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二次函数

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1 二次函数------导学案

一、学习目标

1.能结合实例说出二次函数的意义。

2.能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

3.掌握二次函数的平移规律。

4.会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

5.会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

6.熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。

二、知识准备

1. 二次函数解析式的几种形式：

①一般式：yaxbxc2（a、b、c为常数，a≠0）

②顶点式：yaxhk()2（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。

③交点式：yaxxxx()()12，其中xx12，是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程axbxc20的两个根，且a≠0，

2

二次函数的性质

函数 二次函数yaxbxc2

a、b、c为常数，a≠0 yaxhk()2（a、h、k为常数，a≠0）

a＞0 a＜0 a＞0 a＜0

图

象

(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸 (1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸

性 (2)对称轴是

x＝ba2，顶点是（baacba2442，） (2)对称轴是

x＝ba2，顶点是（baacba2442，） (2)对称轴是

x＝h，顶点是（h，k） (2)对称轴是

x＝h，顶点是（h，k）

质 (3)当xba2时，y随x的增大而减小；

当xba2时，y随x的增大而增大 (3)当xba2时，y随x的增大而增大；

当xba2时，y随x的增大而减小 (3)当xh时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 (3)当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小

(4)抛物线有最低点，当xba2时，y(4)抛物线有最高点，当xba2时，y(4)抛物线有最低点，当x＝h时，y(4)抛物线有最高点，当x＝h时，y 3 有最小值，yacba最小值442 有最大值，yacba最大值442 有最小值yk最小值 有最大值yk最大值

三、知识训练

一、填空题

1．已知函数mmmxy2，当m=

时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m=

时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．

2．抛物线2axy经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．

3．抛物线9)1(22kxky，开口向下，且经过原点，则k= ．

4．若抛物线cxxy42的顶点在x轴上，则c的值是 ．

抛物线2axy经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．

5．已知二次函数mxxy82的最小值为1，那么m的值等于 ．

二、选择题

1．下列函数中，是二次函数的有（ ）

①221xy ②21xy ③)1(xxy

④)21)(21(xxy

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2.．若二次函数32)1(22mmxmy的图象经过原点，则m的值必为 （ ）

A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法 4 确定

3．二次函数mxmxy4)1(22的图象与x轴 （ ）

A、没有交点 B、只有一个交点C、只有两个交点 D、至少有一个交点

4．二次函数222xxy有（ ）

A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2

5．在同一坐标系中，作函数23xy，23xy，231xy的图象，它们的共同特点是（ ）

A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上

B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下

C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点

D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点

三、解答题

1．已知二次函数12212xxy．

（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；

（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；

（3）作出函数图象的草图；

（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y= 0；x为何值时，y＜0？

5

2．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多

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二次函数专题讲解

二次函数专题讲解

1 二次函数专题讲解

一、知识综述：

1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，。

3.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.

4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.

它们的图像特征如下：

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标

2axy

当0a时

开口向上

当0a时

开口向下 0x（y轴） （0,0）

kaxy2 0x（y轴） (0, k)

2hxay hx (h,0)

hx (h,k)

cbxaxy2 abx2 (abacab4422，)

开口大小与｜a｜成反比，｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大。

5.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.

6.二次函数图象的平移

左加右减（对X），上加下减（对Y）。

二、考点分析及例题解析

考点一：二次函数的概念 khxay22 例1：如果函数1)3(232mxxmymm是二次函数，那么m的值为

3二次函数与三次函数问题

3二次函数与三次函数问题

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3二次函数与三次函数问题

作者：

来源：《数学金刊·高考版》2014年第03期

虽然现行高中数学教材中，没有专门介绍二次函数和三次函数，但由于二次函数涉及的问题“博大精深”，尤其二次函数的性质、最值问题，一元二次方程根的分布情况问题，二次不等式的解法和恒成立问题一直都是考试的热点问题；由于三次函数的导函数是二次函数，因此可以通过研究其导函数（二次函数）来研究三次函数的性质，各地的高考试题中三次函数问题经常在压轴题中出现.

对于二次函数，其重点和难点是：①二次函数在规定区间上的最值问题；②一元二次方程根的分布情况问题. 对于三次函数要做到：能由函数的解析式得到函数的极值、函数的单调性，从而画出函数的大致图象，了解其零点的分布情况.

二次函数专题

二次函数专题

专题训练(三) 与函数有关的最值问题

类型之一 由不等关系确定的最值问题

1．某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，两种加工方式如下表：

现将这50吨原料全部加工完．(粗加工与精加工不能同时进行)

(1)设其中粗加工x吨，共获利y元，求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量的取值范围)

(2)如果必须在20天内加工完，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？

类型之二 由一次函数确定的最值问题

2．某工厂计划为地震灾区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅(一桌两椅)需木料0.5 m3，一套B型桌椅(一桌三椅)需木料0.7 m3，工厂现有库存木料302 m3.

(1)有多少种生产方案？

(2)现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费为2元；每套B型桌椅的生产成本为 每吨加工费 每吨加工时间 成品每吨售价

粗加工 500元 13天 4000元

精加工 900元 12天 4500元

120元，运费为4元，求总费用y(元)与生产A型桌椅x(套)之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．(总费用＝生产成本＋运费)

类型之三 由二次函数确定的最值问题

3．一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图Z－3－1)，其中AF＝2，BF＝1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

图Z－3－1

4.[2015·青岛] 如图Z－3－2，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为172 m.

(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，

如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

二次函数讲义

二次函数讲义

第 1 页 共 12 页 二次函数

【知识点1】二次函数的图象和性质

1.二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义：形如f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)的函数叫做二次函数.

(2)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝___ ax2＋bx＋c (a≠0)___ . 已知三个点的坐标时，宜用一般式.

②顶点式：f(x)＝__ a(x－m)2＋n(a≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.

③零点式：f(x)＝___ a(x－x1)(x－x2) (a≠0)_ _.已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便.

点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.

2.二次函数的图象和性质

图象 函数性质

a>0

定义域 x∈R(个别题目有限制的，由解析式确定)

值域 a>0 a<0

y∈[4ac－b24a，＋∞) y∈(－∞，4ac－b24a]

a<0

奇偶性

b＝0时为偶函数，b≠0时既非奇函数也非偶函数

单调性 x∈(－∞，－b2a]时递减，

x∈[－b2a，＋∞)时递增 x∈(－∞，－b2a]

时递增，

x∈[－b2a，＋∞)

时递减

图象特点 ①对称轴：x＝－b2a；

②顶点：(－b2a，4ac－b24a)

3.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、第 2 页 共 12 页 M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝Δ|a|.

【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系

当0()fx2axbxc的图像与x轴无交点20axbxc无实根

20(0)axbxc的解集为或者是R;

当0()fx2axbxc的图像与x轴相切20axbxc有两个相等的实根