和1(,)ay，则1y的值是________.

7、下列各组点中，两个点都在抛物线212yx上的是（ ）。

A:(0,0),(1,2) B: 1(2,1),(1,)2 C: (2,2),(2,2) D: (1,2),(2,2)

8、关于抛物线2yx和2yx，下列说法不正确的是（ ）

A：顶点相同 B：对称轴相同 C：开口方向相反 D：都有最小值

9．当m=___时，抛物线2(1)mmymx开口向下，对称轴是____,在对称轴左侧，y随x的增大而_____,在对称轴右侧，y随x的增大而_____。

10．若函数y=ax2 的图象是一条不经过一、二象限的抛物线，则a 的符号是__ _。

11．函数y=ax2 （a≠0）与y=-ax+b在同一坐标系的图象可能是图中的（ ）

A B C D

12已知函数25yx的图像上有三个点112233(,),(,),(,)xyxyxy，若1230xxx，

则12,yy与3y的大小关系为________________________。

13、如右图所示，点A是抛物线2yx上一点，ABx轴于B点，若B点坐标为(2,0)，则AOBSV=_____________。

14、已知抛物线2yax经过点(2,8)。

（1）求此抛物线的函数关系式。（2）判断点B(1,4)是否在此抛物线上。（3）求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标。

o y

o y

o y

o y

x x x x x 第页 3 15、底面是边长为x cm的正方形，高为0.5 cm的长方体体积为y 2cm。

（1）求y 关于x的函数式。（2）列出对应值表，画出函数图像。（3）根据图像求出38ycm 时，底面边长x的值。

（4）根据图像，求出x 为何值时，34.5ycm？

16、已知抛物线2yax 经过点(2,1)A。

（1）求这个函数解析式；（2）写出抛物线上点A关于y 轴的对称点B点的坐标。（3）求OABV的面积。

（4）抛物线上是否存在点C，使ABCV的面积等于OABV面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由。

知识点四

1、抛物线y=x2-3的开口方向是 ;顶点坐标是 对称轴是 .这条抛物线可以看作是由抛

物线 向 平移 个单位长度得到的。

2．抛物线y=－a2x＋3的对称轴是＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿。

3．二次函数2yax的图像向上平移5个单位，所得新函数表达式为

4．对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为 ．

5．若点A(2，m)在函数12xy的图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标是____ _.

6．已知关于x的二次函数ｙ＝（ｍ－１）ｘ2＋７，当0x时，ｙ随ｘ的增大而减少，则ｍ的取值范围是

7．二次函数y=x2的图象向下平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（ ）

A、22xy B、2)2(xy C、22xy D、2)2(xy

8．若二次函数212xy与kxy2的图像的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ）

A．这两个函数图像有相同的对称轴 B．这两个函数图像的开口方向相反

C．方程02kx没有实数根式 D．二次函数kxy2的最大值为21 第页 4 9．如图，在同一坐标系中，二次函数2yaxc与一次函数yaxc的图象大致是（ ）

10、与抛物线152xy顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数是（ ）

（A）152xy；（B）152xy；C）152xy；（D）152xy。

11.求分别符合下列条件的抛物线52axy 的函数解析式．并画出图象。

（１）通过点（－２，１） （２）与232yx的开口大小相同，方向相反．

11.如果把抛物线2ymxn向上平移2个单位后得到抛物线2112yx，试确定m、n

知识点五

1、抛物线23(3)yx的对称轴是 ;开口方向是 ;顶点坐标是 .这条抛物线可以看作是由抛物线23xy向 平移 个单位长度得到的。

3．若抛物线2)(axay经过点（０，－2），则a＝ ；这个抛物线的解析式为 ．

4． 将抛物线2)3(2xy向左平移５个单位长度后，所得抛物线的解析式是 ．

5．若点A（３，－４)在函数2)(mxy的图象上，则m_ _.这个抛物线的对称轴是 ；点Ａ关于抛物线对称轴的对称点是

．

6、抛物线y=2（x－2）2－6的顶点坐标是 第页 5 知识点七：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质

函数 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)

图象 a>0 a<0

性质 (1)当a>0时，抛物线开口向 ，并向 无限延伸，顶点是它的最 点.

(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右 ，在对称轴的右侧，抛物线自左右 . (1)当a<0时，抛物线开口向 ，并向 无限延伸，顶点是它的最 点.

(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右 ；在对称轴右侧，抛物线自左向右 .

总结：抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用

a，b，c的代数式 作用 字母的符号 图象的特征

a 1. 决定抛物线的开口方向；

2. 决定增减性 a>0

开口向

a<0 开口向

c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c) c>0 交点在

c=0 抛物线过

c<0 交点在

决定对称轴的位置，对称轴是直线 ab>0 对称轴在y轴

ab<0 对称轴在y轴

b2-4ac 决定抛物线与x轴公共点的个数 b2-4ac>0 抛物线与x轴有 交点

b2-4ac=0 顶点在 上

b2-4ac<0 抛物线与x轴 交点

习题：

基础练习

1. 函数y=2x2-8x+1，当x= 时，函数有最 值，是 .

2. 函数213523yxx，当x= 时，函数有最 值，是 .

3. 函数y=x2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，当x 时，函数y有最 值，是 .

提高训练

4. 把40表示成两个正数的和，使这两个正数的乘积最大，则这两个数分别是 . 第页 6 5. 如图，用长20m的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？

基础练习

1. 抛物线y=2x2-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ）

A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( )